Ду с разделяющимися переменными примеры: Страница не найдена – РЕГИОНАЛЬНЫЙ ОТКРЫТЫЙ СОЦИАЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ

Например.

Общее решение такого уравнения ищется с помощью интегрирования обеих частей равенства :

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными сводятся к дифференциальным уравнениям с разделенными переменными делением на произведение :

Подробнее о дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными читайте в отдельной статье.

4. Дифференциальные уравнения вида

сводятся к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены

5. Однородным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение , удовлетворяющее условию

Однородные дифференциальные уравнения можно свисти к уравнению вида или , которое с помощью замены

Подробнее об однородных дифференциальных уравнениях читайте в отдельной статье.

6. Дифференциальные уравнения , где коэффициенты – некоторые действительные числа.

Если , то данное уравнение является однородным и методика получения его решения описана выше.

Рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел или отлично от нуля. Выполним заменой (введем новые переменные)

Здесь – некоторые числа. При этом

Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, будем иметь:

или

Величины будем выбирать так, чтобы свободные коэффициенты в числителе и знаменателе последнего дифференциального уравнения равнялись нулю. То есть h и k найдем из системы

С учетом этого уравнение сводится к дифференциальному уравнению

которое является однородным.

Решение дифференциальных уравнений с неразделяющимися переменными.

В целом ряде обыкновенных ДУ 1 -го порядка существуют такие, в которых переменные х и у можно разнести в правую и левую части записи уравнения. Переменные могут быть уже разделены, как это можно видеть в уравнении f (y) d y = g (x) d x . Разделить переменные в ОДУ f 1 (y) · g 1 (x) d y = f 2 (y) · g 2 (x) d x можно путем проведения преобразований. Чаще всего для получения уравнений с разделяющимися переменными применяется метод введения новых переменных.

В этой теме мы подробно разберем метод решения уравнений с разделенными переменными. Рассмотрим уравнения с разделяющимися переменными и ДУ, которые можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными. В разделе мы разобрали большое количество задач по теме с подробным разбором решения.

Для того, чтобы облегчить себе усвоение темы, рекомендуем ознакомиться с информацией, которая размещена на странице «Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений».

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными f (y) d y = g (x) d x

Уравнениями с разделенными переменными называют ДУ вида f (y) d y = g (x) d x . Как следует из названия, переменные, входящие в состав выражения, находятся по обе стороны от знака равенства.

Договоримся, что функции f (y) и g (x) мы будем считать непрерывными.

Для уравнений с разделенными переменными общий интеграл будет иметь вид ∫ f (y) d y = ∫ g (x) d x . Общее решение ДУ в виде неявно заданной функции Ф (x , y) = 0 мы можем получить при условии, что интегралы из приведенного равенства выражаются в элементарных функциях. В ряде случаев выразить функцию у получается и в явном виде.

Пример 1

Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными y 2 3 d y = sin x d x .

Решение

Проинтегрируем обе части равенства:

∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x

Это, по сути, и есть общее решение данного ДУ. Фактически, мы свели задачу нахождения общего решения ДУ к задаче нахождения неопределенных интегралов.

Теперь мы можем использовать таблицу первообразных для того, чтобы взять интегралы, которые выражаются в элементарных функциях:

∫ y 2 3 d y = 3 5 y 5 3 + C 1 ∫ sin x d x = – cos x + C 2 ⇒ ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x ⇔ 3 5 y 3 5 + C 1 = – cos x + C 2
где С 1 и С 2 – произвольные постоянные.

Функция 3 5 y 3 5 + C 1 = – cos x + C 2 задана неявно. Она является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Мы получили ответ и можем не продолжать решение. Однако в рассматриваемом примере искомую функцию можно выразить через аргумент х явно.

Получаем:

3 5 y 5 3 + C 1 ⇒ y = – 5 3 cos x + C 3 5 , где C = 5 3 (C 2 – C 1)

Общим решением данного ДУ является функция y = – 5 3 cos x + C 3 5

Ответ:

Мы можем записать ответ несколькими способами: ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x или 3 5 y 5 3 + C 1 = – cos x + C 2 , или y = – 5 3 cos x + C 3 5

Всегда стоит давать понять преподавателю, что вы наряду с навыками решения дифференциальных уравнений также располагаете умением преобразовывать выражения и брать интегралы. Сделать это просто. Достаточно дать окончательный ответ в виде явной функции или неявно заданной функции Ф (x , y) = 0 .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными f 1 (y) · g 1 (x) d y = f 2 (y) · g 2 (x) d x

y ” = d y d x в тех случаях, когда у является функцией аргумента х.

В ДУ f 1 (y) · g 1 (x) d y = f 2 (y) · g 2 (x) d x или f 1 (y) · g 1 (x) · y ” = f 2 (y) · g 2 (x) d x мы можем провести преобразования таким образом, чтобы разделить переменные. Этот вид ДУ носит название ДУ с разделяющимися переменными. Запись соответствующего ДУ с разделенными переменными будет иметь вид f 1 (y) f 2 (y) d y = g 2 (x) g 1 (x) d x .

Разделяя переменные, необходимо проводить все преобразования внимательно для того, чтобы избежать ошибок. Полученное и исходное уравнения должны быть эквивалентны друг другу. В качестве проверки можно использовать условие, по которому f 2 (y) и g 1 (x) не должны обращаться в ноль на интервале интегрирования. Если это условие не выполняется, то есть вероятность, что ы потеряем часть решений.

Пример 2

Найти все решения дифференциального уравнения y ” = y · (x 2 + e x) .

Решение

Мы можем разделить х и у, следовательно, мы имеем дело с ДУ с разделяющимися переменными.

y ” = y · (x 2 + e x) ⇔ d y d x = y · (x 2 + e x) ⇔ d y y = (x 2 + e x) d x п р и y ≠ 0

При у = 0 исходное уравнение обращается в тождество: 0 ” = 0 · (x 2 + e x) ⇔ 0 ≡ 0 . Это позволят нам утверждать, что у = 0 является решением ДУ. Это решение мы могли не учесть при проведении преобразований.

Выполним интегрирование ДУ с разделенными переменными d y y = (x 2 + e x) d x:
∫ d y y = ∫ (x 2 + e x) d x ∫ d y y = ln y + C 1 ∫ (x 2 + e x) d x = x 3 3 + e x + C 2 ⇒ ln y + C 1 = x 3 3 + e x + C 2 ⇒ ln y = x 3 3 + e x + C

Проводя преобразование, мы выполнили замену C 2 – C 1 на С . Решение ДУ имеет вид неявно заданной функции ln y = x 3 3 + e x + C . Эту функцию мы в состоянии выразить явно. Для этого проведем потенцирование полученного равенства:

ln y = x 3 3 + e x + C ⇔ e ln y = e x 3 3 + e x + C ⇔ y = e x 3 3 + e x + C

Ответ: y = e x 3 3 + e x + C , y = 0

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y ” = f (a x + b y) ,

Для того, чтобы привести обыкновенное ДУ 1 -го порядка y ” = f (a x + b y) , a ≠ 0 , b ≠ 0 , к уравнению с разделяющимися переменными, необходимо ввести новую переменную z = a x + b y , где z представляет собой функцию аргумента x .

Получаем:

z = a x + b y ⇔ y = 1 b (z – a x) ⇒ y ” = 1 b (z ” – a) f (a x + b y) = f (z)

Проводим подстановку и необходимые преобразования:

y ” = f (a x + b y) ⇔ 1 b (z ” – a) = f (z) ⇔ z ” = b f (z) + a ⇔ d z b f (z) + a = d x , b f (z) + a ≠ 0

Пример 3

Найдите общее решение дифференциального уравнения y ” = 1 ln (2 x + y) – 2 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (0) = e .

Решение

Введем переменную z = 2 x + y , получаем:

y = z – 2 x ⇒ y ” = z ” – 2 ln (2 x + y) = ln z

Результат, который мы получили, подставляем в исходное выражение, проводим преобразование его в ДУ с разделяющимися переменными:

y ” = 1 ln (2 x + y) – 2 ⇔ z ” – 2 = 1 ln z – 2 ⇔ d z d x = 1 ln z

Проинтегрируем обе части уравнения после разделения переменных:

d z d z = 1 ln z ⇔ ln z d z = d x ⇔ ∫ ln z d z = ∫ d x

Применим метод интегрирования по частям для нахождения интеграла, расположенного в левой части записи уравнения. Интеграл правой части посмотрим в таблице.

∫ ln z d z = u = ln z , d v = d z d u = d z z , v = z = z · ln z – ∫ z d z z = = z · ln z – z + C 1 = z · (ln z – 1) + C 1 ∫ d x = x + C 2

Мы можем утверждать, что z · (ln z – 1) + C 1 = x + C 2 . Теперь, если мы примем, что C = C 2 – C 1 и проведем обратную замену z = 2 x + y , то получим общее решение дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции:

(2 x + y) · (ln (2 x + y) – 1) = x + C

Теперь примемся за нахождение частного решения, которое должно удовлетворять начальному условию y (0) = e . Проведем подстановку x = 0 и y (0) = e в общее решение ДУ и найдем значение константы С.

(2 · 0 + e) · (ln (2 · 0 + e) – 1) = 0 + C e · (ln e – 1) = C C = 0

Получаем частное решение:

(2 x + y) · (ln (2 x + y) – 1) = x

Так как в условии задачи не был задан интервал, на котором необходимо найти общее решение ДУ, то мы ищем такое решение, которое подходит для всех значений аргумента х, при которых исходное ДУ имеет смысл.

В нашем случае ДУ имеет смысл при ln (2 x + y) ≠ 0 , 2 x + y > 0

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y ” = f x y или y ” = f y x

Мы можем свести ДУ вида y ” = f x y или y ” = f y x к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными путем выполнения замены z = x y или z = y x , где z – функция аргумента x .

Если z = x y , то y = x z и по правилу дифференцирования дроби:

y ” = x y ” = x ” · z – x · z ” z 2 = z – x · z ” z 2

В этом случае уравнения примут вид z – x · z ” z 2 = f (z) или z – x · z ” z 2 = f 1 z

Если принять z = y x , то y = x ⋅ z и по правилу производной произведения y ” = (x z) ” = x ” z + x z ” = z + x z ” . В этом случае уравнения сведутся к z + x z ” = f 1 z или z + x z ” = f (z) .

Пример 4

Решите дифференциальное уравнение y ” = 1 e y x – y x + y x

Решение

Примем z = y x , тогда y = x z ⇒ y ” = z + x z ” . Подставим в исходное уравнение:

y ” = 1 e y x – y x + y x ⇔ z + x z ” = 1 e z – z + z ⇔ x · d z d x = 1 e z – z ⇔ (e z – z) d z = d x x

Проведем интегрирование уравнения с разделенными переменными, которое мы получили при проведении преобразований:

∫ (e z – z) d z = ∫ d x x e z – z 2 2 + C 1 = ln x + C 2 e z – z 2 2 = ln x + C , C = C 2 – C 1

Выполним обратную замену для того, чтобы получить общее решение исходного ДУ в виде функции, заданной неявно:

e y x – 1 2 · y 2 x 2 = ln x + C

А теперь остановимся на ДУ, которые имеют вид:

y ” = a 0 y n + a 1 y n – 1 x + a 2 y n – 2 x 2 + . . . + a n x n b 0 y n + b 1 y n – 1 x + b 2 y n – 2 x 2 + . . . + b n x n

Разделив числитель и знаменатель дроби, расположенной в правой части записи, на y n или x n , мы можем привести исходное ДУ в виду y ” = f x y или y ” = f y x

Пример 5

Найти общее решение дифференциального уравнения y ” = y 2 – x 2 2 x y

Решение

В этом уравнении х и у отличны от 0 . Это позволяет нам разделить числитель и знаменатель дроби, расположенной в правой части записи на x 2 :

y ” = y 2 – x 2 2 x y ⇒ y ” = y 2 x 2 – 1 2 y x

Если мы введем новую переменную z = y x , то получим y = x z ⇒ y ” = z + x z ” .

Теперь нам необходимо осуществить подстановку в исходное уравнение:

y ” = y 2 x 2 – 1 2 y x ⇔ z ” x + z = z 2 – 1 2 z ⇔ z ” x = z 2 – 1 2 z – z ⇔ z ” x = z 2 – 1 – 2 z 2 2 z ⇔ d z d x x = – z 2 + 1 2 z ⇔ 2 z d z z 2 + 1 = – d x x

Так мы пришли к ДУ с разделенными переменными. Найдем его решение:

∫ 2 z d z z 2 + 1 = – ∫ d x x ∫ 2 z d z z 2 + 1 = ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = ln z 2 + 1 + C 1 – ∫ d x x = – ln x + C 2 ⇒ ln z 2 + 1 + C 1 = – ln x + C 2

Для этого уравнения мы можем получить решение в явном виде. Для этого примем – ln C = C 2 – C 1 и применим свойства логарифма:

ln z 2 + 1 = – ln x + C 2 – C 1 ⇔ ln z 2 + 1 = – ln x – ln C ⇔ ln z 2 + 1 = – ln C x ⇔ ln z 2 + 1 = ln C x – 1 ⇔ e ln z 2 + 1 = e ln 1 C x ⇔ z 2 + 1 = 1 C x ⇔ z ± 1 C x – 1

Теперь выполним обратную замену y = x ⋅ z и запишем общее решение исходного ДУ:

y = ± x · 1 C x – 1

В даном случае правильным будет и второй вариант решения. Мы можем использовать замену z = x y Рассмотрим этот вариант более подробно.

Выполним деление числителя и знаменателя дроби, расположенной в правой части записи уравнения на y 2 :

y ” = y 2 – x 2 2 x y ⇔ y ” = 1 – x 2 y 2 2 x y

Пусть z = x y

Тогда y ” = 1 – x 2 y 2 2 x y ⇔ z – z ” x z 2 = 1 – z 2 2 z

Проведем подстановку в исходное уравнение для того, чтобы получить ДУ с разделяющимися переменными:

y ” = 1 – x 2 y 2 2 x y ⇔ z – z ” x z 2 = 1 – z 2 2 z

Разделив переменные, мы получаем равенство d z z (z 2 + 1) = d x 2 x , которое можем проинтегрировать:

∫ d z z (z 2 + 1) = ∫ d x 2 x

Если мы разложим подынтегральную функцию интеграла ∫ d z z (z 2 + 1) на простейшие дроби, то получим:

∫ 1 z – z z 2 + 1 d z

Выполним интегрирование простейших дробей:

∫ 1 z – z z 2 + 1 d z = ∫ z d z z 2 + 1 = ∫ d t z – 1 2 ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = = ln z – 1 2 ln z 2 + 1 + C 1 = ln z z 2 + 1 + C 1

Теперь найдем интеграл ∫ d x 2 x:

∫ d x 2 x = 1 2 ln x + C 2 = ln x + C 2

В итоге получаем ln z z 2 + 1 + C 1 = ln x + C 2 или ln z z 2 + 1 = ln C · x , где ln C = C 2 – C 1 .

Выполним обратную замену z = x y и необходимые преобразования, получим:

y = ± x · 1 C x – 1

Вариант решения, при котором мы выполняли замену z = x y , оказался более трудоемким, чем в случае замены z = y x . Этот вывод будет справедлив для большого количества уравнений вида y ” = f x y или y ” = f y x . Если выбранный вариант решения подобных уравнений оказывается трудоемким, можно вместо замены z = x y ввести переменную z = y x . На результат это никак не повлияет.

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y ” = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R

Дифференциальные уравнения y ” = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 можно свести к уравнениям y ” = f x y или y ” = f y x , следовательно, к уравнениям с разделяющимися переменными. Для этого находится (x 0 , y 0) – решение системы двух линейных однородных уравнений a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 и вводятся новые переменные u = x – x 0 v = y – y 0 . После такой замены уравнение примет вид d v d u = a 1 u + b 1 v a 2 u + b 2 v .

Пример 6

Найти общее решение дифференциального уравнения y ” = x + 2 y – 3 x – 1 .

Решение

Составляем и решаем систему линейных уравнений:

x + 2 y – 3 = 0 x – 1 = 0 ⇔ x = 1 y = 1

Делаем замену переменных:

u = x – 1 v = y – 1 ⇔ x = u + 1 y = v + 1 ⇒ d x = d u d y = d v

После подстановки в исходное уравнение получаем d y d x = x + 2 y – 3 x – 1 ⇔ d v d u = u + 2 v u . После деления на u числителя и знаменателя правой части имеем d v d u = 1 + 2 v u .

Вводим новую переменную z = v u ⇒ v = z · y ⇒ d v d u = d z d u · u + z , тогда

d v d u = 1 + 2 v u ⇔ d z d u · u + z = 1 + 2 z ⇔ d z 1 + z = d u u ⇒ ∫ d z 1 + z = ∫ d u u ⇔ ln 1 + z + C 1 = ln u + C 2 ⇒ ln 1 + z = ln u + ln C , ln C = C 2 – C 1 ln 1 + z = ln C · u 1 + z = C · u ⇔ z = C · u – 1 ⇔ v u = C · u – 1 ⇔ v = u · (C · u – 1)

Возвращаемся к исходным переменным, производя обратную замену u = x – 1 v = y – 1:
v = u · (C · u – 1) ⇔ y – 1 = (x – 1) · (C · (x – 1) – 1) ⇔ y = C x 2 – (2 C + 1) · x + C + 2

Это есть общее решение дифференциального уравнения.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными записывается в виде: (1). В этом уравнении одно слагаемое зависит только от x, а другое – от y. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:
– его общий интеграл.

Пример : найти общий интеграл уравнения:
.

Решение: данное уравнение – дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Поэтому
или
Обозначим
. Тогда
– общий интеграл дифференциального уравнения.

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид (2). Уравнение (2)легко сводиться к уравнению (1) путем почленного деления его на
. Получаем:

– общий интеграл.

Пример: Решить уравнение .

Решение: преобразуем левую часть уравнения: . Делим обе части уравнения на


Решением является выражение:
т.е.

Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли.

Уравнение вида называетсяоднородным , если
и
– однородные функции одного порядка (измерения). Функция
называется однородной функцией первого порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множительвся функция умножиться на, т.е.
=
.

Однородное уравнение может быть приведено к виду
. С помощью подстановки
(
)однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным , если его можно записать в виде
.

Метод Бернулли

Решение уравнения
ищется в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью подстановки
(
).

Пример: проинтегрировать уравнение
.

Полагаем
. Тогда , т.е. . Сначала решаем уравнение
=0:


.

Теперь решаем уравнение
т.е.


. Итак, общее решение данного уравнения есть
т.е.

Уравнение Я. Бернулли

Уравнение вида , где
называетсяуравнением Бернулли. Данное уравнение решается с помощью метода Бернулли.

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (1) , гдеипостоянны.

Частные решения уравнения (1) будем искать в виде
, гдек – некоторое число. Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для
в уравнение (1), получимт.е.или
(2) (
).

Уравнение 2 называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.

При решении характеристического уравнения (2) возможны три случая.

Случай 1. Корнииуравнения (2) действительные и различные:

и

.

Случай 2. Корнииуравнения (2) действительные и равные:
. В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции
и
. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид
.

Случай 3. Корнииуравнения (2) комплексные:
,
. В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции
и
. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид

Пример. Решить уравнение
.

Решение: составим характеристическое уравнение:
. Тогда
. Общее решение данного уравнения
.

Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум.

Экстремум функции нескольких переменных

Определение. Точка М (х о ,у о ) называется точкой максимума (минимума) функции z = f (x , у), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек {х, у) из этой окрестности выполня­ется неравенство
(
)

На рис. 1 точка А
– есть точка минимума, а точка В
– точка максимума.

Необходи­мое условие экстремума – многомерный аналог теоре­мы Ферма.

Теорема. Пусть точка
– есть точка экстре­мума дифференцируемой функ­ции z = f (x , у). Тогда частные производные
и
в этой точке равны нулю.

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстрему­ма функции z = f (x , у), т.е. частные производные z ” x и z ” y равны нулю, называются критическими или стационарными.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходи­мое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

На рис. изображена так называемая седловая точка М (х о ,у о ). Частные производные
и
равны ну­лю, но, очевидно, никакого экс­тремума в точке М(х о ,у о ) нет.

Такие седловые точки явля­ются двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной. Задача заключается в том, чтобы отделить их от то­чек экстремума. Иными слова­ми, требуется знать достаточное условие экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух пере­менных). Пусть функция z = f (x , у): а) определена в некоторой окре­стности критической точки (х о ,у о ), в которой
=0 и
=0 ;

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные вто­рого порядка
;

;
Тогда, если ∆=АС- В 2 >0, то в точке (х о ,у о ) функ­ция z = f (x , у) имеет экстремум, причем если Амаксимум, если А>0 – минимум. В случае ∆=АС- В 2 z = f (x , у) экстре­мума не имеет. Если ∆=АС- В 2 =0, то вопрос о наличии экстрему­ма остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум реко­мендуется проводить по следующей схеме:

Найти частные производные функции z ” x и z ” y .

Решить систему уравнений z ” x =0, z ” y =0 и найти критические точки функции.

Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточ­ного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример. Найти экстремумы функции

Решение. 1. Находим частные производные

2. Критические точки функции находим из системы уравнений:

имеющей четыре решения (1; 1), (1; -1), (-1; 1) и (-1; -1).

3. Находим частные производные второго порядка:

;
;
, вычисляем их значения в каждой критической точке и проверяем в ней выпол­нение достаточного условия экстремума.

Например, в точке (1; 1) A = z “(1; 1)= -1; В=0; С= -1. Так как ∆ = АС- В 2 = (-1) 2 -0=1 >0 и А=-10, то точка (1; 1) есть точка максимума.

Аналогично устанавливаем, что (-1; -1) – точка минимума, а в точках (1; -1) и (-1; 1), в которых ∆ =АС- В 2

4. Находим экстремумы функции z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2,

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области опреде­ления, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть рассматривается функция z = f (x , y ), аргументы х и у которой удовлетворяют условию g (х,у) = С, называемому уравне­нием связи.

Определение. Точка
называется точкой условного мак­симума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек (х,у) из этой окрестности удовлетворя­ющих условию g (x , y ) = С, выполняется неравенство

(
).

На рис. изображена точка условного максимума
. Очевидно, что она не является точкой безусловного экстремума функции z = f (x , y ) (на рис. это точка
).

Наиболее простым способом нахождения условного экстре­мума функции двух переменных является сведение задачи к оты­сканию экстремума функции одной переменной. Допустим уравнение связи g (x , y ) = С удалось разрешить относи­тельно одной из перемен­ных, например, выразить у через х:
. Подста­вив полученное выражение в функцию двух перемен­ных, получим z = f (x , y ) =
, т.е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет услов­ным экстремумом функ­ции z = f (x , y ).

Пример. х 2 + y 2 при условии 3х +2у = 11.

Решение. Выразим из уравнения 3х +2у = 11 переменную y через переменную x и подставим полученное
в функциюz. Получим z = x 2 +2
илиz =
. Эта функция имеет единственный минимум при = 3. Соответствующее значение функции
Таким образом, (3; 1) – точка условного экстремума (минимума).

В рассмотренном примере уравнение связи g (x , у) = С оказа­лось линейным, поэтому его легко удалось разрешить относи­тельно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается.

Для отыскания условного экстремума в общем случае исполь­зуется метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию трех переменных

Эта функция называется функцией Лагранжа, а – множите­лем Лагранжа. Верна следующая теорема.

Теорема. Если точка
является точкой условного экс­тремума функции z = f (x , y ) при условии g (x , y ) = С, то существует значение такое, что точка
является точкой экстре­мума функции L { x , y , ).

Таким образом, для нахождения условного экстремума функ­ции z = f (х,у) при условии g (x , y ) = С требуется найти решение системы

На рис. показан геометрический смысл условий Ла­гранжа. Линия g (х,у) = С пунктирная, линия уровня g (x , y ) = Q функции z = f (x , y ) сплошные.

Из рис. следует, что в точке условного экстремума линия уровня функции z = f (x , y ) касает­ся линии g (x , y ) = С.

Пример. Найти точки максимума и мини­мума функции z = х 2 + y 2 при условии 3х +2у = 11, ис­пользуя метод множителей Ла­гранжа.

Решение. Составляем функцию Лагранжа L = х 2 + 2у 2 +

Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений

Ее единственное решение (х=3, у=1, =-2). Таким образом, точкой условного экстремума может быть только точка (3;1). Не­трудно убедиться в том, что в этой точке функция z = f (x , y ) имеет условный минимум.

Определение 7. Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными .

Это уравнение можно привести к виду , разделив все члены уравнения на произведение .

Например, решить уравнение

Решение. Производная равна , значит

Разделяя переменные, получим:

.

Теперь интегрируем:

Решите дифференциальное уравнение

Решение. Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для разделения переменных этого уравнения в виде и разделим его почленно на произведение . В результате получим или

интегрируя обе части последнего уравнения, получим общее решение

аrcsin y = arcsin x + C

Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Подставляя в общее решение начальные условия, получим

; откуда C=0

Следовательно, частное решение имеет вид arc sin y=arc sin x, но синусы равных дуг равны между собой

sin (arcsin y) = sin (arcsin x).

Откуда, по определению арксинуса, следует, что y = x.

Однородные дифференциальные уравнения

Определение 8. Дифференциальное уравнение вида, которое можно привести к виду , называется однородным .

Для интегрирования таких уравнений производят замену переменных, полагая . Эта подстановка приводит к дифференциальному уравнению относительно x и t, в котором переменные разделяются, после чего уравнение можно интегрировать. Для получения окончательного ответа надо переменную t заменить на .

Например, решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение так:

получим:

После сокращения на х 2 имеем:

Заменим t на :

Вопросы для повторения

1 Какое уравнение называется дифференциальным?

2 Назовите виды дифференциальных уравнений.

3 Рассказать алгоритмы решения всех названных уравнений.

Пример 3

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы , прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.

Интеграл левой части легко найти , с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:

В правой части у нас получился логарифм, согласно моей первой технической рекомендации, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. Максимально «упаковываем» логарифмы. Упаковка проводится с помощью трёх свойств:

Пожалуйста, перепишите эти три формулы к себе в рабочую тетрадь, при решении диффуров они применяются очень часто.

Решение распишу очень подробно:

Упаковка завершена, убираем логарифмы:

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части. Но делать этого не нужно.

Третий технический совет: Если для получения общего решения нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и ужасно – с большими корнями, знаками .

Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить общий интеграл в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора;-)

Ответ: общий интеграл:

Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производные от функции, заданной неявно . Дифференцируем ответ:

Умножаем оба слагаемых на :

И делим на :

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что задача Коши состоит из двух этапов:
1) Нахождение общего решение.
2) Нахождение частного решения.

Проверка тоже проводится в два этапа (см. также образец Примера 2), нужно:
1) Убедиться, что найденное частное решение действительно удовлетворяет начальному условию.
2) Проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала :

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы:

(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.

Ответ: частное решение:

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :
– всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение дифференциальному уравнению. Находим производную:

Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :

Подставим найденное частное решение и полученный дифференциал в исходное уравнение :

Используем основное логарифмическое тождество :

Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение и найденную производную . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение . Ответ представить в виде общего интеграла .

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

1) Не всегда очевидно (особенно, чайнику), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: и отделить корни: . Как действовать дальше – понятно.

2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла , то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть интегралы будут посложнее».

3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно делать практически всё, что угодно. И не всегда такие преобразования понятны новичку. Рассмотрим еще один условный пример: . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: . Полученная константа – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через : . Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: .

Беда же состоит в том, что частенько не заморачиваются с индексами, и используют одну и ту же букву . И в результате запись решения принимает следующий вид:

Что за фигня? Тут же ошибки. Формально – да. А неформально – ошибки нет, подразумевается, что при преобразовании константы всё равно получается какая-то другая константа .

Или такой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому целесообразно сменить у всех множителей знаки: . Формально по записи тут опять ошибка, следовало бы записать . Но неформально подразумевается, что – это всё равно какая-то другая константа (тем более может принимать любое значение), поэтому смена у константы знака не имеет никакого смысла и можно использовать одну и ту же букву .

Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем:

Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл:

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию):

Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на :

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 8

Найти частное решение ДУ.
,

Это пример для самостоятельного решения. Единственный комментарий, здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, ачастный интеграл . Полное решение и ответ в конце урока.

Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать примеры №№9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит актуализировать навыки нахождения интегралов или восполнить пробелы в знаниях.

Пример 9

Решить дифференциальное уравнение

Пример 10

Решить дифференциальное уравнение

Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов. Краткий ход решения и ответы в конце урока.

Успешного продвижения!

Решения и ответы:

Пример 4: Решение: Найдем общее решение. Разделяем переменные:


Интегрируем:



Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Выражаем функцию в явном виде, используя .
Общее решение:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
.
Способ второй:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.
Ответ: частное решение:

Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие:
, да, начальное условие выполнено.
Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение дифференциальному уравнению. Сначала находим производную:

Подставим полученное частное решение и найденную производную в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 6: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:




Ответ: общий интеграл:

Примечание: тут можно получить и общее решение:

Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно хреново.

Пример 8: Решение: Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:



Интегрируем:


Общий интеграл:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию . Подставляем в общее решение и :

Ответ: Частный интеграл:
В принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное. .

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все “игреки”, а в другой – “иксы”:

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию , обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему “Как решать дифференциальные уравнения”:

Дифференциальные уравнения – презентация онлайн

1. Дифференциальные уравнения

2. 1) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (примеры)

8. Примеры интегрирования уравнений

Разделение переменных

Разделение переменных — это специальный метод решения некоторых дифференциальных уравнений

Когда я могу его использовать?

Разделение переменных может использоваться, когда:

Все члены y (включая dy) можно переместить в одну часть уравнения, а

Все x членов (включая dx) на другую сторону.

Метод

Три шага:

• Шаг 1 Переместите все члены y (включая dy) в одну часть уравнения, а все члены x (включая dx) в другую сторону.
• Шаг 2 Проинтегрируйте одну сторону относительно y и другую сторону относительно x . Не забудьте “+ C” (константа интегрирования).
• Шаг 3 Упрощение

Пример: Решите это (k — константа):

  dy dx = ky

Шаг 1 Разделите переменные, переместив все члены y в одну сторону уравнения, а все члены x в другую сторону:

Умножить обе части на dx: dy = ky dx

Разделите обе части на y: dy y = k dx

Шаг 2 Проинтегрируйте обе части уравнения отдельно:

Поставьте знак интеграла впереди:∫ dy y = ∫ k dx

Интегрируем левую часть: ln(y) + C = ∫ k dx

Интегрируем правую часть:  ln(y) + C = kx + D

C – постоянная интегрирования. И мы используем D для другого, так как это другая константа.

Шаг 3 Упрощение:

Мы можем объединить две константы в одну (a=D−C):   ln(y) = kx + a

И e ^{kx + a} = e ^kx e ^a , поэтому мы получаем: y = e ^kx e ^a

e ^a — это просто константа, поэтому мы заменяем ее на c :y = ce ^kx

Мы решили это:

у = вс ^кх

Это общий тип дифференциального уравнения первого порядка, который появляется во многих неожиданных местах в реальных примерах.

Мы использовали y и x , но тот же метод работает и для других имен переменных, например:

Пример: Кролики!

Чем больше у вас кроликов, тем больше крольчат вы получите. Потом эти кролики вырастают и тоже рожают малышей! Население будет расти все быстрее и быстрее.

Важными частями этого являются:

• население N в любое время т
• скорость роста р
• скорость изменения населения dN dt

Скорость изменения в любое время равна скорости роста, умноженной на население:

дН дт = рН

Но эй! Это то же самое, что и уравнение, которое мы только что решили! Просто у него другие буквы:

• N вместо Y
• т вместо х
• р вместо к

Итак, мы можем перейти к решению:

N = ce ^rt

А вот пример, график N=0. 3е ^2т :

Экспоненциальный рост

Есть и другие уравнения, которые следуют этому шаблону, например, непрерывные сложные проценты.

Дополнительные примеры

Хорошо, теперь несколько примеров разделения переменных:

Пример: Решите это:

дх дх = 1 у

Шаг 1 Разделите переменные, переместив все члены y в одну сторону уравнения, а все члены x в другую сторону:

Умножить обе стороны на dx:dy = (1/y) dx

Умножить обе части на y: y dy = dx

Шаг 2 Проинтегрируйте обе части уравнения отдельно:

Поставьте перед ним знак интеграла: ∫ y dy = ∫ dx

Интегрируем каждую сторону: (y ² )/2 = x + C

Мы объединили обе стороны в одну линию.

Мы также использовали сокращение только одной константы интегрирования C. Это совершенно нормально, поскольку мы могли бы иметь +D на одном, +E на другом и просто сказать, что C = E−D.

Шаг 3 Упрощение:

Умножить обе части на 2: y ² = 2(x + C)

Квадратный корень из обеих сторон: y = ±√(2(x + C))

Примечание. Это не то же самое, что y = √(2x) + C, потому что C было добавлено до того, как мы взяли квадратный корень.Это часто происходит с дифференциальными уравнениями. Мы не можем просто добавить C в конце процесса. Он добавляется при интеграции.

Мы решили это:

у = ±√(2(х + С))

Более сложный пример:

Пример: Решите это:

dy dx = 2xy 1+x ²

Шаг 1 Разделение переменных:

Умножить обе стороны на dx, разделить обе стороны на y:

1 y dy = 2x 1+x ² dx

Шаг 2 Проинтегрируйте обе части уравнения отдельно:

∫ 1 y dy = ∫ 2x 1+x ² dx

Левая часть представляет собой простой логарифм, правую часть можно проинтегрировать с помощью подстановки:

Пусть u = 1 + x ² , поэтому du = 2x dx :∫ 1 y dy = ∫ 1 u 0

Интегрировать: ln(y) = ln(u) + C

Тогда мы делаем C = ln(k) :ln(y) = ln(u) + ln(k)

Таким образом, мы можем получить это: y = uk

Теперь снова положим u = 1 + x ² : y = k(1 + x ² )

Шаг 3 Упрощение:

Это уже настолько просто, насколько это возможно. Мы решили это:

у = к(1 + х ² )

Еще более сложный пример: знаменитое уравнение Ферхюльста

Пример: Снова кролики!

Помните о нашем росте Дифференциальное уравнение:

дН дт = рН

Ну, этот рост не может продолжаться вечно, так как скоро у них закончится доступная еда.

Парень по имени Verhulst включил k (максимальное население, которое может поддерживать еда), чтобы получить:

dN dt = rN(1−N/k)

Уравнение Ферхюльста

Можно ли это решить?

Да, с помощью одной хитрости…

Шаг 1 Разделение переменных:

Умножьте обе части на dt: dN = rN(1−N/k) dt

Разделите обе части на N(1-N/k): 1 N(1-N/k) dN = r dt

Шаг 2 Интеграция:

∫ 1 N(1−N/k) dN = ∫ r dt

Хммм. .. левая сторона кажется трудно интегрируемой. На самом деле это можно сделать с помощью небольшого трюка из Partial Fractions… переставляем так:

Начнем с этого: 1 N(1−N/k)

Умножить верх и низ на k: k N(k−N)

Теперь вот в чем хитрость, добавьте N и −N вверху: N+k−N N(k−N)

и разделим его на две части: N N(k−N) + k−N N(k−N)

Упростите каждую дробь: 1 k−N + 1 N

Теперь это намного проще решить.Мы можем интегрировать каждый термин отдельно, вот так:

Теперь наше полное уравнение выглядит следующим образом: ∫ 1 k−N dN + ∫ 1 N dN = ∫ r dt

Интегрируем: −ln(k−N) + ln(N) = rt + C

(Почему получилось минус ln(k−N)? Потому что мы интегрируем по N. )

 

Шаг 3 Упрощение:

Отрицательное значение всех членов: ln(k−N) − ln(N) = −rt − C

Объединить ln():ln((k−N)/N) = −rt − C

Разделить степени e:(k−N)/N = e ^−rt e ^−C

e ^−C — константа, ее можно заменить на A: (k−N)/N = Ae ^−rt

 

Мы приближаемся! Еще немного алгебры, чтобы получить N самостоятельно:

Разделите дробные члены: (k/N)−1 = Ae ^−rt

Добавьте 1 к обеим сторонам: k/N = 1 + Ae ^−rt

Разделить оба на k:1/N = (1 + Ae ^−rt )/k

Обратное значение обеих сторон: N = k/(1 + Ae ^−rt )

И у нас есть решение:

N = k 1 + Ae ^−rt

 

Вот пример , график 40 1 + 5e ^−2t

Начинает расти экспоненциально,
затем выравнивается, когда достигает k=40

 

Разделимые уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка \(y’ = f\left( {x,y} \right)\) называется разделимым уравнением, если функция \(f\left( {x,y} \right)\) может быть учтено в произведении двух функций \(x\) и \(y:\)

\[f\влево({x,y}\вправо) = p\влево(x\вправо)h\влево(y\вправо),\]

, где \(p\left( x \right)\) и \(h\left( y \right)\) – непрерывные функции.

Рассматривая производную \({y’}\) как отношение двух дифференциалов \({\frac{{dy}}{{dx}}},\), мы перемещаем \(dx\) вправо и делим уравнение на \(h\left( y \right):\)

\[\frac{{dy}}{{dx}} = p\left( x \right)h\left( y \right),\;\; \Rightarrow \frac{{dy}}{{h\left( y \right)}} = p\left( x \right)dx.\]

Конечно, нам нужно убедиться, что \(h\left( y \right) \ne 0.\) Если существует число \({y_0}\) такое, что \(h\left( {{y_0}} \right) = 0,\), то это число также будет решением дифференциального уравнения.Деление на \(h\left( y \right)\) приводит к потере этого решения.

Обозначая \(q\left( y \right) = {\frac{1}{{h\left( y \right)}}},\), запишем уравнение в виде

\[q\влево(у\вправо)dy = p\влево(х\вправо)dx.\]

Мы разделили переменные, так что теперь мы можем интегрировать это уравнение:

\[\int {q\left( y \right)dy} = \int {p\left( x \right)dx} + C,\]

, где \(C\) — постоянная интегрирования.

Вычисляя интегралы, получаем выражение

\[Q\влево(у\вправо) = P\влево(х\вправо) + С,\]

, представляющий общее решение разделимого дифференциального уравнения. 2} + 4} \right)y’ = 2xy.\]

Пример 1.

Решить дифференциальное уравнение \[\frac{{dy}}{{dx}} = y\left( {y + 2} \right).\]

Раствор.

В данном случае \(p\left( x \right) = 1\) и \(h\left( y \right) = y\left( {y + 2} \right).\) Разделим уравнение на \(h\left( y \right)\) и переместить \(dx\) вправо:

\[\frac{{dy}}{{y\left( {y + 2} \right)}} = dx.\]

Можно заметить, что после деления мы можем потерять решения \(y = 0\) и \(y = -2\), когда \(h\left( y \right)\) становится равным нулю.На самом деле, давайте посмотрим, что \(y = 0\) является решением дифференциального уравнения. Очевидно,

\[y = 0,\;\;dy = 0.\]

Подстановка этого в уравнение дает \(0 = 0.\) Следовательно, \(y = 0\) является одним из решений. Точно так же мы можем проверить, что \(y = -2\) также является решением.

Возвращаясь к дифференциальному уравнению, интегрируем его:

\[\int {\frac{{dy}}{{y\left( {y + 2} \right)}}} = \int {dx} + C. \]

Мы можем вычислить левый интеграл, используя дробное разложение подынтегральной функции:

\[ \frac{1}{{y\left( {y + 2} \right)}} = \frac{A}{y} + \frac{B}{{y + 2}},\;\; \Правая стрелка \frac{1}{{y\left( {y + 2} \right)}} = \frac{{A\left( {y + 2} \right) + By}}{{y\left( {y + 2} \справа)}},\;\; \Правая стрелка 1 \эквив Ay + 2A + By,\;\; \Правая стрелка 1 \equiv \left( {A + B} \right)y + 2A,\;\; \Правая стрелка \left\{ {\ begin {массив} {* {20} {c}} {А + В = 0}\\ {2А = 1} \end{массив}} \right.,\;\; \Правая стрелка \left\{ {\ begin {массив} {* {20} {c}} {А = \фракция{1}{2}}\\ {В = – \фракция{1}{2}} \конец{массив}} \право..\]

Таким образом, мы получаем следующее разложение рационального интеграла:

\[\frac{1}{{y\left( {y + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{y} – \frac{1 }{{у + 2}}} \справа).\]

Следовательно,

\[\ frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{y} – \frac{1}{{y + 2}}} \right)dy} = \int {dx } + С,\;\; \Rightarrow \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{dy}}{y}} – \int {\frac{{dy}}{{y + 2}}}} \right ) = \int {dx} + C,\;\; \Rightarrow \frac{1}{2}\left( {\ln \left| y \right| – \ln \left| {y + 2} \right|} \right) = x + C,\;\; \Rightarrow \frac{1}{2}\ln \left| {\ гидроразрыва {у} {{у + 2}}} \ справа | = х + С,\;\; \стрелка вправо \ln \влево| {\ гидроразрыва {у} {{у + 2}}} \ справа | = 2х + 2С. \]

Константу можно переименовать: \(2C = {C_1}.\) Таким образом, окончательное решение уравнения запишется в виде

\[\ln \влево| {\ гидроразрыва {у} {{у + 2}}} \ справа | = 2x + {C_1},\;\; у = 0,\;\; у = – 2.\]

Здесь общее решение выражено в неявной форме. В данном случае мы можем преобразовать выражение, чтобы получить ответ в виде явной функции \(y = f\left( {x,{C_1}} \right),\), где \({C_1}\) — константа. Однако это можно сделать не для всех дифференциальных уравнений.2} + 4} \справа).\]

Когда \(C = 0\), становится \(y = 0.\)

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Разделимые дифференциальные уравнения – определение, примеры, решение, IVP

Разделимые дифференциальные уравнения — это особый тип дифференциальных уравнений, в которых участвующие переменные можно разделить, чтобы найти решение уравнения. Разделимые дифференциальные уравнения можно записать в виде dy/dx = f(x)g(y), где x и y — переменные, явно отделенные друг от друга. После разделения переменных решение дифференциального уравнения можно легко определить, проинтегрировав обе части уравнения. Разделимое дифференциальное уравнение dy/dx = f(x) g(y) после разделения переменных записывается как dy/g(y) = f(x) dx.

В этой статье мы поймем, как решать разделимые дифференциальные уравнения, начальные задачи разделимых дифференциальных уравнений и неразделимых дифференциальных уравнений с помощью решенных примеров для лучшего понимания.

Что такое разделимые дифференциальные уравнения?

Дифференциальные уравнения, в которых переменные могут быть отделены друг от друга, называются отделимыми дифференциальными уравнениями. Общая форма записи разделимых дифференциальных уравнений: dy/dx = f(x)g(y), где переменные x и y можно отделить друг от друга. Ниже приведены некоторые другие формы разделимых дифференциальных уравнений, которые помогут идентифицировать их при решении задач:

• f(x)dx = g(y)dy
• dy/dx = f(x)/g(y)
• dy/dx = f(x) g(y)
• г(у) dy/dx = f(x)

Обратите внимание, что все приведенные выше формы разделимых дифференциальных уравнений эквивалентны. Дифференциальное уравнение в приведенном выше виде может быть решено с помощью метода разделения переменных.

Определение разделимых дифференциальных уравнений

Разделимое дифференциальное уравнение определяется как дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде dy/dx = f(x) g(y). Это означает, что f(x) и g(y) могут быть явно записаны как функции переменных x и y. Как следует из названия, в разделимых дифференциальных уравнениях производная может быть записана как произведение функции x и функции y по отдельности.Мы можем проверить, отделимо ли дифференциальное уравнение, проверив, может ли производная dy/dx быть выражена как функция x, умноженная на функцию y.

Некоторые примеры разделимых дифференциальных уравнений приведены ниже:

• dy/dx = (x ² + 6)(y – 7)
• у’ = cos x сек у
• dy/dx = ye ^x
• у’ = ху – 3х + 4у – 12
• dy/dx = sin y

Решение разделимых дифференциальных уравнений

Теперь, когда мы знаем, как идентифицировать разделимые дифференциальные уравнения, мы научимся их решать. Мы решим разделимое дифференциальное уравнение, чтобы понять процесс их решения. Чтобы решить такие дифференциальные уравнения, выполните следующие основные шаги, указанные ниже:

• Шаг 1: Запишите производную как произведение функций отдельных переменных, т. е. dy/dx = f(x) g(y)
• Шаг 2: Разделите переменные, записав их с каждой стороны равенства, т. е. dy/g(y) = f(x) dx
• Шаг 3: Интегрируем обе части и находим значение y и, следовательно, общее решение разделимого дифференциального уравнения, т.е.т. е., ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx

Пример: Рассмотрим разделимое дифференциальное уравнение dy/dx = xy + 2 – 2x – y

Во-первых, мы будем писать xy + 2 – 2x – y как произведение функции x и функции y.

dy/dx = ху + 2 – 2х – у

⇒ dy/dx = (x – 1)(y – 2)

⇒ dy/(y – 2) = (x – 1) dx [Разделение переменных]

⇒ ∫dy/(y – 2) = ∫(x – 1) dx [объединение обеих сторон]

⇒ пер |у – 2| = x ² /2 – x + C ₁ , где C ₁ – постоянная интегрирования

⇒ у – 2 = е ^{х 2 /2 – х + С ₁}

⇒ y = 2 + Ce ^{x 2 /2 – x} , где e ^{C ₁} = C

Следовательно, y = 2 + Ce ^{x 2 /2 – x} является общим решением разделимого дифференциального уравнения dy/dx = xy + 2 – 2x – y

Задача с начальными значениями Разделимые дифференциальные уравнения

Мы научились находить общее решение разделимых дифференциальных уравнений. Далее мы будем решать задачи с начальными значениями, включающие разделимые дифференциальные уравнения, которые задаются как dy/dx = f(x) g(y), y(x _o ) = y _o , где y _o — фиксированное значение y при x = x _o . Давайте решим пример, чтобы понять его применение и найти конкретное решение.

Пример: Решите разделимое дифференциальное уравнение dy/dx = (x – 2)(y ² – 9), y(0) = -1

Решение: dy/dx = (x – 2)(y ² – 9)

⇒ dy/(y ² – 9) = (x – 2)dx

⇒ ∫ (1/(y ² – 9)) dy = ∫(x – 2)dx

⇒ (1/6) ∫ [1/(y – 3)] – [1/(y + 3)] dy = x ² /2 – 2x + C ₁ [с использованием метода интегрирования частичных дробей]

⇒ (1/6) [пер |у – 3| – ln |y + 3|] = x ² /2 – 2x + C ₁

⇒ пер |у – 3| – пер |у + 3| = 3x ² – 12x + С ₂ , [6С ₁ = С ₂ ]

⇒ пер|(у – 3)/(у + 3)| = 3x ² – 12x + С ₂

⇒ |(у – 3)/(у + 3)| = е ^{3x 2 – 12x + С ₂}

⇒ (y – 3)/(y + 3) = C ₃ e ^{3x 2 – 12x} [C ₃ = ± e ^{C ₂} ] – так как мы удалили абсолютный знак — (1)

⇒ у – 3 = С ₃ (у + 3) (е ^{3x 2 – 12x} )

⇒ y – 3 = y (C ₃ e ^{3x 2 – 12x} ) + 3 (C ₃ e ^{3x 2 – 12x} )

⇒ y (1 – C ₃ e ^{3x 2 – 12x} ) = 3 (1 + C ₃ e ^{3x 2 – 12x}

) .

⇒ y = 3 (1 + C ₃ e ^{3x 2 – 12x} )/(1 – C ₃ e ^{3x 2 – 12x}

)

Теперь, чтобы определить значение C ₃ , подставим начальное значение в общее решение разделимого дифференциального уравнения.Мы можем поместить начальное значение в другое эквивалентное уравнение общего уравнения, которым является уравнение (1). Таким образом, у нас есть

(у – 3)/(у + 3) = С ₃ e ^{3x 2 – 12x}

⇒ (-1 – 3)/(-1 + 3) = C ₃ e ^{3(0) 2 – 12(0)}

⇒ -2 = С ₃

Следовательно, решение задачи о начальных значениях равно y = 3(1 – 2 _{e ^{3x 2 – 12x} )/(1 + 2 e ^{3x 2 – 12x} )}

Важные замечания по разделимым дифференциальным уравнениям

• Некоторые из распространенных применений разделимых дифференциальных уравнений: закон охлаждения Ньютона, определение концентрации раствора и т. д.
• Общая форма разделимого дифференциального уравнения: y’ = f(x) g(y)
• Метод, используемый для решения разделимых дифференциальных уравнений, называется методом разделения переменных.

Связанные темы по разделимым дифференциальным уравнениям

Часто задаваемые вопросы о разделимых дифференциальных уравнениях

Что такое разделимые дифференциальные уравнения в математическом анализе?

Дифференциальные уравнения, в которых переменные могут быть отделены друг от друга, называются разделимыми дифференциальными уравнениями .Общая форма записи разделимых дифференциальных уравнений: dy/dx = f(x)g(y), где переменные x и y можно отделить друг от друга.

Как идентифицировать разделимые дифференциальные уравнения?

Любое дифференциальное уравнение, которое может быть записано в любой из следующих форм, является разделимым дифференциальным уравнением:

• f(x)dx = g(y)dy
• dy/dx = f(x)/g(y)
• dy/dx = f(x) g(y)
• г(у) dy/dx = f(x)

Как решить разделимые дифференциальные уравнения?

Чтобы решить разделимые дифференциальные уравнения, мы можем выполнить основные шаги, указанные ниже:

• Шаг 1: Запишите производную как произведение функций отдельных переменных, т. е.е., dy/dx = f(x) g(y)
• Шаг 2: Разделите переменные, записав их с каждой стороны равенства, т. е. dy/g(y) = f(x) dx
• Шаг 3: Интегрируем обе части и находим значение y и, следовательно, общее решение разделимого дифференциального уравнения, т. е. ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx

Как узнать, является ли дифференциальное уравнение разделимым?

Дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде dy/dx = f(x) g(y), является сепарабельным дифференциальным уравнением.Следовательно, мы можем проверить, можно ли записать дифференциальное уравнение в заданной форме.

В чем разница между линейными и раздельными дифференциальными уравнениями?

Линейные дифференциальные уравнения — это дифференциальные уравнения, в которых степень производной dy/dx равна 1 и в дифференциальном уравнении не фигурируют никакие другие производные большей степени. С другой стороны, разделимое дифференциальное уравнение определяется как дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде dy/dx = f(x)g(y).

Что такое неразделимые дифференциальные уравнения?

Дифференциальные уравнения, которые нельзя записать в виде dy/dx = f(x) g(y), являются неразделимыми дифференциальными уравнениями. Другими словами, мы можем сказать, что те дифференциальные уравнения, которые не являются сепарабельными, называются несепарабельными дифференциальными уравнениями.

Поиск общих и частных решений с использованием разделения переменных

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

Разделимое дифференциальное уравнение: определение и примеры — Видео и расшифровка урока

Теперь, когда вы знаете, как распознать разделимое дифференциальное уравнение, давайте посмотрим, как его решить. Чтобы решить разделимое дифференциальное уравнение, всегда выполняйте следующие три шага:

1. Отсюда используйте начальные условия для определения константы интегрирования. В этом случае предположим, что мы знаем, что x = 1, когда y = 0,

Еще одна задача

Давайте рассмотрим еще одну задачу, чтобы убедиться, что вы понимаете, как применять эти шаги. Как видите, нам дано:

Итак, чтобы решить это уравнение, нам нужно сначала разделить переменные.Как только мы сделали это и упростили, как видите, мы получаем:

Затем мы интегрируем обе стороны, и это дает нам:

Наконец, используя данные условия, найдите константу интегрирования C , которая, как видите, оказалась равной -2. Таким образом, наше уравнение принимает вид:

С этим уравнением все в порядке, но во многих случаях может потребоваться дополнительный шаг решения для одной из переменных.Попробуйте изменить это уравнение, чтобы найти и , и максимально упростить его. Вы должны получить что-то вроде этого:

Резюме урока

Давайте уделим несколько минут тому, чтобы повторить то, что мы узнали. Дифференциальное уравнение — это уравнение, которое содержит как переменную, так и производную. Дифференциальные уравнения являются разделимыми , что означает, что их можно брать и анализировать по отдельности, если вы можете разделить переменные и интегрировать каждую сторону.Чтобы решить разделимое дифференциальное уравнение, выполните следующие три шага:

1. Разделите переменные.
2. Интегрируйте каждую сторону.
3. Используйте начальные условия, чтобы найти постоянную интегрирования, C .

Примеры (a) полностью разделимой задачи, (b) частично разделимой…

Контекст 1

… θ p и θ q считаются независимыми друг от друга, если они не взаимодействуют ни явно, ни неявно друг с другом.Основываясь на этих трех определениях, задачи LSGO можно разделить на три категории: полностью разделимые, частично разделимые и неразделимые. Отношения переменных в этих трех видах задач показаны на рис. …

Контекст 2

… в задачах имеется шесть переменных. На рис. 1(а) показана полностью разделимая задача. Как видно, на рисунке нет ребра, что говорит о том, что все переменные независимы друг от друга. На рис. 1(б) показана частично разделимая задача, где переменные можно разделить на несколько несвязанных групп (т.е.г. {θ 1 , θ 2 , θ 6 } и {θ 3 , θ 4 , θ 5 }). Переменные же…

Контекст 3

. .. что в задачах шесть переменных. На рис. 1(а) показана полностью разделимая задача. Как видно, на рисунке нет ребра, что говорит о том, что все переменные независимы друг от друга. На рис. 1(b) показана частично разделимая задача, в которой переменные можно разделить на несколько несвязанных групп (например, {θ 1 , θ 2 , θ 6 } и {θ 3 , θ 4 , θ 5 }). Переменные в одной группе взаимодействуют друг с другом, тогда как переменные в разных группах не зависят друг от друга.Традиционный CC может обрабатывать как полностью разделимые…

Контекст 4

… неразделимые задачи, все переменные взаимодействуют друг с другом явным или неявным образом. Количество ребер (явное взаимодействие) определяет сложность группировки. Задачу, в которой большинство переменных явно взаимодействуют друг с другом, очень трудно разделить. Крайний случай показан на рис. 1(c), где полный граф предполагает явное взаимодействие между каждой парой переменных, и, как видно, явных подкомпонентов нет. Однако во многих реальных приложениях, таких как задачи оптимизации WDN, явное взаимодействие между переменными не такое плотное. Вместо этого переменная связь, скорее всего, будет …

Контекст 5

… плотной. Вместо этого переменные отношения, скорее всего, будут иметь структуру сообщества. То есть переменные в одном и том же сообществе имеют плотное явное взаимодействие, в то время как переменные в разных сообществах редко взаимодействуют явным образом. Кроме того, некоторые переменные могут принадлежать нескольким сообществам, что приводит к дублированию структуры сообщества.Рис. 1(d) дает пример таких проблем. Как видно, есть два сообщества ({θ 1 , θ 2 , θ 3 , θ 6 } и {θ 3 , θ 4 , θ 5 }), соединяющиеся в общем узле θ 3 . Мы определяем такого рода проблемы как перекрывающиеся проблемы, и они являются основной задачей этого…

Контекст 6

… мы предлагаем алгоритм группировки (Алгоритм 1), основанный на упрощенной идее обнаружения сообщества. Сначала мы идентифицируем явное взаимодействие между всеми переменными и устанавливаем соответствующий график зависимости переменных (линия 1).Затем выбирается переменная с наименьшей степенью (строка 4). Например, среди шести переменных на рис. 1(d) θ 4 и θ 5 обе …

Контекст 7

… к выбранной переменной [например, θ 3 и θ 5 ] и саму выбранную переменную (θ 4 ) в одну группу (строка 5). После удаления полученной группы из универсального набора переменных Q (строка 6) добавляем группу в набор групп GS. Описанная выше процедура идентификации одной группы повторяется до тех пор, пока не будут назначены все переменные.В примере на рис. 1(d) итерация происходит дважды, что приводит к двум группам, т. е. Q 1 = {θ 3 , θ 4 , θ 5 } и Q 2 = {θ 1 , θ 2 , θ 3 6 }. Наконец, проверяется перекрытие между полученными группами (строка 11). Для каждой пары перекрывающихся групп, если доля общих переменных превышает предопределенный порог ζ , а именно допустимое перекрытие . ..

Контекст 8

… Для каждой пары перекрывающихся групп, если доля общих переменных превышает предопределенный порог ζ , а именно допустимую скорость перекрытия, две группы будут объединены (строка [12][13][14].В противном случае две группы остаются неизменными, и к перекрывающемуся набору OS будет добавлена ​​новая группа, содержащая общую переменную (строка 15). На рис. 1(d) при условии, что ζ меньше или равно 1/3, Q 1 и Q 2 будут объединены. В противном случае Q 1∩2 будет добавлено в …

Контекст 9

… потребность в воде каждого потребителя учитывается таким образом, чтобы генерировались непересекающиеся разделы. Для DCCMAES разложение проводится несколько раз, при этом учитываются потребности в воде в разное время, так что создаются перекрывающиеся разделы.Мы сравниваем три алгоритма DCCMAES с TDCC. Экспериментальные результаты показаны на рис. 10 в виде …

Context 10

…, представленного на рис. 10, все три алгоритма DCCMAES способны найти допустимые решения. Напротив, TDCC вряд ли может найти какое-либо приемлемое решение. Среди трех алгоритмов DCCMAES лучшим является DCCMAES/GS. DCCMAES/WC и DCCMAES/EO относительно хуже, чем DCCMAES/GS. В целом, этот эксперимент показывает, что DCCMAES действительно эффективен при работе с файлами …

Базовое введение в отделимые свертки | by Chi-Feng Wang

Хорошо, но какой смысл в создании глубоко разделимой свертки?

Давайте подсчитаем количество умножений, которые компьютер должен сделать в исходной свертке. Есть 256 ядер 5x5x3, которые перемещаются 8×8 раз. Это 256x3x5x5x8x8=1 228 800 умножений.

Как насчет разделяемой свертки? В свертке по глубине у нас есть 3 ядра 5x5x1, которые перемещаются 8×8 раз.Это 3x5x5x8x8 = 4800 умножений. В точечной свертке у нас есть 256 ядер 1x1x3, которые перемещаются 8×8 раз. Это 256x1x1x3x8x8=49 152 умножения. Если сложить их вместе, получится 53 952 умножения.

52 952 намного меньше 1 228 800. С меньшим количеством вычислений сеть может обрабатывать больше за более короткий промежуток времени.

Как это работает? В первый раз, когда я столкнулся с этим объяснением, оно не имело для меня интуитивного смысла. Разве две свертки не делают одно и то же? В обоих случаях мы пропускаем изображение через ядро ​​5×5, уменьшаем его до одного канала, а затем расширяем до 256 каналов.Почему один более чем в два раза быстрее другого?

Поразмыслив над этим некоторое время, я понял, что главное отличие заключается в следующем: в обычной свёртке мы преобразуем изображение 256 раз . И каждое преобразование использует 5x5x3x8x8=4800 умножений. В сепарабельной свёртке мы действительно преобразуем изображение только один раз — в свёртке по глубине. Затем мы берем преобразованное изображение и просто удлиняем его до 256 каналов .Без необходимости преобразовывать изображение снова и снова мы можем сэкономить вычислительную мощность.

Стоит отметить, что и в Keras, и в Tensorflow есть аргумент, который называется «множитель глубины». По умолчанию установлено значение 1. Изменяя этот аргумент, мы можем изменить количество выходных каналов в глубинной свертке. Например, если мы установим множитель глубины равным 2, каждое ядро ​​​​5x5x1 будет выдавать выходное изображение 8x8x2, делая общий (суммированный) вывод свертки по глубине 8x8x6 вместо 8x8x3.Некоторые могут вручную установить множитель глубины, чтобы увеличить количество параметров в своей нейронной сети, чтобы лучше изучить больше признаков.

Есть ли недостатки у свертки, отделимой по глубине? Определенно! Поскольку это уменьшает количество параметров в свертке, если ваша сеть уже мала, у вас может оказаться слишком мало параметров, и ваша сеть может не обучаться должным образом во время обучения. Однако при правильном использовании ему удается повысить эффективность без значительного снижения эффективности, что делает его довольно популярным выбором.