6. Уравнения Максвелла.
Тема: Уравнения Максвелла Утверждение «Никаких источников магнитного поля, подобных электрическим зарядам (по аналогии их называют магнитными зарядами), в природе не существует» является следствием уравнения …
0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тема: Уравнения Максвелла Обобщением теоремы Остроградского – Гаусса для электростатического поля в среде является уравнение …
Решение: Уравнение
Максвелла
является
обобщением теоремы Остроградского –
Гаусса для электростатического поля
в среде – источником электрического
поля являются свободные электрические
заряды. Тема: Уравнения Максвелла Физический смысл уравнения Максвелла заключается в следующем …
|
;
4).
0.
Четвертое
уравнение Максвелла является
обобщением …
Во втором
уравнении иначе записано подынтегральное
выражение, но
.
В третьем уравнении отсутствует
плотность
свободных
зарядов. Следовательно, рассматриваемая
система справедлива для электромагнитного
поля в отсутствие свободных зарядов.Тема: Уравнения Максвелла Физический смысл уравнения Максвелла заключается в следующем …
изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле | |||
| источником вихревого магнитного поля помимо токов проводимости является изменяющееся со временем электрическое поле | ||
| «магнитных зарядов» не существует: силовые линии магнитного поля замкнуты | ||
| источником электрического поля являются свободные электрические заряды |
Решение: Уравнение
Максвелла
означает,
что с переменным магнитным полем
неразрывно связано вихревое электрическое
поле.
Тема: Уравнения Максвелла Утверждение «Никаких источников магнитного поля, подобных электрическим зарядам (по аналогии их называют магнитными зарядами), в природе не существует» является следствием уравнения …
0 | |||
|
| ||
|
| ||
|
|
Тема: Уравнения Максвелла Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме имеет вид: , , , 0. Следующая система уравнений: 0 – справедлива для …
электромагнитного поля в отсутствие свободных зарядов и токов проводимости | |||
| электромагнитного поля в отсутствие свободных зарядов | ||
| электромагнитного поля в отсутствие токов проводимости | ||
| стационарных электрических и магнитных полей |
Решение: Вторая
система уравнений отличается от первой
системы своими вторым и третьим
уравнениями.
Во втором уравнении
отсутствует в подынтегральном выражении
плотность
токов
проводимости, а в третьем уравнении –
плотность
свободных
зарядов. Следовательно, рассматриваемая
система справедлива для электромагнитного
поля в отсутствие свободных зарядов и
токов проводимости.
Тема: Уравнения Максвелла Утверждение «В любой точке пространства изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле» раскрывает физический смысл уравнения …
Решение: Из уравнения следует, что изменяющееся со временем магнитное поле (для которого ) является источником вихревого электрического поля, особенность которого – отличие от нуля циркуляции вектора напряженности поля.
какой закон лежит в основе, формулировка и объяснение
Формулы Дж. Максвелла являются основой теоретического описания электромагнитных явлений, которое предложил ученый. С помощью выявленных закономерностей объясняют эмпирические факты, известные в тот период времени, и предсказываются некоторые эффекты.
Основным выводом, который выражает теория Максвелла, является положение, подтверждающее наличие волн электромагнитного характера, распространяющихся со скоростью света.
Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла представляют собой обобщение уравнений в дифференциальной или интегральной форме, объясняющую характер любых электромагнитных полей, взаимосвязи токов и электрических зарядов в любых средах.
С помощью обозначения формул Максвелла обобщают основные закономерности электрических и электромагнитных явлений. Как основа теоретического исследования электромагнитного поля, данная система формул направлена на решение задач на поиск электрических и магнитных полей, образованных путем заданного распределения электрических зарядов и токов. Уравнения Максвелла послужили основой для развития теории относительности Эйнштейна. Благодаря объяснению теории Максвелла, удалось раскрыть электромагнитную природу света.
Дж. Максвелл сформулировал оригинальные уравнения в 60-х годах XIX века.
Главными источниками для исследований послужили эмпирические законы и идеи ученых, работы которых связаны с изучением электромагнитных явлений, включая Кулона, Био-Савара, Ампера, Фарадея.
Самостоятельно Максвеллом было выведено 20 формул, в которых использовалось 20 неизвестных, записанных в дифференциальном виде. В дальнейшем уравнения были преобразованы. Данные исследования получили негативные оценки критиков, которые являлись современниками Максвелла. Причиной является существенное отличие предложенных формул от ранее известных определений.
Несмотря на скептическое отношение в то время, сегодня уравнения Максвелла воспринимаются, как правильные и справедливые не только для привычного макромира, но и областей квантовой механики. Благодаря данному исследованию, произошел настоящий переворот восприятия людьми научной картины мира. Уравнения предвосхитили обнаружение радиоволн и продемонстрировали смысл электромагнитной природы света.
Уравнения Максвелла в современной интерпретации несколько отличаются от нынешней формы записи.
Современные преобразованные формулы являются результатом трудов немецкого физика Г. Герца и английского физика О. Хевисайда.
Границы применимости уравнений Максвелла
При необходимости исследований с учетом движения среды, формулы Максвелла не изменяют, а движение учитывают при составлении материальных уравнений. В данных отношениях наблюдается зависимость от характеристики скорости сред, что усложняет формулы в системе СИ. При этом материальные уравнения более не являются соотношениями между парами величин. К примеру, наблюдается зависимость плотности тока проводимости от индукции магнитного поля, наряду с напряженностью электрического поля. Для системы уравнения Максвелла характерны следующие ограничения:
- неподвижность материальных тел в поле;
- зависимость постоянных ε, μ, σ от координат, но не от времени и векторов поля;
- отсутствие в поле постоянных магнитов и ферромагнетиков.
При известной величине намагниченности представляется возможным описать магнитное поле постоянных магнитов с применением системы уравнений Максвелла. В случае заданных токов поле с ферромагнетиками с помощью данных формул описать не получится.
Первое уравнение Максвелла
Описание данного уравнения тесно связано с понятием дивергенции. Данное явление называют дифференциальным оператором, с помощью которого определяют поток конкретного поля сквозь какую-то поверхность. Уместно сравнить данную систему с краном или трубой. К примеру, при большом диаметре крана и напора в трубе увеличивается поток жидкости через поверхность в виде крана. Современная форма первого уравнения Максвелла имеет следующий вид:
\(div\vec{E}=\frac{\rho }{\varepsilon _{0}}\)
В данном уравнении Максвелла Е является векторным электрическим полем, зависящим от суммарного заряда, который заключен внутри замкнутой поверхности.
Данное уравнение является законом Гаусса.
Второе уравнение Максвелла
Данная формула, выведенная ученым, представляет собой закон Фарадея. На основе данных закономерностей функционируют электрические двигатели. В конструкции моторов ток в катушке возникает, благодаря вращающимся магнитам. Второе уравнение Максвелла имеет следующий вид:
\(rot\vec{E}=\frac{d\vec{B}}{dt}\)
Ротор электрического поля в виде интеграла через замкнутую поверхность выражается скоростью, с которой изменяется магнитный поток, пронизывающий эту поверхность. Наглядным примером такого явления может служить вода в ванной, сливаемая через отверстие. Вокруг слива будет образована воронка. Ротор в этом случае будет являться суммой или интегралом векторов скоростей молекул воды, вращающихся вокруг сливного отверстия.
Третье уравнение Максвелла
Представленная ученым формула является законом Гаусса. Следует отметить, что третье уравнение Максвелла справедливо не для электрического поля, а для магнитного.
{2}}\frac{dE}{dt}\)
Данные уравнения носят название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции. Согласно этому утверждению, вихревое магнитное поле образовано электрическим током и изменением электрического поля.
Следствия из уравнений Максвелла
Все формулы объясняют определенные явления. Суть каждого из них заключается в следующем:
- первое уравнение – электрическое поля образовано электрическим зарядом;
- второе уравнение – вихревое электрическое поле является результатом изменений магнитного поля;
- третье уравнение – отсутствие в природе магнитных зарядов;
- четвертое уравнение – вихревое магнитное поле сформировано электрическим током и изменением электрической индукции.
Уравнения Максвелла полностью соотносятся с принципами специальной теории относительности. Формулы необходимы для микроскопического описания вещества в условиях классического электромагнитного поля и заряженных частиц, подчиняющихся принципам квантовой механики.
Более последовательное объединение полевого подхода с принципами квантовой механики осуществляют по средствам методов квантовой теории поля в квантовой электродинамике.
Подобные дисциплины изучают студенты современных профильных вузов. Данные области научных знаний достаточно сложны для восприятия. Поэтому при возникновении трудностей в образовательном процессе можно обратиться к ресурсу Феникс.Хелп.
электромагнетизм – Физический смысл уравнений Максвелла и происхождение электромагнитных волн
Можно ли описать физический смысл уравнений Максвелла и показать, как они приводят к электромагнитной волне, не прибегая к математике?
Нет.
Но не откладывайте, я буду учить математику медленно.
Начиная с уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла относительно старые, не учитывают квантовую механику и используются (как закон тяготения Ньютона), потому что они дают правильный ответ (в значительной степени), чем лучшая квантовая теория поля (общая теория относительности гравитации) слишком сложна в математике, чтобы быть практичным для большинства применений.
$$ \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon} $$
$$ \nabla \cdot \vec B = 0 $$
$$ \nabla \times \vec E = – \frac {\partial \vec B}{\partial t} $$
$$ \nabla \times \vec B = \mu \vec J + \epsilon \mu \frac {\partial \vec E}{\partial t} $$
Где:
$\vec B$ — магнитное поле
$\vec E$ — электрическое поле
Стрелки $\vec E$ и $\vec B$ указывают, что эта величина является вектором и точками (течет) в заданном направлении
$\rho$ — плотность заряда (количество заряда)
$\vec J$ — ток (плотность)
$\epsilon , \mu$ — просто константы
$\nabla$ (перевернутый треугольник [ ака del]) сам по себе является оператором градиента (просто математическая штука [которая делает что-то с функциями]) (описывает, как что-то изменяется в пространстве)
$\nabla \cdot$ (перевернутый треугольник за которой следует точка [также известная как del dot]) — это оператор расхождения (как что-то изменяется в пространстве [расширяющимся или сжимающимся образом])
$\nabla \times$ (перевернутый треугольник, за которым следует умноженный на “x” [также известный как крест]) – это оператор curl (как что-то меняется в пространстве [поворотным способом])
$\frac{\partial}{\partial t}$ — это производная по времени оператор (как что-то изменяется во времени).
Начнем с самого простого:
$$ \nabla \cdot \vec B = 0 $$
Это просто говорит о том, что дивергенция магнитного поля всегда равна нулю, несмотря ни на что. Это означает, что магнитное поле $\vec B$ можно рассматривать как резервуар с водой, в котором оно может двигаться, но никогда не будет пузырьков без воды или областей с более высокой плотностью воды. (в отличие от воздуха, который может сжиматься, если на него надавить достаточно сильно)
Что также может быть записано как:
$$ \iint_{S} \vec B \cdot d \vec s = 0 $$
Что говорит о том же, но по-другому, что если сложить $\iint$ все поле $\vec B$, ускользающее через крошечные кусочки площади $d\vec s$ замкнутой поверхности $ S$, то они прибавят к нулю. Таким образом, если какое-то поле $\vec B$ входит в одну точку, оно должно выйти снова в другой точке.
Следующий:
$$ \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon} $$
Это говорит об очень похожем: если заряда нет, то поле $\vec E$ является расходящейся свободной, т.
е. несжимаемой жидкостью. Однако, если есть заряд, например. протон, то он действует как конец шланга, и $\vec E$ “жидкость” вырывается во все стороны (называется источником). Если имеется отрицательный заряд, то “жидкость” $\vec E$ всасывается внутрь (так называемая раковина).
Это можно переписать как:
$$ \iint_{S} \vec E \cdot d\vec s = \frac {1}{\epsilon} \iiint_{V}\, \rho dv $$
Таким образом, это означает, что если сложить $\iint$ все поля $E$, ускользающие через крошечные кусочки площади $d\vec s$ замкнутой поверхности $S$, то они будут равно тому, что получится, если сложить $\iiint$ количество плотности заряда $\rho$, умноженное на все маленькие объемы $dv$ внутри объема $V$ поверхности $S$.
Таким образом, вы можете определить количество концов шланга в пределах области по количеству воды, вытекающей из этой области. Если заряда нет (или всасывающих шлангов столько же, сколько выдувных шлангов), то это добавляется к нулю.
Следующий
$$ \nabla \times \vec E = – \frac {\partial \vec B}{\partial t} $$
Это говорит о том, что если $\vec B$ изменится во времени $\dfrac {\partial \vec B}{\partial t}$, то $\vec E$ будет перемещаться в пространстве $\nabla \times $ т.
е. что изменяющееся магнитное поле вызовет электрическое поле, которое, если бы оно было в проводе, мы назвали бы напряжением.
И наконец:
$$ \nabla \times \vec B = \mu \vec J +\epsilon \mu \frac {\partial \vec E}{\partial t} $$
Он состоит из трех частей, так что давайте разберем его. Обратите внимание, впервые появляется $\vec J$, это плотность тока (движение носителей заряда).
Если нет носителей заряда (т.е. нет протонов и электронов) как так нет (Может быть есть я все еще жду вас на БАК) магнитных носителей заряда (называемых монополями) Тогда этот закон очень похож на один предыдущий.
Если
$$ \vec J = \vec 0 $$
Тогда:
$$ \nabla \times \vec B = \epsilon \mu \frac {\partial \vec E}{\partial t} $$ 92}$
Любая система, подчиняющаяся приведенному выше волновому уравнению, ведет себя волноподобно. Чтобы доказать, что уравнения Максвелла имеют эти решения, мы также должны положить:
$$ \ро=0 $$
Пожертвование:
$$ \nabla \cdot \vec E = 0 $$
Затем мы берем завиток с обеих сторон: $\nabla \times \vec E = – \frac {\partial \vec B}{\partial t}$
Чтобы получить:
$$ \ набла \ раз \ набла \ раз \ vec E = – \ набла \ раз \ гидроразрыва {\ парциальное \ vec B} {\ парциальное т} $$ 92}$
Таким образом, скорость, с которой распространяется эта волна, равна $v = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}}$ Эта скорость называется $c$
Этот вывод можно повторить для магнитного поле $\vec B$, чтобы получить, что в волновых решениях два поля всегда появляются парами, перпендикулярными друг другу и направлению, в котором они движутся.
Таким образом, в основном изменяющееся электрическое поле создает изменяющееся магнитное поле, которое создает изменяющееся электрическое поле и т. д. Это также говорит нам, что скорость света $c$ равна $c = \dfrac{1}{\sqrt{\epsilon \mu} }$
Примечание: Эйнштейн думал, что интересно не то, какие члены появляются в уравнении скорости света, а то, что отсутствует член — что эта скорость света не зависит от того, как быстро вы движетесь, и он думал, что все независимо скорости будет измерять эту скорость, чтобы быть тем же самым.
Далее положим $\vec J = \vec 0$
На этот раз положим $\vec E$ постоянным во времени, так что
$$ \ dfrac {\ парциальное \ vec E} {\ парциальное т} = \ vec 0 $$.
В этом случае:
$$ \nabla \times \vec B = \mu \vec J $$
Ток (плотность) $\vec J$ создает магнитное поле (которое изменяется в пространстве, но не во времени), поэтому, поскольку это магнитное поле не меняется во времени, оно не может создать поле $\vec E$ из уравнения:
$$ \nabla \times \vec E = – \dfrac {\partial \vec B}{\partial t} $$
Так работают электромагниты.
Ток (плотность) $\vec J$ создает магнитное поле вокруг провода, это магнитное поле можно усилить, если сделать из провода петли, подобные соленоиду “мягкий” железный сердечник соленоида помогает магнитной жидкости течь, изменяя значения (μ), чтобы облегчить прохождение через него вместо воздуха.
Вернуться к:
$$ \nabla \times \vec B = \mu \vec J +\epsilon \mu \dfrac {\partial \vec E}{\partial t} $$
Если $\vec J$ равно нулю с течением времени, то носители заряда перемещаются только вперед и назад. Поэтому мы игнорируем $\vec J$ (но на этот раз носители заряда существуют)
$$ \nabla \times \vec B = \epsilon \mu \dfrac {\partial \vec E}{\partial t} $$
Изменение электрического поля, вызванное изменением движущихся электронов, может создать изменяющееся движущееся магнитное поле. (Поскольку скорость изменения электрического поля не является постоянной [они не просто становятся все быстрее и быстрее, они становятся все быстрее, затем медленнее, а затем быстрее {извините, если это немного сбивает с толку}]).
Таким образом, изменение поля $\vec E$ создает изменяющееся поле $\vec B$, создает изменяющееся поле $\vec E$ на дальней стороне сердечника трансформатора (оно также создает петли тока [Эдди-токи] внутри сердечника, который почему сердечник состоит из слоев, а не из одного твердого сердечника, потому что нам не нужен ток там, он будет выделять тепло и тратить энергию.)
Можно определить ток смещения $\vec J_D$, который имеет те же единицы $\vec J$, но также учитывает энергию, протекающую через конденсатор или трансформатор.
электромагнетизм – Каков физический смысл дипольного преобразования уравнений Максвелла?
Для получения этой разбивки уравнений Максвелла не требуется явного усложнения. Это можно полностью понять через реальное векторное пространство специальной теории относительности.
Начнем с уравнений Максвелла для электромагнитного поля на языке алгебры клиффорда, называемом STA: алгебра пространства-времени. Уравнения Максвелла принимают вид
$$\nabla F = -J$$
где $\nabla F = \nabla \cdot F + \nabla \wedge F$, $F = e_0 E + B \epsilon_3$, в соглашении о знаках $(-, +, +, +)$..jpg?1632166934369)
Пусть $x$ будет вектором положения в пространстве-времени. Вообще верно, что для вектора $v$ и постоянного бивектора $C$
$$\nabla (C \cdot x) = -2 C, \quad \nabla (C \wedge x) = 2C \имеет \nabla (Cx) = 0$$
Тогда можно вычислить выражение
$$\nabla (Fx) = (\nabla F)x + \dot \nabla (F \dot x)$$
, где многоточие означает, что во втором члене дифференцируется только $x$; используя правило произведения, $ F $ «поддерживается постоянным», поэтому применяются приведенные выше формулы. Мы только что доказали, что второй член равен нулю, поэтому мы получаем $\nabla (Fx) = (\nabla F) x$. Таким образом, мы приходим к следующему преобразованию уравнений Максвелла:
$$\nabla (Fx) = -Jx$$
Теперь мы всегда можем написать $F$ как «комплексный бивектор» в том смысле, что, используя $\epsilon = e_0 \epsilon_3$ и $\epsilon \epsilon = -1$, мы имеем
$$F = e_0 E – B \epsilon_3 e_0 \epsilon_3 \epsilon = e_0 (E + \epsilon B)$$
Важно отметить, что $\epsilon$ не коммутировать с любым вектором.
Какие компоненты $Fx$? Напишите $x = t e_0 + r$, и мы можем записать их как
$$Fx = e_0 (Ex + \epsilon Bx) = e_0 (E \cdot r + E \wedge r – e_0 Et + \epsilon B \cdot r – e_0 B \times r + \epsilon B t e_0)$$
Это тоже можно записать в “комплексной” форме:
$$Fx = (e_0 E \cdot r + Et + B \times r) + \epsilon (E \times r + e_0 B\cdot r + Bt )$$
Кажется, мы различаемся по некоторым признакам, но это точно та же самая величина, которую вы назвали $G$.
Теперь, чтобы поговорить о том, как разбиваются эти уравнения, запишем $G = G_1 + G_3$, где $G_1 = (e_0 E \cdot r + \ldots)$ и $G_3 = \epsilon (E \times r + \ldots)$. Также напишем для $R = Jx = R_0 + R_2$.
Уравнения Максвелла тогда становятся
$$\набла \cdot G_1= R_0, \четверка \набла \клин G_1 + \набла \cdot G_3 = R_2, \четверка \набла \клин G_3 = 0$$
Первое и третье уравнения являются составляющими диполь Гаусса; второе уравнение представляет собой дипольное уравнение Ампера-Фарадея.