Гармонические колебания — формулы, законы, примеры
Механические колебания
Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.
Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.
Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова
Бесплатный курс для современных мам и пап от Екатерины Мурашовой. Запишитесь и участвуйте в розыгрыше 8 уроков
Свободные колебания
Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.
Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.
Вынужденные колебания
А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.
Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.
Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.
Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.
Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.
Бесплатные занятия по английскому с носителем
Занимайтесь по 15 минут в день.
Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.
Автоколебания
Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.
У автоколебательной системы есть три важных составляющих:
- сама колебательная система
- источник энергии
- устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой
Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.
Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.
Характеристики колебаний
Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.
Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.
Формула периода колебаний
T — период [с] t — время [с] N — количество колебаний [—] |
Также есть величина, обратная периоду — частота.
Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.
Формула частоты ν = N/t = 1/T ν — частота [Гц] t — время [с] T — период [с] N — количество колебаний [—] |
Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо xmax.
Она используется в уравнении гармонических колебаний:
Гармонические колебания
Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:
Уравнение гармонических колебаний x = xmaxcos(2πνt) x — координата в момент времени t [м] xmax — амплитуда [м] ν — частота [Гц] t — момент времени [с] π = 3,14 |
(2πνt) в этом уравнении — это фаза.
Ее обозначают греческой буквой φ
Фаза колебаний φ = 2πνt φ — фаза [рад] ν — частота [Гц] t — момент времени [с] π = 3,14 |
Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:
Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.
На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.
Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.
На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.
Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.
Математический маятник
Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний.
Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.
Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.
Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:
Формула периода колебания математического маятника T — период [с] l — длина нити [м] g — ускорение свободного падения [м/с2] На планете Земля g = 9,8 м/с2 π = 3,14 |
Пружинный маятник
Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.
В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.
Формула периода колебания пружинного маятника T — период [с] m — масса маятника [кг] k — жесткость пружины [Н/м] π = 3,14 |
Закон сохранения энергии для гармонических колебаний
Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.
Рассмотрим его на примере математического маятника.
- Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
- Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую
Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!
Механические колебания | Формулы по физике
Ускорение силы упругости
Найти
Известно, что:
akxm =
Вычислить ‘a’Сила упругости
Найти
Известно, что:
Fkx =
Вычислить ‘F’Уравнение движения математического маятника
Найти
Известно, что:
agxl =
Вычислить ‘a’Уравнение свободных колебаний
Найти
Известно, что:
aωx =
Вычислить ‘a’Уравнение движения пружинного маятника
Найти
Известно, что:
ωkm =
Вычислить ‘ω’Уравнение движения математического маятника
Найти
Известно, что:
ωgl =
Вычислить ‘ω’Свободные колебания: отклонение
Найти
Известно, что:
xx_mωt =
Вычислить ‘x’Частота и период колебаний
Найти
Известно, что:
νT =
Вычислить ‘ν’Циклическая частота колебаний
Найти
Известно, что:
ωπT =
Вычислить ‘ω’Циклическая частота колебаний
Найти
Известно, что:
ωπν =
Вычислить ‘ω’Фаза гармонических колебаний
Найти
Известно, что:
φωt =
Вычислить ‘φ’Фаза гармонических колебаний
Найти
Известно, что:
φπtT =
Вычислить ‘φ’Фаза гармонических колебаний
Найти
Известно, что:
φπνt =
Вычислить ‘φ’Гармоническое колебание: отклонение
Найти
Известно, что:
xx_mωtφ =
Вычислить ‘x’Период колебания пружинного маятника
Найти
Известно, что:
Tπmk =
Вычислить ‘T’Период колебания математического маятника
Найти
Известно, что:
Tπlg =
Вычислить ‘T’Гармонические колебания: скорость тела
Найти
Известно, что:
vv_mωtπ =
Вычислить ‘v’Гармонические колебания: скорость тела
Найти
Известно, что:
vv_mωt =
Вычислить ‘v’Гармонические колебания: ускорение тела
Найти
Известно, что:
aa_mωtπ =
Вычислить ‘a’Гармонические колебания: ускорение тела
Найти
Известно, что:
aωxt =
Вычислить ‘a’Гармонические колебания: скорость тела
Найти
Известно, что:
vωxt =
Вычислить ‘v’Гармонические колебания: максимальная скорость тела
Найти
Известно, что:
v_mωx_m =
Вычислить ‘v_m’Гармонические колебания: максимальное ускорение тела
Найти
Известно, что:
a_mωv_m =
Вычислить ‘a_m’Гармонические колебания: максимальное ускорение тела
Найти
Известно, что:
a_mωx_m =
Вычислить ‘a_m’Гармонические колебания: кинетическая энергия тела
Найти
Известно, что:
E_kmv =
Вычислить ‘E_k’Гармонические колебания: потенциальная энергия тела
Найти
Известно, что:
E_pkx =
Вычислить ‘E_p’Гармонические колебания: полная энергия тела
Найти
Известно, что:
EE__kE__p =
Вычислить ‘E’Гармонические колебания: полная энергия тела
Найти
Известно, что:
Emvkx =
Вычислить ‘E’Резонанс – амплитуда колебаний
Найти
Известно, что:
xFωμ =
Вычислить ‘x’Обзор колебаний: термины и формулы
Колебательная система
Любая система, на которую всегда действует сила, действующая против смещение системы (восстанавливающая сила).
Восстанавливающая сила
Сила, которая всегда действует против смещения системы.
Периодическое движение
Любое движение, при котором система возвращается в исходное положение через определенное время. время.
Амплитуда
Максимальное перемещение колебательной системы.
Период
Время, за которое система совершает одно колебание.
Частота
Скорость, с которой система совершает колебание.
Герц
Единица измерения частоты.
Угловая частота
Радианная мера частоты: частота умножается на 2 Π .
Простые гармонические колебания
Любое движение, на которое действует возвращающая сила, пропорциональная смещение системы.
Торсионный осциллятор
Колебания любого предмета, подвешенного на проволоке и вращающегося вокруг ось провода.
Маятник
Классический маятник состоит из частицы, подвешенной к свету. шнур. Когда частицу тянут в одну сторону и отпускают, она качается. назад за точку равновесия и колеблется между двумя максимальными угловые смещения.
Демпфирующая сила
Сила, пропорциональная скорости тела, которая заставляет его замедлять.
Резонанс
Явления, при которых движущая сила вызывает быстрое увеличение амплитуда колебания системы.
Резонансная частота
Частота, при которой движущая сила вызовет резонанс в данном колебательном система.
Условия
Формулы
| Связь между переменными колебаний | σ = 2 Πν = |
| Сила, действующая на пружину с постоянной k | F = – kx |
| Дифференциальное уравнение, описывающее простое гармоническое движение | + х = 0 |
| Формула периода системы масса-пружина | Т = 2 Π |
| Формула частоты системы масса-пружина | ν = |
| Формула для угловой частоты системы масса-пружина | σ = |
| Уравнение смещения при простом гармоническом движении | х = х m cos( σt ) |
| Уравнение для скорости в простом гармоническом движении | v = σx m sin( σt ) |
| Уравнение ускорения при простом гармоническом движении | a = σ 2 x m cos( σt ) |
| Уравнение для потенциала энергия просто гармоническая система | U = кх 2 |
| Уравнение для крутящего момента, ощущаемого в крутильном генераторе | τ = – κσ |
| Уравнение углового смещения крутильного осциллятора | θ = θ m cos( σt ) |
| Уравнение для периода крутильного осциллятора | Т = 2 Π |
| Уравнение для угловой частоты крутильного генератора | σ = |
| Уравнение силы, ощущаемой маятником | F = мг sin θ |
| Приближение силы, ощущаемой маятником | F – () х |
| Уравнение периода маятника | Т = 2 Π |
| Дифференциальное уравнение, описывающее затухающее движение | кх + б + м = 0 |
| Уравнение смещения демпфированной системы | x = x m e cos( σ ≤ t ) |
| Уравнение для угловой частоты демпфирующей системы | σ ≤ = |
Простое гармоническое движение
Простое гармоническое движение Простое гармоническое движение характеризуется движением массы на пружине, когда на нее действует линейная упругая восстанавливающая сила, определяемая законом Гука.
| Индекс Концепции периодического движения | ||||||
| Назад |
Движение является синусоидальным во времени и демонстрирует одну резонансную частоту.Уравнение движения для простого гармонического движения содержит полное описание движения, и из него можно вычислить другие параметры движения.
| Индекс Принципы периодического движения | |||
| Назад |
Уравнения движения для простого гармонического движения позволяют вычислить любой параметр движения, если известны остальные. Если период равен T = Движение описывается
Любой из параметров в уравнении движения можно рассчитать, щелкнув активное слово в приведенном выше соотношении движения. Для любых отсутствующих данных будут введены значения по умолчанию, но эти значения можно изменить и повторить расчет. Расчет угловой частоты предполагает, что движение находится в первом периоде, и поэтому рассчитывается наименьшее значение угловой частоты, которое будет соответствовать другим параметрам. |
