Физика формула ускорения: Формулы ускорения в физике - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

2$).

Движение с ускорением, вектор которого не меняется по модулю и направлению, называется равноускоренным.

Определить ускорение при равноускоренном прямолинейном движении можно по формуле:

$a = \frac{v_1 – v_0}{t} = \frac{\Delta v}{t}$,

где $v_1, v_0$ – скорости в начале и в конце рассматриваемого периода времени длительностью $t$.

Отношение изменения скорости к промежутку времени, за который произошло это изменение, называют средним ускорением:

$\vec{a} = \frac{\vec{v_1} – \vec{v_0}}{t} = \frac{\Delta \vec{v}}{t}$,

В отличие от равноускоренного, здесь имеют значение направления векторов.

Если начальная скорость больше конечной, происходит замедление, которое в физике также принято называть ускорением, но выраженным с отрицательным знаком.

Мгновенное ускорение – ускорение, развиваемое за очень малый промежуток времени (его длительность стремится к нулю):

$\vec{a} = \lim\limits_{t \to 0}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$.

Содержание

Ускорение при движении по окружности

Поскольку ускорение – векторная величина, при движении отличном от прямолинейного оно не остается неизменным даже если модуль скорости не изменяется. В связи с этим ускорение вычисляется из начальной и конечной скоростей по правилам векторной математики, т.е. с учетом изменения направления.

Тело, движущееся по окружности, удобно рассматривать как обладающее двумя ускорениями: тангенциальным ($a_{\tau}$), направленным по касательной к траектории, и центростремительным, направленным к центру ($a_n$). При равномерном движении по окружности тангенциальное ускорение, отражающее мгновенную скорость тела, может быть равно нулю, но центростремительное имеет место даже в этом случае. Поэтому любое движение по криволинейной траектории является движением с ускорением.

Замечание 1

Центростремительное ускорение называется также нормальным, тангенциальное – касательным.

Касательное ускорение определяется как мгновенное при движении на очень малое угловое расстояние, когда длина дуги и длина хорды между начальной и конечной точками малоразличимы (сравниваются мгновенные скорости в этих точках).{2}}=\ddot{\bar{r}}(2)$$

где $\bar{r}$ – радиус – вектор, который определяет положение материальной точки в пространстве.

Вектор ускорения располагается в плоскости соприкосновения, в которой находится главная нормаль и касательная к траектории, при этом он имеет направление в сторону вогнутости траектории.

Единицы измерения ускорения

Основными единицами измерения ускорения в системе СИ является: [a]=м/с²

в СГС: [a]=см/с²

Виды ускорения

Если построить соприкасающуюся плоскость, в любой точке траектории, то вектор $\bar{a}$ разложим на две взаимно перпендикулярные составляющие:

$$\bar{a}=\bar{a}_{n}+\bar{a}_{\tau}(3)$$

где $\bar{a}_n$ – вектор, направленный по главной нормали к центру кривизны траектории материальной точки – это нормальное ускорение; $\bar{a}_{\tau}$ – вектор, направленный по касательной к траектории – это касательное ускорение. При этом выполняются равенства:

$$a_{n}=\frac{v^{2}}{R}(4)$$ $$a_{\tau}=\frac{d}{d t}|\bar{v}|(5)$$ $$|\bar{a}|=a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{v^{2}}{R}\right)^{2}+\dot{v}^{2}}(6)$$

где $|\bar{v}|=v$ – модуль вектора скорости, R – радиус кривизны траектории, a_n – проекция вектора $\bar{a}_n$ на направление единичного вектора главной нормали $(\bar{n})$, a_т – проекция вектора $\bar{a}_{\tau}$ на направление единичного вектора касательной $\left(\bar{\tau}=\frac{\bar{v}}{v}\right)$. Величина a_n определяет быстроту изменения направления скорости, а величина a_т – быстроту изменения модуля скорости.

Если $a_{\tau}=0$, то такое движение называют равномерным. При $a_{\tau}=$ const движение является равнопеременным (при $a_{\tau} < 0$ равнозамедленным, при $a_{\tau} > 0$ равноускоренным).

Средним ускорением материальной точки $\langle\bar{a}\rangle$ на отрезке времени от $t$ до $t+\Delta t$ называется векторная величина, равная отношению:

$$\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{\bar{v}(t+\Delta t)-\bar{v}(t)}{\Delta t}(7)$$

При $\Delta t \rightarrow 0$ в пределе среднее ускорение совпадает с мгновенным ускорением:

$$\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{d \bar{v}}{d t}=\bar{a}(t)(8)$$

Формула ускорения в разных системах координат

В декартовых координатах проекции ускорения (a_x,a_y,a_z) на оси (X,Y,Z)можно представить как:

$$a_{x}=\dot{v}_{x}=\ddot{x}, \quad a_{y}=\dot{v}_{y}=\ddot{y}, a_{z}=\dot{v}_{z}=\ddot{z}(9)$$

Соответственно, имеем:

$$\bar{a}=\ddot{x i}+\ddot{y} \bar{j}+\ddot{z} \bar{k}(10)$$

где $\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}$ – единичные орты по осям X,Y.{2}} \approx 13,5$ м/с²

Ответ. $a=\approx 13,5$ м/с²

Слишком сложно?

Формула ускорения не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Какова зависимость ускорения материальной точки от времени (a(t)), если частица перемещается по оси X и ее скорость изменяется в соответствии с уравнением: $v=\alpha \sqrt{x}$, где $\alpha$ – постоянная большая нуля? В начальный момент времени (при t=0 с) материальная точка находилась в начале координат (x=0 м). Нарисуйте график a(t).

Решение. Из условий задачи можно записать, что:

$$v=v_{x}=\alpha \sqrt{x}=\frac{d x}{d t}(2.1)$$

Используя формулу (2.1) найдем зависимость координаты xот времени (x(t) ):

$$\int \alpha d t=\int \frac{d x}{\sqrt{x}} \rightarrow \alpha t=2 \sqrt{x}+C(2.2)$$

где постоянную интегрирования найдем из начального условия задачи. Мы знаем, что x(0)=0, значит C=0.{2}}=\ddot{\bar{r}}(2)$$

где $\bar{r}$ – радиус – вектор, который определяет положение материальной точки в пространстве.

Единицы измерения ускорения

Основными единицами измерения ускорения в системе СИ является: [a]=м/с²

в СГС: [a]=см/с²

Виды ускорения

$$\bar{a}=\bar{a}_{n}+\bar{a}_{\tau}(3)$$

$$a_{n}=\frac{v^{2}}{R}(4)$$ $$a_{\tau}=\frac{d}{d t}|\bar{v}|(5)$$ $$|\bar{a}|=a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{v^{2}}{R}\right)^{2}+\dot{v}^{2}}(6)$$

$$\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{\bar{v}(t+\Delta t)-\bar{v}(t)}{\Delta t}(7)$$

При $\Delta t \rightarrow 0$ в пределе среднее ускорение совпадает с мгновенным ускорением:

$$\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{d \bar{v}}{d t}=\bar{a}(t)(8)$$

Формула ускорения в разных системах координат

В декартовых координатах проекции ускорения (a_x,a_y,a_z) на оси (X,Y,Z)можно представить как:

$$a_{x}=\dot{v}_{x}=\ddot{x}, \quad a_{y}=\dot{v}_{y}=\ddot{y}, a_{z}=\dot{v}_{z}=\ddot{z}(9)$$

Соответственно, имеем:

$$\bar{a}=\ddot{x i}+\ddot{y} \bar{j}+\ddot{z} \bar{k}(10)$$

где $\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}$ – единичные орты по осям X,Y.{2}} \approx 13,5$ м/с²

Ответ. $a=\approx 13,5$ м/с²

Слишком сложно?

Формула ускорения не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Решение. Из условий задачи можно записать, что:

$$v=v_{x}=\alpha \sqrt{x}=\frac{d x}{d t}(2.1)$$

Используя формулу (2.1) найдем зависимость координаты xот времени (x(t) ):

$$\int \alpha d t=\int \frac{d x}{\sqrt{x}} \rightarrow \alpha t=2 \sqrt{x}+C(2.2)$$

где постоянную интегрирования найдем из начального условия задачи. Мы знаем, что x(0)=0, значит C=0.{2}}=\ddot{\bar{r}}(2)$$

где $\bar{r}$ – радиус – вектор, который определяет положение материальной точки в пространстве.

Единицы измерения ускорения

Основными единицами измерения ускорения в системе СИ является: [a]=м/с²

в СГС: [a]=см/с²

Виды ускорения

$$\bar{a}=\bar{a}_{n}+\bar{a}_{\tau}(3)$$

$$a_{n}=\frac{v^{2}}{R}(4)$$ $$a_{\tau}=\frac{d}{d t}|\bar{v}|(5)$$ $$|\bar{a}|=a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{v^{2}}{R}\right)^{2}+\dot{v}^{2}}(6)$$

$$\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{\bar{v}(t+\Delta t)-\bar{v}(t)}{\Delta t}(7)$$

При $\Delta t \rightarrow 0$ в пределе среднее ускорение совпадает с мгновенным ускорением:

$$\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{d \bar{v}}{d t}=\bar{a}(t)(8)$$

Формула ускорения в разных системах координат

В декартовых координатах проекции ускорения (a_x,a_y,a_z) на оси (X,Y,Z)можно представить как:

$$a_{x}=\dot{v}_{x}=\ddot{x}, \quad a_{y}=\dot{v}_{y}=\ddot{y}, a_{z}=\dot{v}_{z}=\ddot{z}(9)$$

Соответственно, имеем:

$$\bar{a}=\ddot{x i}+\ddot{y} \bar{j}+\ddot{z} \bar{k}(10)$$

где $\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}$ – единичные орты по осям X,Y.{2}} \approx 13,5$ м/с²

Ответ. $a=\approx 13,5$ м/с²

Слишком сложно?

Формула ускорения не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Решение. Из условий задачи можно записать, что:

$$v=v_{x}=\alpha \sqrt{x}=\frac{d x}{d t}(2.1)$$

Используя формулу (2.1) найдем зависимость координаты xот времени (x(t) ):

$$\int \alpha d t=\int \frac{d x}{\sqrt{x}} \rightarrow \alpha t=2 \sqrt{x}+C(2.2)$$

где постоянную интегрирования найдем из начального условия задачи. Мы знаем, что x(0)=0, значит C=0.{2}}{2}$ ускорение от времени не зависит, значит, график a(t) принимает вид (рис.2).

Читать дальше: Формула давления.

1.6 Ускорение. Единица ускорения – Физика по учебнику 10 класса

При движении тел их скорости обычно меняются либо по модулю, либо по направлению, либо же одновременно как по модулю, так и по направлению.

Если бросить камень под углом к горизонту, то его скорость будет меняться и по модулю, и по направлению.

Изменение скорости тела может происходить как очень быстро (движение пули в канале ствола при выстреле из винтовки), так и сравнительно медленно (движение поезда при его отправлении). Чтобы уметь находить скорость в любой момент времени, необходимо ввести величину, характеризующую быстроту изменения скорости. Эту величину называют ускорением.

Ускорение- это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Среднее ускорение

Среднее ускорение – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

где – вектор ускорения.

Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости Δ = – ₀ (здесь ₀ – это начальная скорость, то есть скорость, с которой тело начало ускоряться).

В момент времени t1 (см. рис 1.8) тело имеет скорость ₀. В момент времени t2 тело имеет скорость. Согласно правилу вычитания векторов найдём вектор изменения скорости Δ = – ₀. Тогда определить ускорение можно так:

Рис. 1.8. Среднее ускорение.

В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с²

, то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Урок 3. равноускоренное движение материальной точки – Физика – 10 класс

Физика, 10 класс

Урок 3.Равноускоренное движение материальной точки

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

1) изучение равноускоренного движения;

2) изучение понятий мгновенной скорости, ускорения и скорости равноускоренного движения;

3) вывод формул скорости и пути равноускоренного движения;

4) построения графиков координат и пути равноускоренного движения.

Глоссарий по теме

Неравномерное движение – если тело за одинаковые промежутки времени проходит разные расстояния – то такое движение называется неравномерным.

Скорость – это векторная величина равная отношению пути, пройденного телом за некоторый период времени, к величине этого периода времени.

Средняя скорость при неравномерном движении – отношение вектора перемещения тела к промежутку времени, за который это перемещение произошло.

Мгновенная скорость – это векторная физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени:

Ускорение – это физическая величина, численно равная изменению скорости за единицу времени. Равноускоренное движение – скорость тела за равные промежутки времени изменяется одинаково, то есть движется с постоянным ускорением.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н.. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 31-54

1.Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н.. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 40 – 41

Открытые электронные ресурсы:

2. http://kvant.mccme.ru/1983/10/p33.htm

Основное содержание урока.

Неравномерное движение тел может быть не только прямолинейным, но и криволинейным.

Полное описание неравномерного движения тела, возможно при знании его положения и скорости в каждый момент времени. Скорость точки в данный момент времени называется мгновенной скоростью ()

Любая точка в движении при определённой скорости перемещается из начального положения в конечное. Эту скорость называют средней скоростью перемещения точки.

Определяется по формуле:

Кроме мгновенной и средней скоростей перемещения для описания движения чаще пользуются средней путевой скоростью.

Эта средняя скорость определяется отношением пути к промежутку времени, за которое этот путь пройден:

Скорости тел при движении меняются по модулю, по направлению или же одновременно как по модулю, так и по направлению.

Изменения скорости теле могут происходить как быстро, так и медленно.

Ускорением тела называется предел отношения изменения скорости к промежутку

Времени ∆t, в течении которого это изменение призошло, при стремлении ∆t к нулю.

Ускорение обозначается буквой .

Определяется по формуле:

Единица ускорения – м/с²

Выясним зависимости точки от времени при её движении с постоянным ускорением. Для этого воспользуемся формулой:

Пусть _о– скорость точки в начальный момент времени t_o, а – в некоторый момент времени t, тогда:

∆t = t_o,

и формула для ускорения примет вид:

Если начальный момент времени _{принять равным нулю, то получим:}

Отсюда получим формулу для определения скорости точки в любой момент времени при её движении с постоянным ускорением:

Вектору уравнению соответствуют в случае движения на плоскости два скалярных уравнения для проекций скорости на координатные оси X и Y:

𝑣_х= 𝑣_ох + 𝒂_хt;

𝑣_у = 𝑣_оу = 𝒂_уt.

Мы научились, таким образом, находить скорость материальной точки при движении с постоянным ускорением.

Теперь получим уравнения, которые позволяют рассчитывать для этого движения положение точки в любой момент времени.

Допустим, движение с постоянным ускорением совершается в одной плоскости, пусть это будет плоскость XOY. Если вектор начальной скорости и вектор ускорения не лежат на одной прямой, то точка будет двигаться по кривой линии. Следовательно, в этом случае с течением времени будут изменяться обе ее координаты х и у. Обозначим через х_ои

у_окоординаты в начальный момент времени t_о = 0, а через х и у координаты времени.

Тогда за время ∆t = t – t_o= t изменения координат будут равны

∆х = х – х_ои ∆у = у – у_о

Отсюда:

х = х_о + ∆х,

у = у_о + ∆у

График зависимости v(t)

По формуле для площади трапеции имеем:

Учитывая, что 𝑣ₓ = 𝑣ₒₓ + 𝒂ₓt, получаем формулу:

В обычных условиях задачи даются значения (модули) скоростей и ускорений:

При движении точки в плоскости ХОY двум уравнениям соответствует одно векторное уравнение:

Разбор тренировочных заданий

1. Куда движутся тела и как изменяются их скорости, векторы начальных скоростей и ускорений которых показаны на рисунке 1?

Направление движения определяем по направлению скорости, изменение скорости – по направлению ускорения и скорости.

Решение:

Тело 1 движется вправо; направления ускорения и скорости совпадают, следовательно, скорость его увеличивается.

Тело 2 движется вправо; ускорение направлено в противоположную сторону скорости, следовательно, скорость его уменьшается.

Тело 3 движется влево; направления ускорения и скорости совпадают, следовательно, скорость его увеличивается.

Тело 4 движется влево; ускорение направлено в противоположную сторону скорости, следовательно, скорость его уменьшается.

2. Электропоезд тормозит с ускорением 0,40 м/с². Определите, за какое время он остановится, если тормозной путь равен 50 м.

Решение:

При прямолинейном движении путь электропоезда равен перемещению s = ∆r

Тогда:

Ответ: t ≈ 16 c.

Равноускоренное движение: формулы, примеры

Равноускоренное движение

Равноускоренное движение – это движение, при котором вектор ускорения не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту. Равномерное движение – частный случай равноускоренного движения с ускорением, равным нулю.

Рассмотрим случай свободного падения (тело брошено под уголом к горизонту) более подробно. Такое движение можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.

В любой точке траектории на тело действует ускорение свободного падения g→, которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону.

Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y – равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.

Формулы для равноускоренного движения

Формула для скорости при равноускоренном движении:

v=v0+at.

Здесь v0 – начальная скорость тела, a=const – ускорение.

Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v(t) имеет вид прямой линии.

Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.

a=v-v0t=BCAC

Чем больше угол β, тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.

Для первого графика: v0=-2 мс; a=0,5 мс2.

Для второго графика: v0=3 мс; a=-13 мс2.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t. Как это сделать?

Выделим на графике малый отрезок времени ∆t. Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆t. Тогда, перемещение ∆s за время ∆t будет равно ∆s=v∆t.

Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆t. Перемещение s за время t равно площади трапеции ODEF.

s=OD+EF2OF=v0+v2t=2v0+(v-v0)2t.

Мы знаем, что v-v0=at, поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:

s=v0t+at22

Для того, чтобы найти координату тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты в зависимости от времени выражает закон равноускоренного движения.

Закон равноускоренного движения

Еще одна распространенная задача кинематики, которая возникает при анализе равноускоренного движения – нахождение координаты при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.

Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:

s=v2-v022a.

По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:

v=v02+2as.

При v0=0 s=v22a и v=2as

Важно!

Величины v, v0, a, y0, s, входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Калькулятор ускорения

| Определение | Формула

Калькулятор ускорения – это инструмент, который поможет вам узнать , насколько быстро изменяется скорость объекта . Он работает тремя разными способами, в зависимости от:

разница между скоростями в два разных момента времени,
расстояние, пройденное при разгоне,
масса ускоряющегося объекта и сила, действующая на него.

Если вы спрашиваете себя, что такое ускорение, какова формула ускорения или каковы единицы ускорения, продолжайте читать, и вы узнаете, как найти ускорение.Ускорение строго связано с движением объекта, и каждый движущийся объект обладает определенной энергией. Если вам нужно это оценить, посетите другие наши калькуляторы, где вы можете найти формулу кинетической энергии и ее угловую версию – формулу кинетической энергии вращения.

Чтобы все было понятно, мы также подготовили несколько примеров ускорения, которые распространены в физике. Вы можете найти там:

центростремительное ускорение и тангенциальное ускорение,
угловое ускорение,
ускорение свободного падения,
ускоритель частиц.

Ускорение всегда происходит, когда на объект действует ненулевая чистая сила. Вы можете почувствовать это в лифте, когда вы станете немного тяжелее (ускорение) или легче (замедление), или когда вы едете по крутому склону на санях по снегу. Более того, из общей теории относительности мы знаем, что вся Вселенная не только расширяется, но даже ускоряется! Это означает, что расстояние между двумя точками постоянно становится все больше и больше, но мы не можем чувствовать это каждый день, потому что каждый масштаб в мире тоже расширяется.

Что такое ускорение? – определение ускорения

Ускорение – это скорость изменения скорости объекта; другими словами, насколько быстро меняется скорость. Согласно второму закону Ньютона, ускорение прямо пропорционально сумме всех сил, действующих на объект, и обратно пропорционально его массе. Это все здравый смысл – если несколько разных сил толкают объект, вам нужно выяснить, что они складываются (они могут действовать в разных направлениях), а затем разделить результирующую чистую силу на массу вашего объекта.

Это определение ускорения гласит, что ускорение и сила, по сути, одно и то же. При изменении силы изменяется и ускорение, но величина его изменения зависит от массы объекта. Это неверно в ситуации, когда масса также изменяется, например, при ракетной тяге, когда сгоревшее топливо выходит из сопла ракеты. Если вы когда-нибудь задумывались, какова физика космических путешествий, взгляните на это уравнение ракеты Циолковского.

Мы можем измерить ускорение объекта напрямую с помощью акселерометра .Если повесить объект на акселерометр, он покажет ненулевое значение. Это почему? Ну, это из-за гравитационных сил, которые действуют на каждую частицу, имеющую массу. А где чистая сила, там и ускорение. Таким образом, акселерометр в состоянии покоя измеряет ускорение свободного падения, которое на поверхности Земли составляет около 31,17405 фут / с² (9,80665 м / с²) . Другими словами, это ускорение свободного падения, которое любой объект получает при свободном падении в вакууме.

Кстати о пылесосах, вы когда-нибудь смотрели «Звездные войны» или другой фильм, действие которого происходит в космосе? Эпические сражения космических кораблей, звуки бластеров, двигателей и взрывов.Что ж, это ложь. Космос – это вакуум, и в нем нельзя услышать звук (для распространения звуковых волн требуется материя). Эти битвы должны быть беззвучными! В космосе никто не услышит твой крик. Чтобы проверить скорость звука в воздухе или воде, воспользуйтесь нашим калькулятором скорости звука. Учитывается даже температура!

Как найти ускорение? – счетчик ускорения

Калькулятор ускорения на этом сайте учитывает только ситуацию, в которой объект имеет равномерное (постоянное) ускорение.В этом случае уравнение ускорения по определению представляет собой отношение изменения скорости за определенный период времени. Однако здесь вы можете узнать, как найти ускорение еще двумя способами. Давайте посмотрим, как пользоваться нашим калькулятором (уравнения ускорения вы можете найти в разделе после):

В зависимости от того, какие данные у вас есть, вы можете рассчитать ускорение тремя разными способами. Во-первых, выберите соответствующее окно (# 1, # 2 или # 3),
[при выборе # 1] – Введите начальную v_i и конечную v_f скорости объекта и сколько времени Δt потребовалось для изменения скорости.
[при выборе # 2] – Введите начальную скорость v_i , пройденное расстояние Δd и время Δt , пройденное во время ускорения. Здесь вам не нужно знать конечную скорость.
[при выборе # 3] – Введите массу объекта м и чистую силу F , действующую на этот объект. Это совершенно другой набор переменных, который возникает из второго закона движения Ньютона (другое определение ускорения).
Считайте результирующее ускорение из последнего поля. Вы также можете выполнить вычисления другим способом, если знаете, что такое ускорение, например, чтобы оценить расстояние Δd . Просто укажите остальные параметры в этом окне.

Знание того, что такое ускорение, необходимо для анализа движения объектов. Например, вы можете определить изменение импульса за определенный период времени с помощью этой формулы для импульса. Это одна из физических величин, которые мы используем в нашем калькуляторе автокатастроф, где мы объясняем и визуализируем важность ремней безопасности с помощью чисел и определяем, с какой скоростью вы можете погибнуть в автокатастрофе.Повышение скорости и содержание алкоголя в крови – главные причины автомобильных аварий. Пожалуйста, водите осторожно!

Формула ускорения – три уравнения ускорения

В 17 веке сэр Исаак Ньютон , один из самых влиятельных ученых всех времен, опубликовал свою знаменитую книгу « Начала ». В нем он сформулировал закон всемирного тяготения, согласно которому любые два объекта с массой будут притягиваться друг к другу с силой, экспоненциально зависящей от расстояния между этими объектами (в частности, она обратно пропорциональна квадрату расстояния).Чем тяжелее объекты, тем больше сила тяжести. Это объясняет, например, почему планеты вращаются вокруг очень плотного Солнца.

В Principia Ньютон также включает три закона движения, которые являются центральными для понимания физики нашего мира. Калькулятор ускорения основан на трех различных уравнениях ускорения, третье из которых получено из работы Ньютона:

a = (v_f - v_i) / Δt ,
a = 2 * (Δd - v_i * Δt) / Δt² ,
а = Ф / м ,

где:

a – ускорение,
v_i и v_f – соответственно начальная и конечная скорости,
Δt – время разгона,
Δd – расстояние, пройденное при ускорении,
F – чистая сила, действующая на ускоряющийся объект,
м – масса этого объекта.

Теперь вы знаете, как рассчитать ускорение! В следующем абзаце мы обсудим единицы ускорения (СИ и британские). Вы уже видели наши калькуляторы конвертации? Они могут сэкономить вам много времени при работе с различными юнитами. В случае расстояния вас может заинтересовать конвертер длины, который включает в себя таблицу преобразования длины. Если вы хотите переключаться между разными единицами массы, вот наш конвертер веса. Оба калькулятора позволяют быстро выполнять вычисления с любым набором единиц измерения.Попробуйте!

Блоки ускорения

Если вы уже умеете рассчитывать ускорение, давайте сосредоточимся на единицах ускорения. Вы можете вывести их из приведенных выше уравнений. Все, что вам нужно знать, это то, что скорость выражается в футах в секунду (британская / американская система) или в метрах в секунду (система СИ), а время – в секундах. Следовательно, если вы разделите скорость на время (как мы делаем в первой формуле ускорения), вы получите единицу ускорения фут / с² или м / с² в зависимости от того, какую систему вы используете.

В качестве альтернативы можно использовать третье уравнение. В этом случае вам нужно разделить силу (фунты в США и ньютоны в СИ) на массу (фунты в США и килограммы в СИ), получив пдл / фунт или Н / кг . Они оба представляют одно и то же, поскольку фунт составляет pdl = фунт * фут / с² , а ньютон составляет Н = кг * м / с² . Если вы замените его и уменьшите единицы, вы получите (фунт * фут / с²) / фунт = фут / с² или (кг * м / с²) / кг = м / с² .

Существует также третий вариант, который фактически широко используется.Вы можете выразить ускорение с помощью стандартного ускорения , обусловленного силой тяжести у поверхности Земли, которая определяется как g = 31,17405 фут / с² = 9,80665 м / с² . Например, если вы говорите, что лифт движется вверх с ускорением 0,2 g , это означает, что он ускоряется примерно со скоростью 6,2 фут / с² или 2 м / с² (т. Е. 0,2 * g ) . Мы округлили приведенные выше выражения до двух значащих цифр с помощью правил значащих чисел, которые вы можете найти в нашей математической категории.

Примеры разгона

Центростремительное ускорение и тангенциальное ускорение

Ускорение – это обычно вектор, поэтому его всегда можно разложить на составляющие. Обычно у нас есть две части, перпендикулярные друг другу: центростремительная и тангенциальная . Центростремительное ускорение изменяет направление скорости и, следовательно, форму следа, но не влияет на значение скорости. С другой стороны, тангенциальное ускорение всегда перпендикулярно траектории движения.Он изменяет только значение скорости , но не ее направление.

В круговом движении (крайний левый рисунок ниже), когда объект движется по окружности круга, присутствует только центростремительная составляющая. Объект будет поддерживать постоянную скорость; подумайте о Земле, которая имеет центростремительное ускорение из-за силы тяжести Солнца (на самом деле ее скорость немного меняется в течение года – см. калькулятор орбитальной скорости и калькулятор орбитального периода для получения дополнительной информации).

Когда присутствуют оба компонента, траектория объекта выглядит как на правом изображении. Что будет, если есть только тангенциальное ускорение? Затем происходит линейное движение. Это похоже на нажатие педали газа в автомобиле на прямом участке автострады. А если вы водитель, наш счетчик бензина может вас заинтересовать; оценивает стоимость проезда на автомобиле. Вы указываете экономию топлива, расстояние и цену на бензин, и вы быстро получаете стоимость поездки. Есть даже возможность разделить его на несколько человек, ведь вместе путешествовать весело и полезно! Группа разговорчивых друзей в вашей машине будет: e.g., не дать вам заснуть.

Угловое ускорение

Угловое ускорение играет важную роль в описании вращательного движения. Однако не путайте это с ранее упомянутыми центростремительными или тангенциальными ускорениями. Эта физическая величина соответствует скорости изменения угловой скорости. Другими словами, он сообщает вам, насколько быстро ускоряется вращение объекта – объект вращается все быстрее и быстрее (или все медленнее и медленнее, если угловое ускорение меньше нуля).

Знаете ли вы, что мы можем найти аналогию между этим и законом динамики Ньютона во вращательном движении? Согласно его второму закону, если вы можете переключить ускорение на угловое ускорение, силу на крутящий момент и массу на момент инерции, вы получите уравнение углового ускорения. Вы могли заметить, что некоторые физические законы, подобные этому, универсальны, что делает их действительно важными для физики.

Ускорение свободного падения

Мы упоминали ускорение свободного падения несколько раз ранее.Он возникает из-за гравитационной силы, которая существует между каждыми двумя объектами, имеющими массу (обратите внимание, что уравнение гравитации не зависит от объема объекта – здесь важна только масса). Сначала это может показаться странным, но согласно третьему закону движения Ньютона вы действуете на Землю с той же силой, что и Земля на вас . Однако масса Земли намного больше, чем масса человека (в ~ 10 ² раз больше), поэтому наше воздействие на Землю практически равно нулю. Это аналогично всем бактериям (в ~ 10¹⁸ раз легче человека), живущим на вашей руке; вы их даже не заметите! С другой стороны, мы чувствуем влияние нашей планеты, и это ускорение силы тяжести.

Стандартная сила тяжести по определению составляет 31,17405 фут / с² (9,80665 м / с²), поэтому, если человек весит 220 фунтов (около 100 кг), на него действует сила тяжести около 7000 фунтов на квадратный дюйм (1000 Н). Давайте введем это значение в окно №3 нашего калькулятора вместе с массой Земли (1,317 × 10²⁵ фунта или 5,972 × 10²⁴ кг в экспоненциальном представлении). Что такое расчетное ускорение? Это настолько маленькое , что наш калькулятор считает, что это ноль . Мы ничего не значим по сравнению с планетой!

Ускоритель частиц

Поговорив об огромных объектах в космосе, перейдем к микроскопическому миру частиц.Хотя мы не можем видеть их глазами, мы использовали частицы высоких энергий, такие как электроны и протоны, и регулярно используем их в ускорителях частиц; распространены в физике, химии и медицине. Мы используем их, чтобы убивать раковые клетки, сохраняя при этом окружающую здоровую ткань, или исследуем структуру материала в атомном масштабе. В последнее время рак – одна из болезней достатка, которая, вероятно, является следствием роста благосостояния в обществе. Даже неправильное питание может увеличить риск рака! С помощью этого ежедневного калькулятора протеина вы можете проверить, сколько протеина вам нужно в день, и, если вы также хотите улучшить свою физическую форму, наш макро-калькулятор здесь, чтобы помочь вам.

Вы, наверное, знаете о Большом адронном коллайдере (ЦЕРН), самом мощном ускорителе элементарных частиц в мире. Это позволяет нам сделать шаг вперед, чтобы понять, как устроена Вселенная, и разработать технологии, которые могут найти множество важных приложений в будущем. Однако, чтобы достичь таких высоких энергий, мы должны разогнать частицы до скоростей, близких к скорости света. Вкратце, мы можем сделать это с помощью магнитных или электрических полей. Чтобы увидеть, насколько быстро частицы ускоряются по сравнению со стандартной силой тяжести, посмотрите наше ускорение в калькуляторе электрического поля, где мы объяснили, как рассчитать ускорение заряженных частиц.

Мир микроскопических частиц управляется статистической физикой, которая уделяет особое внимание концепции вероятности. У нас есть много калькуляторов, связанных с этой темой. Взгляните на калькулятор вероятности, чтобы узнать, как найти вероятность, или попробуйте калькулятор перестановок, чтобы определить количество способов, которыми вы можете упорядочить определенное количество элементов. Физики используют перестановку для предсказания теоретических свойств материала, которые затем можно наблюдать в повседневной жизни. Например, вы можете узнать, какова средняя скорость частиц газа.

FAQ

Ускорение – это вектор?

Да , ускорение является вектором, так как имеет как величину, так и направление . Величина – это скорость ускорения объекта, а направление – это ускорение в том направлении, в котором движется объект, или против него. Это соответственно ускорение и замедление.

Как масса влияет на ускорение?

Если сила, с которой объект толкает, остается прежней, ускорение будет уменьшаться по мере увеличения массы .Это потому, что F / m = a, поэтому с увеличением массы фракция становится все меньше и меньше.

Может ли ускорение быть отрицательным?

Да , ускорение может быть отрицательным, , которое известно как замедление . Два объекта с равным, но противоположным ускорением будут ускоряться на одинаковую величину, только в двух противоположных направлениях.

Как найти среднее ускорение?

Рассчитайте изменение скорости для заданного вами времени.
Рассчитайте изменения во времени за рассматриваемый период.
Разделите изменение скорости на изменение во времени.
Результат – среднее ускорение за этот период.

Как узнать величину ускорения?

Преобразуйте величины силы в Ньютоны.
Измените Масса объекта на килограммы.
Умножьте оба значения на вместе, чтобы найти ускорение в м / с ².

В чем разница между ускорением и скоростью?

Скорость – это скорость, с которой объект движется в определенном направлении, а ускорение – это то, как скорость этого объекта изменяется со временем. Оба имеют величину и направление, но их единицы измерения – м / с и м / с ² соответственно.

Как найти угловое ускорение?

Используйте уравнения углового ускорения: a = Δv / Δt .
Найдите начальную и конечную угловую скорость в радианах / с.
Вычтите начальную угловую скорость из конечной угловой скорости, чтобы получить изменение угловой скорости .
Найдите начальное и конечное время для рассматриваемого периода.
Вычтите начальное время из последнего, чтобы получить изменение времени .
Разделите изменение угловой скорости на изменение во времени, чтобы получить угловое ускорение в радианах / с. ².

Калькулятор углового ускорения

Калькулятор углового ускорения помогает определить угловое ускорение объекта, который вращается или движется по окружности. Как вы скоро увидите, формула углового ускорения отличается от ускорения при прямолинейном движении, которое вы, вероятно, очень хорошо знаете. Продолжайте читать, если хотите узнать, что такое единицы углового ускорения и каково уравнение углового ускорения. Вы узнаете, что вы можете вычислить его с помощью нашего калькулятора углового ускорения двумя разными способами.Вы также можете воспользоваться нашим калькулятором центробежной силы, который тоже предназначен для кругового движения.

Определение углового ускорения

Вращательное движение объекта обычно описывается физической величиной, называемой угловой скоростью. Он измеряет угол, на который объект повернулся за определенное время. Например, представьте, что карусель в парке развлечений совершает полный оборот за десять секунд. Его угловая скорость составляет один оборот (360 °) за десять секунд или 36 ° в секунду.

Предположим, наша карусель начинает вращаться все быстрее и быстрее, не на 36 °, а на 50 °, затем 64 ° в секунду. Угловое ускорение описывает эту скорость изменения угловой скорости и вызвано крутящим моментом.

Формула углового ускорения

Угловое ускорение можно вычислить с помощью нашего калькулятора углового ускорения двумя способами. Мы используем следующие уравнения углового ускорения:

α = (ω₂ - ω₁) / t или α = a / R

где

α – угловое ускорение,
ω₁ – начальная угловая скорость,
ω₂ – конечная угловая скорость,
t – время изменения угловой скорости,
a – тангенциальное ускорение,
R – радиус окружности (или расстояние от оси вращения).

Касательное ускорение действует как линейное ускорение, перпендикулярное радиусу окружности.

Блоки углового ускорения

Есть несколько различных единиц, которые можно использовать для выражения углового ускорения:

наиболее распространенными являются единицы измерения угла на секунду в квадрате (например, рад / с² , ° / с² ). Этот блок хорошо иллюстрирует значение углового ускорения, поскольку линейное ускорение выражается в м / с² или фут / с² .
иногда мы опускаем числитель, оставляя только 1 / с² .
, поскольку угловая скорость может быть выражена в герцах Гц = 1 / с , мы также можем использовать это при получении углового ускорения Гц / с . Мы использовали это соглашение в нашем калькуляторе углового ускорения.

Преобразование между вышеуказанными единицами углового ускорения выглядит следующим образом: рад / с² = 1 / с² = Гц / с . Вы также можете воспользоваться нашим калькулятором преобразования углов!

Ускорение в калькуляторе электрического поля

Есть два основных типа полей, которые действуют на заряженные частицы: электрическое и магнитное.В нашем калькуляторе ускорения в электрическом поле мы сосредоточились на первом. Если вы хотите узнать больше о последнем, ознакомьтесь с нашим калькулятором силы Лоренца. В тексте ниже мы объясняем, какова сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле, и как можно вычислить ускорение этой частицы.

Заряженная частица в электромагнитном поле

Одна из фундаментальных сил природы, электромагнитная сила, состоит из электрического и магнитного полей.С одной стороны, электрическое поле всегда действует на заряженную частицу, а с другой стороны, магнитное поле действует только тогда, когда эта частица движется.

Величина силы F , которая действует на заряженную частицу в электрическом поле E , может быть описана законом Кулона. В нем указано, что F = q * E , где q – заряд частицы. Вы можете видеть, что частицы с более высоким зарядом всегда будут сильнее притягиваться (или отталкиваться).

Ускорение в электрическом поле

Если мы также учтем массу частицы, мы сможем вычислить ее ускорение. Для этого воспользуемся следующей формулой:

a = q * E / м

где

a – ускорение частицы,
q – заряд частицы,
м – масса частицы,

E – электрическое поле.(-19) C одиночного электрона. Приведенное выше уравнение легко выводится из второго закона Ньютона: F = m * a . Нам просто нужно совместить это с электростатической силой F = q * E , описанной в предыдущем разделе.

Ускорение электронов

Какова величина ускорения электрона в типичном электрическом поле? Похоже ли это на гравитационную силу нашей Земли? Давайте проверим это с помощью нашего калькулятора, предположив, что у нас есть электрон с массой me и зарядом e в относительно слабом электрическом поле E = 1 N / C .Результат потрясающий! Электрон ускоряется почти в 20 миллиардов раз быстрее, чем среднее ускорение свободного падения на Земле.

Три формулы, которые вам нужны

“Ого, ты действительно прошел с нуля до шестидесяти!”

Вы когда-нибудь слышали, чтобы кто-то использовал идиому «от нуля до шестидесяти», как я в приведенном выше примере? Когда кто-то говорит, что что-то пошло с нуля до шестидесяти, на самом деле они говорят, что все ускорилось очень быстро. Ускорение – это величина, на которую скорость чего-либо изменяется в течение заданного периода времени.

В этой статье мы поговорим об ускорении: что это такое и как его рассчитать. Пристегнитесь!

Что такое ускорение?

Ускорение – это скорость изменения скорости за заданный период времени. Для расчета ускорения необходимы скорость и время.

Многие путают ускорение со скоростью (или скоростью). Прежде всего, скорость – это просто скорость с направлением, поэтому эти два понятия часто используются как синонимы, даже если они имеют небольшие различия. Ускорение – это скорость изменения скорости, означающая, что что-то становится быстрее или медленнее.

Что такое формула ускорения?

Для расчета ускорения можно использовать уравнение ускорения. Вот наиболее распространенная формула ускорения:

$$ a = {Δv} / {Δt} $$

где $ Δv $ – изменение скорости, а $ Δt $ – изменение во времени.

Вы также можете записать уравнение ускорения следующим образом:

$$ a = {v (f) – v (i)} / {t (f) – t (i)} $$

В этом уравнении ускорения $ v (f) $ – это конечная скорость, а – начальная скорость $ v (i) $.$ T (f) $ – это последнее время, а $ t (i) $ – начальное время.

Еще о некоторых вещах, о которых следует помнить при использовании уравнения ускорения:

Вам нужно вычесть начальную скорость из конечной скорости. Если вы перевернете их, вы получите неверное направление вашего ускорения.

Если у вас нет времени начала, вы можете использовать «0».

Если конечная скорость меньше начальной, ускорение будет отрицательным, что означает, что объект замедлился.

Теперь давайте разберем уравнение ускорения пошагово на реальном примере.

Как рассчитать ускорение: пошаговая разбивка

Теперь давайте разберем формулу ускорения шаг за шагом на реальном примере.

Гоночный автомобиль разгоняется с 15 до 35 м / с за 3 секунды. Какое у него среднее ускорение?

Сначала напишите уравнение ускорения.

$$ a = {v (f) – v (i)} / {t (f) – t (i)} $$

Затем определите свои переменные.2 $$

Давайте попробуем другой пример.

Велосипедист, движущийся со скоростью 23,2 м / с, полностью останавливается за 1,5 $ с $. Какое у нее было замедление?

Сначала напишите уравнение ускорения.

$$ a = (v (f) – v (i)) ÷ (t (f) – t (i)) $$

Затем определите свои переменные.

a = то, что мы решаем для

$$ V (f) = 0 м / с $$

$$ V (i) = 23,2 м / с $$

$$ T (f) = 1,4 с $$

$$ T (i) = 0 с $$

Теперь подставьте переменные в уравнение и решите:

$$ A = {{(0 – 23.2} $$

2 Другие общие формулы ускорения

Не знаете, как рассчитать ускорение по другой формуле? Есть несколько других распространенных формул ускорения.

Формула углового ускорения

Угловое ускорение – это скорость, с которой угловое ускорение вращающегося объекта изменяется во времени.

Вот уравнение углового ускорения:

$$ a = {\ change \ in \ angular \ velocity} / {\ change \ in \ time} $$

Формула центростремительного ускорения

Центростремительное ускорение – это скорость движения объекта внутрь к центру круга.2} / г $$

$ a (c) $ = ускорение, центростремительное

$ v $ = скорость

$ r $ = радиус

Основные выводы

Ускорение – это скорость изменения скорости за заданный период времени.

Вы вычисляете ускорение, разделив изменение скорости на изменение во времени.

Что дальше?

Ищете другие научные объяснения? Мы разбиваем электрическую энергию и как определить различных типов облаков с помощью наших экспертных руководств.

Работаете над исследовательской работой, но не знаете, с чего начать? Тогда ознакомьтесь с нашим руководством, где мы собрали множество высококачественных тем для исследований, которые вы можете использовать бесплатно.

Нужна помощь с уроком английского языка – в частности, с определением литературных приемов в текстах, которые вы читаете? Тогда вы обязательно захотите взглянуть на наше исчерпывающее объяснение самых важных литературных устройств и того, как они используются.

Acceleration – The Physics Hypertextbook

Обсуждение

определение

Когда скорость объекта изменяется, говорят, что он ускоряется. Ускорение – это скорость изменения скорости во времени.

В повседневном английском языке слово «ускорение» часто используется для описания состояния увеличения скорости. Для многих американцев единственный опыт разгона – это реклама автомобилей. Когда рекламный ролик кричит «от нуля до шестидесяти за шесть целых семь десятых секунды», они говорят, что этому конкретному автомобилю требуется 6,7 с, чтобы достичь скорости 60 миль в час, начиная с полной остановки. Этот пример иллюстрирует ускорение в общепринятом понимании, но ускорение в физике – это гораздо больше, чем просто увеличение скорости.

Любое изменение скорости объекта приводит к ускорению: увеличение скорости (что люди обычно имеют в виду, когда говорят об ускорении), уменьшение скорости (также называемое замедлением или замедление ) или изменение направления (называемое центростремительным ускорением ). ). Да, верно, изменение направления движения приводит к ускорению, даже если движущийся объект не ускоряется и не замедляется. Это потому, что ускорение зависит от изменения скорости, а скорость является векторной величиной, имеющей как величину, так и направление.Таким образом, падающее яблоко ускоряется, машина, остановившаяся на светофоре, ускоряется, а Луна на орбите вокруг Земли ускоряется. Ускорение происходит каждый раз, когда скорость объекта увеличивается или уменьшается, или он меняет направление.

Как и скорость, есть два вида ускорения: среднее и мгновенное. Среднее ускорение определяется за «длинный» интервал времени. Слово «длинный» в этом контексте означает «конечное» – нечто, имеющее начало и конец. Скорость в начале этого интервала называется начальной скоростью , представленной символом v ₀ (vee ноль), а скорость в конце называется конечной скоростью , представленной символом . v (vee).Среднее ускорение – это величина, рассчитанная на основе двух измерений скорости.

= ∆ v = v – v ₀

∆ т ∆ т

Напротив, мгновенное ускорение измеряется в течение «короткого» временного интервала. Слово «короткий» в этом контексте означает бесконечно малое или бесконечно малое – не имеющее вообще никакой продолжительности или протяженности.Это математический идеал, который может быть реализован только как предел. Предел ставки, когда знаменатель приближается к нулю, называется производной . Таким образом, мгновенное ускорение является пределом среднего ускорения, когда временной интервал приближается к нулю, или, альтернативно, ускорение является производной скорости.

= ∆ v = d v

∆ т дт

Ускорение – это производная скорости от времени, но скорость сама по себе является производной положения от времени.Производная – это математическая операция, которую можно многократно применять к паре изменяющихся величин. Выполнив это один раз, вы получите первую производную . Выполнение этого дважды (производная от производной) дает вам , вторую производную . Это делает ускорение первой производной скорости по времени и второй производной позиции по времени.

= d v = д d s = d ² s

дт дт дт дт ²

Несколько слов об обозначениях.В формальном математическом письме векторы пишутся жирным шрифтом . Скаляры и величины векторов написаны курсивом . Цифры, размеры и единицы измерения пишутся римским шрифтом (не курсивом, не жирным шрифтом, не наклонным шрифтом – обычный текст). Например…

a = 9,8 м / с ², θ = −90 ° или a = 9,8 м / с ² при −90 °

(Примечание по дизайну: я считаю, что греческие буквы плохо смотрятся на экране, когда они выделены курсивом, поэтому я решил игнорировать это правило для греческих букв, пока красивые греческие шрифты не станут нормой в Интернете.)

шт.

международных единиц

Вычисление ускорения включает деление скорости на время – или в единицах СИ, деление метра в секунду [м / с] на секунду [с]. Разделить расстояние на время дважды – это то же самое, что разделить расстояние на квадрат времени. Таким образом, единица ускорения в системе СИ – это метра в секунду в квадрате .

⎡
⎢
⎣ м = м / с = м 1 ⎤
⎥
⎦

с ² с с с

натуральные единицы

Другой часто используемой единицей является стандартное ускорение свободного падения – g.Поскольку все мы знакомы с влиянием силы тяжести на себя и окружающие нас объекты, это удобный стандарт для сравнения ускорений. Все ощущается нормально при 1 г, вдвое тяжелее при 2 г и невесомым при 0 г. Эта единица имеет точно определенное значение 9,80665 м / с ², но для повседневного использования достаточно 9,8 м / с ², а 10 м / с ² удобны для быстрой оценки.

Единица, называемая стандартным ускорением свободного падения (обозначается латинскими буквами g), отличается от естественного явления, называемого ускорением свободного падения (обозначается курсивом g ).Первый имеет определенное значение, тогда как второй необходимо измерить. (Подробнее об этом позже.)

Хотя термин «перегрузочная сила» часто используется, g является мерой ускорения, а не силы. (Подробнее о силах позже.) Особую озабоченность у людей вызывают физиологические эффекты ускорения. Для сравнения, все значения указаны в g.

В дизайне американских горок скорость имеет решающее значение. Либо это? Если бы скорость была всем, что нужно для создания захватывающей поездки, то автострада была бы довольно захватывающей.Большинство американских горок редко превышают 30 м / с (60 миль в час). Вопреки распространенному мнению, именно ускорение делает поездку интересной. Хорошо спроектированные американские горки подвергают гонщика кратковременным максимальным ускорениям от 3 до 4 g. Это то, что придает поездке ощущение опасности.

Несмотря на огромную мощность двигателей, ускорение космического челнока было ниже 3 g. Что-то большее создаст ненужную нагрузку на космонавтов, полезную нагрузку и сам корабль.Оказавшись на орбите, вся система входит в длительный период свободного падения, что дает ощущение невесомости. Такая среда с нулевым ускорением также может быть смоделирована внутри специально пилотируемого самолета или башни свободного падения. (Подробнее об этом позже.)

Пилоты-истребители могут испытывать ускорение до 8 g в течение коротких периодов времени во время тактических маневров. Если выдерживать более нескольких секунд, достаточно от 4 до 6 г, чтобы вызвать затемнение. Чтобы предотвратить «потерю сознания из-за перегрузки» (G-LOC), летчики-истребители носят специальные скафандры, которые сжимают ноги и живот, заставляя кровь оставаться в голове.

Пилоты и космонавты могут также тренироваться на человеческих центрифугах, способных работать до 15 g. Воздействие таких сильных ускорений кратковременно из соображений безопасности. Люди редко подвергаются воздействию чего-либо выше 8 g дольше нескольких секунд.

Ускорение связано с травмой. Вот почему наиболее распространенным датчиком манекена для краш-тестов является акселерометр. Сильное ускорение может привести к смерти. Ускорение во время аварии, в результате которой погибла Диана, принцесса Уэльская, в 1997 году, по оценкам, составило порядка 70-100 г, что было достаточно интенсивным, чтобы оторвать легочную артерию от ее сердца – травму, пережить которую практически невозможно. .Если бы она была пристегнута ремнем безопасности, ускорение было бы примерно 30 или 35 g – достаточно, чтобы сломать одно или два ребра, но не настолько, чтобы убить большинство людей.

Гауссовские единицы

Точное измерение силы тяжести над поверхностью Земли или других небесных объектов называется гравиметрией . По историческим причинам предпочтительной единицей в этой области является сантиметр на секунду в квадрате, также известный как галлона . В символической форме…

[ Gal = см / с ²]

Да, верно.Название единицы пишется строчными буквами (gal), а символ – заглавной (Gal). Галла была названа в честь итальянского ученого Галилео Галилея (1564–1642), который был первым ученым, изучавшим ускорение силы тяжести, и, возможно, первым из ученых любого рода. Поскольку ускорение силы тяжести на поверхности большинства небесных объектов изменяется на небольшую величину, отклонения силы от идеализированных моделей (так называемые гравитационные аномалии , ) измеряются в тысячных долях галлона или миллигал (мГал).

[1000 мГал = 1 галлон]

Гал и миллигал являются частью предшественника Международной системы единиц, называемой системой единиц сантиметр-грамм-секунда или гауссовой системой единиц. Возможно, однажды я действительно напишу что-нибудь важное в этом разделе этой книги.

Вот несколько примеров ускорений в конце этого раздела.

Ускорение выбранных событий (от наименьшего к наибольшему)
a (м / с ²) событие

0 неподвижен или движется с постоянной скоростью

5 × 10 ⁻¹⁴ наименьшее ускорение в научном эксперименте

2.32 × 10 ⁻¹⁰ галактическое ускорение на Солнце

9 × 10 ⁻¹⁰ аномальное ускорение космического корабля “Пионер”

0,5 лифт гидравлический

0,63 Ускорение свободного падения на Плутоне

1 лифт, трос

1,6 ускорение свободного падения на Луне

8.8 Международная космическая станция на орбите

3,7 ускорение свободного падения на Марсе

9,8 Ускорение свободного падения на Земле

10–40 пилотируемая ракета при старте

20 космический шаттл, пик

24,8 Ускорение свободного падения на Юпитере

20–50 американские горки

80 предел устойчивой толерантности человека

0–150 центрифуга для обучения человека

100–200 катапультное сиденье

270 Ускорение свободного падения на Солнце

600 подушки безопасности автоматически срабатывают

10 ⁴ –10 ⁶ центрифуга медицинская

10 ⁶ пуля в стволе пистолета

10 ⁶ Ускорение свободного падения на звезде белого карлика

10 ¹² Ускорение свободного падения на нейтронную звезду

Автомобильное ускорение (g)
событие типичный автомобиль спортивный автомобиль Гоночный автомобиль F-1 большой грузовик

начиная с 0.3–0,5 0,5–0,9 1,7 <0,2

тормозной 0,8–1,0 1,0–1,3 2 ~ 0,6

поворот 0,7–0,9 0,9–1,0 3

Катастрофа
Ускорение и человеческое тело Первоисточник: Ускорение нарушений повседневной жизни, 1994
a (г) событие

02.9 чихать

03,5 кашель

03,6 толпа

04,1 шлепок по спине

08,1 ступенька

10,1 плюхнуться на стул

60 Ускорение грудной клетки при ДТП со скоростью 48 км / ч с подушкой безопасности

70–100 , в результате которой погибла Диана, принцесса Уэльская, 1997 год

150–200 Предел ускорения головы при велосипедной аварии со шлемом

Кинематические уравнения

Цель этого первого раздела “Класса физики” состояла в том, чтобы исследовать различные средства, с помощью которых можно описать движение объектов.Разнообразие представлений, которые мы исследовали, включает словесные представления, графические представления, числовые представления и графические представления (графики положения-времени и графики скорости-времени). В Уроке 6 мы исследуем использование уравнений для описания и представления движения объектов. Эти уравнения известны как кинематические уравнения.

Есть множество величин, связанных с движением объектов – смещение (и расстояние), скорость (и скорость), ускорение и время.Знание каждой из этих величин дает описательную информацию о движении объекта. Например, если известно, что автомобиль движется с постоянной скоростью 22,0 м / с, на север в течение 12,0 секунд для смещения на север на 264 метра, то движение автомобиля полностью описано. И если известно, что вторая машина ускоряется из положения покоя с ускорением на восток 3,0 м / с ² в течение 8,0 секунд, обеспечивая конечную скорость 24 м / с, восток и смещение на восток 96 метров. , то полностью описывается движение этой машины.Эти два утверждения дают полное описание движения объекта. Однако не всегда такая полнота известна. Часто бывает так, что известны лишь некоторые параметры движения объекта, а остальные неизвестны. Например, приближаясь к светофору, вы можете узнать, что ваша машина развивает скорость 22 м / с, восток и способна к заносу 8,0 м / с ², запад. Однако вы не знаете, какое смещение испытает ваша машина, если бы вы резко нажали на тормоз и занесло до полной остановки; и вы не знаете, сколько времени потребуется, чтобы остановиться.В таком случае неизвестные параметры могут быть определены с использованием физических принципов и математических уравнений (кинематических уравнений).

БОЛЬШОЙ 4
Кинематические уравнения – это набор из четырех уравнений, которые можно использовать для предсказания неизвестной информации о движении объекта, если известна другая информация. Уравнения можно использовать для любого движения, которое можно описать как движение с постоянной скоростью (ускорение 0 м / с / с) или движение с постоянным ускорением.Их нельзя использовать в течение какого-либо периода времени, в течение которого изменяется ускорение. Каждое из кинематических уравнений включает четыре переменные. Если известны значения трех из четырех переменных, то можно рассчитать значение четвертой переменной. Таким образом, кинематические уравнения предоставляют полезные средства прогнозирования информации о движении объекта, если известна другая информация. Например, если известно значение ускорения, а также начальное и конечное значения скорости буксирующего автомобиля, то смещение автомобиля и время можно предсказать с помощью кинематических уравнений.Урок 6 этого модуля будет посвящен использованию кинематических уравнений для прогнозирования числовых значений неизвестных величин для движения объекта.

Четыре кинематических уравнения, описывающие движение объекта:

В приведенных выше уравнениях используются различные символы. Каждый символ имеет свое особое значение. Символ d обозначает смещение объекта. Символ t обозначает время, в течение которого объект двигался.Символ a обозначает ускорение объекта. А символ v обозначает скорость объекта; индекс i после v (как в v _i) указывает, что значение скорости является начальным значением скорости, а индекс f (как в v _f) указывает, что значение скорости является окончательным значением скорости.

Каждое из этих четырех уравнений надлежащим образом описывает математическую связь между параметрами движения объекта. Таким образом, они могут использоваться для прогнозирования неизвестной информации о движении объекта, если известна другая информация.В следующей части Урока 6 мы исследуем, как это сделать.

3.4 Движение с постоянным ускорением – University Physics Volume 1

Learning Objectives

К концу этого раздела вы сможете:

Определите, какие уравнения движения следует использовать для решения неизвестных.

Используйте соответствующие уравнения движения для решения задачи преследования двух тел.

Вы можете догадаться, что чем больше ускорение, скажем, у автомобиля, удаляющегося от знака «Стоп», тем больше смещение автомобиля за данный момент времени. Но мы не разработали конкретное уравнение, которое связывает ускорение и смещение. В этом разделе мы рассмотрим некоторые удобные уравнения кинематических отношений, начиная с определений смещения, скорости и ускорения. Сначала мы исследуем движение одного объекта, называемого движением одного тела. Затем мы исследуем движение двух объектов, называемое задачами преследования двух тел.

Обозначение

Во-первых, сделаем несколько упрощений в обозначениях. Принятие начального времени равным нулю, как если бы время измерялось секундомером, является большим упрощением. Поскольку прошедшее время равно Δt = tf − t0Δt = tf − t0, принятие t0 = 0t0 = 0 означает, что Δt = tfΔt = tf, последнее время на секундомере. Когда начальное время принимается равным нулю, мы используем индекс 0 для обозначения начальных значений положения и скорости. То есть x0x0 – это начальная позиция , а v0v0 – начальная скорость .Мы не ставим нижние индексы на окончательные значения. То есть t – это конечный момент времени , x – конечная позиция , а v – конечная скорость . Это дает более простое выражение для затраченного времени: Δt = tΔt = t. Это также упрощает выражение для смещения x , которое теперь равно Δx = x − x0Δx = x − x0. Кроме того, это упрощает выражение для изменения скорости, которое теперь равно Δv = v − v0Δv = v − v0. Подводя итог, используя упрощенные обозначения, с начальным временем, принятым равным нулю,
Δt = tΔx = x − x0Δv = v − v0, Δt = tΔx = x − x0Δv = v − v0,
, где нижний индекс 0 обозначает начальное значение, а отсутствие нижнего индекса означает конечное значение в любом рассматриваемом движении.

Теперь мы делаем важное предположение, что ускорение постоянно . Это предположение позволяет нам избегать использования расчетов для определения мгновенного ускорения. Поскольку ускорение постоянно, среднее и мгновенное ускорения равны, то есть
a– = a = постоянная. a– = a = постоянная.
Таким образом, мы можем использовать символ a для ускорения в любое время. Предположение, что ускорение является постоянным, не серьезно ограничивает ситуации, которые мы можем изучить, и не ухудшает точность нашего лечения.Во-первых, ускорение составляет постоянных в большом количестве ситуаций. Более того, во многих других ситуациях мы можем точно описать движение, приняв постоянное ускорение, равное среднему ускорению для этого движения. Наконец, для движения, во время которого ускорение резко меняется, например, когда автомобиль разгоняется до максимальной скорости, а затем тормозит до остановки, движение можно рассматривать в отдельных частях, каждая из которых имеет собственное постоянное ускорение.

Смещение и положение от скорости

Чтобы получить наши первые два уравнения, мы начнем с определения средней скорости:

Подставляя упрощенные обозначения для ΔxΔx и ΔtΔt, получаем
v– = x − x0t.v– = x − x0t.
Решение для x дает нам
x = x0 + v – t, x = x0 + v – t,
3,10

при средней скорости
v– = v0 + v2.v– = v0 + v2.
3,11

Уравнение v– = v0 + v2v– = v0 + v2 отражает тот факт, что при постоянном ускорении v – v– представляет собой просто среднее значение начальной и конечной скоростей. Рисунок 3.18 графически иллюстрирует эту концепцию. В части (а) рисунка ускорение является постоянным, а скорость увеличивается с постоянной скоростью. Средняя скорость в течение 1-часового интервала от 40 км / ч до 80 км / ч составляет 60 км / ч:
v– = v0 + v2 = 40 км / ч + 80 км / ч3 = 60 км / ч.v– = v0 + v2 = 40 км / ч + 80 км / ч3 = 60 км / ч.
В части (b) ускорение не является постоянным. В течение 1-часового интервала скорость ближе к 80 км / ч, чем к 40 км / ч. Таким образом, средняя скорость больше, чем в части (а).
Рисунок 3.18 (a) График зависимости скорости от времени с постоянным ускорением, показывающий начальную и конечную скорости v0andvv0andv. Средняя скорость равна 12 (v0 + v) = 60 км / ч22 (v0 + v) = 60 км / ч. (b) График зависимости скорости от времени с изменением ускорения со временем. Средняя скорость не равна 12 (v0 + v) 12 (v0 + v), но превышает 60 км / ч.
Решение окончательной скорости по ускорению и времени

Мы можем вывести еще одно полезное уравнение, манипулируя определением ускорения:

Подстановка упрощенных обозначений для ΔvΔv и ΔtΔt дает
а = v − v0t (константа). a = v − v0t (константа).
Решение для v дает
v = v0 + at (constanta). v = v0 + at (constanta).
3,12

Пример 3,7

Расчет конечной скорости
Самолет приземляется с начальной скоростью 70.0 м / с, а затем ускоряется против движения со скоростью 1,50 м / с ² за 40,0 с. Какова его конечная скорость?
Стратегия
Сначала мы идентифицируем известные: v0 = 70 м / с, a = -1,50 м / с2, t = 40sv0 = 70 м / с, a = -1,50 м / с2, t = 40 с.
Во-вторых, мы идентифицируем неизвестное; в данном случае это конечная скорость vfvf.

Наконец, мы определяем, какое уравнение использовать. Для этого мы выясняем, какое кинематическое уравнение дает неизвестное в терминах известных. Мы рассчитываем окончательную скорость, используя уравнение 3.12, v = v0 + atv = v0 + at.

Решение
Подставьте известные значения и решите: v = v0 + at = 70,0 м / с + (- 1,50 м / с2) (40,0 с) = 10,0 м / сv = v0 + at = 70,0 м / с + (- 1,50 м / с2) (40,0 с) = 10,0 м / с.
Рисунок 3.19 представляет собой эскиз, показывающий векторы ускорения и скорости.

Рис. 3.19. Самолет приземляется с начальной скоростью 70,0 м / с и замедляется до конечной скорости 10,0 м / с, прежде чем направиться к терминалу. Обратите внимание, что ускорение отрицательное, потому что его направление противоположно его скорости, которая положительна.

Значение
Конечная скорость намного меньше начальной скорости, требуемой при замедлении, но все же положительная (см. Рисунок). В реактивных двигателях обратная тяга может поддерживаться достаточно долго, чтобы самолет остановился и начал движение назад, на что указывает отрицательная конечная скорость, но в данном случае это не так.
Помимо полезности при решении задач, уравнение v = v0 + atv = v0 + at дает нам представление о взаимосвязях между скоростью, ускорением и временем.Мы видим, например, что

Конечная скорость зависит от того, насколько велико ускорение и как долго оно длится

Если ускорение равно нулю, то конечная скорость равна начальной скорости ( v = v ₀), как и ожидалось (другими словами, скорость постоянна)

Если a отрицательное, то конечная скорость меньше начальной скорости

Все эти наблюдения соответствуют нашей интуиции. Обратите внимание, что всегда полезно исследовать основные уравнения в свете нашей интуиции и опыта, чтобы убедиться, что они действительно точно описывают природу.

Решение для конечного положения с постоянным ускорением

Мы можем объединить предыдущие уравнения, чтобы найти третье уравнение, которое позволяет нам вычислить окончательное положение объекта, испытывающего постоянное ускорение. Начнем с

Добавление v0v0 к каждой стороне этого уравнения и деление на 2 дает
v0 + v2 = v0 + 12at. v0 + v2 = v0 + 12at.
Так как v0 + v2 = v – v0 + v2 = v– для постоянного ускорения, имеем
v– = v0 + 12at.v– = v0 + 12at.
Теперь мы подставляем это выражение для v – v– в уравнение для смещения, x = x0 + v – tx = x0 + v – t, что дает
х = х0 + v0t + 12at2 (константа).х = х0 + v0t + 12at2 (константа).
3,13

Пример 3.8

Расчет смещения ускоряющегося объекта
Драгстеры могут развивать среднее ускорение 26,0 м / с ². Предположим, драгстер ускоряется из состояния покоя с этой скоростью в течение 5,56 с. Рис. 3.20. Как далеко он пролетит за это время?
Рис. 3.20. Пилот Top Fuel американской армии Тони «Сержант» Шумахер начинает гонку с контролируемого выгорания. (Источник: подполковник Уильям Термонд. Фото любезно предоставлено США.Армия.)

Стратегия
Сначала нарисуем набросок Рис. 3.21. Нас просят найти смещение, которое составляет x , если мы примем x0x0 равным нулю. (Думайте о x0x0 как о стартовой линии гонки. Она может быть где угодно, но мы называем ее нулевой и измеряем все остальные позиции относительно нее.) Мы можем использовать уравнение x = x0 + v0t + 12at2x = x0 + v0t + 12at2 когда мы идентифицируем v0v0, aa и t из постановки задачи.
Рис. 3.21. Эскиз разгоняющегося драгстера.

Решение
Во-первых, нам нужно определить известные.Запуск из состояния покоя означает, что v0 = 0v0 = 0, a задается как 26,0 м / с ² и t задается как 5,56 с.
Во-вторых, мы подставляем известные значения в уравнение, чтобы найти неизвестное:
x = x0 + v0t + 12at2.x = x0 + v0t + 12at2.
Поскольку начальное положение и скорость равны нулю, это уравнение упрощается до

Подстановка идентифицированных значений на и t дает
x = 12 (26,0 м / с2) (5,56 с) 2 = 402 м. x = 12 (26,0 м / с2) (5,56 с) 2 = 402 м.
Значение
Если мы переведем 402 м в мили, мы обнаружим, что пройденное расстояние очень близко к четверти мили, стандартному расстоянию для дрэг-рейсинга. Итак, наш ответ разумный. Это впечатляющий водоизмещение всего за 5,56 с, но первоклассные драгстеры могут преодолеть четверть мили даже за меньшее время. Если бы драгстеру была присвоена начальная скорость, это добавило бы еще один член в уравнение расстояния. Если в уравнении использовать те же ускорение и время, пройденное расстояние будет намного больше.
Что еще мы можем узнать, исследуя уравнение x = x0 + v0t + 12at2? X = x0 + v0t + 12at2? Мы видим следующие отношения:

Смещение зависит от квадрата прошедшего времени, когда ускорение не равно нулю. В примере 3.8 драгстер преодолевает только четверть общего расстояния за первую половину прошедшего времени.

Если ускорение равно нулю, то начальная скорость равна средней скорости (v0 = v -) (v0 = v–), и x = x0 + v0t + 12at2becomesx = x0 + v0t.x = x0 + v0t + 12at2becomesx = x0 + v0t.

Расчет конечной скорости по расстоянию и ускорению

Четвертое полезное уравнение может быть получено путем другой алгебраической обработки предыдущих уравнений. Если мы решим v = v0 + atv = v0 + at для t , мы получим

Подставляя это и v– = v0 + v2v– = v0 + v2 в x = x0 + v – tx = x0 + v – t, получаем
v2 = v02 + 2a (x − x0) (constanta). v2 = v02 + 2a (x − x0) (constanta).
3,14

Пример 3.9

Расчет конечной скорости
Рассчитайте конечную скорость драгстера в Примере 3.8 без использования информации о времени.
Стратегия
Уравнение v2 = v02 + 2a (x − x0) v2 = v02 + 2a (x − x0) идеально подходит для этой задачи, поскольку оно связывает скорости, ускорение и смещение и не требует информации о времени.
Решение
Сначала мы идентифицируем известные значения. Мы знаем, что v ₀ = 0, поскольку драгстер запускается из состояния покоя. Мы также знаем, что x – x ₀ = 402 м (это был ответ в примере 3.8). Среднее ускорение было дано как = 26.0 м / с ².
Во-вторых, мы подставляем известные в уравнение v2 = v02 + 2a (x − x0) v2 = v02 + 2a (x − x0) и решаем относительно v :
v2 = 0 + 2 (26,0 м / с2) (402 м). v2 = 0 + 2 (26,0 м / с2) (402 м).
Таким образом,
v2 = 2,09 × 104 м2 / с2 v = 2,09 × 104 м2 / с2 = 145 м / с. v2 = 2,09 × 104 м2 / с2v = 2,09 × 104 м2 / с2 = 145 м / с.
Значение
Скорость 145 м / с составляет около 522 км / ч или около 324 миль / ч, но даже эта головокружительная скорость не достигает рекорда для четверти мили. Также обратите внимание, что квадратный корень имеет два значения; мы взяли положительное значение, чтобы указать скорость в том же направлении, что и ускорение.
Изучение уравнения v2 = v02 + 2a (x − x0) v2 = v02 + 2a (x − x0) может дать дополнительное понимание общих соотношений между физическими величинами:

Конечная скорость зависит от величины ускорения и расстояния, на котором оно действует.

При фиксированном ускорении автомобиль, который едет вдвое быстрее, просто не останавливается на удвоенном расстоянии. Чтобы остановиться, нужно гораздо дальше. (Вот почему у нас есть зоны с пониженной скоростью возле школ.)

Объединение уравнений

В следующих примерах мы продолжаем исследовать одномерное движение, но в ситуациях, требующих немного большего количества алгебраических манипуляций.Примеры также дают представление о методах решения проблем. Следующее примечание предназначено для облегчения поиска необходимых уравнений. Имейте в виду, что эти уравнения не являются независимыми. Во многих ситуациях у нас есть два неизвестных, и нам нужно два уравнения из набора для решения для неизвестных. Для решения данной ситуации нам нужно столько уравнений, сколько неизвестных.

Сводка кинематических уравнений (константа
a ) х = х0 + v0t + 12at2x = x0 + v0t + 12at2 v2 = v02 + 2a (x − x0) v2 = v02 + 2a (x − x0)
Прежде чем мы перейдем к примерам, давайте более внимательно рассмотрим некоторые уравнения, чтобы увидеть поведение ускорения при экстремальных значениях.Переставляя уравнение 3.12, получаем

Из этого мы видим, что в течение конечного времени, если разница между начальной и конечной скоростями мала, ускорение невелико, приближаясь к нулю в том пределе, когда начальная и конечная скорости равны. Напротив, в пределе t → 0t → 0 при конечной разности начальной и конечной скоростей ускорение становится бесконечным.

Аналогичным образом, переставляя уравнение 3.14, мы можем выразить ускорение в терминах скоростей и смещения:
а = v2-v022 (х-х0).а = v2-v022 (х-х0).
Таким образом, при конечной разнице между начальной и конечной скоростями ускорение становится бесконечным, в пределе смещение приближается к нулю. Ускорение приближается к нулю в пределе, разница в начальной и конечной скоростях приближается к нулю для конечного смещения.

Пример 3.10

Как далеко уезжает машина?
На сухом бетоне автомобиль может ускоряться противоположно движению со скоростью 7,00 м / с ², тогда как на мокром бетоне он может ускоряться противоположно движению со скоростью всего 5 м / с.00 м / с ². Найдите расстояния, необходимые для остановки автомобиля, движущегося со скоростью 30,0 м / с (около 110 км / ч) по (а) сухому бетону и (б) мокрому бетону. (c) Повторите оба вычисления и найдите смещение от точки, где водитель видит, что светофор становится красным, принимая во внимание время его реакции 0,500 с, чтобы нажать ногой на тормоз.
Стратегия
Для начала нам нужно нарисовать набросок Рис. 3.22. Чтобы определить, какие уравнения лучше всего использовать, нам нужно перечислить все известные значения и точно определить, что нам нужно решить.
Рис. 3.22. Пример эскиза для визуализации ускорения, противоположного движению и тормозному пути автомобиля.

Решение

Во-первых, нам нужно определить известные и то, что мы хотим решить. Мы знаем, что v ₀ = 30,0 м / с, v = 0 и a = −7,00 м / с ² ( a отрицательно, потому что оно находится в направлении, противоположном скорости) . Возьмем x ₀ равным нулю. Ищем смещение ΔxΔx, или x – x ₀.
Во-вторых, мы определяем уравнение, которое поможет нам решить проблему. Лучшее уравнение для использования – v2 = v02 + 2a (x − x0). v2 = v02 + 2a (x − x0). Это уравнение лучше всего, потому что оно включает только одно неизвестное, x . Мы знаем значения всех других переменных в этом уравнении. (Другие уравнения позволили бы нам решить для x , но они требуют, чтобы мы знали время остановки, t , которое мы не знаем. Мы могли бы их использовать, но это потребовало бы дополнительных вычислений.)
В-третьих, мы изменим уравнение, чтобы найти x : x − x0 = v2 − v022ax − x0 = v2 − v022a и подставляем известные значения: х − 0 = 02− (30.0 м / с) 22 (-7,00 м / с2). X-0 = 02- (30,0 м / с) 22 (-7,00 м / с2). Таким образом, x = 64,3 м на сухом бетоне. x = 64,3 м на сухом бетоне.

Эта часть может быть решена точно так же, как (а). Единственное отличие состоит в том, что ускорение составляет −5,00 м / с ². Результат xwet = 90,0 м по мокрому бетону. xwet = 90,0 м по мокрому бетону.

Когда водитель реагирует, тормозной путь такой же, как в (a) и (b) для сухого и влажного бетона. Итак, чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно вычислить, как далеко проехал автомобиль за время реакции, а затем добавить это время ко времени остановки.Разумно предположить, что скорость остается постоянной в течение времени реакции водителя.
Для этого мы, опять же, определяем известные и то, что мы хотим решить. Мы знаем, что v– = 30,0 м / sv– = 30,0 м / с, treaction = 0,500streaction = 0,500s и areaction = 0areaction = 0. Примем x0-реакцию x0-реакцию равной нулю. Ищем xreactionxreaction.
Во-вторых, как и раньше, мы определяем лучшее уравнение для использования. В этом случае x = x0 + v – tx = x0 + v – t работает хорошо, потому что единственное неизвестное значение – x , что мы и хотим найти.
В-третьих, мы подставляем известные для решения уравнения: x = 0 + (30,0 м / с) (0,500 с) = 15,0 м. x = 0 + (30,0 м / с) (0,500 с) = 15,0 м. Это означает, что автомобиль проезжает 15,0 м, в то время как водитель реагирует, в результате чего общее смещение в двух случаях с сухим и мокрым бетоном на 15,0 м больше, чем при мгновенной реакции.
Наконец, мы добавляем смещение во время реакции к смещению при торможении (рис. 3.23), xbraking + xreaction = xtotal, xbraking + xreaction = xtotal, и найдите (a) равным 64,3 м + 15,0 м = 79.3 м в сухом виде и (b) должно составлять 90,0 м + 15,0 м = 105 м во влажном состоянии.

Рис. 3.23. Расстояние, необходимое для остановки автомобиля, сильно различается в зависимости от дорожных условий и времени реакции водителя. Здесь показаны значения тормозного пути для сухого и мокрого покрытия, рассчитанные в этом примере для автомобиля, движущегося со скоростью 30,0 м / с. Также показано общее расстояние, пройденное от точки, когда водитель впервые видит, что свет загорается красным, при условии, что время реакции составляет 0,500 с.

Значение
Смещения, обнаруженные в этом примере, кажутся разумными для остановки быстро движущегося автомобиля.Остановка автомобиля на мокром асфальте должна длиться дольше, чем на сухом. Интересно, что время реакции значительно увеличивает смещения, но более важен общий подход к решению проблем. Мы идентифицируем известные и определяемые величины, а затем находим соответствующее уравнение. Если существует более одного неизвестного, нам нужно столько независимых уравнений, сколько неизвестных необходимо решить. Часто есть несколько способов решить проблему. Фактически, различные части этого примера могут быть решены другими методами, но представленные здесь решения являются самыми короткими.
Пример 3.11

Время расчета
Предположим, автомобиль въезжает в движение по автостраде на съезде длиной 200 м. Если его начальная скорость равна 10,0 м / с, а он ускоряется со скоростью 2,00 м / с ², сколько времени потребуется автомобилю, чтобы преодолеть 200 м по рампе? (Такая информация может быть полезна транспортному инженеру.)
Стратегия
Сначала мы рисуем набросок Рис. 3.24. Нам предлагается решить за время t . Как и раньше, мы идентифицируем известные величины, чтобы выбрать удобную физическую связь (то есть уравнение с одной неизвестной, t .)
Рис. 3.24. Эскиз автомобиля, ускоряющегося на съезде с автострады.

Решение
Опять же, мы определяем известные и то, что мы хотим решить. Мы знаем, что x0 = 0, x0 = 0,
v0 = 10 м / с, a = 2,00 м / с2v0 = 10 м / с, a = 2,00 м / с2 и x = 200 м.
Нам нужно решить для т . Уравнение x = x0 + v0t + 12at2x = x0 + v0t + 12at2 работает лучше всего, потому что единственной неизвестной в уравнении является переменная t , которую нам нужно решить. Из этого понимания мы видим, что когда мы вводим известные в уравнение, мы получаем квадратное уравнение.

Нам нужно изменить уравнение, чтобы найти t , затем подставив известные значения в уравнение:
200 м = 0 м + (10,0 м / с) t + 12 (2,00 м / с2) t2. 200 м = 0 м + (10,0 м / с) t + 12 (2,00 м / с2) t2.
Затем мы упрощаем уравнение. Единицы измерения отменяются, потому что они есть в каждом члене. Мы можем получить единицы секунд для отмены, взяв t = t с, где t – величина времени, а s – единица измерения. Остается

Затем мы используем формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти t ,
t2 + 10t − 200 = 0t = −b ± b2−4ac2a, t2 + 10t − 200 = 0t = −b ± b2−4ac2a,
, что дает два решения: t = 10.0 и t = -20,0. Отрицательное значение времени неразумно, так как это будет означать, что событие произошло за 20 секунд до начала движения. Мы можем отказаться от этого решения. Таким образом,

Значение
Всякий раз, когда уравнение содержит неизвестный квадрат, есть два решения. В некоторых проблемах имеют смысл оба решения; в других разумно только одно решение. Ответ 10,0 с кажется разумным для типичной автострады на съезде.
Проверьте свое понимание 3.5

Ракета ускоряется со скоростью 20 м / с ² во время пуска.Сколько времени нужно, чтобы ракета достигла скорости 400 м / с?

Пример 3.12

Ускорение космического корабля
Космический корабль покинул орбиту Земли и направляется к Луне. Разгоняется со скоростью 20 м / с ² за 2 мин и преодолевает расстояние в 1000 км. Каковы начальная и конечная скорости космического корабля?
Стратегия
Нас просят найти начальную и конечную скорости космического корабля. Глядя на кинематические уравнения, мы видим, что одно уравнение не дает ответа.Мы должны использовать одно кинематическое уравнение для решения одной из скоростей и подставить его в другое кинематическое уравнение, чтобы получить вторую скорость. Таким образом, мы решаем два кинематических уравнения одновременно.
Решение
Сначала мы решаем для v0v0, используя x = x0 + v0t + 12at2: x = x0 + v0t + 12at2: x − x0 = v0t + 12at2x − x0 = v0t + 12at21.0 × 106m = v0 (120.0s) +12 (20,0 м / с2) (120,0 с) 21,0 × 106 м = v0 (120,0 с) +12 (20,0 м / с2) (120,0 с) 2v0 = 7133,3 м / с. V0 = 7133,3 м / с.
Затем мы подставляем v0v0 в v = v0 + atv = v0 + at, чтобы найти окончательную скорость:
v = v0 + at = 7133.3 м / с + (20,0 м / с2) (120,0 с) = 9533,3 м / с. V = v0 + at = 7133,3 м / с + (20,0 м / с2) (120,0 с) = 9533,3 м / с.
Значение
Есть шесть переменных смещения, времени, скорости и ускорения, которые описывают движение в одном измерении. Начальные условия данной задачи могут быть множеством комбинаций этих переменных. Из-за такого разнообразия решения могут быть не такими простыми, как простая подстановка в одно из уравнений. Этот пример показывает, что решения кинематики могут потребовать решения двух одновременных кинематических уравнений.
Освоив основы кинематики, мы можем перейти ко многим другим интересным примерам и приложениям. В процессе разработки кинематики мы также увидели общий подход к решению проблем, который дает как правильные ответы, так и понимание физических взаимоотношений. Следующий уровень сложности в наших задачах кинематики включает движение двух взаимосвязанных тел, называемых задачами преследования двух тел .

Задачи преследования двух тел

До этого момента мы рассматривали примеры движения с участием одного тела.Даже для задачи с двумя автомобилями и тормозным путем на мокрой и сухой дороге мы разделили эту задачу на две отдельные задачи, чтобы найти ответы. В задаче преследования двух тел движения объектов связаны, то есть искомое неизвестное зависит от движения обоих объектов. Чтобы решить эти проблемы, мы пишем уравнения движения для каждого объекта, а затем решаем их одновременно, чтобы найти неизвестное. Это показано на рисунке 3.25.

Рис. 3.25. Сценарий преследования с двумя телами, в котором автомобиль 2 имеет постоянную скорость, а автомобиль 1 идет сзади с постоянным ускорением.Автомобиль 1 догонит автомобиль 2 позже.

Время и расстояние, необходимое для того, чтобы автомобиль 1 догнал автомобиль 2, зависит от начального расстояния, на которое автомобиль 1 находится от автомобиля 2, а также от скорости обоих автомобилей и ускорения автомобиля 1. Кинематические уравнения, описывающие движение обоих автомобилей, должны быть решил найти эти неизвестные.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 3.13

Гепард ловит газель
Гепард прячется за кустом. Гепард замечает пробегающую мимо газель со скоростью 10 м / с.В тот момент, когда газель проходит мимо гепарда, гепард из состояния покоя ускоряется со скоростью 4 м / с ², чтобы поймать газель. а) Сколько времени требуется гепарду, чтобы поймать газель? б) Что такое смещение газели и гепарда?
Стратегия
Мы используем систему уравнений для постоянного ускорения, чтобы решить эту проблему. Поскольку есть два движущихся объекта, у нас есть отдельные уравнения движения, описывающие каждое животное. Но то, что связывает уравнения, – это общий параметр, который имеет одинаковое значение для каждого животного.Если мы внимательно посмотрим на проблему, становится ясно, что общим параметром для каждого животного является их положение x , позднее t . Поскольку оба они начинаются с x0 = 0x0 = 0, их смещения будут такими же в более позднее время t , когда гепард догонит газель. Если мы выберем уравнение движения, которое решает смещение для каждого животного, мы можем затем установить уравнения, равные друг другу, и решить для неизвестного, то есть времени.
Решение

Уравнение для газели: Газель имеет постоянную скорость, которая является ее средней скоростью, поскольку она не ускоряется.Поэтому мы используем уравнение 3.10 с x0 = 0x0 = 0: x = x0 + v – t = v – t. x = x0 + v – t = v – t. Уравнение для гепарда: гепард ускоряется из состояния покоя, поэтому мы используем уравнение 3.13 с x0 = 0x0 = 0 и v0 = 0v0 = 0: x = x0 + v0t + 12at2 = 12at2.x = x0 + v0t + 12at2 = 12at2. Теперь у нас есть уравнение движения для каждого животного с общим параметром, который можно исключить, чтобы найти решение. В этом случае мы решаем для t : x = v – t = 12at2t = 2v – a.x = v – t = 12at2t = 2v – a. Газель имеет постоянную скорость 10 м / с, что составляет ее среднюю скорость.Ускорение гепарда составляет 4 м / с ². Оценивая t , время, за которое гепард достигнет газели, имеем t = 2v – a = 2 (10 м / с) 4m / s2 = 5s. t = 2v – a = 2 (10 м / с) 4m / s2 = 5s.

Чтобы получить смещение, мы используем уравнение движения гепарда или газели, поскольку оба они должны дать одинаковый ответ.
Смещение гепарда: x = 12at2 = 12 (4 м / с2) (5) 2 = 50 м. x = 12at2 = 12 (4 м / с2) (5) 2 = 50 м. Водоизмещение газели: x = v – t = 10 м / с (5) = 50 м. x = v – t = 10 м / с (5) = 50 м.Мы видим, что оба смещения равны, как и ожидалось.

Значение
Важно анализировать движение каждого объекта и использовать соответствующие кинематические уравнения для описания отдельного движения. Также важно иметь хорошую визуальную перспективу задачи преследования двух тел, чтобы увидеть общий параметр, который связывает движение обоих объектов.

a (м / с ²)	событие
0	неподвижен или движется с постоянной скоростью
5 × 10 ⁻¹⁴	наименьшее ускорение в научном эксперименте
2.32 × 10 ⁻¹⁰	галактическое ускорение на Солнце
9 × 10 ⁻¹⁰	аномальное ускорение космического корабля “Пионер”
0,5	лифт гидравлический
0,63	Ускорение свободного падения на Плутоне
1	лифт, трос
1,6	ускорение свободного падения на Луне
8.8	Международная космическая станция на орбите
3,7	ускорение свободного падения на Марсе
9,8	Ускорение свободного падения на Земле
10–40	пилотируемая ракета при старте
20	космический шаттл, пик
24,8	Ускорение свободного падения на Юпитере
20–50	американские горки
80	предел устойчивой толерантности человека
0–150	центрифуга для обучения человека
100–200	катапультное сиденье
270	Ускорение свободного падения на Солнце
600	подушки безопасности автоматически срабатывают
10 ⁴ –10 ⁶	центрифуга медицинская
10 ⁶	пуля в стволе пистолета
10 ⁶	Ускорение свободного падения на звезде белого карлика
10 ¹²	Ускорение свободного падения на нейтронную звезду

событие	типичный автомобиль	спортивный автомобиль	Гоночный автомобиль F-1	большой грузовик
начиная с	0.3–0,5	0,5–0,9	1,7	<0,2
тормозной	0,8–1,0	1,0–1,3	2	~ 0,6
поворот	0,7–0,9	0,9–1,0	3

a (г)	событие
02.9	чихать
03,5	кашель
03,6	толпа
04,1	шлепок по спине
08,1	ступенька
10,1	плюхнуться на стул
60	Ускорение грудной клетки при ДТП со скоростью 48 км / ч с подушкой безопасности
70–100	, в результате которой погибла Диана, принцесса Уэльская, 1997 год
150–200	Предел ускорения головы при велосипедной аварии со шлемом