Физика формулы ускорения: Формулы ускорения в физике

2$).

Движение с ускорением, вектор которого не меняется по модулю и направлению, называется равноускоренным.

Определить ускорение при равноускоренном прямолинейном движении можно по формуле:

$a = \frac{v_1 – v_0}{t} = \frac{\Delta v}{t}$,

где $v_1, v_0$ – скорости в начале и в конце рассматриваемого периода времени длительностью $t$.

Отношение изменения скорости к промежутку времени, за который произошло это изменение, называют средним ускорением:

$\vec{a} = \frac{\vec{v_1} – \vec{v_0}}{t} = \frac{\Delta \vec{v}}{t}$,

В отличие от равноускоренного, здесь имеют значение направления векторов.

Если начальная скорость больше конечной, происходит замедление, которое в физике также принято называть ускорением, но выраженным с отрицательным знаком.

Мгновенное ускорение – ускорение, развиваемое за очень малый промежуток времени (его длительность стремится к нулю):

$\vec{a} = \lim\limits_{t \to 0}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$.

Содержание

Ускорение при движении по окружности

Поскольку ускорение – векторная величина, при движении отличном от прямолинейного оно не остается неизменным даже если модуль скорости не изменяется. В связи с этим ускорение вычисляется из начальной и конечной скоростей по правилам векторной математики, т.е. с учетом изменения направления.

Тело, движущееся по окружности, удобно рассматривать как обладающее двумя ускорениями: тангенциальным ($a_{\tau}$), направленным по касательной к траектории, и центростремительным, направленным к центру ($a_n$). При равномерном движении по окружности тангенциальное ускорение, отражающее мгновенную скорость тела, может быть равно нулю, но центростремительное имеет место даже в этом случае. Поэтому любое движение по криволинейной траектории является движением с ускорением.

Замечание 1

Центростремительное ускорение называется также нормальным, тангенциальное – касательным.

Касательное ускорение определяется как мгновенное при движении на очень малое угловое расстояние, когда длина дуги и длина хорды между начальной и конечной точками малоразличимы (сравниваются мгновенные скорости в этих точках).{2}}=\ddot{\bar{r}}(2)$$

где $\bar{r}$ – радиус – вектор, который определяет положение материальной точки в пространстве.

Вектор ускорения располагается в плоскости соприкосновения, в которой находится главная нормаль и касательная к траектории, при этом он имеет направление в сторону вогнутости траектории.

Единицы измерения ускорения

Основными единицами измерения ускорения в системе СИ является: [a]=м/с2

в СГС: [a]=см/с2

Виды ускорения

Если построить соприкасающуюся плоскость, в любой точке траектории, то вектор $\bar{a}$ разложим на две взаимно перпендикулярные составляющие:

$$\bar{a}=\bar{a}_{n}+\bar{a}_{\tau}(3)$$

где $\bar{a}_n$ – вектор, направленный по главной нормали к центру кривизны траектории материальной точки – это нормальное ускорение; $\bar{a}_{\tau}$ – вектор, направленный по касательной к траектории – это касательное ускорение. При этом выполняются равенства:

$$a_{n}=\frac{v^{2}}{R}(4)$$ $$a_{\tau}=\frac{d}{d t}|\bar{v}|(5)$$ $$|\bar{a}|=a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{v^{2}}{R}\right)^{2}+\dot{v}^{2}}(6)$$

где $|\bar{v}|=v$ – модуль вектора скорости, R – радиус кривизны траектории, an – проекция вектора $\bar{a}_n$ на направление единичного вектора главной нормали $(\bar{n})$, aт – проекция вектора $\bar{a}_{\tau}$ на направление единичного вектора касательной $\left(\bar{\tau}=\frac{\bar{v}}{v}\right)$. Величина an определяет быстроту изменения направления скорости, а величина aт – быстроту изменения модуля скорости.

Если $a_{\tau}=0$, то такое движение называют равномерным. При $a_{\tau}=$ const движение является равнопеременным (при $a_{\tau} < 0$ равнозамедленным, при $a_{\tau} > 0$ равноускоренным).

Средним ускорением материальной точки $\langle\bar{a}\rangle$ на отрезке времени от $t$ до $t+\Delta t$ называется векторная величина, равная отношению:

$$\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{\bar{v}(t+\Delta t)-\bar{v}(t)}{\Delta t}(7)$$

При $\Delta t \rightarrow 0$ в пределе среднее ускорение совпадает с мгновенным ускорением:

$$\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{d \bar{v}}{d t}=\bar{a}(t)(8)$$

Формула ускорения в разных системах координат

В декартовых координатах проекции ускорения (ax,ay,az) на оси (X,Y,Z)можно представить как:

$$a_{x}=\dot{v}_{x}=\ddot{x}, \quad a_{y}=\dot{v}_{y}=\ddot{y}, a_{z}=\dot{v}_{z}=\ddot{z}(9)$$

Соответственно, имеем:

$$\bar{a}=\ddot{x i}+\ddot{y} \bar{j}+\ddot{z} \bar{k}(10)$$

где $\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}$ – единичные орты по осям X,Y.{2}} \approx 13,5$ м/с2

Ответ. $a=\approx 13,5$ м/с2

Слишком сложно?

Формула ускорения не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Какова зависимость ускорения материальной точки от времени (a(t)), если частица перемещается по оси X и ее скорость изменяется в соответствии с уравнением: $v=\alpha \sqrt{x}$, где $\alpha$ – постоянная большая нуля? В начальный момент времени (при t=0 с) материальная точка находилась в начале координат (x=0 м). Нарисуйте график a(t).

Решение. Из условий задачи можно записать, что:

$$v=v_{x}=\alpha \sqrt{x}=\frac{d x}{d t}(2.1)$$

Используя формулу (2.1) найдем зависимость координаты xот времени (x(t) ):

$$\int \alpha d t=\int \frac{d x}{\sqrt{x}} \rightarrow \alpha t=2 \sqrt{x}+C(2.2)$$

где постоянную интегрирования найдем из начального условия задачи. Мы знаем, что x(0)=0, значит C=0.{2}}=\ddot{\bar{r}}(2)$$

где $\bar{r}$ – радиус – вектор, который определяет положение материальной точки в пространстве.

Вектор ускорения располагается в плоскости соприкосновения, в которой находится главная нормаль и касательная к траектории, при этом он имеет направление в сторону вогнутости траектории.

Единицы измерения ускорения

Основными единицами измерения ускорения в системе СИ является: [a]=м/с2

в СГС: [a]=см/с2

Виды ускорения

Если построить соприкасающуюся плоскость, в любой точке траектории, то вектор $\bar{a}$ разложим на две взаимно перпендикулярные составляющие:

$$\bar{a}=\bar{a}_{n}+\bar{a}_{\tau}(3)$$

где $\bar{a}_n$ – вектор, направленный по главной нормали к центру кривизны траектории материальной точки – это нормальное ускорение; $\bar{a}_{\tau}$ – вектор, направленный по касательной к траектории – это касательное ускорение. При этом выполняются равенства:

$$a_{n}=\frac{v^{2}}{R}(4)$$ $$a_{\tau}=\frac{d}{d t}|\bar{v}|(5)$$ $$|\bar{a}|=a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{v^{2}}{R}\right)^{2}+\dot{v}^{2}}(6)$$

где $|\bar{v}|=v$ – модуль вектора скорости, R – радиус кривизны траектории, an – проекция вектора $\bar{a}_n$ на направление единичного вектора главной нормали $(\bar{n})$, aт – проекция вектора $\bar{a}_{\tau}$ на направление единичного вектора касательной $\left(\bar{\tau}=\frac{\bar{v}}{v}\right)$. Величина an определяет быстроту изменения направления скорости, а величина aт – быстроту изменения модуля скорости.

Если $a_{\tau}=0$, то такое движение называют равномерным. При $a_{\tau}=$ const движение является равнопеременным (при $a_{\tau} < 0$ равнозамедленным, при $a_{\tau} > 0$ равноускоренным).

Средним ускорением материальной точки $\langle\bar{a}\rangle$ на отрезке времени от $t$ до $t+\Delta t$ называется векторная величина, равная отношению:

$$\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{\bar{v}(t+\Delta t)-\bar{v}(t)}{\Delta t}(7)$$

При $\Delta t \rightarrow 0$ в пределе среднее ускорение совпадает с мгновенным ускорением:

$$\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{d \bar{v}}{d t}=\bar{a}(t)(8)$$

Формула ускорения в разных системах координат

В декартовых координатах проекции ускорения (ax,ay,az) на оси (X,Y,Z)можно представить как:

$$a_{x}=\dot{v}_{x}=\ddot{x}, \quad a_{y}=\dot{v}_{y}=\ddot{y}, a_{z}=\dot{v}_{z}=\ddot{z}(9)$$

Соответственно, имеем:

$$\bar{a}=\ddot{x i}+\ddot{y} \bar{j}+\ddot{z} \bar{k}(10)$$

где $\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}$ – единичные орты по осям X,Y.{2}} \approx 13,5$ м/с2

Ответ. $a=\approx 13,5$ м/с2

Слишком сложно?

Формула ускорения не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Какова зависимость ускорения материальной точки от времени (a(t)), если частица перемещается по оси X и ее скорость изменяется в соответствии с уравнением: $v=\alpha \sqrt{x}$, где $\alpha$ – постоянная большая нуля? В начальный момент времени (при t=0 с) материальная точка находилась в начале координат (x=0 м). Нарисуйте график a(t).

Решение. Из условий задачи можно записать, что:

$$v=v_{x}=\alpha \sqrt{x}=\frac{d x}{d t}(2.1)$$

Используя формулу (2.1) найдем зависимость координаты xот времени (x(t) ):

$$\int \alpha d t=\int \frac{d x}{\sqrt{x}} \rightarrow \alpha t=2 \sqrt{x}+C(2.2)$$

где постоянную интегрирования найдем из начального условия задачи. Мы знаем, что x(0)=0, значит C=0.{2}}=\ddot{\bar{r}}(2)$$

где $\bar{r}$ – радиус – вектор, который определяет положение материальной точки в пространстве.

Вектор ускорения располагается в плоскости соприкосновения, в которой находится главная нормаль и касательная к траектории, при этом он имеет направление в сторону вогнутости траектории.

Единицы измерения ускорения

Основными единицами измерения ускорения в системе СИ является: [a]=м/с2

в СГС: [a]=см/с2

Виды ускорения

Если построить соприкасающуюся плоскость, в любой точке траектории, то вектор $\bar{a}$ разложим на две взаимно перпендикулярные составляющие:

$$\bar{a}=\bar{a}_{n}+\bar{a}_{\tau}(3)$$

где $\bar{a}_n$ – вектор, направленный по главной нормали к центру кривизны траектории материальной точки – это нормальное ускорение; $\bar{a}_{\tau}$ – вектор, направленный по касательной к траектории – это касательное ускорение. При этом выполняются равенства:

$$a_{n}=\frac{v^{2}}{R}(4)$$ $$a_{\tau}=\frac{d}{d t}|\bar{v}|(5)$$ $$|\bar{a}|=a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{v^{2}}{R}\right)^{2}+\dot{v}^{2}}(6)$$

где $|\bar{v}|=v$ – модуль вектора скорости, R – радиус кривизны траектории, an – проекция вектора $\bar{a}_n$ на направление единичного вектора главной нормали $(\bar{n})$, aт – проекция вектора $\bar{a}_{\tau}$ на направление единичного вектора касательной $\left(\bar{\tau}=\frac{\bar{v}}{v}\right)$. Величина an определяет быстроту изменения направления скорости, а величина aт – быстроту изменения модуля скорости.

Если $a_{\tau}=0$, то такое движение называют равномерным. При $a_{\tau}=$ const движение является равнопеременным (при $a_{\tau} < 0$ равнозамедленным, при $a_{\tau} > 0$ равноускоренным).

Средним ускорением материальной точки $\langle\bar{a}\rangle$ на отрезке времени от $t$ до $t+\Delta t$ называется векторная величина, равная отношению:

$$\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{\bar{v}(t+\Delta t)-\bar{v}(t)}{\Delta t}(7)$$

При $\Delta t \rightarrow 0$ в пределе среднее ускорение совпадает с мгновенным ускорением:

$$\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{d \bar{v}}{d t}=\bar{a}(t)(8)$$

Формула ускорения в разных системах координат

В декартовых координатах проекции ускорения (ax,ay,az) на оси (X,Y,Z)можно представить как:

$$a_{x}=\dot{v}_{x}=\ddot{x}, \quad a_{y}=\dot{v}_{y}=\ddot{y}, a_{z}=\dot{v}_{z}=\ddot{z}(9)$$

Соответственно, имеем:

$$\bar{a}=\ddot{x i}+\ddot{y} \bar{j}+\ddot{z} \bar{k}(10)$$

где $\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}$ – единичные орты по осям X,Y.{2}} \approx 13,5$ м/с2

Ответ. $a=\approx 13,5$ м/с2

Слишком сложно?

Формула ускорения не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Какова зависимость ускорения материальной точки от времени (a(t)), если частица перемещается по оси X и ее скорость изменяется в соответствии с уравнением: $v=\alpha \sqrt{x}$, где $\alpha$ – постоянная большая нуля? В начальный момент времени (при t=0 с) материальная точка находилась в начале координат (x=0 м). Нарисуйте график a(t).

Решение. Из условий задачи можно записать, что:

$$v=v_{x}=\alpha \sqrt{x}=\frac{d x}{d t}(2.1)$$

Используя формулу (2.1) найдем зависимость координаты xот времени (x(t) ):

$$\int \alpha d t=\int \frac{d x}{\sqrt{x}} \rightarrow \alpha t=2 \sqrt{x}+C(2.2)$$

где постоянную интегрирования найдем из начального условия задачи. Мы знаем, что x(0)=0, значит C=0.2}{2S}\)

Где \(a\) — достигнутое ускорение тела, \(S\) — пройденный путь (расстояние), \(t\) — затраченное время.

Время отсчитывается от начала движения тела.

При прямолинейном равномерном движении ускорение по модулю равняется нулю.

Для равноускоренного движения

Равноускоренное движение — прямолинейное движение с постоянным положительным ускорением (разгон).

При таком виде движения ускорение определяется по формуле: \(a\;=\;\frac{V-V_0}t\), где \(V_0\) и \(V\) начальная и конечная скорости соответственно, \(a\) — достигнутое ускорение тела, \(t\) — затраченное время.

Для равнозамедленного движения

Равнозамедленное движение — прямолинейное движение с постоянным отрицательным ускорением (замедление).

При таком виде движения ускорение находим по формуле: \(a\;=-\;\frac{V-V_0}t\), где V0 и V начальная и конечная скорости соответственно, a — достигнутое ускорение тела, t — затраченное время.

Нахождение ускорения через массу и силу

Принцип инерции Галилея:

Если не действовать на тело, то его скорость не будет меняться.

Система отсчета (СО) — система координат, точка отсчета и указание начала отсчета времени.

Инерциальная система отсчета (ИСО) — это СО, в которой наблюдается движение по инерции (соблюдается принцип инерции).

II закон Ньютона:

В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

или

\(\overrightarrow a=\frac{\overrightarrow F}m\)

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени — это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Другими словами — это ускорение, которое развивает тело за максимально короткий отрезок времени.

Выражается по формуле:

\( \overrightarrow a=\lim_{t\rightarrow0}\frac{\triangle\overrightarrow V}{\triangle t}\)

Максимальное ускорение

\(a_{max}=\omega v_{max},\) где \(a_{max}\) — максимальное ускорение, \(\omega\) — круговая (угловая, циклическая) частота, \(v_{max}\) — максимальная скорость.

Среднее ускорение

Среднее ускорение — это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло.

\(\overrightarrow{a_{ср}}=\frac{\triangle\overrightarrow V}{\triangle t}\), где \(\overrightarrow{a_{ср}}\) — среднее ускорение, \(\triangle\overrightarrow V\) — изменение скорости, \( \triangle t\) — изменение времени.

Проекция ускорения

Определение проекции ускорения на ось \(х\):

\(a_x=\frac{V_x-V_{0x}}t\), где где \(a_x\) — проекция ускорения на ось \(х\), \(V_x\) проекция текущей скорости на ось \(х\), \(V_{0x}\) — проекция начальной скорости на ось \(х\), \(t\) или \(\triangle t\) — промежуток времени, за который произошло изменение проекции скорости.

Формула ускорения (новая), определение, решеия задач : Пургаторий (Ф)

Формула ускорения (новая), определение, решения задач по ней.
Формула ускорения:

– начальная скорость тела.
– конечная скорость тела.
– единица времени = 1 секунда в системе Сu.
– время ускорения или время передачи импульса от одного тела к другому.
Для более полного ознакомления сюда:
http://sun22y.narod.ru/physics.htm

Формула, которая сейчас в учениках такая:


или

По моей формуле получается ускорение не в метры/секунду в квадрате, а просто в метры/секунду
Я просто подправил формулу.
А вообще как можно себе представить время в квадрате в природе? Я не могу представить этого. Время как идёт, так и идёт. Не бысторо и не медленно. Оно не изменяемо. Таково моё мнение.

Два определения ускорения:
1. Ускорение тела называется величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло и умноженному на единицу времени.

Это определение применимо только для одного удара по телу.

2. Ускорение тела при его равноускоренном движении называется величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, умноженному на единицу времени и количество произведённых ударов по телу.


n- количество ударов по телу.

Это определение применимо только для нескольких ударов по телу при равноускоренном движении.

— 02.09.2011, 08:29 —

Преимущества моей формулы ускорение, над старой формулой ускорения:
1. По моей формуле более точно можно вычислить расстояние пройденного тела, чем по старой формуле ускорения. Пройденное расстояние получается больше, чем по старой формуле. И это важно.
2. По моей формуле можно вычислить ускорение в долях секунды, т.к. обычно ускорение происходит на молекулярном уровне и за время гораздо менее секунды.
3. Вместо сек в квадрате в знаменателе становится просто секунда. Что согласуется естественно с действиями тел в природе, т.к. время в квадрате это нонсенс.
4. Тело не может непрерывно двигаться с ускорением. Ускорение происходит только в момент удара по телу, далее тело, получившее удар, двигается с постоянной скоростью до следующего удара по нему.
Что я и изобразил на графике.

Равноускоренное движение: формулы, примеры

Равноускоренное движение

Равноускоренное движение – это движение, при котором вектор ускорения не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту. Равномерное движение – частный случай равноускоренного движения с ускорением, равным нулю.

Рассмотрим случай свободного падения (тело брошено под уголом к горизонту) более подробно. Такое движение можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.

В любой точке траектории на тело действует ускорение свободного падения g→, которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону. 

Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y – равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.

Формулы для равноускоренного движения

Формула для скорости при равноускоренном движении:

v=v0+at.

Здесь v0 – начальная скорость тела, a=const – ускорение.

Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v(t) имеет вид прямой линии.

​​​​​​​

Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.

a=v-v0t=BCAC

Чем больше угол β, тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.

Для первого графика: v0=-2 мс; a=0,5 мс2.

Для второго графика: v0=3 мс; a=-13 мс2.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t. Как это сделать?

Выделим на графике малый отрезок времени ∆t. Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆t. Тогда, перемещение ∆s за время ∆t будет равно ∆s=v∆t.

Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆t. Перемещение s за время t равно площади трапеции ODEF.

s=OD+EF2OF=v0+v2t=2v0+(v-v0)2t.

Мы знаем, что v-v0=at, поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:

s=v0t+at22

Для того, чтобы найти координату тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты в зависимости от времени выражает закон равноускоренного движения.

Закон равноускоренного движения

Закон равноускоренного движения

Еще одна распространенная задача кинематики, которая возникает при анализе равноускоренного движения – нахождение координаты при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.

Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:

s=v2-v022a.

По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:

v=v02+2as.

При v0=0 s=v22a и v=2as

Важно!

Величины v, v0, a, y0, s, входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Кинематические уравнения

Цель этого первого раздела “Класса физики” состояла в том, чтобы исследовать различные средства, с помощью которых можно описать движение объектов. Разнообразие представлений, которые мы исследовали, включает словесные представления, графические представления, числовые представления и графические представления (графики положения-времени и графики скорости-времени). В Уроке 6 мы исследуем использование уравнений для описания и представления движения объектов.Эти уравнения известны как кинематические уравнения.

Есть множество величин, связанных с движением объектов – смещение (и расстояние), скорость (и скорость), ускорение и время. Знание каждой из этих величин дает описательную информацию о движении объекта. Например, если известно, что автомобиль движется с постоянной скоростью 22,0 м / с, на север в течение 12,0 секунд для смещения на север на 264 метра, то движение автомобиля полностью описано.И если известно, что вторая машина ускоряется из положения покоя с ускорением на восток 3,0 м / с 2 в течение 8,0 секунд, обеспечивая конечную скорость 24 м / с, восток и смещение на восток 96 метров. , то полностью описывается движение этой машины. Эти два утверждения дают полное описание движения объекта. Однако не всегда такая полнота известна. Часто бывает так, что известны лишь некоторые параметры движения объекта, а остальные неизвестны.Например, приближаясь к светофору, вы можете узнать, что ваша машина развивает скорость 22 м / с, восток и способна к заносу 8,0 м / с

2 , запад. Однако вы не знаете, какое смещение испытает ваша машина, если бы вы резко нажали на тормоз и занесло до полной остановки; и вы не знаете, сколько времени потребуется, чтобы остановиться. В таком случае неизвестные параметры могут быть определены с использованием принципов физики и математических уравнений (кинематических уравнений).



БОЛЬШОЙ 4

Кинематические уравнения – это набор из четырех уравнений, которые можно использовать для прогнозирования неизвестной информации о движении объекта, если известна другая информация. Уравнения можно использовать для любого движения, которое можно описать как движение с постоянной скоростью (ускорение 0 м / с / с) или движение с постоянным ускорением. Их нельзя использовать в течение какого-либо периода времени, в течение которого изменяется ускорение.Каждое из кинематических уравнений включает четыре переменные. Если известны значения трех из четырех переменных, то можно вычислить значение четвертой переменной. Таким образом, кинематические уравнения предоставляют полезные средства прогнозирования информации о движении объекта, если известна другая информация. Например, если известно значение ускорения, а также начальное и конечное значения скорости буксирующего автомобиля, то смещение автомобиля и время можно предсказать с помощью кинематических уравнений.Урок 6 этого модуля будет посвящен использованию кинематических уравнений для прогнозирования числовых значений неизвестных величин для движения объекта.

Четыре кинематических уравнения, описывающие движение объекта:

В приведенных выше уравнениях используются различные символы. Каждый символ имеет свое особое значение. Символ d обозначает смещение объекта. Символ t обозначает время, в течение которого объект двигался.Символ a обозначает ускорение объекта. А символ v обозначает скорость объекта; индекс i после v (как в v i ) указывает, что значение скорости является начальным значением скорости, а индекс f (как в v f ) указывает, что значение скорости является конечным значением скорости.

Каждое из этих четырех уравнений надлежащим образом описывает математическую связь между параметрами движения объекта. Таким образом, они могут использоваться для прогнозирования неизвестной информации о движении объекта, если известна другая информация.В следующей части Урока 6 мы исследуем процесс этого.

Калькулятор ускорения

| Определение | Формула

Калькулятор ускорения – это инструмент, который поможет вам определить , насколько быстро изменяется скорость объекта . Он работает тремя разными способами, в зависимости от:

  1. разница между скоростями в два разных момента времени,
  2. расстояние, пройденное при разгоне,
  3. масса ускоряющегося объекта и сила, действующая на него.

Если вы спрашиваете себя, что такое ускорение, какова формула ускорения или каковы единицы ускорения, продолжайте читать, и вы узнаете, как найти ускорение. Ускорение строго связано с движением объекта, и каждый движущийся объект обладает определенной энергией. Если вам нужно это оценить, посетите другие наши калькуляторы, где вы можете найти формулу кинетической энергии и ее угловую версию – формулу кинетической энергии вращения.

Чтобы все было понятно, мы также подготовили несколько примеров ускорения, которые распространены в физике.Вы можете найти там:

  1. центростремительное ускорение и тангенциальное ускорение,
  2. угловое ускорение,
  3. ускорение свободного падения,
  4. ускоритель частиц.

Ускорение всегда происходит, когда на объект действует ненулевая чистая сила. Вы можете почувствовать это в лифте, когда вы станете немного тяжелее (ускорение) или легче (замедление), или когда вы едете по крутому склону на санях по снегу. Более того, из общей теории относительности мы знаем, что вся Вселенная не только расширяется, но даже ускоряется! Это означает, что расстояние между двумя точками постоянно становится все больше и больше, но мы не можем чувствовать это каждый день, потому что каждый масштаб в мире тоже расширяется.

Что такое ускорение? – определение ускорения

Ускорение – это скорость изменения скорости объекта; другими словами, насколько быстро меняется скорость. Согласно второму закону Ньютона, ускорение прямо пропорционально сумме всех сил, действующих на объект, и обратно пропорционально его массе. Это все здравый смысл – если несколько разных сил толкают объект, вам нужно выяснить, к чему они складываются (они могут действовать в разных направлениях), а затем разделить результирующую чистую силу на массу вашего объекта.

Это определение ускорения гласит, что ускорение и сила, по сути, одно и то же. При изменении силы изменяется и ускорение, но величина его изменения зависит от массы объекта. Это неверно в ситуации, когда масса также изменяется, например, при ракетной тяге, когда сгоревшее топливо выходит из сопла ракеты. Если вы когда-нибудь задумывались, какова физика космических путешествий, взгляните на это уравнение ракеты Циолковского.

Мы можем измерить ускорение объекта напрямую с помощью акселерометра .Если повесить объект на акселерометр, он покажет ненулевое значение. Это почему? Ну, это из-за гравитационных сил, которые действуют на каждую частицу, имеющую массу. А где чистая сила, там и ускорение. Таким образом, акселерометр в состоянии покоя измеряет ускорение свободного падения, которое на поверхности Земли составляет около 31,17405 фут / с² (9,80665 м / с²) . Другими словами, это ускорение свободного падения, которое любой объект получает при свободном падении в вакууме.

Кстати о пылесосах, вы когда-нибудь смотрели «Звездные войны» или другой фильм, действие которого происходит в космосе? Эпические сражения космических кораблей, звуки бластеров, двигателей и взрывов.Что ж, это ложь. Космос – это вакуум, и в нем нельзя услышать звук (для распространения звуковых волн требуется материя). Эти битвы должны быть беззвучными! В космосе никто не услышит твой крик. Чтобы проверить скорость звука в воздухе или воде, воспользуйтесь нашим калькулятором скорости звука. Учитывается даже температура!

Как найти ускорение? – счетчик ускорения

Калькулятор ускорения на этом сайте учитывает только ситуацию, в которой объект имеет равномерное (постоянное) ускорение.В этом случае уравнение ускорения по определению представляет собой отношение изменения скорости за конкретное время. Однако здесь вы можете узнать, как найти ускорение еще двумя способами. Давайте посмотрим, как пользоваться нашим калькулятором (уравнения ускорения вы можете найти в разделе после):

  • В зависимости от того, какие данные у вас есть, вы можете рассчитать ускорение тремя разными способами. Сначала выбирает соответствующее окно (# 1, # 2 или # 3),
  • [если вы выберете # 1] – Введите начальную v_i и конечную v_f скорости объекта и сколько времени Δt потребовалось для изменения скорости.
  • [при выборе # 2] – Введите начальную скорость v_i , пройденное расстояние Δd и время Δt , пройденное во время ускорения. Здесь вам не нужно знать конечную скорость.
  • [при выборе # 3] – Введите массу объекта м и чистую силу F , действующую на этот объект. Это совершенно другой набор переменных, который возникает из второго закона движения Ньютона (другое определение ускорения).
  • Считайте результирующее ускорение из последнего поля. Вы также можете выполнить вычисления другим способом, если знаете, что такое ускорение, например, чтобы оценить расстояние Δd . Просто укажите остальные параметры в этом окне.

Знание того, что такое ускорение, необходимо для анализа движения объектов. Например, вы можете определить изменение импульса за определенный период времени с помощью этой формулы для импульса. Это одна из физических величин, которые мы используем в нашем калькуляторе автокатастроф, где мы объясняем и визуализируем важность ремней безопасности с помощью чисел и определяем, с какой скоростью вы можете погибнуть в автокатастрофе.Повышение скорости и содержание алкоголя в крови – главные причины автомобильных аварий. Пожалуйста, водите осторожно!

Формула ускорения – три уравнения ускорения

В 17 веке сэр Исаак Ньютон , один из самых влиятельных ученых всех времен, опубликовал свою знаменитую книгу Principia . В нем он сформулировал закон всемирного тяготения, который гласит, что любые два объекта с массой будут притягивать друг друга с силой, экспоненциально зависящей от расстояния между этими объектами (в частности, она обратно пропорциональна квадрату расстояния).Чем тяжелее объекты, тем больше сила тяжести. Это объясняет, например, почему планеты вращаются вокруг очень плотного Солнца.

В Principia Ньютон также включает три закона движения, которые являются центральными для понимания физики нашего мира. Калькулятор ускорения основан на трех различных уравнениях ускорения, третье из которых получено из работы Ньютона:

  1. a = (v_f - v_i) / Δt ,
  2. a = 2 * (Δd - v_i * Δt) / Δt² ,
  3. a = Ф / м ,

где:

  • a – ускорение,
  • v_i и v_f – соответственно начальная и конечная скорости,
  • Δt – время разгона,
  • Δd – расстояние, пройденное при ускорении,
  • F – чистая сила, действующая на ускоряющийся объект,
  • м – масса этого объекта.

Теперь вы знаете, как рассчитать ускорение! В следующем абзаце мы обсудим единицы ускорения (СИ и британские). Вы уже видели наши калькуляторы конвертации? Они могут сэкономить вам много времени при работе с различными юнитами. В случае расстояния вас может заинтересовать конвертер длины, который включает в себя таблицу преобразования длины. Если вы хотите переключаться между разными единицами массы, вот наш конвертер веса. Оба калькулятора позволяют быстро выполнять вычисления с любым набором единиц измерения.Попробуйте!

Блоки ускорения

Если вы уже умеете рассчитывать ускорение, давайте сосредоточимся на единицах ускорения. Вы можете вывести их из приведенных выше уравнений. Все, что вам нужно знать, это то, что скорость выражается в футах в секунду (британская / американская система) или в метрах в секунду (система СИ), а время – в секундах. Следовательно, если вы разделите скорость на время (как мы делаем в первой формуле ускорения), вы получите единицу ускорения фут / с² или м / с² в зависимости от того, какую систему вы используете.

В качестве альтернативы можно использовать третье уравнение. В этом случае вам нужно разделить силу (фунты в США и ньютоны в СИ) на массу (фунты в США и килограммы в СИ), получив пдл / фунт или Н / кг . Они оба представляют одно и то же, поскольку фунт составляет фунтов на кв. Дюйм = фунт * фут / с² , а ньютон составляет Н = кг * м / с² . Если вы замените его и уменьшите единицы, вы получите (фунт * фут / с²) / фунт = фут / с² или (кг * м / с²) / кг = м / с² .

Существует также третий вариант, который фактически широко используется.Вы можете выразить ускорение как стандартное ускорение , вызванное силой тяжести у поверхности Земли, которое определяется как g = 31,17405 фут / с² = 9,80665 м / с² . Например, если вы говорите, что лифт движется вверх с ускорением 0,2 g , это означает, что он ускоряется со скоростью около 6,2 фут / с² или 2 м / с² (т. Е. 0,2 * g ) . Мы округлили приведенные выше выражения до двух значащих цифр с помощью правил значащих цифр, которые вы можете найти в нашей математической категории.

Примеры разгона

Центростремительное ускорение и тангенциальное ускорение

Ускорение – это обычно вектор, поэтому его всегда можно разложить на составляющие. Обычно у нас есть две части, перпендикулярные друг другу: центростремительная и тангенциальная . Центростремительное ускорение изменяет направление скорости и, следовательно, форму дорожки, но не влияет на значение скорости. С другой стороны, тангенциальное ускорение всегда перпендикулярно траектории движения.Он изменяет только значение скорости , но не ее направление.

В круговом движении (крайний левый рисунок ниже), когда объект движется по окружности круга, присутствует только центростремительная составляющая. Объект будет поддерживать постоянную скорость; подумайте о Земле, которая имеет центростремительное ускорение из-за силы тяжести Солнца (на самом деле ее скорость немного меняется в течение года – см. калькулятор орбитальной скорости и калькулятор орбитального периода для получения дополнительной информации).

Когда присутствуют оба компонента, траектория объекта выглядит как на правом изображении. Что будет, если есть только тангенциальное ускорение? Затем происходит линейное движение. Это похоже на нажатие педали газа в автомобиле на прямом участке автострады. А если вы водитель, наш счетчик бензина может вас заинтересовать; оценивает стоимость проезда на автомобиле. Вы указываете экономию топлива, расстояние и цену на бензин, и вы быстро получаете стоимость поездки. Есть даже возможность разделить его на несколько человек, ведь вместе путешествовать весело и полезно! Группа разговорчивых друзей в вашей машине будет: e.g., не дать вам заснуть.

Угловое ускорение

Угловое ускорение играет важную роль в описании вращательного движения. Однако не путайте это с ранее упомянутыми центростремительными или тангенциальными ускорениями. Эта физическая величина соответствует скорости изменения угловой скорости. Другими словами, он сообщает вам, насколько быстро ускоряется вращение объекта – объект вращается все быстрее и быстрее (или все медленнее и медленнее, если угловое ускорение меньше нуля).

Знаете ли вы, что мы можем найти аналогию между этим и законом динамики Ньютона во вращательном движении? Согласно его второму закону, если вы можете переключить ускорение на угловое ускорение, силу на крутящий момент и массу на момент инерции, вы получите уравнение углового ускорения. Вы могли заметить, что некоторые физические законы, подобные этому, универсальны, что делает их действительно важными для физики.

Ускорение свободного падения

Мы несколько раз упоминали ускорение свободного падения.Он возникает из-за гравитационной силы, которая существует между каждыми двумя объектами, имеющими массу (обратите внимание, что уравнение гравитации не зависит от объема объекта – здесь важна только масса). Сначала это может показаться странным, но согласно третьему закону движения Ньютона, вы действуете на Землю с той же силой, что и Земля на вас . Однако масса Земли намного больше, чем масса человека (в ~ 10 ² раз больше), поэтому наше воздействие на Землю практически равно нулю. Это аналогично всем бактериям (в ~ 10¹⁸ раз легче человека), живущим на вашей руке; вы их даже не заметите! С другой стороны, мы чувствуем влияние нашей планеты, и это ускорение силы тяжести.

Стандартная сила тяжести по определению составляет 31,17405 фут / с² (9,80665 м / с²), поэтому, если человек весит 220 фунтов (около 100 кг), на него действует сила тяжести около 7000 фунтов на квадратный дюйм (1000 Н). Давайте введем это значение в окно №3 нашего калькулятора вместе с массой Земли (1,317 × 10²⁵ фунта или 5,972 × 10²⁴ кг в экспоненциальном представлении). Что такое расчетное ускорение? Это настолько мало , что наш калькулятор считает, что это ноль . Мы ничего не значим по сравнению с планетой!

Ускоритель частиц

Поговорив об огромных объектах в космосе, перейдем к микроскопическому миру частиц.Хотя мы не можем видеть их глазами, мы использовали частицы высоких энергий, такие как электроны и протоны, и регулярно используем их в ускорителях частиц; распространены в физике, химии и медицине. Мы используем их, чтобы убивать раковые клетки, сохраняя при этом окружающие здоровые ткани, или исследуем структуру материала в атомном масштабе. В последнее время рак стал одной из болезней достатка, которая, вероятно, является следствием роста благосостояния в обществе. Даже неправильное питание может увеличить риск рака! С помощью этого ежедневного калькулятора протеина вы можете проверить, сколько протеина вам нужно в день, а если вы также хотите улучшить свою физическую форму, наш макро-калькулятор здесь, чтобы помочь вам.

Вы, наверное, знаете о Большом адронном коллайдере (ЦЕРН), самом мощном ускорителе элементарных частиц в мире. Это позволяет нам сделать шаг вперед, чтобы понять, как устроена Вселенная, и разработать технологии, которые могут найти множество важных приложений в будущем. Однако, чтобы достичь таких высоких энергий, мы должны разогнать частицы до скоростей, близких к скорости света. Вкратце, мы можем сделать это с помощью магнитных или электрических полей. Чтобы увидеть, насколько быстро частицы ускоряются по сравнению со стандартной силой тяжести, посмотрите наше ускорение в калькуляторе электрического поля, где мы объяснили, как рассчитать ускорение заряженных частиц.

Мир микроскопических частиц управляется статистической физикой, которая уделяет особое внимание концепции вероятности. У нас есть много калькуляторов, связанных с этой темой. Взгляните на калькулятор вероятностей, чтобы узнать, как найти вероятность, или попробуйте калькулятор перестановок, чтобы определить количество способов, которыми вы можете упорядочить определенное количество элементов. Физики используют перестановку для предсказания теоретических свойств материала, которые затем можно наблюдать в повседневной жизни. Например, вы можете узнать, какова средняя скорость частиц газа.

FAQ

Ускорение – это вектор?

Да , ускорение – это вектор, так как он имеет как величину, так и направление . Величина – это скорость ускорения объекта, а направление – это ускорение в том направлении, в котором движется объект, или против него. Это соответственно ускорение и замедление.

Как масса влияет на ускорение?

Если сила, с которой объект толкает, остается прежней, ускорение будет уменьшаться по мере увеличения массы .Это потому, что F / m = a, поэтому по мере увеличения массы фракция становится все меньше и меньше.

Может ли ускорение быть отрицательным?

Да , ускорение может быть отрицательным, , которое известно как замедление . Два объекта с равным, но противоположным ускорением будут ускоряться на одинаковую величину, только в двух противоположных направлениях.

Как найти среднее ускорение?

  1. Рассчитайте изменение скорости для заданного вами времени.
  2. Рассчитайте изменение во времени за рассматриваемый период.
  3. Разделите изменение скорости на изменение во времени.
  4. Результат – среднее ускорение за этот период.

Как узнать величину ускорения?

  1. Преобразуйте величину силы в Ньютоны.
  2. Измените массу объекта на килограммы.
  3. Умножьте оба значения на вместе, чтобы найти ускорение в м / с 2 .

В чем разница между ускорением и скоростью?

Скорость – это скорость, с которой объект движется в определенном направлении, а ускорение – это то, как скорость этого объекта изменяется со временем. Оба имеют величину и направление, но их единицы – м / с и 2 м / с соответственно.

Как найти угловое ускорение?

  1. Используйте уравнения углового ускорения: a = Δv / Δt .
  2. Найдите начальную и конечную угловую скорость в радианах / с.
  3. Вычтите начальную угловую скорость из конечной угловой скорости, чтобы получить изменение угловой скорости .
  4. Найдите начальное и конечное время для рассматриваемого периода.
  5. Вычтите начальное время из последнего, чтобы получить изменение времени .
  6. Разделите изменение угловой скорости на изменение во времени, чтобы получить угловое ускорение в радианах / с 2 .

Уравнения движения – Гипертекст по физике

Обсуждение

постоянное ускорение

Для точности этот раздел должен называться «Одномерные уравнения движения при постоянном ускорении». Учитывая, что такое название было бы стилистическим кошмаром, позвольте мне начать этот раздел со следующей оговорки. Эти уравнения движения действительны только тогда, когда ускорение постоянное и движение ограничено прямой линией.

Учитывая, что мы живем в трехмерной вселенной, в которой единственная константа – это изменение, у вас может возникнуть соблазн сразу отказаться от этого раздела. Было бы правильно сказать, что ни один объект никогда не двигался по прямой с постоянным ускорением в любом месте Вселенной в любое время – ни сегодня, ни вчера, ни завтра, ни пять миллиардов лет назад, ни тридцать миллиардов лет в будущем. , никогда. Об этом я могу сказать с абсолютной метафизической уверенностью.

Так что же тогда хорошего в этом разделе? Что ж, во многих случаях полезно предположить, что объект двигался или будет двигаться по прямому пути с почти постоянным ускорением; то есть любое отклонение от идеального движения можно по существу игнорировать.Движение по криволинейной траектории можно считать фактически одномерным, если имеется только одна степень свободы для задействованных объектов. Дорога может изгибаться и поворачиваться и исследовать всевозможные направления, но автомобили, движущиеся по ней, имеют только одну степень свободы – свободу двигаться в одном или противоположном направлении. (Вы не можете ехать по дороге по диагонали и надеетесь остаться на ней надолго.) В этом отношении это мало чем отличается от движения, ограниченного прямой линией. Аппроксимация реальных ситуаций моделями, основанными на идеальных ситуациях, не считается обманом.Так поступают в физике. Это настолько полезный метод, что мы будем использовать его снова и снова.

Наша цель в этом разделе состоит в том, чтобы вывести новые уравнения, которые можно использовать для описания движения объекта в терминах его трех кинематических переменных: скорости ( v ), положения ( с ) и времени ( т ). Их можно объединить в пары: скорость-время, положение-время и скорость-положение. В этом порядке их также часто называют первым, вторым и третьим уравнениями движения, но нет веских причин для изучения этих имен.

Поскольку мы имеем дело с движением по прямой линии, направление будет обозначаться знаком – положительные величины указывают в одну сторону, а отрицательные величины указывают в противоположную сторону. Определение того, какое направление является положительным, а какое отрицательным, совершенно произвольно. Законы физики изотропны ; то есть они не зависят от ориентации системы координат. Однако некоторые проблемы легче понять и решить, если одно направление предпочтительнее другого.Пока вы последовательны в решении проблемы, это не имеет значения.

скорость-время

Связь между скоростью и временем проста при равномерно ускоренном прямолинейном движении. Чем дольше ускорение, тем больше изменение скорости. Изменение скорости прямо пропорционально времени, когда ускорение постоянно. Если скорость увеличивается на определенную величину за определенное время, она должна увеличиваться вдвое на эту величину в два раза быстрее. Если объект уже стартовал с определенной скоростью, то его новая скорость будет равна старой скорости плюс это изменение.Вы должны быть в состоянии увидеть уравнение уже мысленным взором.

Это самое простое из трех уравнений, которое можно вывести с помощью алгебры. Начнем с определения ускорения.

Разверните ∆ v до v v 0 и конденсируйте ∆ t до t .

Затем найдите v как функцию от t .

v = v 0 + at [1]

Это первое уравнение движения .Он записывается как полином – постоянный член ( v 0 ), за которым следует член первого порядка ( на ). Поскольку наивысший порядок равен 1, правильнее называть его линейной функцией .

Символ v 0 [vee naught] называется начальной скоростью или скоростью a time t = 0. Его часто называют «первой скоростью», но это довольно наивный способ Опишите это. Лучшее определение было бы сказать, что начальная скорость – это скорость, которую имеет движущийся объект, когда он впервые становится важным в проблеме.Скажем, метеор был замечен глубоко в космосе, и проблема заключалась в том, чтобы определить его траекторию, тогда начальная скорость, вероятно, будет той скоростью, которую он имел при первом наблюдении. Но если проблема заключалась в том, что тот же самый метеор сгорает при входе в атмосферу, то начальная скорость, вероятно, равна скорости, которую он имел при входе в атмосферу Земли. Ответ на вопрос “Какая начальная скорость?” “Это зависит от обстоятельств”. Это оказывается ответом на множество вопросов.

Символ v – это скорость через некоторое время t после начальной скорости.Ее часто называют конечной скоростью , но это не делает ее «последней скоростью» объекта. Возьмем случай с метеором. Какая скорость обозначена символом v ? Если вы внимательно слушали, значит, вы должны были ожидать ответа. По-разному. Это может быть скорость метеора, когда он проходит мимо Луны, входит в атмосферу Земли или ударяется о поверхность Земли. Это также может быть скорость метеорита, находящегося на дне кратера.(В этом случае v = 0 м / с.) Является ли какое-либо из этих значений конечной скоростью? Кто знает. Кто-то мог извлечь метеорит из дыры в земле и уехать вместе с ним. Это актуально? Наверное, нет, но это зависит от обстоятельств. Для такого рода вещей нет правил. Вы должны проанализировать текст задачи на предмет физических величин, а затем присвоить значение математическим символам.

Последняя часть этого уравнения на – это изменение скорости по сравнению с начальным значением. Вспомните, что a – это скорость изменения скорости, а t – это время после некоторого начального события .Ставка раз время меняется. Учитывая, что объект ускоряется со скоростью 10 м / с 2 , через 5 с он будет двигаться на 50 м / с быстрее. Если бы он стартовал со скоростью 15 м / с, то его скорость через 5 с была бы…

15 м / с + 50 м / с = 65 м / с

время позиции

Смещение движущегося объекта прямо пропорционально скорости и времени. Двигайся быстрее. Иди дальше. Двигайтесь дольше (как и дольше). Иди дальше. Ускорение усугубляет эту простую ситуацию, поскольку скорость теперь также прямо пропорциональна времени.Попробуйте сказать это словами, и это прозвучит нелепо. «Смещение прямо пропорционально времени и прямо пропорционально скорости, которая прямо пропорциональна времени». Время увеличивается в два раза, поэтому смещение пропорционально квадрату времени. Автомобиль, разгоняющийся в течение двух секунд, преодолеет в четыре раза больше расстояния, чем автомобиль, разгоняющийся всего за одну секунду (2 2 = 4). Автомобиль, разгоняющийся за три секунды, преодолеет расстояние в девять раз (3 2 = 9).

Если бы это было так просто.Этот пример работает, только когда начальная скорость равна нулю. Смещение пропорционально квадрату времени, когда ускорение постоянное, а начальная скорость равна нулю. Истинное общее утверждение должно учитывать любую начальную скорость и то, как она менялась. Это приводит к ужасно запутанному утверждению соразмерности. Смещение прямо пропорционально времени и пропорционально квадрату времени, когда ускорение постоянно. Функция, которая является одновременно линейной и квадратной, называется квадратичной , что позволяет нам значительно сжать предыдущее утверждение.Перемещение является квадратичной функцией времени при постоянном ускорении

Формулировки пропорциональности полезны, но не столь общие, как уравнения. Мы до сих пор не знаем, каковы константы пропорциональности для этой проблемы. Один из способов понять их – использовать алгебру.

Начнем с определения средней скорости.

Увеличьте ∆ s до s s 0 и конденсируйте ∆ t до t .

Решите для позиции.

с = с 0 + vt [a]

Чтобы продолжить, нам нужно прибегнуть к небольшому трюку, известному как теорема о средней скорости или правило Мертона . Я предпочитаю второй вариант, поскольку правило может применяться к любой величине, которая изменяется с одинаковой скоростью, а не только к скорости. Правило Мертона было впервые опубликовано в 1335 году в Мертон-колледже, Оксфорд, английским философом, математиком, логиком и калькулятором Уильямом Хейтсбери (1313–1372).Когда скорость изменения величины постоянна, ее среднее значение находится на полпути между ее конечным и начальным значениями.

v = ½ ( v + v 0 ) [4]

Подставьте первое уравнение движения [1] в это уравнение [4] и упростите его, исключив v .

v = ½ [( v 0 + at ) + v 0 ]

v = ½ (2 v 0 + at

2)

v = v 0 + ½ at [b]

Теперь замените [b] на [a], чтобы исключить v [vee bar].

с = с 0 + ( v 0 + ½ на ) t

И, наконец, найдите s как функцию от t .

с = с 0 + v 0 t + ½ на 2 [2]

Это второе уравнение движения . Он записывается как полином – постоянный член ( s 0 ), за которым следует член первого порядка ( v 0 t ), за которым следует член второго порядка (½ at 2 ). ).Поскольку наивысший порядок равен 2, правильнее называть его квадратичным .

Символ s 0 [ess naught] часто рассматривается как начальная позиция . Обозначение s – позиция t позже. Если хотите, вы можете назвать ее конечной позицией . Изменение положения (∆ s ) называется смещением или расстоянием (в зависимости от обстоятельств), и некоторые люди предпочитают писать второе уравнение движения таким образом.

s = v 0 t + ½ at 2 [2]

скорость-позиция

Первые два уравнения движения описывают одну кинематическую переменную как функцию времени. По сути…

  1. Скорость прямо пропорциональна времени при постоянном ускорении ( v t ).
  2. Смещение пропорционально квадрату времени при постоянном ускорении (∆ с t 2 ).

Объединение этих двух утверждений приводит к третьему, не зависящему от времени. При замене должно быть очевидно, что…

  1. Смещение пропорционально квадрату скорости при постоянном ускорении (∆ s v 2 ).

Это утверждение особенно важно для безопасности вождения. Когда вы вдвое увеличиваете скорость автомобиля, требуется в четыре раза больше расстояния, чтобы его остановить. Увеличьте скорость втрое, и вам понадобится в девять раз больше расстояния.Это хорошее практическое правило, которое следует запомнить.

Концептуальное введение сделано. Пришло время вывести формальное уравнение.

способ 1

Объедините первые два уравнения вместе таким образом, чтобы исключить время как переменную. Самый простой способ сделать это – начать с первого уравнения движения…

v = v 0 + at [1]

решить на время…

, а затем подставим его во второе уравнение движения…

с = с 0 + v 0 t + ½ на 2 [2]

как это…

с = с 0 + с 0

v v 0

+ ½ a

v v 0 2

a
с с 0 = vv 0 v 0 2 + v 2 -2 vv 0 + v 0 2
2 a
2 a ( s s 0 ) = 2 ( vv 0 v 0 2 ) + ( v

7

2 2 2 vv 0 + v 0 2 )
2 a ( s s 0 ) = v 2 v 0 2

Возведите объект в квадрат скорости, и все готово.

v 2 = v 0 2 + 2 a ( s s 0 ) [3]

Это третье уравнение движения . Еще раз, символ s 0 [ess naught] – это начальная позиция , а s – это позиция через некоторое время t позже. Если хотите, вы можете написать уравнение, используя ∆ s – изменение положения на , смещение на или на расстояние в зависимости от ситуации.

v 2 = v 0 2 + 2 a s [3]

способ 2

Более сложный способ вывести это уравнение – начать со второго уравнения движения в этой форме…

s = v 0 t + ½ at 2 [2]

и решите ее на время. Это непростая работа, поскольку уравнение квадратично. Переставьте термины так…

½ при 2 + v 0 t – ∆ s = 0

и сравните его с общей формой квадратичной.

ось 2 + bx + c = 0

Решения этого даются известным уравнением…

x = b ± √ ( b 2 – 4 ac )
2

Замените символы в общем уравнении эквивалентными символами из нашего преобразованного второго уравнения движения…

т = v 0 ± √ [ v 0 2 – 4 (½ a ) (∆ s )]
2 (½ a )

почисти немного…

т = v 0 ± √ ( v 0 2 -2 a s )

, а затем подставьте его обратно в первое уравнение движения.

v = v 0 + at [1]

v = v 0 + a

v 0 ± √ ( v 0 2 -2 a s )

Материал отменяется, и мы получаем это…

v = ± √ ( v 0 2 + 2 a s )

Выровняйте обе стороны, и все готово.

v 2 = v 0 2 + 2 a s [3]

Это было не так уж и плохо, не так ли?

исчисление выводов

Исчисление – это сложная математическая тема, но она значительно упрощает вывод двух из трех уравнений движения. По определению, ускорение – это первая производная скорости по времени. Возьмите операцию в этом определении и отмените ее. Вместо того, чтобы дифференцировать скорость, чтобы найти ускорение, интегрируйте ускорение, чтобы найти скорость.Это дает нам уравнение скорости-времени. Если предположить, что ускорение постоянное, мы получим так называемое первое уравнение движения [1].

=
дв = a dt
=
v v 0 = при
v = v 0 + at [1]

Опять же, по определению, скорость – это первая производная положения по времени.Выполните эту операцию в обратном порядке. Вместо того, чтобы различать положение для определения скорости, интегрируйте скорость для определения положения. Это дает нам уравнение положения-времени для постоянного ускорения, также известное как второе уравнение движения [2].

v =
DS = v dt
DS = ( v 0 + at ) dt
=
т

( v 0 + at ) dt
0
с с 0 = v 0 t + ½ at 2
с = s 0 + v 0 t + ½ at 2 [2]

В отличие от первого и второго уравнений движения, нет очевидного способа вывести третье уравнение движения (то, которое связывает скорость с положением) с помощью расчетов.Мы не можем просто перепроектировать это по определению. Нам нужно разыграть довольно изощренный трюк.

Первое уравнение движения связывает скорость со временем. По сути, мы вывели его из этой производной…

Второе уравнение движения связывает положение со временем. Это произошло от этой производной…

Третье уравнение движения связывает скорость с положением. По логике, это должно происходить от производной, которая выглядит так…

Но что это значит? Ну, ничего по определению, но, как и все количества, оно равно самому себе.Он также равен самому себе, умноженному на 1. Мы будем использовать специальную версию 1 ( dt dt ) и специальную версию алгебры (алгебра с бесконечно малыми). Посмотрите, что происходит, когда мы это делаем. Мы получаем одну производную, равную ускорению ( dv dt ), и другую производную, равную обратной скорости ( dt ds ).

дв = дв 1
DS DS
дв = дв дт
DS DS дт
дв = дв дт
DS дт DS
дв = a 1
DS v

Следующий шаг, разделение переменных.Соберите вместе похожие вещи и интегрируйте их. Вот что мы получаем при постоянном ускорении…

=
в дв = и DS
=
½ ( v 2 v 0 2 ) = a ( s s 0 )
v 2 = v 0 2 + 2 a ( s s 0 ) [3]

Безусловно, умное решение, и оно было не так уж сложно, чем первые два варианта.Однако на самом деле это сработало только потому, что ускорение было постоянным – постоянным во времени и постоянным в пространстве. Если бы ускорение каким-либо образом менялось, этот метод был бы неудобно трудным. Мы вернемся к алгебре, чтобы спасти наше здравомыслие. Не то чтобы в этом что-то не так. Алгебра работает, а здравомыслие стоит сэкономить.

v = v 0 + at [1]
+
с = s 0 + v 0 t + ½ at 2 [2]
=
v 2 = v 0 2 + 2 a ( s s 0 ) [3]

Acceleration – The Physics Hypertextbook

Обсуждение

определение

Когда скорость объекта изменяется, говорят, что он ускоряется. Ускорение – это скорость изменения скорости во времени.

В повседневном английском слово «ускорение» часто используется для описания состояния увеличения скорости. Для многих американцев единственный опыт разгона – это реклама автомобилей. Когда рекламный ролик кричит «от нуля до шестидесяти за шесть целых семь десятых секунды», они говорят, что этому конкретному автомобилю требуется 6,7 с, чтобы достичь скорости 60 миль в час, начиная с полной остановки. Этот пример иллюстрирует ускорение в общепринятом понимании, но ускорение в физике – это гораздо больше, чем просто увеличение скорости.

Любое изменение скорости объекта приводит к ускорению: увеличение скорости (что люди обычно имеют в виду, когда говорят об ускорении), уменьшение скорости (также называемое замедлением или замедление ) или изменение направления (называемое центростремительным ускорением ). ). Да, верно, изменение направления движения приводит к ускорению, даже если движущийся объект не ускоряется и не замедляется. Это потому, что ускорение зависит от изменения скорости, а скорость является векторной величиной, имеющей как величину, так и направление.Таким образом, падающее яблоко ускоряется, машина, остановившаяся на светофоре, ускоряется, а Луна на орбите вокруг Земли ускоряется. Ускорение происходит каждый раз, когда скорость объекта увеличивается или уменьшается, или он меняет направление.

Как и скорость, есть два вида ускорения: среднее и мгновенное. Среднее ускорение определяется за «длинный» интервал времени. Слово «длинный» в этом контексте означает конечное – нечто, имеющее начало и конец. Скорость в начале этого интервала называется начальной скоростью , представленной символом v 0 (vee naught), а скорость в конце называется конечной скоростью , представленной символом . v (vee).Среднее ускорение – это величина, рассчитанная на основе двух измерений скорости.

a = v = v v 0
т т

Напротив, мгновенное ускорение измеряется в течение «короткого» временного интервала. Слово «короткий» в этом контексте означает бесконечно малое или бесконечно малое – не имеющее вообще никакой продолжительности или протяженности.Это математический идеал, который может быть реализован только как предел. Предел ставки, когда знаменатель приближается к нулю, называется производной . Таким образом, мгновенное ускорение является пределом среднего ускорения, когда временной интервал приближается к нулю, или, альтернативно, ускорение является производной скорости.

a = v = d v
т дт

Ускорение – это производная скорости от времени, но скорость сама по себе является производной положения от времени.Производная – это математическая операция, которую можно многократно применять к паре изменяющихся величин. Выполнив это один раз, вы получите первую производную . Выполнение этого дважды (производная от производной) дает вторую производную . Это делает ускорение первой производной скорости по времени и второй производной позиции по времени.

a = d v = д d s = d 2 s
дт дт дт дт 2

Несколько слов об обозначениях.В формальном математическом письме векторы пишутся жирным шрифтом . Скаляры и величины векторов написаны курсивом . Цифры, размеры и единицы измерения пишутся римским шрифтом (не курсивом, не жирным шрифтом, не наклонным шрифтом – обычный текст). Например…

a = 9,8 м / с 2 , θ = −90 ° или a = 9,8 м / с 2 при −90 °

(Примечание по дизайну: я считаю, что греческие буквы плохо смотрятся на экране, когда они выделены курсивом, поэтому я решил игнорировать это правило для греческих букв, пока красивые греческие шрифты не станут нормой в Интернете.)

шт.

международных единиц

Вычисление ускорения включает деление скорости на время – или в единицах СИ, деление метра в секунду [м / с] на секунду [с]. Разделить расстояние на время дважды – это то же самое, что разделить расстояние на квадрат времени. Таким образом, единица ускорения в системе СИ – это метра в секунду в квадрате .



м = м / с = м 1

с 2 с с с
натуральные единицы

Другой часто используемой единицей является стандартное ускорение свободного падения – g.Поскольку все мы знакомы с влиянием силы тяжести на себя и окружающие нас объекты, это удобный стандарт для сравнения ускорений. Все ощущается нормально при 1 г, вдвое тяжелее при 2 г и невесомым при 0 г. Эта единица имеет точно определенное значение 9,80665 м / с 2 , но для повседневного использования достаточно 9,8 м / с 2 , а 10 м / с 2 удобно для быстрой оценки.

Единица, называемая стандартным ускорением свободного падения (обозначается латинскими буквами g), отличается от естественного явления, называемого ускорением свободного падения (обозначается курсивом g ).Первый имеет определенное значение, тогда как второй необходимо измерить. (Подробнее об этом позже.)

Хотя термин «перегрузка» используется часто, перегрузка является мерой ускорения, а не силы. (Подробнее о силах позже.) Особую озабоченность у людей вызывают физиологические эффекты ускорения. Для сравнения, все значения указаны в g.

  • В дизайне американских горок скорость имеет решающее значение. Либо это? Если бы скорость была всем, что нужно для создания захватывающей поездки, то автострада была бы довольно захватывающей.Большинство американских горок редко превышают 30 м / с (60 миль в час). Вопреки распространенному мнению, именно ускорение делает поездку интересной. Хорошо спроектированные американские горки подвергают гонщика кратковременным максимальным ускорениям от 3 до 4 g. Это то, что придает поездке ощущение опасности.
  • Несмотря на огромную мощность двигателей, ускорение космического челнока было ниже 3 g. Что-то большее создаст ненужную нагрузку на космонавтов, полезную нагрузку и сам корабль.Оказавшись на орбите, вся система входит в длительный период свободного падения, что дает ощущение невесомости. Такую среду с нулевым ускорением можно также смоделировать внутри специально пилотируемого самолета или башни для свободного падения. (Подробнее об этом позже.)
  • Пилоты-истребители могут испытывать ускорение до 8 g в течение коротких периодов времени во время тактических маневров. Если выдерживать более нескольких секунд, достаточно от 4 до 6 г, чтобы вызвать затемнение. Чтобы предотвратить «потерю сознания из-за перегрузки» (G-LOC), летчики-истребители носят специальные скафандры, которые сжимают ноги и живот, заставляя кровь оставаться в голове.
  • Пилоты и космонавты могут также тренироваться на человеческих центрифугах, способных развивать до 15 g. Воздействие таких интенсивных ускорений кратковременно из соображений безопасности. Люди редко подвергаются воздействию чего-либо выше 8 g дольше нескольких секунд.
  • Ускорение связано с травмой. Вот почему наиболее распространенным датчиком манекена для краш-тестов является акселерометр. Сильное ускорение может привести к смерти. Ускорение во время аварии, в результате которой погибла Диана, принцесса Уэльская, в 1997 году, по оценкам, составило порядка 70-100 г, что было достаточно интенсивным, чтобы оторвать легочную артерию от ее сердца – травму, пережить которую практически невозможно. .Если бы она была пристегнута ремнем безопасности, ускорение было бы примерно 30 или 35 g – достаточно, чтобы сломать одно или два ребра, но не настолько, чтобы убить большинство людей.
Гауссовские единицы

Точное измерение силы тяжести над поверхностью Земли или других небесных объектов называется гравиметрией . По историческим причинам предпочтительной единицей в этой области является сантиметр на секунду в квадрате, также известный как галлона . В символической форме…

[ галлонов = см / с 2 ]

Да, верно.Название единицы пишется строчными буквами (gal), а символ – заглавной (Gal). Галла была названа в честь итальянского ученого Галилео Галилея (1564–1642), который был первым ученым, изучавшим ускорение силы тяжести, и, возможно, первым из ученых любого рода. Поскольку ускорение силы тяжести на поверхности большинства небесных объектов изменяется на небольшую величину, отклонения силы от идеализированных моделей (так называемые гравитационные аномалии , ) измеряются в тысячных долях галлона или миллигал (мГал).

[1000 мГал = 1 галлон]

Гал и миллигал являются частью предшественника Международной системы единиц, называемой системой единиц сантиметр-грамм-секунда или гауссовой системой единиц. Возможно, однажды я действительно напишу что-нибудь важное в этом разделе этой книги.

Вот несколько примеров ускорений в конце этого раздела.

Ускорение выбранных событий (от наименьшего к наибольшему)
a (м / с 2 ) событие
0 неподвижен или движется с постоянной скоростью
5 × 10 −14 наименьшее ускорение в научном эксперименте
2.32 × 10 −10 галактическое ускорение на Солнце
9 × 10 −10 аномальное ускорение космического корабля “Пионер”
0,5 лифт гидравлический
0,63 Ускорение свободного падения на Плутоне
1 лифт, трос
1,6 ускорение свободного падения на Луне
8.8 Международная космическая станция на орбите
3,7 ускорение свободного падения на Марсе
9,8 Ускорение свободного падения на Земле
10–40 Пилотируемая ракета при старте
20 космический челнок, пик
24,8 Ускорение свободного падения на Юпитере
20–50 американские горки
80 предел устойчивой толерантности человека
0–150 Центрифуга для обучения человека
100–200 катапультное сиденье
270 Ускорение свободного падения на Солнце
600 подушки безопасности автоматически срабатывают
10 4 –10 6 центрифуга медицинская
10 6 пуля в стволе пистолета
10 6 Ускорение свободного падения на звезде белого карлика
10 12 Ускорение свободного падения на нейтронную звезду
Автомобильные ускорения (g)
событие типичный автомобиль спортивный автомобиль Гоночный автомобиль Ф-1 большой грузовик
начиная с 0.3–0,5 0,5–0,9 1,7 <0,2
торможение 0,8–1,0 1,0–1,3 2 ~ 0,6
поворот 0,7–0,9 0,9–1,0 3
Ускорение и человеческое тело Первоисточник: Ускорение нарушений повседневной жизни, 1994
a (г) событие
02.9 чихать
03,5 кашель
03,6 толпа
04,1 шлепок по спине
08,1 ступенька
10,1 плюхнуться на стул
60 Ускорение грудной клетки при ДТП со скоростью 48 км / ч с подушкой безопасности
70–100 авария, в которой погибла Диана, принцесса Уэльская, 1997 год
150–200 Предел ускорения головы при велосипедной аварии со шлемом

Три формулы, которые вам нужны

“Ого, вы действительно прошли с нуля до шестидесяти!”

Вы когда-нибудь слышали, чтобы кто-то использовал идиому «от нуля до шестидесяти», как я в приведенном выше примере? Когда кто-то говорит, что что-то пошло с нуля до шестидесяти, на самом деле они говорят, что дела пошли очень быстро. Ускорение – это величина, на которую скорость чего-либо изменяется в течение заданного периода времени.

В этой статье мы поговорим об ускорении: что это такое и как его рассчитать. Пристегнитесь!

Что такое ускорение?

Ускорение – это скорость изменения скорости за заданный период времени. Для расчета ускорения необходимо иметь как скорость, так и время.

Многие путают ускорение со скоростью (или скоростью).Прежде всего, скорость – это просто скорость с направлением, поэтому они часто используются как синонимы, даже если они имеют небольшие различия. Ускорение – это скорость изменения скорости, означающая, что что-то становится быстрее или медленнее.

Что такое формула ускорения?

Для расчета ускорения можно использовать уравнение ускорения. Вот наиболее распространенная формула ускорения:

$$ a = {Δv} / {Δt} $$

где $ Δv $ – изменение скорости, а $ Δt $ – изменение во времени.

Вы также можете записать уравнение ускорения следующим образом:

$$ a = {v (f) – v (i)} / {t (f) – t (i)} $$

В этом уравнении ускорения $ v (f) $ – это конечная скорость, а – начальная скорость $ v (i) $. $ T (f) $ – это последнее время, а $ t (i) $ – начальное время.

Еще о некоторых вещах, о которых следует помнить при использовании уравнения ускорения:

  • Вам нужно вычесть начальную скорость из конечной скорости. Если вы перевернете их, вы получите неверное направление вашего ускорения.
  • Если у вас нет времени начала, вы можете использовать «0».
  • Если конечная скорость меньше начальной, ускорение будет отрицательным, что означает, что объект замедлился.

Теперь давайте разберем уравнение ускорения пошагово на реальном примере.

Как рассчитать ускорение: пошаговая инструкция

Теперь давайте разберем формулу ускорения пошагово на реальном примере. 2 $$

$$ A = 6.2 $$

Давайте попробуем другой пример.

Велосипедист, движущийся со скоростью 23,2 м / с, полностью останавливается за 1,5 $ с $. Какое у нее было замедление?

Сначала напишите уравнение ускорения.

$$ a = (v (f) – v (i)) ÷ (t (f) – t (i)) $$

Затем определите свои переменные.

a = то, что мы решаем для

$$ V (f) = 0 м / с $$

$$ V (i) = 23,2 м / с $$

$$ T (f) = 1,4 с $$

$$ T (i) = 0 с $$

Теперь подставьте переменные в уравнение и решите:

$$ A = {{(0 – 23.2} $$

2 Другие общие формулы ускорения

Не знаете, как рассчитать ускорение по другой формуле? Есть несколько других распространенных формул ускорения.

Формула углового ускорения

Угловое ускорение – это скорость, с которой угловое ускорение вращающегося объекта изменяется во времени.

Вот уравнение углового ускорения:

$$ a = {\ change \ in \ angular \ velocity} / {\ change \ in \ time} $$

Формула центростремительного ускорения

Центростремительное ускорение – это скорость движения объекта внутрь к центру круга.2} / г $$

$ a (c) $ = ускорение, центростремительное

$ v $ = скорость

$ r $ = радиус

Основные выводы

Ускорение – это скорость изменения скорости за заданный период времени.

Вы вычисляете ускорение, разделив изменение скорости на изменение во времени.

Что дальше?

Ищете другие научные объяснения? Мы разбиваем электрическую энергию и как определить различных типов облаков с нашими экспертными руководствами.

Работаете над исследовательской работой, но не знаете, с чего начать? Тогда ознакомьтесь с нашим руководством, где мы собрали множество высококачественных тем для исследований, которые вы можете использовать бесплатно.

Нужна помощь с уроком английского языка – в частности, с определением литературных приемов в текстах, которые вы читаете? Тогда вы обязательно захотите взглянуть на наше исчерпывающее объяснение самых важных литературных устройств и того, как они используются.

Уравнения движения для постоянного ускорения в одном измерении

Обозначение:

t , x , v , a

Во-первых, сделаем несколько упрощений в обозначениях.Принятие начального времени равным нулю, как если бы время измерялось секундомером, является большим упрощением. Поскольку прошедшее время Δ t = t f t 0 , принимая t 0 = 0 означает, что Δ t = t f , последнее время на секундомер. Когда начальное время принимается равным нулю, мы используем индекс 0 для обозначения начальных значений положения и скорости. То есть x 0 – это начальная позиция , а v 0 – начальная скорость .Мы не ставим индексы на окончательные значения. То есть t – конечный момент времени , x – конечная позиция , а v – конечная скорость . Это дает более простое выражение для прошедшего времени – теперь Δ t = t . Это также упрощает выражение для смещения, которое теперь составляет Δ x = x x 0 . Кроме того, это упрощает выражение для изменения скорости, которое теперь составляет Δ v = v v 0 .Подводя итог, используя упрощенные обозначения, с начальным временем, принятым равным нулю,

[латекс] \ begin {case} {\ Delta} {t} & = & t \\ {\ Delta} {x} & = & x – {{x} _ {0}} \\ {\ Delta} { v} & = & v – {{v} _ {0}} \ end {case} [/ latex]

, где нижний индекс 0 обозначает начальное значение, а отсутствие нижнего индекса означает конечное значение в любом рассматриваемом движении.

Теперь мы делаем важное предположение, что ускорение постоянно .Это предположение позволяет нам избегать использования расчетов для определения мгновенного ускорения. Поскольку ускорение постоянно, среднее и мгновенное ускорения равны. То есть

[латекс] \ bar {a} = a = \ text {constant} [/ latex],

, поэтому мы всегда используем символ a для обозначения ускорения. Предположение, что ускорение является постоянным, не серьезно ограничивает ситуации, которые мы можем изучить, и не ухудшает точность нашего лечения. Во-первых, ускорение равно постоянным в большом количестве ситуаций.Кроме того, во многих других ситуациях мы можем точно описать движение, предполагая постоянное ускорение, равное среднему ускорению для этого движения. Наконец, в движениях, где ускорение резко меняется, например, когда автомобиль разгоняется до максимальной скорости, а затем тормозит до остановки, движение можно рассматривать в отдельных частях, каждая из которых имеет собственное постоянное ускорение.

Решение для смещения (Δ x ) и конечного положения ( x ) на основе средней скорости при постоянном ускорении ( a )

Чтобы получить наши первые два новых уравнения, мы начнем с определения средней скорости:

Замена упрощенного обозначения для Δ x и Δ t дает

[латекс] \ bar {v} = \ frac {x- {x} _ {0}} {t} [/ latex]

Решение для x дает

[латекс] x = {x} _ {0} + \ bar {v} t [/ latex],

, где средняя скорость

[латекс] \ bar {v} = \ frac {{v} _ {0} + v} {2} \ left (\ text {constant} a \ right) [/ latex].

Уравнение [латекс] \ bar {v} = \ frac {{v} _ {0} + v} {2} [/ latex] отражает тот факт, что при постоянном ускорении v – это просто среднее начальной и конечной скоростей. Например, если вы постоянно увеличиваете скорость (то есть с постоянным ускорением) с 30 до 60 км / ч, тогда ваша средняя скорость во время этого постоянного увеличения составляет 45 км / ч. Используя уравнение [латекс] \ bar {v} = \ frac {{v} _ {0} + v} {2} [/ latex], чтобы проверить это, мы видим, что

[латекс] \ bar {v} = \ frac {{v} _ {0} + v} {2} = \ frac {\ text {30 км / ч} + \ text {60 км / ч}} {2 } = \ text {45 км / ч} [/ latex],

, что кажется логичным.

Пример 1. Расчет смещения: как далеко пробегает бегунок?

Бегун бежит по прямому участку дороги со средней скоростью 4,00 м / с в течение 2,00 мин. Какова его конечная позиция, если исходная позиция равна нулю?

Стратегия

Нарисуйте эскиз.

Конечная позиция x задается уравнением

[латекс] x = {x} _ {0} + \ bar {v} t [/ latex]. {2} [/ latex].На графике линейные функции выглядят как прямые линии с постоянным наклоном.) Например, в автомобильной поездке мы продвинемся вдвое дальше за заданное время, если мы усредним 90 км / ч, чем если бы мы в среднем 45 км / ч.

Решение для окончательной скорости

Мы можем вывести еще одно полезное уравнение, манипулируя определением ускорения.

Подстановка упрощенных обозначений для Δ v и Δ t дает

[латекс] a = \ frac {v- {v} _ {0}} {t} \ text {} \ left (\ text {constant} a \ right) [/ latex]

Решение для v дает

[латекс] v = {v} _ {0} + \ text {at} \ text {} \ left (\ text {constant} a \ right) [/ latex]

Пример 2.Расчет конечной скорости: самолет замедляется после приземления

Самолет приземляется с начальной скоростью 70,0 м / с, а затем замедляется со скоростью 1,50 м / с. 2 в течение 40,0 с. Какова его конечная скорость?

Стратегия

Нарисуйте эскиз. Мы рисуем вектор ускорения в направлении, противоположном вектору скорости, потому что самолет замедляется.

Решение

1. Определите известные. v 0 = 70.{2} \ right) \ left (\ text {40} \ text {.} \ Text {0 s} \ right) = \ text {10} \ text {.} \ Text {0 м / с} [/ latex ]

Обсуждение

Конечная скорость намного меньше начальной скорости, требуемой при замедлении, но все же положительная. С помощью реактивных двигателей обратная тяга могла поддерживаться достаточно долго, чтобы остановить самолет и начать движение назад. На это указывает отрицательная конечная скорость, чего здесь нет.

Уравнение [латекс] v = {v} _ {0} + \ text {at} [/ latex] не только помогает при решении проблем, но и дает нам представление о взаимосвязях между скоростью, ускорением и временем.Из него видно, например, что

  • Конечная скорость зависит от того, насколько велико ускорение и как долго оно длится
  • , если ускорение равно нулю, то конечная скорость равна начальной скорости ( v = v 0 ), как и ожидалось (т.е. скорость постоянна)
  • , если a отрицательное, то конечная скорость меньше начальной скорости

(Все эти наблюдения соответствуют нашей интуиции, и всегда полезно исследовать основные уравнения в свете нашей интуиции и опыта, чтобы убедиться, что они действительно точно описывают природу.)

Установление соединений: соединение в реальном мире

Межконтинентальная баллистическая ракета (МБР) имеет большее среднее ускорение, чем космический шаттл, и достигает большей скорости в первые две минуты полета (фактическое время горения межконтинентальной баллистической ракеты засекречено – ракеты с коротким временем горения сложнее для противника. разрушать). Но космический шаттл получает большую конечную скорость, так что он может вращаться вокруг Земли, а не сразу возвращаться вниз, как это делает МБР. Космический шаттл делает это за счет более длительного ускорения.

Решение для конечного положения, когда скорость не постоянна ( a ≠ 0)

Мы можем объединить приведенные выше уравнения, чтобы найти третье уравнение, которое позволяет нам вычислить окончательное положение объекта, испытывающего постоянное ускорение. {2} \ left (\ text {constant} a \ right) \ text {.} [/ латекс]

Пример 3. Расчет смещения ускоряющегося объекта: драгстеры

Драгстеры могут развивать среднее ускорение 26,0 м / с 2 . Предположим, такой драгстер ускоряется из состояния покоя за 5,56 с. Как далеко он пролетит за это время?

Стратегия

Нарисуйте эскиз.

Нас просят найти смещение, которое составляет x , если мы возьмем x 0 равным нулю. (Думайте об этом как о стартовой линии гонки.{2} [/ latex] после того, как мы определим v 0 , a и t из постановки задачи.

Решение

1. Определите известные. Запуск из состояния покоя означает, что v 0 = 0, a задается как 26,0 м / с 2 и t задается как 5,56 с.

2. Подставьте известные значения в уравнение, чтобы найти неизвестное x :

Так как начальное положение и скорость равны нулю, это упрощается до

Подстановка идентифицированных значений на и t дает

дает

x = 402 м.{2} + 2a \ left (x- {x} _ {0} \ right) [/ latex] идеально подходит для этой задачи, потому что он связывает скорости, ускорение и смещение и не требует информации о времени.

Решение

1. Определите известные значения. Мы знаем, что v 0 = 0, поскольку драгстер запускается из состояния покоя. Затем мы замечаем, что x x 0 = 402 м (это был ответ в примере 3). Наконец, среднее ускорение составило a = 26.{2} + 2a \ left (x- {x} _ {0} \ right) [/ latex] и решите относительно v .

v 2 = 0 + 2 (26,0 м / с 2 ) (402 м).

Таким образом,

Чтобы получить v , извлекаем квадратный корень:

Обсуждение

145 м / с – это около 522 км / ч или около 324 миль / ч, но даже эта головокружительная скорость отстает от рекорда для четверти мили. Также обратите внимание, что квадратный корень имеет два значения; мы взяли положительное значение, чтобы указать скорость в том же направлении, что и ускорение.{2} + 2a \ left (x- {x} _ {0} \ right) [/ latex] может дать дополнительное понимание общих отношений между физическими величинами:

  • Конечная скорость зависит от того, насколько велико ускорение и расстояние, на котором оно действует
  • При фиксированном замедлении автомобиль, который едет вдвое быстрее, не просто останавливается на удвоенном расстоянии – для остановки требуется гораздо больше времени. (Вот почему у нас есть зоны с пониженной скоростью возле школ.)

Объединение уравнений

В следующих примерах мы дополнительно исследуем одномерное движение, но в ситуациях, требующих немного большего количества алгебраических манипуляций.Примеры также дают представление о методах решения проблем. В рамке ниже приведена простая ссылка на необходимые уравнения.

Сводка кинематических уравнений (константа a )

Пример 5. Расчет смещения: как далеко уходит автомобиль при остановке?

На сухом бетоне автомобиль может замедляться со скоростью 7,00 м / с 2 , тогда как на мокром бетоне он может замедляться только со скоростью 5,00 м / с 2 . Найдите расстояния, необходимые для остановки движения машины на отметке 30.0 м / с (около 110 км / ч) (а) по сухому бетону и (б) по мокрому бетону. (c) Повторите оба вычисления, найдя смещение от точки, где водитель видит, что светофор становится красным, принимая во внимание время его реакции 0,500 с, чтобы он нажал ногу на тормоз.

Стратегия

Нарисуйте эскиз.

Чтобы определить, какие уравнения лучше всего использовать, нам нужно перечислить все известные значения и точно определить, что нам нужно решить. Мы сделаем это явно в следующих нескольких примерах, используя таблицы для их выделения.

Решение для (a)

1. Определите, что мы знаем и что мы хотим решить. Мы знаем, что v 0 = 30,0 м / с; v = 0; a = -7,00 м / с 2 ( a отрицательно, потому что он находится в направлении, противоположном скорости). Возьмем x 0 равным 0. Ищем смещение Δ x , или x x 0 .

2. Найдите уравнение, которое поможет решить проблему.Лучшее уравнение для использования –

Это уравнение лучше всего, потому что оно включает только одно неизвестное, x . Нам известны значения всех других переменных в этом уравнении. (Существуют и другие уравнения, которые позволят нам решить для x , но они требуют, чтобы мы знали время остановки, t , которое мы не знаем. Мы могли бы использовать их, но это потребовало бы дополнительных вычислений.)

3. Переставьте уравнение, чтобы найти x .

4. Введите известные значения.{2} \ right)} [/ латекс]

Таким образом,

x = 64,3 м по сухому бетону.

Решение для (b)

Эта часть может быть решена точно так же, как и часть A. Единственная разница в том, что замедление составляет –5,00 м / с 2 . Результат

x мокрый = 90,0 м на мокром бетоне.

Решение для (c)

После реакции водителя тормозной путь будет таким же, как в частях A и B для сухого и влажного бетона.Итак, чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно вычислить, как далеко проехал автомобиль за время реакции, а затем добавить это время ко времени остановки. Разумно предположить, что скорость остается постоянной в течение времени реакции водителя.

1. Определите, что мы знаем и что мы хотим решить. Мы знаем, что [латекс] \ bar {v} = 30.0 \ text {m / s} [/ latex]; т реакция = 0,500 с; a реакция = 0. Возьмем x 0- реакция = равной 0.Ищем x реакция .

2. Определите лучшее уравнение для использования. [latex] x = {x} _ {0} + \ bar {v} t [/ latex] работает хорошо, потому что единственное неизвестное значение – x , что мы и хотим найти.

3. Подключите известные знания, чтобы решить уравнение.

x = 0+ (30,0 м / с) (0,500 с) = 15,0 м.

Это означает, что автомобиль проезжает 15,0 м, в то время как водитель реагирует, создавая общие перемещения в двух случаях: сухой и мокрый бетон 15.На 0 м больше, чем если бы он среагировал мгновенно.

4. Добавьте смещение во время реакции к смещению при торможении.

x торможение + x реакция = x всего

  1. 64,3 м + 15,0 м = 79,3 м в сухом виде
  2. 90,0 м + 15,0 м = 105 м во влажном состоянии
Обсуждение

Смещения, найденные в этом примере, кажутся разумными для остановки быстро движущегося автомобиля.Остановка автомобиля на мокром, а не на сухом асфальте займет больше времени. Интересно, что время реакции значительно увеличивает смещения. Но важнее общий подход к решению проблем. Мы идентифицируем известные и определяемые величины, а затем находим соответствующее уравнение. Часто есть несколько способов решить проблему. Фактически, различные части этого примера могут быть решены другими методами, но решения, представленные выше, являются самыми короткими.

Пример 6.Расчет времени: автомобиль вливается в движение

Предположим, что автомобиль выезжает на автомагистраль на съезде длиной 200 м. Если его начальная скорость составляет 10,0 м / с, а ускорение составляет 2,00 м / с 2 , сколько времени потребуется, чтобы преодолеть 200 м по рампе? (Такая информация может быть полезна транспортному инженеру.)

Стратегия

Нарисуйте эскиз.

Нам предлагается решить за время т . Как и раньше, мы идентифицируем известные величины, чтобы выбрать удобную физическую связь (то есть уравнение с одной неизвестной, t ).{2} [/ латекс]

4. Упростите уравнение. Единицы измерения (м) отменяются, потому что они есть в каждом члене. Мы можем получить единицы секунд для отмены, взяв t = ts , где t – величина времени, а s – единица измерения. Остается

200 = 10 т + т 2 .

5. Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти t .

(a) Переставьте уравнение, чтобы получить 0 на одной стороне уравнения.{2} -4 \ text {ac}}} {2a} [/ latex]

Это дает два решения для т , которые составляют

т = 10,0 и -20,0.

В данном случае время равно t = t в секундах, или

t = 10,0 с и -20,0 с.

Отрицательное значение времени неразумно, так как это будет означать, что событие произошло за 20 секунд до начала движения. Мы можем отказаться от этого решения. Таким образом,

т = 10,0 с.

Обсуждение

Каждый раз, когда уравнение содержит неизвестный квадрат, будет два решения. В некоторых проблемах имеют смысл оба решения, но в других, таких как вышеупомянутое, разумно только одно решение. Ответ 10,0 с кажется разумным для типичной автострады на съезде.

Освоив основы кинематики, мы можем перейти ко многим другим интересным примерам и приложениям. В процессе разработки кинематики мы также увидели общий подход к решению проблем, который дает как правильные ответы, так и понимание физических взаимоотношений.В разделе «Основы решения проблем» обсуждаются основы решения проблем и описывается подход, который поможет вам добиться успеха в этой бесценной задаче.

Задачи и упражнения

1. Спринтер олимпийского класса начинает забег с ускорением 4,50 м / с 2 . (а) Какова ее скорость через 2,40 с? (б) Нарисуйте график ее положения в зависимости от времени за этот период.

2. Хорошо брошенный мяч попадает в мягкую перчатку. Если замедление мяча составляет 2,10 × 10 4 м / с 2 , и 1.85 мс (1 мс = 10–3 с) проходит с момента первого касания мяча рукавицы до момента остановки. Какова была начальная скорость мяча?

3. Пуля в ружье ускоряется от камеры выстрела до конца ствола со средней скоростью 6,20 × 10 5 м / с 2 за 8,10 × 10 -4 с. Какова его начальная скорость (то есть конечная скорость)?

4. (a) Пригородный легкорельсовый поезд ускоряется со скоростью 1,35 м / с 2 . Сколько времени нужно, чтобы достичь максимальной скорости 80?0 км / ч, трогаться с места? (b) Этот же поезд обычно замедляется со скоростью 1,65 м / с 2 . Сколько времени нужно, чтобы остановиться с максимальной скорости? (c) В аварийных ситуациях поезд может замедляться быстрее, останавливаясь на скорости 80,0 км / ч за 8,30 с. Каково его аварийное замедление в м / с 2 ?

5. При выезде на автостраду автомобиль ускоряется из состояния покоя со скоростью 2,40 м / с 2 за 12,0 с. (а) Нарисуйте набросок ситуации. (б) Перечислите известных в этой проблеме.(c) Как далеко машина проехала за эти 12,0 с? Чтобы решить эту часть, сначала определите неизвестное, а затем обсудите, как вы выбрали соответствующее уравнение для его решения. После выбора уравнения покажите свои шаги в поиске неизвестного, проверьте свои единицы и обсудите, является ли ответ разумным. (d) Какова конечная скорость автомобиля? Решите для этого неизвестного таким же образом, как в части (c), явно показывая все шаги.

6. В конце забега бегун замедляется со скорости 9.00 м / с со скоростью 2,00 м / с 2 . а) Как далеко она продвинется в следующие 5,00 с? б) Какова ее конечная скорость? (c) Оцените результат. Имеет ли это смысл?

7. Professional Application: Кровь ускоряется из состояния покоя до 30,0 см / с на расстоянии 1,80 см от левого желудочка сердца. (а) Сделайте набросок ситуации. (б) Перечислите известных в этой проблеме. (c) Сколько времени длится ускорение? Чтобы решить эту часть, сначала определите неизвестное, а затем обсудите, как вы выбрали соответствующее уравнение для его решения.После выбора уравнения покажите свои шаги в решении неизвестного, проверяя свои единицы. (г) Является ли ответ разумным по сравнению со временем биения сердца?

8. При ударе по воротам хоккеист ускоряет шайбу со скорости 8,00 м / с до 40,0 м / с в том же направлении. Если этот бросок занимает 3,33 × 10 -2 , вычислите расстояние, на котором шайба ускоряется.

9. Мощный мотоцикл может разогнаться с места до 26,8 м / с (100 км / ч) всего за 3 секунды.90 с. а) Каково его среднее ускорение? б) Как далеко он пролетит за это время?

10. Грузовые поезда могут производить только относительно небольшие ускорения и замедления. (a) Какова конечная скорость грузового поезда, который ускоряется со скоростью 0,0500 м / с 2 за 8,00 мин, начиная с начальной скорости 4,00 м / с? (b) Если поезд может замедляться со скоростью 0,550 м / с 2 , сколько времени потребуется, чтобы остановиться с этой скорости? (c) Как далеко он будет перемещаться в каждом случае?

11.Снаряд фейерверка ускоряется из состояния покоя до скорости 65,0 м / с на расстояние 0,250 м. а) Как долго длилось ускорение? (b) Рассчитайте ускорение.

12. Лебедь на озере поднимается в воздух, взмахивая крыльями и бегая по воде. (a) Если лебедь должен достичь скорости 6,00 м / с, чтобы взлететь, и он ускоряется из состояния покоя со средней скоростью 0,350 м / с 2 , как далеко он пролетит, прежде чем взлетит? б) Сколько времени это займет?

13. Профессиональное применение: Мозг дятла специально защищен от сильных торможений с помощью прикрепленных к нему сухожилий внутри черепа. При клевании дерева голова дятла останавливается с начальной скорости 0,600 м / с на расстоянии всего 2,00 мм. (a) Найдите ускорение в м / с 2 и кратное g ( g = 9,80 м / с 2 ). (b) Рассчитайте время остановки. (c) Сухожилия, удерживающие мозг, растягиваются , делая его тормозной путь 4.50 мм (больше головы и, следовательно, меньше торможение мозга). Что такое замедление мозга, кратное г ?

14. Неосторожный футболист сталкивается со стойкой ворот с мягкой подкладкой при беге со скоростью 7,50 м / с и полностью останавливается, сжав подушку и свое тело на 0,350 м. а) Каково его замедление? б) Как долго длится столкновение?

15. Во время Второй мировой войны было зарегистрировано несколько случаев, когда летчики прыгали со своих пылающих самолетов без парашюта, чтобы избежать верной смерти.Некоторые упали с высоты около 20 000 футов (6000 м), а некоторые из них выжили, получив несколько опасных для жизни травм. Для этих удачливых пилотов ветки деревьев и снежные заносы на земле позволяли снизить их замедление. Если предположить, что скорость пилота при столкновении составляла 123 мили в час (54 м / с), то каково было его замедление? Предположим, что деревья и снег остановили его на расстоянии 3,0 м.

16. Представьте серую белку, падающую с дерева на землю. (a) Если мы проигнорируем сопротивление воздуха в этом случае (только ради этой проблемы), определите скорость белки непосредственно перед тем, как упасть на землю, предполагая, что она упала с высоты 3.{2} [/ latex] как проходит. Длина станции 210 м. а) Какова длина носа поезда на станции? б) Как быстро он движется, когда нос покидает станцию? (c) Если длина поезда составляет 130 м, когда конец поезда покидает станцию? (d) Какова скорость отходящего поезда?

18. Драгстеры могут развить максимальную скорость 145 м / с всего за 4,45 с – значительно меньше времени, чем указано в Примере 2.10 и Примере 2.11. (а) Рассчитайте среднее ускорение для такого драгстера.(b) Найдите конечную скорость этого драгстера, начиная с состояния покоя и ускоряясь со скоростью, указанной в (a) для 402 м (четверть мили), без использования какой-либо информации о времени. (c) Почему конечная скорость больше той, которая используется для определения среднего ускорения? Подсказка: подумайте, справедливо ли предположение о постоянном ускорении для драгстера. Если нет, обсудите, будет ли ускорение больше в начале или в конце пробега и как это повлияет на конечную скорость.

19.Велогонщик бежит в конце гонки, чтобы одержать победу. Гонщик имеет начальную скорость 11,5 м / с и ускоряется со скоростью 0,500 м / с 2 за 7,00 с. а) Какова его конечная скорость? (b) Гонщик продолжает движение на этой скорости до финиша. Если он был в 300 м от финиша, когда начал ускоряться, сколько времени он сэкономил? (c) Еще один гонщик был на 5,00 м впереди, когда победитель начал ускоряться, но он не смог ускориться и ехал со скоростью 11,8 м / с до финиша.Насколько далеко от него (в метрах и секундах) финишировал победитель?

20. В 1967 году новозеландец Берт Манро установил мировой рекорд для индийского мотоцикла на соляных равнинах Бонневиль в штате Юта с максимальной скоростью 183,58 миль / ч. Курс в одну сторону длился 5,00 миль. Скорость ускорения часто описывается временем, необходимое для достижения 60,0 миль / ч из состояния покоя. Если на этот раз было 4,00 с, и Берт ускорялся с этой скоростью, пока не достиг максимальной скорости, сколько времени потребовалось Берту, чтобы пройти курс?

21.(а) Мировой рекорд в беге на 100 метров среди мужчин на Олимпийских играх 2008 года в Пекине был установлен Усэйном Болтом из Ямайки. Болт «прошел» по финишу со временем 9,69 с. Если мы предположим, что Болт ускорялся в течение 3,00 с, чтобы достичь своей максимальной скорости, и сохранял эту скорость до конца гонки, вычислите его максимальную скорость и его ускорение. (b) Во время той же Олимпиады Болт также установил мировой рекорд в беге на 200 м со временем 19,30 с. Используя те же предположения, что и для бега на 100 м, какова была его максимальная скорость в этой гонке?

Избранные решения проблем и упражнения

1.10,8 м / с

(б)

2. 38,9 м / с (около 87 миль в час)

4. (а) 16,5 с (б) 13,5 с (в) -2,68 м / с 2

6. (a) 20,0 м (b) -1,00 м / с (c) Этот результат не имеет смысла. Если бегун стартует со скоростью 9,00 м / с и замедляет скорость 2,00 м / с 2 , то она остановится через 4,50 с. Если она продолжит замедляться, она будет бежать назад.

8. 0,799 м

10. (a) 28,0 м / с (b) 50,9 с (c) 7,68 км для разгона и 713 м для замедления

12.(а) 51,4 м (б) 17,1 с

14. (а) -80 м / с 2 (б) 9,33 × 10 2 с

16. (a) 7,7 м / с (b) -15 × 10 2 м / с 2 Это примерно в 3 раза больше замедления пилотов, падающих с тысячи метров!

18. (a) 36,2 м / с 2 (b) 162 м / с (c) v> v max , потому что предположение о постоянном ускорении недействительно для драгстера. Драгстер переключает передачи и будет иметь большее ускорение на первой передаче, чем на второй передаче, чем на третьей передаче и т. Д.Ускорение будет наибольшим вначале, поэтому он не будет ускоряться со скоростью 32 м / с 2 в течение последних нескольких метров, а будет значительно меньше, а конечная скорость будет меньше 162 м / с.

20. 104 с

21. (а) v = 12/2 м / с; a = 4,07 м / с 2 (б) v = 11,2 м / с

Формула ускорения

Ускорение – это мера того, насколько быстро изменяется скорость объекта. Итак, ускорение – это изменение скорости, деленное на время.У ускорения есть величина (значение) и направление. Направление ускорения не обязательно должно совпадать с направлением скорости. Единицами ускорения являются метры на секунду в квадрате (м / с 2 ).

a = ускорение (м / с 2 )

v f = конечная скорость (м / с)

v i = начальная скорость (м / с)

t = время, в течение которого происходит изменение (с)

Δ v = краткая форма для «изменения» скорости (м / с)

Вопросы по формуле ускорения:

1) Спорткар движется с постоянной скоростью v = 5.00 м / с . Водитель нажимает на педаль газа, и машина ускоряется вперед. Через 10,0 секунд водитель прекращает ускорение и поддерживает постоянную скорость v = 25,0 м / с . Какое было ускорение у машины?

Ответ: Начальная скорость v i = 5,00 м / с , в прямом направлении. Конечная скорость v f = 25,0 м / с в прямом направлении. Время, в которое произошло это изменение, составляет 10,0 с . Ускорение в прямом направлении со значением:

Ускорение автомобиля равно 2.00 м / с 2 , вперед.

2) Ребенок роняет камень со скалы. Камень падает на 15,0 с перед тем, как удариться о землю. Ускорение свободного падения g = 9,80 м / с 2 . Какая скорость была у камня за мгновение до того, как он упал на землю?

Ответ: Скала вышла из состояния покоя, поэтому начальная скорость равна v i = 0,00 м / с . Время, в которое произошло изменение: 15,0 с .

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *