Ду 1 порядка: Найти решение дифференциального уравнения 1 и 2 порядка: общее и частное, примеры

Дифференциальные уравнения первого порядка – презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (лекция №11 мен)

2. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

План
1. Основные понятия
2. Решение дифференциальных уравнений
I-го порядка
3. Решение дифференциальных уравнений IIго порядка
4. Задачи на составление диф.уравнений

3.

1. Основные понятияОпределение:
Уравнения,
содержащие
неизвестную
функцию, аргумент этой функции и ее
производные
или
дифференциалы,
называются дифференциальными.
В общем виде Д.У. можно записать так:
F ( x, y, y , y ,…, y
(n)
) 0
• Решить дифференциальное уравнение
• Решить Д.У. значит найти функцию, которая
при подстановке в Д,У., обращает его в
тождество, т.е. найти у(х)
• Например, решением дифференциального
уравнения радиоактивного распада
dN
N
dt
будет функция:
N(t) =N0e- t

5. Виды уравнений:

• Обыкновенное Д.У. – если искомая
функция есть функция одного аргумента.
• Д.У. в частных производных – если
искомая функция зависит от нескольких
аргументов и дифференциальное
уравнение содержит ее частные
производные по этим аргументам

6. например

x 3 dy y 3 dx 0;
xy y (2 x xy) y
2
y 6 y 8 y 0;
2
y
1
4 y
2 2 2 8 2m
2 2 2 E E p 0
2
х
y
z
h
S
1 S
2
2
2
х
v t
2
2
• Порядок дифференциального уравнения
• Порядком дифференциального уравнения
называется порядок старшей производной
или дифференциала, содержащегося в этом
уравнении.
i
dФ
dt
2
d s
m 2 F
dt
• Процесс нахождения решений
дифференциального уравнения называется
интегрированием дифференциального
уравнения.
• Поэтому решение Д.У. иногда называют
общим интегралом

9. Виды решений Д.У.

• Различают общее и частное решения
дифференциального уравнения.
• Общим решением дифференциального
уравнения (ОРДУ) называется такое его
решение , которое содержит столько
независимых произвольных постоянных ,
каков порядок этого уравнения.
• Если общее решение дифференциального
уравнения получают в неявном виде , то оно
называется общим интегралом.
• Чтобы найти частное решение Д.У. (ЧРДУ),
должны быть известны так называемые
начальные условия.
• Например, для дифференциального
y y
уравнения
• ОРДУ будет :
y Ce
x
y ( 0) 2
• а ЧРДУ будет при условии
y 2e
x

11. 2. Решение дифференциальных уравнений I-го порядка

• Расмотрим решение некоторых видов Д. У.:
• – уравнения I –го порядка с
разделяющимися переменными
• – однородные Д.У. I –го порядка

12. Д.У. I-го порядка с разделяющимися переменными

• К таким уравнениям относятся уравнения
вида
f1 ( x) 1 ( y)dx f 2 ( x) 2 ( y)dy 0
Путем алгебраических преобразований
данное уравнение приводят к уравнениям
вида
Ф( y ) dy F ( x) dx
• После интегрирования уравнения
Ф( y ) dy F ( x) dx
• находим общее решение дифференциального
уравнения или общий интеграл
Ф
(
y
)
dy
F
(
x
)
dx
• откуда выражаем
• где ОРДУ:
y f ( x, c )
y f ( x, c )

14. Например: xydx + (x + 1)dy = 0.

• Разделим переменные
(x + 1)dy = – xydx
dy
xdx
y
x 1
• проинтегрируем обе части уравнения
dy
xdx
y
x 1
dy
( x 1 1)dx
y x 1
dy
1
x 1
y x 1 x 1 dx
dy
1
y x 1 1 dx
ОИДУ:
ОРДУ:
ln y ln( x 1) x ln C
y C ( x 1)e
x

16.

Запишем алгоритм решения Д.У. 1 порядка с разделяющимися переменными:• 1. Выразить производную из уравнения
• 2. Записать производную через
дифференциалы
• 3. Разделить переменные (с функцией
налево, с аргументом направо)
• 4. Проинтегрировать обе части Д.У.
• 5. Из вида первообразных выразить
функцию – это будет ОРДУ

17. Д.У. I-го порядка однородные

• Однородными Д.У. называются уравнения,
в которых производная является функцией
y
от y . То есть
х
y ` f ( )
x
• Решаются эти уравнением путем замены
переменной
• Решаются эти уравнением путем замены
переменной
y ux
• u y
Отсюда
x
• Тогда
du
y u x x u
x u
dx
• После такой подстановки уравнение
превращается в уравнение с
разделяющимися переменными

19. Например:

x y
y
x y
Например:
• Это однородное уравнение, т.к.
1 y / x
y
1 y / x
• Обозначим
y
u
x
Отсюда
du
y u x x u
x u
dx
• Тогда
• Уравнение будет иметь вид
du
1 u
x u
dx
1 u
y ux

20.

Решаем уравнениеdu
1 u
x
u
dx
1 u
du
1 u u u2
x
dx
1 u
(1 u ) du
dx
2
1 u
x
du
2
1 u
udu
2
1 u
dx
x
du
1 u
x u
dx
1 u

21. Теперь интегрируем

1
2
arctg (u ) ln( 1 u ) ln x C
2
y
arctg
x
1
ln( 1 ( y / x) 2 ) ln x C
2
Т.к.выразить «У» невозможно, то мы
получили ОИДУ

22. ДУ первого порядка линейные неоднородные

y p( x) y q( x)
Используем замену переменной
y uv
y u v uv .
Подставив значения y и y в уравнение, получим:
u v uv p( x)uv q( x)
u v u v p( x)v q( x)
u v u v p( x)v q( x)
• Если выбрать v(x) так, чтобы выражение,
стоящее в скобках, обратилось в нуль, т.е.
v p( x)v 0
• то для второй функции u(x) получится
уравнение
u v ( x ) q( x ).
• После этого найдем
y v( x) u( x, C).

24. ДУ в полных дифференциалах

P( x, y )dx Q( x, y )dy 0
Если предположить, что это полный
дифференциал какой-то функции U(x,y),
То
u
u
P ( x, y )
x
Причем, U(x,y)=const и
P Q
y
x
Q ( x, y )
y

25.

алгоритм • Проверить P Q
y
x
• Из области определения выбрать x0
• Вычислить Q ( x 0, y )
• Найти
x
y
x0
y0
y0
u ( x, y ) P( x, y )dx Q( xo , y )dy
• Приравнять найденное значение константе

English     Русский Правила

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. 2.1. Основные понятия

Определение. Пусть точка принадлежит области (открытому связному множеству) , лежащей внутри естественной области определения правой части дифференциального уравнения , представленного в разрешенном относительно первой производной виде. Задачей Коши называют задачу об отыскании решения этого уравнения, удовлетворяющего допустимому условию . Величины Называют начальными значениями, а условие – начальным условием.

Приведем без доказательства теорему, в которой формулируются условия существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема Коши (о существовании и единственности решения задачи Коши).

Если правая часть дифференциального уравнения , рассматриваемая как функция двух переменных , непрерывна в некоторой области и имеет там непрерывную частную производную по переменной , то для любой точки в некотором интервале существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию .

Геометрически это означает, что через каждую точку области проходит только одна интегральная кривая дифференциального уравнения .

Точки плоскости, которые не входят в множество, называют Особыми точками дифференциального уравнения. Решения дифференциального уравнения, состоящие только из особых точек, называют Особыми решениями.

Отметим, что дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Действительно, зафиксируем некоторое значение

И рассмотрим любые значения , так чтобы . Тогда мы получим бесконечное множество решений, проходящих через точки , которое обычно задают с помощью числового параметра .

Определение. Множество функций называют общим решением дифференциального уравнения первого порядка, если:

1) При любом допустимом значении параметра функция является некоторым решением, которое коротко называют частным решением;

2) Любое решение задачи Коши может быть представлено в виде при некотором значении параметра .

Уравнение , определяющее общее решение как неявную функцию, при этом называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Пример. Найти область , в которой дифференциальное уравнение первого порядка Имеет единственное решение задачи Коши.

В соответствии с теоремой Коши в область Входят те точки плоскости , где существует и непрерывна правая часть Дифференциального уравнения, т. е. множество , и те точки плоскости, где существует и непрерывна частная производная , т. е. множество .

Пересечение указанных множеств равно множеству, которое является открытым связным множеством на плоскости

И в соответствии с общими определениями может быть выбрано в качестве области .

Пример. Показать, что множество функций является общим решением дифференциального уравнения первого порядка . Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Построить интегральную кривую, проходящую через начальную точку .

В соответствии с определением общего решения покажем, что при любом вещественном значении параметра функция является решением нашего дифференциального уравнения. Действительно, функция задана на всей вещественной оси и имеет там первую производную, равную . Левая часть уравнения , т. е. тождественно равна правой части уравнения. Таким образом, мы доказали, что функция является решением данного дифференциального уравнения, так что первое условие в определении общего решения в данном случае выполнено.

Представим далее данное дифференциальное уравнение в нормальной форме и найдем область , в которой уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

В соответствии с теоремой Коши в область Входят те точки плоскости , где существует и непрерывна правая часть Дифференциального уравнения, т. е. множество , и те точки плоскости, где существует и непрерывна частная производная , т. е. множество . Пересечение полученных множеств равно множеству , которое является открытым, но не связным. Ориентируясь на заданное начальное условие , в качестве области

Выберем открытое, связное множество . Теперь, по построению начальная точка Принадлежит области существования и единственности решения задачи Коши, и мы можем подставить в общее решение значения . Из уравнения находим значение параметра в виде .

Таким образом, построено решение задачи Коши в виде , которое проходит через допустимую начальную точку , и которое может быть получено из общего решения при значении произвольной постоянной, равной единице.

Интегральной кривой в данной задаче является кубическая парабола .

< Предыдущая		Следующая >

я $ . Этот элемент имеет порядок $2$, только если $i=n/2$. Это может быть правдой, только если $n$ четно.

Таким образом, мой окончательный ответ будет $n+1$, если $n$ нечетно, $n+2$, если $n$ четно… Как вы думаете, это правильно? Могу ли я улучшить это где-нибудь?

Спасибо!

• абстрактная алгебра
• теория групп
• конечные группы

$\endgroup$

3

$\begingroup$

$D_3, D_4$, группы диэдра порядка $6, 8$ соответственно, каждая служит контрпримером к нечетному и четному случаям соответственно. В 9nb = b.$ Этот сценарий учитывался в первом случае.

В остальном вы хорошо поработали, просто пересчитали каждый случай на один . Все, что было нужно, это «проверка работоспособности»: сравнение ваших результатов с более простыми $D_n$, которые вы знаете, как в $D_3, D_4$, было все, что нужно, чтобы увидеть небольшое превышение счета.

\circ$ является элементом группы, каковым является четное число $n$, это создает дополнительный элемент порядка $2.$9Вращение \circ$ является элементом группы только тогда, когда диаметрально противоположно каждой вершине есть вершина, что происходит только при четном $n$.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

линейная алгебра – Вычисление определителя Dn

Asked 3 года, 1 месяц назад

Изменено 3 года, 1 месяц назад

Просмотрено 196 раз

$\begingroup$

Должен ли я вычислять этот определитель Dn с рекуррентными формулами , потому что у меня есть трудности с первой и последней строкой, имеющей 1 и 2, поэтому я не могу получить Dn-1!

\begin{pmatrix} 1 и 2 и 0 и . & . & . & 0 & 0 & 0\\ 5 и 8 и 3 и . & . & . & 0 & 0 & 0\\ 0 и 5 и 8 и . & . & . & 0 & 0 & 0\\ . & . & . & . & . & . & . & . & .\\ 0 & 0 & 0 & . & . & . & 8 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & . & . & . & 5 & 8 & 3\\ 0 & 0 & 0 & . & . & . & 0 & 2 & 1\\ \end{pматрица} 9{n-2}).$$

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Результат ответа на запрос

$$\begin{pmatrix} 1 и 2 и 0\\ 5 и 8 и 3 \\ 0 и 2 и 1\\ \end{pmatrix}$$ имеет определитель $1\times (8\times 1-3 \times 2)-2\times (5\times 1-3 \times 0)=-8.