Ду с разделяющимися переменными: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными [wiki.eduVdom.com] - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

{3} $$

Решение дифференциального уравнения:

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x} $$

Решение дифференциального уравнения:

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=-xy $$

Решение дифференциального уравнения:

Пример 7. $$ {y}’={\rm tg}\,x\cdot{\rm tg}\,y $$

Решение:

Пример 8.

Решение дифференциального уравнения:

subjects/diffury/уравнения_с_разделяющимися_переменными.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:25 — ¶

Содержание

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: примеры

В целом ряде обыкновенных ДУ 1-го порядка существуют такие, в которых переменные х и у можно разнести в правую и левую части записи уравнения. Переменные могут быть уже разделены, как это можно видеть в уравнении f(y)dy=g(x)dx. Разделить переменные в ОДУ f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx можно путем проведения преобразований. Чаще всего для получения уравнений с разделяющимися переменными применяется метод введения новых переменных.

В этой теме мы подробно разберем метод решения уравнений с разделенными переменными. Рассмотрим уравнения с разделяющимися переменными и ДУ, которые можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными. В разделе мы разобрали большое количество задач по теме с подробным разбором решения.

Для того, чтобы облегчить себе усвоение темы, рекомендуем ознакомиться с информацией, которая размещена на странице «Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений».

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными f(y)dy=g(x)dx

Определение 1

Уравнениями с разделенными переменными называют ДУ вида f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, переменные, входящие в состав выражения, находятся по обе стороны от знака равенства.

Договоримся, что функции f(y) и g(x) мы будем считать непрерывными.

Для уравнений с разделенными переменными общий интеграл будет иметь вид ∫f(y)dy=∫g(x)dx. Общее решение ДУ в виде неявно заданной функции Ф(x, y)=0 мы можем получить при условии, что интегралы из приведенного равенства выражаются в элементарных функциях. В ряде случаев выразить функцию у получается и в явном виде.

Пример 1

Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными y23dy=sin xdx.

Решение

Проинтегрируем обе части равенства:

∫y23dy=∫sin xdx

Это, по сути, и есть общее решение данного ДУ. Фактически, мы свели задачу нахождения общего решения ДУ к задаче нахождения неопределенных интегралов.

Теперь мы можем использовать таблицу первообразных для того, чтобы взять интегралы, которые выражаются в элементарных функциях:

∫y23dy=35y53+C1∫sin xdx=-cosx+C2⇒∫y23dy=∫sin xdx⇔35y35+C1=-cosx+C2
где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Функция 35y35+C1=-cosx+C2 задана неявно. Она является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Мы получили ответ и можем не продолжать решение. Однако в рассматриваемом примере искомую функцию можно выразить через аргумент х явно.

Получаем:

35y53+C1⇒y=-53cosx+C35, где C=53(C2-C1)

Общим решением данного ДУ является функция y=-53cosx+C35

Ответ:

Мы можем записать ответ несколькими способами: ∫y23dy=∫sinxdx или 35y53+C1=-cosx+C2, или y=-53cosx+C35

Всегда стоит давать понять преподавателю, что вы наряду с навыками решения дифференциальных уравнений также располагаете умением преобразовывать выражения и брать интегралы. Сделать это просто. Достаточно дать окончательный ответ в виде явной функции или неявно заданной функции Ф(x, y)=0.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx

y’=dydx в тех случаях, когда у является функцией аргумента х.

В ДУ f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y’=f2(y)·g2(x)dx мы можем провести преобразования таким образом, чтобы разделить переменные. Этот вид ДУ носит название ДУ с разделяющимися переменными. Запись соответствующего ДУ с разделенными переменными будет иметь вид f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx.

Разделяя переменные, необходимо проводить все преобразования внимательно для того, чтобы избежать ошибок. Полученное и исходное уравнения должны быть эквивалентны друг другу. В качестве проверки можно использовать условие, по которому f2(y) и

g1(x) не должны обращаться в ноль на интервале интегрирования. Если это условие не выполняется, то есть вероятность, что ы потеряем часть решений.

Пример 2

Найти все решения дифференциального уравнения y’=y·(x2+ex).

Решение

Мы можем разделить х и у, следовательно, мы имеем дело с ДУ с разделяющимися переменными.

y’=y·(x2+ex)⇔dydx=y·(x2+ex)⇔dyy=(x2+ex)dx при y≠0

При у=0 исходное уравнение обращается в тождество: 0’=0·(x2+ex)⇔0≡0. Это позволят нам утверждать, что у=0 является решением ДУ. Это решение мы могли не учесть при проведении преобразований.

Выполним интегрирование ДУ с разделенными переменными dyy=(x2+ex)dx:
∫dyy=∫(x2+ex)dx∫dyy=lny+C1∫(x2+ex)dx=x33+ex+C2⇒lny+C1=x33+ex+C2⇒lny=x33+ex+C

Проводя преобразование, мы выполнили замену C2-C1 на С. Решение ДУ имеет вид неявно заданной функции lny=x33+ex+C. Эту функцию мы в состоянии выразить явно. Для этого проведем потенцирование полученного равенства:

lny=x33+ex+C⇔elny=ex33+ex+C⇔y=ex33+ex+C

Ответ: y=ex33+ex+C, y=0

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=f(ax+by),

a≠0, b ≠ 0

Для того, чтобы привести обыкновенное ДУ 1-го порядка y’=f(ax+by), a≠0, b≠0, к уравнению с разделяющимися переменными, необходимо ввести новую переменную z=ax+by, где zпредставляет собой функцию аргумента x.

Получаем:

z=ax+by⇔y=1b(z-ax)⇒y’=1b(z’-a)f(ax+by)=f(z)

Проводим подстановку и необходимые преобразования:

y’=f(ax+by)⇔1b(z’-a)=f(z)⇔z’=bf(z)+a⇔dzbf(z)+a=dx, bf(z)+a≠0

Пример 3

Найдите общее решение дифференциального уравнения y’=1ln(2x+y)-2 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e.

Решение

Введем переменную z=2x+y, получаем:

y=z-2x⇒y’=z’-2ln(2x+y)=ln z

Результат, который мы получили, подставляем в исходное выражение, проводим преобразование его в ДУ с разделяющимися переменными:

y’=1ln(2x+y)-2⇔z’-2=1ln z-2⇔dzdx=1ln z

Проинтегрируем обе части уравнения после разделения переменных:

dzdz=1ln z⇔ln zdz=dx⇔∫ln zdz=∫dx

Применим метод интегрирования по частям для нахождения интеграла, расположенного в левой части записи уравнения. Интеграл правой части посмотрим в таблице.

∫ln zdz=u=ln z, dv=dzdu=dzz, v=z=z·ln z-∫zdzz==z·ln z-z+C1=z·(ln z-1)+C1∫dx=x+C2

Мы можем утверждать, что z·(ln z-1)+C1=x+C2. Теперь, если мы примем, что C=C2-C1 и проведем обратную замену z=2x+y, то получим общее решение дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции:

(2x+y)·(ln(2x+y)-1)=x+C

Теперь примемся за нахождение частного решения, которое должно удовлетворять начальному условию y(0)=e. Проведем подстановку x=0 и y(0)=e в общее решение ДУ и найдем значение константы С.

(2·0+e)·(ln(2·0+e)-1)=0+Ce·(ln e-1)=CC=0

Получаем частное решение:

(2x+y)·(ln(2x+y)-1)=x

Так как в условии задачи не был задан интервал, на котором необходимо найти общее решение ДУ, то мы ищем такое решение, которое подходит для всех значений аргумента х, при которых исходное ДУ имеет смысл.

В нашем случае ДУ имеет смысл при ln(2x+y)≠0,2x+y>0

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=fxy или y’=fyx

Мы можем свести ДУ вида y’=fxy или y’=fyx к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными путем выполнения замены z=xy или z=yx, где z – функция аргумента x.

Если z=xy, то y=xz и по правилу дифференцирования дроби:

y’=xy’=x’·z-x·z’z2=z-x·z’z2

В этом случае уравнения примут вид z-x·z’z2=f(z) или z-x·z’z2=f1z

Если принять z=yx, то y=x⋅z и по правилу производной произведения y’=(xz)’=x’z+xz’=z+xz’. В этом случае уравнения сведутся к z+xz’=f1z или z+xz’=f(z).

Пример 4

Решите дифференциальное уравнение y’=1eyx-yx+yx

Решение

Примем z=yx, тогда y=xz⇒y’=z+xz’. Подставим в исходное уравнение:

y’=1eyx-yx+yx⇔z+xz’=1ez-z+z⇔x·dzdx=1ez-z⇔(ez-z)dz=dxx

Проведем интегрирование уравнения с разделенными переменными, которое мы получили при проведении преобразований:

∫(ez-z)dz=∫dxxez-z22+C1=lnx+C2ez-z22=lnx+C, C=C2-C1

Выполним обратную замену для того, чтобы получить общее решение исходного ДУ в виде функции, заданной неявно:

eyx-12·y2x2=lnx+C

А теперь остановимся на ДУ, которые имеют вид:

y’=a0yn+a1yn-1x+a2yn-2×2+…+anxnb0yn+b1yn-1x+b2yn-2×2+…+bnxn

Разделив числитель и знаменатель дроби, расположенной в правой части записи, на yn или xn, мы можем привести исходное ДУ в виду y’=fxy или y’=fyx

Пример 5

Найти общее решение дифференциального уравнения y’=y2-x22xy

Решение

В этом уравнении х и у отличны от 0. Это позволяет нам разделить числитель и знаменатель дроби, расположенной в правой части записи на x2:

y’=y2-x22xy⇒y’=y2x2-12yx

Если мы введем новую переменную z=yx, то получим y=xz⇒y’=z+xz’.

Теперь нам необходимо осуществить подстановку в исходное уравнение:

y’=y2x2-12yx⇔z’x+z=z2-12z⇔z’x=z2-12z-z⇔z’x=z2-1-2z22z⇔dzdxx=-z2+12z⇔2zdzz2+1=-dxx

Так мы пришли к ДУ с разделенными переменными. Найдем его решение:

∫2zdzz2+1=-∫dxx∫2zdzz2+1=∫d(z2+1)z2+1=lnz2+1+C1-∫dxx=-lnx+C2⇒lnz2+1+C1=-lnx+C2

Для этого уравнения мы можем получить решение в явном виде. Для этого примем -lnC=C2-C1 и применим свойства логарифма:

lnz2+1=-lnx+C2-C1⇔lnz2+1=-lnx-lnC⇔lnz2+1=-lnCx⇔lnz2+1=lnCx-1⇔elnz2+1=eln1Cx⇔z2+1=1Cx⇔z±1Cx-1

Теперь выполним обратную замену y=x⋅z и запишем общее решение исходного ДУ:

y=±x·1Cx-1

В даном случае правильным будет и второй вариант решения. Мы можем использовать замену z=xy Рассмотрим этот вариант более подробно.

Выполним деление числителя и знаменателя дроби, расположенной в правой части записи уравнения на y2:

y’=y2-x22xy⇔y’=1-x2y22xy

Пусть z=xy

Тогда y’=1-x2y22xy⇔z-z’xz2=1-z22z

Проведем подстановку в исходное уравнение для того, чтобы получить ДУ с разделяющимися переменными:

y’=1-x2y22xy⇔z-z’xz2=1-z22z

Разделив переменные, мы получаем равенство dzz(z2+1)=dx2x, которое можем проинтегрировать:

∫dzz(z2+1)=∫dx2x

Если мы разложим подынтегральную функцию интеграла ∫dzz(z2+1) на простейшие дроби, то получим:

∫1z-zz2+1dz

Выполним интегрирование простейших дробей:

∫1z-zz2+1dz=∫zdzz2+1=∫dtz-12∫d(z2+1)z2+1==lnz-12lnz2+1+C1=lnzz2+1+C1

Теперь найдем интеграл ∫dx2x:

∫dx2x=12lnx+C2=lnx+C2

В итоге получаем lnzz2+1+C1=lnx+C2 или lnzz2+1=lnC·x, где lnC=C2-C1.

Выполним обратную замену z=xy и необходимые преобразования, получим:

y=±x·1Cx-1

Вариант решения, при котором мы выполняли замену z=xy, оказался более трудоемким, чем в случае замены z=yx. Этот вывод будет справедлив для большого количества уравнений вида y’=fxy или y’=fyx. Если выбранный вариант решения подобных уравнений оказывается трудоемким, можно вместо замены z=xy ввести переменную z=yx. На результат это никак не повлияет.

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R

Дифференциальные уравнения y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2 можно свести к уравнениям y’=fxy или y’=fyx, следовательно, к уравнениям с разделяющимися переменными. Для этого находится (x0 , y0) – решение системы двух линейных однородных уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0 и вводятся новые переменные u=x-x0v=y-y0. После такой замены уравнение примет вид dvdu=a1u+b1va2u+b2v.

Пример 6

Найти общее решение дифференциального уравнения y’=x+2y-3x-1.

Решение

Составляем и решаем систему линейных уравнений:

x+2y-3=0x-1=0⇔x=1y=1

Делаем замену переменных:

u=x-1v=y-1⇔x=u+1y=v+1⇒dx=dudy=dv

После подстановки в исходное уравнение получаем dydx=x+2y-3x-1⇔dvdu=u+2vu. После деления на u числителя и знаменателя правой части имеем dvdu=1+2vu.

Вводим новую переменную z=vu⇒v=z·y⇒dvdu=dzdu·u+z, тогда

dvdu=1+2vu⇔dzdu·u+z=1+2z⇔dz1+z=duu⇒∫dz1+z=∫duu⇔ln1+z+C1=lnu+C2⇒ln1+z=lnu+lnC, lnC=C2-C1ln1+z=lnC·u1+z=C·u⇔z=C·u-1⇔vu=C·u-1⇔v=u·(C·u-1)

Возвращаемся к исходным переменным, производя обратную замену u=x-1v=y-1:
v=u·(C·u-1)⇔y-1=(x-1)·(C·(x-1)-1)⇔y=Cx2-(2C+1)·x+C+2

Это есть общее решение дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Многие студенты спрашивают “Как найти решение дифференциального уравнения?” Ответ возможно неординарен, но что Вы знаете о дифференциальных уравнениях (ДУ), их типах, какие распространенные схемы вычислений ДУ? С этого нужно начинать.
Сферы применения дифференциальных уравнений были в общем очерчены на предыдущем уроке. Здесь речь пойдет об одном из самых простых (в плане вычислений) типов ДУ первого порядка среди всех возможных уравнений что Вас ждут. Начнем с базовых понятий теории которые Вы должны знать и мы будем использовать в терминологии. Для одних это не нужно, потому что они ищут готовые ответы по дифференциальным уравнениям и думают, что таким образом решат все проблемы. Но это ошибка, потому что не знание элементарных понятий по теории ДУ сравнимо с тем, что Вы пытаетесь говорить, предварительно не изучив звуки и алфавит.
Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно записать формулой
N(х)dx+М(у)dy=0 (1)
называют уравнением с разделенными переменными.
Их не трудно обнаружить среди других уравнений, основной признак – множители при dx и dy являются функциями (константами), которые зависят только от х при множителе dx и у при dy.
Чтобы найти общее решение (общий интеграл) уравнения с разделенными переменными необходимо проинтегрировать уравнение (1)
Int(N(x), x) + Int(M(y),y) = С,

Для понимания дифференциальное уравнение (1) можно принимать, как условие равенства нулю полного дифференциала некоторой функции двух переменных U(x,y)

Отсюда следует что функция U(x,y)=С=const равна постоянной.
Дифференциальное уравнение вида
f₁(x)*g₁(y)dx+f₂(x)*g₂(y)dy=0 (2)
называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными в симметричной форме.
В уравнении (2) коэффициенты при дифференциалах dx и dy является произведениями двух функций: одна зависит только от x, а вторая – от y. В области, где g1(y), f2(x) принимают отличные от нуля значения в уравнение с разделяющимися переменными (2) сводится к уравнению с разделенными переменными

Звучит как игра слов: разделенными, разделяющимися, однако между ними как видите есть маленькая разница, и теперь Вы ее знаете.
Рассмотрим типичные для практики задания на диф. уравнения первого порядка, которые в достаточно простой способ можно свести к уравнениям с разделенными переменными.

Пример 1 Решить дифференциальное уравнение
Решение:Имеем дифференциальное уравнение первого порядка, по теории его можно назвать уравнением с разделяющимися переменными или уравнением в дифференциалах. Для его упрощения сгруппируем слагаемые, содержащие dx, dy по разные стороны знака равенства

Далее выделим общие множители для каждой суммы и перепишем уравнение в дифференциалах в форме

После этого все, что содержит y переносим к dy, то же самое проделываем с множителями которые содержат переменную x.
В результате придем к дифференциальному уравнению с разделенными переменными

Теперь посмотрите почему данное уравнение называется уравнением с разделенными переменными? – Возле dx имеем функцию зависимую только от “икс”, у dy – только от y.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение

Выносим множители, чтобы при переменной в знаменателе стояли единицы. Также, чтобы в числителе получить дифференциалы знаменателя умножаем обе части на 2

Это позволяет упростить вычисления интеграла ДУ (после интегрирования получить логарифмы)

Константу рекомендуем внести в логарифм, для этого записывайте всегда ее в виде C₁=ln(C)

Чтобы раскрыть логарифмическое уравнение экспонируем (находим экспоненту) правую и левую сторону зависимости
(3)
Также выделяем значение функции

Конечная запись имеет двойной корень и является общим решением уравнения с разделяющимися переменными. Это не совсем хороший тон подавать ответ, лучше решение оставить в виде формулы (3), только тройку перенести в правую сторону.

Пример 2 Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение:Имеем уравнение в дифференциалах первого порядка. Разделим в уравнении переменные, содержащиеся при dx, dy и перенесем их по разные стороны знака равенства

С первых скобок выносим общий для двух слагаемых множитель y за скобки

Далее разделим множители так, чтобы при dy получить функцию только от y, а при dx – функцию аргумента x. В результате получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными

После интегрирования

получим корневую зависимость для y и арктангенс в результате вычисления интеграла по аргументу (правая сторона).

Общий интеграл можем оставить в такой форме или перенести артангенс в левую часть зависимости.
Так же можем записать решение дифференциального уравнения в виде зависимости y(x) (явном виде). Для этого возведем обе части к квадрату

и перенеся сталую в правую сторону, вычислим корень квадратный

Это и есть искомое решение дифференциального уравнения.

Пример 3 Решить дифференциальное уравнение
Решение:Данное ДУ первого порядка необходимо свести под правило решения уравнений с разделенными переменными. Для этого второе слагаемое, что со знаком минус, переносим в правую сторону от знака равенства

и разделяем переменные

Проинтегрируем левую и правую сторону зависимости

В результате придем к логарифмическому уравнению вида

И снова обращаем Ваше внимание на то что в таком виде как правило не записывают.
Целесообразно, для компактности конечного решения, постоянную вносить под логарифм, то есть в форме

Взяв экспоненту от правой и левой части формулы придем к конечному виду решения дифференциального уравнения

Как Вы могли убедиться примеры достаточно просты, методика вычислений ДУ з разделенными переменными легкая для изучения.

Пример 4 Решить дифференциальное уравнениеРешение: Одно из слагаемых (не содержит производной) переносим за знак равенства

и записываем уравнение в дифференциалах..

Следующим шагом сводим зависимость к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.
Для заданного уравнения всего лишь перекрестным делением записываем корни в знаменатели

В таком виде можем интегрировать уравнения

Левая сторона содержит функцию которая при иртегрировании даст корневую зависимость, для правой стороны по формулам получим арксинус.

Выполняем манипуляции с корнем, чтобы получить зависимость вида y=y(x)

Решение дифференциального уравнения будет иметь вид

На этом вводный урок закончен и основные выводы Вы должны сделать самостоятельно.
Для закрепления темы рекомендуем самостоятельно решить несколько из следующих примеров.

Хотите верьте, а хотите – нет, но это самый простой тип дифференциальных уравнений, с которым Вам придетсяиметь дело на контрольной, экзаменах, практических занятиях, модулях. Это можно сказать важнейшая часть, поскольку сложные дифференциальные уравнения придется упрощать и сводить к уравнениям с разделенными переменными.
Схему вычислений должны заучить и знать на зубок – это один из основных методов решения сложных примеров на диф. уравнения.

2. 2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка , разрешенное относительно первой производной. Предположим, что функция непрерывна на некотором интервале . Задача нахождения решений дифференциального уравнения в данном случае решается с помощью понятия неопределенного интеграла . Поскольку все первообразные отличаются одна от другой на постоянную , то любое решение уравнения можно записать в виде . Здесь в качестве первообразной выбран интеграл с переменным верхним пределом , который всегда существует для непрерывных функций.

Построенное множество функций является общим решением данного дифференциального уравнения. Действительно, если взять производную от любой функции , то

Т. е. функция при любом значении произвольной постоянной является решением.

Задачу Коши для данного уравнения можно формулировать для тех точек Открытого множества , которые лежат внутри естественной области определения правой части дифференциального уравнения , т. е. .

Множество есть область на плоскости , а функция двух переменных непрерывна на этой области . Частная производная по переменной на этой области равна нулю, так как .

Таким образом, множество можно выбрать как область , в которой данное уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

Отсюда, для начальных значений решение задачи Коши единственно и получается из построенного общего решения при значении .

Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид неопределенного интеграла , где – любая первообразная функции , – произвольная постоянная, или вид , где – интеграл с переменным верхним пределом.

Решение задачи Коши данного дифференциального уравнения имеет вид . Оно существует и единственно на интервале .

Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в Дифференциальной форме и имеет вид . В этом уравнении левая часть зависит только от переменной , а правая – только от переменной . Такие дифференциальные уравнения называют Уравнениями с разделенными переменными.

Предположим далее, что функции , непрерывны на некоторых интервалах , И имеют там первообразные, . Тогда можно проинтегрировать левую часть уравнения по переменной , а правую часть – по переменной и получить общий интеграл дифференциального уравнения в виде . Произвольную постоянную можно включать как в левую часть общего интеграла, так и в правую часть, стараясь представить общее решение в достаточно компактном виде.

В предположении, что функция Не равна нулю на интервале , представим данное уравнение в виде, разрешенном относительно производной , а именно . Множество существования и единственности решения задачи Коши будем строить по определению, т. е. как открытое связное множество, где правая часть и производная правой части непрерывны.

Пример. Решить уравнение с разделенными переменными .

Интегрируем левую и правую части данного уравнения и получаем общий интеграл уравнения в виде .

Представим данное уравнение в виде, разрешенном относительно производной . Правая часть непрерывна на всей плоскости , производная правой части также непрерывна на всей плоскости . Из теоремы Коши следует, что начальную точку Можно выбирать любой. Возьмем, в частности . Тогда, подставляя выбранные начальные значения в общий интеграл, получим . Отсюда решение данной задачи Коши будет иметь вид .

Уравнения с разделенными переменными в чистом виде встречаются довольно редко. Однако существуют так называемые уравнения с разделяющимися переменными, которые можно привести к уравнениям с разделенными переменными.

Пусть в дифференциальном уравнении Правая часть представлена в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, т. е. дифференциальное уравнение имеет вид .

В предположении, что , это уравнение можно представить в виде уравнения с разделенными переменными И решить его по предложенной ранее схеме.

Может оказаться, что обычное уравнение имеет хотя бы один действительный корень . В этом случае постоянная функция является решением исходного дифференциального уравнения, что проверяется непосредственной подстановкой. Это решение могло быть потеряно при делении на функцию И должно быть включено в множество всех решений дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение с разделяющимися переменными .

Разделяя переменные, мы придем к уравнению . После интегрирования левой и правой части уравнения с разделенными переменными получаем общий интеграл уравнения в виде . Для удобства потенцирования преобразуем решение к виду , а произвольную постоянную представим в логарифмической форме, положив . Тогда и, потенцируя, получаем общий интеграл в виде . Так как параметр может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то множество решений вида совпадает с множеством решений более простого вида .

Поделив левую и правую части общего интеграла на функцию косинуса, получим окончательно общее решение исходного дифференциального уравнения в виде .

В процессе разделения переменных выполнялось деление обеих частей исходного дифференциального уравнения на функцию , в результате чего могло быть потеряно решение . После подстановки функции в исходное уравнение, мы убеждаемся, что действительно является решением. Это решение тем или иным способом должно быть включено в множество всех решений дифференциального уравнения. В нашем случае решение Можно включить в общее решение , введя вместо параметра параметр , принимающий любые вещественные значения. Таким образом, окончательно получим общее решение данного уравнения в виде .

Пример. Решить уравнение с разделяющимися переменными .

Разделяя переменные при, мы придем к уравнению . После интегрирования получаем общий интеграл уравнения в виде и, соответственно, равносильное ему общее решение в виде. При делении обеих частей исходного дифференциального уравнения на функцию было потеряно решение . Это решение не может быть получено из общего решения ни при каком значении произвольной постоянной, поэтому оно должно быть отдельно добавлено к общему решению и войти в полное множество решений дифференциального уравнения.

Покажем, что решение является особым. В соответствии с теоремой Коши в область Входят те точки плоскости , где существует и непрерывна правая часть Дифференциального уравнения, и те точки плоскости, где существует и непрерывна частная производная , т. е. множество .

Учитывая требование связности множества , обычно выбирают область состоящей только из тех точек плоскости, которые лежат строго выше или строго ниже оси . Таким образом, все точки плоскости, задаваемые уравнением , являются особыми, а решение есть особое решение.

В тех случаях, когда требуется решить задачу Коши вида ,

, при условии, что функции , являются непрерывными, удобно частный и общий интегралы дифференциального уравнения при Представлять в виде:

, ,

Где в каждой формуле слева и справа от знака равенства в качестве первообразных выбраны интегралы с переменным верхним пределом.

Пример. Решить задачу Коши вида .

Разделяя переменные при , мы придем к уравнению . После интегрирования получим частный интеграл уравнения в виде . После преобразования частного интеграла можно получить частное решение в виде .

При стремлении переменной к значению знаменатель частного решения стремится к нулю, а само решение стремится к бесконечности. Этот пример показывает, что при выполнении условий теоремы Коши гарантируется существование ограниченного решения только в малой окрестности начальной точки.

Область существования и единственности решения задачи Коши в нашем примере совпадает с множеством всех точек плоскости. Непосредственная проверка показывает, что функция Является решением. Так как у рассматриваемого уравнения нет особых точек, то оно не может иметь и особых решений, поэтому решение не особое.

Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в Дифференциальной форме и имеет вид . В этом уравнении в левой и правой частях стоят функции, представленные как произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной или.

В предположении, что , это уравнение можно поделить на произведение и представить в виде дифференциального уравнения с разделенными переменными , которое решается по предложенной ранее схеме.

Пример. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, представленное в дифференциальной форме .

В предположении, что , это уравнение можно поделить на произведение и представить в виде дифференциального уравнения с разделенными переменными . Проинтегрировав это дифференциальное уравнение с разделенными переменными, находим его общий интеграл в виде

В процессе разделения переменных выполнялось деление обеих частей исходного дифференциального уравнения на функцию , в результате чего могли быть потеряны решения , . После подстановки функций , в исходное уравнение, мы убеждаемся, что , действительно являются решениями. Эти решения должны быть включены в множество всех решений дифференциального уравнения.

Проверим, являются ли эти решения особыми. Для этого запишем наше дифференциальное уравнение в канонической форме . Множество точек плоскости, таких что входит в множество особых точек нашего уравнения. Найдем далее те точки плоскости, где существует и непрерывна частная производная , т. е. множество точек плоскости вида .

Окончательно, область равна множеству , а, соответственно, множество особых точек равно .

Решение целиком состоит из особых точек, и по определению является особым. Решение не состоит из особых точек и, соответственно, не является особым. Подчеркнем, что оба решения должны быть включены в множество всех решений дифференциального уравнения.

Пусть дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

Где параметры есть некоторые числа. Это уравнение путем замены Сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

Действительно, . Отсюда можно получить уравнение с разделенными переменнымиОтносительно переменных . Решая это уравнение и выполняя обратную подстановку, получаем общий интеграл исходного уравнения.

< Предыдущая		Следующая >

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией , разрешенное относительно производной имеет вид:

где – данная функция. В некоторых случаях выгодно за искомую функцию считать переменную и записывать уравнение в виде:

где

Учитывая, что и , то дифференциальные уравнения можно записать в симметрической форме:

где и – известные функции

Под решениями дифференциального уравнения понимаются функция вида или , удовлетворяющие этому уравнению.

Общий интеграл уравнений имеет вид , где – произвольная постоянная.

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение 1-го порядка вида

или

Разделив обе части уравнения (*) на и умножив на , будем иметь

Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (*) в виде:

Аналогично, разделив обе части уравнения (**) на и проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (**) в виде

Если для некоторого значения мы имеем , то функция является также, как непосредственно легко убедиться, решением уравнения (*). Аналогично прямые и будут интегральными кривыми уравнения (**), если и являются соответственно корнями уравнения и , на левые части которых приходилось делить исходное уравнение.

Методы решения других видов дифференциальных уравнений

Задача 2

Решение

Преобразуем дифуравнение:

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Это дифуравнение с разделяющимися переменными

Общее решение дифуравнения:

Ответ:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство морского и речного транспорта

ИНСТИТУТ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА ИМЕНИ Г.Я. СЕДОВА

– филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ АДМИРАЛА Ф.Ф. УШАКОВА»

Колледж

Учебное пособие по дисциплине «Математика»

Тема: Дифференциальные уравнения с

разделяющимися переменными

Выполнила: Голенкова Ирина Александровна

2019 год

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Определение:

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции или её дифференциалы.

Например: 1). ; 2). ; 3). ; 4). y^‘=1;

5).

Порядок дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение может содержать первую производную и производные высших порядков или дифференциалы.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производных или дифференциалов, входящих в это уравнение. Так, дифференциальные уравнения 1),3),4)- первого порядка; 2) и 5)- второго порядка.

Решение дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество.

Пример1.Проверить является ли функция решением дифферен-

циального уравнения

Решение. Подставляем значение функции y в уравнение и находим производную, убеждаясь в том, что уравнение обратилось в тождество:

, Следовательно, данная функция является решением дифференциального уравнения.

Пример 2.Проверить является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение.Сократив на произведение , получим следовательно, функция является решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к простым дифференциальным уравнениям.

Пример 1.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; -5), зная, что наклон касательной к кривой в каждой её точке равен .

Решение.Зная,что наклон касательной определяется тангенсом угла наклона и что это определяет геометрически производную функции, условие можно

записать так: Это и есть дифференциальное уравнение.

Нам следует найти первообразную функцию, вычисляя неопределенный интеграл:

Находим С по начальным условиям. Подставляем вместо его значение -5, вместо подставляем 1: -5=1- +С; С= -5-1+ = -5.

Получаем уравнение:5. Найденную функцию подставить в дифференциальное уравнение Она обязательно обратит его в тождество.

Пример 2.Найти закон движения тела s(t), если его скорость задаётся функцией v=3t².

Решение.Так как скорость – это первая производная от пути , то мы получаем дифференциальное уравнение или = 3t².

Чтобы найти путь s, интегрируем обе части уравнения:

= 3t², ds=3t²dt, s=t³+C.

Общее и частное решение дифференциальных уравнений.

Определение: Решение, в котором подставлено частное значение произвольной постоянной С, называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения называется такое его решение, которое содержит столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.Так, в примере 1 найдено частное решение 5 а в примере 2 – общее решение s=t³+C.

Если взять дифференциальное уравнение n-ого порядка, то общее решение дифференциального уравнения содержит nпроизвольных постоянных.

После изучения этого материала предлагается устно ответить на контрольные вопросы и выполнить тесты в картах контроля (Приложение 1).

Контрольные вопросы.

Какое уравнение называется дифференциальным?
Что называется решением дифференциального уравнения?
Как проверить, правильно ли найдено решение дифференциального уравнения?
Что называется общим решением дифференциального уравнения?
Что называется частным решением дифференциального уравнения?
Как определяется порядок дифференциального уравнения?

УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Определение: Дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными называется уравнение вида g(y)dy=f(x)dx, где g(y) – функция одного переменного y, f(x) – функция одного переменногоx.

Пример 1.2ydy=3x²dx.

Решение.В этом уравненииg(y)=2y, f(x)=3x².Интегрируем обе части уравнения: y²=x³+C. Получим общее решение дифференциального уравнения. Это решение можно записать в явной форме , но обычно решения, полученные в неявной функции, или оставляют в той форме, как оно получилось либо переписывают в виде y²-x³=C. Если решение получилось в неявной форме, то проверка такого решения необязательна, так как она может привести к сложным вычислениям.

Пример 2.=

Решение., lny=ln(x-1)+C , так как С- произвольная постоянная величина, то можно для удобства записи вместо С написать lnС, а затем потенцировать lny=ln(x-1)+lnC, y=C(x-1).

Пример 3.Найти частное решение дифференциального уравнения dy=(x²-1)dx, если при x=1 y=4.

Решение.=y=–x+C, 4= -1+C, C=4 .

Ответ: y=–x+4 .

Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, так как вся предварительная работа для усвоения учащимися нового материала проведена.

Определение: Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение, которое может быть приведено к виду g(y)dy=f(x)dx, где g(y) – функция одного переменного y, f(x) – функция одного переменногоx.

Преобразования, с помощью которых дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными приводят к виду g(y)dy=f(x)dx, называется разделением переменных. Операции, которые надо проводить для разделения переменных, зависят от того, в каком виде задано уравнение.

Пример 1.Найти общее решение дифференциального уравнения

3dy-y²dy+xdx=0.

Решение.Чтобы произвести разделение переменных, надо сгруппировать члены с dx и записать полученные функции в разных частях равенства: y²dy=(3+x)dx. Получили уравнение с разделенными переменными.

Интегрируем: , =3x++C, 3xC .

Пример 2.Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.Заменим на: .

Умножим все члены на:

Сгруппируем члены с :

Запишем полученные функции в разных частях равенств:

Чтобы получить уравнение в виде g(y)dy=f(x)dx, надо обе части равенства разделить на произведение Получим уравнение

= , где переменные разделены. Решим полученное уравнение: , ln(1+y)=lnx+lnC, 1+y=Сx, y=Сx-1.

Сделаем проверку: 1+Сx-1-xСx- Сx=0.Получили тождество, следовательно, функция y=Сx-1 является решением дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения , если при

Решение.Заменим на :=2+y. Умножим все члены на:

. Сгруппируем члены с :

Чтобы разделить переменные, разделим обе части равенства на (2+y): . Проинтегрируем: ; ln(2+y)=x+lnC.

Если в ответе все члены, кроме одного, являются логарифмами, то, чтобы можно было потенцировать, надо и его выразить через логарифм, используя тождество a=lne^a. Так как lne^a=alne, но lne=1, следовательно,lne^a=a.

В нашем примере выразим x через логарифм:x=lne^x. Тогда получим:ln(2+y)=lne^x+lnC. Потенцируем: 2+y=Ce^x, y= Ce^x-2.

Получили общее решение дифференциального уравнения. Чтобы найти частное решение, подставляем в общее и определяем С:

3=Ce⁰-2, e⁰=1, 3=С-2, С=5.Ответ: y= 5e^x-2.

Из рассмотренных примеров видно, что для решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными надо привести их к уравнению с разделенными переменными.

Для разделения переменных надо в зависимости от вида уравнения проделать следующие операции (может быть не все):

Производные функции заменить её дифференциалами;
Сгруппировать члены с одинаковыми дифференциалами и записать их в разных частях равенства;
Поделить или умножить обе части равенства на такие выражения, чтобы все функции стояли при «своих» дифференциалах, т. е. привести уравнение к виду g(y)dy=f(x)dx;
Проинтегрировать обе части равенства.

Изучив этот раздел, предлагаем ответить на контрольные вопросы и приступить к выполнению заданий тестов карт контроля (Приложение 2).

Контрольные вопросы

1. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными?

2. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными?

3. Что надо делать, чтобы разделить переменные?

Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Наиболее простым дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида:

. В нем в левой части стоит функция , зависящая только от переменной , а в правой — функция , зависящая только от переменной . Такое дифференциальное уравнение называют уравнением с разделенными переменными.

Для нахождения решения такого уравнения достаточно взять интеграл от обеих частей:

Пример №38.4.

Найдите решение дифференциального уравнения:

Решение:

Данное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения:

. Тогда

— общее решение дифференциального уравнения .

Ответ:

Если дифференциальное уравнение путем преобразований можно привести к виду

, то оно называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения такого уравнения необходимо:

Если в уравнении встречается , то представить его как .
Произвести разделение переменных (в одной части при собрать выражения, содержащие только переменную ; в другой части при собрать выражения, содержащие только переменную ).
Почленно проинтегрировать уравнение с разделенными переменными.

Пример №38.5.

Найдите решение дифференциального уравнения:

Решение:

Данное уравнение — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Представим

, тогда или .

Будем собирать множители с

в левой части, с — в правой: .

Интегрируя обе части, получим:

или — общее решение.

Ответ:

Замечание. Иногда при нахождении решения дифференциального уравнения, каждое слагаемое которого представляет собой натуральный логарифм, в качестве константы можно выбирать

. Такую операцию можно было бы произвести в примере 38.5. Тогда общее решение дифференциального уравнения имело бы вид: . Применим свойства логарифма: или . Откуда можно заключить, что . Этот прием особенно эффективен при решении задачи Коши.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

разделяемых уравнений

Проще говоря, дифференциальное уравнение называется отделимым , если переменные могут быть разделены. То есть разделимое уравнение – это уравнение, которое можно записать в виде

Как только это будет сделано, все, что нужно для решения уравнения, – это интегрировать обе части. Таким образом, метод решения разделяемых уравнений можно резюмировать следующим образом: Разделите переменные и проинтегрируйте .

Пример 1 : Решите уравнение 2 y dy = ( x ² + 1) dx .

Поскольку это уравнение уже выражено в «разделенной» форме, просто проинтегрируйте:

Пример 2 : Решите уравнение

Это уравнение разделимо, так как переменные могут быть разделены:

Интеграл от левой части последнего уравнения равен просто

, а интеграл правой части вычисляется с помощью интегрирования по частям:

Таким образом, решение дифференциального уравнения равно

Пример 3 : Решить IVP

Уравнение можно переписать следующим образом:

Объединение обеих сторон дает

Поскольку начальное условие утверждает, что y = 1 при x = 0, параметр c может быть оценен:

Таким образом, решение IVP равно

Пример 4 : Найти все решения дифференциального уравнения ( x ² – 1) y ³ dx + x ² dy = 0.

Разделение переменных и последующее интегрирование обеих сторон дает

Хотя проблема кажется законченной, существует другое решение данного дифференциального уравнения, которое не описывается семейством ½ y ⁻² = x ⁻¹ + x + c . На этапе разделения, отмеченном (†), обе стороны были разделены на y ³. Эта операция предотвратила получение y = 0 в качестве решения (поскольку деление на ноль запрещено).Однако так сложилось, что y = 0 является решением данного дифференциального уравнения, как вы можете легко проверить (примечание: y = 0 ⇒ dy = 0).

Таким образом, полное решение этого уравнения должно включать

Урок ясен:

Если обе части разделяемого дифференциального уравнения разделены некоторой функцией f ( y ) (то есть функцией зависимой переменной) в процессе разделения, то действительное решение может быть потеряно.В качестве последнего шага вы должны проверить, действительно ли функция константы y = y ₀ [где f ( y ₀) = 0] является решением данного дифференциального уравнения. Если это так, и если семейство решений, найденное путем интегрирования обеих частей разделенного уравнения, не включает эту постоянную функцию, то это дополнительное решение должно быть указано отдельно, чтобы решить проблему.

Пример 5 : Решите уравнение

Разделение переменных дает

(Чтобы получить эту разделенную форму, обратите внимание, что обе части исходного уравнения были разделены на y ² – 1.Таким образом, постоянные функции y = 1 и y = -1 могут быть потеряны как возможные решения; это нужно будет проверить позже.) Интегрирование обеих частей разделенного уравнения дает

Теперь обе постоянные функции y = 1 и y = –1 являются решениями исходного дифференциального уравнения (как вы можете проверить, просто отметив, что y = ± 1 ⟹ dy / dx = 0), и ни то, ни другое не описывается семейством выше.Таким образом, полный набор решений данного дифференциального уравнения включает

Пример 6 : Решите дифференциальное уравнение xydx – ( x ² + 1) dy = 0.

Разделите переменные,

и интегрировать обе стороны:

Обратите внимание, что на этапе разделения (†) обе стороны были разделены на y ; таким образом, решение y = 0 могло быть потеряно.Прямая подстановка постоянной функции y = 0 в исходное дифференциальное уравнение показывает, что это действительно решение. Однако семейство y ² = c ( x ² + 1) уже включает функцию y = 0 (возьмем c = 0), поэтому нет необходимости упоминать ее отдельно.

Пример 7 : Найдите кривую r = r (θ) в полярных координатах, которая решает IVP

Данное уравнение разделимо, так как может быть выражено в разделенной форме

Теперь объедините обе стороны:

Так как кривая решения должна проходить через точку с полярными координатами ( r , θ) = (2, π),

Таким образом, решение IVP равно

Это окружность диаметром 2, касательная к оси y в начале координат; см. рисунок.Примечание. На этапе разделения (†) обе стороны были разделены на 900 (что здесь является зависимой переменной). Однако, хотя r = 0 формально удовлетворяет дифференциальному уравнению, оно явно не удовлетворяет начальному условию r (π) = 2.

Рисунок 1

Дифференциальные уравнения – разделяемые уравнения

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-2: Разделимые уравнения

Теперь мы приступим к рассмотрению нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка.Первый тип нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, который мы рассмотрим, – это сепарабельные дифференциальные уравнения.

Разделимое дифференциальное уравнение – это любое дифференциальное уравнение, которое мы можем записать в следующей форме.

\ [\ begin {уравнение} N \ left (y \ right) \ frac {{dy}} {{dx}} = M \ left (x \ right) \ label {eq: eq1} \ end {уравнение} \]

Обратите внимание, что для того, чтобы дифференциальное уравнение было разделимым, все \ (y \) в дифференциальном уравнении должны быть умножены на производную, а все \ (x \) в дифференциальном уравнении должны быть на другом сторона знака равенства.

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, сначала проинтегрируем обе части относительно \ (x \), чтобы получить,

\ [\ int {{N \ left (y \ right) \ frac {{dy}} {{dx}} \, dx}} = \ int {{M \ left (x \ right) \, dx}} \ ]

Теперь помните, что \ (y \) на самом деле \ (y \ left (x \ right) \), поэтому мы можем использовать следующую замену:

\ [u = y \ left (x \ right) \ hspace {0,25 дюйма} du = y ‘\ left (x \ right) \, dx = \ frac {{dy}} {{dx}} \, dx \]

Применяя эту замену к интегралу, получаем

\ [\ begin {уравнение} \ int {{N \ left (u \ right) \, du}} = \ int {{M \ left (x \ right) \, dx}} \ label {eq: eq2} \ конец {уравнение} \]

На этом этапе мы можем (надеюсь) интегрировать обе стороны, а затем обратно подставить \ (u \) в левой части.Обратите внимание, что, как подразумевается в предыдущем предложении, на данный момент может оказаться невозможным вычислить один или оба интеграла. Если это так, то мы мало что можем сделать, чтобы использовать этот метод для решения дифференциального уравнения.

Итак, описанный выше процесс является математически правильным способом решения этого дифференциального уравнения. Однако обратите внимание, что если мы «отделим» производную, мы можем записать дифференциальное уравнение как,

\ [N \ left (y \ right) dy = M \ left (x \ right) dx \]

Очевидно, что мы не можем таким образом отделить производные, но давайте представим, что можем, и увидим, что приходим к ответу с меньшими усилиями.

Теперь мы объединяем обе стороны этого, чтобы получить,

\ [\ begin {уравнение} \ int {{N \ left (y \ right) dy}} = \ int {{M \ left (x \ right) dx}} \ label {eq: eq3} \ end {уравнение} \]

Итак, если мы сравним \ (\ eqref {eq: eq2} \) и \ (\ eqref {eq: eq3} \), мы увидим, что единственная разница находится слева, и даже тогда единственная реальная разница – \ (\ eqref {eq: eq2} \) имеет интеграл в терминах \ (u \), а \ (\ eqref {eq: eq3} \) имеет интеграл в терминах \ (y \). В остальном реальной разницы нет.Интеграл слева – это точно такой же интеграл в каждом уравнении. Единственное отличие – буква, используемая в интеграле. Если мы проинтегрируем \ (\ eqref {eq: eq2} \), а затем подставим обратно вместо \ (u \), мы получим то же самое, как если бы мы просто интегрировали \ (\ eqref {eq: eq3} \) от начала.

Поэтому, чтобы облегчить работу, мы просто воспользуемся \ (\ eqref {eq: eq3} \), чтобы найти решение дифференциального уравнения. Кроме того, после выполнения интеграций у нас будет неявное решение, которое мы, надеюсь, сможем найти для явного решения, \ (y (x) \).Обратите внимание, что не всегда можно найти явное решение.

Напомним из раздела «Определения», что неявное решение – это решение, которое не имеет формы \ (y = y \ left (x \ right) \), в то время как явное решение было записано в этой форме.

Нам также придется побеспокоиться о сроке действия многих из этих решений. Напомним, что интервал достоверности был диапазоном независимой переменной, \ (x \) в данном случае, на которой решение действительно.Другими словами, нам нужно избегать деления на ноль, комплексные числа, логарифмы отрицательных чисел или нуля, и т. Д. Большинство решений, которые мы получим из разделяемых дифференциальных уравнений, не будут действительны для всех значений \ (x \ ).

Давайте начнем с довольно простого примера, чтобы мы могли увидеть процесс, не теряясь в деталях других проблем, которые часто возникают в связи с этими проблемами.

Пример 1 Решите следующее дифференциальное уравнение и определите интервал применимости решения.2} x \ hspace {0.25in} \, \, \, y \ left (1 \ right) = \ frac {1} {{25}} \] Показать решение

Понятно, надеюсь, что это дифференциальное уравнение разделимо. Итак, давайте разделим дифференциальное уравнение и проинтегрируем обе части. Как и в случае с линейным первым порядком, официально мы возьмем константу интегрирования с обеих сторон из интегралов по обе стороны от знака равенства. Их можно переместить в одну сторону и впитать друг в друга. Мы будем использовать соглашение, которое помещает единственную константу на сторону с \ (x \), учитывая, что мы в конечном итоге будем решать для \ (y \), и поэтому константа в любом случае окажется на этой стороне.2}}} \ end {выровнять *} \]

Теперь, что касается решений, у нас есть решение. Однако нам нужно начать беспокоиться о сроках действия.

Напомним, что есть два условия, которые определяют срок действия. Во-первых, это должен быть непрерывный интервал без разрывов и отверстий. Во-вторых, он должен содержать значение независимой переменной в начальном условии, в данном случае x = 1.

Итак, в нашем случае нам нужно избежать двух значений \ (x \).А именно, \ (x \ ne \ pm \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} \ приблизительно \ pm \, 3.05505 \), поскольку они дадут нам деление на ноль. Это дает нам три возможных интервала действия.

\ [- \ infty

Однако только один из них будет содержать значение \ (x \) из начального условия, поэтому мы можем видеть, что

\ [- \ sqrt {\ frac {{28}} {3}}

должен быть интервалом действия для этого решения.

Вот график решения.

Обратите внимание, что это не означает, что любой из двух других интервалов, перечисленных выше, не может быть интервалом действия для любого решения дифференциального уравнения. При правильном начальном условии любое из этих условий могло быть периодом действия.

Мы предоставим вам возможность проверить детали следующих претензий. Если мы используем начальное условие

\ [y \ left ({- 4} \ right) = – \ frac {1} {{20}} \]

мы получим точно такое же решение, но в этом случае интервал действия будет первым.

\ [- \ infty

Аналогично, если мы используем

\ [y \ left (6 \ right) = – \ frac {1} {{80}} \]

в качестве начального условия мы снова получаем точно такое же решение, и в этом случае третий интервал становится интервалом действия.

\ [\ sqrt {\ frac {{28}} {3}}

Итак, простое изменение начального условия может дать любой из возможных интервалов.

Пример 2 Решите следующую IVP и найдите срок действия решения.2} – 4x – 2} \ right) = 0 \]

Чтобы решить это, все, что нам нужно понять, это то, что оно квадратично по \ (y \), и поэтому мы можем использовать квадратную формулу для его решения. Однако, в отличие от квадратиков, к которым вы привыкли, по крайней мере, некоторые из «констант» на самом деле не будут постоянными, а будут включать \ (x \) ‘s. 2} – 4x – 2} \ right)}}} {2} \ end {align *} \]

Затем обратите внимание, что мы можем вынести 4 из-под квадратного корня (получится 2…), а затем немного упростить.2} – 4x + 2} \ end {align *} \]

Мы почти у цели. Обратите внимание, что на самом деле у нас здесь два решения («\ (\ pm \)»), и нам нужно только одно решение. На самом деле верным может быть только один из признаков. Итак, чтобы выяснить, какой из них правильный, мы можем повторно применить к нему начальное условие. Только один из знаков даст правильное значение, поэтому мы можем использовать его, чтобы выяснить, какой из знаков правильный. Включение \ (x \) = 1 в решение дает.

\ [3 = y \ left (1 \ right) = 2 \ pm \ sqrt {1 + 2 – 4 + 2} = 2 \ pm 1 = 3, \, 1 \]

В этом случае похоже, что «+» – правильный знак для нашего решения.2} – 4x + 2 \ ge 0 \]

Другими словами, нам нужно убедиться, что величина под радикалом остается положительной.

Используя систему компьютерной алгебры, такую как Maple или Mathematica, мы видим, что левая часть равна нулю при \ (x \) = –3,36523, а также два комплексных значения, но мы можем игнорировать комплексные значения для вычислений интервала достоверности. Наконец, ниже показан график количества под радикалом.

Итак, чтобы получить реальные решения, нам потребуется \ (x \ ge – 3.{\ mbox {36523}} \), потому что это диапазон значений \ (x \), для которых величина положительна. Также обратите внимание, что этот интервал также содержит значение \ (x \), которое находится в начальном состоянии, как и должно.

Следовательно, интервал действия решения равен \ (x \ ge – 3. {\ Mbox {36523}} \).

Вот график решения.

Пример 3 Решите следующую IVP и найдите интервал годности решения.2} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что мы смогли возвести в квадрат обе стороны неравенства, потому что в этом случае обе стороны неравенства гарантированно будут положительными. Наконец, решая для \ (x \), мы видим, что единственный возможный диапазон \ (x \) ’, который не дает деления на ноль или квадратных корней из отрицательных чисел, будет

\ [- \ frac {{\ sqrt 5}} {2}

и, что довольно хорошо, это также содержит начальное условие \ (x = 0 \). Таким образом, этот интервал является нашим сроком действия.2} – 4x – 4> 0 \]

Квадратичная функция будет равна нулю в двух точках \ (x = 2 \ pm 2 \ sqrt 2 \). График квадратичной зависимости (показанный ниже) показывает, что на самом деле есть два интервала, в которых мы получим положительные значения многочлена и, следовательно, могут быть возможные интервалы достоверности.

Итак, возможные интервалы действия –

\ [\ begin {array} {c} – \ infty

Из квадратичного графика видно, что второй содержит \ (x \) = 5, значение независимой переменной из начального условия.2}}} dr}} & = \ int {{\ frac {1} {\ theta} d \ theta}} \\ – \ frac {1} {r} & = \ ln \ left | \ тета \ право | + c \ end {align *} \]

Теперь примените начальное условие, чтобы найти \ (c \).

\ [- \ frac {1} {2} = \ ln \ left (1 \ right) + c \ hspace {0,25 дюйма} c = – \ frac {1} {2} \]

Итак, неявное решение:

\ [- \ frac {1} {r} = \ ln \ left | \ тета \ право | – \ frac {1} {2} \]

Решение для \ (r \) дает нам явное решение.

\ [r = \ frac {1} {{\ frac {1} {2} – \ ln \ left | \ theta \ right |}} \]

Итак, есть две проблемы для нашего решения. Во-первых, нам нужно избегать \ (\ theta = 0 \) из-за натурального логарифма. Обратите внимание, что из-за абсолютного значения \ (\ theta \) нам не нужно беспокоиться о том, что \ (\ theta \) будет отрицательным. Нам также нужно будет избегать деления на ноль. Другими словами, нам нужно избегать следующих моментов.

\ [\ begin {align *} \ frac {1} {2} – \ ln \ left | \ тета \ право | & = 0 \\ \ ln \ left | \ тета \ право | & = \ frac {1} {2} \ hspace {0.{\ frac {1} {2}}} \\ \ theta & = \ pm \ sqrt {\ bf {e}} \ end {align *} \]

Итак, эти три точки разбивают числовую строку на четыре части, каждая из которых может быть периодом действия.

\ [\ begin {array} {c} – \ infty

Фактическим интервалом действия будет тот, который содержит \ (\ theta = 1 \). Следовательно, срок действия равен \ (0 <\ theta <\ sqrt {\ bf {e}} \).

Вот график решения.2} + 2t + 3} \ right) + \ frac {5} {2} \]

Невозможно найти явное решение этой проблемы, поэтому нам придется оставить решение в его неявной форме. Поиск интервалов достоверности из неявных решений часто может быть очень трудным, поэтому мы также не будем беспокоиться об этом для этой проблемы.

Как показал этот последний пример, не всегда можно найти явные решения, поэтому будьте начеку в таких случаях.

Разделение переменных

Разделение переменных – это специальный метод решения некоторых дифференциальных уравнений

Когда я могу его использовать?

Разделение переменных может использоваться, когда:

Все члены y (включая dy) можно переместить в одну часть уравнения, а

Все члены x (включая dx) на другую сторону.

Метод

Три ступени:

Шаг 1 Переместите все члены y (включая dy) в одну сторону уравнения и все члены x (включая dx) в другую сторону.
Шаг 2 Объедините одну сторону относительно y , а другую сторону относительно x . Не забудьте “+ C” (постоянная интегрирования).
Шаг 3 Упростить

Пример: Решите это (k – константа):

dy dx = ky

Шаг 1 Разделите переменные, переместив все члены y в одну сторону уравнения и все члены x в другую сторону:

Умножаем обе стороны на dx: dy = ky dx

Разделите обе стороны на y: dy y = k dx

Шаг 2 Интегрируйте обе части уравнения отдельно:

Поставьте знак интеграла впереди: ∫ dy y = ∫ k dx

Интегрируйте левую часть: ln (y) + C = ∫ k dx

Интегрируйте правую часть: ln (y) + C = kx + D

C – постоянная интегрирования.И мы используем D для другого, поскольку это другая константа.

Шаг 3 Упростить:

Мы можем свести две константы в одну (a = D − C): ln (y) = kx + a

И e ^{kx + a} = e ^kx e ^a , поэтому получаем: y = e ^kx e ^a

e ^a – это просто константа, поэтому мы заменяем ее на c : y = ce ^kx

Мы решили:

y = ce ^kx

Это общий тип дифференциального уравнения первого порядка, который появляется во всевозможных неожиданных местах в реальных примерах.

Мы использовали y и x , но тот же метод работает для других имен переменных, например:

Пример: кролики!

Чем больше у вас будет кроликов, тем больше вы получите кроликов. Потом кролики вырастают и тоже заводят детей! Население будет расти все быстрее и быстрее.

Важными частями этого являются:

население N в любое время т
темп роста р
Скорость изменения населения dN dt

Скорость изменения в любой момент равна скорости роста , умноженной на численность населения:

dN dt = rN

Но привет! Это то же самое, что и уравнение, которое мы только что решили! Просто у него разные буквы:

N вместо y
т вместо
r вместо

Итак, мы можем перейти к решению:

N = CE ^RT

А вот пример графика N = 0.3e ^2t:

Экспоненциальный рост

Есть и другие уравнения, которые следуют этому шаблону, например, непрерывные сложные проценты.

Другие примеры

Хорошо, перейдем к различным примерам разделения переменных:

Пример: Решите это:

dy dx = 1 y

Шаг 1 Разделите переменные, переместив все члены y в одну сторону уравнения и все члены x в другую сторону:

Умножаем обе стороны на dx: dy = (1 / y) dx

Умножаем обе стороны на y: y dy = dx

Шаг 2 Интегрируйте обе части уравнения отдельно:

Поставьте знак интеграла впереди: ∫ y dy = ∫ dx

Интегрируйте каждую сторону: (y ²) / 2 = x + C

Мы объединили обе стороны в одну линию.

Мы также использовали сокращение только для одной константы интегрирования C. Это совершенно нормально, поскольку мы могли бы иметь + D на одном, + E на другом и просто сказать, что C = E − D.

Шаг 3 Упростить:

Умножаем обе стороны на 2: y ² = 2 (x + C)

Квадратный корень из обеих частей: y = ± √ (2 (x + C))

Примечание: это не то же самое, что y = √ (2x) + C, потому что C было добавлено перед тем, как мы взяли квадратный корень.Это часто случается с дифференциальными уравнениями. Мы не можем просто добавить C в конце процесса. Он добавляется при интеграции.

Мы решили:

у = ± √ (2 (х + С))

Более сложный пример:

Пример: Решите это:

dy dx = 2xy 1 + x ²

Шаг 1 Разделите переменные:

Умножьте обе стороны на dx, разделите обе стороны на y:

1 y dy = 2x 1 + x ² dx

Шаг 2 Интегрируйте обе части уравнения отдельно:

∫ 1 y dy = ∫ 2x 1 + x ² dx

Левая часть представляет собой простой логарифм, правая часть может быть интегрирована с помощью замены:

Пусть u = 1 + x ² , поэтому du = 2x dx : ∫ 1 y dy = ∫ 1 u du

Интегрировать: ln (y) = ln (u) + C

Тогда получаем C = ln (k) : ln (y) = ln (u) + ln (k)

Итак, мы можем получить это: y = uk

Теперь снова положим u = 1 + x ²: y = k (1 + x ²)

Шаг 3 Упростить:

Это уже настолько просто, насколько это возможно.Решили:

у = к (1 + х ²)

Еще более сложный пример: знаменитое уравнение Ферхульста

Пример: снова кролики!

Помните наше дифференциальное уравнение роста:

dN dt = rN

Что ж, этот рост не может продолжаться вечно, так как у них скоро закончится доступная еда.

Парень по имени Ферхульст включил тыс. (максимальное количество населения, которое может содержать еда), чтобы получить:

dN dt = rN (1 − N / k)

Уравнение Ферхульста

Можно ли это решить?

Да, с помощью одной хитрости…

Шаг 1 Разделите переменные:

Умножаем обе части на dt: dN = rN (1 − N / k) dt

Разделите обе стороны на N (1-N / k): 1 N (1-N / k) dN = r dt

Шаг 2 Интегрировать:

∫ 1 N (1 − N / k) dN = ∫ r dt

Хммм … левую сторону сложно интегрировать. На самом деле это можно сделать с помощью небольшого трюка с частичными дробями… переставляем так:

Начнем с этого: 1 N (1 − N / k)

Умножить верх и низ на k: k N (k − N)

Теперь вот трюк, добавьте N и −N к вершине: N + k − N N (k − N)

и разделим его на две фракции: N N (k − N) + k − N N (k − N)

Упростите каждую дробь: 1 k − N + 1 N

Теперь решить намного проще.Мы можем интегрировать каждый член отдельно, например:

Наше полное уравнение теперь выглядит следующим образом: ∫ 1 k − N dN + ∫ 1 N dN = ∫ r dt

Интегрировать: −ln (k − N) + ln (N) = rt + C

(Почему это стало минус ln (k − N)? Потому что мы интегрируем по N.)

Шаг 3 Упростить:

Отрицательное из всех членов: ln (k − N) – ln (N) = −rt – C

Объединить ln (): ln ((k − N) / N) = −rt – C

Разделим степени e: (k − N) / N = e ^−rt e ^−C

e ^−C – постоянная, мы можем заменить ее на A: (k − N) / N = Ae ^−rt

Мы приближаемся! Еще немного алгебры, чтобы получить N само по себе:

Разделите члены дроби: (k / N) −1 = Ae ^−rt

Добавьте 1 к обеим сторонам: k / N = 1 + Ae ^−rt

Разделим оба значения на k: 1 / N = (1 + Ae ^−rt) / k

Взаимное значение обеих сторон: N = k / (1 + Ae ^−rt)

И у нас есть решение:

N = к 1 + Ae ^−rt

Вот пример , график 40 1 + 5e ^−2t

Он начинает экспоненциально расти,
затем выравнивается, достигая k = 40

8.3: Разделимые дифференциальные уравнения – математика LibreTexts

Теперь мы исследуем метод решения для нахождения точных решений класса дифференциальных уравнений, известных как разделимые дифференциальные уравнения. Эти уравнения распространены в самых разных дисциплинах, включая физику, химию и инженерию. Мы проиллюстрируем несколько приложений в конце раздела.

Разделение переменных

Начнем с определения и некоторых примеров.

Определение: разделимые дифференциальные уравнения

Разделимое дифференциальное уравнение – это любое уравнение, которое может быть записано в форме

\ [y ‘= f (x) g (y).2 + 4x \) и \ (g (y) = 1 \), уравнение \ ref {eq3} разделяется с \ (f (x) = 1 \) и \ (g (y) = \ sec y + \ tan y , \) и правую часть уравнения \ ref {eq4} можно разложить на множители как \ ((x + 3) (y − 2) \), так что оно также отделимо. 2−4), y (0) = – 1.2 + x}} \ nonumber \]

Закон охлаждения Ньютона

Закон охлаждения Ньютона гласит, что скорость изменения температуры объекта пропорциональна разнице между его собственной температурой и температурой окружающей среды (т. Е. Температурой окружающей среды). Если мы позволим \ (T (t) \) представлять температуру объекта как функцию времени, тогда \ (\ dfrac {dT} {dt} \) представляет скорость, с которой эта температура изменяется. Температура окружающей среды объекта может быть представлена как \ (T_s \).Тогда закон охлаждения Ньютона можно записать в виде

\ [\ dfrac {dT} {dt} = k (T (t) −T_s) \]

или просто

\ [\ dfrac {dT} {dt} = k (T − T_s). \]

Температура объекта в начале любого эксперимента является начальным значением для задачи начального значения. Мы называем эту температуру \ (T_0 \). Следовательно, задача начальной стоимости, которую необходимо решить, принимает вид

\ [\ dfrac {dT} {dt} = k (T − T_s) \ label {ньютон} \]

с \ (T (0) = T_0 \), где \ (k \) – константа, которую необходимо либо задать, либо определить в контексте проблемы.Мы используем эти уравнения в примере \ (\ PageIndex {4} \).

Пример \ (\ PageIndex {4} \): ожидание остывания пиццы

Пицца вынимается из духовки после тщательного выпекания, и температура в духовке составляет \ (350 ° F \). Температура на кухне составляет \ (75 ° F \), а через \ (5 \) минут температура пиццы составляет \ (340 ° F \). Мы хотели бы подождать, пока температура пиццы не достигнет \ (300 ° F \), прежде чем разрезать и подавать ее (рисунок \ (\ PageIndex {3} \)). Сколько еще нам придется ждать?

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Согласно закону охлаждения Ньютона, если пицца остынет на \ (10 ° F \) за \ (5 \) минут, через какое время она остынет до \ (300 ° F \)?

Решение

Окружающая температура (окружающая температура) составляет \ (75 ° F \), поэтому \ (T_s = 75 \).Температура пиццы, когда она выходит из духовки, составляет \ (350 ° F \), что является начальной температурой (то есть начальным значением), поэтому \ (T_0 = 350 \). Следовательно, уравнение \ ref {newton} становится

\ [\ dfrac {dT} {dt} = k (T − 75) \]

с \ (T (0) = 350. \)

Для решения дифференциального уравнения мы используем пятишаговую технику решения разделяемых уравнений.

1. Установка правой части равной нулю дает \ (T = 75 \) в качестве постоянного решения. Поскольку пицца начинается с \ (350 ° F \), это не то решение, которое мы ищем.{−0.007048t} = \ ln \ dfrac {9} {11} \ nonumber \]

\ [- 0,007048t = \ ln \ dfrac {9} {11} \ nonumber \]

\ [t = – \ dfrac {1} {0.007048} \ ln \ dfrac {9} {11} ≈28,5. \ Nonumber \]

Следовательно, нам нужно подождать еще \ (23,5 \) минут (после того, как температура пиццы достигнет \ (340 ° F \)). Этого времени должно быть достаточно, чтобы закончить расчет.

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Пирог вынимается из духовки после тщательного выпекания, и температура в духовке составляет \ (450 ° F \).Температура на кухне составляет \ (70 ° F \), а через \ (10 \) минут температура торта составляет \ (430 ° F \).

Напишите соответствующую задачу с начальным значением, чтобы описать эту ситуацию.
Решите начальную задачу для \ (T (t) \).
Сколько времени потребуется, чтобы температура пирога опустилась до температуры в пределах \ (5 ° F \) от комнатной?

Подсказка: Определите значения \ (T_s \) и \ (T_0 \), затем используйте уравнение \ ref {newton}.{kt} \ nonumber \]
Ответ c: Примерно \ (114 \) минут.

Разделимые переменные – Дифференциальные уравнения

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Решение разделимых уравнений для исчисления

Разделимые дифференциальные уравнения

Метод разделения переменных

Метод разделения переменных состоит во всех соответствующих алгебраических операциях, применяемых к дифференциальному уравнению (обыкновенному или частному), что позволяет разделять члены в уравнении в зависимости от переменной, которую они содержат.Другими словами, этот метод позволяет переписать «разделяемые уравнения» таким образом, чтобы все члены, содержащие одну из имеющихся переменных, находились по одну сторону от знака равенства в уравнении, в то время как все члены, относящиеся к другой переменной присутствующие переходят по другую сторону от знака равенства; Таким образом, каждая сторона уравнения остается функцией, описываемой только одной переменной, которую можно интегрировать, чтобы найти саму переменную.

Как вы, возможно, уже заметили, в данном случае мы говорим о дифференциальных уравнениях, содержащих только две переменные (обычно y как зависимая переменная и x как независимая переменная.Иногда t используется вместо x). Итак, разделение переменных, применяемое к уравнению, определенному в терминах двух переменных x и y, в конечном итоге представляет собой любую алгебраическую операцию (например, сложение, вычитание, умножение, деление, корни и т. Д.), Которая применяется к обеим сторонам математическое равенство, чтобы мы могли организовать все члены x с одной стороны и все члены y с другой стороны.

Следовательно, не существует универсального набора шагов, которым нужно следовать при работе с исчислением разделения переменных, которое можно даже назвать алгеброй для этой части, поскольку даже полные дифференциалы используются как простые термины для практических целей при разделении.Следовательно, работая с примерами разделения переменных, вам решать, какие операции и в каком порядке они должны быть вычислены в уравнении, чтобы вы могли разделять различные члены переменных.

В этом уроке мы сосредоточимся на решении разделимых дифференциальных уравнений как на методе поиска частного решения для обыкновенного дифференциального уравнения. Уравнение определяется как разделимое, если простые операции алгебры могут привести к результату, подобному рассмотренному выше (размещение различных переменных в уравнении по отдельности с каждой стороны равенства).Кроме того, убедитесь, что вы знакомы с тем, что такое дифференциальное уравнение, прежде чем продолжить этот урок, если у вас нет большого опыта работы с дифференциальными уравнениями, мы рекомендуем вам взглянуть на урок введения в дифференциальные уравнения, прежде чем продолжить наша тема.

Прежде чем перейти к следующему разделу, позвольте сказать еще несколько слов о методе нахождения решений дифференциальных уравнений путем разделения переменных: Этот метод является одним из наиболее часто используемых для решения разделимых дифференциальных уравнений первого порядка, поскольку один из простейших подходов, которые у нас есть для получения их конкретных решений, и даже если у вас есть проблемы, которые нужно решить, содержащие неразделимые дифференциальные уравнения, вы можете проработать первые этапы проблемы с помощью различных методов (которые вы увидите на следующих уроках) и в какой-то момент вы можете обнаружить, что вам все равно придется использовать разделение после того, как произошло упрощение.

В заключение, дифференциальные уравнения с разделением переменных относятся к тем задачам, которые содержат типичное обыкновенное дифференциальное уравнение или уравнение в частных производных, которое является разделимым. Таким образом, первое, что вам нужно сделать, чтобы узнать, можете ли вы использовать этот метод при работе над данной проблемой, – это узнать, есть ли у вас разделяемое уравнение или нет.

Как определить разделимость дифференциального уравнения

Разделимые дифференциальные уравнения имеют общий вид:

Уравнение 1: общий вид разделимого дифференциального уравнения Где:
f (y) – функция от y.
g (x) – функция от x.
dy / dx – это скорость изменения y в единицах x

В таких уравнениях вы обнаружите, что функция y, умноженная на полную производную y по независимой переменной (в данном случае x), будет равна функции x. Чтобы полностью «разделить» их, нам нужно, чтобы все x были на одной стороне, поэтому мы перемещаем член dx (полный дифференциал x) вправо, «умножая» его с обеих сторон, как если бы это был общий алгебраический термин. :

Уравнение 2: Алгебраическая уловка для разделения дифференциального уравнения.

Важно знать, что это уловка, а не истинная математическая операция, которая происходит при сдвиге dx из левой части в правую. Путь, которым движется полный дифференциал dx, включает в себя очень сложную операцию и исходит из определения полной производной в терминах частных производных. В практических целях мы оставим такие темы на потом, а пока просто воспользуемся этой “уловкой”.

Обратите внимание, что уравнение 1 дает только разделимые дифференциальные уравнения первого порядка, а это означает, что самая высокая производная, которую вы найдете в них, является первой производной от y.Причина этого в том, что мы в основном используем эту технику для таких уравнений, поскольку они, как правило, являются более управляемыми, а значит, те, которые мы можем переставить, чтобы разделить различные переменные.

Мы поговорим о методах решения уравнений, содержащих производные более высокого порядка, в будущих уроках, и хотя они будут гораздо более устойчивыми с математической точки зрения, как мы упоминали ранее, вы будете счастливы увидеть, что иногда разделение является вспомогательным инструментом на некоторых этапах проблемы более высокого уровня.

Как решить разделимые дифференциальные уравнения

Чтобы решить разделимые дифференциальные уравнения, вам необходимо выполнить следующие простые шаги. Для задач без начальных значений вам необходимо найти общее решение и, таким образом, перейти к шагу 3, для задач с начальными значениями (с начальными условиями) вы должны пройти все шаги, чтобы найти конкретное решение.

Поместите все члены y из уравнения с одной стороны и все члены x с другой.
Интегрируйте каждую сторону.
1. Для этого шага вам, возможно, придется использовать разные методы интегрирования в зависимости от уравнения, которое вы должны интегрировать. Такими методами могут быть:
  1. U-замещение
  2. Интеграция по частям
  3. Интеграция с использованием тригонометрических тождеств
  4. Тригонометрическая замена
  5. Интеграция рациональных функций частичными дробями
    * Обязательно просмотрите эти уроки, чтобы подготовиться к этим первообразным.
Решите относительно y, чтобы получить общее решение.
Если задано начальное условие, примените значение к общему решению и найдите значение неизвестной константы c.
Получите частное решение, подставив значение c в общее решение.

Помните, что это общие шаги, которые необходимо выполнить для полного решения дифференциального уравнения, которое можно разделить, но обратите внимание, что сама разделительная часть происходит только на шаге 1.Как упоминалось ранее, у первого шага нет единого универсального решения, и вам нужно выяснить, как разделить все x и y.

Теперь, когда у вас есть простой набор инструкций, давайте рассмотрим несколько примеров разделимых дифференциальных уравнений:

Пример 1

Найдите общее решение следующего дифференциального уравнения:

Уравнение, например 1: Разделимое дифференциальное уравнение

Важно отметить, что знаки были добавлены к нашему общему уравнению решения, потому что, если бы у нас было начальное условие для задачи, результирующее значение могло бы быть либо положительным, либо отрицательным, если их абсолютное значение одинаково. {\ small2} \ right) = \ left (a + b \ right) \ left (ab \ right) (a2 − b2) = (a + b) (a − b), поэтому мы можем переписать левую часть как:

В этом случае мы не будем решать для y, поскольку это еще больше усложняет уравнение, поэтому мы просто говорим, что это наиболее практичный способ представить взаимосвязь между y и x, и, таким образом, это наше общее решение.

При решении общих решений всегда старайтесь найти y и максимально упростить выражение. Для этой проблемы, если бы у нас было условие начального значения, мы могли бы применить его, решить для неизвестной константы, а затем явно решить для y, вероятно, намного упростив выражение, но поскольку начальное значение не было задано, это наиболее подходящее решение. могу сделать на данный момент.

Пример 3

Получите общее решение для дифференциального уравнения ниже:

Уравнение, например 3: разделимое дифференциальное уравнение

Пример 4

Вычислите общее решение приведенного ниже дифференциального уравнения:

Уравнение, например 4: Разделимое дифференциальное уравнение

Пример 5

Вычислите общее решение приведенного ниже дифференциального уравнения: Уравнение, например 5: Разделимое дифференциальное уравнение

Теперь нам пора изучить задачи, содержащие начальные условия, другими словами, мы будем решать дифференциальные уравнения, для которых вам известен один конкретный результат.Таким образом, вы можете применить информацию, которую вы знаете об этом дифференциальном уравнении, чтобы вы могли найти значение неизвестной константы и получить конкретное решение дифференциального уравнения.

Эти проблемы мы называем проблемами начального значения, поскольку они изначально предоставляют определенные значения, чтобы найти более конкретное решение. Помните, что для этих проблем мы пройдем весь список шагов, указанных в начале этого раздела, чтобы найти решение.

Пример 6

Найдите частное решение дифференциального уравнения первого порядка, используйте разделение переменных для решения задачи начального значения с условием y (0) = 2.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: примеры

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными f(y)dy=g(x)dx

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=f(ax+by),

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=fxy или y’=fyx

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

2. 2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Задача 2

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

разделяемых уравнений

Дифференциальные уравнения – разделяемые уравнения

Раздел 2-2: Разделимые уравнения

Разделение переменных

Когда я могу его использовать?

Метод

Пример: Решите это (k – константа):

Пример: кролики!

Другие примеры

Пример: Решите это:

Пример: Решите это:

Пример: снова кролики!

8.3: Разделимые дифференциальные уравнения – математика LibreTexts

Разделение переменных

Закон охлаждения Ньютона

Разделимые переменные – Дифференциальные уравнения

Решение разделимых уравнений для исчисления

Разделимые дифференциальные уравнения

Метод разделения переменных

Как определить разделимость дифференциального уравнения

Как решить разделимые дифференциальные уравнения

Пример 1

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Оставить комментарий Отменить ответ