Эффект релятивистский доплера: Relativistic doppler effect – Wikipedia

Релятивистский эффект Доплера – frwiki.wiki

Рис. 1. Источник световой волны движется вправо со скоростью 0,7  c . Частота выше справа и ниже слева.

Релятивистская Доплера ( МЭД ) является изменением частоты (и длиной волны ) от света , вызванным относительным движением источника и наблюдателя, когда эффекты , описываемые теорией относительности принимается во внимание.

Этот эффект отличается от эффекта Доплера в механике Ньютона, поскольку уравнения включают замедление времени , следствие безразличия системы отсчета для скорости света. Явления МЭД и световой аберрации формируют, благодаря волновому квадрицептору, лоренц-инвариантные соотношения .

Резюме

• 1 Визуализация
• 2 Аналогия
• 3 Двигайтесь по линии прямой видимости
• 4 Поперечный эффект Доплера
  • 4.1 Взаимность
  • 4.2 Экспериментальная проверка
    • 4. 2.1 Продольные испытания
    • 4.2.2 Испытания на трансверсальность
• 5 Движение в произвольном направлении
• 6 Ускоренное движение
• 7 Примечания и ссылки
• 8 Приложения
  • 8.1 Библиография
  • 8.2 Статьи по теме
  • 8.3 Внешние ссылки

Визуализация

Рисунок 2. Демонстрация световой аберрации и релятивистского эффекта Доплера.

На рисунке 2 синяя точка представляет наблюдателя, а стрелка представляет вектор скорости наблюдателя. Когда наблюдатель неподвижен, сетка x , y кажется ему желтой, а ось y – черной вертикальной линией. Когда скорость наблюдателя увеличивается вправо, цвета меняются, и аберрация света искажает сетку. Когда наблюдатель смотрит вперед (вправо на сетке), точки кажутся ему зелеными, синими и пурпурными ( смещаются в сторону синего ), а линии сетки кажутся ему более удаленными друг от друга. Если наблюдатель оглядывается назад (налево на сетке), точки становятся красными ( красное смещение ), а линии – ближе друг к другу.

Сетка не изменилась, только внешний вид для наблюдателя.

Аналогия

Понимание релятивистского эффекта Доплера (EDR) начинается с понимания эффекта Доплера , замедления времени и световой аберрации . Предположим, что два человека играют в мяч, питчер и кэтчер. Далее предположим, что стационарный питчер бросает мяч со скоростью 1 пуля в секунду (частота передачи 1 

Гц ) со скоростью 1  м / с в стационарный уловитель, стоящий на расстоянии одного метра от него. Стационарный приемник будет принимать один мяч в секунду (частота приема 1  Гц ). Затем приемник удаляется на две секунды со скоростью 0,5  м / с  : поэтому он ловит каждый мяч каждые две секунды (частота приема 0,5  Гц ). И наоборот, принимающий приближается к бросающему на две секунды со скоростью 0,5  м / с  : таким образом, он ловит три мяча за две секунды (частота приема 1,5  Гц ). Те же частоты наблюдались бы, если бы кувшин отошел, а затем приблизился к приемнику с одинаковой скоростью в одно и то же время. По аналогии, EDR изменяет частоту света по мере удаления или приближения излучателя или приемника друг к другу.

На рисунке 1 показан передатчик, движущийся вправо, а на рисунке 2 – наблюдатель, движущийся вправо. Хотя изменение цвета выглядит одинаково, аберрация света противоположна. Чтобы понять этот эффект, предположим еще раз, что два человека играют в мяч. Если питчер движется вправо, а кетчер неподвижен, то питчер должен целиться позади него. В противном случае мяч перейдет на правую сторону ловца. Кроме того, кетчер должен повернуться лицом к питчеру, иначе мяч попадет в левую сторону кетчера. И наоборот, если питчер неподвижен, а кетчер движется вправо, то питчер должен прицелиться перед ним. В противном случае мяч перейдет на левую сторону принимающего. Кроме того, кетчер должен повернуться лицом к питчеру, иначе мяч попадет в правую сторону кетчера. Угол, на который должны повернуться питчер и кэтчер, зависит от двух факторов: 1) мгновенного угла между отрезком, соединяющим питчер и кэтчер, и вектором скорости мяча и 2) относительной скорости пары питчер-кэтчер. к скорости мяча. По аналогии, аберрация света зависит от: 1) мгновенного угла между сегментом, который соединяет излучатель с приемником, и вектором скорости света и 2) скорости пары излучатель-приемник относительно скорости света.

Двигайтесь по прямой видимости

Предположим , что наблюдатель и источник отдаляются друг от друга при относительной скорости ( является

отрицательным , если наблюдатель и источник движутся навстречу друг другу). Давайте проанализируем эту проблему из исходной системы отсчета , предполагая, что волновой фронт достигает наблюдателя. Поэтому следующий волновой фронт находится на некотором расстоянии от него (где является длиной волны , является частотой волны в момент его излучения и на скорости света ). Поскольку волновой фронт движется со скоростью, а наблюдатель движется со скоростью , время (измеренное в исходной системе отсчета) между пиками по прибытии определяется выражением v{\ displaystyle v \,}v{\ displaystyle v \,} λзнак равнопротив/жs{\ displaystyle \ lambda = c / f_ {s} \,}λ{\ displaystyle \ lambda \,}жs{\ displaystyle f_ {s} \,}против{\ displaystyle c \,}против{\ displaystyle c \,}v{\ displaystyle v}

тзнак равноλпротив-vзнак равнопротив(против-v)жsзнак равно1(1-β)жs,{\ displaystyle t = {\ frac {\ lambda} {cv}} = {\ frac {c} {(cv) f_ {s}}} = {\ frac {1} {(1- \ beta) f_ {s }}},}

где – скорость наблюдателя как функция скорости света. βзнак равноv/против{\ Displaystyle \ бета = v / с \,}

Из-за замедления времени (релятивистского) наблюдатель будет измерять эту продолжительность как

тознак равнотγ,{\ displaystyle t_ {o} = {\ frac {t} {\ gamma}},}

или же

γзнак равно11-β2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}

– фактор Лоренца . Соответствующая наблюдаемая частота равна

жознак равно1тознак равноγ(1-β)жsзнак равно1-β1+βжs.{\ displaystyle f_ {o} = {\ frac {1} {t_ {o}}} = \ gamma (1- \ beta) f_ {s} = {\ sqrt {\ frac {1- \ beta} {1+ \ beta}}} \, f_ {s}.}

Отчет

жsжознак равно1+β1-β{\ displaystyle {\ frac {f_ {s}} {f_ {o}}} = {\ sqrt {\ frac {1+ \ beta} {1- \ beta}}}}

называется «  фактором Доплера  » источника относительно наблюдателя. Соответствующие длины волн даются

λоλsзнак равножsжознак равно1+β1-β,{\ displaystyle {\ frac {\ lambda _ {o}} {\ lambda _ {s}}} = {\ frac {f_ {s}} {f_ {o}}} = {\ sqrt {\ frac {1+) \ beta} {1- \ beta}}},}

и красное смещение , которое возникает, когда наблюдатель и источник удаляются друг от друга,

zзнак равноλо-λsλsзнак равножs-жожо{\ displaystyle z = {\ frac {\ lambda _ {o} – \ lambda _ {s}} {\ lambda _ {s}}} = {\ frac {f_ {s} -f_ {o}} {f_ { o}}}}

можно записать как

zзнак равно1+β1-β-1. {2} \,}}}.}

В механике Ньютона не делает никаких прогнозов относительно этих сдвигов, так как при этом сдвиг зависит от относительного движения среды.

EDT является следствием EDR:

жознак равножsγ(1+vпотому что⁡θопротив){\ displaystyle f_ {o} = {\ frac {f_ {s}} {\ gamma \ left (1 + {\ frac {v \ cos \ theta _ {o}} {c}} \ right)}}}

В системе отсчета наблюдателя θ ₀ представляет угол между направлением излучателя во время излучения и наблюдаемым направлением света при приеме. Когда свет излучается, когда они находятся ближе всего друг к другу, что позволяет рассчитать поперечный сдвиг в сторону красного: θ0знак равноπ/2{\ displaystyle \ theta _ {0} = \ pi / 2}

жознак равножsγ{\ displaystyle f_ {o} = {\ frac {f_ {s}} {\ gamma}} \,}

EDT – это новое и важное предсказание специальной теории относительности. В 1907 году Эйнштейн писал: «Согласно специальной теории относительности, частота, излучаемая движущимся телом, уменьшается на фактор Лоренца, поэтому – в дополнение к обычному эффекту Доплера – частота в приемнике уменьшается в тот же фактор» .

Взаимность

Иногда некоторые люди задаются вопросом, почему EDT может вызвать красное смещение у неподвижного наблюдателя, в то время как другой наблюдатель, движущийся с передатчиком, также может увидеть такое смещение (даже случайно) от первого наблюдателя.

Понятие «поперечный» не взаимно. Каждый наблюдатель понимает, что когда свет достигает его поперек в его системе отсчета в состоянии покоя, другой излучает свет впоследствии, как измерено в системе отсчета в покое другого. Кроме того, каждый наблюдатель измеряет уменьшенную частоту ( замедление времени ). Комбинация этих эффектов делает эти наблюдения полностью взаимными, что соответствует принципу относительности .

Экспериментальная проверка

На практике экспериментальная проверка поперечного эффекта обычно осуществляется путем наблюдения за продольными изменениями частоты или длины волны по мере приближения или удаления тела: сравнение двух соотношений показывает, что величина сдвига выше, чем предсказывается ньютоновским методом. теория. Например, EDT необходим для интерпретации оптических явлений, исходящих от астрофизического объекта SS 433 .

Продольные испытания

Первым известным тестом, подтверждающим это предсказание, является эксперимент Айвса-Стилуэлла, проведенный в 1938 году. За этим последовало несколько экспериментов, которые утверждали, что они более точны, но их сложнее реализовать.

Тесты на трансверсальность

В 2011 году будет только один инерционный эксперимент, который подтвердит красное смещение для детектора, расположенного под углом 90 градусов по отношению к объекту.

Движение в произвольном направлении

Если в системе отсчета наблюдателя излучатель удаляется со скоростью и под углом относительно направления наблюдателя на источник (в момент испускания света), частота изменяется в соответствии с: v{\ displaystyle v \,}θо{\ displaystyle \ theta _ {o} \,}

жознак равножsγ(1+vпотому что⁡θопротив)(1){\ displaystyle f_ {o} = {\ frac {f_ {s}} {\ gamma \ left (1 + {\ frac {v \ cos \ theta _ {o}} {c}} \ right)}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ текст 1)}}}. {\ circ} \,}потому что⁡θознак равно0{\ Displaystyle \ соз \ тета _ {о} = 0 \,}

жознак равножsγ.{\ displaystyle f_ {o} = {\ frac {f_ {s}} {\ gamma}}. \,}

Из-за конечной скорости света луч света (или фотон ), воспринимаемый наблюдателем как приходящий в соответствии с углом , в системе отсчета излучателя испускается под другим углом . Значения и связаны согласно формуле релятивистской аберрации  : θо{\ displaystyle \ theta _ {o} \,}θs{\ displaystyle \ theta _ {s} \,}потому что⁡θо{\ Displaystyle \ соз \ тета _ {о} \,}потому что⁡θs{\ displaystyle \ cos \ theta _ {s} \,}

потому что⁡θознак равнопотому что⁡θs-vпротив1-vпротивпотому что⁡θs.{\ displaystyle \ cos \ theta _ {o} = {\ frac {\ cos \ theta _ {s} – {\ frac {v} {c}}} {1 – {\ frac {v} {c}} \ cos \ theta _ {s}}} \,.}

Следовательно, уравнение (1) можно переписать

жознак равноγ(1-vпотому что⁡θsпротив)жs.(2){\ displaystyle f_ {o} = \ gamma \ left (1 – {\ frac {v \ cos \ theta _ {s}} {c}} \ right) f_ {s}. \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, {\ text {(2)}}}.

Например, фотон, испускаемый перпендикулярно в системе отсчета излучателя ( ), будет наблюдаться смещенным в сторону синего цвета: потому что⁡θsзнак равно0{\ Displaystyle \ соз \ тета _ {s} = 0 \,}

жознак равноγжs.{\ displaystyle f_ {o} = \ gamma f_ {s}. \,}

В механике Ньютона два уравнения (1) и (2) дают

Δжж≃-vпотому что⁡θпротив.{\ displaystyle {\ frac {\ Delta f} {f}} \ simeq – {\ frac {v \ cos \ theta} {c}}.}

Ускоренное движение

Диаграмма, показывающая релятивистский эффект Доплера в произвольной системе отсчета.

Для движений, ускоренных в произвольной системе отсчета, должно быть различие между движением источника и наблюдателя. Эффект Доплера при наблюдении из произвольной инертной системы отсчета определяется выражением:

жожsзнак равно1-‖vо→‖‖против→‖противоs(θпротиво)1-‖vs→‖‖против→‖противоs(θпротивs)1-(vs/против)21-(vо/против)2{\ displaystyle {\ frac {f_ {o}} {f_ {s}}} = {\ frac {1 – {\ frac {\ | {\ vec {v_ {o}}}} \ |} {\ | {\ vec {c}} \ |}} cos (\ theta _ {co})} {1 – {\ frac {\ | {\ vec {v_ {s}}} \ |} {\ | {\ vec {c} } \ |}} cos (\ theta _ {cs})}} {\ sqrt {\ frac {1- (v_ {s} / c) ^ {2}} {1- (v_ {o} / c) ^ {2}}}}}

или же

vs→{\ displaystyle {\ vec {v_ {s}}}} скорость источника во время передачи

vо→{\ displaystyle {\ vec {v_ {o}}}} скорость наблюдателя во время приема

против→{\ displaystyle {\ vec {c}}} это скорость света вектор

θпротивs{\ displaystyle \ theta _ {cs}} угол между скоростью источника и скоростью света во время излучения

θпротиво{\ displaystyle \ theta _ {co}} угол между скоростью наблюдателя и скоростью света во время приема

Если параллельно , то , что вызывает увеличение частоты, измеренной наблюдателем , которая выше по сравнению с частотой источника . {\ circ}}жо{\ displaystyle f_ {o}}жs{\ displaystyle f_ {s}}

Это обычный эффект Доплера, умноженный на соотношение факторов Лоренца наблюдателя и источника.

Из-за преломления направление света во время излучения обычно не совпадает во время наблюдения. В огнеупорных средах световой путь обычно отклоняется от прямой линии между точкой излучения и точкой наблюдения. Эффект Доплера зависит от скорости источника, параллельной направлению света во время излучения, и от скорости наблюдателя, параллельной направлению света на приеме. Этот результат не противоречит специальной теории относительности .

EDT может быть проанализирован из репозитория, где источник и наблюдатель имеют одинаковую скорость, но противоположные знаки. В такой системе отсчета отношение факторов Лоренца всегда равно 1, и все доплеровские сдвиги соответствуют уравнениям ньютоновской механики . В общем, наблюдаемый сдвиг частоты инвариантен, но относительные вклады замедления времени и обычного эффекта Доплера зависят от системы отсчета.

Примечания и ссылки

(fr) Эта статья частично или полностью взята из статьи в Википедии на английском языке под названием «  Релятивистский эффект Доплера  » ( см. список авторов ) .

1. ↑ Эрик Гургулхон , Ограниченная теория относительности: от частиц к астрофизике , Les Ulis / Paris, EDP Sciences, колл.  «Текущие знания»,17 мая 2010 г., 776  с. ( ISBN  978-2-7598-0067-4 , онлайн-презентация , читать онлайн ) , стр.  101
2. ↑ (in) Герберт Э. Айвз и Г. Р. Стилуэлл , «  Экспериментальное исследование скорости движущихся часов  » , Журнал Оптического общества Америки , вып.  28, п ^о  7,1938 г., стр.  215-226 ( DOI  10.1364 / JOSA.28.000215 , Bibcode  1938JOSA … 28..215I )
3. ↑ (in) Герберт Э. Айвз и Г. Р. Стилуэлл , ”  Экспериментальное исследование скорости движущихся часов II  ” , Журнал Оптического общества Америки , вып.  31,1941 г., стр.  369-374
4. ↑ (in) Д. Хасселькамп, Э. Мондри и А. Шарманн , ”  Прямое наблюдение трансверсального доплеровского сдвига  ” , Z. Physik , vol.  А 289,1979 г., стр.  151-155
5. ↑ (in) Кевин С. Браун , «Доплеровский сдвиг для звука и света» в книге Кевина С. Брауна, Размышления о теории относительности , MathPages,16 октября 2011 г., 727  с. ( читать онлайн ) , стр.  121–129
6. ↑ (in) CC Chao и TD Mayer , «  Дополнительный эффект тропосферной рефракции на радиослежение за околоземными космическими аппаратами при малых углах возвышения  » , Технический отчет JPL , Vol.  III, п ^ос  32-1526,1971 г., стр.  63-70 ( читать онлайн [PDF] , по состоянию на 9 января 2011 г. )

Приложения

Библиография

Статьи по Теме

• Эффект Доплера-Физо
• Красное смещение
• Сдвиг в сторону синего
• Замедление времени
• Относительность

Внешние ссылки

• (ru) Анимация, показывающая выбор эффекта Доплера или релятивистского эффекта Доплера
• (ru) М. Морикони, Специальная теория относительности через эффект Доплера , 2006 г.
• (ru) Симулятор специальной теории относительности (компьютерное моделирование, демонстрирующее релятивистский эффект Доплера)
• (ru) Эффект Доплера на веб-сайте MathPages

Относительность
Галилея относительность	Теория абсолютного покоя  · Принцип Коперника  · галилеянин системе отсчета  · Galileo преобразования  · относительная скорость
Относительность	На основе Принцип относительности  Специальная теория относительности Фонды Уравнения Максвелла  · Скорость  · Репозиторий  · Скорость света Составы Галилева инвариантность  · Преобразования Галилея  · Преобразования Лоренца  · Интервал пространства-времени Последствия Сокращение длины  · Замедление времени  · Релятивистский диск  (in)  · E = mc 2  · Релятивистский эффект Доплера  · Прецессия Томаса  · Параллелизм Пространство-время Бикватернион  · Конический свет  · Космос Минковского  · Пространство-время  · Вселенная Онлайн
Общая теория относительности	На основе Введение в общую теорию относительности  · Математика общей теории относительности Концепции Диаграмма Минковского  · Диаграмма Пенроуза-Картера  · Геометрия Римана  · Линия Вселенной  · Принцип Коперника  · Принцип Маха  · Принцип эквивалентности  · Теория абсолютного покоя  · Репозиторий Галилея  · Общая теория относительности  · Преобразования Галилея  · Относительная скорость Феномен Прецессия Ленз-Тирринга  · Горизонт  · гравитационная линза  · Гравитационная волна ( основная , список )  · Парадоксальные близнецы  · Парадоксальный поезд  · Небольшие мысленные эксперименты  · Геодезическая прецессия  · Тело проблемы  · Сингулярность Уравнения Линеаризованная гравитация  · Уравнение Эйнштейна  · Уравнение Гамильтона-Якоби-Эйнштейна  (in)  · Уравнения Фридмана  · Формализм ADM  · Формализм BSSN  · Теория NPP Другие теории Теория Бранса-Дикке  · Теория Калуцы-Клейна  · Теория Эйнштейна-Картана  · Теория тензорно-скалярных Решения Волновое пространство pp  (en)  · Тауб – пространство NUT  (en)  · Фридман-Лемэтр-Робертсон-Уокер  · Вселенная Гёделя  · Каснер  · Керр  · Керр-Ньюман  · пыль Ван Стокума  (en)  · Черная дыра Рейсснера-Нордстрема  · Модель Милна  · Метрика Шварцшильд
Наука	На основе Принцип причинности  · Хронологическая защита гипотезы Физика частиц Ускоритель элементарных частиц  · Циклотрон  · Квантовая электродинамика  · Квантовая гравитация  · Релятивистская квантовая механика  · Квантовая электродинамика Астрономия Астрономия гравитационная  · Астрономическая гамма  · Астрономия X
Личности	Бор  · Дирак  · Эддингтон  · Элерс  · Эйнштейн  · Фридман  · Галилей  · Хокинг  · Гильберт  · Хаббл  · Ланжевен  · Лемэтр  · Лоренц  · Мах  · Михельсон  · Минковский  · Паули  · Пуанкаре  · Фойгт
История физики	История относительности  · История общей теории относительности  · Конгресс Сольве  · Споры по поводу отцовства теории относительности  · Обзоры теории относительности · Опыт Майкельсона и Морли · Опыт Айвса-Стилуэлла · Эфир · Теория эфира Лоренца · Проверки относительности · Экспериментальные тесты общей теории относительности

<img src=”//fr. 2}}. \end{equation} Числитель в этой формуле будет возникать и в классической механике, тогда как знаменатель имеет релятивистское происхождение и связан с замедлением хода времени в движущейся системе отсчета.

---

Полученное выше соотношение играет важную роль при определении скорости $v$ движения удалённого объекта. Пусть некоторый источник, летя со скоростью $v$, испускает световую волну с частотой $\nu_0=1/\Delta t’$ (по часам источника). Два выстрела из ружья в данном случае — это два последовательных максимума амплитуды напряжённости электромагнитного поля. Удаленный наблюдатель, находящийся в $S$, получит этот сигнал с частотой $\nu=1/\Delta \bar{t}$. Световая волна распространяется с фундаментальной скоростью $u=c=1$.

Рассмотрим две возможности: когда источник удаляется от наблюдателя и когда приближается. В первом случае скорость сигнала и скорость источника имеют противоположный знак $u=-1$, а во втором — одинаковый $u=1$, поэтому из (\ref{dopler_delta_t}), соответственно, имеем:

$$ \nu = \nu_0 \, \sqrt{\frac{1-v}{1+v}} $$

$$ \nu = \nu_0 \, \sqrt{\frac{1+v}{1-v}}. $$

Подобное изменение частоты света, излучаемого движущимся источником, называют продольным эффектом Доплера. Частота излучения приближающегося к наблюдателю источника больше, чем собственное излучение в системе, связанной с источником. Удаляющийся от наблюдателя источник, наоборот, имеет меньшую частоту. Волны красного света характеризуются относительно меньшей частотой, чем синего. Поэтому спектр свечения удаляющегося источника смещается в красную область ( красное смещение), а приближающегося — в синюю ( синее смещение).

Наглядно эффект Доплера изображен на рисунке выше. Источник света из каждого своего нового положения испускает сферическую волну. В направлении движения новые волны “прижимаются” к старым, поэтому их длина $\lambda$ уменьшается, а частота увеличивается. Для удаляющегося источника все наоборот.

Пусть источник, пролетая “над наблюдателем”, в течение короткого момента времени не приближается и не удаляется от него. Тогда единственный вклад в изменение частоты вносит эффект замедления времени $\Delta t’=\Delta {\bar{t}}\,\sqrt{1-v^2}$, и поэтому:

$$ \nu = \nu_0 \, \sqrt{1-v^2}. 2}}{1+{\bf n}\, {\bf v}}. \end{equation} Если источник движется к наблюдателю, то ${\bf n}{\bf v}=-v$, если удаляется, то ${\bf n}{\bf v}=v$. При поперечном движении ${\bf n}{\bf v}=0$.

✦ Рассмотрим одно любопытное проявление эффекта Доплера. Пусть наблюдатель знает расстояние $L$ между двумя удалёнными от него на расстояние $R$ неподвижными маркерами. Движущийся объект излучает свет в момент $t_1$ (по местным часам) при прохождении первого маркера и в $t_2$ при прохождении второго. Наблюдатель получит сигналы в $\bar{t}_1$ и $\bar{t}_2$. Если использовать их для определения скорости объекта, то, из (\ref{dopler_dt}): $$ \bar{\bf v}=\frac{{\bf L}}{\Delta \bar{t}} = \frac{\bf L}{\Delta t \,(1+{\bf n}\,{\bf v}) } =\frac{\bf{v}}{1+{\bf n}\,{\bf v}}, $$ Таким образом, “видимая” $\bar{\mathbf v}$ скорость отличается от “реальной” скорости ${\bf v}={\bf L}/\Delta t$. Слово “реальная” означает, что именно эту скорость регистрируют наблюдатели, находящиеся возле маркеров. Если объект движется к наблюдателю, то модуль его видимой скорости $\bar{v}=v/(1-v)$ может оказаться сколь угодно больше единицы (скорости света). *$ Выше наблюдатель (приёмник сигнала) был неподвижен. В силу принципа относительности, имеет значение только относительная скорость источника и приёмника. Поэтому в полученных выше соотношениях для световых сигналов $(u=1)$ скорость $\mathbf{v}$ равна именно такой относительной скорости независимо от того, “кто считает” себя неподвижным — источник сигнала или приёмник.

Чтобы подчеркнуть отличие подобной ситуации от распространения сигнала в среде в классической физике, напомним вывод эффекта Доплера в акустике. Пусть скорость звука относительно воздуха равна $c$. Обозначим через $w$ скорость источника (ниже треугольник) относительно воздуха, а через $u$ — скорость приёмника (ниже квадрат). Пусть обе скорости направлены вдоль оси $x$ (на рисунке движутся слева направо):

Рассмотрим два последовательных “хлопка”. Первый создаётся источником в момент времени $t_1$, а второй — в момент времени $t_2$. К приёмнику эти сигналы приходят в моменты времени $\bar{t}_1$ и $\bar{t}_2$. После первого хлопка источник успевает сместиться вправо на $w\,(t_2-t_1)$, а к моменту получения второго хлопка приёмник перемещается от начального положения на $u\,(\bar{t}_2-t_1)$. В результате (правый рисунок выше): $$ L – w\,(t_2-t_1)+ u\,(\bar{t}_2-t_1) = c\, (\bar{t}_2-t_2). $$ Вычитая аналогичное соотношение $L+u\,(\bar{t}_1-t_1)=c\,(\bar{t}_1-t_1)$ для первого сигнала (выше левый рисунок), получаем: $$ \frac{t_2-t_1}{\bar{t}_2-\bar{t}_1}=\frac{\Delta t}{\Delta \bar{t}}=\frac{\nu}{\nu_0} = \frac{1-u/c}{1-w/c} \approx 1 – \frac{u-w}{c}+…, $$ где последнее приближенное равенство получено при разложении знаменателя в ряд ($1/(1+x)\approx 1-x$), а $\nu_0$ — собственная частота излучения (замедление времени не учитываем). Таким образом, если скорости источника и приёмника относительно воздуха малы, то, с точностью до эффектов первого порядка малости, важна только их относительная скорость $v=u-w$. Однако для скоростей, близких к скорости звука, это уже не так, и существенную роль играет, кто и как движется относительно среды (источник или приёмник). В этом состоит существенное отличие релятивистского эффекта Доплера от классического эффекта распространения сигнала в среде.

Ранняя вселенная 3. Эффект Доплера и специальная теория относительности / Хабр

На сайте бесплатных лекций MIT OpenCourseWare выложен курс лекций по космологии Алана Гуса, одного из создателей инфляционной модели вселенной.

Вашему вниманию предлагается перевод третьей лекции: «Эффект Доплера и специальная теория относительности».

Нерелятивистское доплеровское смещение

В конце прошлой лекции мы начали обсуждать доплеровское смещение и ввели обозначения. Речь шла о случае, когда наблюдатель неподвижен, а источник движется со скоростью . Мы рассматривали звуковые волны, которые имели фиксированную скорость относительно некоторой среды.

Скорость волны относительно среды обозначим , означает скорость удаления источнка, как показано на рисунке. — интервал времени между гребнями волны, испущенными источником, то есть период волны у источника. обозначает период волны у наблюдателя. Нам нужно вычислить связь между и .

На рисунке показаны различные этапы данного процесса. На первом этапе источник движется вправо и испускает первый гребень волны. Пока ничего особенно интересного.

На втором этапе источник испускает второй гребень волны. Но за это время источник переместился, это перемещение выделено желтым. Время между испусканием гребней волны равно . Поэтому расстояние, которое пройдет источник в течение этого времени, равно . Назовем это расстояние .
Это действительно важный этап, он объясняет доплеровское смещение. Видно, что второй гребень волны должен пройти немного больше чем первый гребень, на величину .
Третий этап — волна прошла расстояние между наблюдателем и источником. На данном этапе первый гребень только что попал к наблюдателю. Четвертый этап — второй гребень попал к наблюдателю.

Чтобы понять, чему равно доплеровское смещение, нужно заметить, что, если бы оба объекта были неподвижны, то не было бы никакой разницы в периоде волны у наблюдателя и источника. Каждый гребень волны попадал бы к наблюдателю с некоторым запозданием, равным времени, за которое звуковая волна проходит расстояние от источника до наблюдателя. Но, в отсутствии движения, это запоздание одинаково для каждого гребня. Таким образом, если источник не движется = .
Но из-за движения источника второму гребню придется пройти расстояние большее на величину . Разница между периодами будет равна времени, которое потребуется волне, чтобы пройти это расстояние.

Мы знаем чему равно . – это просто . Подставляя в наше уравнение получаем:

Это уравнение показывает связь между и . Можно найти отношение и .

Это отношение является также отношением длины волны у наблюдателя и у источника , поскольку длина волны просто равна скорости волны умноженной на ее период .
Для описания доплеровского или красного смещения существует стандартное определение.

называется доплеровским или красным смещением. Астрономы вычитают единицу из отношения длин волн, чтобы в случае, когда оба объекта неподвижны, получилось равным 0. Такой случай соответствует отсутствию красного смещения и означает, что длина волны одна и та же у источника и у наблюдателя.

Таким образом, получаем красное смещение для нерелятивистского движения, или звуковой волны, в случае, когда движется источник:

Теперь перейдем к другому простому случаю, когда движется наблюдатель, а источник неподвижен. Источник у нас по-прежнему справа, а наблюдатель слева. Но на этот раз наблюдатель движется со скоростью . В обоих случаях — это относительная скорость между источником и наблюдателем.

Первый этап снова довольно прост. Источник излучает первый гребень волны. Этап номер два — второй гребень волны испускается источником. Этап номер три — первый гребень волны доходит до наблюдателя. Этап номер четыре — второй гребень волны доходит до наблюдателя.

Между временем, когда первый гребень приходит к наблюдателю, и временем, когда второй гребень приходит к наблюдателю, то есть временем между третьим и четвертым этапами наблюдатель переместился. Он переместился на расстояние равное умноженное на время между этими этапами. Время между этими этапами — это как раз время, которое проходит между получением двух гребней наблюдателем. Это то, что мы обозначили — период волны, измеренный наблюдателем. Пройденное расстояние — это просто . Все нужное для получения ответа происходит внутри желтого прямоугольника на последнем этапе.

Можно выписать уравнения для данного случая. В этот раз все немного сложнее. Начнем с той же идеи. был бы равен , если бы не было движения. Но становится немного больше из-за дополнительного расстояния, которое проходит второй гребень. Это дополнительное расстояние снова назовем . Время задержки снова будет деленное на , скорость волны.

Но на этот раз у нас другая формула для . На этот раз равна , а не , как было в предыдущем случае.

Уравнение становится немного сложнее, потому что появляется с обеих сторон уравнения. Тем не менее, это уравнение с одним неизвестным, из него легко находится . После несложных алгебраических преобразований получаем:

Вычтя единицу получаем окончательное уравнение для , вновь для нерелятивистского случая, когда движется наблюдатель:

Стоит отметить, что, когда скорость мала по сравнению со скоростью волны, что часто бывает если мы рассматриваем световую волну, но также встречается и в случае распространения звука, то обе формулы для почти одинаковы. Они обе пропорциональны , если мало. Единственное различие — это знаменатель.

Во втором случае у нас знаменатель . В первом случае просто равно , и нет никакого знаменателя. Если мало, то знаменатель во втором случае близок к 1. Таким образом, две формулы будут почти одинаковыми. Можно описать это немного более точно, вычислив разницу между z в обоих случаях. Проделав несложные вычисления получаем:

Из формулы явно видно, что разница между пропорциональна , а не просто . Если равна одной тысячной, разница будет одна миллионная. Поэтому для медленных скоростей не имеет значения, движется ли источник или движется наблюдатель. Но ответы, конечно, будут сильно отличаться, если скорость сравнима с .
СТУДЕНТ: Не нарушает ли это принцип относительности Галилея?

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: На самом деле нет. Для наших расчетов критически важным является воздух, в котором движется звуковая волна. В обоих случаях воздух покоится относительно рисунка. Если сделать преобразования Галилея от одной картины к другой, то после преобразования воздух будет двигаться, и получится не совсем та же картина.

Поэтому все согласуется с Галилеевской теорией относительности. Нужно помнить, что воздух здесь играет решающую роль. Когда мы говорим, что наблюдатель или источник находится в покое, в действительности имеется ввиду, что он находится в покое по отношению к среде, в которой движется волна.

СТУДЕНТ: Я заметил, что если больше , то в первом случае ответ всегда положительный, все в порядке. Но если больше во втором случае, то получается отрицательный ответ. Мне кажется это странным.

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: Да, если больше , то в случае движения наблюдателя ответ становится отрицательным. Это означает, что волна никогда не достигнет наблюдателя. Если наблюдатель движется быстрее чем скорость волны, волна никогда не догонит его. Поэтому получается такой необычный ответ. Если источник движется быстрее скорости волны, волна все равно достигает наблюдателя. Поэтому в первом случае мы получаем правильный ответ.

Релятивистское замедление времени
Давайте теперь перейдем к релятивистскому случаю. Нам потребуются некоторые факты из теории относительности. Поскольку существуют специализированные курсы по теории относительности, я не хочу, чтобы наши лекции стали таким курсом. Однако я хочу, чтобы наш курс был полностью понятен людям, не проходившим теорию относительности. Знание специальной теории относительности не является обязательным условием для нашего курса. Поэтому моей целью будет рассказать вам достаточно о специальной теории относительности, чтобы вы могли понимать дальнейшее. Я не буду выводить результаты, их вывод можно найти в других курсах. Если вы не хотите их посещать, то тоже ничего страшного. Но я хочу, чтобы мой курс был логически последовательным.

Итак, мы рассмотрим следствия специальной теории относительности, не пытаясь связать их непосредственно с основополагающими идеями специальной теории относительности. Однако я напомню, откуда взялась специальная теория относительности. Она зародилась в голове у Альберта Эйнштейна, когда он рассматривал Галилеевскую теорию относительности, о которой спрашивали минуту назад. Галилеевская теория относительности гласит, что если вы посмотрите на любой физический процесс в системе отсчета, которая движется с равномерной скоростью относительно другой системы отсчета, то в обоих системах отчета законы физики должны описываться одинаковым образом.

Теория относительности Галилея сыграла очень важную роль в истории физики. Ключевой вопрос во времена Галилея был — двигалась ли Земля вокруг Солнца или Солнце вокруг Земли. Галилей в этом споре принимал активное участие. Один из аргументов, доказывающих, что именно Солнце должно двигаться вокруг Земли, а не наоборот, был такой, что если Земля движется вокруг Солнца, то это означает, что мы движемся вместе с Землей с очень высокой скоростью. Скорость Земли вокруг Солнца высока по обычным меркам. Люди в то время считали, что очевидно, такое движение должно чувствоваться. Это было доказательство того, что Земля неподвижна, а Солнце движется. Потому что, в противном случае, чувствовался бы эффект быстрого движения Земли.

Для точки зрения Галилея, что движется именно Земля, критически важно, что мы такое движение не замечаем. Если мы движемся равномерно, то законы физики остаются точно такими же, какими они были бы, если бы мы оставались в покое. В этом суть теории относительности Галилея. Она была очень четко изложена Галилеем в его трудах.

Все это было справедливо для механических явлений. Однако в 1860-х годах Максвелл вывел свои уравнения. Вернее будет сказать, он завершил их вывод, большинство этих уравнений уже существовало. Из уравнений Максвелла следовало, что свет должен двигаться с фиксированной скоростью, которая может быть выражена через электрическую и магнитную постоянные и . Эту скорость мы обозначаем . Теперь представим, что вы попали на космический корабль, который движется со скоростью равной, скажем, половине , и погнались за лучом света. Согласно физике, которая была известна в то время, получалось, что с точки зрения космического корабля, движущегося со скоростью , световой импульс будет удаляться от него всего со скоростью . Но это означает, что в системе отсчета такого быстро движущегося космического корабля законы физики должны каким-то образом отличаться. Уравнения Максвелла должны отличаться от стандартной формы.

Между физикой Максвелла и физикой Ньютона возникла некоторая напряженность. Напряженность, но не противоречие. Вполне возможно представить, что существует фиксированная система отсчета, в которой уравнения Максвелла имеют простую форму. Но уравнения Ньютона имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета. Чтобы объяснить, почему так происходит, физики изобрели идею эфира, то есть среду, в которой распространяются световые волны, подобно воздуху, в котором распространяются звуковые волны. Система отсчета, в которой уравнения Максвелла имеют простую форму, является системой отсчета, в которой покоится эфир. Если мы движемся относительно эфира, то уравнения становятся другими. Именно так люди думали в 1904 году. Это была последовательная точка зрения, но это означало, что существует двойственность между электромагнетизмом и механикой.

Эйнштейн подумал, что может быть физика не такая нелогичная. Может быть, есть более элегантный способ, который может все объяснить. Он понял, что если модифицировать уравнения, которые используются для преобразования между разными системами отсчета, то можно сделать уравнения Максвелла инвариантными. Можно сделать так, чтобы уравнения Максвелла были действительны во всех системах отсчета. Давайте вернемся к нашему примеру с кораблем, гонящимся за световым лучом. Согласно новым уравнениям преобразования, которые предложил Эйнштейн, получается, хотя это сильно противоречит интуиции, что световой импульс удаляется от корабля со скоростью . Хотя корабль сам движется со скоростью , пытаясь догнать световой импульс.

Не очевидно, как такое может быть. Но, оказывается, именно так все и происходит. В основном это была догадка Эйнштейна. Он предположил, что эфира нет, что законы физики, и электромагнетизма, и механики одинаковы во всех системах отсчета. Для того, чтобы так получалось, уравнения преобразования между различными системами отсчета должны отличаться от тех, которые использовал Галилей.

Эти преобразования называются преобразованиями Лоренца. В этой лекции мы не будем их выписывать. В этой лекции мы поговорим о трех физических эффектах, которые следуют из преобразований Лоренца. Один из таких эффектов – это замедление времени. Немного позже мы обсудим два других основных эффекта, которые необходимы для понимания специальной теории относительности и объяснения, как такое может быть, что скорость света одинакова для всех наблюдателей, даже для тех, которые движутся.

Замедление времени заключается в том, что если наблюдать за движущимися часами, то движущиеся часы «выглядят» идущими медленнее. Замечу, что я поставил слово «выглядят» в кавычки. Мы вернемся к этому и обсудим подробно, что подразумевается под словом «выглядят». Тем не менее, движущиеся часы будут выглядеть в моей системе отсчета идущими всегда медленнее в абсолютно предсказуемое число раз. Это число является известным выражением в специальной теории относительности :

где — это просто обозначение для , скорость движения часов, деленная на скорость света. Если мало, то замедление времени тоже мало, почти равна 1. Замедление времени в 1 раз означает, что время вообще не замедляется. Если близка к 1, то эффект будет незначительным. Но движущиеся часы всегда будут идти медленнее.

Давайте теперь вернемся к слову «выглядят». Тут есть тонкость. В прошлом году на PBS вышел фильм из четырех частей «Ткань космоса» Брайана Грина. Он пытался проиллюстрировать замедление времени. Он показал человека, сидящего в кресле, и человека, идущему к нему и несущего часы над головой. Камера показала, что человек, сидящий в кресле, увидит, как часы при движении начинают идти медленнее. Это не верно. Это не то, что он на самом деле увидит. И это ключевая проблема слова «выглядят».

Когда мы говорим, что движущиеся часы идут медленнее, мы не имеем в виду, что наблюдатель действительно это видит. Сложность ситуации заключается в том, что когда вы смотрите на что-то, вы регистрируете световые импульсы, приходящие к вашим глазам в данный момент времени. Поскольку свет проходит путь за конечное время, это означает, что вы видите разные вещи в разное время. Например, если есть какой-то объект, скажем, лазерная указка, летящая ко мне, я увижу ее заднюю часть там, где она была в более раннее время, чем передняя часть. Потому что свету, который испускается задней частью, требуется большее время, чтобы достичь моего глаза, чем свету, испущенному передней частью указки.

Поэтому, когда объект приближается ко мне, я увижу разные его части в разные моменты времени. Это все усложняет. То, что я увижу, принимая во внимание специальную теорию относительности, довольно сложно. Это можно вычислить, но для этого нет простого выражения. Нужно шаг за шагом вычислять, что я увижу в каждый конкретный момент времени. Это абсолютно не похоже на простую картину.

Таким образом, утверждение, что часы идут медленнее в раз, основано не на том, что на самом деле увидит наблюдатель. Оно основано на том, что увидит система отсчета, а не конкретный человек. Это в конечном итоге приводит к более простой картине. Систему отсчета можно представить как набор линеек, соединенных друг с другом, так, что они образуют координатную сетку, и набор часов, расположенных повсюду внутри этой сетки.

При этом все наблюдения производятся локально. То есть, если мы хотим измерить время в какой-то системе отсчета, мы не используем центральные часы, ожидая, пока световой импульс достигнет этих центральных часов. Вместо этого, система отсчета заполнена часами, которые были синхронизированы друг с другом с самого начала. Если мы хотим знать, в какое время произошло какое-то событие, мы смотрим на часы, расположенные рядом с ним. Эти часы показывают, когда произошло это событие.

Как правило, именно таким образом мы работаем с различными системами координат. Если мы хотим понять, что увидит конкретный наблюдатель, то картина усложняется. Мы должны принять во внимание скорость света. Только исключив время на распространение света и рассчитав, что будут показывать локальные часы, мы увидим замедление времени в простой форме, что движущиеся часы всегда идут медленнее.

В частности, в примере с человеком, сидящим в кресле, и часами, приближающимися к нему. Человек будет испытывать, то, что мы обсуждаем на данной лекции — доплеровское смещение. Поскольку часы приближаются к нему, он будет испытывать синее смещение, а не красное. Он увидит, что часы идут быстрее, а не медленнее, в точности противоположное тому, что было показано в телевизионной программе. Ему будет казаться, что часы идут быстрее из-за того, что каждый последующий световой импульс проходит меньшее расстояние, поскольку часы приближаются к наблюдателю. Этот эффект дает больший вклад, чем эффект замедления движущихся часов, если сравнивать их с неподвижными часами, находящимися непосредственно рядом.

СТУДЕНТ: Если часы очень быстро пролетают мимо нас, могли бы мы увидеть их замедление, когда они находятся строго перпендикулярно к нам?

ПРЕПОДОВАТЕЛЬ: Да, вы совершенно правы. Когда часы пролетают мимо наблюдателя и находятся строго напротив него, скорость часов в его системе отсчета оказывается перпендикулярна скорости фотонов, которые он видит. При этом он увидит чистый эффект замедления времени.

Хочу добавить, что я и еще несколько человек из MIT принимали участие в создании фильма Брайана Грина. Мы долго обсуждали этот вопрос с Брайаном Грином по электронной почте. Мы все говорили, что это неправильно. Однако Брайан Грин занял позицию, что это было сделано намеренно, что он пытался проиллюстрировать эффект замедления времени, без обсуждения доплеровского смещения. Поскольку он не хотел говорить о доплеровском смещении, он просто проигнорировал факт его существования. Мы все считали, что это неправильно с педагогической точки зрения. Но мы не смогли убедить в этом Брайана.

Релятивистское доплеровское смещение

Теперь мы снова вычислим доплеровский сдвиг, на этот раз учитывая, что движущиеся часы идут медленнее в раз. Мы займемся релятивистским случаем, где волна — это световая волна. А скорости могут быть сопоставимы со скоростью света. На этот раз эффект замедления времени достаточно велик, чтобы принимать его во внимание.

На этот раз оба ответа должны получиться одинаковыми. Если ответы получатся разными, то получится, что наша картина мира неверна, противоречива. Не должно иметь значения, движется ли источник или движется наблюдатель. Раньше это имело значение, и мы объясняли это тем, что в процесс был вовлечен воздух. Если сделать преобразование, чтобы перейти от одного случая к другому, от случая, когда движется источник, к случаю, когда движется наблюдатель, воздух в разных случаях будет имеет разную скорость. В одном случае он будет неподвижен, в другом случае он будет двигаться. Поэтому мы не планировали получить один и тот же ответ.

Но теперь, когда мы переходим от случая, где движется источник, к случаю, где движется наблюдатель, то с другой скоростью должен двигаться эфир. Но основная аксиома специальной теории относительности заключается в том, что эфира нет, по крайней мере, нет физических эффектов, возникающих из-за эфира. Так что можно притвориться, что его не существует. Поэтому в специальной теории относительности мы должны получить один и тот же ответ, будь то движущийся источник или движущийся наблюдатель. Это на самом деле одна и та же ситуация, только рассматриваемая из разных систем отсчета. Специальная теория относительности утверждает, что не имеет значения, в какой системе отсчета мы делаем вычисления. Мы воспользуемся теми же рисунками, но на этот раз примем во внимание тот факт, что движущиеся часы идут медленнее в раз.

Для начала давайте подумаем, на каком этапе для нас важно замедление времени движущихся часов? На втором. Именно на этом этапе источник измеряет движущимися часами период между испусканием двух гребней волны. Можно просто представить, что источник испускает серию импульсов, где каждый импульс представляет собой гребень волны. Для меня это выглядит немного проще, потому что не нужно думать о синусоидальной волне, которую на самом деле создает источник.

Время между этими импульсами, измеренное часами источника — это то, что мы обозначили как . Источник движется на нашей картине. Все вычисления мы будем производить в нашей системе отсчета. Это очень важно, так как преобразования между системами отсчета немного сложны в специальной теории относительности. Когда вы решаете какую-нибудь задачу, то очень важно выбрать систему отсчета, которую вы будете использовать для описания задачи, и придерживаться ее. Если что-либо изначально описано в другой системе отсчета, нужно понять, как это выглядит в вашей системе отсчета. Чтобы затем соотнести это с другими событиями, которые описываются в вашей системе отсчета.

Для нашей задачи нашей системой отсчета будет система отсчета картинки, система отсчета, которая находится в покое относительно наблюдателя. Можно также назвать ее системой отсчета наблюдателя. Относительно этой системы отсчета источник движется. Источник испускает последовательность импульсов. Можно представить, что источник — это просто часы. Любое явление, повторяющееся с регулярными интервалами — это часы. Таким образом, источник представляет собой движущиеся часы, которые идут медленнее в раз.

В остальном ничего не меняется. У наблюдателя также имеются часы, которые он использует для измерения времени между гребнями. Но часы наблюдателя покоятся в нашей системе отсчета. Таким образом, нет замедления времени, связанного с часами наблюдателя, есть только замедление времени, связанное с часами источника. И снова, все важное изображено внутри желтого прямоугольника. Теперь нужно взглянуть на уравнения и посмотреть, как они изменятся.

В прошлый раз интервал времени, измеренный наблюдателем, был суммой двух членов. В качестве первого члена был , это был бы единственный член, если бы источник покоился. Это также верно и в нашем случае. Но время у источника идет медленнее в раз. То есть если не учитывать изменений в длине пути — эти изменения мы учтем в следующем члене – то период, измеряемый наблюдателем будет отличаться от периода, измеряемого источника в раз. Но нужно выяснить, будет ли стоять в числителе или знаменателе. Для этого может помочь мысленный пример.

Итак, часы источника идут медленнее. Допустим, мы говорим о временном интервале в одну секунду. Если часы источника идут медленнее, это означает, что у нас должно пройти больше времени, чтобы у источника прошла секунда. Допустим, что часы идут медленнее в два раза. Это означает, что у источника будет проходить только одна секунда каждые наши две секунды. Это означает, что период, который мы увидим, будет длиннее, чем в раз. Таким образом, перед первым членом мы ставим множитель . Второй член по прежнему равен .

Но выражение для также меняется. — это временной интервал, который требуется световому импульсу для перемещения на дополнительное расстояние. Дополнительное расстояние пропорционально времени между импульсами. Это время меняется из-за замедления времени часов источника. Так что второй член также увеличивается в раз.

Таким образом, весь ответ увеличивается в раз. Учитывая, что

и

после алгебраических преобразований получаем

Итак, мы получили ответ, учитывающий специальную теорию относительности, в случае движения источника. При учете теории относительности наш ответ увеличился в раз. Мы ожидаем, что ответ не будет зависеть от того, движется источник или наблюдатель, но, конечно, это нужно проверить при помощи вычислений.

За основу мы возьмем расчет, который мы уже сделали для нерелятивистского случая, с движущимся наблюдателем. Мы попробуем вычислить релятивистский случай. Теперь часы наблюдателя идут медленнее. Они идут медленнее относительно нас, относительно нашей системы отсчета, где наша система отсчета, по определению, система отсчета нашей картинки.

Самое важное опять происходит в желтом прямоугольнике. Источник неподвижен, поэтому — это просто период волны, измеренный нашими часами. Но период, измеренный наблюдателем, , будет другим. Поэтому мы по-другому запишем наше уравнение, заменив выражение для . Для вместо мы запишем .

не равна . — это время, прошедшее между третьим и четвертым этапами, то есть время прошедшее между приходом двух соседних гребней волны к наблюдателю, измеренное в нашей системе отсчета. Мы описываем все с точки зрения нашей системы отсчета. отличается от в раз, потому что по отношению к нам часы наблюдателя работают медленнее в раз.

Опять, нужно немного подумать, где должна находиться , в числителе или знаменателе. Мы знаем, что часы наблюдателя идут медленнее по отношению к нашим. Это означает, что время, которое потребуется для того, чтобы прошла одна секунда у наблюдателя, у нас должно занять больше секунды. Поэтому = . Например, за время, которое часы наблюдателя проходят одну секунду, у нас проходят две секунды.

Мы повторим расчет, который мы делали для нерелятивистского случая, когда наблюдатель двигался. Но в расчет мы добавим замедление времени, которое сделает этот расчет верным. Сначала мы выпишем уравнения, какими они выглядят в нашей системе отсчета, то есть используют интервал :

Теперь мы можем выполнить преобразования, аналогичные тем, которые мы выполняли для нерелятивистского случая и получить выражение для :

Подставляя выражение для получаем:

или:

это выражение верно как в случае движения источника, так и в случае движения наблюдателя.

Красное смещение в релятивистском случае получается:

Итак, мы получили то, что ожидали. Что результат соответствует принципам теории относительности. Наш ответ не зависит от того, движется ли источник или наблюдатель, поскольку не имеет значения, в какой системе отсчета мы выполняем вычисления.

Другие эффекты специальной теории относительности

Теперь я хочу поговорить о двух других кинематических эффектах специальной теории относительности, а именно — Лоренцевом сокращении и изменении понятия одновременности. Но прежде чем заняться этими эффектами, есть еще один вопрос, который мы должны обсудить. Это часы, которые двигаются с ускорением.

Специальная теория относительности описывает инерциальные системы отсчета и то, какие преобразования выполняются при переходе от одной инерциальной системы к другой. Если мы знаем, как идут часы, находящиеся в покое в одной системе отсчета, специальная теория относительности полностью описывает, как будут идти часы в системе отсчета, движущейся с равномерной скоростью по отношению к первоначальной системе отсчета. Или другими словами, она описывает, как будут идти часы, если они двигаются с постоянной скоростью.

Однако в реальном мире, у нас очень мало часов, которые можно считать инерциальными. Любые часы, которые мы видим вокруг себя — часы на стене, которые двигаются вместе с Землей, или мои наручные часы, постоянно подвергаются ускорению. Мы хотим иметь возможность работать с часами, которые ускоряются и двигаются с релятивистской скоростью. Такое, например, происходит в спутниках. Система GPS, как вам, вероятно, известно, не будет работать, если в расчетах не учитывать эффекты специальной теории относительности и даже общей теории относительности. Таким образом, изучение поведения движущихся часов является критически важной технологической задачей.

Что мы можем сказать про ускоряющиеся часы? Существует распространенный миф, что для описания ускорения нужна общая теория относительности. Поэтому мы должны отложить разговор об ускоряющихся часах, пока не пройдем курс общей теории относительности. На самом деле, это не так. Общая теория относительности — это теория гравитации, которая утверждает, что гравитация и ускорение тесно связаны. В этом контексте ускорение появляется в общей теории относительности.

Однако специальной теории относительности достаточно для описания любой системы, которая описывается уравнениями, согласующимися со специальной теорией относительности. Специальная теория относительности не описывает гравитацию. Поэтому в ситуации, когда важна гравитация, специальная теория относительности не в состоянии давать правильные результаты. Но пока гравитация отсутствует, пока мы имеем дело только с электромагнитными силами, никто не мешает нам использовать уравнения специальной теории относительности.

Мы должны использовать уравнения динамики в специальной теории относительности, которые показывают, как тела реагируют на силы. Всякий раз, когда прикладывается сила, появляется ускорение. Такие уравнения существуют. Мы можем объединить, например, электромагнетизм с релятивистской механикой, чтобы описать систему частиц, которые взаимодействуют при помощи электромагнитных сил, в полном соответствии со специальной теорией относительности. И, несмотря на то, что эти частицы ускоряются, мы можем посчитать для них все, что хотим.

В частности, если имеются часы, сделанные из деталей, физику которых мы понимаем, специальная теория относительности может сказать нам, как будут вести себя эти часы, даже когда они ускоряются. Однако этот расчет может быть, очень, очень сложный. Потому что физика любых реальных часов, например, моих наручных часов, очень сложна. Но нам не нужно выписывать уравнения, описывающие мои наручные часы, чтобы понять, как они будут себя вести при ускорении.

Замечу, что у многих из вас уже есть большой опыт работы с ускоряющимися часами, потому что многие из вас носят наручные часы, которые все время ускоряются. И они, как правило, работают. Обычно мы предполагаем, что, хотя часы ускоряются, они сделаны достаточно хорошо, чтобы выдерживать ускорение, которое придает им ваше запястье, и показывать правильное время.

С другой стороны, можно представить себе противоположенную ситуацию. Если взять механические заводные часы, и кинуть их в стену, они разобьются о стену и остановятся. Когда они разбиваются о стену, они испытывают очень большое ускорение. Если ускорение достаточно большое, мы можем предсказать, что случится с часами, даже если это будет сложным взаимодействием. Если ускорение достаточно большое, оно просто сломает часы, и они остановятся. Это один из возможных эффектов, которое ускорение может оказывать на часы.

Другие эффекты похожи на этот. Если движение моей руки оказывает влияние на работу наручных часы, это является механическим эффектом, который можно рассчитать, понимая механику работы часов, а не используя принципы общей теории относительности. Разница со специальной теорией относительности здесь в том, что специальная теория относительности может сделать точный прогноз о том, как будут вести себя часы, если они будут двигаться с постоянной скоростью, даже не зная ничего об устройстве этих часов. Специальная теория относительности может сделать такое предсказание, потому что существует симметрия, симметрия Лоренца, которая связывает движущиеся и покоящиеся часы. Это точная симметрия природы. Независимо от того, из чего сделаны часы, если они движутся с постоянной скоростью, специальная теория относительности утверждает, что они будут идти медленнее в раз.

С другой стороны, ни в специальной теории относительности, ни в общей теории относительности нет подобного принципа, касающегося ускорения. То, как ускорение действует на часы, зависит, конечно, от того, насколько большим является ускорение, как устроены часы, и каким образом ускорение влияет на различные внутренние части часов. Суть в том, что когда мы говорим об ускоряющихся часах, мы всегда предполагаем, что часы сделаны достаточно хорошо, чтобы ускорение не влияло на то, с какой скоростью они идут. Мы предполагаем, что это идеальные часы, что они сделаны идеально хорошо. Когда мы говорим, что ускорение не влияет на скорость работы часов, мы имеем в виду, что в каждый момент времени часы идут с точно такой же скоростью, как и другие часы, которые двигаются одновременно с нашими часами с той же скоростью, но без ускорения.

В любой момент времени мои наручные часы будут иметь определенную скорость. На темп их хода очень незначительно будет влиять , которая в нашем случае будет очень близка к 1. Если мы будем считать мои часы идеальными часами, то мы предполагаем, что в любой момент времени они идут с той же скоростью, что и часы, которые не ускоряются, но которые двигаются с той же скоростью, что и наручные часы. Таким образом, множитель останется, но не будет никакого эффекта ускорения. Скорость работы часов будет определяться только их скоростью относительно нашей системы отсчета.

Теперь я хочу немного поговорить о других следствиях специальной теории относительности. Немного позже мы поговорим о динамических следствиях специальной теории относительности, которые включают в себя хорошо известные уравнения, такие как . Но прежде чем говорить о динамических величинах, таких как энергии и импульсе, мы закончим с рассмотрением кинематических эффектов специальной теории относительности. Под кинематикой я имею в виду следствия специальной теории относительности для измерения времени и расстояния.

Если ограничиться следствиями для измерения времени и расстояний, кинематическими эффектами, то таких следствий специальной теории относительности ровно три. Вся специальная теория относительности, в некотором смысле, воплощена в этих трех эффектах. Замедление времени является одним из таких эффектов.

Второе следствие – это еще один известный эффект специальной теории относительности, сокращение Лоренца, или иногда называемый сокращением Лоренца-Фицджеральда. В его описании снова будет фигурировать слово «выглядит». Я всегда буду писать это слово в кавычках, чтобы напомнить, что это не совсем то, что увидит наблюдатель. Любой стержень, который движется со скоростью вдоль своей длины относительно заданной системы отсчета, будет «выглядеть» для наблюдателя в этой системе отсчета короче своей длины в раз. Длина стержня, который движется перпендикулярно своей длине, не меняется. Это все показано на рисунке.

Это очень известное следствие специальной теории относительности. Оно означает, что ракета становится все короче и короче, по мере того как она движется быстрее и быстрее. Опять же, нужно помнить, что это не то, что вы на самом деле увидите. Это то, что получится, если измерения делаются локальными наблюдателями, и затем длина ракеты вычисляется на основе этих измерений.

Третий и последний эффект немного сложнее описать. Но это очень важный эффект. Первые два эффекта не были бы непротиворечивы, если бы не было третьего эффекта. Третьим эффектом является изменение понятия одновременности, или относительность одновременности.

Допустим у нас есть система, состоящая из двух часов, которые синхронизированы в своей системе отсчета, относительно которой они покоятся. Пусть они также соединены стержнем, который имеет некоторую длину в их системе отсчета, которую мы назовем . Если вся эта система двигается относительно нас со скоростью вдоль стержня, для нас эти часы выглядят не синхронизированными, несмотря на то, что они синхронизированы в своей системе отсчета.

В частности, задние часы будут выглядеть немного забегающими вперед, на время . Напомню, что . — расстояние между часами, измеренное в системе отсчета часов. — это, конечно, скорость света. С другой стороны, если часы двигаются в направлении, перпендикулярном соединяющей их линии, то часы выглядят синхронизованными.

Этот эффект очень важен для целостности всей картины. Мы не будем доказывать, что специальная теория непротиворечива. Мы бы вполне могли это сделать, но не будем этим заниматься, поскольку наш курс не посвящен детальному изучению специальной теории относительности. Однако может показаться, что между следствием специальной теории относительности — что движущиеся часы идут медленнее, и постулатом, что для всех инерциальных наблюдателей верны одни и те же законы физики, существует довольно очевидное несоответствие. Это значит, что если вы двигаетесь относительно меня, то для меня ваши часы идут медленнее. Но в то же время, для вас мои часы идут медленнее. Потому что, с вашей точки зрения, вы находитесь в покое, а я двигаюсь по отношению к вам. С вашей точки зрения двигаются мои часы. И мои часы должны идти медленнее.

Мне кажется, что ваши часы идут медленнее. Вам кажется, что мои часы идут медленнее. Кажется, что это противоречие. Что произойдет, если мы просто поместим часы рядом друг с другом и будем сравнивать, как они идут? Какие из часов будут идти быстрее? Как мы можем договориться друг с другом об этом? Конечно, мы не можем держать часы рядом друг с другом, и в тоже время перемещать их друг относительно друга. Это одна из причин, позволяющих разрешить противоречие. Вспомним, что я на самом деле имею в виду, когда говорю, что ваши часы идут медленнее. Я делаю все свои измерения не наблюдая непосредственно за вашими часами, потому что тогда возникает эффект задержки распространения сигнала, который усложняет картину. Я делаю все свои измерения при помощи множества локальных наблюдателей, окружающих меня и находящихся в покое по отношению ко мне. Они передают мне свои результаты. Только после получения и объединения их результатов я получаю единую картину того, что, где и когда произошло.

Поэтому, когда я говорю, что ваши часы работают медленно, я имею в виду, что у меня есть множество часов, которые находятся в покое по отношению ко мне. Когда ваши часы пролетают мимо меня, локальные наблюдатели сравнивают ваши часы со своими часами. Затем они передают результаты мне. Если ваши часы идут медленнее, скажем, в два раза, это означает, что, когда ваши часы пролетают мимо часов моего наблюдателя и его часы показывают одну секунду, ваши часы будут показывать только полсекунды. Когда они пролетают мимо более отдаленных часов моей системы отсчета, и часы моей системы отсчета показывают две секунды, ваши часы будут показывать одну секунду, и так далее. В этом смысле ваши часы идут медленнее.

Это должно быть совместимо с тем, что согласно вашей точке зрения мои часы также идут медленнее. Если вы предполагаете, что часы в моей системе отсчета синхронизированы, то вы приходите к выводу, что мои часы идут быстрее. Потому что когда ваши часы показывают полсекунды, мои часы показывают одну секунду. Когда ваши часы показывают секунду, мои часы показывают две секунды. Согласно такому прямому сравнению получается, что мои часы идут быстрее.

Но в то же время, мы знаем, что это не верно. Вы должны получить тот же результат, что и я. Если мы движемся по отношению друг к другу, вам должно казаться, что мои часы идут медленнее. Выход из этой затруднительной ситуации заключается в относительности одновременности. С вашей точки зрения последовательность часов из моей системы отсчета, когда они пролетают мимо вас, действительно показывают большее время по сравнению с вашими часами. Однако с вашей точки зрения мои часы не синхронизированы друг с другом. Поэтому вы не можете определить, с какой скоростью идут мои часы, измеряя время на разных часах.

Если вы хотите выяснить, с какой скоростью идут мои часы, вы должны следить за одними из моих часов и смотреть как на них меняются показания с течением времени. Вы не должны сравнивать показания разных часов, потому что мои часы не синхронизированы друг с другом, с вашей точки зрения. Но если вы будете наблюдать за одними из моих часов, используя набор ваших часов, которые неподвижны по отношению к вам, так же, как я использовал набор своих часов, когда измерял скорость работы ваших часов, тогда все встанет на свои места. Вы увидите, что мои часы идут медленнее. Я увижу, что ваши часы идут медленнее. Поскольку мы расходимся во мнении относительно того, какие события происходят одновременно, то противоречия не возникает. Таким образом, относительность одновременности критически важна, иначе мы бы получили вопиющее противоречие во всей картине.

Это все, что я планировал рассказать на сегодняшней лекции. Мы обсудили кинематические следствия специальной теории относительности. Как я сказал, мы не будем пытаться вывести их. Если вам интересно, как они получаются, то вы можете прослушать специализированный курс по специальной теории относительности.

Позже мы обсудим следствия из специальной тории относительности для импульса и энергии, которые будут важны для нас. Энергия и импульс интересны нам только до тех пор, пока они определены таким образом, что они являются сохраняемыми величинами. Именно поэтому энергия и импульс важны в физике. Для замкнутой системы полная энергия и импульс не меняются. Энергия и импульс могут передаваться из одной части системы в другую. Но энергия и импульс не могут быть ни созданы, ни уничтожены.

Если взять определения энергии и импульса из Ньютоновской механики и использовать их в релятивистской кинематике, то окажется, что при, например, столкновении частиц энергия и импульс сохранялись бы в одной системе отсчета и не сохранялись бы в другой системе отсчета. Законы сохранения зависели бы от используемой системы отсчета.

Поэтому Эйнштейн несколько изменил определения энергии и импульса таким образом, что если они сохраняются в одной системе отсчета, то они сохраняются и в любой другой системе отсчета, связанной с первой преобразованиями специальной теории относительности. Как только мы меняем кинематику перехода от одной системы отсчета к другой, нам также нужно изменить определения энергии и импульса, чтобы законы сохранения были справедливы во всех системах отсчета. В дальнейшем мы введем немного модифицированные, немного не Ньютоновские определения энергии и импульса движущихся частиц.

Эффект Доплера « Einstein-Online

Как движение влияет на волны или другие виды постоянно повторяющихся сигналов в классической физике и специальной теории относительности.

Статья Маркуса Посселя

• Импульсы отправлены и получены
• Импульсы от приближающегося источника
• Источник удаляется от приемника
• От импульсов к волнам
• Доплеровский сдвиг в двух измерениях
• Что, если приемник движется?
• Эффект Доплера в специальной теории относительности
• Релятивистский эффект Доплера и относительность движения
• Поперечный эффект Доплера
• Дополнительная информация

Частота волнообразного сигнала, такого как звук или свет, зависит от движения отправителя и получателя. Это известно как эффект Доплера . Некоторые его проявления мы знаем из повседневной жизни, например, сирена пожарной машины, резко меняющая тон по мере того, как машина проезжает мимо; другие представляют интерес в астрономии и астрофизике. Цель этого текста в центре внимания — поближе познакомиться с эффектом Доплера.

Отправленные и полученные импульсы

Мы начнем с очень простой настройки, которую вы можете увидеть на следующей анимации. С правой стороны, обведенной красным, находится датчик, который излучает импульсы в регулярной последовательности. С левой стороны есть приемник, нарисованный синим цветом. Сами импульсы нарисованы красным, и все они движутся с одинаковой скоростью справа налево. Каждый раз, когда отправитель излучает новый импульс, индикатор мигает один раз. Аналогичным образом мигающий свет указывает на то, что импульс достиг приемника:

Если вы наблюдаете сначала за миганием индикатора на извещателе, а затем за миганием индикатора на приемнике, вы можете убедиться, что они оба мигают с одинаковым ритмом, другими словами: Время между испусканием двух последовательных импульсов равно такое же, как время между приемом двух таких импульсов.

Переформулируя то же утверждение другими словами: частота, с которой испускаются импульсы – количество импульсов, испускаемых за определенный период времени, например, за одну секунду, – такая же, как и частота, с которой они принимаются.

Импульсы от приближающегося источника

Далее рассмотрим немного другую ситуацию, когда источник движется к детектору. Мы предполагаем, что движение отправителя не влияет на скорость, с которой распространяются импульсы, и что импульсы отправляются с той же частотой, что и раньше. Тем не менее, как мы можем видеть на следующей анимации, движение влияет на структуру импульсов:

Расстояние между последовательными импульсами теперь меньше, чем когда отправитель и получатель находились в состоянии покоя. Следовательно, импульсы поступают в приемник быстрее. Если мы сравним частоту, с которой мигают индикаторы у получателя и у отправителя, мы обнаружим, что индикатор у получателя мигает быстрее.

Более конкретно, в этой ситуации отправитель движется влево со скоростью, в три раза превышающей скорость импульсов. За время, необходимое для отправки от отправителя двух импульсов, к получателю поступило три импульса. Иными словами: частота, с которой принимаются импульсы, в 3/2=1,5 раза превышает частоту, с которой они излучаются. Частота сместилась, поэтому эффект Доплера часто называют доплеровским сдвигом .

Как это происходит? Вернемся к случаю неподвижного отправителя. Вот снимок отправителя, испускающего один импульс:

По прошествии некоторого интервала времени T отправитель издаст второй импульс, как показано здесь. Тем временем первый импульс переместится на расстояние d влево:

Расстояние d определяет время, за которое два последовательных импульса достигнут приемника. Все импульсы распространяются с одинаковой скоростью, а время между двумя поступлениями — это просто время, за которое второй импульс проходит расстояние d. Чем больше d, тем больше время пройдет между приходами двух последовательных импульсов. Чем больше расстояние между двумя последовательными импульсами, тем ниже частота прихода импульсов – если импульсы разделены большим расстоянием, только сравнительно небольшое их количество достигнет приемника за заданное время.

Пока все хорошо. Но что, если отправитель переезжает? Опять же, вот снимок движущегося источника, испускающего один импульс:

По прошествии того же интервала времени T отправитель излучает второй импульс. Тем временем первый импульс снова переместился на расстояние d влево. Но в данном случае это не единственное, что сдвинулось. Сам отправитель переместился влево на определенное расстояние D, как показано здесь:

Из-за движения отправителя расстояние между двумя последовательными импульсами в этом случае равно не d, а d-D. Но когда расстояние между последовательными импульсами меньше, то и интервал времени, проходящий между их приходом к детектору, также меньше или, другими словами, частота, с которой импульсы приходят к детектору, выше!

Это наш первый пример эффекта Доплера: когда передатчик движется к приемнику, частота, с которой импульсы достигают приемника, выше, чем частота, с которой они излучаются передатчиком.

Источник удаляется от приемника

Что делать, если источник движется не к приемнику, а от него? Эта ситуация показана на следующей анимации:

 

 

На этот раз индикатор приемника мигает немного медленнее, чем индикатор передатчика – частота, с которой принимаются импульсы, немного ниже той, с которой они рассылаются. Точнее, источник движется вправо со скоростью, в три раза меньшей, чем скорость, с которой импульсы движутся влево. В течение того же времени, когда посылаются четыре импульса, принимаются три импульса.

Это легко понять так же, как и раньше. Вот еще раз снимок источника, излучающего один конкретный импульс:

По истечении времени T излучается второй импульс. За это время первый импульс еще раз прошел расстояние d. Но вдобавок источник переместился на расстояние D вправо:

Таким образом, расстояние между двумя последовательными импульсами теперь на больше, чем для неподвижного источника, на — это d+D, а не просто d. Но большее расстояние означает, что импульсы приходят на приемник реже часто. Это наш второй пример эффекта Доплера: когда передатчик удаляется от приемника, частота, с которой импульсы достигают приемника, ниже, чем частота, с которой они излучаются передатчиком.

От импульсов к волнам

Теперь представьте, что вместо отдельных импульсов наш передатчик излучает простую волну – бегущую модель, максимумы и минимумы (горбы и впадины) некоторой физической величины следуют друг за другом с идеальной регулярностью и распространяются со скоростью некоторая постоянная скорость в пространстве:

Например, наш отправитель может излучать звуковую волну, в которой гребни и впадины волны соответствуют областям максимального или минимального давления воздуха соответственно. Такая звуковая волна будет распространяться по воздуху с постоянной скоростью, скоростью звука. В качестве альтернативы наш отправитель мог бы излучать электромагнитную волну, где гребни и впадины соответствуют положениям максимального или минимального значения более абстрактной физической величины, электрического или магнитного поля. Одним из примеров такого электромагнитного поля может быть обычный свет.

Одним из ключевых моментов является то, что все рассуждения, которые мы привели об излучении импульсов, также применимы к излучению последующих гребней (или впадин) волн. Например, если источник движется к приемнику, он будет излучать каждый гребень волны несколько ближе к своему непосредственному предшественнику, чем если бы источник находился в состоянии покоя. Это подводит нас к более распространенной версии эффекта Доплера, которая говорит о волнах: если источник волны движется к приемнику, частота, с которой волны принимаются, выше, чем частота, с которой они посылаются. вне. И наоборот, если источник удаляется, то частота, с которой принимаются волны, ниже.

Что касается звуковых волн, то многие читатели на собственном опыте столкнутся с этим явлением. Для этих волн более высокая частота соответствует более высокому тону, более низкая частота соответствует более низкому тону. Предположим, что вы стоите возле дороги, по которой проезжает пожарная или полицейская машина. По мере того, как машина приближается к вам, затем проходит мимо вас и, наконец, удаляется от вас, вы можете отчетливо слышать, как тон ее сирены сначала становится выше, а затем довольно резко падает ниже.

Воспроизвести [MP3, 258 кБ], скачать [ZIP, 184 кБ]

Для простых световых волн частота связана с цветом. Самая низкая возможная частота видимого света соответствует красноватому свету. Переходя к более высоким частотам, мы пересекаем видимый спектр от красного к желтому, зеленому, синему и фиолетовому, как показано здесь:

Свет от источника, движущегося к наблюдателю, будет смещаться в сторону более высоких частот или, что то же самое, в сторону сине-фиолетовый конец спектра. Следовательно, такие сдвиги в сторону более высоких частот обычно известны как синие сдвиги. И наоборот, говорят, что свет от источника, удаляющегося от наблюдателя, смещен в красную сторону.

Эта терминология применяется гораздо шире, чем просто видимый свет – в общем случае сдвиги в сторону более высоких частот называются синими смещениями, а сдвиги в сторону более низких частот – красными, даже для волн, которые вообще не связаны ни с какими цветами, например как радиоволны или гравитационные волны.

Доплеровский сдвиг в двух измерениях

До сих пор мы рассматривали только импульсы (или, в более широком смысле, волны), испускаемые в одном конкретном направлении. Чтобы лучше понять эффект Доплера, весьма поучительно взглянуть на сигналы или волны, излучаемые во всех направлениях одновременно. Однако в целях иллюстрации давайте ограничимся двумя измерениями и рассмотрим волну, излучаемую в плоскости, как показано на этой анимации:

Например, источником (выделено красным) может быть кто-то, парящий над озером и периодически двигающий поршень вверх и вниз в воде. Расширяющиеся красные кольца тогда были бы гребнями водяных волн, бегущих наружу по поверхности озера. Альтернативно, источником может быть источник света, излучающий свет во всех направлениях. В этом случае ярко-красные линии могут быть максимумами электромагнитных волн. Для источника, излучающего звуковые волны, красные кольца могут быть зонами максимального давления воздуха.

Следующая анимация показывает, что происходит, когда источник не находится в состоянии покоя, а движется (опять же, со скоростью, равной одной трети скорости волны) влево:

Очевидно, что центр каждого нового кругового гребня теперь немного слева от своего предшественника. В результате мы можем видеть сразу все аспекты эффекта Доплера: гребни, движущиеся прямо влево, сгруппированы, что соответствует более высокой частоте волны. Наблюдатель, принимающий эти волны, увидит, как источник движется к себе, и заметит соответствующее синее смещение волн. И наоборот, гребни, движущиеся прямо вправо, находятся дальше друг от друга, что соответствует красному смещению, наблюдаемому любым, кто видит, что источник движется прямо от себя. С другой стороны, наблюдатель сбоку (прямо вверх или прямо вниз на картинке), который не видит, как источник движется ни к себе, ни от себя, не сообщит о сдвиге частоты.

Что, если источник движется так же быстро, как и сами сигналы? В этом случае сигналы впереди группируются и все поступают на приемник в одно и то же время. Опять же, вариант этого будет частью опыта многих читателей: звуковой удар производится именно таким образом, когда самолет достигает (а затем превосходит) скорость звука. Сам бум представляет собой именно такой набор «сгруппированных» звуковых волн.

Что делать, если приемник движется?

В предыдущих параграфах мы рассмотрели только движущиеся источники. На самом деле более внимательное рассмотрение случаев, когда приемник находится в движении, покажет, что такое движение приводит к очень похожему эффекту Доплера. Вот анимация движения приемника к источнику:

Глядя на два световых индикатора, вы можете сами увидеть, что снова наблюдается синее смещение – частота импульсов, измеренная на приемнике, несколько выше, чем частота, с которой посылаются импульсы. На этот раз расстояния между последующими импульсами не изменяются, но все же происходит сдвиг частоты: по мере того, как приемник приближается к каждому импульсу, время до встречи импульса и приемника сокращается.

В этой конкретной анимации, в которой приемник движется к источнику со скоростью, равной одной трети скорости самих импульсов, четыре импульса принимаются за время, необходимое источнику, чтобы испустить три импульса.

Аналогично, когда приемник удаляется от источника, каждый импульс должен пройти несколько большее расстояние, чем предыдущий, чтобы достичь приемника. Результат можно увидеть на этой анимации:

 

И снова приемник движется со скоростью, равной одной трети скорости импульсов, на этот раз от источника. За время, необходимое для того, чтобы источник испустил три импульса, только два импульса достигают приемника — частота импульсов в приемнике «смещается в красную область» до 66,67 процента исходной частоты импульсов в источнике.

Эффект Доплера в специальной теории относительности

Все наши аргументы до сих пор основывались на классической физике. Как только мы принимаем во внимание специальную теорию относительности, возникает дополнительный эффект: замедление времени. Предположим, что наблюдатель у приемника является одним из стандартных наблюдателей специальной теории относительности: инерциальным наблюдателем (например, наблюдателем, свободно плавающим в пространстве, вдали от всех значительных источников гравитации). Для такого наблюдателя все происходящее на движущемся к нему источнике будет казаться замедленным. В частности, такой наблюдатель обнаружит, что импульсы посылаются с меньшей скоростью, чем скорость, измеренная наблюдателем, который находится в покое относительно источника.

Наоборот, если ввести инерциального наблюдателя, покоящегося относительно источника, и позволить ему наблюдать за движущимся приемником, то такой наблюдатель обнаружит, что часы приемника (которые используются для измерения скорости поступления импульсов в приемник) работает медленно, по сравнению с его собственным.

Если принять во внимание замедление времени, результатом будет релятивистский эффект Доплера . Это комбинация классического эффекта Доплера, который показан на анимации выше, и специального релятивистского замедления времени. Эта комбинация эффектов имеет два важных следствия.

Релятивистский эффект Доплера и относительность движения

Если вы внимательно следили за анимированными примерами, то могли заметить, что эффекты различаются, когда источник находится в движении и когда приемник находится в движении. Например, когда источник приближается к приемнику со скоростью, равной одной трети скорости импульсов, частота импульсов в приемнике была в 1,5 раза больше, чем в источнике – за тот же период времени от источника потребовалось два новых импульса. , на приемник поступят три импульса. С другой стороны, когда приемник двигался к источнику, частота импульсов у приемника была всего в 1,33 раза больше, чем у источника — четыре приходивших импульса на каждые три отправленных.

Для импульсов или волн, распространяющихся в среде, таких как звуковые волны в воздухе, легко определить, что движется относительно среды, источник или приемник. Но как насчет электромагнитных волн, таких как свет? Как выяснили физики, они не связаны со средой. Их распространение напрямую регулируется физическим законом, точнее, уравнениями Максвелла. Отличается ли эффект Доплера для света в зависимости от того, движется ли источник или приемник?

Если бы это было так, у нас был бы способ определить абсолютное движение — мы могли бы определить, используя только законы физики (точнее, законов распространения света), находится ли источник, приемник или любой другой объект в отдыхать или нет. Это резко контрастирует с основными принципами специальной теории относительности, которые утверждают, что абсолютного движения не существует и что физические законы не позволяют нам определить состояние абсолютного покоя.

Решение? Как указывалось выше, релятивистский эффект Доплера отличается от своего классического аналога. Он учитывает релятивистское замедление времени. Как оказалось, замедление времени и классический эффект Доплера сочетаются именно таким образом, чтобы устранить разницу между движением источника и приемника. Верный своей форме, релятивистский эффект Доплера зависит только от относительного движения источника и приемника.

Поперечный эффект Доплера

Специальная теория относительности добавляет еще один поворот к эффекту Доплера. В классической физике эффект Доплера возникает только тогда, когда по крайней мере какая-то составляющая движения приемника и источника приближает их друг к другу или отдаляет их друг от друга. В специальной теории относительности есть нечто большее, чем эффект Доплера.

Представьте, что вы наблюдаете движущийся источник. Источник не движется ни от вас, ни к вам — он движется точно вбок (или, иначе говоря, движется точно под прямым углом к ​​направлению, в котором вы его наблюдаете):

Вы все равно найдете доплеровский сдвиг. Частота любой волны, которую источник посылает вам, будет ниже, чем если бы источник находился в состоянии покоя.

Почему это? Помните, что релятивистский эффект Доплера представляет собой комбинацию классического эффекта Доплера и замедления времени. Даже в ситуации, когда классический эффект Доплера вообще не дает вклада – боковое движение – все равно приходится считаться с замедлением времени. Даже для источника, движущегося относительно вас боком («поперечное движение»), все процессы будут казаться замедленными — в том числе и излучение череды гребней и впадин волны. это поперечный эффект Доплера — замедление времени другим именем, если хотите.

специальная теория относительности — релятивистский эффект Доплера: изменение интенсивности

$\newcommand{\bl}[1]{\boldsymbol{#1}} \ новая команда {\ e} {\ bl =} \новаякоманда{\p}{\bl+} \ новая команда {\ м} {\ bl-} \ новая команда {\ mb} [1] {\ mathbf {# 1}} \ новая команда {\ mc} [1] {\ mathcal {# 1}} \ newcommand {\ г-н} [1] {\ mathrm {# 1}} \newcommand{\gr}{\bl>} \newcommand{\les}{\bl<} \newcommand{\greq}{\bl\ge} \newcommand{\leseq}{\bl\le} \ новая команда {\ plr} [1] {\ влево (# 1 \ вправо)} \ новая команда {\ blr} [1] {\ влево [# 1 \ вправо]} \ новая команда {\ vlr} [1] {\ влево \ верт # 1 \ вправо \ верт} \newcommand{\Vlr}[1]{\left\Vert#1\right\Vert} \ newcommand {\ lara} [1] {\ влево \ langle # 1 \ вправо \ rangle} \ newcommand {\ lav} [1] {\ влево \ langle # 1 \ вправо |} \newcommand{\vra}[1]{\left|#1\right\rangle} \ newcommand {\ lavra} [2] {\ влево \ langle # 1 \ вправо | \ влево # 2 \ вправо \ rangle} \ newcommand {\ lavvra} [3] {\ влево \ langle # 1 \ вправо | # 2 \ влево | # 3 \ вправо \ rangle} \newcommand{\vp}{\vphantom{\dfrac{a}{b}}} \newcommand{\Vp}[1]{\vphantom{#1}} \ новая команда {\ hp} [1] {\ hphantom {# 1}} \newcommand{\x}{\bl\times} \newcommand{\ox}{\bl\otimes} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\qqlraqq}{\qquad\bl{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}\qquad} \newcommand{\qqLraqq}{\qquad\boldsymbol{\e\!\e\!\e\!\e\!\Longrightarrow}\qquad} \ новая команда {\ tl} [1] {\ тег {# 1} \ метка {# 1}} \newcommand{\hebl}{\bl{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!= =\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!= =\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}}$

$\texttt{C O N T E N T S}$

$\bl\S\texttt{ A. Буст Лоренца и преобразование 3-векторов скорости}$

$\bl\S\texttt{ B. Аберрация света}$

$\bl\S\texttt{ C. Релятивистский доплеровский сдвиг}$

$\bl\S\texttt{ D. Изменения интенсивности при эффекте Доплера}$

$\hebl$

$\texttt{R E F E R E N C E S} $

$\texttt{Reference-01:}$ Изменения интенсивности при эффекте Доплера, М.Х. Джонсон и Э.Теллер.

$\texttt{Reference-02:}$ Мой ответ в разделе О соотношениях де Бройля, что такое E? Его энергия чего?.

$\texttt{Reference-03:}$ Мой ответ в Вычисление релятивистского доплеровского сдвига по длине волны.

$\texttt{Reference-04:}$ ‘Относительность – специальная, общая и космологическая’ В. Риндлера, 2-е изд.

$\texttt{Reference-05:}$ ‘Современная классическая физика. Оптика, жидкости, плазма, упругость, относительность и статистическая физика’ Кипа С. Торна и Роджера Д. Блэндфорда, 2017.

$\texttt{Reference-06:}$ Астрофизика высоких энергий – Лекция 3 , Фрэнк Ригер. {\m\frac12} \tl{A-01e} \\ \beta &\e\dfrac{\,\upsilon\,}{c} \qquad \plr{\m 1\les\beta\les 1} \tl{A-01f} \end{выравнивание} см. Рисунок-01.

Если частица движется относительно системы $\:\mr S’\:$ со скоростью \begin{уравнение} \начать{разделить} &\mb u’\e\plr{\г-н u_x’,\г-н u_y’,\г-н u_z’}\e\г-н u’\plr{\г-н n_x’,\г-н n_y’,\г-н n_z’}\ е\мр и’\мб п’\\ &\m c\leseq\mr u’\leseq c \qquad \Vlr{\mb n’}\e 1 \\ \конец{разделить} \tl{А-02} \end{уравнение} затем найти его скорость относительно системы отсчета $\:\mr S\:$ \begin{уравнение} \начать{разделить} &\ mb u \ e \ plr {\ Mr u_x, \ Mr u_y, \ Mr u_z} \ e \ Mr u \, \ plr {\ Mr n_x, \ Mr n_y, \ Mr n_z} \ e \ Mr u \, \мб п\\ &\m c\leseq\mr u\leseq c \qquad \Vlr{\mb n}\e 1 \\ \конец{разделить} \tl{А-03} \end{уравнение} мы делим рядом каждое из уравнений \eqref{A-01a},\eqref{A-01b},\eqref{A-01c} на уравнение \eqref{A-01d}, и устанавливая \begin{уравнение} \начать{разделить} \mb u’&\e\plr{\г-н u_x’,\г-н u_y’,\г-н u_z’}\e\plr{\dfrac{\г-н dx’}{\г-н dt’}\:,\:\ dfrac{\г-н dy’}{\г-н dt’}\:,\:\dfrac{\г-н dz’}{\г-н dt’}}\\ \ mb u &\ e \ plr {\ г-н u_x, \ г-н u_y, \ г-н u_z} \ e \ plr {\ dfrac {\ г-н dx} {\ г-н dt} \:, \: \ dfrac {\ г-н dy} {\ г-н дт} \:, \: \ dfrac {\ г-н дз} {\ г-н дт}} \\ \конец{разделить} \tl{А-04} \end{уравнение} мы приходим к следующему преобразованию Лоренца 3-векторов скорости \begin{уравнение} \г-н u_x\e\dfrac{\г-н u_x’\p\upsilon}{1\p\dfrac{\upsilon\г-н u_x’}{c ^ 2}}\:,\quad \г-н u_y\e\dfrac{ \г-н u_y’}{\gamma\plr{1\p\dfrac{\upsilon\г-н u_x’}{c^2}}}\:,\quad \г-н u_z\e\dfrac{\г-н u_z’}{ \gamma\plr{1\p\dfrac{\upsilon\mr u_x’}{c^2}}} \tl{А-05} \end{уравнение} по существу релятивистское сложение скоростей $\:\mb u’\:$ и $\:\bl\upsilon$.

$\bl\S $ B. Аберрация света

Предположим, что источник света, находящийся в состоянии покоя в системе $\:\mr S’\:$, испускает фотон в направлении $\:\mb n’ \:$ на плоскости $x’y’\m$ на угол $\:\theta’\:$ относительно $\:\bl\upsilon$. Скорость фотона \begin{уравнение} \ mb u ‘\ e c \, \ mb n ‘\ e c \ plr {\ cos \ theta’, \ sin \ theta’, 0} \ e \ plr {\ г-н u_x ‘, \ г-н u_y’, \ г-н u_z’ } \tl{B-01} \end{уравнение} Подставляя его компоненты в уравнения \eqref{A-05}, находим скорость фотона относительно системы $\:\mr S$ \begin{уравнение} \ mb u \ e c \, \ mb n \: \ e c \ plr {\ cos \ theta \:, \ sin \ theta \:, 0} \ e \ plr {\ г-н u_x, \ г-н u_y, \ г-н u_z} \tl{B-02} \end{уравнение} куда \begin{уравнение} \boxed{\:\:\cos\theta\e\dfrac{\cos\theta’\p\beta}{1\p\beta\cos\theta’}\:, \quad \sin\theta\e\ dfrac {\ sin \ theta ‘}{\ gamma \ plr {1 \ p \ beta \ cos \ theta’}} \ Vp {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {a} {b} }}\:\:}\quad \texttt{(Аберрация 1)} \tl{B-03} \end{уравнение} это уравнение для аберрации света. 2\e \texttt{энергия частицы}\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\mb p&\e \gamma_{\mr u}m\mb u\e \gamma_{\mr u}m\mr u\mb n\e \texttt{3-вектор импульса частицы}\\ &\Vlr{\mb n}\e 1\\ \конец{разделить} \tl{C-02} \end{уравнение} в то время как сверхсветовая плоская фазовая волна имеет времяподобную угловую частоту 4-вектора Лоренца \begin{уравнение} \bl\Omega\e\plr{2\pi\nu, c\dfrac{2\pi}{\lambda}\,\mb m}\e\plr{\omega, c\,\mb k} \tl{C-03} \end{уравнение} куда \begin{уравнение} \начать{разделить} \omega &\e2\pi\,\nu\e \texttt{угловая частота плоской фазовой волны}\\ \mb k&\e \dfrac{2\pi}{\lambda}\,\mb m\e\texttt{3-вектор волнового числа плоской фазовой волны}\\ \lambda &\e \texttt{длина волны плоской фазовой волны}\\ &\Vlr{\mb m}\e 1\\ \конец{разделить} \tl{C-04} \end{уравнение} 92}\mb k\,\qquad \Vlr{\mb w}\e \mr w\e\lambda\,\nu \tl{C-05} \end{equation}

Вектор $\:\bl\Omega\:$ уравнения \eqref{C-03} является 4-вектором Лоренца. Это означает, что вектор $\:\plr{\omega,c\,k_x,c\,k_y,c\,k_z}\:$ преобразуется как вектор инфинитезимального смещения $\:\plr{c\mr dt, \mr dx,\mr dy,\mr dz}\:$ в уравнениях \eqref{A-01a}-\eqref{A-01f}.

Соотношение де Бройля связывает лоренцев 4-вектор энергии-импульса частицы $\:\mb P$, уравнение \eqref{C-01}, с угловой частотой сопутствующей ей плоской фазовой волны $\:\bl \Omega$, уравнение \eqref{C-03} \begin{уравнение} \boxed{\:\:c\,\mb P\e \hbar\,\bl\Omega\:\:\vp}\quad\texttt{(де Бройль)} \tl{C-06} \end{уравнение} 92\e\texttt{ инвариант Лоренца} \tl{C-07} \end{equation}

Приравнивая компоненты времени и пространства в уравнении \eqref{C-06} имеем \begin{уравнение} \начать{разделить} E&\e\hbar \omega \e h\,\nu\\ \mb p&\e\hbar\mb k\e\dfrac{\,h\,}{\lambda}\,\mb n\\ \конец{разделить} \tl{C-08} \end{equation}

Теперь все эти соотношения справедливы в предельном случае $”$luminal$”$ частицы, то есть фотона, и сопровождающей его $”$luminal$”$ фазовой волны , то есть свет или электромагнитная волна. В этом случае мы имеем $\: \mr u\e\mr w\e c\e\lambda\,\nu\:$ и уравнения \eqref{C-08} дают 4-вектор энергии-импульса фотона \begin{уравнение} \ mb P \ e \ plr {\ dfrac {E} {c}, \ mb p} \ e \ dfrac {h \, \ nu} {c} \ plr {1, \ mb n} \tl{C-09} \end{уравнение} Вектор $\:c\mb P\:$ уравнения \eqref{C-09} является 4-вектором Лоренца. Это означает, что компоненты этого вектора $\:\plr{h\,\nu,h\,\nu\,n_x,h\,\nu\,n_y,h\,\nu\,n_z}\:$ преобразуются как компоненты бесконечно малого вектора смещения $\:\plr{c\mr dt,\mr dx,\mr dy,\mr dz}\:$ в уравнениях \eqref{A-01a}-\eqref{A -01f}.

Итак, пусть снова фотон, испускаемый источником света, находится в системе покоя $\:\mr S’\:$, как показано на рисунке-01. Для его 4-вектора энергии-импульса имеем \begin{уравнение} c\mb P’\e h\,\nu’\plr{1,\mr n_x’,\mr n_y’,\mr n_z’}\e\plr{h\,\nu’,h\,\nu’ \cos\theta’,\,h\,\nu’\sin\theta’,0} \tl{С-10} \end{уравнение} Его 4-вектор энергии-импульса в системе отсчета $\:\mr S\:$ равен \begin{уравнение} c\mb P\:\e h\,\nu\:\plr{1,\mr n_x,\mr n_y,\mr n_z}\e\plr{h\,\nu,h\,\nu\cos\ тета,\,h\,\nu\sin\theta,0} \tl{С-11} \end{уравнение} Вставка этих векторов в уравнения \eqref{A-01a}-\eqref{A-01d} вместо $\:\plr{c\,\mr dt’,\mr d\mb r’ }\:$ и $ \:\plr{c\,\mr dt,\mr d\mb r}\:$ соответственно у нас есть в деталях \начать{выравнивать} h\,\nu\cos\theta &\e\gamma\plr{h\,\nu’\cos\theta’\p\beta\,h\,\nu’} \tl{С-12а}\\ h\,\nu\sin\theta &\e h\,\nu’\sin\theta’ \tl{C-12b}\\ 0 &\e 0 \tl{C-12c}\\ h\,\nu &\e\gamma\plr{h\,\nu’\p \beta\,h\,\nu’\cos\theta’} \tl{C-12d} \end{выравнивание} то есть \начать{выравнивать} \dfrac{\nu}{\nu’} &\e\dfrac{\gamma\,\plr{\cos\theta’\p\beta}}{\cos\theta} \tl{C-13a}\\ \dfrac{\nu}{\nu’} &\e\dfrac{\sin\theta’}{\sin\theta} \tl{C-13b}\\ \dfrac{\nu}{\nu’} &\e\gamma\plr{1\p\beta\cos\theta’} \tl{C-13c} \end{выравнивание} Приравнивая правые части уравнений \eqref{C-13a}, \eqref{C-13c} и, во-вторых, уравнений \eqref{C-13b}, \eqref{C-13c}, получаем соответственно следующие уравнения \begin{уравнение} \cos\theta\e\dfrac{\cos\theta’\p\beta}{1\p\beta\cos\theta’}\:, \quad \sin\theta\e\dfrac{\sin\theta’ }{\gamma\plr{1\p\beta\cos\theta’}} \tl{С-14} \end{уравнение} идентичны уравнениям \eqref{B-03}. Мы снова встречаемся с аберрацией света, как обсуждалось в $\:\bl\S\texttt{B}$.

Из первого уравнения аберрации \eqref{C-14} имеем \begin{уравнение} \ соз \ тета ‘\ е \ dfrac {\ соз \ тета \ м \ бета} {1 \ м \ бета \ соз \ тета} \tl{С-15} \end{equation}

Подставив это выражение $\:\cos\theta’\:$ сначала во второе из уравнений аберрации \eqref{C-14}, мы получим \begin{уравнение} \sin\theta’\e\dfrac{\sin\theta}{\gamma\plr{1\m\beta\cos\theta}} \tl{С-16} \end{уравнение} а во-вторых, подставив в уравнение \eqref{C-13c}, мы имеем \begin{уравнение} \dfrac{\nu}{\nu’}\e\dfrac{1}{\gamma\plr{1\m\beta\cos\theta}} \tl{С-17} \end{уравнение} Наконец, дифференцирование любого из уравнений \eqref{C-14},\eqref{C-15} или \eqref{C-16} дает \begin{уравнение} \ dfrac {\ мистер д \ тета ‘}{\ мистер д \ тета} \ е \ dfrac {\ ню} {\ ню ‘} \tl{С-18} \end{уравнение}

Определение доплеровского коэффициента \begin{уравнение} \г-н D\bl\equiv\dfrac{\nu}{\nu’} \tl{С-19} \end{уравнение} все эти отношения даны одним штрихом ниже \begin{уравнение} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boxed{\:\г-н D\e\dfrac{\nu\texttt{(сдвинуто)}}{\nu’\texttt{ (без смещения)}}\e\gamma\plr{1\p\beta\cos\theta’}\e\dfrac{1}{\gamma\plr{1\m\beta\cos\theta}}\e\ dfrac {\ sin \ theta ‘}{\ sin \ theta} \ e \ dfrac {\ Mr d \ theta’} {\ Mr d \ theta} \ Vp {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac{a}{b}}}\:} \tl{С-20} \end{equation}

Связь между бесконечно малыми телесными углами $\:\mr d\Theta’\e\sin\theta’\mr d\theta’\mr d\phi’\:$ и $\:\ mr d\Theta\e\sin\theta\mr d\theta\mr d\phi\:$ можно получить из уравнений \eqref{C-20}, рисунка-02 и того факта, что для азимута вокруг $\ :\bl\upsilon\:$ угол $\:\phi\:$ имеем $\:\mr d\phi\e\mr d\phi’\:$ \begin{уравнение} \dfrac{\г-н d\Theta’}{\г-н d\Theta}\e\dfrac{\sin\theta’\г-н d\theta’\г-н d\phi’}{\sin\theta\,\г-н d \ тета \, \ г-н д \ фи} \ е \ underbrace {\ plr {\ dfrac {\ грех \ тета ‘} {\ грех \ тета}}} _ {\ г-н D} \ underbrace {\ plr {\ dfrac { \ г-н д \ тета ‘}{\ г-н д \ тета}}} _ {\ г-н D} \ underbrace {\ plr {\ dfrac {\ г-н д \ фи’} {\ г-н д \ фи}}} _ {1 }\e\г-н D^2 \tl{С-21} \end{уравнение} то есть \begin{уравнение} \boxed{\:\dfrac{\г-н d\Theta’}{\г-н d\Theta}\e \г-н D^2\e\plr{\dfrac{\nu}{\nu’}}^2\Vp {\ dfrac {\ dfrac {а} {b}} {\ dfrac {а} {b}}} \:} \tl{С-22} \end{уравнение} 93\:$ основан на лоренц-инвариантности бесконечно малого элемента объема в фазовом пространстве. Но сначала мы должны определить Удельную интенсивность $\:I_\nu$. Итак, рассмотрим набор лучей и построим бесконечно малую площадку $\:\mr dA\:$, перпендикулярную данному лучу, и посмотрим на все лучи, проходящие через элемент площади в пределах телесного угла $\:\mr d\Omega\:$ заданный луч, как показано на рисунке ⁽¹⁾ ниже.

Удельная интенсивность фотона $\:I_\nu\:$ определяется как полная энергия \begin{equation} \мр дЭ\е ч\ню\мр дН \tl{D-01} \end{уравнение} (где $\:\mr dN\:$ — число фотонов), пересекающих эту площадь, на единицу площади $\:\mr dA$, в единицу времени $\:\mr dt$, на единицу частоты $\: \mr d\nu$ и на единицу телесного угла $\:\mr d\Omega$ \begin{уравнение} I_\nu\bl\equiv\dfrac{\г-н dE}{\г-н dA\,\г-н dt\,\г-н d\nu\,\г-н d\Omega} \tl{D-02} \end{уравнение} (т.е. на единицу всего)

^{Что касается инвариантности бесконечно малого элемента объема в фазовом пространстве, то в заключение отметим следующее (см. 2 \ mc V} \ e \ dfrac {\ г-н dN}{\г-н d\mc V_x\г-н d\mc V_p}\Vp{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\:\:} \tl{D-05} \end{уравнение} числовая плотность частиц в точке $\:\plr{\mb x,\mb p}\:$ в фазовом пространстве в момент времени $\:t$. Это также называется * функцией распределения. 92\mc V\e\mr d\mc V_x\mr d\mc V_p\:$ одинакова во всех кадрах. Точнее, в теории относительности было доказано, с одной стороны, что \begin{уравнение} \ boxed {\: \: E \, \ г-н d \ mc V_x \ e p_0 \, \ г-н d \ mc V_x \ e \ texttt {инвариант Лоренца} \ Vp {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {а} {b}}} \: \:} \tl{D-06} \end{уравнение} а с другой стороны что \begin{уравнение} \ boxed {\: \: \ dfrac {\ Mr d \ mc V_p} {E} \ e \ dfrac {\ Mr d \ mc V_p} {p_0} \ e \ texttt {инвариант Лоренца} \ Vp {\ dfrac {\ dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\:\:} \tl{D-07} \end{уравнение} Поэтому в теории относительности для функции распределения мы также имеем \begin{уравнение} \ в штучной упаковке {\: \: \ mc N \ bl \ эквив \ dfrac {\ г-н dN} {\ г-н d ^ 2 \ mc V} \ e \ dfrac {\ г-н dN} {\ г-н д \ mc V_x \ г-н д \ mc V_p} \ e \ texttt {инвариант Лоренца} \ Vp {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {a} {b}}} \: \:} \tl{D-08} \end{уравнение} Хотя в выводах и доказательствах предполагается ненулевая масса покоя ($m\bl\ne 0$), выводы \eqref{D-06} и \eqref{D-07} остаются в силе, если мы возьмем предел как $m \rightarrow 0$ и 4-импульсы становятся нулевыми. Соответственно, от \eqref{D-06} до \eqref{D-08} действительны и для частиц с нулевой массой, таких как фотоны.}

Предположим, что фотоны попадают на площадь поверхности $\:\mr dA\:$ во временном интервале $\:\mr dt\:$, как показано на рисунке ⁽²⁾ ниже.

Поскольку фотоны движутся со скоростью света $\:c$, произведение площади этой поверхности с $\:c\:$ на время $\:\mr dt\:$ равно объему они занимают в конкретный момент времени: \begin{уравнение} \мр д\мс V_x\е\мр дА\,\мр дт \tl{D-09} \end{уравнение} Обратите внимание на набор $\:S\:$ фотонов в этом объеме, имеющих почти одинаковую частоту $\:\nu\:$ и направление распространения $\:\mb n$. Их энергии $\:E\:$ и импульсы $\:\mb p\:$ связаны с $\:\nu\:$ и $\:\mb n\:$ уравнением \eqref{C-093\:$ за исключением константы, идентичной функции распределения $\:\mc N\:$, поэтому по уравнению \eqref{D-08} является лоренц-инвариантным скаляром.

$\hebl$

^{(1) Рисунок взят из $\texttt{Reference-06}$}

^{(2) Рисунок взят из $\texttt{Reference-05}$}

$\hebl$

$\hebl$

Формула релятивистского эффекта Доплера – GeeksforGeeks

Эффект Доплера определяется как увеличение или уменьшение частоты звуковых, световых или других волн, когда источник и наблюдатель сближаются или удаляются друг от друга. Это видно, когда энергетические волны, такие как световые или звуковые волны, движутся относительно наблюдателя. Он утверждает, что будет изменение частоты, когда приближающийся источник вызывает восходящее движение частоты или удаляющийся источник вызывает нисходящий сдвиг частоты. Это называется релятивистским эффектом Доплера.

Что такое релятивистский эффект Доплера?

Это изменение частоты, вызванное релятивистской скоростью между наблюдателем и источником. Это имеет значение только тогда, когда скорость звука и объектов существенно меньше скорости звука в этой среде. Кроме того, скорости объекта и источника должны быть параллельны.

Формула для релятивистского эффекта Доплера

Формула для релятивистского эффекта Доплера:

f’ = f (c + v _r ) / (c + v _s )

где

• f’ — кажущаяся частота,
• f0 — кажущаяся частота c — скорость звуковых волн в среде,
• v _r — скорость приемника/наблюдателя относительно среды,
• v _с — скорость источника относительно среды .

Примеры задач

Задача 1: Рассчитать кажущуюся частоту, если источник движется к наблюдателю со скоростью 50 м/с с частотой 200 Гц, а наблюдатель движется к источнику со скоростью 50 м/с. Скорость звуковых волн в среде 340 м/с.

Решение:

Мы имеем,

F = 200

C = 340

V _R = 50

V _S = -50

.0004

f’ = f (c + v _r ) / (c + v _s )

= 200 (340 + 50)/(340 – 50)

= 200 (390/290)

=

268,96 Гц

Задача 2. Вычислить кажущуюся частоту, если источник движется к наблюдателю со скоростью 30 м/с с частотой 180 Гц, а наблюдатель движется к источнику со скоростью 20 м/с. с. Скорость звуковых волн в среде 340 м/с.

Решение:

У нас есть

F = 180

C = 340

V _R = 20

V _S = -30

Используя формулу,

F ‘= F (C +. v _R )/(C + V _S )

= 180 (340 + 20)/(340 – 30)

= 180 (360/290)

= 223.44 HZ

9963 36. 3: Рассчитайте кажущуюся частоту, если источник движется к наблюдателю со скоростью 70 м/с с частотой 100 Гц, а наблюдатель движется к источнику со скоростью 50 м/с. Скорость звуковых волн в среде 340 м/с.

Решение:

Мы имеем,

F = 100

C = 340

V _R = 50

V _S = -70

. Использование WE _S = -70

. Использование WE _S = -70

. Использование WE _S = -70

. f’ = f (c + v _r ) / (c + v _s )

= 100 (340 + 50)/(340 – 70)

= 100 (390/270)

= 100,245 Гц

Задача 4: Рассчитайте скорость наблюдателя, если источник движется к наблюдателю с фактической частотой 150 Гц и кажущейся частотой 170 Гц, а источник движется к наблюдателю со скоростью 20 м/с . Скорость звуковых волн в среде 340 м/с.

Решение:

Мы имеем,

F = 150

F ‘= 170

C = 340

V _S = -20

Используя Formula We We That,

999999

9 0003

F = -20

. = f (c + v _r ) / (c + v _s )

c + v _r = f’ (c + v _s )/f

340 + v _{r 9030 (340 – 20)/150}

340 + v _r = 170 (2,13) ​​

v _r = 22,1 м/с

Задача 5: Рассчитайте скорость наблюдателя, если источник движется к наблюдателю с фактической частотой 250 Гц и кажущейся частотой 300 Гц, а источник движется к наблюдателю со скоростью 40 м/с. Скорость звуковых волн в среде 340 м/с.

Решение:

Мы имеем,

F = 250

F ’= 300

C = 340

V _S = -40

Использование Formula We, We Ther, We, We, We, We Ther, We Ther, _S = -40

.