Численные методы в физике | Открытые видеолекции учебных курсов МГУ
Содержание курса:
- Интерполяция и приближение функций
- Численное интегрирование
- Численные методы решения нелинейных уравнений
- Методы решения основных задач линейной алгебры
- Методы оптимизации
- Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
- Элементы теории разностных схем
Список всех тем лекций
Лекция 1. Вводная лекция (процесс математического моделирования).
Процесс математического моделирования
Задача “вычисления”
(поиск корней уравнения)
Пример 2
Погрешности задачи вычисления
Погрешности округления t-разрядной ЭВМ
Пример
Лекция 2.
Приближение функций. Полиномиальная интерполяция.
Лекция 3. Сплайн-интерполяция.
Сплайн-интерполяция
Теорема (о свойствах кубического сплайна)
Решение задачи интерполяции с помощью кубических сплайнов
Теорема (построение кубических сплайнов на равномерных сетках)
Лекция 4. Аппроксимация функций.
Постановка задачи
Задача среднеквадратичной аппроксимации
Метод наименьших квадратов (МНК)
Примеры
Задача (метод скользящего среднего)
Лекция 5.
Дифференцирование и интегрирование функций.
Лекция 6. Квадратурные формулы Гаусса – Кристоффеля.
Задача вычисления определённого интеграла
Построение квадратурной формулы Гаусса-Кристоффеля
Узлы и веса квадратурной формулы
Формула прямоугольников
Апостериорная оценка погрешности
Численное дифференцирование
Лекция 7. Решение нелинейных уравнений.
Случай одного переменного
Теорема о непрерывном сжатии
Пример
Метод релаксации
Методы решения нелинейных уравнений
Лекция 8.
Основные методы решения уравнений. Метод последовательного исключения Гаусса.
Лекция 9. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Часть 1.
Повторение материала предыдущей лекции
LU-разложение ленточных матриц
Теорема об LU- разложении ленточных матриц
Одношаговый итерационный метод
Основные итерационные методы
Одношаговый итерационный метод (повторение материала предыдущей лекции)
Частный случай исходной задачи (симметричная положительно определённая матрица)
Теорема Самарского
Метод релаксации (метод Ричардсона)
Метод последовательной верхней релаксации (SOR)
Метод Якоби
Пример (метод релаксации)
Лекция 11.
Основная задача
(нахождение собственных векторов)
Метод Якоби (вращений)
Оценка нормы матрицы
Лекция 12. Минимизация.
Задача минимизации f(x), x∈R
Методы нулевого порядка (задача)
Методы более высокого порядка
Задача о построении локальных экстремумов функций многих переменных
Поведение стандартной функции
Методы минимизации
Лекция 13. Методы минимизации.
Метод циклического покоординатного спуска
Теорема о методе циклического покоординатного спуска
Метод наискорейшего спуска
Метод сопряженных градиентов
Лекция 14.
Задача минимизации функционала.
Постановка задачи
Достаточные условия
Задача (применение метода приближённых функций)
Лекция 15. Разностные методы решения задач математической физики. Часть 1.
Постановка задачи
Построение приближенного решения задачи
Основные характеристики решения задач
Невязка разностной схемы
Аппроксимация разностной схемы
Устойчивость разностной схемы
Сходимость разностной схемы
Задача (построение сеточной аппроксимации)
Лекция 16. Разностные методы решения задач математической физики. Часть 2.
Построение разностной схемы.
Одномерное уравнение теплопроводности.
Аппроксимация сеточного уравнения на шеститочечном шаблоне (схема с весами)
Невязка разностной схемы
Явная и неявная схемы
Устойчивость
Общий вид схемы с весами
Расчётные формулы
Простейшая схема «крест» для гиперболического уравнения
Лекция 17. Разностные методы решения задач математической физики. Часть 3.
Устойчивость схемы «крест» для гиперболического уравнения
Простейшее уравнение диффузии
Продольно-поперечная схема
Лекция 18. Дополнение к лекциям.
Разностные схемы для уравнения параболического типа
Пример (уравнение реакции диффузии)
Заключительное слово о курсе
Метод Гаусса
Исторически
первым, наиболее распространенным
методом решения систем линейных уравнений
является метод Гаусса, или метод
последовательного исключения неизвестных.
Сущность этого метода состоит в том,
что посредством последовательных
исключений неизвестных данная система
превращается в ступенчатую (в частности,
треугольную) систему, равносильную
данной. При практическом решении системы
линейных уравнений методом Гаусса
удобнее приводить к ступенчатому виду
не саму систему уравнений, а расширенную
матрицу этой системы, выполняя элементарные
преобразования над ее строками.
Последовательно получающиеся в ходе
преобразования матрицы обычно соединяют
знаком эквивалентности.
Пример 1.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:x + y – 3z = 2, 3x – 2y + z = – 1, 2x + y – 2z = 0.
Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы
и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками: а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2: ~ ;
б)
третью строку умножим на (-5) и прибавим
к ней вторую:
.
В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду: x + y – 3z = 2, -5y + 10z = -7, – 10z = 13.
Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = – 0,7
ИЗ ТЕТРАДИ:
Метод Гаусса
Метод состоит из двух частей- прямого и обратного хода.
Прямой ход заключается в поведение расширение матрицы СЛУ к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. В ступенчатом виде матрице каждая последующая строка имеет в начале нулей больше, чем предыдущая – или она нулевая
Пример:
Э лементарные преобразование строк матрицы- это:
1)прибавление чисел одной строки матрицы, умножены на какое-нибудь число, к одной из нижних строк матрицы.
2)Перемена двух строчек местами
Обратный
ход метод Гаусса заключается в
последовательном выражении одних
переменных через других, начиная с
нижней нулевой строки.
В результате
получается общее решение.
После прямого хода возможны 3 варианта ступенчатого вида расширенной матрицы:
1)Каждая след.строка имеет в начале ровно не один ноль больше, чем предыдущая
Пример:
Записываем по строчкам уравнение и начинаем находить значение переменных с нижней строчки.
4 Х4=8 Х4=2
Подставляем в предыдущее уравнение
2Х3-3Х4=-8 т.е. 2Х3-3*2=-8 или 2Х3=-2, Х3=-1 , подставляем Х3 и Х4 во вторую строчку и т.д. Получаем единственно решение СЛУ
2) Число ненулевых строк меньше числа переменных. Тогда одни из строк содержит в начале нулей по крайней мере на 2 больше предыдущей и считаем, что последующая ненулевая строка не имеет вид(0…0 b) где число b=0
Например:
3 ) Последняя ненулевая строка имеет вид (0…0/b),где b=0 ей соответствует противоречивые равенства о=b,поэтому система несовместима
Решение СЛУ методом Гаусса
2 Х1+3Х2+Х3=1
4Х1+5Х2+4Х3=7
6Х1+10Х2-3Х3=-10
Составляем
расширенную матрицу прямой ход.
6.2 Объяснение закона Гаусса — Университетская физика, том 2
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Формулировать закон Гаусса
- Объясните условия, при которых можно использовать закон Гаусса
- Применить закон Гаусса в соответствующих системах
Теперь мы можем определить электрический поток через произвольную замкнутую поверхность из-за произвольного распределения заряда. Мы обнаружили, что если замкнутая поверхность не имеет никакого заряда внутри, где линия электрического поля может закончиться, то любая линия электрического поля, входящая в поверхность в одной точке, обязательно должна выйти в какой-то другой точке поверхности. Следовательно, если замкнутая поверхность не имеет зарядов внутри замкнутого объема, то электрический поток через эту поверхность равен нулю. Что происходит с электрическим потоком, если внутри замкнутого объема есть заряды? Закон Гаусса дает количественный ответ на этот вопрос.
9dA=14πε0qR2dA.
Теперь найдем суммарный поток, интегрируя этот поток по поверхности сферы:
, где общая площадь сферической поверхности равна 4πR2,4πR2. Это дает поток через замкнутую сферическую поверхность на радиусе r как
Φ=qε0.Φ=qε0.
6,4
Замечательным фактом в этом уравнении является то, что поток не зависит от размера сферической поверхности. Это можно напрямую объяснить тем фактом, что электрическое поле точечного заряда уменьшается как 1/r21/r2 с расстоянием, что компенсирует скорость увеличения площади поверхности r2r2.
Изображение линий электрического поля
Альтернативный способ понять, почему поток через замкнутую сферическую поверхность не зависит от радиуса поверхности, состоит в том, чтобы посмотреть на силовые линии электрического поля. Обратите внимание, что каждая силовая линия от до , пронизывающая поверхность на радиусе R1R1, также пронизывает поверхность на радиусе R2R2 (рис.
6.14).
Рисунок 6.14 Потоки через сферические поверхности радиусов R1R1 и R2R2, окружающие заряд q , равны независимо от размера поверхности, так как все E -линии поля, пронизывающие одну поверхность изнутри наружу, также пронизывают другую поверхность в том же направлении.
Таким образом, общее количество силовых линий электрического поля, проходящих через две поверхности изнутри наружу, равно. Это чистое количество линий электрического поля, которое получается путем вычитания количества линий в направлении снаружи внутрь из количества линий в направлении изнутри наружу, дает визуальную меру электрического потока через поверхности.
Вы видите, что если в замкнутой поверхности нет зарядов, то электрический поток через нее должен быть равен нулю. Типичная линия поля входит в поверхность в точке dA1dA1 и выходит в точке dA2.dA2. Каждая линия, входящая на поверхность, должна также покинуть эту поверхность.
Следовательно, чистый «поток» силовых линий на поверхность или из нее равен нулю (рис. 6.15 (а)). То же самое произойдет, если внутрь замкнутой поверхности включить заряды одинакового и противоположного знака, так что суммарный включенный заряд равен нулю (пункт (б)). Поверхность, которая содержит одинаковое количество заряда, имеет одинаковое количество пересекающих ее силовых линий, независимо от формы или размера поверхности, если поверхность заключает в себе одинаковое количество заряда (часть (c)).
Рисунок 6.15 Понимание потока с точки зрения силовых линий. а) Электрический поток через замкнутую поверхность из-за заряда вне этой поверхности равен нулю. (b) Заряды заключены, но поскольку включенный чистый заряд равен нулю, чистый поток через закрытую поверхность также равен нулю. (c) Форма и размер поверхностей, окружающих заряд, не имеют значения, потому что все поверхности, окружающие один и тот же заряд, имеют одинаковый поток.
Формулировка закона Гаусса
Закон Гаусса обобщает этот результат на случай любого числа зарядов и любого расположения зарядов в пространстве внутри замкнутой поверхности.
Согласно закону Гаусса, поток электрического поля E→E→ через любую замкнутую поверхность, также называемую гауссовой поверхностью, равен суммарному заключенному заряду (qenc)(qenc), деленному на диэлектрическую проницаемость свободного пространства (ε0)( ε0):
ΦЗакрытая поверхность=qencε0.ΦЗакрытая поверхность=qencε0.
Это уравнение верно для зарядов любого знака , потому что мы определяем вектор площади замкнутой поверхности так, чтобы он указывал наружу. Если заключенный заряд отрицательный (см. рис. 6.16(b)), то поток через SorS’S’ или S’ будет отрицательным.
Рисунок 6.16 Электрический поток через любую замкнутую поверхность, окружающую точечный заряд q , определяется законом Гаусса. а) Заключенный заряд положительный. (b) Заключенный заряд отрицательный.
Поверхность Гаусса не обязательно должна соответствовать реальному физическому объекту; действительно, это редко будет. Это математическая конструкция, которая может иметь любую форму при условии, что она замкнута.
Однако, поскольку наша цель состоит в том, чтобы интегрировать поток по нему, мы склонны выбирать формы, которые являются в высшей степени симметричными.
Если заряды являются дискретными точечными зарядами, то мы просто добавляем их. Если заряд описывается непрерывным распределением, то нам нужно соответствующим образом интегрировать, чтобы найти общий заряд, который находится внутри замкнутого объема. Например, поток через гауссову поверхность S на рис. 6.17 равно Φ=(q1+q2+q5)/ε0.Φ=(q1+q2+q5)/ε0. Обратите внимание, что qencqenc — это просто сумма точечных зарядов. Если бы распределение заряда было непрерывным, нам нужно было бы соответствующим образом интегрировать, чтобы вычислить общий заряд в пределах гауссовой поверхности.
Рисунок 6.17 Поток через показанную гауссову поверхность из-за распределения заряда равен Φ=q1+q2+q5/ε0.Φ=q1+q2+q5/ε0.
Напомним, что для электрического поля справедлив принцип суперпозиции. Следовательно, полное электрическое поле в любой точке, в том числе и на выбранной гауссовой поверхности, представляет собой сумму всех существующих в этой точке электрических полей.
Это позволяет нам записать закон Гаусса в терминах полного электрического поля. 9dA=qencε0.
6,5
Чтобы эффективно использовать закон Гаусса, вы должны иметь четкое представление о том, что представляет каждый член уравнения. Поле E→E→ равно суммарному электрическому полю в каждой точке гауссовой поверхности. В это полное поле входят вклады зарядов как внутри, так и вне гауссовой поверхности. Однако qencqenc — это всего лишь заряд внутри поверхности Гаусса. Наконец, поверхность Гаусса — это любая замкнутая поверхность в пространстве. Эта поверхность может совпадать с реальной поверхностью проводника или быть воображаемой геометрической поверхностью. Единственное требование, предъявляемое к поверхности Гаусса, состоит в том, что она должна быть замкнутой (рис. 6.18).
Рисунок 6.18 Бутылка Клейна, частично заполненная жидкостью. Можно ли использовать бутылку Клейна в качестве поверхности Гаусса?
Пример 6,5
Электрический поток через поверхности Гаусса
Рассчитайте электрический поток через каждую гауссову поверхность, показанную на рис.
6.19.
Рисунок 6.19 Различные гауссовы поверхности и заряды.
Стратегия
По закону Гаусса поток через каждую поверхность определяется как qenc/ε0, qenc/ε0, где qencqenc — заряд, заключенный на этой поверхности.
Решение
Для показанных поверхностей и зарядов находим
- Φ=2,0 мкКлε0=2,3×105 Н·м2/Кл. Ф=2,0 мкКлε0=2,3×105 Н·м2/Кл.
- Φ=-2,0 мкCε0=-2,3×105 Н·м2/Кл. Φ=-2,0 мкCε0=-2,3×105 Н·м2/Кл.
- Φ=2,0 мкКлε0=2,3×105 Н·м2/Кл. Ф=2,0 мкКлε0=2,3×105 Н·м2/Кл.
- Φ=-4,0 мкКл+6,0 мкКл-1,0 мкКлε0=1,1×105 Н·м2/Кл.
- Φ=4,0 мкКл+6,0 мкКл−10,0 мкКлε0=0,Φ=4,0 мкКл+6,0 мкКл−10,0 мкКлε0=0.
Значение
В частном случае замкнутой поверхности расчеты потоков становятся суммой зарядов. В следующем разделе это позволит нам работать с более сложными системами.
Проверьте свое понимание 6.3
Рассчитайте электрический поток через замкнутую кубическую поверхность для каждого распределения заряда, показанного на рис. 6.20.
Рисунок 6.20 Кубическая гауссова поверхность с различным распределением заряда.
Интерактивный
Используйте эту симуляцию, чтобы настроить величину заряда и радиус гауссовой поверхности вокруг него. Посмотрите, как это влияет на общий поток и величину электрического поля на поверхности Гаусса.
Закон Гаусса
Закон Гаусса Электрический поток через площадь определяется как электрическое поле, умноженное на площадь поверхности, спроецированной на плоскость, перпендикулярную полю. Другой способ наглядно представить это — рассмотреть датчик площади A, который может измерять электрическое поле, перпендикулярное этой области. Если он выберет любую закрытую поверхность и перешагнет через нее, измерив перпендикулярное поле, умноженное на его площадь, он получит меру суммарного электрического заряда внутри поверхности, независимо от того, как сконфигурирован этот внутренний заряд.
| Индекс Концепции электрического поля | |||
| Назад |
Закон Гаусса — это общий закон, применимый к любой замкнутой поверхности. Это важный инструмент, поскольку он позволяет оценить количество заключенного заряда путем отображения поля на поверхности вне распределения заряда. Для геометрий достаточной симметрии это упрощает вычисление электрического поля.
| Index Концепции электрического поля | |||
| Назад |
Закон Гаусса – это
форма одного из Максвелла
уравнения, четыре
фундаментальные уравнения
на электричество и
магнетизм. Понятие электрического потока полезно в сочетании с законом Гаусса. Электрический поток через плоскую область определяется как произведение электрического поля на составляющую площади, перпендикулярную полю. Когда площадь A используется в такой векторной операции, подразумевается, что величина вектора равна площади, а направление вектора перпендикулярно площади.
| Индекс Концепции электрического поля | |||
| Назад |
Если площадь не плоская, то для оценки потока обычно требуется интеграл площади, поскольку угол будет постоянно изменяться.Закон Гаусса является мощным инструментом для расчета электрических полей, когда они возникают из распределения зарядов достаточной симметрии для его применения.
Если распределение заряда недостаточно симметрично для применения закона Гаусса, то поле должно быть найдено путем суммирования полей точечных зарядов отдельных элементов заряда. |
