Элементарные операции над матрицами: Элементарные преобразования матрицы.

Элементарные преобразования матрицы.

Элементарные преобразования матрицы.

Навигация по странице:

• Элементарные преобразования матрицы
• Эквивалентные матрицы
• Примеры на элементарные преобразования матрицы

Определение.

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, то есть, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

• перестановку местами любых двух строк матрицы;

• умножение на ненулевую константу любой строки матрицы;

• прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на ненулевое число.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Определение.

Матрицы A и B называют эквивалентными матрицами если от матрицы A к матрице B перешли с помощью элементарных преобразований над строками и обозначают A ~ B.

Примеры на элементарные преобразования матрицы

Пример 1.

Используя элементарные преобразования строк преобразовать матрицу A в верхнюю треугольную матрицу, где

A =		4	2	0
		1	3	2
		-1	3	10

Решение:

поменяем первую и вторую строку местами

	4	2	0		~		1	3	2		~
	1	3	2				4	2	0
	-1	3	10				-1	3	10

ко 2-рой строке прибавим 1-вую, умноженную на -4; к третей строке прибавим первую

~		1	3	2		~		1	3	2		~
		4 + (-4)·1	2 + (-4)·3	0 + (-4)·2				0	-10	-8
		-1 + 1	3 + 3	10 + 2				0	6	12

2-рую строку поделим на -2, третью строку делим на 6

~		1	3	2		~		1	3	2		~
		0	-10/(-2)	-8/(-2)				0	5	4
		0	6/6	12/6				0	1	2

поменяем вторую и третью строку местами

~		1	3	2		~
		0	1	2
		0	5	4

к 3-тей строке прибавим 2-рую, умноженную на -5

~		1	3	2		~		1	3	2
		0	1	2				0	1	2
		0	5 + (-5)·1	4 + (-5)·2				0	0	-6

Онлайн калькуляторы с матрицами.

Упражнения с матрицами.

§ 1.3 Элементарные операции над матрицами

Определение 1. Произведением матрицы А на число ( или числа на матрицу ) называется матрица D той же размерности, элементы которой равны

или

Определение 2. Суммой матриц и одной и той же размерности m x n называется матрица той же размерности m x n, элементы которой равны .

Можно показать, что любая квадратная матрица представима в виде сумма симметрической и кососимметрической матриц. Покажем это для матрицы 2-го порядка.

, где a₁₂ = c + b , a₂₁ = c – b

Вычитание матриц (А – В) можно рассматривать, как операцию сложения А + (-1)В, где матрица В умножена на число (-1).

Определив сложение матриц, легко получить следующие их свойства:

Если матрицы А, В, С согласованы по сложению (например, квадратные одного порядка), то выполняются очевидные равенства:

1. А + В = В + С 2. А + ( В + С ) = ( А + В ) + С

3. А + В = 0, где В = (-1)А 4. А + В = А, где А = 0.

Из определений 1, 2 для матриц А, В и чисел ,   К выполнено:

5. (А) = ()А = (А) = А()

6. ( + )А = А + А ( или А( + ) = А + А )

7. (А + В) = А + В ( или (А + В) = А + В )

8. А  1 = 1  А

Докажем, например, свойство 6 для матриц второго порядка.

( + )А =

А + B

В доказательстве использованы свойства вещественных чисел.

Таким образом, если для вещественных матриц определены операции умножения числа на матрицу и сложения матриц, то в этом случае множество

матриц образует линейное пространство над полем K.

Упражнения. Доказать следующие равенства:

1. (АВ)=(А)В, 2. А(В)=(А)В, 3. (АВ) = А(В)

4. (-)А =- А; 5. -(А + В)= -А – В; 6. -(-А) = А.

§ 1.4 Произведение матриц

Определение 1. Если задана матрица размерности m x n и матрица размерности n x p ( т.е. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В), то определена операция

произведения матрицы А на матрицу В, результатом которой называется такая матрица размерности m x p , элементы которой вычисляются по формуле (правило “строка на столбец”).

Примеры: 1) .

2) .

3) Пусть имеется два потребителя (i), три производителя (j), два вида продукции (товара). Найти матрицу С объемов k-го продукта, который получит i-ый потребитель.

1, 2, 3 производитель 1, 2 товар

1, 2 потребитель , .

Здесь – доля продукции, которую j-ый производитель отправляет i-ому потребителю, – объем к-ого товара, производимого j-ым производителем.

Найдем матрицу , для которой – объем к-ого продукта, который получит i-ый потребитель.

Можно убедиться в том, что

.

Теорема 1. Если определены операции произведения матриц ВС и АВ, то выполнено равенство А(ВС) = (АВ)С (иными словами, для матриц выполняется свойство ассоциативности по умножению).

Доказательство. Докажем согласованность операций А(ВС) и (АВ)С.

n p q p q

Пусть А =m B=n C=p , тогда АВ=G=m , ВС=Н=n ,

q q

тогда (АВ)С=m и А(ВС)=m матрицы одного порядка.

Пусть D=А(ВС), F=(АВ)С, то

d_ij = (

Теорема 2. Если определены операции сложения матриц А и В, а также операции произведения АС и ВС, то выполнено

(А + В)С = АС + ВС ( свойство дистрибутивности).

Доказать самостоятельно.

Произведение матрицы-столбца (m x 1) на матрицу-строку (1 x n) дает прямоугольную матрицу размерностью (m x n), а произведение матрицы-строки (1xm) на матрицу-столбец (mx1) дает матрицу 1 порядка (из одного элемента).

Замечание. Из приведенного результата легко заметить, что для операции произведения матриц не выполняется свойство коммутативности, т.е. матрица АВ может не совпадать с матрицей ВА.

Для прямоугольных матриц А(m x n) и В(n x p)- это очевидно, т.к. результатами АВ и ВА могут быть матрицы различной размерности. Для квадратных матриц свойство коммутативности выполняется только в отдельных случаях.

Определение 2. Матрицы А и В называются перестановочными (коммутативными), если выполнено АВ = ВА.

Пример 1. Для матрицы А= найти все перестановочные матрицы

вида В =

Для выполнения условия АВ = ВА, необходимо чтобы элементы матриц АВ и ВА, с соответствующими номерами, совпадали, т.е. из записи

х + 3а у + 3b x + 2y 3x + 4y

АВ = и BA =

2x + 4a 2y + 4b a + 2b 3a + 4b

следует необходимость выполнения условий:

х + 3а=x + 2y, у + 3b=3x + 4y, 2х + 4a = a + 2b, 2y + 4b=3a + 4b

Тогда: из равенства х + 3а = x + 2y  у = 1. 5а

из равенства 2х + 4a = a + 2b  х = b – 1.5a

Например, при b=1,a=2 получим коммутативную матрицу В=

Элементарные матричные операции

Существует три типа элементарных матричных операций.

1. Поменять местами две строки (или столбца).
2. Умножить каждый элемент в строке (или столбце) на ненулевое число.
3. Умножить строку (или столбец) на ненулевое число и добавить результат в другую строку (или столбец).

Когда эти операции выполняются над строками, они называются элементарные операции со строками ; и когда они выполняются на столбцы, они называются элементарными операциями со столбцами .

Обозначение элементарной операции

Во многих источниках вы встретите компактное обозначение для описания элементарные операции. Это обозначение показано ниже.

Описание операции	Обозначение
Рядные операции
1. Поменять местами ряды и и и	Р и <--> Р и
2. Умножить строку i на s , где s ≠ 0	СР и –> Р и
3. Добавить s раз строку i к строке j	sR i + R j –> R j
Операции со столбцами
1. Взаимозаменяемые колонны i и j	С и <--> С и
2. Умножить столбец i на s , где s ≠ 0	СК и –> С и
3. Добавить s раз столбец i в столбец й	SC i + C j –> C j

Элементарные операторы

Каждый тип элементарной операции может быть выполнен матричным умножением, используя квадратные матрицы, называемые элементарные операторы .

Например, предположим, что вы хотите поменять местами строки 1 и 2 матрицы А . Для этого можно предварительно умножить A по E для производства B , как показано ниже.

Ч 1 <--> Ч 2     =	0 1 1 0		1 3 5 2 4 6
	Е		А

Ч 1 <--> Ч 2     =

0 + 2 0 + 4 0 + 6 0 + 1 0 + 3 0 + 5

Ч 1 <--> Ч 2     =

2 4 6 1 3 5

=     Б

Здесь E — элементарный оператор. Он работает на A для получения требуемых чередующихся строк в Б . То, что мы хотели бы знать, конечно, как найти E . Читай дальше.

Как выполнять элементарные операции со строками

Чтобы выполнить элементарную операцию со строками на A , матрица r x c , возьмем следующие шаги.

1. Чтобы найти E , оператор элементарной строки , применить операцию к r x r единичная матрица.
2. Для выполнения элементарной операции со строками выполните предварительное умножение А по Е .

Мы проиллюстрируем этот процесс ниже для каждого из трех типов элементарных рядовые операции.

• Поменять местами два ряда . Предположим, мы хотим обменять вторая и третья строки A , матрица 3 x 2. К создаем элементарный оператор строки E , меняем местами вторая и третья строки единичной матрицы я ₃ .

  1 0 0 0 1 0 0 0 1	⇒	1 0 0 0 0 1 0 1 0
  I 3		Е

  Затем поменять местами второй и третий ряды А , предварительно умножаем A на E , т. к. показано ниже.

  Ч 2 <--> Ч 3   =	1 0 0 0 0 1 0 1 0		0 1 2 3 4 5
  	Е		А

  
  

  Ч 2 <--> Ч 3  =	1*0 + 0*2 + 0*4 1*1 + 0*3 + 0*5 0*0 + 0*2 + 1*4 0*1 + 0*3 + 1*5 0*0 + 1*2 + 0*4 0*1 + 1*3 + 0*5

  
  

  Ч 2 <--> Ч 3   =

  0 1 4 5 2 3

• Умножить строку на число . Предположим, мы хотим умножьте каждый элемент во второй строке матрицы А на 7. Предположим, что A является матрицей 2 x 3. К создаем элементарный оператор строки E , мы умножаем каждый элемент во второй строке единичной матрицы I ₂ по 7.

  1 0 0 1	⇒	1 0 0 7
  I 2		Е

  Затем, чтобы умножить каждый элемент в второй ряд А на 7, мы предварительно умножаем A на E .

  7R 2  –> R 2   =	1 0 0 7		0 1 2 3 4 5
  	Е		А

  
  

  7R 2  –> R 2  =

  1*0 + 0*3 1*1 + 0*4 1*2 + 0*5 0*0 + 7*3 0*1 + 7*4 0*2 + 7*5

  
  

  7R 2  –> R 2   =

  0 1 2 21 28 35

  
  

• Умножить строку и добавить ее к другой строке . Предположим, что A представляет собой матрицу 2 x 2. Предположим, мы хотим умножьте каждый элемент в первой строке A на 3; и мы хотим добавить этот результат во вторую строку А . Для этого операция создания элементарного оператора строки представляет собой двухэтапный процесс. Сначала мы умножаем каждый элемент в первой строке единичной матрицы I ₂ на 3. Далее складываем результат это умножение на вторую строку я ₂ для производства E .

  1 0 0 1	⇒	1 0 0 + 3*1 1 + 3*0	⇒	1 0 3 1
  I 2				Е

  Затем, чтобы умножить каждый элемент в первую строку A на 3 и добавить этот результат в второй ряд, мы предварительно умножаем А по Е .

  3R 1   +  R 2  –>  R 2   =	1 0 3 1		0 1 2 3
  	Е		А

  
  

  3R 1   +  R 2  –>  R 2 0 0= 4  4

  1*0 + 0*2 1*1 + 0*3 3*0 + 1*2 3*1 + 1*3

  
  

  3R 1   +  R 2  –>  R 2 0 0= 4  4

  0 1 2 6

Как выполнять операции с элементарными столбцами

Чтобы выполнить операцию с элементарными столбцами A , матрица r x c , возьмем следующие шаги.

1. Чтобы найти E , оператор элементарного столбца , применить операцию к c x c единичная матрица.
2. Чтобы выполнить элементарную операцию столбца, постумножить А по Е .

Давайте рассмотрим элементарную операцию столбца, чтобы проиллюстрировать процесс. Например, предположим, что мы хотим поменять местами первый и второй столбцы A , матрица 3 x 2. К создаем оператор элементарного столбца E , меняем местами первый и второй столбцы единичной матрицы я ₂ .

1 0 0 1	⇒	0 1 1 0
I 2		Е

Затем поменять местами первый и второй столбцы А , мы умножаем A на E , как показано ниже.

C 1 <--> C 2     =	0 1 2 3 4 5		0 1 1 0
	А		Е

C 1 <--> C 2   =

0*0 + 1*1 0*1 + 1*0 2*0 + 3*1 2*1 + 3*0 4*0 + 5*1 4*1 + 5*0

C 1 <--> C 2   =

1 0 3 2 5 4

Обратите внимание, что процесс выполнения элементарной операции столбца над r x c матрица очень похожа на процесс выполнения элементарная операция со строками. Основные отличия:

• Для работы на r x c матрице A , оператор строки E создается из r x r единичная матрица; тогда как оператор столбца E создается из c x c единичная матрица.
• Чтобы выполнить операцию строки, A равно , предварительно умноженному на E ; тогда как для выполнения операции столбца, A равно , умноженному на . по E .

Проверьте свое понимание

Задача 1

Предположим, что A представляет собой матрицу 4 x 3. Предположим, вы хотите умножить каждый элемент во втором столбце матрицы A на 9. Найдите оператор элементарного столбца E .

Решение

Чтобы найти оператор элементарного столбца E , мы умножаем каждый элемент во втором столбце единичной матрицы I ₃ по 9.

1 0 0 0 1 0 0 0 1	⇒	1 0 0 0 9 0 0 0 1
I 3		Е

Последний урок Следующий урок

Элементарные операции с матрицами – GeeksforGeeks

Матрицы представляют собой прямоугольную сетку чисел, состоящую из чисел, несущих данные, а также выражения математических уравнений. Матрицы обычно используются в компьютерных инженерных приложениях для получения приближенных вычислений. Помимо вычислительных операций они обычно используются для построения графиков, научных исследований, представления данных и статистики в реальной жизни

Матрица — это раздел линейной алгебры, который включает в себя систематическое расположение чисел в строках и столбцах в соответствии с линейным уравнением в виде прямоугольной сетки.

Великий математик Артур Кейли — отец матриц, предложивший теорию матриц в 1858 году. Она имеет размеры, такие как строки и столбцы для расположения чисел. И каждое число, участвующее в матрице, известно как элемент матрицы.

Типы матриц

• Нулевая матрица: Матрица, в которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей или нулевой матрицей. Как правило, он обозначается «0». Тогда, если a _ij = 0 для всех элементов i и j

• Треугольная матрица: Квадратная матрица, в которой элементы выше или ниже главной диагонали являются треугольной матрицей. Если элементы выше главной диагонали равны нулю, то это нижняя треугольная матрица, а если элементы ниже главной диагонали равны нулю, это верхняя треугольная матрица.

          Посмотрите на приведенные ниже нижнюю и верхнюю треугольные матрицы,     

• Матрица столбцов: Матрица, которая имеет только один столбец, называется матрицей столбцов. Порядок матрицы столбцов всегда равен m × 1.

   

• Матрица строк: Матрица, имеющая только одну строку, называется матрицей строк. Порядок матрицы всегда виден как 1Xn.

• Горизонтальная матрица: Матрица со строками и столбцами в порядке m×n является горизонтальной матрицей. В горизонтальной матрице количество столбцов должно быть больше количества строк (n>m).

• Вертикальная матрица: Матрица со строками и столбцами в порядке m×n является вертикальной матрицей. В вертикальной матрице количество строк должно быть больше количества столбцов (m>n).

• Единичная матрица: Когда все элементы главной диагонали равны 1 в матрице, говорят, что это единичная матрица или единичная матрица.

• Диагональная матрица : Если все элементы в квадратной матрице равны нулю, за исключением главной диагонали, называется диагональной матрицей.

• Симметричная матрица: Квадратная матрица, которая представляет собой _ij = a _ji для всех значений i и j, называется симметричной матрицей.

Элементарные операции с матрицами

Обычно существуют три известные операции с элементарными матрицами, выполняемые над строками и столбцами матриц. Операции, выполняемые со строками, известны как операций со строками элементарной матрицы . Принимая во внимание, что операции, выполняемые со столбцами, известны как элементарных операций со столбцами матрицы.

 Три различных элементарных матричных операции для строк:

1. Поменять местами две строки
2. Умножение строки на число
3. Добавление одной строки к другой строке

Три элементарные матричные операции для столбцов:

1. Перестановка столбцов
2. Умножение столбца на число

Теперь давайте посмотрим, как выполняются эти операции.

Элементарные операции со строками

Для выполнения элементарных операций со строками предположим, что матрица A _r×c будет равна A _3×3 .

Пусть

Поменять местами две строки

Эту операцию можно выполнить, поменяв местами любые две строки матрицы. Обозначается как R ₁ <=>R _2.

Поменяв местами строки матрицы

Следовательно, R ₁ <=>R ₂   будет 1

9002 строка заменяется на строку 2, а строка 2 заменяется на 1. При этом строка 3 остается неизменной.

Умножение строки на число

Эту операцию можно выполнить путем умножения строки на ненулевую константу, которая заменит элементы строки.

Умножим 2-ю строку данной матрицы A= на 2.

Следовательно, R ₂ <=>2R ₂ будет

Здесь 2-я строка заменяется 2 раза самой собой.

Добавление одной строки к другой

Эта операция может быть выполнена путем суммирования любой строки с другой в матрице. Остальные строки матрицы остаются без изменений. Обозначается R ₁ +R ₂ <=>R ₂

Просуммируем строки 1 и 3, чтобы заменить элементы строки 3 в данной матрице.

Здесь строка 3 заменяется суммой строк 1 и 3. При этом строки 1 и 2 остаются без изменений.

Операции со столбцами элементарной матрицы

Для выполнения операции со столбцами элементарной матрицы предположим, что матрица A _r×c будет A _3×3 .

Let

Поменять местами две колонки

Эту операцию можно выполнить, поменяв местами любые два столбца матрицы. Обозначается C ₁ <=>C ₂ .

Перестановка столбцов матрицы

Следовательно, C ₁ <=>C ₂  будет

, столбец 3 остается без изменений.

Умножение столбца на число

Эту операцию можно выполнить, умножив столбец на ненулевую константу, которая заменит элементы столбца.

Умножим столбец 2 данной матрицы

Следовательно, 2C ₂ =>C ₂ будет

Здесь столбец 2 заменяется на себя 2 раза.

Добавление одного столбца к другому

Эту операцию можно выполнить путем суммирования любого столбца с другим в матрице. Остальные столбцы матрицы остаются без изменений. Это может быть обозначено C ₁ + C ₂ = C ₂

Просуммируем столбцы 1 и 2, чтобы заменить элементы столбца 2 в данной матрице.

 Следовательно, C ₁ +C ₂ =C ₂ будет

Здесь столбец 2 заменяется суммой столбцов 1 и 2. При этом столбец 3 остается без изменений.

Аналогичные вопросы

Вопрос 1: Выполнить операцию R ₁ <=>R ₂ над заданной матрицей.

Решение:

Индикация R ₁ <=>R ₂     означает перестановку строк 1 и 2 друг с другом.

Итак, матрица 

В данной операции строка 1 заменяет строку 2, а строка 2 заменяет строку 1. При этом строка 3 остается неизменной.

Вопрос 2: Выполнить операцию C ₂ <=>C ₃  на заданной матрице.

Решение:

Обозначение C ₂ <=>C ₃ означает перестановку столбцов 2 и 3 друг с другом.

, поэтому матрица станет

В данной операции столбец 2 заменяет 3, а столбец 3 заменяет 2. При этом столбец 1 остается неизменным.

Вопрос 3: Выполните операцию строки 3R ₁ =>R ₁ на заданной матрице.

Решение:

Индикация 3R ₁ => R ₁ означает умножение строки 1 на ненулевую константу, которая равна 3, для замены элементов строки 1.

В данной операции 3 раза 1 строка заменяет элементы строки 1. Принимая во внимание, что строки 2 и 3 остаются постоянными.

Вопрос 4: Выполните операцию столбца 2C ₂ =>C ₂ на заданной матрице.

Решение:

Индикация 2С ₂ =>C ₂ означает умножение столбца 2 на ненулевую константу, равную 2, для замены элементов столбца 2.

В данной операции 2 умножения столбца 2 заменяют элементы столбца 2. При этом столбец 1 остается без изменений.