Эффект доплера для электромагнитных волн: ДОПЛЕРА ЭФФЕКТ • Большая российская энциклопедия - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Эффект Доплера для упругих и электромагнитных волн

Под эффектом Доплера понимают изменение частоты, регистрируемой приемником волны, связанное с движением источника и приемника. Впервые теоретически этот эффект в акустике и оптике был обоснован австрийским физиком К. Доплером в 1842 г.

Рассмотрим вывод формулы, определяющей частоту упругой волны, воспринимаемой приемником, на примере двух частных случаев. 1. В среде находятся неподвижные источник и приемник звуковых волн. Испускаемые источником волны частоты и длины волны , двигаясь со скоростью , достигают приемника и создают в нем колебания такой же частоты (рис. 6.11,а). 2. Источник и испускаемая им волна движутся вдоль оси Ох. Приемник движется к ним навстречу. Отметим, что скорость волны зависит только от свойств среды и не зависит от движения приемника и источника. Поэтому движение источника при постоянной частоте излучаемых им колебаний приведет к изменению только длины волны.

Действительно, источник за период колебаний пройдет расстояние , а по закону сложения скоростей волна отойдет от источника на расстояние , и поэтому ее длина волны будет меньше (рис.6.11,б).

По отношению к приемнику волна в соответствии с законом сложения скоростей будет двигаться со скоростью и для неизменной длины волны частота колебаний, воспринимаемых источником, изменится и будет равна

Если источник и приемник будут удаляться друг от друга, то тогда в формуле для частоты нужно изменить знаки. Следовательно, единая формула для частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника и приемника по одной прямой, будет выглядеть следующим образом:

. (6.36)

Из этой формулы следует, что для наблюдателя, находящегося, например на станции, частота звукового сигнала приближающегося поезда (υ_ПР=0, υ_ИСТ>0)

будет больше, а при удалении от станции меньше. Если, например, взять скорость звука υ=340 м/с, скорость поезда υ=72 км/ч и частоту звукового сигнала ν

0=1000 Гц (такая частота хорошо воспринимается человеческим ухом, причем ухо различает звуковые волны с разностью частот, большей 10 Гц), тогда частота сигнала, воспринимаемого ухом будет изменяться в пределах

Рис. 6.11

Если источник и приемник движутся со скоростями, направленными под углом к соединяющей их прямой, то тогда для расчета частоты , воспринимаемой приемником, нужно брать проекции их скоростей на эту прямую (рис. 6.11,в):

. (6.37)

Эффект Доплера наблюдается и для электромагнитных волн. Но в отличие от

упругих волн, ЭМВ могут распространяться в отсутствии среды, в вакууме. Следовательно, для ЭМВ не имеет значения скорость движения источника и приемника относительно среды. Для ЭМВ необходимо рассматривать относительную скорость движения источника и приемника, учитывать при этом преобразования Лоренца и замедление хода времени в движущейся системе отсчета.

Рассмотрим продольный эффект Доплера. Выведем формулу для частоты ЭМВ, фиксируемой приемником, в частном случае – источник и приемник движутся навстречу друг другу в направлении соединяющей их прямой. Пусть имеются две И.С.О. – неподвижная И.С.О. К (в ней находится неподвижный приемник ЭМВ) и движущаяся относительно нее вдоль совпадающих осей координат Ох и Ох′ И.С.О. К′ (в ней находится неподвижный источник ЭМВ) (рис. 6.12,а).

Рис. 6.12

Рассмотрим, что наблюдается в И.С.О. К и К’.

1. И.С.О. К

′.

Источник ЭМВ неподвижен и находится в начале оси координат Ох′ (рис. 6.12,а). Он излучает в И.С.О. К′ ЭМВ с периодом , частоты и длины волны .

Приемник движется, но его движение не влияет на изменение частоты принимаемого сигнала. Это связано с тем, что, согласно второму постулату С.Т.О., скорость ЭМВ относительно приемника будет всегда равна с, и поэтому частота принимаемой приемником волны в И.С.О. К’ будет также равна ,

2. И.С.О. К. Приемник ЭМВ неподвижен, а источник ЭМВ движется в направлении оси Ох со скоростью . Поэтому для источника необходимо учесть релятивистский эффект замедления времени. Это означает, что период волны, излучаемой источником в этой инерциальной системе отсчета, будет больше периода волны в И.С.О. ().

Для длины волны , излучаемой источником в направлении приемника, можно записать

Это выражение позволяет для периода Т и частоты воспринимаемой приемником ЭМВ в И.С.О. К, записать следующие формулы:

, (6.38)

где учтено, что скорость ЭМВ относительно приемника в И.С.О. К равна с.

В случае удаления источника и приемника необходимо в формуле (6.38) изменить знаки. При этом фиксируемая приемником частота излучения будет уменьшаться по сравнению с частотой волны, излучаемой источником, т.е. наблюдается красное смещение спектра видимого света.

Как видно, в выражение (6.38) не входит скорость источника и приемника по отдельности, входит только скорость их относительного движения.

Для ЭМВ также наблюдается поперечный эффект Доплера, который связан с эффектом замедления времени в движущейся инерциальной системе отсчета. Возьмем момент времени, когда скорость источника ЭМВ будет перпендикулярна линии наблюдения (рис.

6.12,б), тогда движение источника к приемнику не происходит и поэтому длина излучаемой им волны не изменяется (). Остается только релятивистский эффект замедления времени

, . (6.39)

Для поперечного эффекта Доплера изменение частоты будет существенно меньше, чем для продольного эффекта Доплера. Действительно, отношение частот, найденных по формулам (6.38) и (6.39), для продольного и поперечного эффектов будет значительно меньше единицы: .

Поперечный эффект Доплера был подтвержден экспериментально, что еще раз доказало справедливость специальной теории относительности.

Приведенные здесь доводы в пользу формулы (6.39) не претендуют на строгость, но они дают правильный результат. В общем случае, для произвольного угла между линией наблюдения и скоростью движения источника , можно записать следующую формулу

, (6.

40) где угол – это угол между линией наблюдения и скоростью движения источника см. (рис. 6.12, б).

Поперечный эффект Доплера отсутствует для упругих волн в среде. Это связано с тем, что, для определения частоты волны, воспринимаемой приемником, берутся проекции скоростей на прямую, соединяющую источник и приемник см. (рис. 6.11,в), а замедление времени для упругих волн отсутствует.

Эффект Доплера находит широкое практическое применение, например для измерения скоростей движения звезд, галактик по доплеровскому (красному) смещению линий в спектрах их излучения; для определения скоростей движущихся целей в радиолокации и гидролокации; для измерения температуры тел по доплеровскому уширению линий излучения атомов и молекул и т.д.

Эффект Доплера


	Чем быстрее едешь на красный свет, тем он зеленее.

Обложка / Оглавление / Разные задачи

Это явление обнаружил Христиан Доплер в 1842 году.

Явлением Доплера называется зависимость частоты периодического возмущения приемника, вызванного действующей на него волной, от скоростей движения источника волн и приемника. Звуковые волны распространяются в упругой среде, и изменение частоты зависит от скоростей источника и приемника волн по отношению к этой среде. Электромагнитные волны особенные. Они не имеют специфической среды, колебаниями которой они являются. Явление Доплера, которое часто называют эффектом Доплера, в случае электромагнитных волн зависит только от относительного движения источника волн и приемника.

Хрестоматийным примером проявления этого эффекта в акустике является изменение тона гудка приближающегося, а затем удаляющегося поезда.

В радиосвязи и радиовещании с использованием только земных приемников и передатчиков эффектом Доплера пренебрегают (сдвиг частоты радиостанции FМ- диапазона, принимаемой а автомобиле, движущемся со скоростью 100 км/ч не превышает 10 Гц). Однако спутниковые каналы связи подвержены ему достаточно сильно. Например, в двухметровом диапазоне, используемом для связи через радиолюбительские спутники, доплеровский сдвиг достигает нескольких килогерц, непрерывно изменяясь при прохождении спутником зоны видимости.

Получим связь между частотами источника и приемника электромагнитных волн в зависимости от скорости их относительного движения.

Рис. 1

Пусть излучатель производит электромагнитные волны в виде одинаковых очень коротких прямоугольных импульсов с частотой (рис. 1). Излучатель движется по направлению к приемнику со скоростью . Частота измеряется в сопутствующей системе отсчета, жестко связанной с излучателем. Период электромагнитных колебаний в излучателе, измеренный в сопутствующей системе, равен . Так как сопутствующая система отсчета движется со скоростью v по отношению к приемнику, то время в ней замедляется. Следовательно, по измерениям в системе отсчета приемника излучатель будет посылать короткие импульсы через промежутки времени равные . За время t электромагнитный импульс успевает пролететь расстояние . Излучатель тоже не стоит на месте и преодолеет за это время путь равный (рис. 2).

Рис. 2

Электромагнитные импульсы, распространяющиеся со скоростью по направлению к приемнику, придут к нему с разницей во времени .

Следовательно, период возмущения, воспринимаемого приемником, будет равен , а частота – .

Полученная формула выражает зависимость между частотами при так называемом продольном эффекте Доплера, то есть когда источник волн приближается к приемнику или удаляется от него. Причем, когда источник волн удаляется от приемника скорость v следует брать со знаком “-“.

При желании полученному выражению можно придать более симметричный вид: .

Или . Как видим, воспринимаемая частота зависит от двух факторов:

1. От замедления времени в движущей системе.

2. От уплотнения пакета волн вследствие того, что излучатель двигается им вдогонку.

Если скорость движения источника v мала по сравнению со скоростью света, то отношением можно пренебречь по сравнению с единицей. В этом случае формула упрощается: .

Последняя формула в точности соответствует формуле Доплера для звуковых волн в случае, когда приемник волн неподвижен относительно среды. Если приемник движется относительно упругой среды, в которой распространяются звуковые волны, то это тоже вносит свой вклад в зависимость между частотами и . Пусть – скорость источника звуковых волн относительно упругой среды, – скорость приемника, а – скорость звука (рис. 3).

Рис. 3

Пусть в некоторый момент звуковой импульс достиг приемника (рис. 4).

Рис. 4

Идущий следом за ним звуковой импульс находится в этот момент на расстоянии от приемника. – период колебаний источника звуковых волн. Пусть T – время, которое потребуется импульсу для того, чтобы настичь приемник. Приемник за это время уйдет на расстояние . Следовательно, второму импульсу потребуется преодолеть расстояние и, двигаясь со скоростью , он сделает это за время T. В результате мы приходим к уравнению: .

Выполняя последовательно преобразования

;

, и учитывая, что и , получаем: .

Если источник и приемник излучения не движутся вдоль общей прямой, то следует брать проекции их скоростей на ось, проходящую через них в направлении распространения волны. Отсюда следует, что если источник и приемник движутся в направлении перпендикулярном оси, их соединяющей, то эффект Доплера наблюдаться не будет. Для электромагнитных волн, однако, сказанное неверно. Эффект изменения частоты электромагнитных волн при движении источника в направлении перпендикулярном общей прямой, соединяющей источник и приемник, называется поперечным эффектом Доплера. Поперечный эффект Доплера для электромагнитных волн возникает за счет замедления времени в системе движущегося источника.

Найдем выражение для изменения частоты в этом случае. Пусть – “собственная частота” волны в системе отсчета, движущейся вместе с источником. Тогда период колебаний волны . В системе отсчета, связанной с приемником, период колебаний источника будет больше: . Поскольку источник движется перпендикулярно к направлению распространения волн, эффекта их уплотнения за счет сокращения расстояния до приемника не происходит. Замедление времени в этом случае – это единственный фактор, который влияет на сдвиг частоты, воспринимаемой приемником. Поэтому для поперечного эффекта Доплера мы можем записать: .

То, что поперечный эффект Доплера зависит только от замедления времени, которое предсказывается специальной теорией относительности (СТО), делает его серьезным свидетельством в пользу правильности этой теории. Зарегистрировать эффект экспериментально удалось Г. Айвсу и Д. Стилуэллу в 1938 году. В опытах Айвса наблюдалось изменение частоты излучения атомов водорода в каналовых лучах. Заметим, что это прямое экспериментальное доказательство СТО.

Обе формулы для продольного и поперечного эффектов Доплера для электромагнитных волн мы можем заменить одной более общей:
, где – проекция скорости на ось x, а ось x, в свою очередь – ось, направленная от источника волн к приемнику.

Комментарии

1. Христиан Доплер (нем. Christian Doppler) родился 29 ноября 1803 года в Зальцбурге. В 1825 году окончил Политехнический институт в Вене, с 1835 по 1847 год работал в Праге, с 1847 года – профессор Горной и Лесной академий в Хемнице, с 1848 года – член Венской Академии Наук, с 1850 профессор Венского университета и директор первого в мире Физического института, созданного при Венском университете по его инициативе.

Научные интересы Христиана Доплера лежали в таких областях физики как оптика и акустика. Основные труды выполнены по аберрации света, теории микроскопа и оптического дальномера, теории цветов и некоторым другим темам. В 1842 Доплер теоретически обосновал зависимость частоты колебаний, воспринимаемых наблюдателем, от скорости и направления движения источника волн и наблюдателя относительно друг друга. Это явление впоследствии было названо его именем (эффект Доплера).

В 1848 году эффект Доплера был уточнен французским физиком Арманом Физо, а в 1900 году – и экспериментально проверен А. А. Белопольским на лабораторной установке. Принцип Доплера получил многочисленные применения в самых разнообразных областях физики и техники (вплоть до радаров, используемых ГИБДД).

Умер Христиан Доплер 17 марта 1853 года в Венеции.

2. Ариста́рх Аполло́нович Белопо́льский (1 июля (13 июля) 1854, Москва – 16 мая 1934, Ленинград) – российский (советский) астроном; член Петербургской АН с 1903 года. В 1877 году окончил Московский университет, был оставлен при нём для подготовки к званию профессора. С 1879 по 1888 – ассистент Московской обсерватории. В 1888 перешёл в Пулковскую обсерваторию, сначала на должность адъюнкт-астронома, а с 1890 – астрофизика. В 1908 – 1916 – вице-директор, а в 1916 – 1919 – директор Пулковской обсерватории. С 1933 – её почётный директор. Умер в Пулково в 1934 году, похоронен на Пулковском кладбище.

Обложка / Оглавление / Разные задачи

Сайт управляется системой uCoz

Электромагнитное излучение и эффект Доплера

Эта страница является вспомогательной страницей мультимедийной главы Эффект Доплера в томе «Волны и звук». Он дает справочную информацию и дополнительную информацию.

Эффект Доплера в электромагнитном излучении
Поиск экзопланет с эффектом Доплера
Космологическое красное смещение
Релятивистские красные смещения

Эффект Доплера в электромагнитном излучении

В мультимедийном руководстве и на первой вспомогательной странице мы сосредоточились на эффекте Доплера в звуке, а также использовали волны на воде в качестве примера. Для электромагнитного излучения — света, радио, гамма-лучей и т. д. применяются те же принципы, и мы часто можем использовать уравнения, полученные там для частоты f ‘, наблюдаемой, когда источник излучает частоту f:

где v — скорость волны, v _s — скорость источника, v _o — скорость наблюдателя, где v _s и v _o приняты положительными для приближения и отрицательный для отступления.

Для электромагнитного излучения v = c — это скорость света, которая составляет примерно 3 x 10 ⁸ мс ⁻¹ . Следовательно, пропорциональные изменения частоты и длины волны для обычных скоростей v 9 очень малы.0046 с и v _или . Однако частота является одной из величин, которые можно измерить с очень высокой точностью, поэтому радарные пушки, используемые дорожными патрулями (рисунок справа), обычно способны измерять сдвиги частоты менее чем на 1 часть из 10 ⁸ , и поэтому может точно измерить скорость транспортных средств, движущихся со скоростью несколько десятков мс ⁻¹ .

Охота на экзопланеты с эффектом Доплера

Синий свет имеет более короткую длину волны (более высокую частоту), чем красный, поэтому все особенности в оптических спектрах объектов, удаляющихся от нас, смещены в сторону красного конца ( красное смещение ). Объекты, движущиеся к нам (намного реже в астрономии), имеют спектры, сдвинутые на в синий цвет на .

В некоторых, но далеко не во всех случаях сдвиг объясняется простым эффектом Доплера.

График ниже был предоставлен Крисом Тинни, который охотится за экзопланетами. Он показывает, что скорость звезды эпсилон Сети имеет составляющую по направлению к нам, которая меняется с периодом 439 земных дней и величиной около 40 мс ⁻¹ . В анимации (не в масштабе, конечно) красные и синие смещения обозначены красными и синими волнами. Движение этой звезды связано с гравитационным эффектом планеты, вращающейся вокруг звезды. В отличие от звезды, которая сияет, планета не видна: она слишком далеко, чтобы ее можно было увидеть в отраженном свете. Тем не менее, мы сделали это видимым в нашей анимации. Хотя год планеты сравним с земным, ее масса намного больше: на данный момент такие маленькие планеты, как наша, не были обнаружены с помощью этого метода.

Большинство планет, обнаруженных таким образом, являются «горячими юпитерами»: планеты-гиганты (достаточно большие, чтобы заметно сдвинуть свою звезду), вращающиеся вокруг своей звезды (что делает эффект сильнее и быстрее). Крис указывает, что большинство доплеровских смещений гораздо более асимметричны, чем показанное здесь, а это означает, что орбиты обычно сильно эллиптические.

Космологические красные смещения

Весто Слайфер в 1917 году заметил, что спектры многих далеких объектов во Вселенной смещены в красную сторону. Эдвин Хаббл позже интерпретировал это как результат их удаления от нас со скоростью, увеличивающейся с расстоянием от нас. За исключением нескольких ближайших к нам галактик, таких как Магеллановы Облака, которые связаны гравитацией, практически все галактики удаляются от нас, и их свет смещается в красную сторону (его длина волны увеличивается) в силу фактора, который астрономы и космологи называют я.

Красные смещения, наблюдаемые астрономами, происходят не только из-за эффекта Доплера, но и как минимум из трех других эффектов. В случае этих галактических красных смещений увеличение длины волны происходит из-за другого эффекта. Вселенная и само пространство расширяются. Чем дальше находится галактика, тем больше времени требуется ее свету, чтобы достичь нас, и, следовательно, тем больше растягивается ее длина волны за это время (тем больше z).

Приведенные выше анимации следует рассматривать как мультфильмы. Тот, что слева, показывает волну в гипотетической двумерной вселенной, которая имеет сферическую форму в трехмерном пространстве. По мере расширения этой вселенной длина волны увеличивается. Анимация справа показывает несколько галактик в одной и той же нереалистичной вселенной. Чем дальше они друг от друга, тем больше времени потребовалось свету, чтобы достичь нас, и, следовательно, тем больше времени пришлось волнам, чтобы расшириться вместе с пространством, через которое они прошли.

Если вы задавались вопросом: «Почему все галактики удаляются от нас?» Это то, что мы сказали?», затем карикатура справа отвечает на ваш вопрос. В нашем положении нет ничего особенного: по мере расширения пространства все во Вселенной удаляется от всего остального. Если надуть воздушный шар, то из любой точки на воздушном шаре будет казаться, что все остальные точки удаляются со скоростью, которая увеличивается с текущим расстоянием разделения.

Приведенные ниже спектры, данные любезно предоставленные Xiaohui Fan, показывают ту же особенность в наборе спектров квазаров со значениями z от 5,74 (внизу) до 6,42 (вверху). Для всех этих спектров длины волн были растянуты примерно в шесть раз за то время, которое потребовалось их свету, чтобы достичь нас. Они настолько далеки, что расчетное время, за которое свет достигнет нас, зависит от того, какую космологическую модель мы используем в расчетах. Однако во всех моделях он составляет порядка 10 миллиардов лет.

В FAQ по акустике есть краткое обсуждение космологической акустики.

Релятивистские красные смещения

Есть еще две причины красного смещения астрономических объектов. Во-первых, объекты, движущиеся относительно наблюдателя, демонстрируют замедление времени из-за относительного движения . На этих объектах время течет медленнее: их часы тикают медленнее, а их атомы испускают излучение с меньшей частотой.

Рассмотрим, например, объект, движение которого происходит под прямым углом к разделяющей нас линии. Он не приближается к нам и не удаляется от нас. Так что доплеровского сдвига (в обычном смысле этого слова) нет. Однако он имеет относительное движение и поэтому демонстрирует замедление времени. Так что это показывает релятивистское красное смещение .

Еще одно красное смещение связано с общей теорией относительности: теорией гравитации Эйнштейна. Объекты с низким гравитационным потенциалом также демонстрируют замедление времени. Вблизи поверхности звезды гравитационный потенциал ниже нашего, поэтому для массивных звезд с интенсивными гравитационными полями существует гравитационное красное смещение . Свет от Солнца гравитационно смещен в красную сторону (гравитационный потенциал на поверхности Солнца ниже, чем на поверхности Земли).

Это обсуждение отвлекло нас от наших основных тем. Для читателей, желающих пойти дальше, мы предлагаем введение в теорию относительности под названием «Эйнштейновский свет».

Эффект Доплера: мультимедийный учебник
Эффект Доплера: вспомогательная страница с более подробной информацией
Ударные волны и звуковые удары: вспомогательная страница с более подробной информацией

Применение эффекта Доплера для электромагнитных волн, Рон Куртус

SfC

Рон Куртус (обновлено 6 января 2022 г.)

Эффект Доплера — это изменение частоты и длины волны, вызванное движущимся источником или наблюдателем. Есть разные приложения эффекта Доплера для электромагнитных волн .

В астрономии движение удаленного источника света, такого как звезда или галактика, можно измерить с помощью эффекта Доплера. Его часто называют красным смещением или синим смещением, в зависимости от направления движения источника.

Сигналы связи от спутников, вращающихся вокруг Земли, могут иметь доплеровский сдвиг относительно наземной станции. Скорость движущегося автомобиля можно измерить с помощью доплеровского радара.

Возможные вопросы:

Как эффект Доплера используется в астрономии?
Как он используется для связи со спутниками?
Как работает доплеровский радар?

Этот урок ответит на эти вопросы. Полезный инструмент: Преобразование единиц измерения

Радиоволны: компенсация в спутниках

Когда сигналы связи отправляются с Земли на быстро движущийся спутник, принимаемая частота смещается из-за эффекта Доплера. Точно так же сигналы, принимаемые земной станцией, смещаются из-за движения спутника.

Метод под названием Динамическая доплеровская компенсация изменяет частоту сигнала несколько раз во время передачи, чтобы поддерживать постоянную частоту сигнала.

Микроволны: доплеровский радар

Радиолокационные устройства излучают электромагнитные волны — обычно в микроволновом диапазоне — и принимают эти волны, когда они отражаются от объекта. Измеряется время, которое требуется волнам, чтобы совершить кругосветное путешествие, таким образом определяя расстояние.

В Доплеровский радар , измерение скорости объекта достигается путем сравнения исходной частоты волны с частотой отраженной волны, которая была изменена из-за эффекта Доплера от движущегося объекта. Он часто используется полицией для контроля скорости автомобилей.

Примечание : то, что в телевизионных сводках погоды называется «доплеровским радаром», на самом деле является узкоспециализированным доплеровским радаром, который включает информацию о движении осадков. При этом используется специальный импульсно-доплеровский метод.

Видимый свет: используется в астрономии

Движение звезд и галактик по направлению к Земле или от нее можно измерить с помощью эффекта Доплера с помощью спектрометра .

Спектрометр — это устройство, которое разделяет входные цвета и распределяет их на дисплее. Поскольку падающий свет состоит из отдельных цветных полос, в зависимости от химического состава звезды спектрометр покажет изменение цвета по сравнению с тем, что было бы, если бы источник не двигался.

Удаленный источник света, который движется к наблюдателю на Земле, вызывает сдвиг наблюдаемой длины волны света в сторону более высоких частот или более коротких длин волн. Это называется «синим сдвигом», поскольку видимый свет смещается в сторону синего цвета.

Когда удаленный источник удаляется от Земли, свет будет смещаться в сторону красных цветов в зависимости от скорости источника. Это называется «красным смещением» света.

Резюме

Эффект Доплера для электромагнитных волн используется в различных приложениях. В астрономии движение звезды или галактики можно измерить с помощью эффекта Доплера с помощью спектрометра. Его часто называют красным смещением или синим смещением, в зависимости от направления движения источника.

Сигналы связи от спутников, вращающихся вокруг Земли, могут иметь доплеровский сдвиг относительно наземной станции. Также скорость движущегося транспортного средства можно измерить с помощью доплеровского радара.

Будьте умны в применении физических принципов

Ресурсы и ссылки

Рон Куртус. Условия

Веб -сайты

Physics Resources

Physics

. покупки книг)

Книги с самым высоким рейтингом по электромагнитным волнам

Поделитесь этой страницей

Нажмите кнопку, чтобы добавить эту страницу в закладки или поделиться ею через Twitter, Facebook, электронную почту или другие службы:

Студенты и исследователи

Веб-адрес этой страницы:
www.