Формула периода колебаний пружинного маятника в физике
Формула периода колебаний пружинного маятника в физикеОпределение
Период – это минимальное время, за которое совершается одно полное колебательное движение.
Обозначают период буквой $T$.
\[T=\frac{\Delta t}{N}\left(1\right),\]
где $\Delta t$ – время колебаний; $N$ – число полных колебаний.
Уравнение колебаний пружинного маятника
Рассмотрим простейшую колебательную систему, в которой можно реализовать механические колебания. Это груз массы $m$, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой равен $k\ $(рис.1). Рассмотри вертикальное движение груза, которое обусловлено действием силы тяжести и силы упругости пружины. В состоянии равновесия такой системы, сила упругости равна по величине силе тяжести. Колебания пружинного маятника возникают, когда систему выводят из состояния равновесия, например, слегка дополнительно растянув пружину, после этого маятник предоставляют самому себе.
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)=A{\sin \left({\omega }_0t+{\varphi }_1\right)\ }\ }\left(8\right),\]
где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ – амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi )$ – фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ – начальные фазы колебаний.
Формулы периода колебаний пружинного маятника
Мы получили, что колебания пружинного маятника описывается функцией косинус или синус. Это периодические функции, значит, смещение $x$ будет принимать равные значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебаний. Обозначают период буквой T.
Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($\nu $):
\[T=\frac{1}{\nu }\left(9\right).
\]
Период связан с циклической частотой колебаний как:
\[T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\left(10\right).\]
Выше мы получали для пружинного маятника ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, следовательно, период колебаний пружинного маятника равен:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\ \left(11\right).\]
Формула периода колебаний пружинного маятника (11) показывает, что $T$ зависит от массы груза, прикрепленного к пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Данное свойство колебаний называют изохронностью. Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, появляется зависимость колебаний от амплитуды. Подчеркнем, что формула (11) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.
Примеры задач на период колебаний
Пример 1
Задание.
Пружинный маятник совершил 50 полных колебаний за время равное 10 с . Каков период колебаний маятника? Чему равна частота этих колебаний?
Решение. Так как период – это минимальное время необходимое маятнику для совершения одного полного колебания, то найдем его как:
\[T=\frac{\Delta t}{N}\left(1.1\right).\]
Вычислим период:
\[T=\frac{10}{50}=0,2\ \left(с\right).\]
Частота – величина обратная периоду, следовательно:
\[\nu =\frac{1}{T}\left(1.2\right).\]
Вычислим частоту колебаний:
\[\nu =\frac{1}{0,2}=5\ \left(Гц\right).\]
Ответ. $1)\ T=0,2$ с; 2) 5Гц
Пример 2
Задание.Две пружины, имеющие коэффициенты упругости $k_1$ и $k_2$ соединены параллельно (рис.2), к системе присоединен груз массы $M$. Каков период колебаний полученного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука?
Решение.
Воспользуемся формулой для вычисления периода колебаний пружинного маятника:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}\ \left(2.1\right).\]
При параллельном соединении пружин результирующая жесткость системы находится как:
\[k=k_1{+k}_2\left(2.2\right).\]
Это означают, что вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{M}{k_1{+k}_2}}.\]
Ответ. $T=2\pi \sqrt{\frac{M}{k_1{+k}_2}}$
Читать дальше: формула плеча силы.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Период колебаний – формула определения, расчет
4.8
Средняя оценка: 4.8
Всего получено оценок: 96.
4.8
Средняя оценка: 4.8
Всего получено оценок: 96.
Важнейшим параметром, требуемым при расчетах колебательных и волновых процессов, является период колебаний. Он входит во многие формулы, и является одним из базовых. Рассмотрим это понятие.
Колебательный процесс
Одними из самых частых процессов в Природе являются колебательные. Как правило, любой колебательный процесс состоит в том, что некоторый параметр рассматриваемой системы изменяет свое значение, периодически отклоняясь то в одну, то в другую сторону от некоторого положения равновесия.
Колебания маятника
Простейший пример колебательного процесса – маятник, легкая нить с грузом на конце. Отклоним его от равновесия в крайнее положение, а потом отпустим (чтобы уменьшить влияние трения, отклонение должно быть намного меньше длины нити).
Груз, начнет движение к противоположной крайней точке. Здесь его скорость упадет до нуля, и он качнется в обратную сторону до начального положения.
Что мы узнали?
Одно колебание маятника (или другого колеблющегося объекта) – это движение от точки максимального отклонения и до возвращения в эту точку. Время, за которое совершается одно колебание, называется периодом колебаний.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
Егор Князев
5/5
Оценка доклада
4.8
Средняя оценка: 4.8
Всего получено оценок: 96.
А какая ваша оценка?
Период и частота — AP Physics 1
Все ресурсы AP Physics 1
← Предыдущая 1 2 Следующая →
AP Physics 1 Справка » Ньютоновская механика » Круговое, вращательное и гармоническое движение » Круговое и вращательное движение » Период и частота
Масса движется по кругу .
Если он находится под действием центростремительной силы, каков период массы?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Зная центростремительную силу, действующую на массу, и радиус окружности, мы можем вычислить ее скорость:
Преобразование скорости:
Мы можем использовать это, чтобы найти период массы:
Переставляя точки, получаем:
Сообщить об ошибке
Напольные часы сильно проржавели внутри и каждый день отстают на 1500 секунд. Каков период минутной стрелки часов?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Нам нужно определить новый период на оборот.Обычные часы ежедневно регистрируют следующее количество секунд:
Теряя 1500 секунд каждый день, мы теперь имеем: по минутам в день:
Теперь разделим наши два значения, чтобы получить число секунд на один оборот:
Сообщить об ошибке
Предположим, у вас есть цепочка длины с шаром массы, прикрепленным к концу. Вы собираетесь вращать мяч по вертикальному кругу. Какова минимальная частота вращения мяча, при которой струна все время будет натянута?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Для начала нам нужно определить, что именно мы ищем. Что означает натяжение струны во всех точках? Это означает, что в какой-то точке круга натяжение будет равно нулю; таким образом, сила тяжести и центростремительная сила будут равны друг другу.
Расширьте эти выражения силы и упростите:
Выражение для центростремительного ускорения:0005
Подставив это обратно в уравнение для центростремительного ускорения, мы получим:
Изменение частоты:
Мы знаем все эти значения, что позволяет нам решить:
Космонавт в космосе имеет шар массой, прикрепленный к концу нити длиной . Мяч вращается по горизонтальному кругу. Если нить рвется под действием силы , каков минимальный период, за который можно раскрутить мяч?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Поскольку человек находится в космосе, единственной силой, о которой нам нужно беспокоиться в этой задаче, является центростремительная сила, возникающая в результате натяжения пружины. Поэтому нас спрашивают, какой период дает нам центростремительную силу .
Нам нужно выражение для скорости:
Подставим это обратно в исходное выражение:
Переставляя на период, мы получаем:
Мы знаем все эти значения, что позволяет нам решить:
Сообщить об ошибке
Какова обычная частота секундной стрелки на часах?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Обычная частота – это количество циклов в секунду. Поскольку секундная стрелка совершает один оборот или цикл каждые 60 секунд, правильный ответ – . Вы также можете думать об обычной частоте как об угловой скорости, деленной на .
Сообщить об ошибке
Сплошной цилиндр с массой и радиусом покоится на вершине склона под углом . Затем шар отпускают. Как далеко вниз по склону прошла сфера, если ее период составляет .
Сопротивлением воздуха и любыми силами трения пренебречь.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Мы можем начать с сохранения энергии, чтобы решить эту проблему:
Постановка задачи говорит нам, что изначально цилиндр находится в состоянии покоя, поэтому мы можем исключить начальную кинетическую энергию. Если мы предположим, что высота цилиндра, когда он достигает периода 0,2 с, имеет высоту 0, мы можем исключить конечную потенциальную энергию. Таким образом, мы получаем:
Расширяя эти термины и убеждаясь, что у нас есть как линейная, так и вращательная составляющая кинетической энергии, мы получаем уравнение (1):
Прежде чем двигаться дальше, мы знаем, что собираемся должны вычислить что-то, что мы можем использовать, чтобы определить период цилиндра.
Мы знаем, что период — это время, за которое цилиндр совершает один полный оборот. Думая практически, мы можем использовать длину окружности цилиндра и линейную скорость для определения периода:
Используя переменные, мы получаем уравнение:
Преобразовывая конечную скорость, мы получаем уравнение (2):
Теперь мы знаем, что период зависит от конечной линейной скорости. Мы еще вернемся к этому уравнению. Теперь мы можем вернуться к уравнению (1) и начать подставлять выражения для неизвестных переменных, двигаясь слева направо. Первая переменная, которую мы не знаем, это начальная высота. Однако мы можем использовать расстояние, пройденное цилиндром, и угол наклона:
Переставляя начальную высоту, мы получаем уравнение (3):
Далее, следующий неизвестный член – это конечная скорость. Мы можем заменить уравнение (2), которое мы уже вывели:
Двигаясь дальше, следующий неизвестный член — это момент инерции.
Используя выражение для цилиндра, чтобы получить уравнение (4):
Двигаясь дальше, последний неизвестный член – это конечная скорость вращения. Мы можем использовать соотношение между этим и линейной скоростью:
Теперь подставив уравнение (2), мы получим уравнение (5):
Теперь мы можем подставить уравнения 2, 3, 4 и 5 в уравнение (1):
Исключив массу с обеих сторон уравнения и раскладывая каждый член:
Комбинируя члены справа:
Перестановка по длине:
Проверьте свои единицы и убедитесь, что у вас есть секунды, прежде чем двигаться дальше!
Мы знаем значения для каждой переменной, так что пора втыкать и пыхтеть:
Сообщить об ошибке
Две машины едут бок о бок по идеально круглой гоночной трассе. Внутренний вагон находится в центре трассы. Внешний автомобиль находится в центре трассы. Обе машины едут по .
Сколько времени требуется внутренней машине, чтобы пройти круг?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Определение расстояния круга внутреннего автомобиля:
Преобразовать в:
Используйте формулу расстояния:
Сообщить об ошибке
Две машины едут бок о бок по идеально круглой гоночной трассе.
Внутренний вагон находится в центре трассы. Внешний автомобиль находится в центре трассы. Обе машины едут со скоростью
. Сколько времени потребуется внешней машине, чтобы пройти один круг?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Время внутреннего автомобиля:
Расстояние поиска круга внутреннего автомобиля:
Конвертируйте в:
Используйте дистанционную формулу:
Расстояние расстояния от круга.
Преобразование в:
Используйте формулу расстояния:
Сообщить об ошибке
Автомобиль с колесами массой и колесами радиуса движется со скоростью . Рассматривая колеса как диски с одинаковой плотностью массы, вычислить угловую частоту одного колеса.
Возможные ответы:
Ни один из этих
Правильный ответ:
Объяснение:Сообщить об ошибке
Автомобиль с колесами массой и колесами радиуса движется со скоростью . Рассматривая колеса как диски с одинаковой плотностью массы, вычислить угловой период одного колеса.
Возможные ответы:
Ничего из этого Объяснение:
Сначала найдите угловую частоту:
Аловый период – это обратная угловая частота:
Отчет о ошибке
← Предыдущие 1 2 NEXT →
Уведомление о авторском виде
Все AP Физики. 1 Ресурсы
7 Диагностические тесты 170 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Период и частота – манекены
Авторы: Стивен Хольцнер и
Обновлено: 26-03-2016
Рабочая тетрадь для чайников с онлайн-практикой Исследуйте книгу Купить на Amazon При описании того, как все движется по кругу, вы не просто используете радианы; Вы также можете указать время, которое требуется. Если объект движется со скоростью v , то время, необходимое для прохождения круга — расстояние, которое он проходит по окружности, 2π р — будет Обратите внимание на символ радиуса окружности: r . Это половина диаметра круга, который равен d . Таким образом, r = d /2. Обратите также внимание на символ периода: T . С помощью этого уравнения, учитывая скорость объекта на орбите и радиус окружности, вы можете рассчитать период объекта. Другим измерением, которое вы встретите в задачах по физике, является частота . В то время как период — это время, за которое объект совершает оборот по кругу, частота — это количество кругов, которые объект делает за единицу времени. Частота чаще всего измеряется в единицах циклов в секунду (cps), которые также называются Герцами (Гц). Объект, движущийся по кругу с частотой 2,0 Гц, каждую секунду совершает два оборота по кругу. Радиус орбиты Луны составляет 3,85 x 10 8 м, а ее период составляет около 27,3 дня. Какова его скорость при движении вокруг Земли? Правильный ответ: 1020 м/с при округлении до значащих цифр. Преобразовать 27,3 дня в секунды: Используйте уравнение для периода, чтобы найти скорость: Подставьте числа: У вас есть мяч на веревке, и вы крутите его по кругу. Какова его скорость, если радиус его окружности равен 1,0 м, а его период равен 1,0 с? У вас есть игрушечный самолетик на проводе, и он летит по кругу.
Время, за которое объект совершает полный оборот по орбите, называется периодом его движения. Обычно период измеряется в секундах, но его можно измерять и в других единицах времени, включая миллисекунды, минуты и годы.
Частота, ф , подключается к периоду так: Пример вопроса
Практические вопросы
