Решение дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Студенты ВУЗ-ов частенько ищут информацию “Как найти решение уравнения в полных дифференциалах?”. Из этого урока Вы получите полную инструкцию плюс готовые решения. Сначала краткое ознакомление – что такое уравнение в полных дифференциалах? Как искать решение уравнения на полный дифференциал?
Далее разбор готовых примеров, после которого возможно у Вас не останется вопросов по данной теме.
Определение 1. Уравнение вида M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 называется уравнением в полных дифференциалах, если зависимость перед знаком равенства является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x,y), то есть справедливая формула
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (1)
Таким образом, первоначальное уравнение по содержанию означает равенство нулю полного дифференциала функции
du(x,y)=0.
Интегрируя дифференциал получим общий интеграл ДУ в виде
u(x,y)=С.
(2)
При вычислениях, как правило, постоянную возлагают равной нулю.
Пред вычислениями всегда возникает вопрос “Как проверить что заданное ДУ является уравнением в полных дифференциалах?”
На этот вопрос дает ответ следующее условие.
Необходимое и достаточное условие полного дифференциала
Необходимым и достаточным условием полного дифференциала является равенство между собой частных производных
(3)
При решении дифференциальных уравнений его проверяют в первую очередь, чтобы идентифицировать имеем ли уравнение в полных дифференциалах или возможно другое.
По содержанию это условие означает что смешанные производные функции равны между собой.
В формулах учитывая зависимости
(4)
необходимое и достаточное условие существования полного дифференциала можем записать в виде
Приведенный критерий и применяют при проверке уравнения на соответствие полному дифференциалу, хотя при изучении данной темы преподаватели не зададут Вам другого типа уравнений.
Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах
С обозначений (4) частных производных полного дифференциала функции следует, что u(x,y) мы можем найти интегрированием
Эти формулы дают выбор при вычислениях, поэтому для интегрирования выбирают ту частную производную, интеграл от которой легче найти на практике.
Далее второй важный момент – неопределенный интеграл представляет собой первообразную то есть “+ С”, которую следует определить.
Поэтому, если интегрируем частную производную M(x,y) по “икс” то сталая зависит от y и наоборот – если интегрируем N(x,y) по y то сталая зависима от “икс”.
Далее чтобы определить постоянную берут производную от u(x,y ) по другой переменной чем та, по которой производили интегрирование и приравнивают к второй частичной производной.
В формулах это будет выглядеть следующим образом
Как правило некоторые слагаемые упрощаются и получим уравнение на производную постоянной. Для первого из уравнений получим
Окончательно общий интеграл после определения постоянной имеет вид
В симметричной форме получим ответ и для другого уравнения.
Запись только на вид сложная, на самом деле на практике все выглядит значительно проще и понятнее. Проанализируйте следующие задачи на полные дифференциалы.
Готовые ответы на уравнение в полных дифференциалах
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
Решение:Левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции , поскольку выполняется условие
Отсюда записываем частную производную функции двух переменных от “икс”
и интегрированием находим ее вид
Чтобы доопределить постоянную находим частную производную функции по “y” и приравниваем со значением в уравнении
Подобные слагаемые в правой и левой части сокращаем, после чего постоянную находим интегрированием
Теперь имеем все величины для записи общего решения дифференциального уравнения в виде
Как можно убедиться, схема решения уравнений в полных дифференциалах не сложная и ее под силу выучить каждому.
Важное значение имеют множители при дифференциалах, поскольку их приходится интегрировать и дифференцировать чтобы найти решение.
Пример 2. (6.18) Найти интеграл дифференциального уравнения
Решение: По теории левая часть уравнения должна быть полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x,y), при этом проверяем выполняется ли условие
Отсюда берем частную производную и через интеграл находим функцию
Вычисляем частную производную функции двух переменных по y и приравниваем к правой стороне дифференциального уравнения.
Производная выражается зависимостью
С учетом постоянной получили общий интеграл дифференциального уравнения в виде
На этом вычисления данного примера завершено.
Пример 3. (6.20) Решить дифференциальное уравнение
Решение: Левая часть уравнения будет полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x; y) , если будет выполняться условие
Отсюда начинаем решать уравнения, а вернее интегрирование одной из частных производных
Далее находим производную от полученной функции по переменной y и приравниваем к правой стороне дифференциальной зависимости
Это позволяет найти константу, как функцию от y.
Если начинать раскрывать дифференциальную зависимость с правой стороны, то получим что константа зависит от x. Общее решение дифференциального уравнения при этом не изменится и для заданного уравнения имеет вид
На этом пример решен.
Пример 4. (6.21) Решить дифференциальное уравнение
Решение: Проверяем является ли полным дифференциалом некоторой функции u(x,y) выражение в левой стороне уравнения
Выписываем частную производную функции двух переменных и интегрированием восстанавливаем решение
Далее уточняем постоянную. Для этого вычисляем производную функции по y и приравниваем к значению в уравнении (выделено зеленым)
Отсюда, выражаем производную и интегрируем
Общее решение дифференциального уравнения можем записать формулой
Для закрепления тематики просим самостоятельно проверить что данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах и решить их:
Здесь Вам и корневые функции, тригонометрические, экспоненты, логарифмы, одним словом – все что может ожидать Вас на модулях и экзаменах.
После этого Вам станет гораздо проще решать такого типа уравнения.
Из следующей статьи Вы познакомитесь с уравнениями вида
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
которые достаточно подобные уравнению в полных дифференциалах, однако в них не выполняется условие равенства частных производных. Их вычисляют поиском интегрирующего множителя, умножая на который приведенное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах.
Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции
Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде:
Таким образом, для решения надо определить:
1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;
2)
как найти эту функцию.
Если дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:
Т.е. .
Приравнивая левые части уравнений, получаемнеобходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.
Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u.
Проинтегрируем равенство :
Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром.
Определим
функцию С(у).
Продифференцируем полученное равенство по у.
Откуда получаем:
Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.
Теперь определяем функцию С(у):
Подставляя этот результат в выражение для функции
Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:
Следует
отметить, что при решении уравнений в
полных дифференциалах не обязательно
использовать полученную формулу. Решение
может получиться более компактным, если
просто следовать методу, которым формула
была получена.
Пример. Решить уравнение
Проверим условие тотальности:
Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Определим функцию u.
;
Итого,
Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
Уравнения вида y = f(y’) и
Решение
уравнений, не содержащих в одном случае
аргумента х,
а в другом – функции у,
ищем в параметрической форме, принимая
за параметр производную неизвестной
функции.
Для уравнения первого типа получаем:
Делая замену, получаем:
В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:
Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.
Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:
( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик
ин. поч. член Петерб. АН )
Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно
Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.
Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что , получаем:
Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:
Определение. Уравнением Клеро
Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.
С учетом замены , уравнение принимает вид:
Это уравнение имеет два возможных решения:
или
Впервом случае:
Видно,
что общий интеграл уравнения Клеро
представляет собой семейство прямых
линий.
Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:
Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.
Это решение будет являться особым интегралом. ( См. Особое решение. )
Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.
Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:
Дифференцируя, получаем:
Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:
Общее решение:
C
учетом начального условия
определяем
постоянный коэффициентC.
Окончательно получаем:
Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение: верно
Ниже показан график интегральной кривой уравнения.
Пример. Найти общий интеграл уравнения .
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Общий интеграл имеет вид:
Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С.
С = – 0,5 С = -0,02 С = -1 С = -2
С = 0,02 С = 0,5 С = 1 С = 2
Пример. Найти решение дифференциального
уравнения, удовлетворяющее заданным
начальным условиям.
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Общее решение имеет вид:
Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.
Окончательно получаем:
Пример. Решить предыдущий пример другим способом.
Действительно, уравнение может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Тогда
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Итого
Сучетом начального условия у(0) = 0 получаем
Как видно результаты,
полученные при решении данного
дифференциального уравнения различными
способами, совпадают.
При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.
Пример. Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.
Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:
Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.
Итого
Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.
(верно)
Найдем частное решение при у(0) = 0.
Окончательно
Пример.
Найти решение дифференциального
уравнения
с начальным условием у(1) = 1.
Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.
С учетом начального условия:
Окончательно
Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1) = 0.
Это линейное неоднородное уравнение.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Подставим в исходное уравнение:
Общее решение будет иметь вид:
C учетом начального условия у(1) = 0:
Частное решение:
Пример.
Найти решение дифференциального
уравнения
с начальным условием у(1) = е.
Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.
Обозначим:
Уравнение принимает вид:
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Сделаем обратную замену:
Общее решение:
C учетом начального условия у(1) = е:
Частное решение
Второй способ решения.
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:
Решение исходного уравнения ищем в виде:
Тогда
Подставим полученные результаты в исходное уравнение:
Получаем общее решение:
Пример. Решить дифференциальное уравнение
с начальным условием у(1)=0.
В этом уравнении также удобно применить замену переменных.
Уравнение принимает вид:
Делаем обратную подстановку:
Общее решение:
C учетом начального условия у(1) = 0:
Частное решение:
Второй способ решения.
Замена переменной:
Общее решение:
Теорема. (Теорема Коши) Если f(z)
– аналитическая функция на некоторой
области, то интеграл от f(z)
по любому кусочно – гладкому контуру,
принадлежащему этой области равен нулю.
30
Исчисление I – Дифференциалы
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 4-12: Дифференциалы
В этом разделе мы собираемся ввести обозначения, которые мы будем часто встречать в следующей главе.
Мы также рассмотрим применение этой новой нотации.
Для данной функции \(y = f\left( x \right)\) мы называем \(dy\) и \(dx\) дифференциалами, а связь между ними определяется выражением,
\[dy = f’\влево( х \вправо)dx\]
Обратите внимание, что если нам просто дано \(f\left( x \right)\), то дифференциалы равны \(df\) и \(dx\), и мы вычисляем их таким же образом.
\[df = f’\влево( х \вправо)dx\]
Давайте посчитаем пару дифференциалов. 94}}}\)
Показать решение
Прежде чем работать с любым из них, мы должны сначала обсудить, что нас просят найти здесь. Ранее мы определили два дифференциала, а здесь нас просят вычислить дифференциал.
Итак, какой дифференциал нас просят вычислить? В задачах такого рода нас просят вычислить дифференциал функции. Другими словами, \(dy\) для первой задачи, \(dw\) для второй задачи и \(df\) для третьей задачи.
92} + 1} \вправо) – 1} \вправо)\влево( {0,03} \вправо) = 0,085070913\]
Мы видим, что на самом деле у нас есть это \(\Delta y \приблизительно dy\) при условии, что мы сохраняем \(\Delta x\) маленьким.
Мы можем использовать тот факт, что \(\Delta y \приблизительно dy\) следующим образом.
Пример 3. Был измерен шар, и его радиус оказался равным 45 дюймам с возможной погрешностью не более 0,01 дюйма. Какова максимально возможная ошибка в объеме, если мы используем это значение радиуса? 93}\). Итак, в сравнении ошибка в объеме составляет
\[\frac{{254,47}}{{381703,51}} \times 100 = 0,067\% \]
Это вообще не большая ошибка!
Помогите решить дифференциальное уравнение
Задавать вопрос
спросил
Изменено 10 лет, 92 – 8 лет$$
и спрашивает: «Почему мы не можем найти решение, как в предыдущей задаче?» Я предполагаю: «В 7 мы интегрировали по t.
Поскольку это уравнение является производной высшего порядка, мы не можем решить его, как № 7″. Хотя я не уверен в этом ответе и не уверен, что он имеет смысл даже для меня.
Кроме того, часть 8B. просит: Покажите, что постоянная функция $y(t) = 0$ является решением.
Я уже решал подобную задачу раньше, за исключением того, что это не была постоянная функция. Эта задача выглядит как вопрос, который задает: «показать, что каждый член семейства функций $y = (\ln x + C)/x$ является решением дифференциального уравнения (некоторого дифференциального уравнения)», за исключением того, что это кажется немного другим.
Любые подсказки, как я могу решить эту проблему?
Спасибо.
- обыкновенные дифференциальные уравнения
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Части задач, которые говорят “показать, что [явно заданная функция] является решением”, могут быть решены простым “подключением”.
2}$ и “подставьте их”, чтобы проверить, что дифференциальное уравнение удовлетворяется при таком выборе $y$.
Вы правы, отличие второй задачи в том, что у вас больше нет производной по $t$, выраженной как функция от $t$. Когда уравнение включает в себя как функцию $y$, так и ее производную (или производные), его обычно бывает сложнее решить. В этом случае я дам вам подсказку: $dy/dt=1/(dt/dy)$ (например, см. Википедию). Вы можете сначала изменить ситуацию и представить $t$ как функцию $y$. Вы можете найти $t(y)$, используя методы, аналогичные первой задаче (но с более сложной функцией), а затем найти обратную функцию, чтобы получить $y(t)$. 9x$ для некоторой константы $A$).
На самом деле мы можем решить второе дифференциальное уравнение; но мы не решаем его простым интегрированием, как не решаем уравнение $y’ = y$ интегрированием.
Чтобы показать, что $y(t)=0$ является решением второго уравнения, достаточно просто подставить $0$ вместо $y$ и убедиться, что вы получили решение, проверив, что полученное равенство верно.