Основные правила дифференцирования
- Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)
- Производная произведения
(f(x)·g(x))′=f′(x)·g(x)-f(x)·g(x)′/g2(x)
- Производная частного
(f(x)/g(x))′=f′(x)·g(x)+f(x)·g(x)′
- Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
f(g(x))′=f′(g(x))·g′(x)
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно и её координата изменяется в зависимости от времени по закону x(t), то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.
v(t)=x′(t)
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде y=kx+b, где k – угловой коэффициент прямой. Коэффициент k равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси Ох.
k=tgα
Производная функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту k касательной к графику в данной точке:
f′(x0)=k
Следовательно, можем составить общее равенство:
f′(x0)=k=tgα
На рисунке касательная к функции f(x) возрастает, следовательно, коэффициент k>0. Так как k>0, то f′(x0)=tgα>0. Угол α между касательной и положительным направлением Ох острый.
На рисунке касательная к функции f(x) убывает, следовательно, коэффициент k<0, следовательно, f′(x0)=tgα<0.
Угол α между касательной и положительным направлением оси Ох тупой.
На рисунке касательная к функции f(x) параллельна оси Ох, следовательно, коэффициент k=0, следовательно, f′(x0)=tgα=0. Точка x0, в которой f′(x0)=0, называется экстремумом.
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если f′(x)>0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.
Если f′(x)<0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке.
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!
| 1 | Найти производную – d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | интеграл натурального логарифма x относительно x | ||
| 3 | Найти производную – d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную – d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную – d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную – d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную – d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную – d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную – d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную – d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную – d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную – d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную – d/dx | бревно натуральное 5х92 |
Дифференциальные тождества
Дифференциальные тождества| Дом | Учитель | Родители | Глоссарий | О нас | |||||
|
|
Определения производной: f(t) dt = f(x) (основная теорема для производных) с f(x) = c f(x) (c константа) 92 Тождества с частичным дифференцированием, если f(x(r,s), y(r,s)) df / dr = df / dx * dx / DR + df / dy * dy / DR df / ds = df / dx * dx / Ds + df / dy * dy / Ds , если f(x(r,s)) df/DR = df/dx * dx/DR df / Ds = df / dx * dx / Ds производная по направлению df(x,y) / d(Xi sub a) = f1(x,y) cos(a) + f2(x,y) sin(a) (Xi sub a) = угол против часовой стрелки от поз. |
