Физические уравнения: Физические уравнения | Физика. Закон, формула, лекция, шпаргалка, шпора, доклад, ГДЗ, решебник, конспект, кратко - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Значение, Определение, Предложения . Что такое физические уравнения

Другие результаты
Мощные связи физических явлений и преобразование их в уравнение состоит в том, что это позволяет Вам применять эти отношения в различных ситуациях.
Просто выдавать уравнение без физического смысла бесполезно.
В большинстве реальных физических ситуаций уравнение, управляющее волной, является лишь приблизительно линейным.
В контексте технических и физических приложений, например, при распространении волн, функциональное уравнение.
Они поддерживают состояние физического равновесия, и это можно выразить математическим уравнением.
Во-первых, позиционно-калибровочная инвариантность требует, чтобы произвольные локальные смещения полей не влияли на физическое содержание уравнений поля.
Во-вторых, инвариантность калибровки вращения требует, чтобы произвольные локальные вращения полей не влияли на физическое содержание уравнений поля.
Если T отличается от 1, то поведение физических систем не может быть надежно предсказано из знания соответствующих уравнений в частных производных.
Это означает, что физические законы могут принимать форму уравнений, связывающих скаляры, которые всегда независимы от фрейма.
С помощью 20-sim модели можно вводить в виде уравнений, блок-схем, графиков связей и физических компонентов.
Исчезновение ограничений, дающих физическое фазовое пространство, – это четыре других уравнения Эйнштейна.
Уравнения Максвелла могут быть записаны в тензорной форме, обычно рассматриваемой физиками как более изящное средство выражения физических законов.
Пространства решений топологически различны, и для перехода от одного уравнения к другому необходим специальный физический гипотетический вход.

Этот фактор неуклюже проявлялся во многих физических уравнениях, имеющих дело с размерностью электромагнетизма, а иногда и с другими вещами.

Кафедра математики Физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова

Теория линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра и основные понятия вариационного исчисления.

Читается в 4-м семестре.
2 часа лекций в неделю, семинарские занятия

Лекторы

Отчётность

экзамен и зачёт

Содержание курса

Классификация линейных интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям.
Линейные операторы в бесконечномерном евклидовом пространстве. Вполне непрерывный оператор. Теорема существования собственного значения и собственного вектора у симметричного вполне непрерывного оператора. Построение последовательности собственных значений и собственных векторов.
Однородное уравнение Фредгольма второго рода. Существование собственных значений и собственных функций у интегрального оператора с симметричным ядром. Вырожденные ядра. Теорема Гильберта-Шмидта.
Краевая задача на собственные значения и собственные функции (задача Штурма- Лиувилля). Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова.
Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода. Принцип сжимающих отображений. Уравнение Фредгольма с “малым”. Уравнение Фредгольма с вырожденным и невырожденным ядром. Теоремы Фредгольма.

Уравнение Вольтерра. Метод последовательных приближений.
Понятие функционала. Первая вариация функционала. Необходимое условие экстремума.
Вариационная задача с закрепленными границами. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
Поле экстремалей, функция Вейерштрасса, достаточные условия экстремума.
Задачи на условный экстремум. Изопериметрическая задача и задача Лагранжа (постановки задач, необходимое условие экстремума).
Задача с подвижной границей, условие трансверсальности, необходимое условие экстремума.

Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах. Уравнение Фредгольма первого рода как пример некорректно поставленной задачи. Метод А.Н. Тихонова регуляризации решения уравнения Фредгольма первого рода.

Материалы по курсу

Лекции

Предисловие

Глава 1. Интегральные уравнения

Лекция 1 (§1.Введение. §2.Метрические, нормированные и евклидовы пространства.)
Лекция 2 (§3.Элементы теории линейных операторов.)
Лекция 3 (§4.Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. §5.Построение последовательности собственных значений и собственных векторов вполне непрерывного самосопряженного оператора.)
Лекция 4 (§6.Характеристические числа и собственные функции оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром.)

Лекция 5 (§7.Теорема Гильберта-Шмидта. §8.Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим непрерывным ядром.)
Лекция 6 (§9.Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. §10.Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с “малым”. §11.Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.)
Лекция 7 (§12.Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма. §13.Уравнение Фредгольма 2-го рода с произвольным непрерывным ядром. Теоремы Фредгольма.)

Лекция 8 (§14.Задача Штурма-Лиувилля.)

Глава 2. Вариационное исчисление

Лекция 9 (§1.Введение. §2.Понятие вариации функционала. §3.Задача с закрепленными концами. Необходимое условие экстремума.)
Лекция 10 (§4.Задачи на условный экстремум.)
Лекция 11 (§5.Задачи с подвижной границей.)
Лекция 12 (§6.Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами.)

Глава 3. Понятие о методах регуляризации решения некорректно поставленных задач

Литература

Пособие по решению задач

Тема 1 Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
Тема 2 Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.
Тема 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.
Тема 4 Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнений Фредгольма 2-го рода с “малым” .
Тема 5 Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.
Тема 6 Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода. Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма.
Тема 7 Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.
Тема 8 Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами.

Тема 9 Задачи с подвижной границей. Условие трансверсальности.
Тема 10 Условный экстремум. Задача Лагранжа. Изопериметрические задачи.

Правила проведения экзамена и вопросы к экзамену

Физическое уравнение – Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Физическое уравнение

Cтраница 1

Физические уравнения выражают работу материала стержней в упругой области ( см. гл. [1]

Физические уравнения для этапов до образования трещин и пофте их образования совместно с уравнениями равновесия, геометрическими уравнениями и граничными условиями составляют замкнутую систему уравнений для расчета железобетонного элемента в условиях плосконапряженного состояния и температурных воздействий. Расчет железобетонного элемента выполняется на ЭВМ в форме метода конечных элементов, метода конечных разностей, метода ортогонализации и др. МКЭ обладает рядом преимуществ, что делает его применение предпочтительным. Метод имеет наглядную механическую трактовку, удачно сочетает матричную форму расчета с удобствами использования ЭВМ. Помимо этого, после образования трещин модель железобетона имеет вид элемента конечных размеров. [2]

Физическое уравнение

(2.64) при этом теряет смысл. [3]

Физические уравнения в форме (1. 36) сохраняются до появления в процессе разгрузки новых ( вторичных) пластических деформаций. [4]

Физические уравнения (1.42) выражают следующее: поле деформаций 3ij в данный момент времени определяется не только мгновенным напряжением s j ( связанными с деформациями обобщенным законом Гука), но и предшествующими значениями напряжений с помощью некоторой наследственной функции. Объемное деформирование в принимается упругим, так как объемная ползучесть мала по сравнению со сдвиговой. Заметим, что наследственная функция имеет своим аргументом разность ( i – – т), то есть уравнения (1.42) инвариантны относительно начала отсчета времени. [5]

Физические уравнения связывают напряжения с деформациями. [6]

Физические уравнения ( соотношения упругости) для оболочек имеют такую же структуру, как и для пластин, поскольку, в технической теории пластин и оболочек рассматривается плоское напряженное состояние. [7]

Физические уравнения могут быть как определениями физических величин, так и формулировками физических законов. Впрочем, это деление не всегда можно провести достаточно четко. [8]

Любое физическое уравнение устанавливает зависимость не только между входящими в него величинами, но и их размерностями. Все члены физического уравнения, являющиеся комбинациями различных величин, имеют одинаковую размерность. [9]

Приведенные физические уравнения ( обобщенный закон Гу-ка), выражающие зависимость между напряжениями и деформациями, справедливы только в пределах упругости, когда не возникают пластические деформации. [10]

Физические уравнения теории пластичности зависят от того, какая теория рассматривается. В настоящее время существуют две основные теории пластичности. [11]

Составим физическое уравнение для безынерционной фильтрации несжимаемой жидкости в пористой среде. [12]

Предложено физическое уравнение процесса струйной кольма-таиии, собрана экспериментальная установка. Приведена зависимость для определения Р, от Кд, , t t в виде полинома первой степени. [13]

Используя физическое уравнение связи напряжения и скоростей деформации, а также условие трения (3.5), выразим множители при вариациях таким образом: напряжения – через скорости движения, а скорости – через напряжения. [14]

Поэтому физические уравнения установившейся ползучести характеризуют связь между пластическими деформациями и напряжениями. [15]

Страницы: 1 2 3

Редактор формул – Служба поддержки Office

Вставка уравнения с помощью редактора формул

На вкладке Вставка в группе Текст нажмите кнопку Объект.
В диалоговом окне Объект откройте вкладку Создание.
В поле Тип объекта выберите значение Microsoft Equation 3.0 и нажмите кнопку ОК.
Измените уравнение с помощью символов, шаблонов и структур на панели инструментов Формула.
Чтобы вернуться к документу, в Word, Excel или Outlook щелкните в любом месте документа.

Чтобы вернуться к презентации в PowerPoint, в меню Файлредактора формул щелкните Выход и возврат к презентации.

Изменение уравнения с помощью редактора формул

Если вы использовали редактор формул для вставки уравнения, изменить его также можно с помощью этого редактора.

Дважды щелкните уравнение, которое вы хотите изменить.
Измените уравнение с помощью символов, шаблонов и структур на панели инструментов Формула.
Чтобы вернуться к документу, в Word, Excel или Outlook щелкните в любом месте документа.

Чтобы вернуться к презентации в PowerPoint, в меню Файлредактора формул щелкните Выход и возврат к презентации.

Вставка уравнения с помощью редактора формул

На вкладке Вставка в группе Текст нажмите кнопку Объект.
В диалоговом окне Объект откройте вкладку Создание.
В поле Тип объекта выберите значение Microsoft Equation 3.0.

Если редактор уравнений недоступен, возможно, потребуется установить его.

Установка редактора формул
1. Закройте все программы.
2. На панели управления щелкните Установка и удаление программ.
3. В поле Установленные программы выберите Microsoft Office <выпуск> 2007 и нажмите кнопку Изменить.
4. На странице Изменение установленного пакета Microsoft Office <suite> 2007. выберите команду Добавить или удалить компонентыи нажмите кнопку продолжить.
5. На вкладке Параметры установки щелкните индикатор развертывания (+) рядом с компонентом Средства Office.
6. Щелкните стрелку рядом с названием Редактор формул и выберите Запускать с моего компьютера.
7. Нажмите кнопку Продолжить.
8. После того как вы закончите установку редактора формул, перезапустите приложение Office, которое вы используете.
В диалоговом окне Объект нажмите кнопку ОК.
Измените уравнение с помощью символов, шаблонов и структур на панели инструментов Формула.
Чтобы вернуться к документу, в Word, Excel или Outlook щелкните в любом месте документа.

Чтобы вернуться к презентации в PowerPoint, в меню Файлредактора формул щелкните Выход и возврат к презентации.

Изменение уравнения с помощью редактора формул

Дважды щелкните уравнение, которое вы хотите изменить.
Измените уравнение с помощью символов, шаблонов и структур на панели инструментов Формула.
Чтобы вернуться к документу, в Word, Excel или Outlook щелкните в любом месте документа. yy )].
Если эту систему решить относительно деформаций, то получаются довольно громоздкие формулы.
Для угловых (сдвиговых) деформаций связь между напряжениями и деформациями выглядит проще:
ст
G ’
ст
~G ’
у =-!Jz-
У yz
(2.47)
у =ctjx
I zx G
где G обозначен модуль сдвига, связанный с модулем нормальной упругости Е формулой
п _ E _ E _ 2• (1 + v) _ 2,6. (2.48)
УРАВНЕНИЯ СПЛОШНОСТИ И ПОСТОЯНСТВА ОБЪЕМА
Уравнения сплошности выполняются автоматически, если деформации вычисляются по формулам (2.25) и (2.26) путем дифференцирования трех непрерывных функций для перемещений: ux(x, y, z), uy(x, y, z) и uz(x, y, z). Однако …
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ФОРМУЛЫ (7.16)
Для экспериментальной проверки совместно с ЦНИИ «Прометей» были изготовлены крупные образцы из стали М16С (типа ВСт3) и 10ХСНД толщиной 20-40 мм, которые разрушались при температурах от +24 до -196°С. Конструкции …
СОЕДИНЕНИЯ С ЛОБОВЫМИ ШВАМИ
На рис. 7.18 показано сварное соединение листов разных толщин (t1 и t2) лобовыми швами № 1 и № 2. При дальнейших расчетах будем считать длину шва равной единице, т. е. …
Продажа шагающий экскаватор 20/90
Цена договорная
Используются в горнодобывающей промышленности при добыче полезных ископаемых (уголь, сланцы, руды черных и
цветных металлов, золото, сырье для химической промышленности, огнеупоров и др.) открытым способом. Их назначение – вскрышные работы с укладкой породы в выработанное пространство или на борт карьера. Экскаваторы способны
перемещать горную массу на большие расстояния. При разработке пород повышенной прочности требуется частичное или
сплошное рыхление взрыванием.
Вместимость ковша, м3 20
Длина стрелы, м 90
Угол наклона стрелы, град 32
Концевая нагрузка (max.) тс 63
Продолжительность рабочего цикла (грунт первой категории), с 60
Высота выгрузки, м 38,5
Глубина копания, м 42,5
Радиус выгрузки, м 83
Просвет под задней частью платформы, м 1,61
Диаметр опорной базы, м 14,5
Удельное давление на грунт при работе и передвижении, МПа 0,105/0,24
Размеры башмака (длина и ширина), м 13 х 2,5
Рабочая масса, т 1690
Мощность механизма подъема, кВт 2х1120
Мощность механизма поворота, кВт 4х250
Мощность механизма тяги, кВт 2х1120
Мощность механизма хода, кВт 2х400
Мощность сетевого двигателя, кВ 2х1600
Напряжение питающей сети, кВ 6
Более детальную информацию можете получить по телефону (063)0416788
На пути к теории всего
Как современные физики-теоретики разрабатывают новые теории, описывающие мир? Что такого они добавляют к квантовой механике и общей теории относительности, чтобы построить «теорию всего»? О каких ограничениях идет речь в статьях, говорящих про отсутствие «новой физики»? На все эти вопросы можно ответить, если разобраться, что такое действие — объект, лежащий в основе всех существующих физических теорий. В этой статье я расскажу, что физики понимают под действием, а также покажу, как с его помощью можно построить настоящую физическую теорию, используя всего несколько простых предположений о свойствах рассматриваемой системы.
Сразу предупреждаю: в статье будут формулы и даже несложные вычисления. Впрочем, их вполне можно пропускать без большого вреда для понимания. Вообще говоря, я привожу здесь формулы только для тех заинтересованных читателей, которые непременно хотят разобраться во всем самостоятельно.

Уравнения
Физика описывает наш мир с помощью уравнений, связывающих вместе различные физические величины — скорость, силу, напряженность магнитного поля и так далее. Практически все такие уравнения являются дифференциальными, то есть содержат не только функции, зависящие от величин, но и их производные. Например, одно из самых простых уравнений, описывающее движение точечного тела, содержит вторую производную от его координаты:
Здесь я обозначил вторую производную по времени двумя точками (соответственно, одной точкой будет обозначаться первая производная). Конечно же, это второй закон Ньютона, открытый им в конце XVII века. Ньютон одним из первых осознал необходимость записывать уравнения движения в такой форме, а также разработал дифференциальное и интегральное исчисление, необходимое для их решения. Разумеется, большинство физических законов гораздо сложнее, чем второй закон Ньютона. Например, система уравнений гидродинамики настолько сложна, что ученые до сих пор не знают, разрешима она в общем случае или нет. Проблема существования и гладкости решений этой системы даже входит в список «проблем тысячелетия», и математический институт Клэя назначил за ее решение приз в один миллион долларов.
Однако как же физики находят эти дифференциальные уравнения? В течение долгого времени единственным источником новых теорий был эксперимент. Другими словами, первым делом ученый проводил измерения нескольких физических величин, и только потом пытался определить, как они связаны. Например, именно таким образом Кеплер открыл три знаменитых закона небесной механики, которые впоследствии привели Ньютона к его классической теории тяготения. Получалось, что эксперимент как будто «бежит впереди теории».
В современной же физике дела устроены немного по-другому. Конечно, эксперимент до сих пор играет в физике очень важную роль. Без экспериментального подтверждения любая теория является всего лишь математической моделью — игрушкой для ума, не имеющей отношения к реальному миру. Однако сейчас физики получают уравнения, описывающие наш мир, не эмпирическим обобщением экспериментальных фактов, а выводят их «из первых принципов», то есть на основании простых предположений о свойствах описываемой системы (например, пространства-времени или электромагнитного поля). В конечном счете, из эксперимента определяются только параметры теории — произвольные коэффициенты, которые входят в выведенное теоретиком уравнение. При этом ключевую роль в теоретической физике играет принцип наименьшего действия, впервые сформулированный Пьером Мопертюи в середине XVIII века и окончательно обобщенный Уильямом Гамильтоном в начале XIX века.

Действие
Что же такое действие? В самой общей формулировке действие — это функционал, который ставит в соответствие траектории движения системы (то есть функции от координат и времени) некоторое число. А принцип наименьшего действия утверждает, что на истинной траектории действие будет минимально. Чтобы разобраться в значении этих умных слов, рассмотрим следующий наглядный пример, взятый из Фейнмановских лекций по физике.
Допустим, мы хотим узнать, по какой траектории будет двигаться тело, помещенное в поле тяжести. Для простоты будем считать, что движение полностью описывается высотой x(t), то есть тело движется вдоль вертикальной прямой. Предположим, что мы знаем о движении только то, что тело стартует в точке x₁ в момент времени t₁ и приходит в точку x₂ в момент t₂, а полное время в пути составляет T = t₂ − t₁. Рассмотрим функцию L, равную разности кинетической энергии К и потенциальной энергии П: L = К − П. Будем считать, что потенциальная энергия зависит только от координаты частицы x(t), а кинетическая — только от ее скорости ẋ(t). Также определим действие — функционал S, равный среднему значению L за все время движения: S = ∫ L(x, ẋ, t) dt.
Очевидно, что значение S будет существенно зависеть от формы траектории x(t) — собственно, поэтому мы называем его функционалом, а не функцией. Если тело слишком высоко поднимется (траектория 2), вырастет средняя потенциальная энергия, а если оно станет слишком часто петлять (траектория 3), увеличится кинетическая — мы ведь предположили, что полное время движения в точности равно T, а значит, телу нужно увеличить скорость, чтобы успеть пройти все повороты. В действительности функционал S достигает минимума на некоторой оптимальной траектории, которая является участком параболы, проходящей через точки x₁ и x₂ (траектория 1). По счастливому стечению обстоятельств, эта траектория совпадает с траекторией, предсказанной вторым закон Ньютона.
Примеры траекторий, соединяющих точки x₁ и x₂. Серым отмечена траектория, полученная вариацией истинной траектории. Вертикальное направление отвечает оси x, горизонтальное — оси t
Случайно ли это совпадение? Разумеется, не случайно. Чтобы показать это, предположим, что мы знаем истинную траекторию, и рассмотрим ее вариации. Вариация δx(t) — это такая добавка к траектории x(t), которая изменяет ее форму, но оставляет начальную и конечную точки на своих местах (смотри рисунок). Посмотрим, какое значение принимает действие на траекториях, отличающихся от истинной траектории на бесконечно малую вариацию. Раскладывая функцию L и вычисляя интеграл по частям, мы получаем, что изменение S пропорционально вариации δx: Здесь нам пригодился тот факт, что вариация в точках x₁ и x₂ равна нулю — это позволило отбросить члены, которые появляются после интегрирования по частям. Получившееся выражение очень напоминает формулу для производной, записанную через дифференциалы. Действительно, выражение δS/δx иногда называют вариационной производной. Продолжая эту аналогию, мы заключаем, что при добавлении малой добавки δx к истинной траектории действие измениться не должно, то есть δS = 0. Поскольку добавка может быть практически произвольной (мы зафиксировали только ее концы), это означает, что подынтегральное выражение тоже обращается в ноль. Таким образом, зная действие, можно получить дифференциальное уравнение, описывающее движение системы, — уравнение Эйлера-Лагранжа.
Вернемся к нашей задаче с телом, перемещающимся в поле силы тяжести. Напомню, что мы определили функцию L как разность кинетической и потенциальной энергии тела. Подставляя это выражение в уравнение Эйлера-Лагранжа, мы действительно получаем второй закон Ньютона. В самом деле, наша догадка о виде функции L оказалась очень удачной:
Получается, что с помощью действия можно записывать уравнения движения в очень краткой форме, как будто «упаковывая» все особенности системы внутри функции L. Уже само по себе это достаточно интересно. Однако действие является не просто математической абстракцией, оно обладает глубоким физическим смыслом. В общем-то, современный физик-теоретик первым делом выписывает действие, а только потом выводит уравнения движения и исследует их. Во многих случаях действие для системы можно построить, делая только простейшие предположения о ее свойствах. Посмотрим, как это можно сделать, на нескольких примерах.
Robert Couse-Baker / flickr.com
Свободная релятивистская частица
Когда Эйнштейн строил специальную теорию относительности (СТО), он постулировал несколько простых утверждений о свойствах нашего пространства-времени. Во-первых, оно является однородным и изотропным, то есть не меняется при конечных смещениях и поворотах. Другими словами, неважно, где вы находитесь — на Земле, на Юпитере или в галактике Малое Магелланово Облако — во всех этих точках законы физики работают одинаково. Кроме того, вы не заметите никаких отличий, если будете двигаться равномерно прямолинейно — в этом заключается принцип относительности Эйнштейна. Во-вторых, никакое тело не может превысить скорость света. Это приводит к тому, что привычные правила пересчета скоростей и времени при переходе между различными системами отсчета — преобразования Галилея — нужно заменить на более правильные преобразования Лоренца. В результате по-настоящему релятивистской величиной, одинаковой во всех системах отсчета, становится не расстояние, а интервал — собственное время частицы. Интервал s₁ − s₂ между двумя заданными точками можно найти с помощью следующей формулы, где c — скорость света:
Как мы увидели в предыдущей части, нам достаточно выписать действие для свободной частицы, чтобы найти ее уравнение движения. Разумно предположить, что действие является релятивистским инвариантом, то есть выглядит одинаково в разных системах отсчета, поскольку физические законы в них одинаковы. Кроме того, мы хотели бы, чтобы действие записывалось как можно проще (сложные выражения оставим на потом). Самый простой релятивистский инвариант, который можно связать с точечной частицей — это длина ее мировой линии. Выбирая этот инвариант в качестве действия (чтобы размерность выражения была правильной, умножим его на коэффициент −mc) и варьируя его, мы получаем следующее уравнение: Проще говоря, 4-ускорение свободной релятивистской частицы должно быть равно нулю. 4-ускорение, как и 4-скорость — это обобщения понятий ускорения и скорости на четырехмерное пространство-время. В результате свободная частица может двигаться только вдоль заданной прямой с постоянной 4-скоростью. В пределе низких скоростей изменение интервала практически совпадает с изменением времени, а потому полученное нами уравнение переходит в уже обсуждавшийся выше второй закон Ньютона: mẍ = 0. С другой стороны, условие равенства нулю 4-ускорения выполняется для свободной частицы и в общей теории относительности, только в ней пространство-время уже начинает искривляться и частица не обязательно будет двигаться вдоль прямой даже при отсутствии внешних сил.
Электромагнитное поле
Как известно, электромагнитное поле проявляет себя во взаимодействии с заряженными телами. Обычно это взаимодействие описывают с помощью векторов напряженности электрического и магнитного поля, которые связаны системой из четырех уравнений Максвелла. Практически симметричный вид уравнений Максвелла наводит на мысль, что эти поля не являются независимыми сущностями — то, что кажется нам электрическим полем в одной системе отсчета, может превратиться в магнитное поле, если перейти в другую систему.
В самом деле, рассмотрим провод, по которому бегут с одинаковой и постоянной скоростью электроны. В системе отсчета, связанной с электронами, есть только постоянное электрическое поле, которое можно найти с помощью закона Кулона. Однако в исходной системе отсчета движение электронов создает постоянный электрический ток, который, в свою очередь, наводит постоянное магнитное поле (закон Био-Савара). В то же время, согласно с принципом относительности, в выбранных нами системах отсчета законы физики должны совпадать. Это значит, что и электрическое, и магнитное поля являются частями какой-то одной, более общей сущности.
Тензоры
Прежде чем мы перейдем к ковариантной формулировке электродинамики, стоит сказать несколько слов по поводу математики специальной и общей теории относительности. Важнейшую роль в этих теориях играет понятие тензора (да и в других современных теориях тоже, если честно). Если совсем грубо, то тензор ранга (n, m) можно представлять себе как (n+m)-мерную матрицу, компоненты которой зависят от координат и времени. Вдобавок к этому тензор должен определенным хитрым образом меняться при переходе из одной системы отсчета в другую или при изменениях координатной сетки. Как именно, определяет число контравариантных и ковариантных индексов (n и m соответственно). При этом сам тензор как физическая сущность при подобных преобразованиях не меняется — так же как не меняется при них 4-вектор, который является частным случаем тензора ранга 1.
Нумеруются компоненты тензора с помощью индексов. Для удобства различают верхние и нижние индексы, чтобы сразу видеть, как преобразуется тензор при смене координат или системы отсчета. Так, например, компонента тензора T ранга (3, 0) записывается как T^αβγ, а тензора U ранга (2, 1) — как U^α^{^β_γ. По сложившейся традиции, компоненты четырехмерных тензоров нумеруют греческими буквами, а трехмерных — латинскими. Впрочем, некоторые физики предпочитают делать наоборот (например, Ландау).}
Кроме того, для краткости Эйнштейн предложил не писать знак суммы «Σ» при сворачивании тензорных выражений. Свертка — это суммирование тензора по двум заданным индексам, причем один из них обязательно должен быть «верхним» (контравариантным), а другой — «нижним» (ковариантным). Например, чтобы вычислить след матрицы — тензора ранга (1, 1) — нужно свернуть ее по двум имеющимся индексам: Tr[A_μ^ν] = Σ A_μ^μ = A_μ^μ. Поднимать и опускать индексы можно с помощью метрического тензора: T_αβ^γ = T_αβμ g^μγ.
Наконец, удобно ввести абсолютно антисимметричный псевдотензор ε^μνρσ — тензор, который меняет знак при любых перестановках индексов (например, ε^μνρσ = −ε^νμρσ) и у которого компонента ε¹²³⁴ = +1. Еще его называют тензором Леви-Чивита. При поворотах системы координат ε^μνρσ ведет себя как обычный тензор, однако при инверсиях (замене вроде x → −x) он преобразуется по-другому.
Действительно, векторы электрического и магнитного поля объединяются в такую структуру, которая является инвариантной относительно преобразований Лоренца — то есть не меняется при переходе между различными (инерциальными) системами отсчета. Это так называемый тензор электромагнитного поля F_μν. Нагляднее всего будет записать его в виде следующей матрицы: Здесь компоненты электрического поля обозначены буквой E, а компоненты магнитного поля — буквой H. Легко видеть, что тензор электромагнитного поля является антисимметричным, то есть его компоненты, стоящие по разные стороны от диагонали, равны по модулю и имеют противоположные знаки. Если мы хотим получить уравнения Максвелла «из первых принципов», нам нужно выписать действие электродинамики. Чтобы сделать это, мы должны сконструировать самую простую скалярную комбинацию из имеющихся у нас тензорных объектов, так или иначе связанных с полем или со свойствами пространства-времени.
Если задуматься, выбор у нас невелик — в качестве «строительных блоков» может выступать только тензор поля F_μν, метрический тензор g_μν и абсолютно антисимметричный тензор ε^μνρσ. Из них можно собрать всего две скалярные комбинации, причем одна из них является полной производной, то есть ее можно не учитывать при выводе уравнений Эйлера-Лагранжа — после интегрирования эта часть просто обратится в ноль. Выбирая оставшуюся комбинацию в качестве действия и варьируя его, мы получим пару уравнений Максвелла — половину системы (первая строчка). Казалось бы, двух уравнений мы не досчитались. Однако на самом деле нам не нужно выписывать действие, чтобы вывести оставшиеся уравнения — они следуют напрямую из антисимметричности тензора F_μν (вторая строчка):
И снова мы получили правильные уравнения движения, выбрав в качестве действия простейшую возможную комбинацию. Правда, поскольку мы не учитывали существование зарядов в нашем пространстве, мы получили уравнения для свободного поля, то есть для электромагнитной волны. При добавлении зарядов в теорию их влияние тоже нужно учитывать. Это делается включением вектора 4-тока в действие.
Гравитация
Настоящим триумфом принципа наименьшего действия в свое время стало построение общей теории относительности (ОТО). Благодаря ему впервые были выведены законы движения, которые ученые не могли получить путем анализа экспериментальных данных. Или могли, но не успели. Вместо этого Эйнштейн (и Гильберт, если угодно) вывел уравнения на метрику, отталкиваясь от предположений о свойствах пространства-времени. Начиная с этого момента, теоретическая физика стала «обгонять» экспериментальную.
В ОТО метрика перестает быть постоянной (как в СТО) и начинает зависеть от плотности помещенной в нее энергии. Замечу, что корректнее говорить все-таки об энергии, а не о массе, хотя эти две величины связаны соотношением E = mc² в собственной системе отсчета. Напомню, что метрика задает правила, по которым вычисляется расстояние между двумя точками (строго говоря, бесконечно близкими точками). Важно, что метрика не зависит от выбора системы координат. Например, плоское трехмерное пространство можно описать с помощью декартовой либо сферической системы координат, но в обоих случаях метрика пространства будет совпадать.
Чтобы выписать действие для гравитации, нам нужно построить из метрики какой-нибудь инвариант, который не будет меняться при изменении координатной сетки. Самым простым таким инвариантом является детерминант метрики. Тем не менее, если мы включим в действие только его, мы не получим дифференциальное уравнение, поскольку это выражение не содержит производных метрики. А если уравнение не является дифференциальным, оно не может описывать ситуации, в которых метрика меняется со временем. Поэтому нам нужно добавить к действию простейший инвариант, который содержит производные g_μν. Таким инвариантом является так называемый скаляр Риччи R, который получается сверткой тензора Римана R_μνρσ, описывающего кривизну пространства-времени:
Сейчас это действие называют действием Эйнштейна-Гильберта. Добавляя в теорию материю и варьируя действие стандартным образом, мы получим знаменитое уравнение Эйнштейна (материя в нем учитывается с помощью тензора энергии-импульса T_μν). Это уравнение описывает все возможные гравитационные явления — в том числе движение планет вокруг Солнца, рождение черных дыр и расширение нашей Вселенной. К сожалению, в общем случае оно является очень сложным. В то же время, когда пространство-время искривляется очень слабо, теория Эйнштейна переходит в теорию Ньютона. Например, существенные поправки к движению Меркурия набираются примерно за сто лет, а для Земли их заметить практически невозможно. Поэтому при моделировании скоплений галактик, в которых средняя плотность материи невелика, астрофизики продолжают пользоваться приближением Ньютона.
Robert Couse-Baker / flickr. com
Теория всего
Наконец, пришло время поговорить о «теории всего». Так называют несколько теорий, которые пытаются объединить ОТО и Стандартную модель — две основные известные на данный момент физические теории. Ученые предпринимают такие попытки не только из эстетических соображений (чем меньше теорий нужно для понимания мира — тем лучше), но и по более веским причинам.
И у ОТО, и у Стандартной модели есть границы применимости, после которых они перестают работать. Например, ОТО предсказывает существование сингулярностей — точек, в которых плотность энергии, а значит, и кривизна пространства-времени, стремится к бесконечности. Мало того, что бесконечности сами по себе малоприятны — вдобавок к этой проблеме Стандартная модель утверждает, что энергию невозможно локализовать в точке, ее нужно размазывать по некоторому, пусть и небольшому, объему. Поэтому вблизи сингулярности эффекты и ОТО, и Стандартной модели должны быть велики. В то же время ОТО до сих пор не удалось проквантовать, а Стандартная модель строится в предположении плоского пространства-времени. Если мы хотим понимать, что происходит около сингулярностей, нам нужно разработать теорию, которая будет включать в себя обе указанные теории.
Имея в виду, какой успех имел принцип наименьшего действия в прошлом, ученые основывают на нем все свои попытки построить новую теорию. Помните, мы рассматривали только самые простые комбинации, когда строили действие для различных теорий? Тогда наши действия увенчались успехом, но это вовсе не значит, что самое простое действие является самым правильным. Вообще говоря, природа не обязана подстраивать свои законы, чтобы упростить нашу жизнь.
Поэтому разумно включить в действие следующие, более сложные инвариантные величины и посмотреть, к чему это приведет. Чем-то это напоминает последовательное приближении функции многочленами все более высоких степеней. Проблема тут только в том, что все такие поправки входят в действие с некими неизвестными коэффициентами, которые нельзя вычислить теоретически. К тому же, поскольку Стандартная модель и ОТО в целом все-таки хорошо работают, эти коэффициенты должны быть очень маленькими — следовательно, их сложно определить из эксперимента. Многочисленные работы, сообщающие об «ограничениях на новую физику», как раз-таки направлены на определение коэффициентов при высших порядках теории. До сих пор им удалось найти только ограничения сверху.
Лагранжиан Стандартной модели, записанный в форме новогодней елки
МФТИ
С другой стороны, еще один способ построить «теорию всего» — нарушить правило «работает — не трогай». Другими словами, теоретики предполагают, что какой-то из постулатов существующих теорий не выполняется, и смотрят, что от этого изменится. Например, что получится, если снять с действия требование лоренц-инвариантности. В подобных случаях за основу новой теории также берется действие Стандартной модели или ОТО, а затем к нему дописывают нарушающие постулаты поправки. Коэффициенты при этих поправках тоже можно найти только из эксперимента, и на данный момент все, что у нас есть — очень сильные ограничения сверху. В данном случае «очень сильные» означает, что величина коэффициентов при поправках примерно на десять порядков меньше, чем величина коэффициентов при стандартных членах.
Кроме того, существуют подходы, вводящие новые, нетривиальные концепции. Например, теория струн предполагает, что свойства нашего мира можно описать с помощью колебаний не точечных, а протяженных объектов — струн. К сожалению, экспериментальные подтверждения теории струн до сих пор не найдены. Например, она предсказывала некоторые возбуждения на ускорителях, но они так и не проявились.
В общем, пока не похоже, что ученые близко подобрались к открытию «теории всего». Наверное, теоретикам все-таки придется придумывать что-то существенно новое. Впрочем, можно не сомневаться, что первым делом они выпишут для новой теории действие.

***
Если все эти рассуждения показались вам сложными и вы пролистали статью не читая, вот краткая выжимка тех фактов, которые в ней обсуждались. Во-первых, все современные физические теории так или иначе полагаются на понятие действия — величины, которая описывает, насколько системе «нравится» та или иная траектория движения. Во-вторых, уравнения движения системы можно получить, разыскивая траекторию, на которой действие принимает наименьшее значение. В-третьих, действие можно построить, используя всего несколько элементарных предположений о свойствах системы. Например, о том, что законы физики совпадают в системах отсчета, которые движутся с разными скоростями. В-четвертых, некоторые из кандидатов на «теорию всего» получаются простым добавлением в действие Стандартной модели и ОТО членов, которые нарушают какое-то из предположений этих теорий. Например, лоренц-инвариантность. Если после прочтения статьи вы запомнили перечисленные утверждения, это уже хорошо. А если вы еще и поняли, откуда они берутся — просто замечательно.
Дмитрий Трунин

Три примера создания моделей на основе пользовательских уравнений в COMSOL Multiphysics®
Создание новых физических интерфейсов, которые можно сохранить, а затем отправить другим пользователям, изменение базовых уравнений в модели и расчёт более широкого диапазона устройств и процессов — это только несколько примеров использования возможностей моделирования на основе пользовательских уравнений (equation-based modeling) в программном обеспечении COMSOL Multiphysics®.
Моделирование на основе пользовательских уравнений
Моделирование на основе пользовательских уравнений входит в функционал базовой платформы COMSOL Multiphysics. С помощью него можно создавать свои модели, основанные на произвольных математических уравнениях непосредственно в графическом пользовательском интерфейсе (GUI) ПО.
Этот функционал даёт вам полный контроль над моделью. Вы можете точно настраивать модель под любые специальные требования или усложнять её по мере необходимости. Для обеспечения такой гибкости в COMSOL Multiphysics используется встроенный интерпретатор математических уравнений и выражений. Также можно воспользоваться инструментами Physics Builder (Построитель физических интерфейсов), чтобы создать собственный физический интерфейс, или Application Builder (Среда разработки приложений), чтобы создать новый пользовательский интерфейс (UI).

Пример добавления пользовательского дифференциального уравнения в частных производных непосредственно в графическом интерфейсе COMSOL Multiphysics.
Используя указанный функционал, можно использовать и задавать:
- Дифференциальные уравненияя в частных производных (PDE)
- Обыкновенные дифференциальные уравнения (ODE)
- Алгебраические уравнения
- Алгебраические дифференциальные уравнения (DAE)
- Подвижные сетки на основе методов Лагранжа – Эйлера (Arbitrary Lagrangian-Eulerian – ALE)
- Расчеты с использованием криволинейных координат
- Анализ чувствительности
Возможности моделирования на основе пользовательских уравнений определяются лишь вашей фантазией и творческим подходом, а также доступными вычислительными и временными ресурсами. Давайте рассмотрим три примера, которые позволят подробней узнать о данном функционале.
Пример 1. Уравнение Кортевега — де Фриза и солитоны
В 1895 году для описания нелинейных волн в воде было получено уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ). Так как в уравнении отсутствует диссипация, то волны фактически должны распространяться бесконечно. Сегодня, такие волны мы называем солитонами. Они рассматриваются как одиночные «горбы», которые могут распространяться на большие расстояния без изменения скорости и формы.
В настоящее время инженеры используют уравнение КдФ в т.ч. для анализа световых волн. Таким образом, солитоны в основном применяются в оптоволоконных системах.
Решение уравнения Кортевега — де Фриза с помощью моделирования на основе пользовательских уравнений
Для решения уравнения КдФ в COMSOL Multiphysics пользователи могут добавить уравнения в частных производных и обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) в интерфейс программы, используя математические выражения и подбирая необходимые коэффициенты. Можно легко определить зависимые переменные и коэффициенты в физическом интерфейсе General Form PDE (Общая форма дифференциального уравнения в частных производных).
После корректной настройки пользователи смогут задать начальный импульс в оптоволокне и смоделировать результирующие волны или солитоны. Согласно уравнению КдФ, скорость импульса определяет его амплитуду и ширину. Эти параметры можно получить и проанализировать по результатам расчета. Кроме того, результаты моделирования покажут, что, как и линейные волны, солитоны могут сталкиваться, а затем восстанавливать свою форму. Это противоречивое открытие было бы сложно сделать без помощи моделирования.
Если вы хотите узнать больше об этом примере, ознакомьтесь с учебной моделью “Решение уравнения КдФ” в Галерее моделей и приложений.

По результатам расчёта видно, как солитоны сохраняют свою исходную форму после столкновения друг с другом.
Пример 2. Электрические сигналы в сердце
Теперь давайте перейдём к следующему примеру. В нём мы увидим, как можно использовать моделирование для анализа ритмических сокращений и расслаблений сердца. Ритмические сокращения возникают, когда сердце посылает импульс ионного тока через мышцу. Во время этого процесса ионы перемещаются через небольшие поры, которые находятся в открытом (возбуждение) либо в закрытом (покой) состояниях внутри клеточной мембраны. Таким образом, чтобы лучше понять действие сердечных ритмов, нужно рассчитать электрическую активность сердечных тканей.
Моделирование электрических импульсов сердца — непростая задача, которая включает моделирование и описание свойств возбуждаемой среды. Одна из сложившихся практик решения данной задачи является использование двух наборов уравнений для описания различных аспектов распространения электрического сигнала. Давайте взглянем на модель “Распространение электрических сигналов в сердце”, которую нам любезно предоставили доктор Кристиан Черубини (Christian Cherubini) и профессор Симионетта Филиппи (Simonetta Filippi) из Римского биомедицинского университета в Италии. В данном примере используется модель ФитцХью — Нагумо и комплексная теория Гинзбурга — Ландау, которые реализованы в COMSOL Multiphysics через физические интерфейсы для задания дифференциальных уравнений в частных производных (PDE-интерфейсы).
Использование двух различных дифференциальных уравнений в частных производных для анализа распространения электрических сигналов в сердечных тканях
Используя уравнения из модели ФитцХью — Нагумо для расчёта возбуждаемых тканей учёные создали простую физиологическую модель сердца с двумя переменными — активатором (в данном случае им является электрический потенциал) и ингибитором (зависимая от напряжения переменная, которая определяет вероятность того, что поры мембраны открыты и по ним может протекать ионный ток). Используя эти уравнения и различные параметры, пользователи могут визуализировать возвратную волну (reentrant wave), которая распространяется вокруг тканей без затухания, что приводит к её характерной спиралевидной форме. С помощью данной модели можно визуализировать эффекты, аналогичные действию аритмии, нарушающей нормальный ритм сердца.
Результаты решения уравнений ФитцХью — Нагумо в моменты времени 120 с (слева) и 500 с (справа).
С помощью комплексных уравнений Гинзбурга — Ландау учёные смоделировали переход системы от периодического колебательного состояния к хаотичному. Во время этого процесса амплитуда колебаний постепенно увеличивается, а период — уменьшается. Такие уравнения используются для изучения динамики распространения спиралевидных волн в возбуждаемой среде. Результаты демонстрируют диффузию компонентов с характерными спиралевидными паттернами, которые со временем становятся более сложными.
Результаты решения уравнений Гинзбурга — Ландау в моменты времени 45 с (слева) и 75 с (справа).
Одновременное использование двух наборов уравнений в модели позволяет визуализировать сложные явления реального мира.
Пример 3. Аттрактор Лоренца
В заключении, давайте рассмотрим уравнения Лоренца, с помощью которых можно создать простую математическую модель атмосферной конвекции. При использовании определённых значений параметров и начальных условий, система обыкновенных дифференциальных уравнений (система Лоренца) будет иметь хаотичные решения. Одним из таких решений является аттрактор Лоренца, который выглядит, как восьмёрка или как бабочка при построении в фазовом пространстве.

Типичный аттрактор Лоренца.
Использование системы обыкновенных дифференциальных уравнений для моделирования аттрактора Лоренца
Для создания модели Аттрактора Лоренца в программное обеспечение необходимо добавить систему трёх связанных ОДУ с тремя степенями свободы. Это довольно легко сделать, используя физический интерфейс Global ODEs and DAEs для задания системы Лоренца.
Затем пользователи могут визуализировать исходное решение, которое будет похоже на аттрактор, и изучить рост очень небольшого возмущения, добавленного к этим начальным данным. Результаты (левое изображение ниже) показывают, как увеличивается с течением времени разница между решением исходной задачи и задачи с добавлением незначительного возмущения. Также, результаты моделирования показывают, что с выбранными значениями параметров, система (в фазовом пространстве) выходит на аттрактор Лоренца в виде бабочки.
Зависимость разницы решений исходной задачи и задачи с добавлением возмущения (слева). Стандартный вид аттрактора Лоренца (справа).
Следующий шаг
Узнайте о ключевых функциях программного обеспечения COMSOL Multiphysics и запросите демонстрационную версию программы для ознакомления.
Семь уравнений, управляющих вашим миром
Ян Стюарт
Видео: уравнения, управляющие миром
Пифагорейцы выяснили, почему струны звучат гармонично
(Изображение: Nils Jorgensen / Rex Features)
Звонит будильник. Вы смотрите на часы. Время 6.30 утра. Вы даже не вставали с постели, и уже как минимум шесть математических уравнений повлияли на вашу жизнь.Микросхема памяти, которая хранит время в ваших часах, не могла бы быть создана без ключевого уравнения квантовой механики. Его время было задано радиосигналом, который мы никогда бы не смогли изобрести, если бы не четыре уравнения электромагнетизма Джеймса Клерка Максвелла. А сам сигнал распространяется согласно так называемому волновому уравнению.
Мы плывем в скрытом океане уравнений. Они работают в сфере транспорта, финансовой системы, здравоохранения, предупреждения и выявления преступлений, связи, питания, водоснабжения, отопления и освещения.Зайдя в душ, вы воспользуетесь уравнениями, используемыми для регулирования подачи воды. Сухие завтраки получаются из культур, выращенных с помощью статистических уравнений. Поездка на работу и аэродинамический дизайн вашего автомобиля частично объясняются уравнениями Навье-Стокса, которые описывают, как воздух течет над и вокруг него. Включение спутниковой навигации снова включает в себя квантовую физику, а также законы движения и гравитации Ньютона, которые помогли запустить спутники геолокации и установить их орбиты. Он также использует уравнения генератора случайных чисел для сигналов синхронизации, тригонометрические уравнения для вычисления местоположения, а также специальную и общую теорию относительности для точного отслеживания движения спутников под действием силы тяжести Земли.
«Мы плывем в скрытом океане уравнений. Они работают в сфере транспорта, здравоохранения, связи, питания, водоснабжения, отопления и освещения »
Без уравнений большая часть наших технологий никогда не была бы изобретена. Конечно, такие важные изобретения, как огонь и колесо, произошли без каких-либо математических знаний. Однако без уравнений мы застряли бы в средневековом мире.
Уравнения выходят далеко за рамки технологий. Без них у нас не было бы понимания физики, которая управляет приливами, волнами, разбивающимися о берег, постоянно меняющейся погодой, движением планет, ядерными топками звезд, спиралями галактик – безбрежностью просторов. Вселенная и наше место в ней.
Есть тысячи важных уравнений. Семь, на которых я сосредоточусь здесь – волновое уравнение, четыре уравнения Максвелла, преобразование Фурье и уравнение Шредингера – иллюстрируют, как эмпирические наблюдения привели к уравнениям, которые мы используем как в науке, так и в повседневной жизни.
Графика и двоеточие; См. Семь уравнений
Во-первых, волновое уравнение. Мы живем в мире волн. Наши уши воспринимают волны сжатия в воздухе как звук, а глаза – световые волны.Когда землетрясение поражает город, разрушение вызвано сейсмическими волнами, проходящими через Землю.
Математики и ученые не могли не думать о волнах, но их отправной точкой были искусства & Colon; как скрипичная струна создает звук? Этот вопрос восходит к древнегреческому культу пифагорейцев, которые обнаружили, что если две струны одного типа и натяжения имеют длину в простом соотношении, например, 2 & двоеточие; 1 или 3 & двоеточие; 2, они производят ноты, которые вместе звучат необычайно гармонично.Более сложные соотношения дискордантны и неприятны для слуха. Разобраться в этих наблюдениях начал швейцарский математик Иоганн Бернулли. В 1727 году он смоделировал струну скрипки как большое количество близко расположенных точечных масс, связанных друг с другом пружинами. Он использовал законы Ньютона, чтобы записать уравнения движения системы, и решил их. Из решений он пришел к выводу, что простейшая форма колеблющейся струны – это синусоида. Существуют и другие режимы вибрации – синусоидальные кривые, в которых несколько волн укладывается в длину струны, известные музыкантам как гармоники.
От волн к беспроводной связи
Почти 20 лет спустя Жан Ле Ронд д’Аламбер применил аналогичную процедуру, но сосредоточился на упрощении уравнений движения, а не их решений. В результате получилось элегантное уравнение, описывающее, как форма струны меняется со временем. Это волновое уравнение, и оно гласит, что ускорение любого небольшого сегмента струны пропорционально действующему на него натяжению. Это означает, что волны, частоты которых не находятся в простых соотношениях, производят неприятный жужжащий шум, известный как «биения».Это одна из причин, по которой простые числовые соотношения дают звуки гармонично.
Волновое уравнение может быть изменено для работы с более сложными и беспорядочными явлениями, такими как землетрясения. Сложные версии волнового уравнения позволяют сейсмологам определять, что происходит за сотни миль под нашими ногами. Они могут наносить на карту тектонические плиты Земли, когда одна скользит под другой, вызывая землетрясения и извержения вулканов. Самым большим призом в этой области будет надежный способ прогнозирования землетрясений и извержений вулканов, и многие из исследуемых методов основаны на волновом уравнении.
Но наиболее важный вывод из волнового уравнения был получен при изучении уравнений электромагнетизма Максвелла. В 1820 году большинство людей освещали свои дома свечами и фонарями. Если вы хотели отправить сообщение, вы писали письмо и помещали его в карету, запряженную лошадьми; для срочных сообщений вы пропустили каретку. В течение 100 лет в домах и улицах было электрическое освещение, телеграфия означала, что сообщения могут передаваться через континенты, и люди даже начали разговаривать друг с другом по телефону.Радиосвязь была продемонстрирована в лабораториях, и один предприниматель построил фабрику по продаже «беспроводных телефонов» населению.
Эта социальная и технологическая революция была вызвана открытиями двух ученых. Примерно в 1830 году Майкл Фарадей установил основы физики электромагнетизма. Тридцать лет спустя Джеймс Клерк Максвелл приступил к поискам математической основы для экспериментов и теорий Фарадея.
В то время большинство физиков, занимавшихся электричеством и магнетизмом, искали аналогии с гравитацией, которую они рассматривали как силу, действующую между телами на расстоянии.У Фарадея была другая идея & двоеточие; Чтобы объяснить серию экспериментов, которые он провел с электричеством и магнетизмом, он постулировал, что оба явления представляют собой поля, которые пронизывают пространство, изменяются со временем и могут быть обнаружены силами, которые они создают. Фарадей сформулировал свои теории в терминах геометрических структур, таких как магнитные силовые линии.
Максвелл переформулировал эти идеи по аналогии с математикой потока жидкости. Он рассуждал, что силовые линии аналогичны путям, по которым движутся молекулы жидкости, и что сила электрического или магнитного поля аналогична скорости жидкости.К 1864 году Максвелл написал четыре уравнения для основных взаимодействий между электрическим и магнитным полями. Два говорят нам, что электричество и магнетизм не могут просочиться. Два других говорят нам, что когда область электрического поля вращается в маленьком круге, она создает магнитное поле, а область вращения магнитного поля создает электрическое поле.
Но то, что Максвелл сделал следующим, поразительно. Выполнив несколько простых манипуляций со своими уравнениями, ему удалось вывести волновое уравнение и сделать вывод, что свет должен быть электромагнитной волной.Уже одно это было потрясающей новостью, поскольку никто не мог представить себе такую фундаментальную связь между светом, электричеством и магнетизмом. И было еще кое-что. Свет бывает разных цветов, соответствующих разным длинам волн. Длины волн, которые мы видим, ограничены химическим составом светочувствительных пигментов глаза. Уравнения Максвелла привели к драматическому предсказанию – должны существовать электромагнитные волны всех длин волн. Некоторые из них с гораздо более длинными волнами, чем мы можем видеть, преобразили бы мир & col; радиоволны.
«Уравнения Максвелла привели к драматическому предсказанию, что должны существовать электромагнитные волны всех длин волн. Радиоволны изменили мир »
В 1887 году Генрих Герц экспериментально продемонстрировал радиоволны, но ему не удалось оценить их самое революционное применение. Если бы вы могли передать сигнал на такой волне, вы могли бы поговорить с миром. Никола Тесла, Гульельмо Маркони и другие воплотили мечту в реальность, и все современные средства связи, от радио и телевидения до радаров и микроволновых каналов для мобильных телефонов, последовали за ними.И все это произошло из четырех уравнений и пары коротких вычислений. Уравнения Максвелла не просто изменили мир. Открыли новую.
Не менее важно то, что уравнения Максвелла описывают. Хотя уравнения показали, что свет представляет собой волну, физики вскоре обнаружили, что его поведение иногда противоречит этой точке зрения. Посветите свету на металл, и он создаст электричество – явление, называемое фотоэлектрическим эффектом. Это имело смысл только в том случае, если свет вел себя как частица.Итак, был ли свет волной или частицей? Собственно, и того, и другого. Материя состояла из квантовых волн, и тесно связанный пучок волн действовал как частица.
Живой или мертвый
В 1927 году Эрвин Шредингер написал уравнение для квантовых волн. Он прекрасно вписывался в эксперименты, создавая картину очень странного мира, в котором элементарные частицы, такие как электрон, являются не четко определенными объектами, а облаками вероятности. Вращение электрона похоже на монету, которая может быть наполовину решкой и наполовину решкой, пока не упадет на стол.Вскоре теоретиков беспокоили всевозможные квантовые странности, такие как кошки, которые одновременно живы и мертвые, и параллельные вселенные, в которых Адольф Гитлер выиграл вторую мировую войну.
Квантовая механика не ограничивается такими философскими загадками. Почти все современные гаджеты – компьютеры, мобильные телефоны, игровые приставки, автомобили, холодильники, духовки – содержат микросхемы памяти на основе транзисторов, работа которых основана на квантовой механике полупроводников. Новые применения квантовой механики появляются почти еженедельно.Квантовые точки – крошечные кусочки полупроводника – могут излучать свет любого цвета и используются для получения биологических изображений, где они заменяют традиционные, часто токсичные красители. Инженеры и физики пытаются изобрести квантовый компьютер, который может выполнять множество различных вычислений параллельно, как кошка, которая одновременно жива и мертва.
Лазеры – еще одно приложение квантовой механики. Мы используем их для считывания информации с крошечных ямок или меток на CD, DVD и Blu-ray дисках. Астрономы используют лазеры для измерения расстояния от Земли до Луны.Возможно, даже удастся запустить космические аппараты с Земли за счет мощного лазерного луча.
Последняя глава этой истории основана на уравнении, которое помогает нам разобраться в волнах. Все началось в 1807 году, когда Джозеф Фурье разработал уравнение для теплового потока. Он представил доклад об этом во Французскую академию наук, но он был отклонен. В 1812 году академия стала горячей темой своей ежегодной премии. Фурье представил более длинный, исправленный документ – и выиграл.
Самым интригующим аспектом отмеченной премией статьи Фурье было не уравнение, а то, как он его решил.Типичная проблема состояла в том, чтобы найти, как температура вдоль тонкого стержня изменяется с течением времени, учитывая начальный профиль температуры. Фурье мог бы легко решить это уравнение, если бы температура изменялась как синусоида по длине. Поэтому он представил более сложный профиль как комбинацию синусоидальных кривых с разными длинами волн, решил уравнение для каждой составляющей синусоидальной кривой и сложил эти решения вместе. Фурье утверждал, что этот метод работает для любого профиля, даже если температура внезапно подскакивает.Все, что вам нужно было сделать, это сложить бесконечное количество вкладов синусоидальных кривых со все большим и большим количеством колебаний.
Тем не менее, новую статью Фурье раскритиковали за недостаточную строгость, и французская академия снова отказалась ее опубликовать. В 1822 году Фурье проигнорировал возражения и опубликовал свою теорию в виде книги. Два года спустя его назначили секретарем академии, он проигнорировал своих критиков и опубликовал свою оригинальную статью в журнале академии. Однако критики были правы.Математики начали понимать, что бесконечные серии – опасные твари; они не всегда вели себя как хорошие конечные суммы. Решение этих проблем оказалось явно трудным, но окончательный вердикт заключался в том, что идею Фурье можно сделать строгой, исключив крайне неправильные профили. Результатом является преобразование Фурье, уравнение, которое обрабатывает изменяющийся во времени сигнал как сумму ряда составляющих синусоидальных кривых и вычисляет их амплитуды и частоты.
Сегодня преобразование Фурье влияет на нашу жизнь множеством способов.Например, мы можем использовать его для анализа вибрационного сигнала, производимого землетрясением, и для расчета частот, на которых энергия, передаваемая сотрясениями земли, является наибольшей. Разумный шаг к сейсмостойкости здания – убедиться, что предпочтительные частоты здания отличаются от частот землетрясения.
«Сегодня преобразование Фурье влияет на нашу жизнь множеством способов, от поиска структур в ДНК до сжатия цифровых фотографий»
Другие приложения включают удаление шума из старых звукозаписей, определение структуры ДНК с помощью рентгеновских изображений, улучшение радиоприема и предотвращение нежелательных вибраций в автомобилях.Плюс есть один, которым большинство из нас невольно пользуется каждый раз, когда мы делаем цифровую фотографию.
Если вы определите, сколько информации требуется для представления цвета и яркости каждого пикселя в цифровом изображении, вы обнаружите, что цифровая камера, кажется, втискивает на карту памяти примерно в 10 раз больше данных, чем карта может вместить. . Камеры делают это с помощью сжатия данных JPEG, которое объединяет пять различных этапов сжатия. Один из них – это цифровая версия преобразования Фурье, которая работает с сигналом, который изменяется не во времени, а по всему изображению.Математика практически идентична. Остальные четыре шага уменьшают данные еще больше, примерно до одной десятой первоначальной суммы.
Это всего лишь семь из множества уравнений, с которыми мы сталкиваемся каждый день, даже не осознавая их наличия. Но влияние уравнений на историю идет гораздо дальше. Поистине революционное уравнение может иметь большее влияние на человеческое существование, чем все короли и королевы, чьи махинации заполняют наши учебники истории.
Существует (или может быть) одно уравнение, прежде всего, которое физики и космологи очень хотели бы получить в свои руки & Colon; теория всего, что объединяет квантовую механику и относительность.Самым известным из многих кандидатов является теория суперструн. Но насколько нам известно, наши уравнения для физического мира могут быть просто упрощенными моделями, которые не могут уловить глубинную структуру реальности. Даже если природа подчиняется универсальным законам, их нельзя выразить уравнениями.
Некоторые ученые считают, что пора полностью отказаться от традиционных уравнений в пользу алгоритмов – более общих рецептов для вычислений, требующих принятия решений. Но до тех пор, пока этот день не наступит, если когда-нибудь когда-нибудь, наши величайшие познания в законах природы будут по-прежнему принимать форму уравнений, и мы должны научиться понимать их и ценить их.Уравнения имеют послужной список. Они действительно изменили мир, и они изменят его снова.
Происхождение уравнений
Древние вавилоняне и греки знали об уравнениях, хотя при написании их использовали слова и картинки. В течение последних 500 лет математики и ученые использовали символы, важнейшим из которых был знак равенства. Как ни странно, мы знаем, кто это придумал и почему. Это был Роберт Рекорд, который в 1557 году написал в своем трактате Точильный камень Витте & colon; «Чтобы избежать утомительного повторения этих хлопот и двоеточия; равно & двоеточие; Я буду располагать, как я часто делаю это в работе, пару параллелей или гемовидные линии одной длины & двоеточие; bicause noe.2. Тинжес, может быть равным ».
Теоремы и теории
Некоторые уравнения представляют собой логические отношения между математическими величинами, и задача математиков – доказать, что они верны. Другие предоставляют информацию о неизвестном количестве; здесь задача состоит в том, чтобы решить уравнение и сделать неизвестное известным. Уравнения в чистой математике обычно относятся к первому виду & двоеточие; они раскрывают закономерности и закономерности в самой математике. Теорема Пифагора, уравнение, выраженное на языке геометрии, является примером.Учитывая основные геометрические предположения Евклида, теорема Пифагора верна.
Уравнения в прикладной математике и математической физике обычно относятся ко второму виду. Они выражают свойства Вселенной, которые в принципе могли бы быть другими. Например, закон всемирного тяготения Ньютона говорит нам, как рассчитать силу притяжения между двумя телами. Решение полученных уравнений говорит нам, как планеты вращаются вокруг Солнца или как построить траекторию для космического зонда. Но закон Ньютона – это не математическая теорема; закон всемирного тяготения мог быть другим.В самом деле, это другое & двоеточие; Общая теория относительности Эйнштейна улучшает Ньютона. И даже эта теория может быть не последним словом.
Наш выбор уравнений Максвелла
В этой истории и в своей последней книге 17 уравнений, изменивших мир Ян Стюарт использует уравнение Максвелла для электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме. В сопроводительном видео мы используем более длинную версию уравнения, которая не зависит от волн, движущихся в вакууме.
Подробнее по этим темам:
Значения физических уравнений и физическое образование
[1]
E.F. Redish, E. Kuo, Sci. Educ. 24 , 561 (2015).
Артикул Google Scholar
[2]
Б. Л. Шерин, Познание и обучение 19 , 479 (2001).
Артикул Google Scholar
[3]
Э. Ким и С. Дж. Пак, Американский журнал физики 70 , 759 (2002).
ADS Статья Google Scholar
[4]
O.Uhden, R. Karam, M. Pietrocola и G. Pospiech, Sci. Educ. 21 , 489 (2012).
Артикул Google Scholar
[5]
Ф. Дж. Резерфорд, Дж. Холтон и Ф. Г. Уотсон, Project Physics (Holt, Rinehart and Winston, New York, 1981).
Google Scholar
[6]
П. Г. Хьюитт, Учитель физики 49 , 264 (2011).
ADS Статья Google Scholar
[7]
Т.Х. Кьельдсен и Й. Лютцен, Наука и образование 24 , 543 (2015).
ADS Статья Google Scholar
[8]
Р. Дугас, История механики (Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1988), с. 33.
Google Scholar
[9]
Ю. С. Ким и К. С. Им, Введение в научную историю (Дасан, Сеул, 2011), с. 58.
Google Scholar
[10]
Р.С. Вестфолл, Создание современной науки (Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1971), стр. 152.
Google Scholar
[11]
Дж. Лоси, Историческое введение в философию науки (Oxford University Press, Нью-Йорк, 2001).
MATH Google Scholar
[12]
Дж.Т. Кушинг, Философские концепции в физике (Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1998).
Книга МАТЕМАТИКА Google Scholar
[13]
Д. З. Альберт, Квантовая механика и опыт (Harvard University Press, 2009).
Google Scholar
[14]
Дж. Уокер, Холлидей и Резник. Основы физики (John Wiley & Sons, Inc., Джефферсон-Сити, 2011), стр. 91.
Google Scholar
[15]
Р. А. Сервей и К. Вуйль, College Physics (Brooks / Cole, Boston, 2012), стр. 539.
Google Scholar
[16]
M. T. Chi, J. D. Slotta и N. De Leeuw, Learning and Instruction 4 , 27 (1994).
Артикул Google Scholar
[17]
Дж.Д. Слотта, М. Т. Чи и Э. Джорам, Познание и обучение 13 , 373 (1995).
Артикул Google Scholar
[18]
М. Райнер, Дж. Д. Слотта, М. Т. Чи и Л. Б. Резник, Познание и обучение 18 , 1 (2000).
Артикул Google Scholar
[19]
M. T. Chi, Три типа концептуальных изменений: пересмотр убеждений, трансформация ментальной модели и категориальный сдвиг.В S. Vosniadou (Ed.), S. Vosniadou, Международный справочник по исследованиям концептуальных изменений (Hillsdale, NJ: Erlbaum, 2008), p. 61.
Google Scholar
[20]
А. Гупта, Д. Хаммер и Э. Ф. Редиш, Журнал обучающих наук 19 , 285 (2010).
Артикул Google Scholar
[21]
А. Гупта, А. Элби и Л. Д. Конлин, Physical Review Special Topics – Physics Education Research 10 , 010113 (2014).
ADS Статья Google Scholar
[22]
Y. W. Cheong, Sci & Educ. 25 , 611 (2016).
ADS Статья Google Scholar
[23]
Д. Т. Брукс и Э. Эткина, Physical Review, специальные темы – исследования в области физики в образовании 5 , 010110 (2009).
ADS Статья Google Scholar
[24]
Дж.У. Джуэтт-младший, Учитель физики 46 , 210 (2008).
ADS Статья Google Scholar
[25]
И. А. Халлун, Теория моделирования в научном образовании (Springer, Dordrecht, Нидерланды, 2006), с. 51.
Google Scholar
[26]
Эткина Э., Уоррен А. и Джентиле М., Учитель физики 44 , 35 (2006).
ADS Статья Google Scholar
[27]
А.B. Arons, Преподавание вводной физики (Wiley, New York, 1997), часть III.
Google Scholar
[28]
Ким М., Я. Чеонг и Дж. Сонг, Новая физика: Сэ Мулли 66 , 50 (2016).
Google Scholar
[29]
Н. Г. Ледерман, Ф. Абд-Эль-Халик, Р. Л. Белл и Р. С. Шварц, Журнал исследований в области преподавания естественных наук 39 , 497 (2002).
ADS Статья Google Scholar
[30]
У. Ф. МакКомас, М. П. Клаф, Х. Алмазроа, Роль и характер природы науки. в “Природа науки в обоснованиях и стратегиях естественнонаучного образования” (Springer, Dordrecht, 2002), с. 3.
Книга Google Scholar
[31]
W. F. G. Swann, Am. J. Phys. 19 , 182 (1951).
ADS Статья Google Scholar
[32]
С. Б. Спургин, Физическое образование 19 , 114 (1984).
ADS Статья Google Scholar
[33]
К. Куглер, Американский учитель биологии 64 , 341 (2002).
Артикул Google Scholar
[34]
Ю. В. Чеонг, Журнал Корейской ассоциации научного образования 34 , 459 (2014).
Артикул Google Scholar
[35]
Н. Р. Кэмпбелл, Физика: элементы (Cambridge University Press, Кембридж, 1920), стр. 113.
Google Scholar
[36]
С. Тулмин, Философия науки (Хатчинсон, Лондон, 1953).
MATH Google Scholar
[37]
Р.Н. Гьер, Философия науки 71 , 742 (2004).
Артикул Google Scholar
[38]
S. Vosniadou, Международный справочник исследований концептуальных изменений (Routledge, Лондон, 2009).
Книга Google Scholar
[39]
Г. Дж. Познер, К. А. Страйк, П. В. Хьюсон и В. А. Герцог, Научное образование 66 , 211 (1982).
ADS Статья Google Scholar
[40]
H.Пуанкаре, Наука и гипотеза (Издательство Уолтера Скотта, CO., LTD, Нью-Йорк, 1905).
MATH Google Scholar
[41]
М. Ким, Ю. Чеонг и Дж. Сонг, Новая физика: Сае Мулли 66 , 61 (2016).
Google Scholar

Практическое руководство для развития математической интуиции в физических и технических науках: Бернштейн: 9780470186206: Amazon.com: Книги

С внутренней стороны откидной створки

Доступное руководство по развитию интуиции и навыков решения математических задач в физических и технических науках.

Уравнения играют центральную роль в решении проблем в различных областях обучения. Понимание того, что означает уравнение, является важным шагом к формированию эффективной стратегии его решения, а также закладывает основу для более успешного и полноценного опыта работы. Размышляя об уравнениях предоставляет доступное руководство для развития интуитивного понимания математических методов и, в то же время, представляет ряд практических математических инструментов для успешного решения проблем, возникающих в инженерии и физических науках.

Уравнения составляют основу почти всех численных решений, и авторы иллюстрируют, как твердое понимание решения проблем может привести к улучшенным стратегиям вычислительных подходов. Восемь кратких глав обеспечивают полное тематическое освещение, в том числе:

Аппроксимация и оценка
Выделение важных переменных
Обобщение и особые случаи
Анализ размеров и масштабирование
Графические решения
Графические решения
Симметрия для упрощения уравнений

Каждая глава содержит общее обсуждение, объединенное с решенными задачами из различных областей исследования, включая физику, инженерию, прикладную математику и физическую химию.Эти примеры иллюстрируют математические концепции и методы, которые часто встречаются при решении задач. Чтобы ускорить обучение, проработанные примеры задач сгруппированы по концепциям, связанным с уравнениями, которые они иллюстрируют, в отличие от подполей в естественных науках и математике, как при традиционных методах лечения. Кроме того, каждая проблема сопровождается исчерпывающим решением, объяснением и комментарием, а многочисленные упражнения в конце каждой главы дают возможность проверить понимание.

Требуется только рабочее знание основ исчисления и вводной физики, Thinking About Equations является отличным дополнением к курсам инженерии и физических наук на уровне бакалавриата и магистратуры. Это также ценный справочник для исследователей, практиков и преподавателей во всех областях инженерии, физики, химии, биофизики и других смежных областях, которые сталкиваются с математическими проблемами в своей повседневной работе.

С задней обложки

Уравнения играют центральную роль в решении проблем в различных областях обучения.Понимание того, что означает уравнение, является важным шагом к формированию эффективной стратегии его решения, а также закладывает основу для более успешного и полноценного опыта работы. Размышляя об уравнениях предоставляет доступное руководство для развития интуитивного понимания математических методов и, в то же время, представляет ряд практических математических инструментов для успешного решения проблем, возникающих в инженерии и физических науках.

Уравнения составляют основу почти всех численных решений, и авторы иллюстрируют, как твердое понимание решения проблем может привести к улучшенным стратегиям вычислительных подходов.Восемь кратких глав обеспечивают полное тематическое освещение, в том числе:

Аппроксимация и оценка
Выделение важных переменных
Обобщение и особые случаи
Анализ размеров и масштабирование
Графические решения
Графические решения
Симметрия для упрощения уравнений

Об авторе

Мэтт А.Бернштейн, доктор философии , является профессором радиологической физики в клинике Мэйо, где он работает в отделениях радиологии и биомедицинской инженерии. Член Международного общества магнитного резонанса в медицине (ISMRM) и член редакционного совета Магнитный резонанс в медицине , доктор Бернштейн опубликовал более семидесяти журнальных статей, в основном в области физики МРТ.
Уильям А. Фридман, доктор философии , заслуженный профессор Университета Висконсина и аффилированный профессор Вашингтонского университета.Член Американского физического общества, доктор Фридман имеет более сорока лет академического опыта и является автором более ста журнальных статей в области ядерной физики.

Десять важнейших уравнений физики

Эти уравнения были введены в простом виде, но впоследствии они имели огромные последствия и нашли применение в науке, обществе и технологиях. Давайте взглянем на десять самых влиятельных формул в физике (в произвольном порядке), которые изменили ход истории.

Важно понимать, что самое известное уравнение Эйнштейна не является его основной работой. Формула так хорошо известна из-за ее связи с атомной бомбой. Сам Эйнштейн сказал: «Если бы я предвидел Хиросиму и Нагасаки, я бы разорвал свою формулу в 1905 году», несмотря на то, что он играл незначительную роль в Манхэттенском проекте.

Принцип неопределенности

Принцип неопределенности, сформулированный Вернером Гейзенбергом в 1927 году, является одним из краеугольных камней квантовой механики.Уравнение в одиночку положило конец классическому детерминизму, означая, что в царстве бесконечно малых атомов случай имеет свою игру, а драма существования не является абсолютно предопределенной по своему характеру.
В наиболее знакомой форме он говорит, что чем точнее измерение положения, тем неточнее измерение импульса, и наоборот. Таким образом, невозможно узнать с полной точностью оба этих двух важных фактора, которые определяют движение одной из мельчайших частиц, ее положение и скорость в один и тот же момент.
Принцип неопределенности был немедленно отвергнут ведущими физиками того времени, в том числе Альбертом Эйнштейном. Там Нильс Бор изо всех сил старался убедить Эйнштейна в том, что соотношение неопределенностей является фундаментальным законом физики. Эйнштейн все же отказался, и они согласились не согласиться. К 1933 году политическая ситуация в Германии значительно ухудшилась, и Эйнштейн переехал в США.
В 1954 году Гейзенберг посетил дом Эйнштейна в Принстоне. Они говорили только о физике, но принципиальная позиция Эйнштейна не изменилась.В 1955 году Эйнштейн скончался, оставив Вернера Гейзенберга разочарованным из-за того, что ему не удалось заручиться поддержкой Эйнштейна его соотношения неопределенностей.

Хотя Эйнштейн и другие возражали против взглядов Гейзенберга и Бора, даже Эйнштейн должен был признать, что они действительно являются логическим следствием квантовой механики. Но для Эйнштейна чего-то все еще не хватало, и квантовая механика была неполной. «Я убежден, что бог не бросает кости», – образно утверждал он.
Гейзенберг, поддержанный Бором, Паули, Шредингером и другими, до своей смерти утверждал, что квантовая неопределенность – это не погрешность измерения, она присуща квантовым явлениям.Это приводит к вероятностным, а не детерминированным результатам.
Уравнение Максвелла-Фарадея
В 1831 году, как обычно рассказывают, премьер-министру или другому высокопоставленному политику Фарадей продемонстрировал электромагнитную индукцию. Когда его спросили: «Что в этом хорошего?» Фарадей ответил: «Что хорошего в новорожденном ребенке?» Прошло пятьдесят лет, прежде чем электроэнергия действительно стала популярной, как это предполагал Фарадей.
И в генераторах, и в двигателях используется закон Фарадея. Уравнение Максвелла стало основой для выработки электроэнергии, что сделало Фарадея отцом электричества.Максвелл сказал о Фарадея: «Он был и всегда должен оставаться отцом этой расширенной науки электромагнетизма».
Уравнение Дирака

Симметрия – ключевое слово физики, и Дирак прекрасно использовал ее в 1928 году. Он разработал уравнение, объясняющее число спинов как следствие объединения квантовой механики и специальной теории относительности. Уравнение также предсказывало существование антивещества, о котором раньше не подозревали и не наблюдали, и которое было экспериментально обнаружено в 1932 году.
Это достижение было описано наравне с работами Ньютона, Максвелла и Эйнштейна до него.Дирак даже предположил, что может существовать и зеркальная вселенная античастиц, что стало источником вдохновения для писателей-фантастов. Дирак также был известен своим вкладом в квантовую электродинамику, в котором описывалось, как электрические и магнитные силы будут работать в масштабах меньших, чем атомы.
Закон энтропии

Известное неравенство, которое гласит, что когда энергия переходит из одной формы в другую или когда материя движется свободно, беспорядок в замкнутой системе увеличивается.По словам известного астронома Артура Эддингтона, «закон, согласно которому энтропия всегда увеличивается, занимает, я думаю, высшую позицию среди законов природы».
Концепция второго закона термодинамики применима не только к двигателям внутреннего сгорания, используемым в наших автомобилях, мотоциклах, кораблях и самолетах, но и для объяснения процессов жизни, если рассматривать их с точки зрения циклических процессов.
Второй закон также имеет серьезные последствия для Вселенной в больших масштабах. Представьте, что вам показывают видеоклип, в котором чашка падает и разбивается.По потоку энтропии вы точно сможете определить, воспроизводится ли видео вперед или назад.
Точно так же, если фильм о нашей вселенной воспроизводится в обратном направлении, вселенная будет становиться все более и более упорядоченной, как чашка, а при воспроизведении вперед мы ожидаем, что она будет беспорядочной, как осколки разбитой чашки.
Уравнения поля Эйнштейна

Уравнения Эйнштейна привели к слиянию трех измерений пространства и одного измерения времени в единое четырехмерное пространство-время.Выражение в левой части уравнения представляет кривизну пространства-времени. Выражение справа – это плотность энергии пространства-времени. Уравнение определяет, как энергия определяет кривизну пространства и времени.
Космологический постоянный член (Λ) был введен Эйнштейном, чтобы учесть, что Вселенная не расширяется и не сжимается. Эта попытка не увенчалась успехом, потому что в 1929 году астроном Эдвин Хаббл обнаружил доказательства расширения Вселенной. Хаббл пригласил Эйнштейна лично убедиться, что Вселенная действительно меняется.

В результате Эйнштейн отказался от космологической постоянной в уравнении, назвав это самой большой ошибкой, которую он когда-либо делал. Таким образом, с 1930-х до конца 1990-х годов большинство физиков полагали космологическую постоянную равной нулю. Но недавно усовершенствованные астрономические методы обнаружили, что расширение Вселенной ускоряется, что подразумевает ненулевое значение постоянной.

Почему уравнения поля Эйнштейна важны в физике? Во-первых, потому, что они объединяют две концепции пространства и времени, которые ранее считались отдельными из-за ограничений нашей интуиции, в одно пространство-время.Точно так же, как Максвелл объединил электричество и магнетизм в электромагнетизм в 19 веке.
Во-вторых, они описывают не силу, а фундаментальное «взаимодействие» гравитации в результате искривления пространства-времени под действием энергии (масса также является энергией из эквивалентности энергии и массы Эйнштейна).
Хотя Ньютон действительно дал формулу для вычисления величины гравитационной силы между любыми двумя массами, разделенными расстоянием, он не совсем объяснил причину гравитации в первую очередь.
Волновое уравнение

Одномерное волновое уравнение имеет скалярную функцию (u) одной пространственной переменной и одной временной переменной, поскольку волны распространяются в пространстве, а также во времени. Это уравнение было впервые написано французским математиком Жаном ле Рондом Даламбером, поэтому его иногда также называют уравнением Даламбера. Швейцарский математик и физик Леонард Эйлер написал ее в трех измерениях в 1707 году.
Мы постоянно окружены волнами, независимо от того, заметны они нам или нет, они всегда там.Например, когда вы играете на гитаре или бросаете камень в пруд. Волновое уравнение не так элегантно, как другие в этом списке, но оно является новаторским, поскольку оно применяется к звуковым волнам (и инструментам), волнам в жидкостях, волнам при землетрясениях, световых волнах, квантовой механике и общей теории относительности.
Уравнение Планка

Эта формула положила начало квантовой механике, а также телевидению и солнечным элементам. Ведущий немецкий физик того времени Макс Планк в 1900 г. постулировал, что энергия квантована и может излучаться или поглощаться только в целых кратных величинах небольшой единицы, которую он назвал «квантом энергии».
Эйнштейн расширил идею Планка в 1905 году, когда он ввел понятие «квант света», частица света или фотон. Таким образом, по предположению Эйнштейна, электромагнитное излучение не было непрерывным, как волна, а было изолировано в пакетах света.
Планк просто ввел уравнение как уловку для решения проблемы с излучением черного тела, но Эйнштейн предполагал, что это будет нечто большее. В 1887 году экспериментатор Генрих Герц впервые наткнулся на фотоэлектрический эффект; испускание электронов при попадании света определенной частоты на материал.

Явление фотоэлектрического эффекта оставалось в значительной степени необъяснимым, даже с помощью волновой теории света, до появления соотношения Планка-Эйнштейна в 1905 году. Эйнштейн описал его в терминах взаимодействия частица-частица между фотоном и электроном. Он сказал: «… ниже некоторой критической частоты ни один фотон не обладает достаточной энергией, чтобы выбить электрон».
Это означает, что если светочувствительный материал требует, чтобы фотоны синего света испускали электроны, что является характеристикой материала, то фотоны зеленого или желтого света не смогут выбить электроны из материала.

Характеристическая энергия или работа выхода материала поглощается, чтобы ослабить связи, а затем остаток энергии наблюдается как кинетическая энергия свободного электрона. Разъяснение Эйнштейна соответствовало закону сохранения энергии. Он был удостоен Нобелевской премии по физике за объяснение фотоэлектрического эффекта (а не за соотношение энергии и массы или теорию относительности).
Планк сказал, что его введение «кванта» в 1900 году было актом отчаяния, но когда Эйнштейн принял его и придал ему смысл, начались совершенно новые дебаты, и старые законы были отменены в течение примерно десяти лет.Эйнштейн, который сам несет ответственность за это, отказался одобрить новую квантовую революцию.
Открытие Планка и Эйнштейна стало основой всей физики двадцатого века, без которой было бы невозможно создать работоспособную теорию молекул и атомов и энергетических процессов, управляющих их превращениями.
Уравнение Шредингера
В своей докторской диссертации 1924 года французский физик Луи де Бройль предположил, что так же, как свет имеет как волновые, так и частичные свойства, электроны также должны обладать волнообразными свойствами, чтобы поддерживать симметрию энергии и вещества.Два года спустя, в 1926 году, австрийский ученый Эрвин Шредингер опубликовал уравнение, описывающее, как материальная волна должна развиваться в пространстве и во времени.

Точно так же, как уравнения Ньютона используются для расчета поведения футбольного мяча при ударе ногами, вы используете уравнение Шредингера для расчета поведения электрона на орбите атома. В более общем плане он используется для многих вычислений в квантовой механике, а также является фундаментальным для большей части современных технологий, от лазеров до транзисторов, а также для будущего развития квантовых компьютеров.
Уравнения математической физики в частных производных и интегральные уравнения
Эта книга была написана, чтобы помочь студентам-математикам и физикам освоить современные математические методы постановки и анализа задач. Используемая математика является строгой, но не подавляющей, в то время как авторы тщательно моделируют физические ситуации, уделяя особое внимание обратной связи между начальной моделью, физическими экспериментами, математическими предсказаниями и последующим уточнением и переоценкой самой физической модели.
Глава 1 начинается с обсуждения различных физических проблем и уравнений, которые играют центральную роль в приложениях. В следующих главах рассматривается теория уравнений в частных производных, включая подробное обсуждение вопросов уникальности, существования и непрерывной зависимости, а также методы построения выводов. В частности, в главах 2–6 рассматриваются проблемы в одном пространственном измерении. Глава 7 представляет собой подробное введение в теорию интегральных уравнений; затем в главах с 8 по 12 проблемы рассматриваются в более пространственных переменных.Каждая глава начинается с обсуждения проблем, которые можно решить элементарными средствами, такими как разделение переменных или интегральные преобразования, и которые приводят к явному аналитическому представлению решений.
Минимальные математические предпосылки для хорошего усвоения материала этой книги – это продвинутый курс исчисления или продвинутый курс естествознания или инженерии, а также базовое знакомство с матричными методами. Студенты математики, физики, инженерии и других дисциплин найдут здесь отличное руководство по методам решения математических задач с широким спектром приложений.Для этого издания авторы предоставили новый раздел «Решения и подсказки для избранных проблем». Предложения для дальнейшего чтения дополняют текст.
Переиздание Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Нью-Джерси, издание 1988 года.
W.Ли
Наличие Нет на складе
ISBN 10 0486688895
ISBN 13 9780486688893
Формат Книга
Количество страниц 576
Размеры 6,14 x 9,21
принципы физической науки | Британника
Полная статья
принципы физической науки , процедуры и концепции, используемые теми, кто изучает неорганический мир.
Физическая наука, как и все естественные науки, занимается описанием и соотнесением друг с другом тех переживаний окружающего мира, которые разделяют разные наблюдатели и описание которых может быть согласовано.Одна из ее основных областей, физика, имеет дело с наиболее общими свойствами материи, такими как поведение тел под действием сил, и с происхождением этих сил. При обсуждении этого вопроса масса и форма тела – единственные свойства, которые играют значительную роль, а его состав часто не имеет значения. Однако физика не сосредотачивается исключительно на грубом механическом поведении тел, но разделяет с химией цель понимания того, как расположение отдельных атомов в молекулы и более крупные сборки придает определенные свойства.Более того, сам атом может быть проанализирован на его более основные составляющие и их взаимодействия.
В настоящее время физики считают, что эти фундаментальные частицы и силы, количественно обработанные методами квантовой механики, могут детально раскрыть поведение всех материальных объектов. Это не означает, что все можно вывести математически из небольшого числа фундаментальных принципов, поскольку сложность реальных вещей побеждает мощь математики или самых больших компьютеров.Тем не менее, всякий раз, когда оказывалось возможным вычислить взаимосвязь между наблюдаемым свойством тела и его более глубокой структурой, никогда не появлялось никаких доказательств того, что более сложные объекты, даже живые организмы, требуют применения особых новых принципов, т.е. по крайней мере, пока речь идет только о материи, а не о разуме. Таким образом, ученый-физик должен играть две совершенно разные роли: с одной стороны, он должен выявить самые основные составляющие и законы, которые ими управляют; и, с другой стороны, он должен открыть методы для прояснения специфических особенностей, которые возникают из-за сложности структуры, не прибегая каждый раз к основам.
Этот современный взгляд на единую науку, охватывающий фундаментальные частицы, повседневные явления и необъятность Космоса, представляет собой синтез изначально независимых дисциплин, многие из которых выросли из полезных искусств. Добыча и очистка металлов, оккультные манипуляции алхимиков и астрологические интересы священников и политиков – все это сыграло свою роль в инициировании систематических исследований, которые расширялись до тех пор, пока их взаимоотношения не стали ясными, дав начало тому, что обычно признается современным физическим миром. наука.
Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас
Для обзора основных областей физической науки и их развития, см. статьи по физике и наукам о Земле.
Развитие количественной науки
Современная физическая наука обычно занимается числами – измерением величин и открытием точной взаимосвязи между различными измерениями. Тем не менее, эта деятельность была бы не более чем составлением каталога фактов, если бы лежащее в основе признание единообразия и корреляции не позволяло исследователю выбирать, что измерять, из бесконечного диапазона доступных вариантов.Пословицы, претендующие на предсказание погоды, являются пережитком предыстории науки и представляют собой свидетельство общей веры в то, что погода в определенной степени зависит от правил поведения. Современное научное прогнозирование погоды пытается уточнить эти правила и связать их с более фундаментальными физическими законами, чтобы измерения температуры, давления и скорости ветра на большом количестве станций можно было собрать в детальную модель атмосферы, дальнейшее развитие которой можно предсказать. – ни в коем случае не идеально, но почти всегда надежнее, чем это было возможно раньше.
Между пресловутыми преданиями о погоде и научной метеорологией лежит множество наблюдений, которые были классифицированы и грубо систематизированы в естественную историю объекта – например, преобладающие ветры в определенные сезоны, более или менее предсказуемые теплые периоды, такие как бабье лето, и корреляция между гималайскими снегопадами и интенсивностью муссонов. В каждой области науки этот предварительный поиск закономерностей является почти важным фоном для серьезной количественной работы, и в дальнейшем будет считаться само собой разумеющимся, что она была проведена.
По сравнению с капризами погоды, движения звезд и планет демонстрируют почти идеальную регулярность, и поэтому изучение неба очень рано стало количественным, о чем свидетельствуют самые старые записи из Китая и Вавилона. Объективная регистрация и анализ этих движений без астрологических интерпретаций, которые могли их мотивировать, представляют собой начало научной астрономии. Гелиоцентрическая модель планет ( c. 1510) польского астронома Николая Коперника, которая заменила геоцентрическую модель Птолемея, и точное описание эллиптических орбит планет (1609) немецким астрономом Иоганном Кеплером, основанное на вдохновленных интерпретацию многовековых терпеливых наблюдений, кульминацией которых стали работы Тихо Браге из Дании, можно справедливо рассматривать как первые великие достижения современной количественной науки.
Можно провести различие между наукой о наблюдениях, такой как астрономия, где изучаемые явления полностью находятся вне контроля наблюдателя, и экспериментальной наукой, такой как механика или оптика, где исследователь устанавливает устройство по своему вкусу. В руках Исаака Ньютона не только изучение цветов было поставлено на строгую основу, но и была установлена прочная связь между экспериментальной наукой механики и наблюдательной астрономией благодаря его закону всемирного тяготения и его объяснению законов Кеплера о планетах. движение.Однако прежде чем перейти к этому, следует обратить внимание на механические исследования Галилео Галилея, важнейшего из отцов-основателей современной физики, поскольку центральная процедура его работы заключалась в применении математической дедукции к результатам измерение.
Физические уравнения
Эти – это все уравнений, которые вам нужно было вспомнить для экзаменов по физике… на каждом этапе предполагалось, что вы запомнили те, что были из предыдущего стадии … так что стоило их как следует перенести на свой умственный ‘тяжёлый привод’!
Экзаменационные комиссии по английскому языку теперь ВЫДАЮТ вам уравнения, чтобы вы больше не получали оценок за их повторение. Однако я бы сказал, что на самом деле , зная их , облегчает вам объяснение физических принципов.
Например, если вы ЗНАЕТЕ, что F = ma, то, отвечая на вопрос «Что включает в себя действие действующей силы?», Вы знаете, что результирующая сила заставит тело ускоряться.
Обладая математическим складом ума, я считаю, что изучение уравнений – это сокращенный способ изучения физики!
Марка убедитесь, что вы знаете правильные единицы ………. все единицы, которые будут использоваться в уравнениях, должны быть в их базовой форме (без префиксов) – ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ массы – то есть кг!
Воспоминание будьте осторожны, когда пишете буквы уравнения … это символы НЕ является частью вашего почерка!
Особый уход с I для текущего его нельзя спутать с л. для длина или 1 (цифра один)!
Уравнение прописью символический представительство Год
Ключ Этап
скорость = пройденное расстояние
раз затрачено
v = д / т Y7 КС3
ускорение = изменение скорости
затраченное время
а = Дв / т Y8 КС3
плотность = масса
объем
руб. = м / В Y7 КС3
сила = масса x ускорение F = ma Y9 КС3
работа done = сила x расстояние, перемещенное в направлении этой силы Вт = Fs Y9 КС3
импульс = масса x скорость с = mv Y12 КАК
мощность = переданная энергия
затрачено времени
P = E / т Y8 КС3
мощность = работ выполнено
затрачено времени
P = Вт / т Y9 КС3
вес = масса x гравитационное поле
напряженность Вт = мг Y7 КС3
кинетическая энергия = половина x масса x (квадрат скорости) E _К = ¹/₂ мв ² Y12 КС4
изменить в гравитационной потенциальной энергии = масса x гравитационное поле сила x разница в росте DGPE = мгДч Y9 КС3
давление = приложенное усилие
площадь контакта P = F
A Y7 КС3
Газ Закон: давление x объем газа = количество моль x моляр. газовая постоянная x абсолютная температура пВ = nRT Y12 КАК
Газ Закон: комбинация закона Бойля и закона Чарльза P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂
T ₁ T ₂ _{NB Температура ДОЛЖНА быть в Кельвинах} Y11 КС4
заряд = текущее x время DQ = I Dt Y10 КС4
Ом Закон: Разность потенциалов = ток x сопротивление В = I R Y8 КС3
Ом Закон, применимый к полной цепи : Электродвижущая сила = ток x (сумма сопротивления цепи и внутреннего сопротивления ячейка) ЭДС = л ( р + r) Y12 КАК
мощность = ток x разность потенциалов P = I В Y8 КС3
энергия переданный в компоненте = заряд, проходящий через него x потенциал разница acorss it Вт = QV Y10 КС4
сопротивление = удельное сопротивление x длина
площадь поперечного сечения R = r l
A Y12 КАК
скорость волны = частота x длина волны v = fl
для электромагнитного излучение v = c дает:
c = fl Y8 КС3
центростремительный сила = масса x скорость ²
радиус пути Ф _С = мв ²
r Y13 A2
Электрооборудование энергия превращается в тепло = разность потенциалов x ток x время E = V I т Y9 КС3
Обратный квадратный закон для силы, действующей на массу в гравитационном поле другая масса: сила пропорциональна произведению масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между их F _G = – G м ₁ м ₂
r ²
NB в знак минус означает, что это ВСЕГДА привлекательно
Y13 A2
Обратный квадратный закон для силы, действующей на заряд в электрическом поле другого заряд: Сила пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними F _E = 1 Q ₁ Q ₂
4pe0 r ²
NB в общий знак, указывающий, является ли он привлекательным (отрицательный) или отталкивающий (положительный) исходит от знаков зарядов.
Также, хотя постоянная пропорциональности сложна, она аналогична соотношению выше.
Y13 A2
емкость = накопленный заряд
разность потенциалов С = Q
V Y13 A2
соотношение напряжений на катушках трансформатора = отношение витков на катушках В 1 = N 1
V 2 N 2
NB 1 может быть P для первичного и 2 может быть s для вторичного – не имеет значения который есть который! Y11 КС4
LOJ Ноябрь 2000 г.

Наличие	Нет на складе
ISBN 10	0486688895
ISBN 13	9780486688893
Формат	Книга
Количество страниц	576
Размеры	6,14 x 9,21

Уравнение прописью	символический представительство	Год	Ключ Этап
скорость = пройденное расстояние раз затрачено	v = д / т	Y7	КС3
ускорение = изменение скорости затраченное время	а = Дв / т	Y8	КС3
плотность = масса объем	руб. = м / В	Y7	КС3
сила = масса x ускорение	F = ma	Y9	КС3
работа done = сила x расстояние, перемещенное в направлении этой силы	Вт = Fs	Y9	КС3
импульс = масса x скорость	с = mv	Y12	КАК
мощность = переданная энергия затрачено времени	P = E / т	Y8	КС3
мощность = работ выполнено затрачено времени	P = Вт / т	Y9	КС3
вес = масса x гравитационное поле напряженность	Вт = мг	Y7	КС3
кинетическая энергия = половина x масса x (квадрат скорости)	E _К = ¹/₂ мв ²	Y12	КС4
изменить в гравитационной потенциальной энергии = масса x гравитационное поле сила x разница в росте	DGPE = мгДч	Y9	КС3
давление = приложенное усилие площадь контакта	P = F A	Y7	КС3
Газ Закон: давление x объем газа = количество моль x моляр. газовая постоянная x абсолютная температура	пВ = nRT	Y12	КАК
Газ Закон: комбинация закона Бойля и закона Чарльза	P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂ T ₁ T ₂ _{NB Температура ДОЛЖНА быть в Кельвинах}	Y11	КС4
заряд = текущее x время	DQ = I Dt	Y10	КС4
Ом Закон: Разность потенциалов = ток x сопротивление	В = I R	Y8	КС3
Ом Закон, применимый к полной цепи : Электродвижущая сила = ток x (сумма сопротивления цепи и внутреннего сопротивления ячейка)	ЭДС = л ( р + r)	Y12	КАК
мощность = ток x разность потенциалов	P = I В	Y8	КС3
энергия переданный в компоненте = заряд, проходящий через него x потенциал разница acorss it	Вт = QV	Y10	КС4
сопротивление = удельное сопротивление x длина площадь поперечного сечения	R = r l A	Y12	КАК
скорость волны = частота x длина волны	v = fl для электромагнитного излучение v = c дает: c = fl	Y8	КС3
центростремительный сила = масса x скорость ² радиус пути	Ф _С = мв ² r	Y13	A2
Электрооборудование энергия превращается в тепло = разность потенциалов x ток x время	E = V I т	Y9	КС3
Обратный квадратный закон для силы, действующей на массу в гравитационном поле другая масса: сила пропорциональна произведению масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между их	F _G = – G м ₁ м ₂ r ² NB в знак минус означает, что это ВСЕГДА привлекательно	Y13	A2
Обратный квадратный закон для силы, действующей на заряд в электрическом поле другого заряд: Сила пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними	F _E = 1 Q ₁ Q ₂ 4pe0 r ² NB в общий знак, указывающий, является ли он привлекательным (отрицательный) или отталкивающий (положительный) исходит от знаков зарядов. Также, хотя постоянная пропорциональности сложна, она аналогична соотношению выше.	Y13	A2
емкость = накопленный заряд разность потенциалов	С = Q V	Y13	A2
соотношение напряжений на катушках трансформатора = отношение витков на катушках	В 1 = N 1 V 2 N 2 NB 1 может быть P для первичного и 2 может быть s для вторичного – не имеет значения который есть который!	Y11	КС4

Значение, Определение, Предложения . Что такое физические уравнения

Кафедра математики Физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова

Лекции

Глава 1. Интегральные уравнения

Глава 2. Вариационное исчисление

Глава 3. Понятие о методах регуляризации решения некорректно поставленных задач

Пособие по решению задач

Физическое уравнение – Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Физическое уравнение

Редактор формул – Служба поддержки Office

Вставка уравнения с помощью редактора формул

Изменение уравнения с помощью редактора формул

Вставка уравнения с помощью редактора формул

Изменение уравнения с помощью редактора формул

УРАВНЕНИЯ СПЛОШНОСТИ И ПОСТОЯНСТВА ОБЪЕМА

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ФОРМУЛЫ (7.16)

СОЕДИНЕНИЯ С ЛОБОВЫМИ ШВАМИ

Продажа шагающий экскаватор 20/90

На пути к теории всего

Уравнения

Действие

Свободная релятивистская частица

Электромагнитное поле

Тензоры

Гравитация

Теория всего

***

Три примера создания моделей на основе пользовательских уравнений в COMSOL Multiphysics®

Моделирование на основе пользовательских уравнений

Пример 1. Уравнение Кортевега — де Фриза и солитоны

Решение уравнения Кортевега — де Фриза с помощью моделирования на основе пользовательских уравнений

Пример 2. Электрические сигналы в сердце

Использование двух различных дифференциальных уравнений в частных производных для анализа распространения электрических сигналов в сердечных тканях

Пример 3. Аттрактор Лоренца

Использование системы обыкновенных дифференциальных уравнений для моделирования аттрактора Лоренца

Следующий шаг

Семь уравнений, управляющих вашим миром

От волн к беспроводной связи

Живой или мертвый

Происхождение уравнений

Теоремы и теории

Наш выбор уравнений Максвелла

Значения физических уравнений и физическое образование

Практическое руководство для развития математической интуиции в физических и технических науках: Бернштейн: 9780470186206: Amazon.com: Книги

С внутренней стороны откидной створки

С задней обложки

Об авторе

Десять важнейших уравнений физики

Уравнения математической физики в частных производных и интегральные уравнения

принципы физической науки | Британника

Развитие количественной науки

Физические уравнения

Оставить комментарий Отменить ответ