Дифференциалы таблица: III Таблица дифференциалов

III Таблица дифференциалов

Так как дифференциал dyлишь множителемdxотличается от производной, то по таблице производных легко составить таблицу дифференциалов.

1. ,,.

2. ,.

3. ,.

4. . 5..

6. . 7..

8. . 9..

10. . 11..

Также легко получить формулы для дифференциалов суммы, разности, произведения и частного функций:

а)

б)

в)

Отметим, что в таблице дифференциалов переменная xможет быть как независимой, так и некоторой функцией. В таблице же производных (§6)x– это только независимая переменная.

Замечание.Формула для дифференциала функции, а именно:

,

позволяет написать формулу, выражающую производную функции через дифференциалы dxиdy:

.

При этом такая формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной ни были вычислены dxиdy. Эта формула позволяет легко запоминать (но не доказывать!) некоторые правила дифференцирования:

для сложной функции

;

для обратной функции

;

для функции, заданной параметрически

.

§8. Производные высших порядков

I Определение и обозначения

Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то её производнаясама является функцией, определенной на этом промежутке. Следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Если она существует, то её называют второй производной (или производной 2гопорядка), и обозначают одним из символов

.

Аналогично, если существует производная от второй производной, то её называют третьей производной и обозначают, например, .

Вообще, производной n-го порядка называют производную от производной (n1)-го порядка и обозначают. Итак, по определению

.

II Производные некоторых функций

1. y=sinx, y=cosx

Первые производные этих функций и формулы приведенияпозволяют методом математической индукции получить выражения для производныхn-го порядка:

.

2.

y=x

Если , то, последовательно дифференцируя, получим,, и вообще:

.

Если же показатель степени натуральный, то:

3. y=ax

, в частности,,.

4. y=lnx

,

.

III Некоторые правила

Очевидно, что и. Для производной

n-го порядка от произведения функций имеется т.н. формула Лейбница. Приведем ее без доказательства:

, где.

Заметим, что под производной нулевого порядка принято понимать саму

функцию: .

IV Функция, заданная параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

Её первая производная – это также функция, заданная параметрически:

Тогда

Пример. Дляпервая производная имеет видТогдаи вторая производная такова:

V Функция, заданная неявно

Повторное дифференцирование такой функции покажем на примере:

Тогда по определению:

.

Остается подставить в последнее выражение значение :

.

Полученное выражение можно упростить, используя само уравнение:

.

Тема ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

Лекция 10

§1. Необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке, и пусть точка–внутренняяточка промежутка:.

Определение 1.Точканазывается точкой (локального) максимума функции, если существует окрестность этой точки, в которой (при) выполняется неравенство. Другими словами для малых приращений аргументаприращение функции.

Определение 2.Точканазывается точкой (локального) минимума функции, если существует окрестность этой точки, в которой (при) выполняется неравенство. Другими словамипри малых.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Их можно характеризовать следующим образом: приращение функции в точке экстремума имеет постоянный знак, не зависящий от знака (еслидостаточно мало).

Теорема Ферма.Если функциядифференцируема в точкеи имеет в этой точке локальный экстремум, то.

Доказательство.Дифференцируемость означает существование конечного предела

.

Для этого предела имеется три возможности: 1) ; 2);

3) . Предположим, что. Тогда для близких к нулюразностное отношение. Если же, то и(для малых). В обоих случаях знакзависит от знака. Но по условию теоремы– это точка экстремума, значит, знакне зависит от знака. Это противоречие означает, чтоне может быть ни положительным, ни отрицательным. Остается последняя возможность:.

Замечание 1.Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если в точке графика функции, которой соответствует экстремум функции, существует касательная к графику, то эта касательная параллельная оси

Ox.

Замечание 2.Сформулированное в теореме условиеявляется необходимым, но не достаточным. Например, функцияимеет производную, которая обращается в ноль в точке. Однако,

.

Выражение в скобках всегда положительно, как неполный квадрат суммы. Следовательно, и в точкенет экстремума.

Дифференциал сложной функции

Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть y сложная функция x: , . Дифференциал этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде . Но есть дифференциал функции

u, поэтому , т. е.

.

Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для дифференциала функции независимой переменной x, т. е. , хотя аргумент u является не независимой переменной, а функцией x.

Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью)

формы дифференциала.

Задание к примерам. Во всех примерах требуется вычислить дифференциал функции двумя способами: выражая его через dx и через du – дифференциал промежуточной переменной u. Проверить совпадение полученных результатов.

Потребуется таблица производных некоторых сложных функций.

Пример 1. Дана функция .

Решение.

Через dx:

Использовали правило дифференцирования степенной функции.

Через du:

Подставляя в полученное равенство и , получаем

Результаты совпадают.

Пример 2. Дана функция .

Решение.

Через dx:

Использовали правило дифференцирования сложной функции квадратного корня.

Через du:

.

Подставляя в полученное равенство и , получаем

Результаты совпадают.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Пример 3. Дана функция .

Решение.

Через dx:

Использовали правило дифференцирования сложной логарифмической функции.

Через du:

.

Подставляя в полученное равенство и , получаем

Результаты совпадают.

Пример 4. Дана функция .

Решение.

Через dx (в процессе решения для удобства преобразуем корни в степени и обратно):

Использовали общее правило дифференцирования сложной функции два раза.

Через du:

.

Подставляя в полученное равенство и
,
получаем

Результаты совпадают.

Пример 5. Дана функция .

Решение.

Через dx:

Использовали общее правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования сложной логарифмической функции.

Через du:

.

Подставляя в полученное равенство и , получаем

.

Результаты совпадают.

НазадЛистатьВперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Весь блок “Производная”

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритм и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Дифференциал функции
  • Правило Лопиталя
  • Частные производные

Поделиться с друзьями

Таблица производных

Таблица производных
Дом | Учитель | Родители | Глоссарий | О нас
Отправить эту страницу другу по электронной почте
Ресурсы
·
·
·
·
·
·

Поиск


  
Таблица Производные
(Математика | Исчисление | производные | Таблица)

Степень х.

с = 0 х = 1 x n = n x (n-1)  
Доказательство

Экспоненциальный/логарифмический

e x = e x  
Доказательство
b x = b x ln(b) 
Доказательство
ln(x) = 1/x
Доказательство

Тригонометрический

sin x = cos x
Доказательство
csc x = -csc x кроватка x
Доказательство
cos x = – sin x
Доказательство
сек х = сек х тангенс х
Доказательство
тангенс х = сек 2 х
Доказательство
детская кроватка х = – csc 2 х
Доказательство

Обратный тригонометрический

угловой синус х  =  1
(1 – х 2 )
арксск х = -1
|х| (х 2 – 1)
арккос х =  -1
(1 – х 2 )
угловая секунда х = 1
|х| (х 2 – 1)
арктангенс х = 1
1 + х 2
арккот х = -1
1 + х 2

Гиперболический

sh x = ch x
Доказательство
csch x = – cth x csch x
Доказательство
ch x = sh x
Доказательство
sech x = – tanh x sech x
Доказательство
тангенс х = 1 – тангенс 2 х
Доказательство
coth x = 1 – coth 2 х
Доказательство


Имеющие гиперссылки имеют доказательства.

Оставить комментарий