Для чего нужен момент инерции: Ваш браузер не поддерживается

Центробежный момент инерции, теория и примеры

Центробежный момент инерции тела

Допустим, что имеется система координат с началом в точке O и осями OX; OY; OZ. По отношению к данным осям центробежными моментами инерции (произведениями инерции) называются величины , которые определяются равенствами:

   

где – массы материальных точек, на которые разбивают тело; – координаты соответствующих материальных точек.

Центробежный момент инерции обладает свойством симметрии, это следует из его определения:

   

Если тело можно считать сплошным (непрерывным), то определение центробежного момента инерции записывают как:

   

Центробежные моменты тела могут быть положительными и отрицательными, при определённом выборе осей OXYZ они могут обращаться в ноль.

Для центробежных моментов инерции существует аналог теоремы Штейнберга. Если рассмотреть две системы координат: и . Одна из этих систем имеет начало координат в центе масс тела (точка C), оси систем координат являются попарно параллельными ().

Пусть в системе координат координатами центра масс тела являются (), тогда:

   

где – масса тела.

Главные оси инерции тела

Пусть однородное тело имеет ось симметрии. Построим координатные оси так, чтобы ось OZ была направлена вдоль оси симметрии тела. Тогда, как следствие симметрии каждой точке тела с массой и координатами соответствует точка, имеющая другой индекс, но такую же массу и координаты: . В результате получаем, что:

   

так как в данных суммах все слагаемые имеют свою равную по величине, но противоположную по знаку пару. Выражения (4) эквивалентны записи:

   

Мы получили, что осевая симметрия распределения масс по отношению к оси OZ характеризуется равенством нулю двух центробежных моментов инерции (5), которые содержат среди своих индексов наименование этой оси. В таком случае ось OZ называется главной осью инерции тела для точки О.

Главная ось инерции не всегда является осью симметрии тела. Если тело обладает плоскостью симметрии, то любая ось, которая перпендикулярна этой плоскости, является главной осью инерции для точки O, в которой ось пересекает рассматриваемую плоскость. Равенства (5) отображают условия того, что ось OZ является главной осью инерции тела для точки O (начала координат). Если выполняются условия:

   

то ось OY будет для точки O главной осью инерции.

В том случае, если выполняются равенства:

   

то все три координатные оси системы координат OXYZ являются главными осями инерции тела для начала координат.

Моменты инерции тела по отношению к главным осям инерции называются главными моментами инерции тела. Главные оси инерции, которые построены для центра масс тела, носят название главных центральных осей инерции тела.

Если тело обладает осью симметрии, то она является одной из главных центральных осей инерции тела, поскольку центр масс находится на этой оси. В том случае, если тело имеет плоскость симметрии, то ось, нормальная к этой плоскости и проходящая через центр масс тела является одной из главных центральных осей инерции тела.

Понятие главных осей инерции в динамике твердого тела имеет существенное значение. Если вдоль них направить оси координат OXYZ, то все центробежные моменты инерции становятся равными нулю, при этом значительно упрощаются формулы, которые следует применять при решении задач динамики. С понятием о главных осях инерции связано решение задач о динамическом уравнении тела находящегося во вращении и о центре удара.

Момент инерции тела ( и центробежный в том числе) в международной системем единиц измеряются в:

   

Центробежный момент инерции сечения

Центробежным моментом инерции сечения (плоской фигуры) относительно двух взаимно нормальных осей (OX и OY) называют величину, равную:

   

выражение (8) говорит о том, что центробежный момент инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей есть сумма произведений элементарных площадок () на расстояния от них до рассматриваемых осей, по всей площади S.

Единицей измерения моментов инерции сечения в СИ является:

   

Центробежный момент инерции сложного сечения по отношению к любым двум взаимно нормальным осям равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей относительно этих осей.

Примеры решения задач

Момент инерции нагрузки и обратная ЭДС шагового двигателя

При выборе шагового двигателя первой характеристикой, на которую обращают внимание, является его выходной крутящий момент. Сразу как следствие возникает вопрос о скорости работы шагового двигателя, так как этот параметр напрямую связан с моментом. Технически подкованные пользователи следующим этапом принимают во внимание момент инерции нагрузки, приведенной к валу двигателя, так как инерционность нагрузки влияет и на требуемый момент, и на точность позиционирования (вернее, на поведение двигателя при разгоне и торможении). Совсем немногие специалисты знают о связи момента инерции с вибрацией двигателя и резонансной частотой двигателя, и принимают во внимание этот аспект. Однако, почти никогда пользователи не учитывают, что инерционная нагрузка в некоторых случаях является причиной выхода из строя шаговых приводов и приводит к непредсказуемым последствиям в результате возникновения больших величин ЭДС.

Давайте вспомним, что такое инерционность нагрузки. Момент инерции – это характеристика объекта, которая препятствует изменению его угловой скорости. В случае разгона двигателя инерционность нагрузки создает дополнительный момент сопротивления, который привод должен преодолеть, и ограничивает максимальные значения скорости и ускорения, при которых шаговый двигатель будет работать. В случае замедления и остановки момент инерции мешает торможению нагрузки.

Еще одна важная особенность работы любого электродвигателя – генерирование обратной электро-движущей силы. Вспомним, что по законам электродинамики на проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует сила Ампера, которая создает крутящий момент. Верно и обратное – при движении проводника в магнитном поле в нем (проводнике) возникает электрический ток (генерируется ЭДС). Таким образом очевидно, что шаговый двигатель может работать и как генератор. Однако, если работа двигателя в качестве генератора не контролируется, это свойство может приводить к негативным последствиям.

При запитанных фазах и корректной коммутации обмоток драйвером движение вала двигателя контролируется блоком управления. В случае внезапного отключения питания фаз двигателя (например, при срабатывании аварийного датчика или обрыве фазы) во время работы на высокой скорости момент инерции нагрузки вызывает дальнейшее вращение ротора. В этот момент вращающийся ротор работает как генератор, продуцируя некоторое значение обратной ЭДС. Чем выше скорость вращения и чем больше индуктивность фаз двигателя, тем выше это значение.

В случае, когда инерционность нагрузки велика, а привод работает на больших скоростях, это значение обратной ЭДС может быть сравнимо или превосходить напряжение, подаваемое на двигатель при коммутации фаз. Это явление зачастую приводит к выходу из строя силовой цепи драйвера управления шаговым двигателем и порче оборудования.

Так как из-за недостаточности исходных данных расчет обратной ЭДС обычно не делается, есть общая рекомендация по выбору шагового двигателя ля работы с инерционной нагрузкой: момент инерции нагрузки должен быть сопоставим с моментом инерции ротора двигателя. Рекомендуемые соотношения моментов инерции – 1:1…1:10. При больших величинах момента инерции могут возникать и проблемы с позиционированием, ухудшаются динамические характеристики системы, возникает опасность выхода системы из строя под воздействием больших величин обратной ЭДС.

Таким образом, мы хотим напомнить, что важнейшим параметром при подборе шагового двигателя является момент инерции нагрузки по нескольким причинам:

• Момент инерции нагрузки, приведенный к валу шагового двигателя, влияет на положение пиков резонанса на кривой зависимости момента от скорости.
• Инерционность нагрузки влияет на вибрацию и шум при работе шагового двигателя.
• Момент инерции нагрузки участвует в создании момента сопротивления при разгоне привода.
• В случае, если инерционность нагрузки слишком большая, может ухудшиться точность позиционирования в результате пропуска двигателем шагов.
• При чрезмерно инерционной нагрузке шаговый двигатель не сможет стартовать.
• Инерционная нагрузка приводит к возникновению обратной ЭДС, которая может вывести из строя блок управления и сопутствующее оборудование.

Моменты инерции эффект – Энциклопедия по машиностроению XXL

При расположении избыточного противовеса диаметрально противоположно пальцу кривошипа (в плоскости шатуна) горизонтальные силы инерции и их моменты уравновешиваются в одной и той же степени. При расположении избыточных противовесов по схеме паровоза ФД процент уравновешивания сил инерции увеличивается, в то время как процент уравновешивания, моментов, вызывающих виляние, уменьшается. Так как для современных мощных паровозов с большой базой и большим моментом инерции эффект виляния проявляется не слишком сильно, следует считать расположение противовесов по схеме паровоза ФД рациональным. Кроме того, следует учесть, что колебательные движения паровоза вызываются не только действием сил инерции неуравновешенных масс. Подёргивание и виляние могут происходить также  [c.183]
Наибольший эффект уравновешивания достигается при условии, когда массы звеньев подобраны и распределены таким образом, чтобы при работе механизмов машины их центры масс были неподвижны и центробежные моменты инерции звеньев относительно осей вращения были равны нулю, а относительно других осей — постоянны. При этом сумма проекций всех сил инерции на координатные оси и моменты сил инерции относительно этих осей равны нулю, а сумма количеств движения постоянна. Выполнение этих условий свидетельствует о полной уравновешенности агрегата. Не все механизмы могут быть полностью уравновешены, но выполнение этого условия требует последовательного решения задач уравновешивания сил инерции звеньев шарнирно-рычажных механизмов, сил инерции вращающихся масс звеньев, сведения до минимума изменения сил, действующих на фундамент.  [c.352]

Следует ли придавать большое значение вопросу об обозначении осей При вычислении моментов инерции путаница в индексах, применение одних и тех же букв для обозначения разных осей и т. д. очень затрудняют решение задач, приводят к лишним ошибкам. В справедливости этих соображений проще всего убедиться чисто экспериментальным путем, т. е. перейти при решении задач на рекомендованную систему обозначений и посмотреть, каков будет эффект.  [c. 117]

Если невозможно уменьшить неравномерность хода при установившемся движении путем понижения колебания момента, то для уменьшения колебания скорости хода искусственно увеличивают момент инерции подвижного звена механизма, прикрепляя к вращающемуся валу дополнительную массу — маховик, что, как видно из формулы (2.13), дает тот же эффект, что и уменьшение колебания момента.  [c.63]

Решение уравнения (5.129) дает два значения частоты р ( . Как показывает анализ, остальные Н — 2 корня формального частотного уравнения в рассмотренном вырожденном случае равны (р = а), причем этот корень при Я > 3 оказывается многократным Хотя при этом число различных корней в рабочем диапазоне частот и сокращается, рассмотренный случай с инженерной точки зрения, по-видимому, нельзя расценивать как желательный. Дело в том, что, как уже отмечалось в п. 21, близость парциальных частот обычно приводит к интенсивной перекачке энергии из одного колебательного контура в другой. При этом резко сокращается фильтрующая способность колебательной системы, возникают биения, повышенный уровень колебаний и т. д. В данной схеме эти эффекты усиливаются по мере приближения приведенного момента инерции механизма к моменту инерции распределительного вала и, наоборот, проявляются в меньшей степени при /о >  [c.218]

В первой графе этой таблицы на схемах балок сосредоточенные точечные массы показаны зачерненными кружками, а сосредоточенные массы, для которых необходимо учесть инерцию поворота и гироскопический эффект, показаны прямоугольниками. В следующих двух графах табл. II.3 даны формулы для подсчета инерционных коэффициентов и им соответствующих (по номерам индексов) коэффициентов влияния a f, в формулах для обозначено М = G/g — величины соответствующих сосредоточенных масс А — массовые экваториальные моменты инерции сосредоточенных масс относительно оси, проходящей через ц. т. этих масс перпендикулярно к плоскости изгиба 0 — массовые моменты инерции сосредоточенных масс относительно оси вращения вала.  [c.78]

Здесь Аф = А — 0 — фиктивные массовые моменты инерции тех дисков, для которых представляется необходимым учет гироскопического эффекта (А — экваториальный, а 0 — осевой моменты инерции) — углы поворотов в плоскости колебаний для соот-ветствуюш,их дисков — прогиб в точке k от единичного момента, приложенного в точке у Mfy — динамический небаланс  [c.129]

Рассмотрим случай, когда сечение вала имеет различные главные моменты инерции (вал со шпоночными канавками или снятыми лысками, вал ротора двухполюсной электрической машины с продольными вырезами для обмотки и т. д.). Положим, что начальный эксцентриситет отсутствует, и не будем принимать во внимание гироскопический эффект. Эти упрощения позволяют наиболее четко определить влияние основной особенности — различия изгибных жесткостей вала. Угловую скорость вращения вала с диском будем считать неизменной во времени.  [c.168]

Гибкие вертикальные роторы, несущие на себе сосредоточенные массы присоединенных деталей, представляют собой одну из разновидностей упругих гироскопических систем. В конструкциях современных высокоскоростных турбомашин они встречаются повсеместно. Повышение скоростей вращения приводит к увеличению гибкости валов, а производительности машин — к росту моментов инерции сосредоточенных масс. Эти факторы в свою очередь усиливают влияние на динамику системы возникающих при вращении гироскопических эффектов, а также поля параллельных оси ротора сил, в котором совершаются его колебания. Для земных объектов это обычно поле сил тяжести.  [c.5]

Для выявления эффектов, создаваемых собственно гидросистемой, приведенный момент инерции рассчитывался по формуле  [c.72]

В дальнейшем будем полагать, что момент инерции вращающихся масс вибратора и маховика пульсатора достаточно велик. Это позволяет пренебречь эффектами неравномерности и исключить из рассмотрения составляющие М р и М р, что, как отмечено выше, равносильно операции усреднения. Учет влияния Мрр и М р на процесс взаимодействия нужен для выяснения флуктуаций to и оценки помех, накладываемых на возбужденные колебания.  [c.17]

Инерция использование (для измерения ускорения или замедления G 01 Р 15/02-15/135 инерционного эффекта на космических летательных аппаратах В 64 G 1/28 при отделении дисперсных частиц от газа или пара В 01 D 45/04-45/10, В 03 С 3/14) определение момента инерции G 01 FI 1/00-1/38 уравновешивание сил инерции F 16 F 15/22-15/26) Инструментальные токарные станки В 23 В 3/02]  [c.87]

Эта инерция, характеризуемая моментом инерции относительно диаметра, может играть весьма существенную роль, особенно для гребных винтов большого диаметра, и замена гребного винта точечной массой может привести к заметным погрешностям. Кроме того, консоль гребного вала на большом участке заключена в ступицу винта, диаметр которой вдвое, а изгибная жесткость в 16 раз больше, чем соответствующие характеристики вала. Это позволяет считать участок консоли, заключенный в ступицу, абсолютно жестким. Наконец, при расчете поперечных колебаний судовых валопроводов следует учитывать собственное вращение винта и гироскопический эффект, характеризуемый моментом инерции тела винта относительно оси вращения.  [c.236]

Анализ частотного уравнения в применении к решаемой задаче позволяет сделать вывод о возможности пренебрежения гироскопическим эффектом и рассмотрения раздельных плоских колебательных движений во взаимно перпендикулярных направлениях, что существенно упрощает вид уравнения и решение его. При этом момент инерции относительно оси вращения исключается и в частотном уравнении остаются только масса винта, момент инерции его относительно диаметра и расстояние от центра инерции до точки крепления — носового среза ступицы винта.  [c.237]

Поучительный случай фреттинг-коррозии в сочетании со схватыванием наблюдался в старой конструкции конического сопряжения воздушного винта с валом, приводимым в движение поршневым двигателем. Винт, обладая большим моментом инерции, вращался равномерно. Вал под действием момента, изменяющегося в соответствии с тангенциальным усилием, вращался с переменной угловой скоростью, что вызывало относительное смещение вала и втулки винта. Такой же эффект оказывал изгиб носка вала. Дополнительно влияли крутильные колебания вала и вибрации лопастей.  [c.222]

Этому случаю соответствует полет без вращения (Ф = 0) или вращающаяся ракета с малым отношением моментов инерции = О, которая не подвержена воздействию эффекта Магнуса (Сз = 0). Уравнение (2.26) принимает вид  [c.154]

Во вращательном КР-спектре водорода наблюдаются линии со следующими смещениями Av относительно возбуждающей линии 354,38 587,06 814,41 и 1034,65 см- . Рассчитайте вращательную постоянную Во, момент инерции /о и межъядерное расстояние Го, пренебрегая эффектом центробежного растяжения.  [c.221]

Моменты инерции отнесены к массе спутника.) Возмущения в радиальной скорости приводят к появлению эллиптичности орбиты (эллиптичность следует понимать в оскулирующем смысле). Для оценки этого эффекта можно приближенно воспользоваться формулами  [c.169]

Гигантскими гироскопами являются планеты. Кинетическая энергия их вращения намного превосходит потенциал внешних гравитационных сил, влияющих на их вращение. Поэтому для многих практических приложений можно считать, что оси вращения планет сохраняют неизменное направление в абсолютном пространстве. Как известно, ось вращения Земли составляет угол 23°,5 с нормалью к плоскости эклиптики (плоскости, в которой Земля движется вокруг Солнца). Однако вывод этот приближенный. На больших интервалах времени малые силы приводят к заметным эффектам. Земля динамически не шар. С большой точностью она обладает динамической симметрией, однако момент инерции относительно оси, проходящей через полюса, больше примерно на 1/300 момента инерции относительно любой экваториальной оси (/3 – 7)/Уз = 1/300. Вследствие сжатия Земли гравитационное притяжение Луны и Солнца создает моменты сил, действующие относительно центра масс Земли. Вследствие действия этих сил ось вращения Земли прецессирует вокруг нормали к эклиптике, т.е. ось вращения Земли движется по конусу с осью, совпадающей с нормалью к  [c.412]

Если моменты инерции всех рамок положить равными нулю, то уравнения (1)-(3) соответствуют уравнениям движения симметричного волчка. Исключая из (3) ф, получим уравнение ф2 — Е ер2), правая часть которого содержит рациональную алгебраическую дробь. Наличие рамок приводит к новым эффектам. Из уравнений (1), (2) находим  [c.291]

Наконец, для построения гироскопических приборов могут быть использованы стоячие волны, образующиеся в замкнутом светопроводе при лазерном когерентном излучении в двух противоположных направлениях. Точность регистрации угловых смещений в принципе оказывается исключительно высокой. Однако, как и во всех остальных видах гироскопических приборов, требуется соответствующая стабильность размеров твердых тел, составляющих основу прибора, что в высшей степени затруднительно. Заметим, что именно нестабильность элементов конструкции явилась основным препятствием создания ряда гироскопических приборов, основанных на механических принципах. Сюда относится, в частности, попытка использования эффекта изменения момента инерции камертона из-за колебания его ножек в различных модификациях вибрационного гироскопа.  [c.254]

Диссипативные эффекты наряду с затуханием угловых скоростей приводят, как правило, в пределе к вращению спутника вокруг оси наибольшего момента инерции (так что вытянутый спутник опрокидывается, а сжатый стабилизируется).  [c.293]

В современных конструкциях волновых передач дисковые генераторы получили достаточно широкое распространение наряду с кулачковыми генераторами (см. ниже). Сравнивая дисковый генератор с кулачковым, можно отметить следующее. Отсутствие гибких подшипников и кулачка определенного профиля упрощает конструкцию. Это имеет значение главным образом в единичном и мелкосерийном производстве. При специализированном массовом производстве кулачковый генератор проще и дешевле. Смещенное положение дисков по оси вала создает неоднозначные условия деформирования гибкого колеса в двух зонах и неуравновешенную нагрузку генератора. Для снижения этого эффекта уменьшают толщину дисков. Обычно Ь га 0, Я. Конструкция дискового генератора затрудняет выполнение самоустанавливающегося (плавающего) закрепления на валу (см. ниже). Без такого закрепления равномерное распределение нагрузки по зонам зацепления можно обеспечить только при повышенной точности изготовления. Момент инерции дискового генератора значительно ниже, чем у кулачкового. Эго может оказаться решающим при выборе типа генератора для передач, к которым предъявляют требования малой инерционности.  [c.94]

При отсутствии сосредоточенных масс и заданной величине консоли гироскопический эффект оказывает заметное влияние лишь при частоте вращения порядка 10 ООО об/мин. При наличии сосредоточенных масс на консоли, что относится к токарным шпинделям, несущим патроны и планшайбы, шлифовальным шпинделям для наружного шлифования, результат будет иным. Например, для шпинделя, на конец которого установлен зажимной патрон массой 10 кг, диаметром 160 мм с моментом инерции 0,325 кгс-см-с , расстояние от мгновенного центра поворота гироскопической массы (массы патрона) до его центра массы будет  [c.51]

Потенциально неблагоприятными с точки зрения возможных критических или окопокритических по характеру эффекта Зом-мерфельда явлений в пусковых резонансных зонах являются машинные агрегаты транспортных машин с ДВС достаточно широкого класса. Агрегатам этого класса машин свойственны компоновочная база значительной длины между двигателем и рабочей машиной (исполнительным механизмом) и большая по сравнению с ДВС величина суммарного момента инерции вращающихся масс последней [22, 28, 109]. Такого рода конструктивно-компоновочные особенности встречаются в судовых и стационарных энергетических установках, в установках различного рода с гидродинамическими передачами, в машинных агрегатах тяжелых транспортных машин с отнесенной от двигателя главной функциональной муфтой сцепления. Схема длинпобазного машинного агрегата с ДВС рассматриваемого типа показана на рис. 91, а.  [c.302]

Если принять во внимание формулы (3.15 а, Ь, с) и учесть, что Шо2о является статическим моментом шатуна относительно оси поршневой втулки, то придем к следующему выводу. Динамический эффект шатуна не изменится, если шатун будет заменен какой-либо другой плоской системой, центр тяжести которой расположен на оси шатуна. Масса, статический момент и момент инерции относительно оси поршневой втулки системы будут такими же, как у шатуна. Наиболее простой системой такого рода являются три материальные точки, жестко соединенные с невесомой осью шатуна, из которых одна расположена на оси поршневой втулки, другая — в центре тяжести шатуна, а третья — на оси кривошипной шейки.  [c.130]

Благодаря малой ширине наблюдаемых спектральных линий и высокой точности измерения частот радиометодами М. с. используют для получения наиб, точных значений ряда атомных и молекулярных констант (напр. , моментов инерции молекул, величие сверхтонкого расщепления уровней энергии в атомах, дипольных моментов молекул и др.) и наблюдения малых смещений и расщеплений уровней энергии, обусловленных тонкими взаимодействиями частиц (напр., эффектов нежёсткости молекул, лэмбовского сдвига уровней в атомах, квадрупольной и магн. структуры уровней в молекулах).  [c.133]

При проектировании длиннобазных установок с ДВС неравенство, обеспечивающее эффективность в указанном смысле применения маховика (увеличения часто не выполняется. Кроме того, возможности увеличения параметра с н обычно существенно ограничены вследствие конструктивно-технологических особенностей установки, например, при использовании унифицированных элементов валопровода. В таких случаях для борьбы с опасными по характеру эффекта Зоммерфельда низкочастотными нестационарными колебаниями в пусковых резонансных зонах длиннобазных установок эффективно используется динамический гаситель [3, 6, 16]. Специальная настройка динамического гасителя показана в табл. 12, где приняты обозначения g, — соответственно коэффициент жесткости упругого соединения и момент инерции маховика гасителя.  [c.377]

К второстепенным положительным эффектам рассмотренной системы следует отнести повышение устойчивости космического аппарата из-за существенного увеличения момента инерции относительно оси собственного вращения уменьшения массы вследсг-  [c.166]

Двухгироскопная гравитационно-гироскопическая система типа V-крен предназначена для стабилизации спутника вокруг центра его масс в орбитальной системе координат. Возникающие в центрально-симметричном гравитационном поле Земли или какой-либо иной планеты гравитационные моменты определенным образом ориентируют его относительно направления гравитационного поля Земли (эффект гантелей). При соответствующем выборе соотношения моментов инерции спутника относительно главных осей его инерции достигается пассивная трехосная стабилизация спутника в орбитальной системе координат, называемая его либрацией. (Об образовании восстанавливающего момента вокруг нормальной оси спутника при естественной его стабилизации в орбитальной системе координат см. гл. 1).  [c.90]

ДЛЯ рассеивания энергии необходимо относительное перемещение отдельных частей тела в этом случае прецессия вызывает периодически ускоренное движение всех частиц космического аппарата, за исключением центра масс. Устанавливая маятниковый механизм,систему с демпфирующей пружиной и массой-наконечником или диск, имеющие отличные от космического аппарата прецессионные характеристики (рис. 27), можно получить в результате две раз- личные динамические системы, перемещающиеся относительно друг друга на демпфирование относительного движения расходуется нежелательный избыток энергии. Наиболее распространенным демпфирующим устройством маятникого типа является расположенная по внешней стороне спутника изогнутая труба с движущимся внутри шаром собственная частота колебаний шара в трубе будет пропорциональна угловой скорости спутника, а вся система будет настроена на условия оптимального рассеивания энергии в широком диапазоне угловых скоростей спутника. Рассеивание энергии происходит за счет ударов, трения или гистерезиса. Иногда в подобном устройстве вместо шара используют ртуть—элемент с упругими и инерционными свойствами. Аналогичного эффекта можно добиться с помощью маятника, если подвеску его инерционной массы выполнить из упругого материала или поместить массу в вязкую среду [4, 9]. Маятник иногда располагают вдоль оси вращения на некотором расстоянии от центра масс с тем, чтобы усилить относительные перемещения, создаваемые прецессионными колебаниями (по сравнению с вариантом, когда тот же самый маятник располагается радиально от центра масс). Для демпфирования можно использовать также диск, помещенный в вязкую среду, поскольку отношения моментов инерции относительно соответствующих осей диска и космического аппарата различны. Аналогичную задачу мог бы выполнить элемент, установленный внутри спутника и вращающийся во много раз быстрее, чем сам спутник (такой элемент можно отнести к гироскопам). В принципе этот метод не отличается от предыдущих в том смысле, что он так-же основан на различии динамических характеристик указанного устройства и космического аппарата и на различии в частотах прецессии. Возникающее при этом относительное перемещение можно ограничить с помощью вязкой среды.  [c.224]

Спектры вибраций в контрольной точке 12 (на подрамнике) при отключенном сцеплении и частоте вращения коленчатого вала 3000 об/мин представлены на рис. 8.7. Здесь в большей степени проявляется несоответствие спектров первой виброопоры со спектрами второй и третьей виброопор. Так как эта точка является ближайшей к источнику вибросигнала, можно предположить, что в этом режиме, на 3000 об/мин, проявляются их нелинейные свойства. Гармоника 360 Гц присутствует в спектрах всех трех виброопор. Вероятнее всего, это четвертая гармоника неуравновешенного момента инерции второго порядка коленчатого вала двигателя. Эта гармоника гасится второй виброопорой на 5 дБ, а третьей на 2 дБ. Спектры высокочастотного диапазона от 500 Гц до 6,4 кГц эффективнее гасятся первой виброопорой. Следует обратить внимание на гармонику 4352 Гц спектре второй виброопоры, которая только на 4,5 дБ меньше амплитуды основной гармоники и полностью отсутствуют в спектрах первой и третьей виброопор. Причина этого эффекта, вероятнее всего, в конструктивных особенностях импортной гидроопоры.  [c.146]

Таким образом, уравнение центрального эллипсоида инерции первого эквивалентного тела может быть получено по формуле (11) в предположении, что неподвижная точка находится в центре первой полости. Мы видим из этого, что эквивалентные тела не зависят от места неподвижной точки О так что, заменив все жидкие массы эквивалентными телами, мы вполне заменяем их механический эффект, будет ли твердое тело вращаться около какой-нибудь неподвижной точки или двигаться свободно (последнее видно из 8). Из того обстоятельства, что эллипсоиды инерции эквивалентных тел заключают внутри себя эллипсоиды инерции соответственных жидких масс, следует, что жвивалентные тела имеют относительно всякой оси меньшие моменты, инерции, нежели соответствующие им окидкие массы.  [c.182]

Таким образом находятся величина н направление момента Вп жироскопа, заменяющего эффект начальных скоростей жидкости в нашей трубке. Определим для нее момент инерции эквивалентного тела. Для этого воспользуемся Ьормз лой (13) первой главы. Предположив, что при дви-  [c.248]

Мы можем получить этот эффект, присоединив к данному те.1у некоторое добавочное твердое тело, которое назовем эквивалентным телом. Эквивалентное тело может иметь моменты инерции, значительно превосходящие моменты инерщш массы жидкости, наполняющей объелг тела (как было показано в конце 23). Этим отличается рассматриваемая задача от задачи о движении твердого тела, содержащего внутри себя жидкость, где момент инерции эквивалентного тела относительно всякой  [c.466]

Представляют интерес тормозные ролики фирмы Фишер и Лудлоу (Англия), применяемые для гравитационных роликовых конвейеров, а также на стеллажах, полки которых выполнены в виде роликовых конвейеров. Конструктивная схема ролика пpeд taвлeнa на рис. 112. Ролик состоит из стальной трубы, насаженной на ось, к которой прикреплены две лопасти. Между кромками лопастей и стенками цилиндра оставлен весьма малый зазор. Внутренняя полость ролика заполнена маслом с повышенной вязкостью. Эффект торможения складывается из двух факторов механического и гидравлического. Механический фактор сосотоит в том, что масло повышает общую массу ролика, создает повышенный момент инерции и неуравновешенность вращающихся масс относительно оси вращения, что увеличивает потери действующих на груз сил при наезде его на ролик.  [c.196]

---

Объем, центр масс, моменты инерции тела, имея только mesh поверхности / Хабр

Для начала нужно обзавестись этим самым “mesh”-ем поверхности, или триангуляцией поверхности, полигональной сеткой, разбиением двумерного многообразия. В данном случае работа будет вестись именно с треугольной сеткой, но все ниже представленные формулы и код (если немного модифицировать), будет работать с сеткой состоящей из любых полигонов. Главное, чтобы они были малые, от этого зависит точность, чем меньше – тем лучше.

Код здесь написан языке Python, mesh импортируется из .stl файла. Откуда он будет импортироваться совершенно неважно, Python дальше будет работать с данными, которые имеют тип массивов numpy.

данные выглядят так

# Треугольники (список треугольников, в каждый из которых входят 3 точки)
[[[-5.0500002e+00  0.0000000e+00  0.0000000e+00]
  [-4.9604182e+00  2.5921434e-02 -3.2746387e-03]
  [-4.9604182e+00  2.5664667e-02 -4.8957970e-03]]

 [[-4.9604182e+00  2.6075900e-02 -1.6405566e-03]
  [-4.9604182e+00  2.5921434e-02 -3.2746387e-03]
  [-5.0500002e+00  0.0000000e+00  0.0000000e+00]]

 [[-4.9604182e+00  2.6127456e-02  0.0000000e+00]
  [-4.9604182e+00  2.6075900e-02 -1.6405566e-03]
  [-5.0500002e+00  0.0000000e+00  0.0000000e+00]]

 ...

 [[-4.8888855e+00  4.6034887e-02 -2.8962698e-03]
  [-4.9604182e+00  2.5921434e-02 -3.2746387e-03]
  [-4.9604182e+00  2.6075900e-02 -1.6405566e-03]]

 [[-4.8888855e+00  4.6034887e-02 -2.8962698e-03]
  [-4.9604182e+00  2.6075900e-02 -1.6405566e-03]
  [-4.8888855e+00  4.6125907e-02  0.0000000e+00]]

 [[-4.8888855e+00  4.6125907e-02  0.0000000e+00]
  [-4.9604182e+00  2.6075900e-02 -1.6405566e-03]
  [-4.9604182e+00  2.6127456e-02  0.0000000e+00]]]
# Нормали к треугольникам (вектора)
[[ 0.27986652 -0.94821906  0.15018432]
 [ 0.27986658 -0.95577824  0.09034719]
 [ 0.27986655 -0.95956516  0.03015531]
 ...
 [ 0.26912326 -0.95883155  0.09063575]
 [ 0.26912323 -0.96263045  0.03025224]
 [ 0.26912326 -0.96263045  0.03025234]]

И здесь это дело импортируется из STL файла, используя библиотеку numpy-stl

# pip install numpy-stl  # чтобы установить библиотеку
my_mesh = mesh.Mesh.from_file('название_файла.STL')
Normals = my_mesh.normals 
Triangles = my_mesh.vectors

# и сразу нормализуем нормали, на всякий пожарный
Nnorm = np.linalg.norm(Normals, axis=1) 
Nnorm = np.tile(Nnorm.reshape(len(Nnorm), 1), (1, 3))
Normals = Normals/Nnorm

Теперь у нас есть треугольники и единичные нормали к ним. Но для дальнейшей работы еще понадобится список площадей треугольников и их центров масс.

Получаем площади треугольников и центры масс треугольников

A, B, C = Triangles[:, 0], Triangles[:, 1], Triangles[:, 2] 
R1, R2 = C-A, B-A

# список центров масс
R = 1/3*(A+B+C)

# список площадей 
S = np.cross(R1, R2)
S = np.linalg.norm(S, axis=1)/2

Теперь у нас есть:

• S – список площадей треугольников

• R – список центров масс треугольников

• Normals – список нормалей к треугольникам

• Triangles – список треугольников (треугольник содержит 3 точки)

Теперь следует напомнить как вычисляются (чисто математически) массы, объемы, площади, центры масс, моменты инерции и что вообще это такое и зачем вообще нужно.

А те кто в теме и сомневаются, что все эти вещи можно вычислять для объемных тел используя только 2d сетку, скажу: это делать можно. И нужно, если лень разбивать 3d область пространства на маленькие элементы – тетраэдры там, призмы.2), или линейная (?? кг/м), то интегралы соответственно будут двойные и простые.

Объяснять зачем нужна масса мало кому нужно, вернее об это знают не только лишь все. Масса на ускорение – это сила. Второй закон Ньютона, известный всем еще с седьмого класса.

Для большинства приложений в инженерии достаточно работать с плотностями, которые постоянны в пространстве и во времени =) Потому мы упростим себе жизнь и вынесем за все интегралы с которыми будем работать все плотности. И даже работать мы будем не с массами, а с площадями и объемами. А когда будем вычислить центры масс, плотности вообще сами по себе сократятся, и неважны.

Кстати, центр масс:

Ну или момент первого порядка, или как там его называют в статистике.

В инженерном деле (конструкторском) центр масс важен, например, для описания движения твердых (недеформируемых) тел. Конструктора помещают туда связанную с телом координатную систему (как-то располагая её относительно тела, под каким-то углом в смысле) и с этих пор тело и связанная кс неразлучны друг с другом и неподвижны друг относительно друга.

Зачем помещают связанную систему в центр масс? Ну так принято, пойдем дальше.

Вот мы пришли к моментам инерции. Момент инерции – это то, что влияет на выбор конструктора, когда перед ним встает задача: как именно закрепить на теле связанную координатную систему.

Удачный выбор закрепления будет влиять вполне конкретно на уравнения движения этого самого тела. Момент инерции – это аналог массы во втором законе Ньютона для точки. Еще говорят “тензор инерции” – он участвует в описании вращательного движения тела, но это далеко не скалярная величина, это не просто число. Тензор инерции имеет валентность матрицы, то есть таблицы порядка 2 на 2 или 3 на 3, в зависимости от размерности пространства.

Ну а закрепляют кс исходя из симметрии тела (корабли, самолеты, дирижабли.. ) имеют зачастую симметрию относительно вертикальной плоскости. Вот поэтому одна из координатных плоскостей кс совпадает с ней. А дальше у нас остается только одна степень свободы как расположить – угол. И обычно одну из осей кс, находящихся в вертикальной плоскости, направляют горизонтально, параллельно земле. Тогда тензор инерции будет иметь почти идеальный диагональный вид, и, кстати, его можно было бы сделать диагональным в любом случае, для любого тела, но всё же кс располагают так как я описал. Ну чтобы диагональные элементы имели более ясный, практичный физический смысл. Что-то далеко я отошел от темы, вычисляется момент инерции так:

это момент инерции для точки, для тела бы записалось как сумма по всем его точкам, или интеграл. А точнее, куча интегралов, в точности 6 различных штук, ведь тензор инерции – симметричная матрица (и еще её всегда можно диагонализировать – повернуть в пространстве координатную систему, относительно которой и вычисляется момент, так, чтобы матрица приняла диагональный вид – все элементы 0, которые не на диагонали).

А еще тензор инерции можно пересчитывать в другие координатные системы смещенные относительно центра масс по теореме Гюйгенса. То есть, есть формула, связывающая моменты инерции в разных координатных системах, и зная в одном можно найти в другом имея только лишь вектор смещения. Но важно! теорема Гюйгенса работает только когда одна из кс расположена в центре масс. Если есть две кс вне центра масс, в формуле будут появляться дополнительные члены (моменты первого порядка).

не нужно это читать

если статья наберет 1000 лайков, в следующих статьях докажу теорему Гюйгенса и повороты тензора инерции в элегантных тензорных обозначениях, которые полюбил Эйншейн..

Вообще и дизлайками не брезгую..

Итак, достаточно. Всё что нужно напомнилось (было напомнено), короче, вспомнено. Восполнено, ладно, клоунада как клоунада, она иногда надо.

А давайте посчитаем все эти вещи просто для поверхности, чтобы набить немного руку?

Масса поверхности получается как сумма площадей всех треугольников умноженная на поверхностную плотность:

def get_m_obolochka(S, rho):
    m = np.sum(S) * rho
    return m

Центр масс поверхности (оболочки):

def get_cm_obolochka(S, R):
    S_sum = np.sum(S)
    cm = np.einsum('ij,i', R, S) / S_sum
    return cm

Момент инерции оболочки:

где матрица вычисляется по приведенной где-то выше формуле, а еще здесь она не умноженная на i-тую массу.

def get_J_for_ob(rho, R, S):
	x, y, z = R[:, 0], R[:, 1], R[:, 2]
	x2, y2, z2 = x**2, y**2, z**2

	Jx, Jy, Jz = y2+z2, x2+z2, x2+y2
	Jxy, Jyz, Jxz = -x*y, -y*z, -x*z

	J = np.array([	[Jx, Jxy, Jxz],
									[Jxy, Jy, Jyz], 
									[Jxz, Jyz, Jz]
							])
	J = J.T # это нужно, потому что если подумать, то нам нужен список J[i] для всех треугольников
	# короче делаем выше правильный shape =)
  J = np.einsum('ijk,i->jk', J, S)*rho
	return J

Теперь, когда размялись, можно приступать к основному, тому, что написано в названии статьи. Вычислим все эти характеристики для объемного тела, которое ограничено mesh-ем, используя только mesh.

Для этого понадобится, внимание… теорема Остроградского-Гаусса:

На мой взгляд это самая красивая теорема математики… на самом деле она вроде как есть частный случай операций над дифференциальными формами, но я не слишком математик, поверхностно знаком 😉 Да… там и теорема Гаусса-Бонне и все в этом духе, это топология, детка. Это всё очень красиво, и может быть я этим когда-нибудь займусь, когда меня освободят из рабства.

Формула позволяет переходить от вычислений по объему, к вычислениям по поверхности, ограничивающей заданный объем. Это можно интерпретировать как проекцию. Мы первое что видим, когда рождаемся – это проекцию трехмерной мамы на нашу двухмерную сетчатку глаза….

Да и куда ни глянь, всё есть проекцией, всё является лишь тенью более сложной “настоящей” вещи, вещи из “реального” мира.. а она в свою очередь – еще одна проекция из следующей итерации, следующего под-уровня реальности, под-Матрицы Вачовской.

Пренебрегая философией, и подбирая векторное поле следующим образом:

мы видим, что дивергенция становится равна:

Это означает, что теперь зная лишь mesh поверхности, мы можем вычислить объем:

Можно сказать, что здесь:

(Центры масс треугольников, напоминаю)

Код:

def Volume(S, R, Normals):
	V = np.einsum('ij,ij,i', R, Normals, S)*1/3 # einsum как работает можно найти в документации
	return V

Но можно обнаглеть, и пойти дальше объема:

Используя ту же теорему и задав вектор F так (для вычисления координаты x):

(чего-то индекс x не туда залез, я его хотел чутка ниже поместить)

Его дивергенция:

Координата центра масс тела:

Аналогичным образом вычисляются остальные две координаты. Компактно это можно записать если ввести операцию покоординатного умножения (использующегося в numpy):

где

Воплощение в коде:

def get_cm_V(S, R, Normals, V_t):
	F = R**2/2
	cm = np.einsum('ij,ij,i->j', F, Normals, S)
	return cm/V_t

Для объемного тела подсчитать тензор инерции можно используя только триангуляцию оболочки, аналогично как делалось для подсчета объема и центра масс:

Где вектор F можно, например, задать так:

Для компоненты должно выполняться:

Соответственно можно задать F:

Аналогично и с остальными компонентами.

def get_J_for_V(S, R, Normals, rho):
	x, y, z = R[:, 0], R[:, 1], R[:, 2]
	x2, y2, z2 = x**2, y**2, z**2

	Fx, Fy, Fz = x*(y2+z2), y*(x2+z2), z*(x2+y2)
	Fxyz = -x*y*z

	Fx, Fy, Fz = Fx[:, None], Fy[:, None], Fz[:, None]
	Fxyz = Fxyz[:, None]

	N = len(x)
	zero = np.zeros((N, 1))

	Fxx, Fyy, Fzz = np.hstack((Fx, zero, zero)), np.hstack((zero, Fy, zero)), np.hstack((zero, zero, Fz))
	Fxy, Fxz, Fyz = np.hstack((zero, zero, Fxyz)), np.hstack((zero, Fxyz, zero)), np.hstack((Fxyz, zero, zero))

	Jx, Jy, Jz = np.einsum('ij,ij,i', Fxx, Normals, S), np.einsum('ij,ij,i', Fyy, Normals, S), np.einsum('ij,ij,i', Fzz, Normals, S)
	Jxy, Jyz, Jxz = np.einsum('ij,ij,i', Fxy, Normals, S), np.einsum('ij,ij,i', Fyz, Normals, S), np.einsum('ij,ij,i', Fxz, Normals, S)

	J = np.array([	[Jx, Jxy, Jxz],
					[Jxy, Jy, Jyz], 
					[Jxz, Jyz, Jz]
				])*rho

	return J
# не так элегантно, но работает вроде.. 

На этом всё, спасибо за внимание.

еще

Если кому не нравится мой стиль повествования и раздражает или обижает, не обижайтесь, пожалуйста, я тоже часто грущу на самом деле… грущу чаще, чем смеюсь и радуюсь, это нормально для таких как мы… Просто, когда сажусь писать на Хабр, чет пробивает на шутки какие-то дурацкие и клоунство. Ну как написал, так написал. Сейчас выложу.
И еще. Кому интересно, я занимаюсь дирижаблестроением, пока что маленьким, но вижу как в будущем из этого зерна прорастает сперва зелень, потом колос, потом полное зерно в колосе. И кому это интересно, пусть связывается со мной, может будем сеять вместе, и вместе пожинать плоды.. Можно тут в личных сообщениях, также я есть на фейсбуке, в телеграме.

А может кто-то хочет помочь материально, тоже пусть свяжется. Так дело пойдет намного быстрее, потому что сейчас я не живу, а выживаю, такая правда.

И еще, скептикам, которые не верят, что маленькие дирижабли способны противостоять ветру:

да, это всего лишь симуляция, но я уверен, что она на 80-90 % совпадет с реальностью…

позже сделаю ветер порывистым, и случайным образом генерирующимся, как по величине скорости, так и по направлению, чтобы было более похоже на реальность…

Подписывайтесь на мой ютуб-канал, это мой видео-дневник дирижаблестроителя

Почему маленьким фигуристкам проще даются сложные прыжки? Дело в инерции и импульсе

Готовьте ваши знания по физике.

В фигурном катании перестали удивляться, что юные, только формирующиеся девушки выполняют четверные прыжки, а их более зрелые и взрослые соперницы, не в состоянии запастись такими элементами, живут без гарантий на призовое место даже при идеальном прокате.

Но почему 15-летним Александра Трусовой и Анна Щербаковой проще совершить четыре оборота в воздухе, чем 23-летней Елизавете Туктамышевой? Почему первые готовы включать сразу несколько квадов в программу, а вторая весь сезон готовит свой четверной и всё равно опасается показывать его на соревнованиях?

Почему в интернете много видео, как юниорки Этери Тутберидзе показывают один сложный прыжок за другим, а Алина Загитова и Евгения Медведева могут похвастаться только попытками на лонже? Помимо очевидных объяснений (возраст, техническая база, риск травм), есть и чисто физиологическое. Оно завязано вокруг понятий импульса и инерции.

Старший научный сотрудник Поволжской академии спорта и туризма Фанис Мавлиев попытался объяснить сложную взаимосвязь простым языком. Далее – его слова.

Фото: Алексей Белкин, БИЗНЕС Online

Сначала разберёмся, от чего зависит вращение во время прыжка:

– техники исполнения, которую можно улучшать посредством тренировок;

– морфологических особенностей спортсмена, которые не подлежат изменению и учитываются на этапе спортивного отбора.

Эффективность вращений (другими словами, их количество), в свою очередь, зависит от:

– высоты прыжка. Чем выше, тем больше возможностей совершить много вращений. Высота, в свою очередь, зависит от взрывной силы ног, соотнесённой с весом спортсмена. Чем больше эта сила и чем меньше вес – тем больше высота. Вопрос развития взрывной силы ног – тема для отдельного исследования, которую здесь мы затрагивать не будем.

– скорости вращения до начала прыжка. Она зависит от технической и физической подготовленности спортсмена.

– повышения скорости вращения в фазе полёта. Нам нужен этот фактор, который определяется как раз морфологическими особенностями.

Фигурист, выполняя вращения во время прыжка, всегда управляет моментом инерции тела. В отличие от момента импульса, который постоянен, инерцию можно менять.

Пример управления моментом инерции – сведение и отведение рук фигуристов в процессе вращения.

• Руки разведены – инерция увеличена и скорость вращения уменьшена.

Фото: Алексей Белкин, БИЗНЕС Online Фото: Алексей Белкин, БИЗНЕС Online

• Руки прижаты – инерция уменьшена и скорость вращения увеличена.

Фото: Алексей Белкин, БИЗНЕС Online Фото: Алексей Белкин, БИЗНЕС Online

Ещё раз. Перед прыжком атлет набирает максимально возможную для себя скорость (а вместе с ней момент импульса) в условиях большего момента инерции. 

Скриншот эфира Первого канала

В процессе отталкивания и полёта максимально снижает момент инерции, что в итоге даёт повышение скорости вращения.

Скриншот эфира Первого канала

Разница между начальным и конечным моментами инерции определяет скорость вращения. В конечном счёте инерция при сведённых руках и ногах (и при прочих равных) наименьшая у людей с небольшими значениями ширины плеч и таза. Руки у них составляют более высокий процент от общей массы тела, чем у людей с большими значениями, соответственно, создают большую разницу.

Скриншот эфира Первого канала

Итого: при условии, что высота у прыжка у фигуристов примерно одинакова, потенциальное количество оборотов будет больше у спортсмена менее развитого в морфологическом плане.

В завершение хотел бы прояснить один момент. Можно найти много научных работ, касающихся кинематических и динамических характеристик в фигурном катании, но исследований касательно изменений моментов инерции, обусловленных морфологической зрелостью спортсмена, я не встречал. Поэтому наш вывод требует научного подтверждения, чтобы перейти из гипотезы в факт.

Фанис Мавлиев

Оценка текста

Расчет геометрических характеристик композитного стержня

26.05.2017

Автор: Амирханов Мурат

В версии Лира 10.6 появилась возможность вычислять геометрические характеристики композитного сечения стержня. Для этого пользователю необходимо перед началом работы в стартовом окне программы Лира 10.6 отметить галочкой соответствующий пункт «Определение упруго-геометрических характеристик композитного поперечного сечения стрежня».

После этого программа сможет запуститься только в режиме формирования плоской схемы – схемы поперечного сечения стержня. Для формирования схемы доступны инструменты аналогичные традиционной: конечные элементы, архитектурные элементы, упаковка и др. Предполагается создание сечения из стержней и пластин. Для пластины не требуется назначение какого-либо параметра сечения, нужен только материал. Для стержня нужен параметр «ширина сечения». Этот параметр помогает при работе со стальными сечениями, ширина присваивается с нулевой привязкой к оси стержня. Рассмотрим пример сталебетонного сечения колонный, состоящей из двутавра стального и бетона:

Схема создана из архитектурных элементов, стержни и пластины. Для расчета схемы не требуется закреплений, главное правильно присвоить материал. После расчета пользователю станет доступным такие показатели как момент инерции, радиус инерции, жесткость и др. Полный список характеристик скачать здесь.

Также в программе возможен вывод напряжений от комбинаций усилий (вкладка спец. результаты – Результаты расчета сечений). Программа выводит напряжения и в бетонном и в стальном сечении

Конечно программа учитывает работу сечения как одно целое, но без проскальзывания на границе материалов.

Таким образом, с помощью нового модуля расчета композитного сечения программа Лира 10.6 может выполнить расчет геометрических характеристик любого составного элемента. При необходимости полученные сечения можно загрузить в модель конструкции и присвоить стержневому элементу. Схема будет рассчитана с учетом полученной жёсткости.

Расчетный файл также работает и в демоверсии ПК ЛИРА 10.6

Вес шпули. – tan_fisher — LiveJournal

Для чего мы измеряем вес шпули?
Вес шпули нужен для приблизительной оценки момента инерции шпули. Момент инерции описывает взаимосвязь между массой и её удаленностью относительно оси вращения. Чем больше масса, чем более удалена она от оси вращения – тем больше момент инерции. Чем больше момент инерции – тем хуже для заброса. Причем, неважно о забросе какого типа приманок идет речь. Распространена такая аналогия с велосипедом: традиционный и ультрасовременый, с карбоновой рамой. Вам ехать в гору и с горы, как аналог стадий заброса приманки. Легкий велосипед легче разгоняется в гору, и легче тормозится при спуске. То же самое и со шпулями и моментом инерции. Поскольку реальный момент инерции, в быту, измерить сложно, мы пользуемся коссвенной оценкой, измеряем вес. Поэтому, если речь об сравнительной оценке шпуль имеющих разницу в 1-2гр, этот метод оценки может пользы не принести. Оценка м.б. только предварительной, реально сравнивать нужно только на практике. Это если “по-колхозному”, без приборов.
Еще несколько очевидных моментов, которые могут быть полезны новичкам.
– Глубокие шпули не предназначены для заброса легких или сильно парусящих приманок.
– Чем больше шнура намотано на шпулю, тем больше момент инерции шпули, тем хуже эта снасть будет кидать более легкие и парусящие приманки. Поэтому, под воблеры, реккомендуется более 60-65м шнура не мотать.
– Более рыхлый/размахрённый шнур впитывает больше воды. По указанным ранее причинам от этого страдает заброс. Отсюда формируется отдно из пожеланий при выборе шнура для кастинга. Кроме того, более плотные шнуры оказываются более скользкими, что уменьшает потери на трение, и опять же способствует увеличению дальности кастинга.
– Красивая иллюстрация для сравнения шпуль: Гигас 103 и 105 (стоковые на классической TD-Z). Их веса очень близки, но 105-я чуть потяжелее, из-за большего диаметра. Чем больше диаметр, тем легче старт, и тем сложнее торможение. Но в целом, про эти две шпули можно сказать, что со 105-ой заброс дается гораздо легче. Она более приспособлена для воблеров. Джиг с неё летит тоже великолепно, только в большинстве случаев лесоемкости этой шпули оказывается мало, по-этому для джига(синоним дальнобойности, а по сути любая малопарусящая приманка) лучше использовать 103-ю шпулю.

Момент инерции площади – типовые сечения I

Момент инерции площади или Момент инерции площади – , также известный как Второй момент площади – I – это свойство формы, которое используется для прогнозирования прогиба, изгиба и напряжения в балках.

Момент инерции площади – Британские единицы

Момент инерции площади – Метрические единицы

Преобразование единиц

• 1 см ⁴ = 10 ^-8 м ⁴ = 10 ⁴ мм ⁴
• 1 дюйм ⁴ = 4.16×10 ⁵ мм ⁴ = 41,6 см ⁴

Пример – преобразование единиц измерения момента инерции

9240 см ⁴ можно преобразовать в мм ⁴ умножением с 10 ⁴

(9240 см ⁴ ) 10 ⁴ = 9,24 10 ⁷ мм ⁴

Момент инерции площади (момент инерции для площади или второй момент площади)

для изгиба вокруг оси x можно выразить как

I _x = ∫ y ² dA (1)

, где

I _x = момент площади инерции относительно оси x ( м ⁴ , мм ⁴ , дюймы ⁴ )

y = перпендикулярное расстояние от ось м x до элемента dA (м, мм, дюймов )

dA = элементарная площадь ( м ² , мм ² , дюймов ² )

Момент инерции изгиба вокруг оси y может быть выражен как

I _y = ∫ x ² dA (2)

где

I _y = момент инерции площади относительно оси y ( м ⁴ , мм ⁴ , дюймы ⁴ )

x = перпендикулярное расстояние от оси y к элементу dA (м, мм, дюймов )

Момент инерции площади для типичного поперечного сечения I

Сплошное квадратное поперечное сечение

Момент инерции площади для сплошного квадратного сечения можно рассчитать как

I _x = a ⁴ /12 (2)

, где

a = сторона (мм, м, дюйм ..)

I _y = a ⁴ /12 (2b)

Сплошное прямоугольное сечение

Момент площади Ineria для прямоугольного сечения можно рассчитать как

I _x = bh ³ /12 (3)

, где

b = ширина

h = высота

I _y = b ³ h / 12 (3b)

Сплошное круглое сечение

Момент инерции площади для сплошного цилиндрического сечения можно рассчитать как

I _x = π r ⁴ /4

= π d ⁴ /64 (4)

где

9 0009 r = радиус

d = диаметр

I _y = π r ⁴ /4

= π d ⁴ /64 (4b)

полый Цилиндрическое поперечное сечение

Момент инерции площади для полого цилиндрического профиля можно рассчитать как

I _x = π (d _o ⁴ – d _i ⁴ ) / 64 ( 5)

где

d _o = внешний диаметр цилиндра

d _i = внутренний диаметр цилиндра

I _y = π (d _o ⁴ – d _i ⁴ ) / 64 (5b)

Квадратное сечение – диагональные моменты

90 002 Диагональные моменты инерции площади для квадратного сечения можно рассчитать как

I _x = I _y = a ⁴ /12 (6)

Прямоугольное сечение – моменты площади на любой линии, проходящей через центр силы тяжести

Прямоугольное сечение и площадь момента на линии, проходящей через центр тяжести, можно рассчитать как

I _x = (bh / 12) (h ² cos ² a + b ² sin ² a) (7)

Симметричная форма

Момент инерции площади для сечения симметричной формы можно рассчитать как

I _x = (ah ³ /12) + (b / 12) (H ³ – h ³ ) (8)

I _y = (a ³ h / 12) + (b ³ /12) (H – h) ( 8b)

Не симметричная форма

Момент инерции площади для несимметричного профиля можно рассчитать как

I _x = (1/3) (B y _b ³ – B ₁ h _b ³ + by _t ³ – b1 h _t ³ ) (9)

Площадь Момент инерции в зависимости отЗависимость полярного момента инерции от момента инерции

• «Момент инерции площади» – это свойство формы, которое используется для прогнозирования прогиба, изгиба и напряжения в балках.
• «Полярный момент инерции» как мера способности балки сопротивление кручению – необходимое для расчета скручивания балки, подверженной действию крутящего момента.
• «Момент инерции» – это мера сопротивления объекта изменению направления вращения.

Модуль упругости сечения

• «Модуль упругости сечения» определяется как W = I / y , где I – момент инерции площади, а y – расстояние от нейтральной оси до любого данного волокна

Момент инерции

Момент инерции системы Частицы

Первый закон движения Ньютона гласит: «Тело поддерживает ток состояние движения, если на него не действует внешняя сила.”Мера инерции в поступательном движении масса системы и ее угловой Аналогом является так называемый момент инерции . Момент инерции тела не связано только с его массой, но также и с распределением массы по всему телу. Итак, два тела одинаковой массы могут обладать разными моментами инерции.

Твердое тело можно рассматривать как систему частиц, в которой взаимное расположение частиц не меняется.Момент инерции одиночного частица ( I ) может быть выражена как

[1]

, где m = масса частицы, а r = масса частицы кратчайшее расстояние от оси вращения до частицы (рис. 1).

Рисунок 1

Как показано в [1], момент инерции равен равна массе, умноженной на квадрат расстояния, и также обозначается как второй момент массы .Масса, умноженная на расстояние, м r , называется первым моментом массы . Эта концепция первого массового момента такова: обычно используется для определения центра масс системы частиц или твердого тела. См. Центр масс-система частиц для Детали.

Расширение [1] для системы частицы:

[2]

Верх

Момент инерции твердого тела

Исходя из [2], можно получить момент инерции жесткого диска, показанного на рисунке 2:

Рисунок 2

[3]

, где r _i = позиция частица i и n = единичный вектор оси вращения.Обратите внимание, что ось вращения проходит через локальную систему отсчета OXYZ . система. Пусть

[4]

и

[5]

, где cos a , cos b & cos g = три направляющих косинуса вектора n в систему XYZ . Подстановка [4] и [5] в [3] приводит к

[6]

где

[7]

I _xx , I _yy и I _zz называются моментами инерции , а I _xy , I _yx , I _yz , I _zy , I _zx , и I _xz произведений инерции .Для твердого тела относительное положение частицы не изменяются, и можно записать [7] как:

[8]

Когда форма и распределение плотности твердого тела точно известно, можно использовать [8] для вычисления моментов и продукты инерции. (См. Уравнения BSP для MOI уравнения типичных геометрических форм, обычно используемых при моделировании человеческого тела.) В противном случае их сложно вычислить путем интеграции.Скорее, момент инерцию необходимо измерять непосредственно от объекта. См. Раздел Измерение MOI. для подробностей.

Верх

Эллипсоид инерции

Моменты и произведения инерции, показанные в [7] и [8] в основном относятся к локальной системе отсчета определены и отражают распределение массы внутри тела по отношению к локальному система отсчета. Как показано в [6], реальный момент инерция твердого тела относительно оси вращения зависит не только от моментов и продукты инерции для данной системы отсчета, а также ориентацию оси вращения, a , b и g .Таким образом, правильнее было бы сказать, что момент инерции твердое тело отражает распределение массы внутри тела относительно оси вращение.

При изменении оси вращения изменяется момент инерции. К ясно покажите этот момент, пусть

[9]

Подставляя [9] в [6], получаем

[10]

Интересно, что [10] достаточно общая форма эллипсоида с центром в начале координат система отсчета.Когда I _xy = I _yz = I _zx = 0, эллипсоид, определенный в [10], однозначно принимает вид симметрично относительно трех осей.

с

[11]

расстояние от центра эллипсоида до поверхности равно 1 деленное на квадратный корень из момента инерции твердого тела для данного ориентация, a , b и g .Эллипсоид, определенный в [10], называется эллипсоид инерции , поскольку он описывает момент инерции объекта как функция ориентации оси вращения.

Верх

Как рассчитать момент инерции балки?

размер шрифта: 15 пикселей;
}
]]>

Как рассчитать момент инерции секции балки
(второй момент площади)

Прежде чем мы найдем момент инерции сечения балки (или второй момент площади сечения балки), необходимо знать его центроид (или центр масс).Например, если требуется момент инерции секции относительно ее горизонтальной (XX) оси, тогда сначала потребуется центроид по вертикали (y) (пожалуйста, просмотрите наше Учебное пособие о том, как рассчитать центроид секции балки).

Прежде чем мы начнем, если вы искали наш калькулятор свободного момента инерции, щелкните ссылку, чтобы узнать больше. Это вычислит центроид, moi и другие результаты и даже покажет вам пошаговые вычисления! А пока давайте посмотрим на пошаговое руководство и пример того, как рассчитать момент инерции:

Шаг 1. Разделите секцию балки на части

При вычислении момента инерции площади мы должны вычислить момент инерции меньших сегментов.Попробуйте разбить их на простые прямоугольные секции. Например, рассмотрим секцию двутавровой балки ниже, которая также была представлена ​​в нашем руководстве по Centroid. Мы решили разделить эту секцию на 3 прямоугольных сегмента:

Шаг 2: Расчет нейтральной оси (NA)

Нейтральная ось (NA) или горизонтальная ось XX расположена в центре тяжести или центре масс. В нашем руководстве по центроидам центр тяжести этой секции ранее находился на расстоянии 216,29 мм от нижней части секции.

Попробуйте наш бесплатный калькулятор момента инерции:

Калькулятор свободного момента инерции

Шаг 3: Расчет момента инерции

Для расчета полного момента инерции секции нам необходимо использовать «Теорему о параллельности оси»:

Поскольку мы разделили его на три прямоугольные части, мы должны вычислить момент инерции каждой из этих частей. Широко известно, что уравнение момента инерции прямоугольника относительно его центральной оси имеет простой вид:

Момент инерции других форм часто указывается на лицевой / оборотной стороне учебников или в этом руководстве по формам момента инерции.Однако прямоугольная форма очень характерна для сечений балок, поэтому, наверное, стоит запомнить.

Теперь у нас есть вся информация, необходимая для использования «теоремы о параллельной оси» и определения полного момента инерции двутавровой балки. В нашем примере момента инерции:

Итак, у вас есть руководство по расчету площади момента для секций балки. Этот результат имеет решающее значение при проектировании конструкций и является важным фактором отклонения балки.Мы надеемся, что вам понравилось это руководство, и с нетерпением ждем ваших комментариев. (См. Формулу момента инерции)

БОНУС: Использование нашего калькулятора момента инерции

Существует множество способов расчета момента инерции, один из них – использование программного обеспечения, упрощающего процесс.

Учетная запись

SkyCiv показывает полные расчеты момента инерции. Этот интерактивный модуль покажет вам пошаговые расчеты того, как найти момент инерции:

Кроме того, вы можете просмотреть результаты нашего калькулятора свободного момента инерции, чтобы проверить свою работу.Это позволит вычислить все свойства вашего поперечного сечения и является полезным справочным материалом для расчета центроида, площади и момента инерции сечений вашей балки!

Калькулятор свободного момента инерции

Момент инерции; Определение с примерами

Полярный момент инерции Момент инерции относительно оси z
Момент инерции полярной области площади поперечного сечения балки измеряет способность балки противостоять скручиванию.Чем больше полярный момент инерции, тем меньше будет скручивание луча.
Ниже приведены математические уравнения для расчета полярного момента инерции:
Дж z
x – это расстояние от оси y до бесконечно малой площади dA.
y – это расстояние от оси x до бесконечно малой площади dA.
Теорема о перпендикулярной оси: Момент инерции плоского участка вокруг оси, нормальной к плоскости, равен сумме моментов инерции относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости и проходящих через данную ось.
Использование теоремы о перпендикулярной оси приводит к следующим уравнениям для полярного момента инерции:
	J z = I x + I y

Площадь Момент инерции

Площадь Момент инерции

Момент инерции площади – второй момент площади вокруг данной оси.Например, для оси O-O и показанная заштрихованная область, вычисляется второй момент области, добавляя вместе для всех элементы площадью дА в заштрихованной области.

Момент площади инерция, обозначенная I , поэтому может быть рассчитана из

Если у нас есть прямоугольная система координат как показано, можно определить момент площади инерционного вокруг оси x , обозначенной как I _x , и момент инерции площади относительно оси y , обозначается I _y .Эти предоставлено

Заполярье момент инерции, обозначенный J _O , является моментом площади инерции относительно оси z , заданной

Обратите внимание, что, поскольку имеется отношение

Радиус гирация – это расстояние k от оси, на котором вся площадь можно сконцентрировать, чтобы получить тот же момент инерции.То есть

Для данной области можно определить радиус вращения вокруг оси x , обозначенной k _x , радиус вращения вокруг оси y , обозначенный как k _y , и радиус вращения вокруг оси z , обозначенной k _O . Они вычисляются из соотношений

Это легко показать с этого

Параллельная ось Теорема – это соотношение между моментом инерции относительно оси прохождение центроида и момент инерция относительно любой параллельной оси.

Обратите внимание, что на картинке мы имеем

Так как дает расстояние до центра тяжести над осью x ‘, и поскольку это расстояние равно нулю, необходимо заключаем, что интеграл в последнем члене равен нулю, так что параллельная ось Теорема утверждает, что

, где x ‘должно проходить через центроид площадь. Таким же образом можно показать, что

Как правило, можно использовать параллельную ось. Теорема для любых двух параллельных осей, если одна проходит через центроид.Как показано на рисунке, это написано как

где – момент инерции относительно оси O’-O ‘ проходит через центроид, I – момент инерции относительно оси O-O, и d – перпендикуляр расстояние между двумя параллельными осями.

Момент инерции составных тел может быть вычислен путем сложения момент инерции каждого из его участков.Единственное, что нужно помнить, это что все моменты инерции должны оцениваться относительно одной и той же оси. Следовательно, например,

Для расчета момента инерции площади составное тело, построенное из трех показанных сегментов, оценивается момент инерции каждой части относительно оси x и добавляет три вместе.

коэффициент момента инерции

коэффициент момента инерции

коэффициент инерции

(характеристика распределения массы внутри планеты)

---

Фактор инерции кузова (сокращенно от полярный момент инерции, фактор , интересующий) это мера, которая характеризует распределение массы внутри тела, использования при разработке динамики вращения тел, полезно для таких объектов, как звезды, планеты и луны.Он не зависит от массы и радиуса объекта, и является скаляром в диапазоне от 0 до 1. Пример (полярный) Момент инерции значений:

9049 9049

сфера с однородной плотностью	0,4
сфера с более высокой плотностью вдали от оси	> 0,4 ​​
сфера с более высокой плотностью ближе к оси	<0,4
Солнце 0,0	Солнце 0,0
Меркурий	0.346
Венера	0,337
Земля	0,3307
Луна	0,3929
Марс	0,3644
Марс	0,3644
Уран	0,23
Нептун	0,23

Меньшее число указывает на большую массу по направлению к оси, это случай тела с плотным «ядром», и большая общая масса тела и меньшая жесткость способствовать этому.Число представляет интерес с точки зрения истории вращения. объекта, такие как временная шкала, необходимая для того, чтобы приливные силы производили приливная блокировка. Коэффициент инерции полярного момента сферического объекта равен:

C / MR²
 

• C – полярный момент инерции.
• M – масса объекта.
• R – радиус объекта.

Полярный момент инерции объекта ( момент инерции вокруг его ось вращения) – скаляр, характеризующий предполагаемое сопротивление объекта вокруг его оси вращения (аналогично тому, как масса характеризует линейное ускорение от заданной силы).Такой момент инерции объекта относительно оси является мерой отношения между крутящим моментом на объекте по отношению к к этой оси и угловое ускорение, создаваемое этим крутящим моментом:

С = L / ω
или
С = τ / α
 

Для характеризуемой оси:

• C – момент инерции.
• L – угловой момент.
• ω – угловая скорость.
• τ – крутящий момент.
• α – угловое ускорение.

Если полярный (или какая-то другая конкретная ось) не указан или не предполагается, одного скаляра недостаточно для характеристики объекта сопротивление крутящему моменту по любой оси.Для большей общности, 3 × 3 матрица (в частности, тензор 3 × 3 ) может характеризовать все моментов инерции объектов или моментов инерции которые для всех осей проходят через его центр масс.

---

( физика, мера ) Дополнительная литература:
https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia_factor
https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia
https://geo.libretexts.org/Courses/University_of_Cal_Uifornia_Davis _Introduction_to_Geophysics / Geophysics_is_everywhere_in_geology…/03%3A_Planetary_Geophysics/3.02%3A_Layered_Structure_of_a_Planet

---

Индекс

Момент инерции для однородных объектов

Главная Физические константы Физические константы в механике Момент инерции однородных объектов

9049 Твердый 4 9049 9049 9049 90404 9048 Диаметр 9048 Стержень

Объект	Ось вращения		Момент инерции
Твердый диск	Центральная ось диска				903
Диск с отверстием	Ось в центре
Цилиндрическая гильза	Ось в центре
Цельный цилиндр	Ось на поверхности
Полый цилиндр	Центральная ось полого цилиндра
Полый цилиндр	3				Твердый Сфера	Центральный ось сферы
Твердая сфера	Ось на поверхности
Пяльца	Центральная ось пялец
Прямоугольная пластина	Ось, проходящая по центру
Прямоугольная пластина	Ось, проходящая через центр, в плоскости пластины		Тонкая ось
Тонкий стержень	Ось на одном конце

Постоянный момент инерции

.