Дифференцированные уравнения: Дифференциальные уравнения — все самое интересное на ПостНауке

Понятие дифференциального уравнения

1.1Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям

Прежде чем говорить о дифференциальных уравнения в общем виде, обсудим несколько простых примеров, в которых они возникают естественным образом.

1.1.1Рост населения. Мальтузианская модель

Пусть скорость роста популяции какого-нибудь вида (например, рыб в пруду или бактерий в чашке Петри) в любой момент времени пропорциональна количеству особей в популяции в этот момент времени. Это предположение кажется разумным (какая-то часть популяции за единицу времени воспроизводится), если есть достаточное количество ресурсов. Обозначим размер популяции в момент времени t через x(t). Тогда мгновенная скорость роста равна dx(t)dt. Обычно производная по переменной t обозначается точкой ˙x(t), а не штрихом. Таким образом, наш закон роста размера популяции можно записать так:

˙x(t)=kx(t),(1.1)

где k>0 — коэффициент пропорциональности (константа). Зависимость от t обычно опускают и пишут просто

˙x=kx.(1.2)

Это — одно из простейших (и важнейших) дифференциальных уравнений. Неизвестной величиной в ней является не число (как в обычных алгебраических уравнениях) и не вектор (как в линейной алгебре), а функция x(t).

1.1.2Рост экономики. Модель Солоу

Согласно модели Солоу, скорость прироста капиталовооруженности экономики (количества капитала в расчёте на одного трудоспособного человека) в предположении отсутствия внешней торговли, технического прогресса и роста населения, описывается формулой

˙k=sf(k)−δk,

где k=k(t) — капиталовооруженность экономики в момент времени t, s — норма сбережения, δ — норма выбытия капитала.

1.1.3Механическая система. Падающий шарик

Если я возьму в руку маленький тяжелый шарик, что с ним произойдёт, когда я его отпущу? Не нужно проводить этот эксперимент на практике и даже решать дифференциальное уравение, чтобы ответить: он станет падать вниз. Это подскажет нам наша физическая интуиция. Использование интуиции и ранее накопленного опыта очень важно при решении задач, поэтому мы время от времени будем обращаться к механическим примерам.

Пусть вертикальная координата шарика (высота) в момент времени t есть y(t). Известно, что на тело, находящееся в поле тяготения земли (на не слишком большой высоте) действует сила тяжести, равная

F=−mg,

где m — масса тела, g — ускорение свободного падения (примерно равно 9.8 м/с²), знак «-» выбран, поскольку сила тяжести действует в направлении «вниз» (против направления роста y). Трением мы будем пренебрегать и считать, что никаких других сил на шарик не действует.

Чтобы перейти к дифференциальным уравнениям, нужно вспомнить второй закон Ньютона, который гласит, что ускорение тела пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе:

a=F/m⇔F=ma.

Ускорение — это вторая производная от координаты по времени, она обозначается двумя точками.

Таким образом, мы имеем дифференциальное уравнение, описывающее движение шарика:

¨y=−g.(1.3)

1.2Простейшие дифференциальные уравнения

Вернёмся к математической точке зрения на дифференциальные уравнения. Начнём с относительно общего определения.

1.2.1Дифференциальное уравнение общего вида

Дифференциальным уравнением называется соотношение вида

˙x=f(t,x),(1.4)

где x=x(t) — неизвестная функция, f(t,x) — известная функция двух переменных. Мы пока что будем рассматривать уравнения, в которых областью значений неизвестной функции являются вещественные числа R, но чуть позже обсудим и более сложные случаи, когда x принимает значение в многомерных пространствах. Также отметим, что в уравнении (1.4) фигурирует только первая производная неизвестной функции — это уравнение

первого порядка. Позже мы обсудим, что делать с уравнениями более высоких порядков (например, таких как (1. 3)). Пока же остановимся на рассмотрении уравнений вида (1.4).

Решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция x=φ(t), такая, что при подстановке её в уравнение получается верное равенство:

˙φ(t)=f(t,φ(t))∀t∈D(f),(1.5)

где D(f) — область определения функции f: это может быть вся числовая ось, луч, отрезок, интервал или полуинтервал.

Рассмотрим несколько примеров.

1.2.2Нулевая правая часть

Простейшее дифференциальное уравнение, которое только можно придумать, имеет вид

˙x=0.

Его решениями являются функции x(t)=C, где C — любая константа. Действительно, если функция имеет нулевую производную и при этом всюду дифференцируема, то она не меняется и значит равна константе. Заметим, что даже в таком простейшем случае мы имеем не одно, а сразу целое семейство решений. Аналогичная ситуация будет и в более сложных примерах.

1.2.3Постоянная правая часть

Чуть более сложное уравнение:

˙x=k,

где k — константа. Это уравнение движения с постоянной скоростью, его решениями являются всевозможные линейные функции

x(t)=kt+C,

Заметим, что в этом случае константа C задаёт значение функции в начальный момент времени t=0.

1.2.4Правая часть, зависящая только от времени

Рассмотрим несколько более сложный пример: пусть функция f(t,x) в правой части (1.4) на самом деле не зависит от x.

˙x=f(t).(1.6)

Задачу отыскания решения такого дифференциального уравнения можно сформулировать следующим образом: для каждого значения независимой переменной t известна производная некоторой функции; найти эту функцию. Нетрудно видеть, что это в точности задача интегрирования (отыскания первообразной). Решение такого уравнения задаётся таким образом неопределенным интегралом, который можно записать в виде

x(t)=∫f(t)dt=∫tt0f(τ)dτ+C. (1.7)

Неопределенный интеграл по определению является семейством функций, а при записи его в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом нужно указывать константу интегрирования явным образом.

1.2.5Начальные условия. Задача Коши

Чтобы выделить среди семейства решений дифференциального уравнения одно, обычно вместе с самим дифференциальным уравнением рассматривают дополнительное соотношение, называемое начальным условием — значение решения в какой-то момент времени (не обязательно t=0) полагают равным константе.

Когда задано дифференциальное уравнение и начальное условие, говорят, что поставлена задача Коши (по-английски Initial Value Problem

). Например, можно рассмотреть такую задачу:

˙x=f(t),x(5)=0(1.8)

Eё решением будет уже только одна функция:

x(t)=∫t5f(τ)dτ(1.9)

Действительно, любой интеграл вида (1. 7) является решением уравнения (1.6), а значит, и функция в (1.9) им является. Остаётся проверить начальное условие. При подстановке t=5 решение x(5)=∫55f(τ)dτ=0, то есть начальное условие выполняется.

Вопрос 1. Каким будет решение уравнения (1.6) при начальном условии x(5)=1?

  x(t)=∫15f(τ)dτ

Неверный ответ. Неверно, эта функция вообще является константой.

  x(t)=∫t5f(σ)dσ+1

Верный ответ. Верно!

  x(t)=∫ttf(τ)dτ+1

Неверный ответ. Неверно, обратите внимание на пределы интегрирования.

1.2.6Простейшее линейное уравнение

Положим в уравнении роста населения k=1. Получим следующее уравнение:

˙x=x(1.10)

Какие функции будут его решениями? Словами можно сказать, что условие, накладываемое этим уравнением, звучит так: «Производная функции равна самой этой функции».

Одна известная функция обладает таким свойством — это экспонента x(t)=et. Нетрудно видеть, что если умножить экспоненту на любое число, получающаяся функция x(t)=Cet также будет решением этого уравнения. В частности, очевидно, что решением будет функция x(t)≡0.

Вопрос 2. Является ли решением уравнения (1.10) функция x(t)=et+C при C≠0?

  Да, при любых C≠0.

Неверный ответ. Это неверно, попробуйте подставить функцию в уравнение и посчитать производную.

  При некоторых C≠0 является, а при других нет.

Неверный ответ. Это неверно, попробуйте подставить функцию в уравнение и посчитать производную.

  Не является ни при каких C≠0.

Верный ответ. Верно, если подставить функцию в уравнение, C уничтожится при дифференцировании в левой части, но не уничтожится в правой. Таким образом, уравнение (1. 10) принципиально отличается от уравнений вида (1.6), рассмотренных ранее.

1.3Геометрические объекты

В рассмотренных выше примерах неизвестная функция x(t) принимала значения во множестве вещественных чисел. В общем случае функция x(t) может принимать значения в других множествах — например, в многомерных пространствах. Множество, в котором принимает значение неизвестная функция (или, иными словами, множество всевозможных значений x(t) при каком-нибудь фиксированном t) называется фазовым пространством дифференциального уравнения. Множество точек вида (t,x) (декартово произведение фазового пространства на ось времени) называется расширенным фазовым пространством. График решения называется интегральной кривой. Интегральные кривые живут в расширенном фазовом пространстве. Построим некоторые интегральные кривые для уравнения ˙x=x. Как мы уже знаем, ими будут графики экспонент.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr. odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.rcParams['figure.figsize'] = (8, 6)
ob.axes4x4()
initials = list(range(-5, -1)) + [0.15] + [x/np.exp(1) for x in [1, 2, 3]]
initials.extend([-x for x in initials])
initials.append(0)
for C in initials:
    ob.mplot(np.linspace(-4,4),lambda t, C=C: C * np.exp(t),
             color='steelblue', linewidth=1.5) 

Рис. 1.1: Графики решений дифференциального уравнения ˙x=x

Если бы мы не знали, какие на самом деле решения нашего дифференциального уравнения (а это наиболее распространенный случай, чаще всего дифференциальные уравнения не решаются явно), мы всё равно могли бы примерно представить себе, как выглядят интегральные кривые. Чтобы это сделать, нам нужно построить поле направлений или поле прямых.

Вот что это такое. Возьмём произвольную точку P=(t0,x0) расширенного фазового пространства. Например, t0=1, x0=3. Мы можем провести в точке P касательную к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Действительно, чтобы провести прямую через фиксированную точку, нужно знать только её угловой коэффициент, но угловой коэффициент касательной к графику некоторой функции равняется производной этой функции. А производную решения мы знаем, по определению решения она равна правой части уравнения. Для уравнения (1.10) правая часть в точке x равна x и, значит, касательная, проходящая через точку P, имеет угловой коэффициент, равный x0=3. Можно взять ещё несколько точек на прямой t=1 и провести соответствующие касательные через них. Получится такая картинка, см. рис. 1.2.

Рис. 1.2: Касательные к решениям

Вопрос 3. Почему прямые пересекаются в начале координат?

Понятно, что можно, действуя аналогично, построить касательные к решениям не только в выбранных точках, но и вообще в любой точке расширенного фазового пространства. В данном случае правая часть не зависит от t явно, поэтому через любые две точки, лежащие на одной горизонтальной прямой, будут проходить параллельные касательные. Мы будем рисовать только маленькие кусочки этих касательных.

Рис. 1.3: Поле направлений

На картинке изображены прямые, проходящие через какие-то конкретные точки, но на самом деле такая прямая может быть проведена через любую точку. Вся совокупность этих прямых и будет полем направлений.

Рис. 1.4: Поле направлений и интегральные кривые

Теперь задача отыскания решения дифференциального уравнения сводится к такой геометрической задаче: нужно найти кривую, которая в каждой своей точке касается прямой, принадлежащей полю направлений и проходящей через эту точку.

Эта интерпретация скоро окажется для нас очень полезной.

Дифференциальные уравнения используются для моделирования процессов, в которых участвует время. Предмет рассмотрения нашего курса — обыкновенные дифференциальные уравнения, они имеют вид ˙x=f(t,x), где x=x(t) — неизвестная функция, определённая на всей оси t или на какой-то его связной компоненте (отрезке, интервале, полуинтервале, луче). Решением дифференциального уравнения всегда является семейство функций; чтобы выбрать из них одну, нужно задать начальное условие. Множество всех возможных значений функции x называется фазовым пространством, а его декартово произведение на ось времени — расширенным фазовым пространством. График решения (кривая в расширенном фазовом пространстве) называется интегральной кривой. Если в каждой точке расширенного фазового пространства провести прямую, уголовой коэффициент которой равен значению правой части уравнения в этой точке, то получится поле прямых или поле направлений. Всякая интегральная кривая в каждой своей точке касается прямой из поля прямых, проходящей через данную точку.

Мы рассмотрели ряд примеров и ввели много новых понятий, но пока ничего не говорили о самом интригующем: как всё-таки решать дифференциальные уравнения? Короткий ответ неутешителен: дифференциальные уравнения обычно не решаются явно. (Если вас это расстраивает, подумайте о том, что обычные алгебраические уравнения начиная с пятой степени тоже как правило не решаются явно. ) Тем не менее, мы научимся решать уравнения некоторых специальных классов (займёмся этим уже в следующей главе), а затем обсудим, что можно сделать с теми уравнениями, которые не решаются.

---

Следующая глава →

2.4. Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называют Линейным, если его можно представить в виде , содержащем неизвестную функцию и ее производную Линейным образом.

Если правая часть уравнения Тождественно равна нулю, то линейное уравнение называют Однородным, если же – Неоднородным.

Рассмотрим два метода решения линейного неоднородного уравнения.

1) Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной.

В соответствии с методом Лагранжа сначала линейное неоднородное уравнение Заменяют соответствующим однородным уравнением .

Однородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделенными переменными , путем деления на функцию При условии . Общий интеграл этого уравнения имеет вид , где функция является некоторой первообразной функции . Преобразуем общий интеграл приведенного уравнения сначала к виду , а затем, потенцируя, к виду . Освобождаясь от знака модуля, найдем общее решение в виде .

В процессе разделения переменных выполнялось деление обеих частей приведенного уравнения на функцию , в результате чего могло быть потеряно решение . После подстановки функции в приведенное уравнение, мы убеждаемся, что действительно является решением. Это решение тем или иным способом должно быть включено в множество всех решений дифференциального уравнения. В нашем случае решение можно включить в общее решение , введя вместо параметра произвольную постоянную , принимающую любые вещественные значения. Таким образом, окончательно получим решение приведенного уравнения в виде .

Произвольную постоянную в полученном решении заменяют на некоторую дифференцируемую функцию , и ищут решение исходного уравнения в форме . Производная этого решения имеет вид .

Подставляя функции и В исходное уравнение, получим уравнение относительно неизвестной функции в виде .

Если общее решение приведенного уравнения и производные функций найдены правильно, то слагаемые, содержащие функцию , обязательно равны между собой, и мы приходим к равносильному уравнению . Это уравнение имеет общее решение вида , где функция есть первообразная функции . Подставляя полученное выражение для в решение , находим решение исходного линейного неоднородного уравнения в виде .

Пример. Решить уравнение .

Так как функции и Входят в наше уравнение линейным образом, а в правой части уравнения имеется функция , то это – линейное неоднородное уравнение первого порядка. Применим метод вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим сначала соответствующее однородное линейное уравнение . Общее решение приведенного уравнения имеет вид .

Следовательно, общее решение исходного уравнения ищем в виде .

Подставляя И в решаемое уравнение, получим или . Отсюда . Окончательно, общее решение исходного уравнения имеет вид .

2) Метод подстановки Бернулли.

Будем искать решение нашего линейного уравнения в виде произведения двух функций, т. е. выполним подстановку . Это возможно, так как любую функцию можно тождественно представить в виде .

Вычислим производную И подставляя функции и В исходное уравнение, получим уравнение . Найдем функцию В таком виде, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим дифференциальное уравнение Относительно функции . Рассматривая метод Лагранжа, мы уже решали аналогичное уравнение Относительно функции. Отсюда, общее решение нашего уравнения имеет вид , где функция является некоторой первообразной функции . Выбирая произвольную постоянную равной единице, мы получим искомую функцию в виде .

Подставляя найденную функцию в уравнение , получим новое уравнение относительно неизвестной функции в виде . Уравнение этого типа также решалось ранее, так что его общее решение можно выписать в виде , где функция – первообразная функции .

Подставляя полученные выражения для И в подстановку , находим, окончательно, решение исходного линейного, неоднородного уравнения в виде .

Пример. Решить уравнение .

Так как функции и Входят в наше уравнение линейным образом, а в правой части уравнения имеется функция , то это – линейное, неоднородное уравнение первого порядка. Применим метод подстановки Бернулли.

Подставляя функции и В исходное уравнение, получим уравнение . Найдем функцию В таком виде, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим дифференциальное уравнение Относительно функции . Разделяя переменные и интегрируя, найдем решение в виде .

Подставляя найденную функцию в уравнение , и учитывая, что при второе слагаемое в левой части уравнения тождественно равно нулю, получим новое уравнение относительно неизвестной функции в виде . Уравнение этого типа также решалось ранее, так что его общее решение можно выписать в виде .

Окончательно, общее решение исходного линейного уравнения имеет вид

.

Отметим, что и метод Лагранжа, и метод Бернулли имеют самостоятельное значение. В дальнейшем метод Лагранжа используется для решения дифференциальных уравнений высших порядков. Метод Бернулли, в частности, позволяет решать нелинейное уравнение специального вида , называемое уравнением Бернулли.

< Предыдущая		Следующая >

Дифференциальное уравнение | Britannica

Ключевые люди:

Поль Пенлеве Софус Ли Джозеф Бертран Джон Винсент Атанасов

Похожие темы:

точное уравнение обыкновенное дифференциальное уравнение граничное значение уравнение в частных производных Уравнение Клеро

Просмотреть весь связанный контент →

дифференциальное уравнение , математическое выражение, содержащее одну или несколько производных, то есть условия, представляющие скорость изменения непрерывно меняющихся величин. Дифференциальные уравнения очень распространены в науке и технике, а также во многих других областях количественных исследований, потому что то, что можно непосредственно наблюдать и измерять для систем, претерпевающих изменения, — это скорость их изменения. Решение дифференциального уравнения — это, вообще говоря, уравнение, выражающее функциональную зависимость одной переменной от одной или нескольких других; оно обычно содержит постоянные члены, которых нет в исходном дифференциальном уравнении. Другими словами, решение дифференциального уравнения дает функцию, которую можно использовать для предсказания поведения исходной системы, по крайней мере, при определенных ограничениях.

Дифференциальные уравнения подразделяются на несколько широких категорий, которые, в свою очередь, подразделяются на множество подкатегорий. Наиболее важными категориями являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Когда функция, участвующая в уравнении, зависит только от одной переменной, ее производные являются обычными производными, и дифференциальное уравнение классифицируется как обыкновенное дифференциальное уравнение. С другой стороны, если функция зависит от нескольких независимых переменных, так что ее производные являются частными производными, дифференциальное уравнение классифицируется как уравнение в частных производных. Ниже приведены примеры обыкновенных дифференциальных уравнений:

Еще из Britannica

анализ: Ньютон и дифференциальные уравнения

В них y обозначает функцию, а t или x является независимой переменной. Символы k и m используются здесь для обозначения конкретных констант.

Какой бы тип ни был, говорят, что дифференциальное уравнение имеет n -й порядок, если оно включает производную n -й порядок, но нет производных более высокого порядка. Уравнение является примером дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. Теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных заметно различаются, и по этой причине эти две категории рассматриваются отдельно.

Вместо одного дифференциального уравнения объектом исследования может быть совместная система таких уравнений. Формулировка законов динамики часто приводит к таким системам. Во многих случаях одно дифференциальное уравнение n -го порядка целесообразно заменить системой n одновременных уравнений, каждое из которых имеет первый порядок, так что можно применять методы линейной алгебры.

Обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором, например, функция и независимая переменная обозначены как y и x , фактически является неявной суммой основных характеристик y как функции x . Эти характеристики, по-видимому, были бы более доступны для анализа, если бы явная формула для и могут быть изготовлены. Такая формула или, по крайней мере, уравнение в x и y (без производных), которое выводится из дифференциального уравнения, называется решением дифференциального уравнения. Процесс вывода решения из уравнения с помощью приложений алгебры и исчисления называется решением или интегрированием уравнения. Однако следует отметить, что дифференциальные уравнения, которые могут быть решены в явном виде, составляют лишь незначительное меньшинство. Таким образом, большинство функций приходится изучать косвенными методами. Даже его существование должно быть доказано, когда нет возможности предъявить его для проверки. На практике методы численного анализа с использованием компьютеров используются для получения полезных приближенных решений.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Эта статья была недавно пересмотрена и обновлена ​​Уильямом Л. Хошем.

4.1 Основы дифференциальных уравнений. Расчет, том 2

Цели обучения

• 4.1.1 Определите порядок дифференциального уравнения.
• 4.1.2 Объясните, что понимается под решением дифференциального уравнения.
• 4.1.3 Различают общее решение и частное решение дифференциального уравнения.
• 4.1.4 Определите проблему начального значения.
• 4.1.5 Определите, является ли данная функция решением дифференциального уравнения или задачи с начальным значением.

Исчисление — это математика изменений, а скорости изменений выражаются производными. Таким образом, один из наиболее распространенных способов использования исчисления состоит в том, чтобы составить уравнение, содержащее неизвестную функцию y=f(x)y=f(x) и ее производную, известную как дифференциальное уравнение . Решение таких уравнений часто дает информацию о том, как изменяются величины, и часто дает представление о том, как и почему происходят изменения.

Методы решения дифференциальных уравнений могут принимать различные формы, включая прямое решение, использование графиков или компьютерные вычисления. Мы вводим основные идеи в этой главе и опишем их более подробно позже в ходе курса. В этом разделе мы изучаем, что такое дифференциальные уравнения, как проверять их решения, некоторые методы, которые используются для их решения, и некоторые примеры распространенных и полезных уравнений.

Общие дифференциальные уравнения

Рассмотрим уравнение y′=3×2,y′=3×2, которое является примером дифференциального уравнения, поскольку оно включает производную. Существует связь между переменными xx и y:yy:y — неизвестная функция x.x. Кроме того, левая часть уравнения является производной от y.y. Поэтому мы можем интерпретировать это уравнение следующим образом: начнем с некоторой функции y=f(x)y=f(x) и возьмем ее производную. Ответ должен быть равен 3×2,3×2. Какая функция имеет производную, равную 3×2?3×2? Одной из таких функций является y=x3,y=x3, поэтому эта функция считается решением дифференциального уравнения.

Определение

Дифференциальное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную функцию y=f(x)y=f(x) и одну или несколько ее производных. Решением дифференциального уравнения является функция y=f(x)y=f(x), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению, когда ff и его производные подставляются в уравнение.

СМИ

Перейдите на этот веб-сайт, чтобы узнать больше по этой теме.

Некоторые примеры дифференциальных уравнений и их решений приведены в таблице 4.1.

Уравнение	Решение
у’=2xy’=2x	у=х2у=х2
у’+3у=6х+11у’+3у=6х+11	у=е-3х+2х+3у=е-3х+2х+3
y′′−3y′+2y=24e−2xy′′−3y′+2y=24e−2x	y=3ex-4e2x+2e-2xy=3ex-4e2x+2e-2x

Стол 4.1 Примеры дифференциальных уравнений и их решения

Обратите внимание, что решение дифференциального уравнения не обязательно уникально, прежде всего потому, что производная константы равна нулю. Например, y=x2+4y=x2+4 также является решением первого дифференциального уравнения в таблице 4.1. Мы вернемся к этой идее немного позже в этом разделе. А пока давайте сосредоточимся на том, что означает, что функция является решением дифференциального уравнения.

Пример 4.1

Проверка решений дифференциальных уравнений

Проверка того, что функция y=e−3x+2x+3y=e−3x+2x+3 является решением дифференциального уравнения y′+3y=6x+11.y′+3y =6х+11.

Решение

Чтобы проверить решение, мы сначала вычисляем y′y′, используя цепное правило для производных. Это дает y′=−3e−3x+2.y′=−3e−3x+2. Затем подставляем yy и y′y′ в левую часть дифференциального уравнения:

(−3e−3x+2)+3(e−3x+2x+3).(−3e−3x+2) +3(е-3х+2х+3).

Полученное выражение можно упростить, сначала распределив его, чтобы убрать скобки, что даст

−3e−3x+2+3e−3x+6x+9.−3e−3x+2+3e−3x+6x+9.

Объединение одинаковых членов приводит к выражению 6x+11,6x+11, равному правой части дифференциального уравнения. Этот результат подтверждает, что y=e−3x+2x+3y=e−3x+2x+3 является решением дифференциального уравнения.

Контрольно-пропускной пункт 4.1

Убедитесь, что y=2e3x−2x−2y=2e3x−2x−2 является решением дифференциального уравнения y′−3y=6x+4.y′−3y=6x+4.

Удобно определять характеристики дифференциальных уравнений, чтобы было легче говорить о них и классифицировать их. Наиболее основной характеристикой дифференциального уравнения является его порядок.

Определение

Порядок дифференциального уравнения — это наивысший порядок любой производной неизвестной функции, входящей в уравнение.

Пример 4.2

Определение порядка дифференциального уравнения

Каков порядок каждого из следующих дифференциальных уравнений?

1. у’-4у=х2-3х+4у’-4у=х2-3х+4
2. x2y‴−3xy″+xy′−3y=sinxx2y‴−3xy″+xy′−3y=sinx
3. 4xy(4)−6x2y″+12x4y=x3−3×2+4x−124xy(4)−6x2y″+12x4y=x3−3×2+4x−12

Решение

1. Старшая производная в уравнении равна y′,y′, поэтому порядок равен 1,1.
2. Старшая производная в уравнении равна y‴,y‴, поэтому порядок равен 3,3.
3. Наибольшая производная в уравнении равна y(4),y(4), поэтому порядок равен 4,4.

Контрольно-пропускной пункт 4.2

Каков порядок следующего дифференциального уравнения?

(x4−3x)y(5)−(3×2+1)y′+3y=sinxcosx(x4−3x)y(5)−(3×2+1)y′+3y=sinxcosx

Общие и частные решения

Мы уже отмечали, что дифференциальное уравнение y′=2xy′=2x имеет по крайней мере два решения: y=x2y=x2 и y=x2+4.y=x2+4. Единственная разница между этими двумя решениями заключается в последнем члене, который является константой. Что, если последний член является другой константой? Будет ли это выражение по-прежнему решением дифференциального уравнения? На самом деле любая функция вида y=x2+C,y=x2+C, где CC представляет любую константу, также является решением. Причина в том, что производная x2+Cx2+C равна 2x,2x, независимо от значения C.C. Можно показать, что любое решение этого дифференциального уравнения должно иметь вид y=x2+C. y=x2+C. Это пример общего решения дифференциального уравнения. График некоторых из этих решений приведен на рис. 4.2. ( Примечание : на этом графике мы использовали четные целые значения для CC в диапазоне от -4−4 до 4,4. На самом деле ограничений на значение C;C нет; это может быть целое число или нет.)

Рисунок 4.2 Семейство решений дифференциального уравнения y′=2x.y′=2x.

В этом примере мы можем выбрать любое желаемое решение; например, y=x2−3y=x2−3 является членом семейства решений этого дифференциального уравнения. Это называется частным решением дифференциального уравнения. Конкретное решение часто может быть однозначно идентифицировано, если нам предоставляется дополнительная информация о проблеме.

Пример 4.3

Поиск частного решения

Найдите частное решение дифференциального уравнения y′=2xy′=2x, проходящего через точку (2,7).(2,7).

Решение

Любая функция вида y=x2+Cy=x2+C является решением этого дифференциального уравнения. Чтобы определить значение C,C, мы подставляем значения x=2x=2 и y=7y=7 в это уравнение и решим для C:C:

y=x2+C7=22+C=4+CC= 3.y=x2+C7=22+C=4+CC=3.

Следовательно, частное решение, проходящее через точку (2,7)(2,7), равно y=x2+3.y=x2+3.

Контрольно-пропускной пункт 4.3

Найдите частное решение дифференциального уравнения

y′=4x+3y′=4x+3

, проходящее через точку (1,7),(1,7), при условии, что y=2×2+3x+Cy =2×2+3x+C является общим решением дифференциального уравнения.

Проблемы с начальным значением

Обычно данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное число решений, поэтому естественно спросить, какое из них мы хотим использовать. Чтобы выбрать одно решение, необходимо больше информации. Некоторая конкретная информация, которая может быть полезна, — это начальное значение, представляющее собой упорядоченную пару, которая используется для поиска определенного решения.

Дифференциальное уравнение вместе с одним или несколькими начальными значениями называется начальной задачей. Общее правило состоит в том, что количество начальных значений, необходимых для начальной задачи, равно порядку дифференциального уравнения. Например, если у нас есть дифференциальное уравнение y′=2x,y′=2x, то y(3)=7y(3)=7 является начальным значением, и вместе эти уравнения образуют начальную задачу. Дифференциальное уравнение y″−3y′+2y=4exy″−3y′+2y=4ex имеет второй порядок, поэтому нам нужны два начальных значения. В задачах с начальным значением порядка больше единицы для независимой переменной следует использовать одно и то же значение. Примером начальных значений для этого уравнения второго порядка могут быть y(0)=2y(0)=2 и y′(0)=−1.y′(0)=−1. Эти два начальных значения вместе с дифференциальным уравнением образуют начальную задачу. Эти проблемы названы так потому, что часто независимой переменной в неизвестной функции является t, t, которая представляет время. Таким образом, значение t=0t=0 представляет собой начало проблемы.

Пример 4.4

Проверка решения задачи с начальными значениями

Проверка того, что функция y=2e−2t+ety=2e−2t+et является решением задачи с начальными значениями

y′+2y=3et,y( 0)=3. y′+2y=3et,y(0)=3.

Решение

Чтобы функция удовлетворяла начальной задаче, она должна удовлетворять как дифференциальному уравнению, так и начальному условию. Чтобы показать, что yy удовлетворяет дифференциальному уравнению, мы начнем с вычисления y′.y′. Это дает y′=−4e−2t+et.y′=−4e−2t+et. Затем мы подставляем как yy, так и y′y′ в левую часть дифференциального уравнения и упрощаем:

y′+2y=(−4e−2t+et)+2(2e−2t+et)=−4e−2t+et+4e−2t+2et=3et.y′+2y=(−4e−2t +et)+2(2e-2t+et)=-4e-2t+et+4e-2t+2et=3et.

Это равно правой части дифференциального уравнения, поэтому y=2e−2t+ety=2e−2t+et решает дифференциальное уравнение. Далее вычисляем y(0):y(0):

y(0)=2e−2(0)+e0=2+1=3.y(0)=2e−2(0)+e0=2 +1=3.

Этот результат подтверждает исходное значение. Следовательно, данная функция удовлетворяет начальной задаче.

Контрольно-пропускной пункт 4.4

Проверить, что y=3e2t+4sinty=3e2t+4sint является решением задачи о начальных значениях

y′−2y=4cost−8sint,y(0)=3. y′−2y=4cost−8sint,y (0)=3.

В примере 4.4 начальная задача состояла из двух частей. Первая часть представляла собой дифференциальное уравнение y′+2y=3et,y′+2y=3et, а вторая часть представляла собой начальное значение y(0)=3.y(0)=3. Эти два уравнения вместе образуют начальную задачу.

В целом то же самое. Начальная задача состоит из двух частей: дифференциального уравнения и начального условия. Дифференциальное уравнение имеет семейство решений, а начальное условие определяет значение C.C. Семейство решений дифференциального уравнения в примере 4.4 задается формулой y=2e−2t+Cet.y=2e−2t+Cet. Это семейство решений показано на рис. 4.3, где конкретное решение y=2e−2t+ety=2e−2t+et помечено.

0 функция меняет направление и плавно возрастает по мере того, как t стремится к бесконечности. Большие значения C имеют более узкую кривую ближе к оси y и при более высоком значении y. Для C = 0 функция стремится к 0, когда t стремится к бесконечности. Для С

Рисунок 4.3 Семейство решений дифференциального уравнения y′+2y=3et. y′+2y=3et. Частное решение y=2e−2t+ety=2e−2t+et помечено.

Пример 4,5

Решение задачи с начальными значениями

Решите следующую задачу с начальными значениями:

y′=3ex+x2−4,y(0)=5.y′=3ex+x2−4,y(0)=5.

Решение

Первым шагом в решении этой задачи с начальными значениями является поиск общего семейства решений. Для этого найдем первообразную обеих частей дифференциального уравнения

∫y′dx=∫(3ex+x2−4)dx,∫y′dx=∫(3ex+x2−4)dx,

а именно ,

y+C1=3ex+13×3−4x+C2.y+C1=3ex+13×3−4x+C2.

(4.1)

Мы можем интегрировать обе стороны, потому что термин и появляется сам по себе. Обратите внимание на две константы интегрирования: C1C1 и C2.C2. Решение уравнения 4.1 для yy дает

y=3ex+13×3-4x+C2-C1.y=3ex+13×3-4x+C2-C1.

Поскольку C1C1 и C2C2 являются константами, C2-C1C2-C1 также является константой. Следовательно, мы можем определить C=C2−C1,C=C2−C1, что приводит к уравнению

y=3ex+13×3−4x+C.y=3ex+13×3−4x+C.

Далее мы определяем значение C.C. Для этого подставим x=0x=0 и y=5y=5 в уравнение 4.1 и решим для C:C:

5=3e0+1303−4(0)+C5=3+CC=2,5=3e0+ 1303−4(0)+C5=3+CC=2.

Теперь подставим значение C=2C=2 в уравнение 4.1. Решение начальной задачи: y=3ex+13×3−4x+2.y=3ex+13×3−4x+2.

Анализ

Разница между общим решением и частным решением заключается в том, что общее решение включает набор функций независимой переменной, определенных явно или неявно. Начальное значение или значения определяют, какое конкретное решение в семействе решений удовлетворяет желаемым условиям.

Контрольно-пропускной пункт 4,5

Решить начальную задачу

y′=x2−4x+3−6ex,y(0)=8.y′=x2−4x+3−6ex,y(0)=8.

В физике и инженерных приложениях мы часто рассматриваем силы, действующие на объект, и используем эту информацию для понимания результирующего движения, которое может произойти. Например, если мы начнем с объекта на поверхности Земли, основной силой, действующей на этот объект, будет гравитация. Физики и инженеры могут использовать эту информацию вместе со вторым законом движения Ньютона (в форме уравнения F=ma, F=ma, где FF представляет силу, mm представляет массу, а aa представляет собой ускорение), чтобы вывести уравнение, которое можно решить. .

Рисунок 4.4 Для бейсбольного мяча, падающего в воздухе, на него действует только сила тяжести (без учета сопротивления воздуха).

На рис. 4.4 мы предполагаем, что единственная сила, действующая на бейсбольный мяч, — это сила тяжести. Это предположение игнорирует сопротивление воздуха. (Сила, вызванная сопротивлением воздуха, будет рассмотрена позже.) Ускорение силы тяжести на поверхности Земли, g, g, составляет приблизительно 9,8 м/с2,9,8 м/с2. Введем систему отсчета, где поверхность Земли находится на высоте 0 метров. Пусть v(t)v(t) представляет собой скорость объекта в метрах в секунду. Если v(t)>0,v(t)>0, мяч поднимается, а если v(t)<0,v(t)<0, мяч падает (рис. 4.5).

0, а стрелка, указывающая вниз, помечена как v(t)

Рисунок 4,5 Возможные скорости подъема/падения бейсбольного мяча.

Наша цель — определить скорость v(t)v(t) в любой момент времени t.t. Для этого поставим задачу с начальным значением. Предположим, что масса мяча равна m,m, где mm измеряется в килограммах. Мы используем второй закон Ньютона, который гласит, что сила, действующая на объект, равна его массе, умноженной на его ускорение (F=ma).(F=ma). Ускорение является производной скорости, поэтому a(t)=v′(t).a(t)=v′(t). Следовательно, сила, действующая на бейсбольный мяч, определяется выражением F=mv′(t).F=mv′(t). Однако эта сила должна быть равна силе тяжести, действующей на объект, которая (опять же с использованием второго закона Ньютона) определяется формулой Fg=-mg, Fg=-mg, поскольку эта сила действует в направлении вниз. Поэтому мы получаем уравнение F=Fg,F=Fg, которое становится mv′(t)=−mg.mv′(t)=−mg. Разделив обе части уравнения на мм, мы получим уравнение 9. 0015

v'(t)=-g.v'(t)=-g.

Обратите внимание, что это дифференциальное уравнение остается неизменным независимо от массы объекта.

Теперь нам нужно начальное значение. Поскольку мы ищем скорость, в контексте задачи имеет смысл предположить, что мы знаем начальную скорость или скорость в момент времени t=0.t=0. Это обозначается как v(0)=v0.v(0)=v0.

Пример 4.6

Скорость движущегося бейсбольного мяча

Бейсбольный мяч брошен вверх с высоты 33 метра над поверхностью Земли с начальной скоростью 10 м/с, 10 м/с, и единственная сила, действующая на него, — сила тяжести. Мяч имеет массу 0,15 кг 0,15 кг.

1. Найдите скорость v(t)v(t) бейсбольного мяча в момент времени t.t.
2. Какова его скорость через 22 секунды?

Решение

1. Исходя из предыдущего обсуждения, дифференциальное уравнение, которое применяется в этой ситуации, имеет вид с2. Начальное условие: v(0)=v0,v(0)=v0, где v0=10м/с, v0=10м/с. Следовательно, начальная задача имеет вид v′(t)=−9,8 м/с2, v(0)=10 м/с. v′(t)=−9,8 м/с2, v(0)=10 м/с.
   Первым шагом в решении этой задачи с начальными значениями является получение первообразной обеих частей дифференциального уравнения. Это дает

   ∫v′(t)dt=∫−9,8dtv(t)=−9,8t+C.∫v′(t)dt=∫−9,8dtv(t)=−9,8t+C.

   
   Следующим шагом является решение для C.C. Для этого подставьте t=0t=0 и v(0)=10:v(0)=10:

   v(t)=-9,8t+Cv(0)=-9,8(0)+C10=C.v( t)=-9,8t+Cv(0)=-9,8(0)+C10=C.

   
   Следовательно, C=10C=10, а функция скорости определяется выражением v(t)=−9,8t+10,v(t)=−9,8t+10.
2. Чтобы найти скорость через 22 секунды, подставьте t=2t=2 в v(t).v(t).

   v(t)=-9,8t+10v(2)=-9,8(2)+10v(2)=-9,6.v(t)=-9,8t+10v(2)=-9,8(2)+10v (2)=-9,6.

   
   Скорость измеряется в метрах в секунду. Поскольку ответ отрицательный, объект падает со скоростью 9,6 м/с. 9,6 м/с.

Контрольно-пропускной пункт 4.6

Предположим, что камень падает из состояния покоя с высоты 100100 метров, и на него действует только сила тяжести. Найдите уравнение для скорости v(t)v(t) как функции времени, измеряемой в метрах в секунду.

Естественный вопрос, который возникает после решения задачи такого типа, заключается в том, на какой высоте объект будет находиться над поверхностью Земли в данный момент времени. Пусть s(t)s(t) обозначает высоту объекта над поверхностью Земли, измеряемую в метрах. Поскольку скорость является производной положения (в данном случае высоты), это предположение дает уравнение s′(t)=v(t).s′(t)=v(t). Необходимо начальное значение; в этом случае хорошо работает начальная высота объекта. Пусть начальная высота задана уравнением s(0)=s0.s(0)=s0. Вместе эти предположения дают начальную задачу

s′(t)=v(t),s(0)=s0.s′(t)=v(t),s(0)=s0.

Если известна функция скорости, то можно найти и функцию положения.

Пример 4.7

Высота движущегося бейсбольного мяча

Бейсбольный мяч брошен вверх с высоты 33 метра над поверхностью Земли с начальной скоростью 10 м/с, 10 м/с, и единственная сила, действующая на него, — сила тяжести. Мяч имеет массу 0,150,15 кг.

1. Найдите положение s(t)s(t) бейсбольного мяча в момент времени t.t.
2. Какова его высота через 22 секунды?

Решение

1. Мы уже знаем, что функция скорости для этой задачи равна v(t)=−9,8t+10,v(t)=−9,8t+10. Начальная высота бейсбольного мяча 33 метра, поэтому s0=3.s0=3. Следовательно, исходная задача для этого примера равна
   . Чтобы решить начальную задачу, мы сначала находим первообразные:

   ∫s′(t)dt=∫−9,8t+10dts(t)=−4,9t2+10t+ C.∫s′(t)dt=∫−9,8t+10dts(t)=−4,9t2+10t+C.

   
   Далее подставляем t=0t=0 и находим C:C:

   s(t)=-4,9t2+10t+Cs(0)=-4,9(0)2+10(0)+C3=C.s(t)=-4,9t2+10t+Cs(0)=-4,9( 0)2+10(0)+С3=С.

   
   Следовательно, функция положения равна s(t)=−4,9t2+10t+3.s(t)=−4,9t2+10t+3.
2. Высота бейсбольного мяча после 2s2s определяется как s(2):s(2):

   s(2)=−4,9(2)2+10(2)+3=−4,9(4)+23=3,4 .s(2)=-4,9(2)2+10(2)+3=-4,9(4)+23=3,4.

   
   Следовательно, бейсбольный мяч находится на высоте 3,43,4 метра над поверхностью Земли через 22 секунды. Стоит отметить, что в процессе решения задачи масса шара полностью нейтрализовалась.

Раздел 4.1 Упражнения

Определите порядок следующих дифференциальных уравнений.

1.

у’+у=3у2у’+у=3у2

2.

(у’)2=у’+2у(у’)2=у’+2у

3.

y‴+y″y′=3x2y‴+y″y′=3×2

4.

y′=y″+3t2y′=y″+3t2

5.

dydt=tdydt=t

6.

dyx+d2ydx2=3x4dydx+d2ydx2=3×4

7.

(dydt)2+8dydt+3y=4t(dydt)2+8dydt+3y=4t

Убедитесь, что следующие функции являются решениями данного дифференциального уравнения.

8.

y=x33y=x33 решает y′=x2y′=x2

9.

y=2e−x+x−1y=2e−x+x−1 решает y′=x−yy′=x−y

10.

y=e3x−ex2y=e3x−ex2 решает y′=3y+exy′=3y+ex

11.

y=11−xy=11−x решает y′=y2y′=y2

12.

y=ex2/2y=ex2/2 решает y′=xyy′=xy

13.

y=4+lnxy=4+lnx решает xy′=1xy′=1

14.

y=3−x+xlnxy=3−x+xlnx решает y′=lnxy′=lnx

15.

y=2ex−x−1y=2ex−x−1 решает y′=y+xy′=y+x

16.

y=ex+sinx2−cosx2y=ex+sinx2−cosx2 решает y′=cosx+yy′=cosx+y

17.

y=πe−cosxy=πe−cosx решает y′=ysinxy′=ysinx

Проверьте следующие общие решения и найдите частное решение.

18.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y′=4x2y′=4×2, которое проходит через (−3,−30),(−3,−30), учитывая, что y=C+4x33y=C+4×33 является общим решение.

19.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y′=3x3y′=3×3, которое проходит через (1,4.75),(1,4.75), при условии, что y=C+3x44y=C+3×44 является общим решением.

20.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y′=3x2yy′=3x2y, которое проходит через (0,12),(0,12), при условии, что y=Cex3y=Cex3 является общим решением.

21.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y′=2xyy′=2xy, которое проходит через (0,12),(0,12), при условии, что y=Cex2y=Cex2 является общим решением.

22.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y′=(2xy)2y′=(2xy)2, которое проходит через (1,−12),(1,−12), учитывая, что y=−3C+4x3y=− 3С+4х3 — общее решение.

23.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y′x2=yy′x2=y, которое проходит через (1,2e),(1,2e), при условии, что y=Ce−1/xy=Ce−1/x равно общее решение.

24.

Найдите частное решение дифференциального уравнения 8dxdt=−2cos(2t)−cos(4t)8dxdt=−2cos(2t)−cos(4t), которое проходит через (π,π),(π,π), при заданных что x=C−18sin(2t)−132sin(4t)x=C−18sin(2t)−132sin(4t) является общим решением.

25.

Найдите частное решение дифференциального уравнения dudt=tanududt=tanu, проходящее через (1,π2),(1,π2), при условии, что u=sin−1(eC+t)u=sin−1(eC+ т) является общим решением.

26.

Найдите частное решение дифференциального уравнения dydt=e(t+y)dydt=e(t+y), которое проходит через (1,0),(1,0), при условии, что y=−ln(C− et)y=−ln(C−et) является общим решением.

27.

Найдите частное решение дифференциального уравнения y′(1−x2)=1+yy′(1−x2)=1+y, которое проходит через (0,−2),(0,−2), учитывая, что y=Cx+11−x−1y=Cx+11−x−1 является общим решением.

Для следующих задач найдите общее решение дифференциального уравнения.

28.

у’=3x+exy’=3x+ex

29.

y’=lnx+tanxy’=lnx+tanx

30.

y’=sinxecosxy’=sinxecosx

31.

у’=4xy’=4x

32.

у’=sin-1(2x)y’=sin-1(2x)

33.

у’=2tt2+16y’=2tt2+16

34.

x’=cotht+lnt+3t2x’=cotht+lnt+3t2

35.

х’=t4+tx’=t4+t

36.

у’=уу’=у

37.

у’=уху’=ух

Решите следующие начальные задачи, начиная с y(0)=1y(0)=1 и y(0)=−1.y(0)=−1. Нарисуйте оба решения на одном графике.

38.

dydt=2tdydt=2t

39.

dydt=-tdydt=-t

40.

dydt=2ydydt=2y

41.

dydt=-ydydt=-y

42.

dydt=2dydt=2

Решите следующие начальные задачи, начиная с y0=10.y0=10. В какой момент yy увеличивается до 100 100 или падает до 1–1?

43.

dydt=4tdydt=4t

44.

dydt=4ydydt=4y

45.

dydt=−2ydydt=−2y

46.

dydt=e4tdydt=e4t

47.

dydt=e-4tdydt=e-4t

Напомним, что семейство решений включает в себя решения дифференциального уравнения, отличающиеся на константу. Для следующих задач используйте свой калькулятор, чтобы построить график семейства решений данного дифференциального уравнения. Используйте начальные условия от y(t=0)=-10y(t=0)=-10 до y(t=0)=10y(t=0)=10, увеличивая на 2,2. Есть ли критическая точка, в которой поведение решения начинает меняться?

48.

[Т] у’=у(х)у’=у(х)

49.

[Т] ху’=уху’=у

50.

[Т] y’=t3y’=t3

51.

[T] y’=x+yy’=x+y ( Подсказка: y=Cex-x-1y=Cex-x-1 является общим решением)

52.

[T] y′=xlnx+sinxy′=xlnx+sinx

53.

Найдите общее решение, описывающее скорость мяча массой 1 фунт 1 фунт, брошенного вверх со скоростью aa фут/сек.

54.

В предыдущей задаче, если начальная скорость мяча, брошенного в воздух, равна a=25a=25 фут/с, запишите частное решение скорости мяча. Решите, чтобы найти время, когда мяч коснется земли.

55.

Вы бросаете вверх в воздух два объекта с разными массами m1m1 и m2m2 с одинаковой начальной скоростью aa фут/с. Как изменится их скорость через 11 секунд?

56.

[Т] Вы бросаете мяч массой 11 кг вверх со скоростью a=25a=25 м/с на Марс, где ускорение свободного падения g=−3,711g=−3,711 м/с ² . С помощью калькулятора вычислите, насколько дольше мяч находится в воздухе на Марсе, чем на Земле, где g=-9,8 м/с2g=-9,8 м/с2.

57.

[T] В предыдущей задаче с помощью калькулятора вычислите, насколько выше поднялся мяч на Марсе, где g=-9,8 м/с2g=-9,8 м/с2.

58.

[T] Автомобиль на автостраде ускоряется по закону a=15cos(πt),a=15cos(πt), где tt измеряется в часах. Составьте и решите дифференциальное уравнение, чтобы определить скорость автомобиля, если его начальная скорость равна 5050 миль в час.