III Таблица дифференциалов
Так как дифференциал dyлишь множителемdxотличается от производной, то по таблице производных легко составить таблицу дифференциалов.
1. ,,.
2. ,.
3. ,.
4. . 5..
6. . 7..
8. . 9..
10. . 11..
Также легко получить формулы для дифференциалов суммы, разности, произведения и частного функций:
а)
б)
в)
Отметим, что в таблице дифференциалов переменная xможет быть как независимой, так и некоторой функцией. В таблице же производных (§6)x– это только независимая переменная.
Замечание.Формула для дифференциала функции, а именно:
,
позволяет написать формулу, выражающую производную функции через дифференциалы dxиdy:
.
При этом такая формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной ни были вычислены dxиdy. Эта формула позволяет легко запоминать (но не доказывать!) некоторые правила дифференцирования:
для сложной функции
;
для обратной функции
;
для функции, заданной параметрически
.
§8. Производные высших порядков
I Определение и обозначения
Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то её производнаясама является функцией, определенной на этом промежутке. Следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Если она существует, то её называют второй производной (или производной 2гопорядка), и обозначают одним из символов
.
Аналогично, если существует производная от второй производной, то её называют третьей производной и обозначают, например, .
Вообще, производной n-го порядка называют производную от производной (n–1)-го порядка и обозначают. Итак, по определению
.
II Производные некоторых функций
1. y=sinx, y=cosx
Первые производные этих функций и формулы приведенияпозволяют методом математической индукции получить выражения для производныхn-го порядка:
.
2.
Если , то, последовательно дифференцируя, получим,, и вообще:
.
Если же показатель степени натуральный, то:
3. y=ax
, в частности,,.
4. y=lnx
,
.
III Некоторые правила
Очевидно, что и. Для производной
n-го порядка от произведения функций имеется т.н. формула Лейбница. Приведем ее без доказательства:
, где.
функцию: .
IV Функция, заданная параметрически
Пусть функция задана параметрическими уравнениями
Её первая производная – это также функция, заданная параметрически:
Тогда
Пример.
Дляпервая производная имеет видТогдаи вторая производная такова:
V Функция, заданная неявно
Повторное дифференцирование такой функции покажем на примере:
Тогда по определению:
.
Остается подставить в последнее выражение значение :
.
Полученное выражение можно упростить, используя само уравнение:
.
Тема ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
Лекция 10
§1. Необходимое условие экстремума
Рассмотрим функцию , определенную на промежутке, и пусть точка–внутренняяточка промежутка:.
Определение 1.Точканазывается точкой (локального) максимума
функции,
если существует окрестность этой точки,
в которой (при)
выполняется неравенство.
Другими словами для малых приращений
аргументаприращение
функции.
Определение 2.Точканазывается точкой (локального) минимума функции, если существует окрестность этой точки, в которой (при) выполняется неравенство. Другими словамипри малых.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Их можно характеризовать следующим образом: приращение функции в точке экстремума имеет постоянный знак, не зависящий от знака (еслидостаточно мало).
Теорема Ферма.Если функциядифференцируема в точкеи имеет в этой точке локальный экстремум, то.
Доказательство.Дифференцируемость означает существование конечного предела
.
Для этого предела имеется три возможности: 1) ; 2);
3)
.
Предположим, что.
Тогда для близких к нулюразностное отношение.
Если же,
то и(для малых).
В обоих случаях знакзависит от знака.
Но по условию теоремы– это точка экстремума, значит, знакне зависит от знака.
Это противоречие означает, чтоне может быть ни положительным, ни
отрицательным.
Остается последняя
возможность:.
Замечание 1.Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если в точке графика функции, которой соответствует экстремум функции, существует касательная к графику, то эта касательная параллельная оси
Замечание 2.Сформулированное в теореме условиеявляется необходимым, но не достаточным. Например, функцияимеет производную, которая обращается в ноль в точке. Однако,
.
Выражение в скобках всегда положительно, как неполный квадрат суммы. Следовательно, и в точкенет экстремума.
Дифференциал сложной функции
Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть y сложная функция x:
,
.
Дифференциал
этой функции, используя формулу для производной сложной функции,
можно записать в виде .
Но
есть дифференциал функции
.
Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для
дифференциала функции независимой переменной x, т.
е.
,
хотя аргумент u является не независимой переменной,
а функцией x.
Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью)
Задание к примерам. Во всех примерах требуется вычислить дифференциал функции двумя способами: выражая его через dx и через du – дифференциал промежуточной переменной u. Проверить совпадение полученных результатов.
Потребуется таблица производных некоторых сложных функций.
Пример 1. Дана функция .
Решение.
Через dx:
Использовали правило дифференцирования степенной функции.
Через du:
Подставляя в полученное равенство и , получаем
Результаты совпадают.
Пример 2. Дана функция .
Решение.
Через dx:
Использовали правило дифференцирования сложной функции квадратного корня.
Через du:
.
Подставляя в полученное равенство и , получаем
Результаты совпадают.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение
Пример 3. Дана функция .
Решение.
Через dx:
Использовали правило дифференцирования сложной логарифмической функции.
Через du:
.
Подставляя в полученное равенство и , получаем
Результаты совпадают.
Пример 4. Дана функция .
Решение.
Через dx (в процессе решения для удобства преобразуем корни в степени и обратно):
Использовали общее правило дифференцирования сложной функции два раза.
Через du:
.
Подставляя в полученное равенство
и
,
получаем
Результаты совпадают.
Пример 5. Дана функция .
Решение.
Через dx:
Использовали общее правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования сложной логарифмической функции.
Через du:
.
Подставляя в полученное равенство и , получаем
.
Результаты совпадают.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение
Весь блок “Производная”
- Что такое производная
- Найти производную: алгоритм и примеры решений
- Производные произведения и частного функций
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Дифференциал функции
- Правило Лопиталя
- Частные производные
Поделиться с друзьями
Таблица производных
Таблица производных| Дом | Учитель | Родители | Глоссарий | О нас | |||||
|
|
Степень х.
Экспоненциальный/логарифмический
Тригонометрический
Обратный тригонометрический
Гиперболический
Имеющие гиперссылки имеют доказательства.  |
