F x как решать: § Как решать задачи на функцию - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

§ Как решать задачи на функцию

Что такое функция в математике Как решать задачи на функцию Функция «y = kx» и её график Линейная функция
«y = kx + b» и её график Как построить график функции вида
«y = 7» или «x = 2»

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок «Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция (возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание. Функция задана формулой «y = 2x − 1»

Вычислить «y» при «x = 15»
Найти значение «x», при котором значение «y» равно «−19».

Для того, чтобы вычислить «y» при «x = 15» достаточно подставить в функцию вместо «x» необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

Для того, чтобы найти «x» по известному «y», необходимо подставить вместо «y» в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска «x» мы подставляем в функцию «y = 2x − 1» вместо «y» число «−19» .

−19 = 2x − 1

Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x», которое решается по правилам решения линейных уравнений.

Запомните!

Не забывайте про правило переноса в уравнениях.

При переносе из левой части уравнения в правую (и наоборот) буква или число меняет знак на противоположный.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас требуется умножить и левую, и правую часть на «−1» для смены знака.

−2x = 18 | · (−1)
2x = −18

Теперь разделим и левую, и правую часть на «2», чтобы найти «x» .

2x = −18 | (: 2)
x = −9

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание. Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x».

Верно ли равенство «f(−2) = −18»?

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x» числовое значение «x = −2» и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Важно!

Когда подставляете отрицательное число вместо «x», обязательно заключайте его в скобки.

Не забывайте использовать правило знаков.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили «f(−2) = 12».

Это означает, что «f(−2) = −18» для функции «f(x) = 2 − 5x» не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию «y = x² −5x + 6»

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами (1; 2).

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Запомните!

Чтобы определить, принадлежит ли точка функции, достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси «Ox» вместо «x» и координату по оси «Oy» вместо «y»).

Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x² − 5x + 6» координаты точки (1; 2).

Вместо «x» подставим «1». Вместо «y» подставим «2».

2 = 1² − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (верно)

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами (1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1). Принадлежит ли она
функции «y = x² − 5x + 6»?

Вместо «x» подставим «0». Вместо «y» подставим «1».

1 = 0² − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неверно)

В этом случае мы не получили верное равенство. Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции «y = x² − 5x + 6»

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1». Её график мы уже строили в предыдущем уроке.

Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1», чему равен «y» при x = 2.

Для этого из значения «2» на оси «Ox» проведем перпендикуляр к графику функции. Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy».

Полученное значение «−3» на оси «Oy» и будет искомым значением «y».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции «y(x) = −2x + 1».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции «y(x) = −2x + 1». Если мы правильно провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3.

y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3

При расчетах мы также получили y = −3.

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

Важно!

Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте подстановкой значений «x» в функцию.

При подстановке числового значения «x» в функцию в результате должно получиться то же значение «y», которое вы получили на графике.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

Часто задаваемые вопросы | CASIO решения для образования

Зачем мне калькулятор, если у меня в мобильном телефоне (смартфоне) он есть?

Во-первых, калькулятор, в отличие от мобильного телефона и смартфона, узкоспециализированное устройство, конструкция которого разработана оптимальным образом для выполнения математических вычислений, то есть вычисления на калькуляторе проводятся удобнее и быстрее, чем на смартфоне, и, тем более, на телефоне (к тому же в телефоне набор функций существенно ограничен по сравнению с научным калькулятором). Во-вторых, использование непрограммируемых калькуляторов на вступительных экзаменах разрешено во многих вузах России, а также на ЕГЭ по физике и химии.

Какой калькулятор лучше?

Калькуляторы различаются функциональностью (то есть количеством встроенных функций), и, соответственно, ценой. Поэтому самый дорогой калькулятор может оказаться не самым удачным выбором, если Вы не будете в полной мере использовать заложенные в него функции. Поэтому при выборе калькулятора надо обратить внимание на то, какие функции Вам необходимы в работе.

Могут ли калькуляторы решать квадратные уравнения?

Научные калькуляторы CASIO fx-570ES, fx-991ES и графические калькуляторы серии fx-9860G содержат режим решения квадратных и кубических уравнений. Для решения необходимо ввести соответствующие коэффициенты, после чего калькулятор выдаст ответ. При этом вышеперечисленные калькуляторы определяют как вещественные, так и мнимые корни.

Может ли калькулятор строить графики?

Можно ли с помощью калькулятора исследовать функции?

Графические калькуляторы серии fx-9860G содержат режим GRAPH, в котором можно строить и исследовать графики функций в прямоугольной и полярной системах координат, графики параметрических функций, графики выражений х = constant и графики неравенств. Научные калькуляторы CASIO серии fx-ES содержат режим составления таблицы чисел по функции TABLE. В этом режиме задается функция вида y = f(x) и вводятся начальные параметры: крайние левое и правое значения интервала по оси абсцисс и шаг, с которым будет изменяться значение х. Результатом является таблица значений х и y, используя которую можно построить график заданной функции в тетради, определить точки пересечения функции с осями координат, максимальные и минимальные значения функции.

Как калькулятор выключить?

Калькуляторы CASIO выключаются последовательным нажатием клавиш [SHIFT] и [AC]. Но если Вы забудете выключить калькулятор, то через шесть минут после последнего нажатия на любую клавишу он выключится автоматически.

Калькуляторы серии fx-ES

Открыть подробности »

Что означает надпись NATURAL DISPLAY на калькуляторе fx-82ES (fx-85/350/570/991ES)?

Надпись NATURAL DISPLAY (дисплей с естественным отображением чисел) означает, что ввод выражения (вывод результата) осуществляется в виде, максимально приближенном к традиционному, принятому в печатных изданиях, что упрощает контроль ввода данных. Например:

Чем отличаются научные калькуляторы fx-82ES, fx-85ES, fx-350ES?

Научные калькуляторы fx-570ES и fx-991ES функционально абсолютно одинаковы, отличаются только элементами питания: калькулятор fx-570ES работает на батарейке типа LR-44 (круглая таблетка), fx-991ES имеет двойное питание – солнечный фотоэлемент и LR-44. Это влияет на срок работы калькулятора на одном элементе питания. Соответственно, при одинаковых условиях эксплуатации и равноценных элементах питания меньшее время работы на одной батарейке будет у fx-570ES, большее – у fx-991ES.

Чем отличаются научные калькуляторы fx-570ES и fx-991ES?

При расчете тригонометрических функций калькулятор fx-82ES (fx-85/350/570/991ES) выдает неверный ответ.

Проверьте, соответствует ли вводимое значение угла заданному формату ввода угловых единиц. В верхней строке калькулятора буква D означает, что по умолчанию углы определяются в градусах, R – в радианах, G – в градах.

Графические калькуляторы серии fx-9860G

Открыть подробности »

Чем отличаются графические калькуляторы fx-9860G и fx-9860G SD.

Графические калькуляторы fx-9860G и fx-9860G SD функционально абсолютно одинаковы, отличие состоит только в том, что калькулятор fx-9860G SD имеет слот для подключения карты памяти SD, то есть в нем предусмотрена возможность расширения памяти.

При расчете тригонометрических функций калькулятор серии fx-9860G выдает неверный ответ.

Проверьте, соответствует ли вводимое значение угла заданному формату ввода угловых единиц. Для этого войдите в режим настроек SETUP, нажав последовательно [SHIFT] и [MENU] (SET UP). Угловые единицы задаются в строке Angle: Deg – в градусах, Rad – в радианах, Gra – в градах.

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92+х$.

Если $t$ такое число, что $f(2t)=30$, какие два из следующих чисел могут быть числом $t$ ?

Укажите два таких числа.

$-5$
$-3$
$-1/2$
2$
$5/2$

Итак, вы пытались быть хорошим сдающим экзамен и практиковаться для GRE с помощью PowerPrep онлайн. Ноуууу, тогда у вас были вопросы по разделу «Количественные данные», а именно по вопросу 19 второго раздела «Количественные данные» Практического теста 1. Эти вопросы проверяют наши знания по

Функции могут быть довольно сложными, но не бойтесь, PrepScholar вас поддержит!

Изучите вопрос

Давайте поищем в задаче подсказки относительно того, что она будет тестировать, так как это поможет переключить наши мысли на мысли о том, какой тип математических знаний мы будем использовать для решения этого вопроса. Обратите внимание на любые слова, которые относятся к математике, и на что-нибудь особенное в отношении того, как выглядят числа, и отметьте их на нашем листе.

В вопросе упоминается функция 92$ в нем, что делает его квадратным уравнением . Мы помним, как учились решать эти типы уравнений в нашем математическом навыке «Решение квадратных уравнений» GRE. На самом деле мы знаем, что если мы сможем разложить это квадратное уравнение на множители, мы сможем найти значение $x$. Давайте быстро рассмотрим факторинг квадратных уравнений, если это необходимо, а затем решим для $x$.

Освежение понятий – разложение квадратного уравнения на множители

На GRE мы можем ожидать найти 92+bx+c=0$$

Здесь $b$ и $c$ — целые числа. Наиболее эффективный способ их решения — разложить квадратное уравнение на множители. Наша цель — представить его в виде: $(x+y)(x+z)=0$, где $y$ и $z$ — два целых числа. Когда уравнение приведено к такой форме, мы знаем, что если произведение двух чисел дает $0$, то одно из чисел должно быть $0$. Таким образом, либо $x+y=0$, и в этом случае $x=-y$, либо $x+z=0$, и в этом случае $x=-z$. 2 +ax+b=0$. Чтобы расширить $(x+y)(x+z)=0$, мы будем использовать

ФОЛЬГА метод. Метод FOIL говорит, что для четырех членов $x, y, x, \ и z$ нам нужно перемножить . Первый член в каждом наборе скобок, затем внешних членов, затем внутренних членов. термины и, наконец, последних терминов. Это дает нам:
$ $ 92+5x+6=(x+2)(x+3)$$
Теперь мы можем переписать все уравнение в следующем виде:
$$(x+2)(x+3)=0$$
Наконец, мы знаем, что если два числа умножить вместе, чтобы получить $0$ в качестве произведения, то одно из них ДОЛЖНО быть $0$. Таким образом, либо $x+2=0$, и в этом случае $x=-2$, либо $x+3=0$, и в этом случае $x=-3$. Теперь, когда мы разобрались с факторингом квадратных уравнений, давайте вернемся к нашему вопросу.

Теперь разложим на множители наше квадратное уравнение, содержащее $x$. Как мы только что рассмотрели, давайте сначала переместим все на левую сторону, вычитая 30 долларов с обеих сторон. 92+х-30$
$(x+y)(x+z)$ $=$ $x·x+x·z+y·x+y·z$
$ $ $ $
$=$ $0$
Из нашего повторения Факторизация квадратного уравнения мы знаем, что нам нужно найти два числа, которые умножаются на -30$ и добавляются к 1$. Давайте начнем с записи всех комбинаций двух целых чисел, которые мы можем придумать, которые умножаются на $-30$.
$-30$ $=$ $(-1)·(30)$
$-30$ $=$ $(1)·(-30)$
$-30$ $=$ $(2)·(-15)$
$-30$ $=$ $(-2)·(15)$
$-30$ $=$ $(3)·(-10)$
$-30$ $=$ $(-3)·(10)$
$-30$ $=$ $(5)·(-6)$
$-30$ $=$ $(-5)·(6)$
Очень красиво. Ищите пару чисел, которая в сумме составляет 1$, похоже, что $-5$ и $6$ будут работать. Для верности найдем их сумму. 92+x-30 = 0$$
$$(x-5)(x+6)=0$$
Далее, мы знаем, что если произведение двух чисел равно $0$, то одно из чисел ДОЛЖНО быть $0$. Таким образом, либо $x-5=0$, и в этом случае $x=5$, либо $x+6=0$, и в этом случае $x=-6$. Итак, два возможных значения $x$: $5$ и $-6$ .
Теперь, когда у нас есть значения $x$, давайте найдем $t$. У нас есть уравнение $2t=x$. Решая ее относительно $t$, получаем $t=x/2$. Подставив два наших значения $x$, мы получим $t=5/2$ и $t=-3$. Итак, мы видим, что правильные ответы: B, $-3$, и E, $5/2$ .
Чему мы научились
Умение быстро и эффективно решать квадратные уравнения с помощью факторинга — очень полезный навык, которым стоит овладеть перед днем экзамена. Если необходимо, давайте еще раз попрактикуемся в факторинге в этом вопросе, чтобы быть более уверенными в своих способностях к факторингу.

$-30$	$=$	$(-1)·(30)$
$-30$	$=$	$(1)·(-30)$
$-30$	$=$	$(2)·(-15)$
$-30$	$=$	$(-2)·(15)$
$-30$	$=$	$(3)·(-10)$
$-30$	$=$	$(-3)·(10)$
$-30$	$=$	$(5)·(-6)$
$-30$	$=$	$(-5)·(6)$