2 интеграл
Вы искали 2 интеграл? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и в двойном интеграле расставить пределы интегрирования, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «2 интеграл».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 2 интеграл,в двойном интеграле расставить пределы интегрирования,вычисление двойного интеграла,вычисление двойных интегралов,вычислить двойной интеграл,вычислить двойной интеграл по области d,вычислить двойной интеграл по области d ограниченной линиями,вычислить двойной интеграл по области d ограниченной линиями онлайн,вычислить двойной интеграл по области d с подробным решением,вычислить повторный интеграл,двойной интеграл,двойной интеграл для чайников,двойной интеграл как решать,двойной интеграл матпрофи,двойной интеграл по области,двойной интеграл по области d,двойной интеграл примеры,двойной интеграл примеры решений,двойной интеграл тройной интеграл,двойной интеграл это,двойные интегралы,двойные интегралы для чайников,двойные интегралы калькулятор онлайн,двойные интегралы примеры решений,двойные интегралы решение,двукратный интеграл,интеграл 2,интеграл двойной определение,интеграл двойной примеры,как вычислить двойной интеграл,как решать двойной интеграл,как решать двойные интегралы,калькулятор двойного интеграла онлайн,калькулятор интегралов двойных,калькулятор онлайн двойные интегралы,калькулятор онлайн двойных интегралов,матпрофи двойной интеграл,онлайн калькулятор двойных интегралов,оценка двойного интеграла примеры,повторные интегралы,повторный интеграл онлайн,примеры двойной интеграл,расставить пределы интегрирования в двойном интеграле,решение двойного интеграла,решение двойные интегралы,решение двойных интегралов.
Решить задачу 2 интеграл вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
18. Замена переменных в двойном интеграле
Пусть функции осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости на область S плоскости . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение , области S на область P, если якобиан преобразования
=.
Величины U и V можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как
Теорема 14.3. Пусть есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости на область S Из плоскости . Тогда справедливо равенство
(2.5)
Замечание. Равенство (2.5) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.
Переход в двойном интеграле к полярным координатам
Формулы
(2.6)
Преобразуют полярные координаты точки в декартовы координаты этой точки и переводят область (или область ) на всю плоскость Oxy.
Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам:
Фиксируя в последних формулах И, получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке И луч, исходящий из точки .
Якобиан преобразования
И формула (2.5) принимает вид:
(2.7)
Рекомендация. К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация .
В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к
, (2.8)
– постоянные, . Тогда
, (2.9)
Пример 6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).
Ñ Перейдем от декартовых координат X, Y к полярным по формулам , . Подставим X и Y в исходное неравенство, получим: или . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому (или ).
В полярной системе координат круг записывается неравенствами: . #
Пример 7. Записать в полярной системе координат область S – часть круга, ограниченную линиями , , (), – постоянные, .
Ñ Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , : 1)Þ ;
2) Þ, ;
3)Þ.
Область переходит в область
.
В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств: . #
|
Ñ Границей области является линия или – окружность радиуса 2 с центром в точке (Рис. 14.10).
Рис. 14.10
Наличие в уравнении границы комбинации наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам по формулам , , . Уравнение границы переходит в уравнение или . Отсюда r=0 (соответствует полюсу O) и – уравнение окружности. Так как всегда (по смыслу r), то из следует , отсюда получаем (этот же результат можно усмотреть из рисунка).
. #
Пример 9. Вычислить , где .
Ñ Область D ограничена линиями: – эллипс с полуосями A и B, – эллипс с полуосями и , Y=0 – прямая (ось Ox), – прямая (рис. 14.11).
Рис.14.11
Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к Эллиптическим полярным координатам по формулам (2.8), (2.9): , . Уравнения границы области в координатах будут: 1), 2) , 3) ,
4) . Итак, область интегрирования в координатах есть
. Тогда
. #
Задачи для самостоятельного решения
Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в порядке: внешнее – по j, внутреннее – по r:
27. D – область, ограниченная окружностями , и прямыми , .
28. D – область, являющаяся общей частью двух кругов и .
29. D – меньший из двух сегментов, на которые прямая рассекает круг .
30. D – внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли .
31. D:.
32. D: .Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.
33. D – область, ограниченная линией . Указание
34. . 35. . 36. .
С помощью перехода к полярным координатам вычислить интегралы:
37. . 38. .
39. . 40. , D – часть кольца ,
, . 41. .
Вычислить, перейдя к эллиптическим полярным координатам, интегралы:
42. .
43. – область, ограниченная линией .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Исчисление III. Двойные интегралы по общим областям
Онлайн-заметки Пола
Главная
/
Исчисление III
/
Несколько интегралов
/ Двойные интегралы по общим областям
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т.
е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 15.3: Двойные интегралы по общим областям
В предыдущем разделе мы рассмотрели двойные интегралы по прямоугольным областям. Проблема в том, что большинство областей не прямоугольные, поэтому теперь нам нужно взглянуть на следующий двойной интеграл,
. \[\iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}}\]
где \(D\) – любой регион.
Есть два типа регионов, на которые нам нужно обратить внимание. Вот набросок обоих.
Мы будем часто использовать обозначение построителя набора для описания этих регионов.
Вот определение региона в случае 1
. \[D = \left\{ {\left( {x,y} \right)|a \le x \le b,\,\,{g_1}\left( x \right) \le y \le {g_2 }\влево( х \вправо)} \вправо\}\]
, а вот определение региона в случае 2.
\[D = \left\{ {\left( {x,y} \right)|{h_1}\left( y \right) \le x \le {h_2}\left( y \right),\,c \le y \le d} \right\}\]
Это обозначение на самом деле просто причудливый способ сказать, что мы собираемся использовать все точки \(\left( {x,y} \right)\), в которых обе координаты удовлетворяют двум заданным неравенствам. 9{{{h_{\,2}}\left( y \right)}}{{f\left( {x,y} \right)\,dx}}\,dy}}\]
Вот некоторые свойства двойного интеграла, которые мы должны рассмотреть, прежде чем приступать к некоторым примерам. Обратите внимание, что все три из этих свойств на самом деле являются просто расширениями свойств одиночных интегралов, которые были распространены на двойные интегралы.
Свойства
- \(\displaystyle \iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right) + g\left( {x,y} \right)\,dA}} = \iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}} + \iint\limits_{D}{{g\left( {x,y} \right)\, дА}}\)
- \(\displaystyle \iint\limits_{D}{{cf\left( {x,y} \right)\,dA}} = c\iint\limits_{D}{{f\left( {x,y } \right)\,dA}}\), где \(c\) — любая константа.
- Если область \(D\) можно разделить на две отдельные области \({D_1}\) и \({D_2}\), то интеграл можно записать в виде
\[\iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}} = \iint\limits_{{{D_1}}}{{f\left( {x,y } \right)\,dA}} + \iint\limits_{{{D_2}}}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}}\]
92} – 40y\,dA}}\), \(D\) — треугольник с вершинами \(\left( {0,3} \right)\), \(\left( {1,1} \right )\) и \(\left( {5,3} \right)\). Показать решение
В этот раз мы получили еще меньше информации о регионе. Давайте начнем с наброска треугольника.
Поскольку у нас есть две точки на каждом ребре, легко получить уравнения для каждого ребра, поэтому мы оставляем вам проверку уравнений.
Есть два способа описать этот регион. Если мы используем функции \(x\), как показано на изображении, нам придется разбить область на две разные части, поскольку нижняя функция отличается в зависимости от значения \(x\). В этом случае регион будет задан как \(D = {D_1} \cup {D_2}\), где
\[\begin{align*}{D_1} & = \left\{ {\left( {x,y} \right)|0 \le x \le 1,\,\,\, – 2x + 3 \le y \le 3} \right\}\\ {D_2} & = \left\{ {\left( {x,y} \right)|1 \le x \le 5,\,\,\,\frac{ 1}{2}x + \frac{1}{2} \le y \le 3} \right\}\end{align*}\]
Обратите внимание, что \( \cup \) — это символ «объединения», который просто означает, что \(D\) — это область, которую мы получаем, объединяя две области. Если мы сделаем это, нам нужно будет сделать два отдельных интеграла, по одному для каждой из областей.
Чтобы избежать этого, мы могли бы изменить ситуацию и решить два уравнения для \(x\), чтобы получить
\[\begin{align*}y & = – 2x + 3\hspace{0.
5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = – \frac{1}{2}y + \frac{3}{2} \\ y & = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = 2y – 1\end{align*}\]Если мы сделаем это, то заметим, что одна и та же функция всегда справа и одна и та же функция всегда слева, поэтому область равна 9.0004
\[D = \left\{ {\left( {x,y} \right)|\,\, – \frac{1}{2}y + \frac{3}{2} \le x \le 2y – 1,\,\,\,1 \le y \le 3} \right\}\]
Запись области в этой форме означает выполнение одного интеграла вместо двух интегралов, которые нам пришлось бы делать в противном случае.
Любой способ должен дать один и тот же ответ, поэтому мы можем получить пример в примечаниях к разделению области, давайте сделаем оба интеграла.
Раствор 1 95\\ & = – \frac{{935}}{3}\end{align*}\]
Было много работы. Обратите внимание, однако, что после того, как мы сделали первую замену, мы не умножили все.
Два квадратичных члена можно легко интегрировать с помощью базовой замены Calc I, поэтому мы не удосужились их перемножить. Мы будем делать это при случае, чтобы сделать некоторые из этих интегралов немного проще.Решение 2
Это решение потребует гораздо меньше работы, так как мы будем вычислять только один интеграл. 93\\ & = – \frac{{935}}{3}\end{align*}\]Итак, цифры были немного беспорядочнее, но в остальном для того же результата требовалось гораздо меньше работы. Также обратите внимание, что мы снова не вырезали два термина в кубе, так как с ними легче работать, используя замену Calc I.
Как показала нам последняя часть предыдущего примера, мы можем интегрировать эти интегралы в любом порядке ( т.е. \(x\) с последующим \(y\) или \(y\) с последующим \(x\) ), хотя часто один заказ будет проще другого. На самом деле будут времена, когда будет невозможно выполнить интеграл даже в одном порядке, в то время как можно будет выполнить интеграл в другом порядке.
Также не забывайте о заменах в исчислении I. Студенты часто просто спешат и умножают все после выполнения интегральной оценки и в конечном итоге пропускают действительно простую замену исчисления I, которая позволяет избежать хлопот с умножением всего. Подстановки в исчислении I не всегда обнаруживаются, но когда они появляются, они почти всегда упрощают работу для остальной части задачи.
Давайте посмотрим на пару примеров таких интегралов.
Пример 2 Оцените следующие интегралы, сначала поменяв порядок интегрирования на обратный. 92}\) перед экспонентой, чтобы выполнить интегрирование \(y\). Мы будем надеяться, что если мы обратим порядок интегрирования, мы получим интеграл, который мы можем сделать.
Теперь, когда мы говорим, что собираемся изменить порядок интегрирования, это означает, что мы хотим сначала интегрировать по \(x\), а затем по \(y\). Обратите также внимание, что мы не можем просто поменять местами интегралы, сохранив исходные пределы, и покончить с этим.
Это не решит нашу первоначальную проблему, и для интегрирования по \(x\) мы не можем иметь \(x\) в пределах интегралов. Даже если мы проигнорировали это, ответ не был бы постоянным, как это должно быть. 92}\) на нижней границе и \(y = 9\) на верхней границе, лежащей между \(x = 0\) и \(x = 3\). Вот набросок этого региона.Поскольку мы хотим интегрировать по \(x\), сначала нам нужно определить пределы \(x\) (вероятно, с точки зрения \(y\)) и затем получить пределы по \(y\ ) х. Вот они для этого региона.
\[\begin{array}{c}0 \le x \le \sqrt y \\ 0 \le y \le 9\end{array}\] 94} + 1} \,dx}}\,dy}}\) Показать решение
Как и в случае с первым интегралом, мы не можем сделать этот интеграл, сначала проинтегрировав по \(x\), поэтому мы будем надеяться, что, изменив порядок интегрирования на обратный, мы получим то, что сможем проинтегрировать. Вот пределы для переменных, которые мы получаем из этого интеграла.
\[\begin{массив}{c}\sqrt[3]{y} \le x \le 2\\ 0 \le y \le 8\end{массив}\]
а вот набросок этого региона. 9{\frac{3}{2}}} – 1} \right)\end{align*}\]
Последняя тема этого раздела — две геометрические интерпретации двойного интеграла. Первая интерпретация является расширением идеи, которую мы использовали для развития идеи двойного интеграла в первом разделе этой главы. Мы сделали это, взглянув на объем тела, которое было ниже поверхности функции \(z = f\left({x,y} \right)\) и над прямоугольником \(R\) в \( ху\)-плоскость. Эту идею можно распространить на более общие регионы. 92}\).
Показать решение
Вот график поверхности, и мы попытались показать область в плоскости \(xy\) под поверхностью.
Вот набросок области в плоскости \(xy\) сам по себе.
Приравняв два ограничивающих уравнения, мы увидим, что они пересекаются в точках \(x = 2\) и \(x = – 2\).
2}\end{массив}\]
92 = \frac{{12800}}{3}\end{align*}\]Пример 4. Найдите объем тела, заключенного в плоскости \(4x + 2y + z = 10\), \(y = 3x\), \(z = 0\), \(x = 0\).
Показать решение
Этот пример немного отличается от предыдущего. Здесь область \(D\) явно не указана, поэтому нам нужно ее найти. Во-первых, обратите внимание, что последние две плоскости на самом деле говорят нам, что мы не пройдем дальше плоскости \(xy\) и плоскости \(yz\), когда доберемся до них.
Первая плоскость, \(4x + 2y + z = 10\), является верхней частью объема, поэтому мы действительно ищем нижний объем,
\[г = 10 – 4х – 2у\]
и выше область \(D\) в плоскости \(xy\). Вторая плоскость \(y = 3x\) (да, это плоскость) дает одну из сторон объема, как показано ниже.
Область \(D\) будет областью в \(xy\)-плоскости ( т.
е. \(z = 0\)), которая ограничена \(y = 3x\), \(x = 0\), и линия, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость. Мы можем определить, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость, подставив в нее \(z = 0\).\[0 + 4x + 2y = 10\hspace{0,25 дюйма} \Стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}2x + y = 5\hspace{0,25 дюйма} \Стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}y = – 2x + 5\]
Итак, вот набросок региона \(D\).
Область \(D\) – это место, где это тело будет располагаться на плоскости \(xy\), и вот неравенства, определяющие область.
\[\begin{array}{c}0 \le x \le 1\\ 3x \le y \le – 2x + 5\end{массив}\] 91 = \frac{{25}}{3}\end{align*}\]
Обратите внимание, что в более общем случае
\[V = \iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}}\]
дает чистый объем между графиком \(z = f\left( {x,y} \right)\) и областью \(D\) в \(xy\)-плоскости.
Области, находящиеся ниже плоскости \(xy\), имеют отрицательный объем, а области, расположенные выше плоскости \(xy\), имеют положительный объем.Мы видели подобную идею в исчислении I, где, 9{b}{{f\влево( x \вправо)\,dx}}\]
дает чистую площадь между кривой, заданной \(y = f\left( x \right)\) и осью \(x\) на интервале \(\left[ {a,b} \right] \).
Вторая геометрическая интерпретация двойного интеграла состоит в следующем.
\[{\mbox{Площадь}}D = \iint\limits_{D}{{dA}}\]
Легко понять, почему это вообще верно. Предположим, что мы хотим найти площадь области, показанной ниже.
9{{\,b}}{{{g_2}\left( x \right) – {g_1}\left( x \right)\,dx}}\end{align*}\]Это точно такая же формула, которую мы использовали в Исчислении I.
исчисление – Можно ли решать двойной интеграл таким образом?
спросил
Изменено 3 года, 3 месяца назад
Просмотрено 110 раз 92\тета д\тета$$ Допустимо ли писать интеграл так (разделяя интеграл на 2 интеграла относительно того, что в исходном интеграле есть умножение)?
- исчисление
- интегрирование
- полярные координаты
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Да, действительно.
5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = – \frac{1}{2}y + \frac{3}{2} \\ y & = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = 2y – 1\end{align*}\]
Два квадратичных члена можно легко интегрировать с помощью базовой замены Calc I, поэтому мы не удосужились их перемножить. Мы будем делать это при случае, чтобы сделать некоторые из этих интегралов немного проще.
Это не решит нашу первоначальную проблему, и для интегрирования по \(x\) мы не можем иметь \(x\) в пределах интегралов. Даже если мы проигнорировали это, ответ не был бы постоянным, как это должно быть. 92}\) на нижней границе и \(y = 9\) на верхней границе, лежащей между \(x = 0\) и \(x = 3\). Вот набросок этого региона.
е. \(z = 0\)), которая ограничена \(y = 3x\), \(x = 0\), и линия, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость. Мы можем определить, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость, подставив в нее \(z = 0\).
Области, находящиеся ниже плоскости \(xy\), имеют отрицательный объем, а области, расположенные выше плоскости \(xy\), имеют положительный объем.