Дифуры первого порядка: 13. Дифференциальные уравнения первого порядка

13. Дифференциальные уравнения первого порядка

При изучении интегрального исчисления функций одной переменной мы сталкивались с необходимостью отыскивать неизвестную функцию У По ее производной или дифференциалу.

Уравнение

(*)

Где У — Неизвестная функция от Х,Заданная функция, является простейшим Дифференциальным уравнением. Для его решения, т. е. для отыскания неизвестной функции У, нужно проинтегрировать данную функцию . При этом, как известно, мы получим бесчисленное множество функций, каждая из которых будет удовлетворять условию (*). В этой главе нам удобнее будет под интегралом понимать какую-либо одну первообразную. Тогда любое решение уравнения (*) запишется в виде

Вскоре мы увидим, что гораздо чаще нам приходится иметь дело с уравнениями более сложного вида. Именно в эти уравнения, помимо производной У’ и независимой переменной Х, может входить и сама неизвестная функция У. Примером тому служат уравнения

и т. д.

Заменяя У’ на , можно эти самые уравнения переписать в дифференциальной форме:

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производную.

Так как производную можно представить в виде отношения дифференциалов, то уравнение может содержать не производную, а дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Мы будем рассматривать только такие уравнения, в которых неизвестная функция зависит от одного аргумента.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде записывается так:

В частных случаях в левую часть уравнения могут не входить

Х или У, но всегда обязательно входит У’. Нам придется в основном иметь дело с уравнениями, разрешенными относительно производной, т. е. вида

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, обращающая уравнение в тождество при подстановке в него этой функции и ее производной взамен неизвестной функции и ее производной.

Простейшие примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесчисленное множество решений. Мы наблюдали это уже на примере уравнения (*). Простой проверкой легко убедиться также, что уравнение имеет решениями функции , а уравнение функции , где

С — Любое число.

Уравнение имеет решениями функции .

В самом деле, найдя производную и подставив ее в уравнение, получим тождество

Как мы видим, в решения приведенных дифференциальных уравнений входит Произвольная постоянная С; придавая ей различные значения, мы будем получать разные решения.

Несмотря на то, что рассмотренные примеры носят частный характер, мы все-таки, не приводя доказательства, сделаем следующий общий вывод:

Любое дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, которые определяются формулой, содержащей одну произвольную постоянную. Эту совокупность решений будем записывать так:

.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется совокупность его решений, определяемая формулой , где С — произвольная постоянная.

Придавая произвольной постоянной С определенные числовые значения, мы будем получать Частные решения.

В дальнейшем при решении конкретных задач нас будут интересовать преимущественно частные решения. Необходимо выяснить, каким же образом из общего решения можно выделить требуемое решение. Зададим для этого начальное условие.

Задать начальное условие дифференциального уравнения первого порядка это значит указать пару соответствующих друг другу значений независимой переменной и функции. Записывают это так:

.

Покажем на примере, как по общему решению и заданному начальному условию можно отыскивать соответствующее этому условию частное решение.

Выше мы видели, что уравнение имеет общее решение . Зададим начальное условие . Подставив эти значения Х и У В общее решение, найдем С: 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция У = 3Х удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и начальному условию.

Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, существует, а также что оно будет единственным, выясняется теоремой, которую мы приведем без доказательства.

Теорема существования и единственности решения. Если функция непрерывна в области, содержащей точку , то существует решение уравнения такое, что У обращается в при .

Если, кроме того, непрерывна также и частная производная , то это решение уравнения единственно.

Перейдем теперь к геометрической иллюстрации введенных понятий.

График любого частного решения дифференциального уравнения называется

Интегральной кривой. Общему решению соответствует Семейство интегральных кривых. Так как мы уже проверили, что уравнение имеет общее решение , то соответствующее ему семейство интегральных кривых — пучок прямых, проходящих через начало координат

(рис. 1). Уравнение имеет общее решение . Ему соответствует семейство равнобочных гипербол, асимптотами которых являются оси координат (рис. 2), а также прямая У = 0.

Задание начального условия , означает задание точки , через которую должна проходить интегральная кривая, соответствующая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения по начальному условию геометрически означает, что из семейства интегральных кривых мы выбираем ту, которая проходит через точку . Согласно теореме существования и единственности решения через каждую точку, в которой функции и непрерывны, проходит одна-единственная интегральная кривая. Если в данной точке эти условия нарушены, то это означает, что через эту точку либо вообще не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит несколько. Возьмем, например, уравнение

. Из рис. 1 видно, что через начало КоОрдинат проходит бесчисленное множество его интегральных кривых. Это не противоречит теореме, так как в точке (0, 0) условия теоремы существования нарушены: правая часть уравнения становится неопределенной.
В дальнейшем всегда предполагается, что если мы отыскиваем частное решение уравнения по заданным начальным условиям , то в точке выполняются условия теоремы существования и единственности. Такие начальные условия будем называть Возможными.

Теперь мы можем уточнить определение общего решения:

Общее решение дифференциального уравнения

обладает тем свойством, что из него по любому заданному возможному начальному условию может быть найдено частное решение, удовлетворяющее этому условию.

Это означает, что, подставляя в общее решение значения и , мы получаем уравнение относительно С: , из которого всегда может быть найдено одно-единственное значение . Функция и будет искомым частным решением.

Отметим еще, что отыскание решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения.

Перейдем теперь к приемам решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

< Предыдущая   Следующая >

Сообщество Экспонента

  • вопрос
  • 14. 2 (вольт – частотная корректировка) 3. Добавить вентиляторную…

    1 Ответ

    • ПЧ
    • Скалярное управление
    • АД

    14.12.2022

    • Отвеченный вопрос
    • 13.12.2022

    Другое, Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов

    Здравствуйте. Подскажите пожалуйста как (и можно ли вообще) решить систему квадратных уравнений. eqn1=(x-y)/(A0-x-y)/(m0-x-2*y)==K1; eqn2=y/(x-y)/(m0-x-2*y)==K2; То есть выразить переменные x и y чер…

    Здравствуйте. Подскажите пожалуйста как (и можно ли вообще) решить систему квадратных уравнений. eqn1=(x-y)/(A0-x-y)/(m0-x-2*y)==K1; eqn2=y/(x-y)/(m0-x-2*y)==K2; То есть выразить переменные x и y чер…

    5 Ответов

    • Публикация
    • 07.12.2022

    Электропривод и силовая электроника

    Наша команда представила решение для электроэнергетической отрасли на базе КПМ РИТМ. В очередной раз мы провели демонстрацию работы стенда с терминалами РЗиА (ВАЖНО! – мы не занимаемся рекламой сипротеков, на их месте может быть любой терминал, в том числе и В. ..

    На прошлой неделе прошел международный форум «Электрические сети», который объединил десятки ведущих представителей профессионального сообщества электроэнергетики, а также задал вектор развития для внедрения новых прорывных технологий.

    • Электропривод
    • электроэнергетика

    07.12.2022

    • Публикация
    • 07.12.2022

    Робототехника и беспилотники

    В докладе будет рассказано о применении алгоритмов обучения с подкреплением к различным задачам: от простых игровых задач до задачи навигации мобильного робота. Также будут представлены результаты сравнения различных алгоритмов в задачах избежания столкновения…

    Приглашаем на вебинар «Обучение с подкреплением: от игр к реальным задачам», который пройдет 13 декабря в 10:00.

    В настоящее время технологии обучения с подкреплением активно применяются во многих сферах: от ритейла до автономных транспортных средств. Может быть лучше: основной сложностью этого подхода является отсутствие размеченных данных, и, к сожалению, нет формализованного подхода как данные могут быть размечены для этой задачи. Другая сложность — это формализация функции вознаграждения. От удачного ее выбора зависит конечный успех настройки алгоритма управления.

    • MATLAB
    • Simulink
    • САУ
    • МОП
    • Модельно ориентированное проектирование
    • Искусственный интеллект

    07.12.2022

    • вопрос
    • 07.12.2022

    Системы связи, Цифровая обработка сигналов, ПЛИС и СнК, Другое

    Здравствуйте! У меня вопрос по поводу дифференциальной квадратурной фазовой модуляции (DQPSK), которая применяется в стандарте связи TETRA.  Мне необходимо построить сигнал с данной модуляцией и…

    Здравствуйте! У меня вопрос по поводу дифференциальной квадратурной фазовой модуляции (DQPSK), которая применяется в стандарте связи TETRA.  Мне необходимо построить сигнал с данной модуляцией и…

    13 Ответов

    • вопрос
    • 07. 12.2022

    Изображения и видео, Математика и статистика, Автоматизация испытаний, Другое

    Добрый день, мне нужно выполнить в матлаб вычитание постоянного наклона для изображения, полученного атомно-силовым микроскопом. Изображение представляет собой квадратную матрицу. Для этого требуется…

    Добрый день, мне нужно выполнить в матлаб вычитание постоянного наклона для изображения, полученного атомно-силовым микроскопом. Изображение представляет собой квадратную матрицу. Для этого требуется…

    6 Ответов

    • вопрос
    • 06.12.2022

    Математика и статистика, Системы управления, Изображения и видео, Робототехника и беспилотники, Глубокое и машинное обучение(ИИ)

    Коллеги, добрый день.     Как правильно орудоватьть fprintf, чтобы получить лог-файл следующего вида дата tab событие дата tab событие ….   Я прорбую вот так: fid1=fopen(fullfile(app….

    Коллеги, добрый день.     Как правильно орудоватьть fprintf, чтобы получить лог-файл следующего вида дата tab событие дата tab событие ….   Я прорбую вот так: fid1=fopen(fullfile(app….

    1 Ответ

    • вопрос
    • 05.12.2022

    Системы управления, Изображения и видео, Робототехника и беспилотники, Глубокое и машинное обучение(ИИ), Другое

    Дорогой, hub/exponenta/   подсткажите, пожалуйста, есть ли какая-нибудь разница при запуске в среде Апп дизайнера и откомпелировангого проекта? В среде Апп дизайнера файл создается с помощью функ…

    Дорогой, hub/exponenta/   подсткажите, пожалуйста, есть ли какая-нибудь разница при запуске в среде Апп дизайнера и откомпелировангого проекта? В среде Апп дизайнера файл создается с помощью функ…

    1 Ответ

    • вопрос
    • 05.12.2022

    Системы управления, Робототехника и беспилотники, Математика и статистика, Верификация и валидация, Встраиваемые системы, Автоматизация испытаний, Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Другое

    Здравствуйте, никак не пойму как нужно соединить блоки, чтобы построить систему. Пожалуйста помогите, спасибо. Задание. Моделирование работы магазина.Требуется промоделировать работу небольшого магази…

    Здравствуйте, никак не пойму как нужно соединить блоки, чтобы построить систему. Пожалуйста помогите, спасибо. Задание. Моделирование работы магазина.Требуется промоделировать работу небольшого магази…

    • вопрос
    • 04.12.2022

    Другое

    У вас на сайте была переведенная на русский документация MATLAB? Не могу найти.

    У вас на сайте была переведенная на русский документация MATLAB? Не могу найти.

    4 Ответа

    Фигурка штурмовика Первого Ордена Звездных войн в масштабе 1/6 от Hot

    • Коллекционные предметы
    • Звездные войны
    • Штурмовик
    • Штурмовик Первого Ордена

    https://www.sideshow.com/collectibles/2938

    • Штурмовик (версия для Chrome)
    • Дарт Вейдер и штурмовик Кофеварка на одну чашку с двумя кружками
    • Рюкзак Stormtrooper Lenticular Mini
    • Очиститель Солдат

    Шестая фигурка в масштабе к Горячие игрушки Серия киношедевров

    Горячие игрушки

    204,99 $

    Не более 1 на человека.

    Добавить в список желаний

    Поделиться / обратиться

    Дать подсказку

    Выбрать валюту

    Найти локально

    Насколько велик этот предмет коллекционирования?
    Сравнение размеров просмотра