Физика траектория определение: Траектория, путь и перемещение

Содержание

Траектория, путь и перемещение

Чтобы разобраться с такими понятиями как траектория, путь и перемещение рассмотрим пример.

 

Представим человечка, который гуляет по лабиринту. Он может ходить по этому лабиринту хоть целый день и пройти десятки километров: поворачивать то направо, то налево, то возвращаться  и проходить по одним и тем же дорожкам снова и снова, пока не найдет выход.

 

Мы же, как самые хитрые,  наблюдаем за его попытками выйти из лабиринта сверху, и нам он кажется маленькой точкой в лабиринте.

 

Синие точки – это положение нашего человечка в лабиринте в разное время.

 

Если бы человечек чертил за собой линию, то мы могли бы увидеть весь его маршрут за день – получилась бы сложная линия с изгибами и петлями. По-умному эта линия называется траекторией.

Человечек не захотел чертить за собой линию и поручил это дело помощнику.

 

 

На рисунке зеленой линией указана траектория движения человечка

 

Траектория — это линия, которую описывает тело при своем движении.

Траектория бывает двух видов:  в виде прямой линии (прямолинейной) и в виде кривой линии (криволинейной).

 

На рисунке траектория на участках BC и MZ прямолинейная, а на участках AB, CD, DE, EF, FK, KL, LM – криволинейная.

 

Если мы измерим длину всей зеленой линии ABCDEFKLMZ (траектории), то получим путь. Путь – длина траектории.

 

Вроде все просто, если бы не одно НО. Кроме пути физики еще придумали такое понятие как перемещение. Чем же путь отличается от перемещения? Разве это не одно и то же?!

 

Оказывается, нет.

 

Перемещение – это, если мы не будем следить за траекторией движения человечка весь день, а просто отметим точку на карте в начале его движения (Точка А) и затем в конце дня отметим точку, где он закончил свое движение (Точка Z), и потом просто соединим эти две точки прямой линией. Длина этой прямой линии и будет перемещение человечка за день.

 

Перемещение человечка – направленный красный отрезок AZ

 

Соединять начальную и конечную точку принято стрелочкой, которая указывает направление, в котором переместилось тело. Таким образом, перемещение – это длина прямой стрелочки (направленного отрезка), соединяющей начальное и конечное положение тела.

 

ВЫВОДЫ:

Траектория – воображаемая линия, по которой движется тело.

Путь – длина траектории.

Перемещение – направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положения тела.

 

 

P.S. Путь и перемещение равны, если тело двигается всегда по прямой. Перемещение тела может быть равно нулю, а путь одновременно равен десяткам и тысячам километров (если тело вернется в ту же точку, откуда и начало двигаться). 

 

Как видите путь и перемещение – это разные вещи.

 

“Перемещение. Траектория. Путь” (9-й класс)

Цели урока:

  • Образовательная:
    – ввести понятия “перемещение”, “путь”, “траектория”.
  • Развивающая:
    – развивать логическое мышление, правильную физическую речь, использовать соответствующую терминологию.
  • Воспитательная:
    – достигать высокой активности класса, внимания, сосредоточенности учащихся.

Оборудование:

  • пластмассовая бутылка вместимостью 0,33 л с водой и со шкалой;
  • медицинский флакончик вместимостью 10 мл (или малая пробирка) со шкалой.

Демонстрации: Определение перемещения и пройденного пути.

Ход урока

1. Актуализация знаний.

– Здравствуйте, ребята! Садитесь! Сегодня мы с вами продолжим изучать тему “Законы взаимодействия и движения тел” и на уроке познакомимся с тремя новыми понятиями (терминами), касающихся этой темы. А пока проверим выполнение вами домашнего задания у данному уроку.

2. Проверка домашнего задания.

Перед уроком один учащийся выписывает на доске решение следующего домашнего задания:

Двум учащимся раздаются карточки с индивидуальными заданиями, которые выполняются во время устной проверки упр. 1 стр. 9 учебника. [1]

Карточка 1: (Приложение 1)

1. Какую систему координат(одномерную, двухмерную, трехмерную) следует выбрать для определения положения тел:

а) трактор в поле;
б) вертолет в небе;
в) поезд
г) шахматная фигура на доске.

2. Дано выражение: S = υ0 · t + (а · t2) / 2, выразите: а, υ0

Карточка 2: (Приложение 2)

1. Какую систему координат (одномерную, двухмерную, трехмерную) следует выбрать для определения положения таких тел:

а) люстра в комнате;
б) лифт;
в) подводная лодка;
г) самолет на взлетной полосе.

2. Дано выражение: S = (υ2 – υ02 ) / 2 · а, выразите: υ2 , υ02

.

3. Изучение нового теоретического материала.

С изменениями координат тела связана величина, вводимая для описания движения, – ПЕРЕМЕЩЕНИЕ.

Перемещением тела (материальной точки) называется вектор, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением.

Перемещение принято обозначать буквой . В СИ перемещение измеряется в метрах (м).

[ ] – [ м ] – метр.

Перемещение – величина векторная, т.е. кроме числового значения имеет еще и направление. Векторную величину изображают в виде отрезка, который начинается в некоторой точке и заканчивается острием, указывающим направление. Такой отрезок-стрелка называется вектором.

– вектор, проведенный из точки М в М1

Знать вектор перемещения – значит, знать его направление и модуль. Модуль вектора – это скаляр, т.е. численное значение. Зная начальное положение и вектор перемещения тела, можно определить, где находится тело.

В процессе движения материальная точка занимает различные положения в пространстве относительно выбранной системы отсчета. При этом движущаяся точка “описывает” в пространстве какую-то линию. Иногда эта линия видна, – например, высоко летящий самолет может оставлять за собой след в небе. Более знакомый пример – след куска мела на доске.

Воображаемая линия в пространстве, по которой движется тело называется ТРАЕКТОРИЕЙ движения тела.

Траектория движения тела – это непрерывная линия, которую описывает движущееся тело (рассматриваемое как материальная точка) по отношению к выбранной системе отсчета.

Движение, при котором все точки тела движутся по

одинаковым траекториям, называется поступательным.

Очень часто траектория – невидимая линия. Траектория движущейся точки может быть прямой или кривой линией. Соответственно форме траектории движение бывает прямолинейным и криволинейным.

Длина траектории – это ПУТЬ. Путь является скалярной величиной и обозначается буквой l. Путь увеличивается, если тело движется. И остается неизменным, если тело покоится. Таким образом, путь не может уменьшаться с течением времени.

Модуль перемещения и путь могут совпадать по значению, только в том случае, если тело движется вдоль прямой в одном направлении.

Чем же отличается путь от перемещения? Эти два понятия часто смешивают, хотя на самом деле они очень сильно отличаются друг от друга. Рассмотрим эти отличия: (

Приложение 3) (раздаются в виде карточек каждому ученику)

  1. Путь – скалярная величина и характеризуется только числовым значением.
  2. Перемещение – векторная величина и характеризуется как числовым значением (модулем), так и направлением.
  3. При движении тела путь может только увеличиваться, а модуль перемещения может как увеличиваться, так и уменьшаться.
  4. Если тело вернулось в начальную точку, его перемещение равно нулю, а путь нулю не равен.
  Путь Перемещение
Определение
Длина траектории, описываемой телом за определенное время Вектор, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением
Обозначение l [ м ] S [м ]
Характер физических величин Скалярная, т.е. определяется только числовым значением Векторная, т.е. определяется числовым значением (модулем) и направлением
Необходимость введения Зная начальное положение тела и путь l, пройденный за промежуток времени t, нельзя определить положение тела в заданный момент времени t Зная начальное положение тела и S за промежуток времени t, однозначно определяется положение тела в заданный момент времени t
  l = S в случае прямолинейного движения без возвратов

4. Демонстрация опыта (учащиеся выполняют самостоятельно на своих местах за партами, учитель вместе с учащимися выполняет демонстрацию этого опыта)

  1. Заполните водой до горловины пластмассовую бутылку со шкалой.
  2. Флакончик со шкалой заполните водой на 1/5 его объема.
  3. Наклоните бутылку так, чтобы вода подошла к горловине, но не вытекала из бутылки.
  4. Быстро опустите флакончик с водой в бутылку (не закрывая его пробкой) так, чтобы горловина флакончика вошла в воду бутылки. Флакончик плавает на поверхности воды в бутылке. Часть воды при этом из бутылки выльется
  5. Завинтите крышку бутылки.
  6. Сжимая боковые стенки бутылки, опустите поплавок на дно бутылки.

  1. Ослабляя давление на стенки бутылки, добейтесь всплытия поплавка. Определите путь и перемещение поплавка:________________________________________________________
  2. Опустите поплавок на дно бутылки. Определите путь и перемещение поплавка:______________________________________________________________________________
  3. Заставьте поплавок всплыть и утонуть. Каков путь и перемещение поплавка в этом случае?_______________________________________________________________________________________

5. Упражнения и вопросы для повторения.

  1. Путь или перемещение мы оплачиваем при поездке в такси? (Путь)
  2. Мяч упал с высоты 3 м, отскочил от пола и был пойман на высоте 1 м. найти путь и перемещение мяча.
    (Путь – 4 м, перемещение – 2 м.)

6. Итог урока.

Повторение понятий урока:

– перемещение;
– траектория;
– путь.

7. Домашнее задание.

§ 2 учебника [1], вопросы после параграфа, упражнение 2 (стр.12) учебника [1], повторить выполнение опыта урока дома.

Список литературы

1. Перышкин А.В., Гутник Е.М. Физика. 9 кл.: учеб.для общеобразоват.учреждений – 9-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2005.

Виды движения — урок. Физика, 7 класс.

Траектория, путь, перемещение

Выберем какой-либо предмет (дерево, дом, столб и т. д.) и будем его считать неподвижным.

Так можно оценивать движение других тел относительно этого предмета.

Предмет, относительно которого оценивается движение других тел, называется телом отсчёта.

 

Перемещение одного тела относительно других тел называют движением.

Пример:

водитель в машине не перемещается относительно автомобиля, а перемещается относительно объектов, которые находятся на улице.

Движение характеризует линия, по которой движется тело (на плоскости или в пространстве).

Пример:

прижми к доске кусочек мела и протащи его по поверхности доски.

Мел нарисует линию на доске, по которой перемещается.

Форма линии может быть различна (прямая или кривая).

Линию, которую описывает тело при своём движении, называют траекторией движения этого тела.

В зависимости от формы траектории, движение тел можно разделить на:

1.  прямолинейное движение;

2.  криволинейное движение.

 

Прямолинейным движением можно считать движение поезда на прямом участке пути, бег спринтера на дистанции \(100\) м, движение выдвижного ящика при извлечении его из шкафа, движение самолёта на взлётной полосе и т. д.

 

В жизни чаще приходится сталкиваться с криволинейным движением, например соревнования «Формулы-\(1\)», бег по дорожке стадиона на длинные дистанции, полёт горизонтально брошенного тела и т. д.

Путь — расстояние, пройденное телом вдоль траектории движения (единица измерения — [\(м\)]).

На рисунке видна траектория движения мяча

Отрезок прямой, который соединяет начальную точку траектории тела с её конечной точкой, называют перемещением тела.

 

Перемещение — минимальное расстояние, которое соединяет две выбранные точки траектории движения.

Пройденный путь и перемещение равны только при прямолинейном движении.

ТРАЕКТОРИЯ – это… Что такое ТРАЕКТОРИЯ?

– кривая, к-рую описывает радиус-вектор r(t )координат тела с течением времени (рис. 1). Понятие “Т.” тесно связано с понятиями “материальная точка” и “уравнения движения”. Говорить о траектории имеет смысл лишь в том случае, когда размеры тела малы по сравнению с расстоянием, к-рое оно проходит.

Для определения ф-ции r(t) (а следовательно, и Т.) необходимо решить дифференц. ур-ние 2-го порядка, вытекающее из 2-го закона Ньютона:


где т – масса тела, F– действующая на него сила.

Ур-ние (1) при заданной F определяет целое семейство траекторий. Выбор к.-л. одной из них осуществляется фиксацией нач. условий, роль к-рых обычно выполняют нач. координаты и скорость тела, Напр., подставляя в качестве силы F в ф-лу (1) силу всемирного тяготения,


где G – гравитационная постоянная, -масса Солнца, т – масса его спутника, n – единичный вектор, направленный от спутника к Солнцу, r– расстояние между ними, и, решая ур-ние (1), можно доказать [И. Ньютон (I. Newton, 1684)], что Т. движения спутника в зависимости от нач. условий является эллипсом, параболой или гиперболой.

В классич. механике, если известны координаты и скорость тела в к.-л. момент времени, то Т. движения [ф-ция r(t)]однозначно определяется законом движения (1).

Представление о Т. движения тела как о нек-рой гладкой кривой, к-рую можно найти, решив ур-ние (1), является чисто макроскопическим. Для микроскопич. тел это не так. Из основных постулатов термодинамики следует, что независимо от природы действующих на тело сил среднеквадратичная флуктуация скорости тела, находящегося в термодинамическом равновесии с внеш. средой, описывается ф-лой


где k- постоянная Больцмана, т – масса тела, Т- абс. темп-pa среды, в к-рую тело помещено.

Величина при комнатной темп-ре пренебрежимо мала для макроскопич. тел, но для отд. молекул она составляет уже неск. сотен м в секунду. Поэтому Т. движения микроскопич. тела будет представлять собой хаотическую ломаную линию, подобную изображённой на рис. 2. Это почти везде непрерывная и почти нигде недифференцируемая кривая. Она называется б р о у н о вс к о й т р а е к т о р и е й (см. Броуновское движение )и обладает тем свойством, что если увеличить любой её фрагмент, то мы увидим такую же кривую. Т., изображённая на рис. 2, является случайной, и имеет смысл говорить лишь о статистич. ансамбле таких Т. Полностью определёнными являются только средние по ансамблю величины. Напр., квадрат ср. смещения частицы <x2> как ф-ция времени t есть [А. Эйнштейн (A. Einstein), 1905]:


где D – коэф. диффузии.

Броуновское движение является заданным, если известна ф-ция


к-рая имеет смысл вероятности того, что частица, находящаяся в точке r1 в момент времени t1 в момент t2 окажется в точке r2.

В простейшем случае одномерного броуновского движения ф-ция (5) имеет вид


Т. о., для микроскопии, тел Т. является статистич. понятием.

Для квантовых частиц понятие “Т.” утрачивает смысл. Количеств. критерием квантового движения является условие


здесь 2p/h – постоянная Планка, т – масса частицы (напр., электрона), u-характерная скорость, L – характерный размер области движения частицы.

“Увидеть” Т. движения квантовой частицы (напр., электрона в атоме) непосредственно при помощи микроскопа или попытаться “поймать” Т. к.-л. способом невозможно. С формальной точки зрения причина состоит в том, что в квантовой частице неприменимо понятие материальной точки, можно говорить лишь об амплитуде вероятности обнаружить частицу в том или ином состоянии. Как показал-Кйзенберг (1927), физ. причина такого положения вещей заключается в том, что, пытаясь измерить положение частицы, мы неизбежно воздействуем на неё, причём это воздействие не может быть меньше постоянной Планка. Следовательно, в квантовом случае [когда выполнено условие (7)] представление о Т. как о геом. месте точек, в каждой из к-рых частицы имеют определ. скорость, физически бессмысленно.

Несмотря на это, в 1947 Т. “вернулась” в квантовую механику благодаря остроумному формализму интегрирования по траекториям, разработанному Р. Фейнманом (R. P. Feynman), и, т. о., легла в основу его интерпретации квантовой механики (см. Фейнмана представление в квантовой механике).

Оказывается, амплитуда перехода квантовой частицы из точки r1,t1 в точку r2,t2 можно записать в виде


Здесь S[x(t)] –действие классической частицы, движущейся по Т. х(t), символ означает, что необходимо просуммировать величину по всем Т., соединяющим точки r1,t1 и r2,t2. При этом величина имеет смысл амплитуды вероятности того, что частица попадёт из точки r1,t1 в точку r2,t2, двигаясь по Т. x(t). Т. хода G квантовой частицы (рис. 3).

Ур-ние (1) определяет экстремальную Т. в интеграле (8), к-рую называют классич. Т.

В классич. механике, к-рая описывает поведение мак-роскопич. тел, Т. движения является непосредственно измеряемой величиной. Для микроскопич. тел имеет смысл говорить лишь о статистическом ансамбле траекторий, поскольку для таких тел существенную роль играют термодинамич. флуктуации. И, наконец, в квантовой области представление о Т. как .о наблюдаемой физ. величине не имеет смысла. И всё же Т., уже как матсм. абстракция, образует основу очень красивого и плодотворного описания природы на квантовом уровне.

Лит.: Винер Н., Нелинейные задачи в теории случайных процессов, пер. с англ., М., 1961; Фейнман Р. Ф., Хибс А. Р., Квантовая механика и интегралы по траекториям, пер. с англ., М., 1968; Сивухин Д. В., Общий курс физики, 3 изд., т. 1. Механика, М., 1989. М. А. Савров.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.

Траектория, длина пути, вектор перемещения

Определение 1

Траектория движения тела – это линия, которая была описана материальной точкой при перемещении из одной точки в другую с течением времени.

Виды движений тела

Существуют несколько видов движений и траекторий твердого тела:

  • поступательное;
  • вращательное, то есть движение по окружности;
  • плоское, то есть перемещение по плоскости;
  • сферическое, характеризующее движение по поверхности сферы;
  • свободное, иначе говоря, произвольное.

Рисунок 1. Определение точки при помощи координат x=x(t), y=y(t), z=z(t) и радиус-вектора r→(t), r0→ является радиус-вектором точки в начальный момент времени

Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени может быть задано при помощи закона движения, определенный координатным способом, через зависимость координат от времени x=x(t), y=y(t), z=z(t)или от времени радиус-вектора r→=r→(t), проведенного из начала координат к заданной точке. Это показано на рисунке 1.

Перемещение тела

Определение 2

Перемещение тела s→=∆r12→=r2→-r1→ – направленный отрезок прямой, соединяющий начальную с конечной точкой траектории тела. Значение пройденного пути l равняется длине траектории, пройденной телом за определенный промежуток времени t.

Рисунок 2. Пройденный путь l и вектор перемещения s→ при криволинейном движении тела, a и b – начальная и конечная точки пути, принятые в физике

Определение 3

По рисунку 2 видно, что при движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Перемещение принято считать векторной величиной. Этот отрезок имеет направление.

Путь – скалярная величина. Считается числом.

Сумма двух последовательных перемещений из точки 1 в точку 2 и из токи 2 в точку 3 является перемещением из точки 1 в точку 3, как показано на рисунке 3.

Рисунок 3. Сумма двух последовательных перемещений ∆r→13=∆r→12+∆r→23=r→2-r→1+r→3-r→2=r→3-r→1

Когда радиус-вектор материальной точки в определенный момент времени t является r→(t), в момент t+∆t есть r→(t+∆t), тогда ее перемещение ∆r→ за время ∆t равняется ∆r→=r→(t+∆t)-r→(t).

Перемещение ∆r→ считается функцией времени t: ∆r→=∆r→(t).

Пример 1

По условию дан движущийся самолет, представленный на рисунке 4. Определить вид траектории точки М.

Рисунок 4

Решение

Необходимо рассмотреть систему отсчета I, называемую «Самолет» с траекторией движения точки М виде окружности.

Будет задана система отсчета II «Земля» с траекторией движения имеющейся точки М по спирали.

Пример 2

Дана материальная точка, которая совершает движение из А в В. Значение радиуса окружности R=1 м. Произвести нахождение S, ∆r→.

Решение

Во время движения из А в В точка проходит путь, который равен половине окружности, записываемой формулой:

S=πR.

Подставляем числовые значения и получаем:

S=3,14·1 м=3,14 м.

Перемещением ∆r→ в физике считается вектор, соединяющий начальное положение материальной точки с конечным, то есть А с В.

Подставив числовые значения, вычислим:

∆r→=2R=2·1=2 м.

Ответ: S=3,14 м; ∆r→=2 м.

Глава 1. Путь, перемещение, скорость. Движение с постоянной скоростью. Относительность движения

В рамках этой темы необходимо знать ряд простых определений, понимать логику определения скорости и закона сложения скоростей.

Перемещением тела называется вектор, связывающий начальное и конечное положение тела, а пройденным путем — длина траектории. Поэтому величина(или модуль) перемещения — это расстояние от конечной до начальной точки по прямой, а путь — расстояние траектории тела. В задаче 1.1.1 пройденный телом за четверть периода путь — длина четверти окружности , перемещение — (см. рисунок), правильный ответ — 3.

Скорость тела определяется как отношение перемещения тела ко времени , затраченному на это перемещение

(1.1)

Для прямолинейного движения в одном направлении для величины вектора скорости получаем из (1.1)

(1.2)

где — путь, пройденный за время . Если определение (1.1) приводит к одной и той же величине для любого интервала времени , то скорость тела есть величина постоянная, а такое движение называется равномерным (задача 1.1.2 — ответ 4). В этом случае согласно (1.1) и (1.2) перемещение и пройденный путь линейно зависят от времени и . По этой причине линейно зависят от времени и координаты тела в любой системе координат. Поэтому графиком зависимости координат тела от времени для равномерного движения является прямая (задача 1.1.3 — ответ 1). Как следует из (1.1), (1.2), наклон этой прямой определяется скоростью: чем больше скорость, тем «круче» наклонен график зависимости координаты тела от времени к оси времени. Поэтому в задаче 1.1.4 на каждом из интервалов времени — от 0 до 1 с, от 1 до 2 с, от 2 до 3 с и от 3 до 4 с движение тела будет равномерным, а самой большой скорость тела будет в интервале времени от 3 до 4 с, в котором наклон графика максимален (ответ 4).

В задаче 1.1.5 нужно по графику зависимости координаты тела от времени найти его скорость. Это можно сделать так. Перемещение тела внутри каждого из интервалов времени — 0–1, 1–2 и 2–3 с — разность координат тела вначале и в конце этого интервала. Поэтому из графика находим

Таким образом, скорость тела равна 2 м/с внутри интервала времени 1–2 с (ответ 2).

Задача 1.1.6 посвящена размерности скорости. Из определения заключаем, что размерность скорости есть

И, следовательно, размерностью скорости могут быть

(или любые другие отношения единиц расстояний и времени). Для пересчета скорости из одних единиц в другие нужно выразить расстояние и время в требуемых единицах. Например, в задаче 1.1.6 имеем

(правильный ответ — 3).

При движении с постоянной скоростью определения (1.1) или (1.2) могут быть применены к любым этапам движения. Например, в задаче 1.1.7 можно из данных о движении жука вдоль периметра прямоугольника найти его скорость (=14/7=2 см/с), а затем использовать ее для описания движения жука вдоль диагонали (длина которой составляет 5 см): 1=5/2=2,5 с (правильный ответ 2).

Аналогичные соотношения используются в задаче 1.1.8. Рассматривая движение автомобиля на одной трети пути, получаем , где  — расстояние между городами. А на оставшихся двух третях (с учетом трехкратного увеличения скорости) 1. Поэтому полное время движения равно (ответ 1).

В задаче 1.1.9 следует использовать следующее свойство графика зависимости проекции скорости тела на некоторую ось от времени: площадь под этим графиком есть проекция перемещения тела на рассматриваемую ось. Причем площадь под участками графика, лежащими выше оси времени, нужно считать положительной, ниже оси времени — отрицательной. Если же все площадь под всеми участками графика считать положительной, площадь под графиком скорости дает пройденный телом путь. Находя площадь под данным в условии графиком, получаем

(ответ — 4).

Важным физическим законом, знание которого часто проверяется на едином государственном экзамене по физике, является закон сложения скоростей. Этот закон утверждает, что скорости одного и того же тела по отношению к разным системам отсчета связаны соотношением

(1.3)

Здесь и  — скорости тела относительно первой и второй системы отсчета,  — скорость второй системы отсчета относительно первой. Закон сложения скоростей является векторным. Это означает, три вектора , и образуют треугольник векторного сложения, и соотношение между величинами скоростей , и  — такое же, как и между длинами сторон треугольника. Углы этого треугольника равны углам между направлениями скоростей , и .

Примеры треугольников сложения скоростей приведены на рисунке, причем на среднем и правом рисунке приведены примеры «треугольников» скоростей в случаях, когда скорость тела в системе 2 и скорость системы 2 относительно системы 1 направлены одинаково (средний рисунок) и противоположно (правый рисунок). Из этих рисунков следует, что скалярное соотношение, аналогичное (1.3) для величин скоростей , справедливо только, если векторы и направлены одинаково (средний рисунок). Если же векторы и направлены противоположно, для значений скоростей справедливо соотношение (или наоборот , если  — правый рисунок. Из этих рассуждений ясно, что поскольку в задаче 1.1.10 векторы скорости пассажира относительно поезда и поезда относительно земли направлены одинаково, скорость пассажира относительно земли равна (правильный ответ — 2). В задаче 1.2.1 ситуация обратная — вектор скорости первой машины относительно земли и второй машины относительно земли направлены противоположно. Поэтому , направлен вектор на север — правильный ответ 4.

В задаче 1.2.2 эти идеи применяются к движению лодки по и против течения. Из закона сложения скоростей заключаем, что при движении лодки по течению ее скорость относительно земли равна , при движении против течения — ( — скорость лодки в стоячей воде,  — скорость течения). Отсюда находим, что при движении лодки по течению, ее скорость относительно земли 15 км/ч, а при движении против течения — 5 км/ч. Поэтому время движения между городами и по течению втрое больше времени движения лодки между этими городами против течения (ответ — 2).

Все следующие задачи этой главы являются более сложными, поскольку в них рассматривается движение не одного, а двух тел, а закон сложения скоростей используется в случаях, когда векторы скоростей не направлены вдоль одной прямой. В задаче 1.2.3 встреча тел происходит в такой точке, что расстояния, пройденные первым и вторым телом, отличаются втрое (так как в три раза отличаются скорости тел). Поэтому при выходе из точки тела встретятся в такой точке , что длины дуг отличаются в три раза. Следовательно, угол  — прямой, и длина отрезка равна . (ответ 4).

Если два тела, начав движение одновременно, движутся навстречу друг другу (задача 1.2.4), то время встречи тел можно найти следующим образом. Так как тела двигались до встречи одинаковое время, они прошли расстояния и , сумма которых равна первоначальному расстоянию между телами . Поэтому (ответ 2). Отметим, что данные в условии задачи ответы 3 и 4 имеют неправильную размерность — 1/с и потому могут быть отброшены сразу. Задача 1.2.5 решается с помощью таких соображений: время движения первого пешехода между городами , второго — , встречи пешеходов (см. предыдущую задачу). Отсюда

Сокращая в этой формуле величину , получаем

или ч (правильный ответ — 1).

В задаче 1.2.6 начальное и конечное положения вагона и человека показаны на правой и левой частях рисунка.

Отсюда заключаем, что разность перемещений вагона и человека равна длине вагона . Поэтому время, через которое провожающий окажется около конца вагона, определяется из соотношения . Из этой формулы находится время, а затем и расстояние, пройденное провожающим (ответ 1). Отметим, что ответы 3 и 4 могли быть отброшены сразу, поскольку не описывают случай одинаковых скоростей. Действительно, при одинаковых скоростях вагон никогда не обгонит провожающего, и расстояние, пройденное при «обгоне» провожающим, должно обратиться в бесконечность. Другими словами, ответ должен содержать нуль в знаменателе при .

Задача 1.2.7 посвящена вычислению средней скорости движения на некотором пути, которая определяется как отношение этого пути к затраченному времени. Если расстояние между городами и равно , то полное время движения между городами складывается из времен, затраченных на первую и вторую половины пути

Отсюда находим км/ч (правильный ответ — 3).

В задачах 1.2.8–1.2.9 закон сложения скоростей рассматривается в ситуациях, когда векторы , и направлены не вдоль одной прямой. В этом случае необходимо использовать закон сложения скоростей в векторной форме (1.3). Когда человек в поезде идет перпендикулярно направлению его движения (задача 1.2.8), треугольник сложения скоростей (1.3) имеет вид, показанный на рисунке.

Здесь  — вектор скорости поезда относительно земли,  — вектор скорости человека относительно поезда, который по условию направлен перпендикулярно вектору . Поэтому согласно закону сложения скоростей вектор скорости человека относительно земли представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются векторы и (см. рисунок). Следовательно, величину скорости человека относительно земли можно найти по теореме Пифагора (ответ 3).

Задачи 1.2.9. и 1.2.10 удобнее решать, переходя из той системы отсчета, в которой задача поставлена (в системе отсчета, связанной с землей) в некоторую другую систему, в которой рассматриваемое явление является более простым. При переправе через реку (задача 1.2.9) скорость лодки относительно земли зависит от траектории — на траекториях, направленных под острыми углами к течению, скорость лодки больше, чем на траекториях, на которых угол между скоростью лодки и скоростью течения — тупой. Поэтому время переправы по самой короткой траектории (перпендикулярной берегам) не является минимальным. Траекторию с минимальным временем переправы легко найти в системе отсчета, связанной с водой. В этой системе отсчета вода покоится, и, следовательно, минимальное время переправы достигается на такой траектории, на которой вектор скорости лодки относительно воды перпендикулярен берегам реки. Поэтому вектор скорости лодки относительно земли на этой траектории наклонен под углом к течению (см. рисунок). Под таким углом к берегу и расположена траектория, на переправу по которой лодка затрачивает минимальное время (правильный ответ — 1).

В задаче 1.2.10 рассматривается движение трех тел. В системе отсчета, связанной с землей ответ неочевиден. Быстрый катер дольше уплывет от лодки, но будет двигаться быстрее и при обратном движении, медленный — наоборот. Однако если перейти в систему отсчета, связанную с водой, решение очень несложно. В этой системе отсчета плот покоится, каждый катер при движении от плота и к плоту движется с одинаковой скоростью. Поэтому каждый катер вернется к плоту через то же самое время после разворота, в течение которого он двигался от плота. Следовательно, катера вернутся одновременно (ответ 3).

Траектория, путь, перемещение. Векторные величины в физике

п.1. Траектория и путь

Траектория – это линия, которую материальная точка описывает во время своего движения.

Примеры траекторий


Траектория полета баскетбольного мяча

Траектория полета на Марс и обратно

Внимание!
Траектория зависит от выбранной системы отсчета.

Пример зависимости траектории от системы отсчета
Жук сел в центр больших башенных часов и пополз по минутной стрелке.
За час, двигаясь с постоянной скоростью, он дополз до конца стрелки.


В системе отсчета, связанной с минутной стрелкой, траектория жука – отрезок прямой.

В системе отсчета, связанной с циферблатом, траектория жука – спираль Архимеда.

Путь – это расстояние, пройденное материальной точкой вдоль траектории движения.
Единица пути в СИ – 1 метр.

Путь также зависит от выбора системы отсчета, как и траектория.
Допустим, что минутная стрелка, по которой ползал жук в нашем примере, имеет длину L=7,5 м. Тогда в системе отсчета, связанной со стрелкой, путь жука s1=L=7,5 м.
Для спирали Архимеда длина описанной дуги также известна и равна s1≈2,83L≈21,2 м. Т.е. в системе отсчета, связанной с циферблатом, путь жука почти в 3 раза больше.

п.2. Перемещение

Перемещение – это направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положение движущейся материальной точки.
Модуль перемещения равен длине направленного отрезка и измеряется в метрах.

Пример перемещения в разных системах отсчета


В системе отсчета, связанной с минутной стрелкой, модуль перемещения жука равен его пути $$ |\overrightarrow{r}|=s=L $$

В системе отсчета, связанной с циферблатом, модуль перемещения жука меньше его пути \begin{gather*} |\overrightarrow{r}|\lt s\\ |\overrightarrow{r}|=L,\ \ s\approx 2,83L \end{gather*}

В общем случае модуль перемещения не превышает пройденный путь: $$ |\overrightarrow{r}|\leq s $$

п.3. Понятие вектора и суммы векторов

Вектор это направленный отрезок.

Примеры векторов на плоскости и их обозначений:

Вектор \(\overrightarrow{BA}\) является обратным для вектора \(\overrightarrow{AB}\), т.е. \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
При этом оба вектора равны по модулю: \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BA}|\).
Сумма двух взаимно обратных векторов равна нулю: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=0\).
С точки зрения физики это можно пояснить так: точка переместилась из A в B, а затем вернулась обратно в A. В итоге перемещение равно 0.

Сумма двух векторов – также вектор. Чтобы найти сумму двух векторов, необходимо от конца первого вектора отложить второй вектор; тогда суммой будет вектор в направлении от начала первого вектора до конца второго: $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC} $$ Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

С точки зрения физики правило треугольника можно пояснить так: точка переместилась из A в B, а затем из B в C. В итоге произошло перемещение из A в C, т.е. \(\overrightarrow{AC}\).

В курсе механики, который мы изучаем, нам встретится много векторных величин:
\(\overrightarrow{r}\) – перемещение, \(\overrightarrow{v}\) – скорость, \(\overrightarrow{a}\) – ускорение, \(\overrightarrow{F}\) – сила.
Постепенно, мы научимся с ними работать.

п.4. Задачи

Задача 1. Пассажир движущегося по прямой круизного лайнера прогуливается по палубе, от правого борта к левому и обратно. Постройте траектории движения пассажира:
а) относительно лайнера;
б) относительно Земли.

а) относительно лайнера;

Траектория – отрезок между бортами, по которому пассажир движется туда и обратно.

б) относительно Земли.

Траектория – кривая (синусоида), которая получается как сумма движений пассажира от одного борта к другому и движения лайнера вперед.

Задача 2. Платформа длиной l движется по дороге, а человек движется по платформе.

Каков путь человека: а) относительно платформы; б) относительно дороги? в) Каков путь переднего колеса платформы относительно дороги?

а) Путь человека относительно платформы равен длине платформы l.
б) Путь человека относительно дороги равен s.
в) Путь переднего колеса платформы относительно дороги (s-l).

Задача 3. Мяч, брошенный вертикально вверх, поднялся на высоту 7 м и упал обратно.
Чему равен: а) его путь; б) перемещение?

а) Путь равен сумме пройденных расстояний вверх и вниз: s=7+7=14 (м)
б) Перемещение равно \(|\overrightarrow{r}|=0\), т.к. мяч упал в исходную точку.

Ответ: s=14 м; \(|\overrightarrow{r}|=0\)

Задача 4. Вертолет пролетел 400 км на север, 200 км на восток и 400 км на юг.
Начертите схему движения и определите путь и перемещение вертолета.

Путь равен сумме длин всех векторов: s=400+300+400=1100 (км)
Начало движения – точка A, конец – точка D. Перемещение равно: \(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{AD}\).
Модуль перемещения равен длине отрезка AD.
По условию AB=CD и AB || CD. Значит, ABCD – прямоугольник, и AD=BC=300  (км).
\(\overrightarrow{r}=AD=300\ \)(км)

Ответ: s=1100 км; \(|\overrightarrow{r}|=300\ \)км, на восток

Задача 5. В сундуке старого пирата найдена старая карта, на которой точкой отмечен старый дуб. На обратной стороне карты есть надпись, которую удалось расшифровать: «30 шагов на север, 20 шагов на запад, 50 шагов на юг, 50 шагов на восток, 20 шагов на север. Копай!». Начертите схему движения, найдите путь и перемещение от дуба к кладу в шагах и метрах, если в одном шаге 70 см.

Строим прямоугольную систему координат, дуб – в начале отсчета.
Откладываем векторы перемещений и отмечаем координаты на осях:

Получаем, что клад находится в точке F, расположенной в 30 шагах на восток от дуба.
Путь из точки A в точку F равен сумме длин всех отложенных векторов:

s = 30+20+50+50+20=170 (шагов)
s = 170 · 0,7 = 119 (м)

Перемещение из точки A в точку F равно вектору \(\overrightarrow{AF},\ \overrightarrow{r}=\overrightarrow{AF}\).
Модуль перемещения равен длине отрезка AF: \begin{gather*} |\overrightarrow{r}|=AB=30\ \text{(шагов)}\\ |\overrightarrow{r}|=30\cdot 0,7=21\ \text{(м)} \end{gather*}
Ответ: s=119 м; \(|\overrightarrow{r}|=21\ \)м, на восток

Траектория

: определение и уравнение | Study.com

Что такое траектория?

Траектория – это не что иное, как путь, по которому объект движется в пространстве. В этом уроке мы собираемся сконцентрироваться на баллистической траектории , которая представляет собой путь, по которому объект следует в космосе после первоначального запуска, причем его путь определяется только законами движения, гравитации и, возможно, сопротивления воздуха.

Как рассчитать баллистическую траекторию

Самый простой способ выполнить расчет баллистической траектории – разделить движение объекта на две независимые части: чисто горизонтальное движение и чисто вертикальное движение.Оказывается, эти два движения могут быть рассчитаны независимо, а затем результаты объединены вместе значимым образом. Для всех этих расчетов мы будем предполагать, что объект запускается с земли и в конечном итоге снова ударится о землю на той же высоте.

Давайте сначала посмотрим на горизонтальное направление. Если предположить, что нет сопротивления воздуха и гравитации, объект, запущенный горизонтально с определенной скоростью, будет продолжать двигаться в том же направлении, с той же скоростью, вечно.Если мы предположим, что сопротивление воздуха незначительно (близко к нулю), это даст нам необходимое уравнение для горизонтальной составляющей траектории. Это очень просто: расстояние равно горизонтальной скорости, умноженной на время. Проблема в том, что объект обычно запускается не в чисто горизонтальном направлении. Пусковая установка будет иметь некоторый угол по отношению к горизонтали. Нам нужно знать, что это за угол, чтобы мы могли выяснить, какая доля фактической скорости запуска приходится на горизонтальное направление.Посмотрите на диаграмму.

Схема горизонтальной и вертикальной составляющих траектории

Тригонометрия очень удобна в этой ситуации. Горизонтальная составляющая определяется с помощью косинуса угла, показанного на диаграмме. Итак, если объект запускается с определенной начальной скоростью Vo, в результате возникают два простых уравнения.

Теперь займемся вертикальной составляющей.Опять же, мы предположим нулевое сопротивление воздуха, но теперь нам нужно иметь дело с гравитацией. Гравитация вызывает на объект постоянную силу ускорения, направленную вниз, которую мы должны учитывать на протяжении всего полета. Если мы находимся близко к поверхности Земли, это значение ускорения составляет около 32 футов в секунду в квадрате. Суть в том, что вертикальная скорость объекта совсем не постоянна. Он начинается с вертикальной составляющей начальной скорости, замедляется, пока объект не достигнет максимальной высоты, на мгновение достигает нуля, а затем начинает увеличиваться в противоположном направлении по мере свободного падения объекта.Вертикальная составляющая определяется с помощью синуса угла.

Есть несколько хорошо известных уравнений для вертикального движения, которые являются результатом этого анализа.

Есть два других полезных уравнения, которые можно найти путем объединения некоторых из приведенных выше уравнений с уравнениями горизонтального движения.

Примеры траектории

Для ракеты-фейерверка предположим, что пусковая установка направлена ​​под углом 60 градусов от горизонтали.Предположим также, что ракетное топливо исчерпывает всю свою энергию при запуске, и это дает ракете начальную скорость 100 футов / сек. Когда ракета достигнет вершины своей траектории? Насколько высоко он будет в этот момент? Насколько далеко уйдет ракета в горизонтальном направлении, когда достигнет максимальной высоты? Если бы ракета не взорвалась, когда бы она упала на землю? Предположим, что сопротивление воздуха отсутствует для всех этих расчетов.

Заметили ли вы, что общее время полета и общее пройденное расстояние (если ракета не взорвалась) вдвое больше значений времени и расстояния на максимальной высоте?

Golf – еще один очень интересный пример.Предположим, вы находитесь на фервее и в 150 ярдах от лунки. Предположим, что лунка находится на той же высоте, что и мяч на фервее. Вы решаете ударить по мячу 7-айроном и хотите, чтобы он упал на землю в 10 ярдах от лунки. Какой должна быть начальная скорость мяча для достижения вашей цели? Давайте представим себе проблему.

Схема для примера траектории мяча для гольфа

Угол возвышения – это мера начального угла, под которым мяч будет находиться относительно земли.Для 7-утюга этот угол наклона составляет около 34 °. Начнем с общего пройденного расстояния по горизонтали.

Хммм. Нам нужно знать Vo, поэтому нам придется решить это уравнение для Vo, учитывая информацию, которая у нас уже есть (не забудьте умножить 140 ярдов на 3, чтобы получить футы).

Краткое содержание урока

Траектория – это путь, по которому объект движется в пространстве, а баллистическая траектория – это путь, который зависит от начальной скорости, но затем зависит только от силы тяжести и сопротивления воздуха.Никакие другие искусственные силы не добавляются после запуска объекта. Баллистические траектории определяют движение ракет, ракет, бейсбольных мячей, мячей для гольфа и т. Д. Предполагая, что траектория начинается и заканчивается на одной и той же высоте и что нет сопротивления воздуха, ее легче всего вычислить, рассматривая горизонтальное и вертикальное движение объект как две отдельные задачи и применяя соответствующие формулы.

Обзор траектории

Условия Пояснения
Траектория Путь, по которому объект движется в пространстве
Баллистическая траектория путь, по которому объект следует в пространстве после первого запуска, причем его путь определяется только законами движения, гравитации и, возможно, сопротивления воздуха
Косинус при расчете баллистической траектории горизонтальная составляющая определяется с помощью косинуса угла
Синус при расчете баллистической траектории вертикальная составляющая определяется с помощью синуса угла

Результаты обучения

Когда мы закончим этот урок, мы сможем:

  • Определить траекторию
  • Объясните, что такое баллистическая траектория
  • Описать, как рассчитать баллистическую траекторию объекта

Определение траектории по физике.

Примеры траектории в следующих темах:

  • Работа

    • Работа, совершаемая силой ($ F $) по траектории ($ C $), задается как $ \ int_C \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} $.
    • Сумма этих небольших объемов работы по траектории точки дает работу:
    • , где $ C $ – это траектория от $ x (t_1) $ до $ x (t_2) $.
    • Этот интеграл вычисляется по траектории частицы и поэтому считается зависимым от пути.
    • Рассчитайте «работу» как интеграл мгновенной мощности, приложенной вдоль траектории точки приложения
  • Применение параболы

    • Параболическая траектория снарядов была экспериментально обнаружена в 17 веке Галилеем, который проводил эксперименты с шариками, катящимися по наклонным плоскостям.
    • Как и во всех случаях в физическом мире, траектория снаряда является приблизительной.
    • Все физические примеры представляют собой ситуации, когда траектория объекта или форма объекта соответствует обобщенной функции параболы:
    • Летательный аппарат, используемый для создания состояния невесомости в целях экспериментов, например, «Рвотная комета» НАСА, следует вертикально параболической траектории в течение коротких периодов времени, чтобы проследить курс объекта в свободном падении, что для большинства целей производит тот же эффект, что и невесомость.
    • На этом изображении струя воды из фонтана следует по параболической траектории , когда сила тяжести тянет ее обратно вниз.
  • Ключевые моменты: дальность, симметрия, максимальная высота

    • Путь, по которому следует объект, называется его траекторией .
    • Путь, по которому следует объект, называется его траекторией .
    • Движение снаряда происходит только тогда, когда в начале на траектории действует одна сила, после чего единственное препятствие – сила тяжести.
    • Если вы проведете прямую вертикальную линию от максимальной высоты траектории , она будет отражаться вдоль этой линии.
    • Максимальная высота объекта на траектории снаряда достигается, когда вертикальная составляющая скорости $ v_y $ равна нулю.
  • Определение кинематики

    • Для описания движения кинематика изучает траектории точек, линий и других геометрических объектов, а также их дифференциальные свойства (такие как скорость и ускорение).
    • Изучение кинематики можно абстрагировать в чисто математические выражения, которые можно использовать для расчета различных аспектов движения, таких как скорость, ускорение, смещение, время и траектория .
    • Кинематические уравнения могут использоваться для расчета траектории частиц или объектов.
  • Основные уравнения и параболический путь

    • Движение снаряда – это форма движения, при которой объект движется по параболической траектории; Путь, по которому следует объект, называется его траекторией .
    • Путь, по которому следует объект, называется его траекторией .
    • Движение снаряда происходит только тогда, когда в начале на траектории действует одна сила, после чего единственное препятствие – сила тяжести.
    • Оцените влияние угла и скорости на траекторию снаряда; получить максимальную высоту, используя смещение
  • Исчисление с параметрическими кривыми

    • Обычный пример встречается в физике, где необходимо следовать по траектории движущегося объекта.
    • Траектория – полезное место для использования параметрических уравнений, поскольку она связывает горизонтальное и вертикальное расстояние со временем.
  • Нулевой угол пуска

    • Путь, по которому следует объект, называется его траекторией .
    • Движение снаряда происходит, когда сила прикладывается в начале траектории для запуска (после этого снаряд подвержен только силе тяжести).
    • Одним из ключевых компонентов движения снаряда и траектории , по которой он следует, является начальный угол запуска.
  • Дополнение к карбонильным двойным связям

    • Этим объясняется предпочтительное выравнивание склеивания, известное как траектория Bürgi-Dunitz .
  • Физика тормозного излучения

    • Если мы проигнорируем эффект радиационной реакции траектории заряженной частицы, мы сможем точно определить ее траекторию (по крайней мере, в классическом пределе), а затем использовать формулы для поля излучения, которые мы получили через несколько недель. назад.
    • Мы аппроксимируем точные траектории , показанные на левой панели рис. ~ 1, простой прямой траекторией , в которой ускорение частицы лежит в основном перпендикулярно направлению движения частицы.
    • Сначала необходимо оценить, при каком прицельном параметре траектория сильно отличается от прямой, поэтому $ \ Delta v \ sim v $, получаем
    • На левой панели показана точная траектория без учета реакции излучения, а на правой панели показано, как мы аппроксимируем траекторию
  • Применение гипербол

    • Это может быть применено к частице любого размера, пока гравитация является единственной силой, вызывающей орбитальную траекторию .
    • Параболическая траектория действительно имеет частицу, покидающую систему.
    • Если есть дополнительная энергия сверх минимального (нулевого) значения, траектория станет гиперболической, и поэтому E положительно в случае гиперболической орбиты.
    • Синий – это гиперболическая траектория (e> 1).
    • Зеленый – параболическая траектория (e = 1).

Движение снаряда | Физика

1.Снаряд запускается на уровне земли с начальной скоростью 50,0 м / с под углом 30,0º над горизонтом. Через 3 секунды он поражает цель над землей. Каковы расстояния x и y от места запуска снаряда до места приземления?

2. Мяч наносится с начальной скоростью 16 м / с в горизонтальном направлении и 12 м / с в вертикальном направлении. а) С какой скоростью мяч ударяется о землю? б) Как долго мяч остается в воздухе? (c) Какая максимальная высота достигает мяча?

3.Мяч бросается горизонтально с вершины здания высотой 60,0 м и приземляется на расстоянии 100,0 м от основания здания. Не обращайте внимания на сопротивление воздуха. а) Как долго мяч находится в воздухе? б) Какой должна была быть начальная горизонтальная составляющая скорости? (c) Какова вертикальная составляющая скорости перед ударом мяча о землю? (d) Какова скорость (включая горизонтальную и вертикальную составляющие) мяча непосредственно перед тем, как он упадет на землю?

4. (a) Сорвиголова пытается перепрыгнуть на своем мотоцикле через линию припаркованных автобусов, проезжая по рампе 32 ° со скоростью 40 °.0 м / с (144 км / ч). Сколько автобусов он может очистить, если верх взлетной рампы находится на той же высоте, что и верхняя часть автобусов, а длина автобусов составляет 20,0 м? (b) Обсудите, что ваш ответ подразумевает допустимую погрешность в этом действии, то есть подумайте, насколько больше диапазон, чем горизонтальное расстояние, которое он должен пройти, чтобы пропустить конец последнего автобуса. (Пренебрегая сопротивлением воздуха.)

5. Лучник стреляет из стрелы в цель на расстоянии 75,0 м; прицел цели находится на той же высоте, что и высота выхода стрелы.(а) Под каким углом должна быть выпущена стрела, чтобы попасть в цель, если ее начальная скорость составляет 35,0 м / с? В этой части задачи явно покажите, как вы выполняете шаги, связанные с решением проблем с движением снаряда. (b) На полпути между лучником и целью есть большое дерево с нависающей горизонтальной ветвью на 3,50 м над высотой выпуска стрелы. Пойдет стрелка над веткой или под веткой?

6. Регбист передает мяч 7,00 м через поле, где он пойман на той же высоте, что и оставил его руку.(a) Под каким углом был брошен мяч, если его начальная скорость составляла 12,0 м / с, если предположить, что использовался меньший из двух возможных углов? б) Какой другой угол дает такой же диапазон и почему бы его не использовать? (c) Сколько времени длился этот пропуск?

7. Проверьте дальность полета снарядов на Рисунке 5 (а) для θ = 45º и заданных начальных скоростей.

8. Проверьте дальность полета снарядов на Рисунке 5 (b) для начальной скорости 50 м / с при заданных начальных углах.

9. Пушка линкора может стрелять снарядом на максимальную дальность 32,0 км. (а) Рассчитайте начальную скорость снаряда. б) Какой максимальной высоты он достигает? (На самом высоком уровне оболочка составляет более 60% атмосферы – но сопротивление воздуха на самом деле не является незначительным, как предполагается, чтобы облегчить эту проблему.) (C) Океан не плоский, потому что Земля изогнута. Предположим, что радиус Земли равен 6.37 × 10 3 . На сколько метров ниже его поверхность будет в 32,0 км от корабля по горизонтальной линии, параллельной поверхности у корабля? Означает ли ваш ответ, что здесь существенна ошибка, связанная с предположением о плоской Земле в движении снаряда?

10.Стрела выпущена с высоты 1,5 м в сторону обрыва высотой H . Он выстреливается со скоростью 30 м / с под углом 60º над горизонтом. Через 4 секунды он приземляется на вершину обрыва. а) Какова высота обрыва? (б) Какая максимальная высота достигает стрелка на своей траектории? (c) Какова скорость удара стрелы непосредственно перед тем, как она упадет в обрыв?

11. В прыжке в длину с места человек приседает, а затем отталкивается ногами, чтобы посмотреть, как далеко он может прыгнуть.Предположим, что разгибание ног из положения приседа составляет 0,600 м, а ускорение, достигаемое из этого положения, в 1,25 раза превышает ускорение свободного падения, г . Как далеко они могут прыгнуть? Выскажите свои предположения. (Увеличенной дальности можно добиться, размахивая руками в направлении прыжка.)

12. Мировой рекорд по прыжкам в длину – 8,95 м (Майк Пауэлл, США, 1991). Считается, что это снаряд, какова максимальная дальность, которую может получить человек, если у него скорость взлета 9.5 м / с? Выскажите свои предположения.

13. На скорости 170 км / ч теннисист отбивает мяч на высоте 2,5 м и под углом θ ниже горизонтали. Линия обслуживания находится на расстоянии 11,9 м от сети, высота 0,91 м. Каков угол θ , при котором мяч просто пересекает сетку? Приземлится ли мяч в штрафную площадку, внешняя линия которой находится на расстоянии 6,40 м от сетки?

14. Футбольный квотербек движется прямо назад со скоростью 2,00 м / с, когда он делает пас игроку 18.0 м прямо по полю. (a) Если мяч брошен под углом 25º относительно земли и пойман на той же высоте, что и выпущен, какова его начальная скорость относительно земли? б) Сколько времени нужно, чтобы добраться до получателя? (c) Какова его максимальная высота над точкой выпуска?

15. Прицельные приспособления отрегулированы так, чтобы прицелиться высоко, чтобы компенсировать эффект силы тяжести, что эффективно обеспечивает точность прицела только на определенном расстоянии. (a) Если ружье прицеливается для поражения целей, находящихся на той же высоте, что и ружье, и 100.На расстоянии 0 м, как низко пуля попадет в цель на расстоянии 150,0 м? Начальная скорость пули – 275 м / с. (б) Обсудите качественно, как большая начальная скорость пули повлияет на эту проблему и каков будет эффект сопротивления воздуха.

16. Орел летит горизонтально со скоростью 3,00 м / с, когда рыба в его когтях, шевелясь, падает в озеро на 5,00 м ниже. Вычислите скорость рыбы относительно воды, когда она ударяется о воду.

17.Сова несет мышь к птенцам в гнезде. Его положение в это время составляет 4,00 м к западу и 12,0 м над центром гнезда диаметром 30,0 см. Сова летит на восток со скоростью 3,50 м / с под углом 30,0 ° ниже горизонтали, когда случайно уронила мышь. Достаточно ли повезло сове, что мышь попала в гнездо? Чтобы ответить на этот вопрос, вычислите горизонтальное положение мыши, когда она упала на 12,0 м.

18. Предположим, футболист отбивает мяч ногой с расстояния 30 м к воротам.Найдите начальную скорость мяча, если он только что пролетает над воротами на высоте 2,4 м над землей, учитывая, что начальное направление находится на 40º над горизонтом.

19. Может ли вратарь у своих ворот забить футбольный мяч в ворота соперника так, чтобы мяч не касался земли? Дистанция составит около 95 м. Вратарь может дать мячу скорость 30 м / с.

20. Линия штрафных бросков в баскетболе находится на расстоянии 4,57 м (15 футов) от корзины, что на 3,05 м (10 футов) над полом. Игрок, стоящий на линии штрафного броска, бросает мяч с начальной скоростью 7.15 м / с, выпуская его на высоте 2,44 м (8 футов) над полом. Под каким углом над горизонтом нужно бросить мяч так, чтобы он точно попал в корзину? Обратите внимание, что большинство игроков будут использовать большой начальный угол, а не прямой выстрел, потому что это допускает большую погрешность. Ясно покажите, как вы выполняете шаги, связанные с решением проблем с движением снаряда.

21. В 2007 году Майкл Картер (США) установил мировой рекорд в толкании ядра с броском 24,77 м. Какова была начальная скорость выстрела, если он выпустил его на высоте 2.10 м и бросил под углом 38,0º над горизонтом? (Хотя максимальное расстояние для снаряда на ровной поверхности достигается при 45 °, если пренебречь сопротивлением воздуха, фактический угол для достижения максимальной дальности меньше; таким образом, 38 ° даст большую дальность, чем 45 ° при толкании ядра.)

22. Баскетболист бежит со скоростью 5,00 м / с прямо к корзине, когда он прыгает в воздух, чтобы замочить мяч. Он сохраняет свою горизонтальную скорость. (а) Какая вертикальная скорость ему нужна, чтобы подняться 0.750 м над уровнем пола? (b) На каком расстоянии от корзины (по горизонтали) он должен начать свой прыжок, чтобы достичь максимальной высоты одновременно с достижением корзины?

23. Футболист толкает мяч под углом 45 градусов. Без воздействия ветра мяч пролетел бы 60,0 м по горизонтали. а) Какова начальная скорость мяча? (b) Когда мяч приближается к своей максимальной высоте, он испытывает короткий порыв ветра, который снижает его горизонтальную скорость на 1,50 м / с. На какое расстояние мяч проходит по горизонтали?

24.{2} \ text {\ sin} {2 \ theta} _ {0}} {g} \\ [/ latex] для определения дальности полета снаряда на ровной поверхности путем нахождения времени t , при котором y становится ноль и подставив это значение t в выражение для x – x 0 , отметив, что R = x – x 0 .

26. Необоснованные результаты (a) Найдите максимальную дальность стрельбы супер-пушки с начальной скоростью 4,0 км / с. б) Что неразумного в найденном вами диапазоне? (c) Является ли предпосылка необоснованной или имеющееся уравнение неприменимо? Поясните свой ответ.(d) Если такая начальная скорость может быть получена, обсудите влияние сопротивления воздуха, разрежения воздуха с высотой и кривизны Земли на дальность действия супер-пушки.

27. Постройте свою задачу Представьте мяч, брошенный через забор. Составьте задачу, в которой вы вычисляете необходимую начальную скорость мяча, чтобы просто преодолеть забор. Среди вещей, которые нужно определить: высота ограждения, расстояние до ограждения от точки выброса мяча и высота, на которой мяч выпущен.Вы также должны подумать, можно ли выбрать начальную скорость для мяча и просто рассчитать угол, под которым он брошен. Также изучите возможность нескольких решений с учетом выбранных вами расстояний и высоты.

Что такое снаряд?

В модуле 1 учебного курса по физике мы изучили различные способы описания одномерного движения объектов. В Разделе 2 учебного курса по физике мы узнали, как законы Ньютона помогают объяснить движение (и, в частности, изменения в состоянии движения) объектов, которые либо находятся в состоянии покоя, либо движутся в одномерном измерении.Теперь в этом модуле мы применим как кинематические принципы, так и законы движения Ньютона, чтобы понять и объяснить движение объектов, движущихся в двух измерениях. Наиболее распространенным примером объекта, который движется в двух измерениях , является снаряд. Таким образом, Урок 2 этого раздела посвящен пониманию движения снарядов.

Определение снарядов

A Снаряд – это объект, на который действует единственная сила тяжести.Есть множество примеров снарядов. Падающий из неподвижного состояния объект является снарядом (при условии, что влияние сопротивления воздуха незначительно). Объект, брошенный вертикально вверх, также является снарядом (при условии, что влияние сопротивления воздуха незначительно). И объект, брошенный вверх под углом к ​​горизонтали, также является снарядом (при условии, что влияние сопротивления воздуха незначительно). Снаряд – это любой объект, который после того, как выбросил или упал, продолжает движение по своей собственной инерции, и на него влияет только сила тяжести, направленная вниз.

По определению, снаряд имеет единственную силу, которая действует на него – силу тяжести. Если бы на объект действовала какая-либо другая сила, то этот объект не был бы снарядом. Таким образом, диаграмма свободного тела снаряда будет показывать единственную силу, действующую вниз, и обозначенную силой тяжести (или просто F grav ). Независимо от того, движется ли снаряд вниз, вверх, вверх и вправо или вниз и влево, диаграмма снаряда в свободном теле остается такой, как показано на диаграмме справа.По определению, снаряд – это любой объект, на который действует только сила тяжести.


Движение и инерция снаряда

Многие студенты испытывают трудности с представлением о том, что единственная сила, действующая на движущийся вверх снаряд, – это гравитация. Их концепция движения побуждает их думать, что если объект движется вверх, то должно быть восходящей силой.И если объект движется вверх и вправо, должна быть направленной вверх и вправо силой. Они верят, что силы вызывают движение; и если есть восходящее движение, тогда должна быть восходящая сила. Они рассуждают: «Как вообще объект может двигаться вверх, если единственная сила, действующая на него, – это гравитация?» Такие студенты не верят в ньютоновскую физику (или, по крайней мере, не верят сильно в ньютоновскую физику). Законы Ньютона предполагают, что силы необходимы только для того, чтобы вызвать ускорение (а не движение).Вспомните из раздела 2, что законы Ньютона прямо противоречат распространенному заблуждению о том, что для удержания объекта в движении требуется сила. Эта идея просто , а не ! Сила , а не , требуется для удержания объекта в движении. Сила требуется только для поддержания ускорения. А в случае снаряда, который движется вверх, есть сила, направленная вниз, и ускорение, направленное вниз. То есть объект движется вверх и замедляется.

Для дальнейшего размышления над концепцией направленной вниз силы и ускорения снаряда вниз рассмотрим выстрел из пушечного ядра горизонтально с очень высокой скалы на высокой скорости.И предположим на мгновение, что переключатель силы тяжести может быть выключен на таким образом, чтобы ядро ​​двигалось в отсутствие силы тяжести? На что будет похоже движение такого пушечного ядра? Как можно описать его движение? Согласно первому закону движения Ньютона, такое пушечное ядро ​​продолжало бы двигаться по прямой с постоянной скоростью. Если на него не действует неуравновешенная сила, «движущийся объект будет …». Это закон инерции Ньютона.

Теперь предположим, что переключатель силы тяжести включен и что пушечное ядро ​​проецируется горизонтально с вершины того же утеса.Какое влияние гравитация окажет на движение пушечного ядра? Повлияет ли гравитация на горизонтальное движение ядра? Пройдет ли пушечное ядро ​​на большее (или меньшее) горизонтальное расстояние из-за влияния силы тяжести? Ответ на оба эти вопроса – «Нет!» Гравитация воздействует на пушечное ядро ​​вниз, влияя на его вертикальное движение. Сила тяжести вызывает вертикальное ускорение. Мяч упадет вертикально ниже своего прямолинейного инерционного пути. Гравитация – это направленная вниз сила на снаряд, которая влияет на его вертикальное движение и вызывает параболическую траекторию, характерную для снарядов.

Снаряд – это объект, на который действует только сила тяжести. Гравитация влияет на вертикальное движение снаряда, вызывая вертикальное ускорение. Горизонтальное движение снаряда является результатом стремления любого движущегося объекта оставаться в движении с постоянной скоростью. Из-за отсутствия горизонтальных сил снаряд остается в движении с постоянной горизонтальной скоростью.Горизонтальные силы , а не требуются для удержания снаряда в горизонтальном движении. Единственная сила, действующая на снаряд, – это гравитация!

Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего симулятора движения снаряда.Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Симулятор позволяет в интерактивном режиме исследовать концепции движения снаряда. Измените высоту, измените угол, измените скорость и запустите снаряд.

Projectiles – The Physics Hypertextbook

Обсуждение

введение

Снаряд – это любой объект, который брошен, запущен, брошен, взлетен, брошен, разбросан, брошен или брошен.(Это неформальное определение.) Путь снаряда называется его траекторией . Некоторые примеры снарядов включают…

  • бейсбольный мяч, который был брошен, отброшен или брошен
  • Пуля в момент выхода из ствола ружья или винтовки
  • Автобус, съехавший с незавершенного моста
  • Движущийся в воздухе самолет с отключенными двигателями и крыльями
  • бегун на полпути (так как он на мгновение теряет контакт с землей)
  • космический челнок или любой другой космический корабль после отключения главного двигателя (MECO)

Первостепенной силой, действующей на снаряд, является гравитация.Это не означает, что других сил не существует, просто их влияние минимально по сравнению. Брошенный воздушный шар, наполненный гелием, обычно не считается снарядом, поскольку сопротивление и выталкивающая сила на нем столь же значительны, как и вес. Воздушные шары, наполненные гелием, нельзя бросать на большие расстояния и, как правило, они не падают. В отличие от этого, разбивающийся самолет будет считаться снарядом. Несмотря на то, что сопротивление и выталкивающие силы, действующие на него, в абсолютном выражении намного больше, чем на воздушном шаре, гравитация – это то, что действительно движет разбивающимся самолетом.Нормального сопротивления и плавучести просто недостаточно, чтобы спасти пассажиров обреченного полета от неудачного конца. Снаряд – это любой объект с начальной ненулевой горизонтальной скоростью, ускорение которого происходит только за счет силы тяжести.

Важной характеристикой снаряда является то, что его будущее уже предопределено. Отбивающие могут применять “телесный английский” после удара по длинному мячу, но делают это строго по психологическим причинам. Никакие отклонения в сторону не сделают фол справедливым.Конечно, пилот самолета, вышедшего из строя, может восстановить управление до крушения и предотвратить катастрофу, но тогда самолет больше не будет снарядом. Объект перестает быть снарядом после того, как будет произведен какой-либо реальный эффект по изменению его траектории. Таким образом, траектория снаряда полностью определяется в тот момент, когда она удовлетворяет определению снаряда.

Единственными значимыми величинами, которые могут варьироваться от снаряда к снаряду, являются начальная скорость и начальное положение

Здесь мы сталкиваемся с некоторыми лингвистическими сложностями.Иногда также говорят, что самолеты, управляемые ракеты и ракетные космические корабли следуют по траектории. Поскольку на эти устройства действуют подъем крыльев и тяга двигателей в дополнение к силе тяжести, они на самом деле не являются снарядами. Чтобы обойти эту дилемму, обычно используется термин баллистическая траектория , когда речь идет о снарядах. Слово баллистический происходит от греческого слова βαλλω ( vallo ), которое означает бросать, и неоднократно встречается на техническом жаргоне оружия с древних времен до наших дней.Например…

  • Баллиста , которая выглядит чем-то вроде гигантского арбалета, была осадной машиной, используемой в средневековые времена для закидывания больших камней, пылающих связок, зараженных туш животных и отрубленных человеческих голов в укрепления. До изобретения пороха баллисты (а также катапульты и требушеты) были излюбленным оружием завоевателей.
  • Межконтинентальная баллистическая ракета – это устройство для доставки ядерных боеголовок на большие расстояния.В начале своего путешествия межконтинентальная баллистическая ракета управляется ракетным двигателем и стабилизирующими стабилизаторами, но вскоре после этого она вступает в фазу своего полета, когда она фактически находится в свободном падении, путешествуя достаточно быстро, чтобы какое-то время удерживать ее над атмосферой Земли, но не достаточно быстро, чтобы выйти на орбиту навсегда. Прилагательное «межконтинентальный» относится к дальнобойным возможностям, в то время как путешествие в условиях свободного падения делает его «баллистическим». Межконтинентальные баллистические ракеты – это идеальные машины для убийства, но до сих пор они никогда не использовались в бою.

Широкий географический диапазон, а также широкий исторический диапазон этих вещей, которые мы называем снарядами, создают некоторые проблемы для типичного студента-физика. Когда снаряд отправляется в очень долгое путешествие, как в случае с межконтинентальными баллистическими ракетами, величина и направление ускорения, вызываемого силой тяжести, изменяются. С самого начала сила тяжести не постоянна, но изменения не заметны в повседневных диапазонах высоты. От самых глубоких шахт в Южной Африке до самых больших высот, которые преодолеваются коммерческими самолетами, величина ускорения свободного падения балла всегда фактически равна 9.8 м / с 2 ± 0,05 м / с 2 . Точно так же, если вы регулярно не путешествуете на средние и большие расстояния, вы вряд ли испытаете большие изменения в направлении силы тяжести. Чтобы испытать смещение «вниз» на 1 °, потребуется проехать 1 360 по окружности Земли – примерно 110 км (70 миль) или длина типичного утреннего пути на работу в Южную Калифорнию. Таким образом, для снарядов, которые не поднимаются выше самолета и не летят дальше диаметра L.A. гравитация фактически постоянна. Это охватывает первые пять примеров, описанных в начале этого раздела (бейсбольные мячи, пули, автобусы в приключенческих боевиках, самолеты, терпящие бедствие, и бегуны), но не шестой (космический шаттл после MECO).

Чтобы отличить такие простые снаряды от снарядов, где изменения гравитации и кривизны Земли значительны, я предлагаю использовать термин простой снаряд . Для остальных задач термин общий снаряд кажется подходящим, поскольку общее решение в математике – это решение, которое также включает частные случаи, но я менее категоричен в отношении этого термина.

Представьте себе практически сферическую Землю с единственной высокой горой, торчащей из нее, как гигантская опухоль. Теперь представьте, что вы используете это место как место для горизонтального запуска снарядов с различной начальной скоростью. Как скорость повлияет на дальность? Очевидно, что быстрые снаряды летят дальше медленных. Базовая концепция, связанная со скоростью, заключается в том, что «быстрее значит дальше», но на сферической Земле это соотношение является лишь приблизительно линейным. Какое-то время удвоение скорости означало бы удвоение расстояния, но в конечном итоге кривизна Земли начала мешать.На некоторой скорости наш гипотетический снаряд сделает четверть оборота вокруг Земли, затем половину оборота, а затем, в конце концов, облетит весь круг. В этот момент наш основной снаряд перестает быть объектом с точкой запуска и точкой приземления, и он начинает быть спутником , постоянно вращающимся вокруг Земли, постоянно меняющим направление и, таким образом, ускоряющимся под действием силы тяжести, но никогда никуда не приземляющимся. Технически такой объект все равно был бы обычным снарядом, поскольку гравитация является основным источником его ускорения, но почему-то это не кажется правильным.Объекты, путешествующие в том, что мы называем «космическим пространством», больше не кажутся снарядами. Кажется, что они больше живут в области небесной механики , чем земной механики . Однако такие различия произвольны, поскольку существует только одна механика. Законы физики считаются универсальными, пока не будет доказано иное. Унификация физических законов – тема, которая время от времени всплывает в физике.

Снаряд и спутник управляются одними и теми же физическими принципами, хотя и имеют разные названия.Простой снаряд делается математически простым идеализацией (в основном ложью удобства). Принимая постоянное значение для ускорения свободного падения, мы упрощаем решение проблемы и (во многих случаях) не сильно теряем в точности.

Каждая задача о снаряде – это, по сути, две одномерные задачи о движении…

Кинематические уравнения для простого снаряда – это уравнения для объекта, движущегося с постоянной горизонтальной скоростью и постоянным вертикальным ускорением.

Уравнения движения простого снаряда
уравнение горизонтальный вертикальный
ускорение a x = 0 a y = – г
скорость-время v x = v 0 x v y = v 0 y gt
время вытеснения х = x 0 + v 0 x t y = y 0 + v 0 y t – ½ gt 2
скорость-смещение v y 2 = v 0 y 2 -2 g ( y y 0 )

отделка…

Траектория простого снаряда – парабола.

исчисление, но не совсем

максимальная дальность при 45 °, равные дальности для углов запуска, которые превышают или меньше 45 ° на равные величины (например, 40 ° и 50 °, 30 ° и 60 °, 0 ° и 90 °)

Используйте горизонтальное направление для определения диапазона как функции времени…

x = x 0 + v 0 x t + ½ a x t 2
x = 0 + ( v cos θ) t + 0
x окончательный = ( v cos θ) t окончательный

Используйте вертикальное направление для определения времени в воздухе…

65
y = y 0 + v 0 y t + ½ a y t 2
y = ( v sin θ) t – ½ gt 2
0 = 0 + ( v sin θ) t final – ½ gt 2 final
т окончательный = 2 ( v sin θ)
г

Объедините эти два уравнения…

x окончательный = ( v cos θ) 2 ( v sin θ)
г
x окончательный = v 2 sin 2θ
г
x макс. =

Определение траектории по Merriam-Webster

tra · jec · to · ry | \ trə-ˈjek-t (ə-) rē \

1 : кривая, которую тело (например, планета или комета на своей орбите или ракета) описывает в космосе.

2 : путь, прогресс или линия развития, напоминающая физическую траекторию восходящая карьерная траектория

5.3 Движение снаряда – Физика

Задачи обучения раздела

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Опишите свойства движения снаряда
  • Применение кинематических уравнений и векторов для решения задач, связанных с движением снаряда

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим ученикам овладеть следующими стандартами:

  • (4) Научные концепции.Учащийся знает и применяет законы движения в двух измерениях в самых разных ситуациях. Ожидается, что студент:
    • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях с помощью уравнений.

Кроме того, лабораторное руководство по физике для средней школы рассматривает содержание этого раздела лаборатории под названием «Движение в двух измерениях», а также следующие стандарты:

  • (4) Научные концепции. Учащийся знает и применяет законы движения в самых разных ситуациях.Ожидается, что студент:
    • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях, используя уравнения, включая примеры снарядов и кругов.

Раздел Основные термины

сопротивление воздуха максимальная высота (снаряда) снаряд
движение снаряда диапазон траектория

Свойства движения снаряда

Движение снаряда – это движение объекта, подбрасываемого (проецируемого) в воздух.После начальной силы, запускающей объект, он испытывает только силу тяжести. Объект называется снарядом, а его путь называется его траекторией. Когда объект движется по воздуху, он сталкивается с силой трения, которая замедляет его движение, называемое сопротивлением воздуха. Сопротивление воздуха существенно меняет траекторию движения, но из-за сложности вычислений оно игнорируется во вводной физике.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL] [OL] Просмотрите добавление векторов графически и аналитически.

[BL] [OL] [AL] Объясните термин «движение снаряда». Попросите учащихся угадать, от чего может зависеть движение снаряда? Начальная скорость важна? Угол важен? Как эти вещи повлияют на его высоту и расстояние, которое он преодолевает? Представьте понятие сопротивления воздуха. Просмотрите кинематические уравнения.

Самая важная концепция движения снаряда состоит в том, что горизонтальных и вертикальных движений являются независимыми , что означает, что они не влияют друг на друга.На рис. 5.27 сравнивается пушечное ядро, падающее в свободном падении (синим цветом), и пушечное ядро, выпущенное горизонтально с метательным движением (красным). Вы можете видеть, что пушечное ядро ​​в свободном падении падает с той же скоростью, что и пушечное ядро ​​при движении снаряда. Имейте в виду, что если бы пушка запускала шар с любой вертикальной составляющей скорости, вертикальные смещения не совпадали бы идеально.

Поскольку вертикальные и горизонтальные движения независимы, мы можем анализировать их отдельно по перпендикулярным осям.Для этого мы разделяем движение снаряда на две составляющие его движения: одну по горизонтальной оси, а другую по вертикали.

Рис. 5.27 На диаграмме показано движение снаряда при выстреле пушечного ядра под горизонтальным углом по сравнению с выстрелом, сброшенным без горизонтальной скорости. Обратите внимание, что оба ядра со временем имеют одинаковое вертикальное положение.

Горизонтальную ось назовем осью x , а вертикальную ось – осью y .Для обозначений d – это полное смещение, а x и y – его составляющие по горизонтальной и вертикальной осям. Величины этих векторов равны x и y , как показано на рисунке 5.28.

Рис. 5.28 Мальчик пинает мяч под углом θ , и он перемещается по своей траектории на расстояние с .

Как обычно, мы используем скорость, ускорение и смещение для описания движения.Мы также должны найти компоненты этих переменных по осям x и y . Тогда компоненты ускорения очень простые a y = – g = –9,80 м / с 2 . Обратите внимание, что это определение определяет направление вверх как положительное. Поскольку сила тяжести вертикальна, a x = 0. Оба ускорения постоянны, поэтому мы можем использовать кинематические уравнения. Для обзора кинематические уравнения из предыдущей главы сведены в Таблицу 5.1.

x = x0 + vavgtx = x0 + vavgt (когда a = 0a = 0)
vavg = v0 + v2vavg = v0 + v2 (когда a = 0a = 0)
v = v0 + atv = v0 + при
x = x0 + v0t + 12at2x = x0 + v0t + 12at2
v2 = v02 + 2a (x − x0) v2 = v02 + 2a (x − x0)

Таблица 5.1 Сводка кинематических уравнений (константа a)

Где x – положение, x 0 – начальное положение, v – скорость, v avg – средняя скорость, t – время, а – ускорение.

Решение проблем, связанных с движением снаряда

Для анализа движения снаряда используются следующие шаги:

  1. Разделите движение на горизонтальную и вертикальную составляющие по осям x и y. Эти оси перпендикулярны, поэтому используются Ax = AcosθAx = Acosθ и Ay = AsinθAy = Asinθ. Величины смещения ss по осям x и y называются xx и y.y. Значения компонентов скорости vv равны vx = v cosθvx = v cosθ и vy = v sinθvy = v sinθ, где vv – величина скорости, а θθ – ее величина. направление.Начальные значения обозначаются индексом 0.
  2. Рассматривайте движение как два независимых одномерных движения, одно горизонтальное, а другое вертикальное. Кинематические уравнения для горизонтального и вертикального движения принимают следующие формы Горизонтальное движение (ax = 0) x = x0 + vxtvx = v0x = vx = скорость является константой. Горизонтальное движение (ax = 0) x = x0 + vxtvx = v0x = vx = скорость является константой. Вертикальное движение (при положительном значении вверх ay = −g = −9,80 м / с2ay = −g = −9,80 м / с2) y = y0 + 12 (v0y + vy) tvy = v0y − gty = y0 + v0yt − 12gt2vy2 = v0y2−2g (y − y0) y = y0 + 12 (v0y + vy) tvy = v0y − gty = y0 + v0yt− 12gt2vy2 = v0y2−2g (y − y0)
  3. Найдите неизвестные в двух отдельных движениях (горизонтальном и вертикальном).Обратите внимание, что единственная общая переменная между движениями – это время tt. Процедуры решения задач здесь такие же, как и для одномерной кинематики.
  4. Объедините два движения, чтобы найти полное смещение ss и скорость vv. Мы можем использовать аналитический метод сложения векторов, который использует A = Ax2 + Ay2A = Ax2 + Ay2 и θ = tan − 1 (Ay / Ax) θ = tan − 1 (Ay / Ax), чтобы найти величину и направление полное смещение и скорость. Смещение d = x2 + y2θ = tan − 1 (y / x) Скорость v = vx2 + vy2θv = tan − 1 (vy / vx) Смещение d = x2 + y2θ = tan − 1 (y / x) Скорость v = vx2 + vy2θv = tan− 1 (vy / vx) θθ – направление смещения dd, а θvθv – направление скорости vv.(См. Рисунок 5.29. Рис. 5.29 (a) Мы анализируем двумерное движение снаряда, разбивая его на два независимых одномерных движения по вертикальной и горизонтальной осям. (b) Горизонтальное движение простое, потому что ax = 0 ax = 0 и, таким образом, vx vx постоянна. (c) Скорость в вертикальном направлении начинает уменьшаться по мере подъема объекта; в самой высокой точке вертикальная скорость равна нулю. Когда объект снова падает на Землю, вертикальная скорость снова увеличивается по величине, но указывает в направлении, противоположном начальной вертикальной скорости.(d) Движения x и y рекомбинируются для получения полной скорости в любой заданной точке траектории.

Поддержка учителей

Поддержка учителей
Демонстрация учителей

Продемонстрируйте траекторию снаряда, выполнив простую демонстрацию. Бросьте темный мешок с фасолью перед белой доской, чтобы учащиеся могли хорошо рассмотреть путь полета снаряда. Меняйте углы подбрасывания, чтобы отображались разные пути. Демонстрация может быть расширена с помощью цифровой фотографии.Нарисуйте на доске справочную сетку, а затем бросайте сумку под разными углами, снимая видео. Воспроизведите это в замедленном режиме, чтобы наблюдать и сравнивать высоты и траектории.

Советы для успеха

Для задач о движении снаряда важно установить систему координат. Первый шаг – выбрать начальную позицию для xx и yy. Обычно проще всего установить начальное положение объекта так, чтобы x0 = 0x0 = 0 и y0 = 0y0 = 0.

Watch Physics

Снаряд под углом

В этом видео представлен пример определения смещения (или дальности) снаряда, выпущенного под углом.Он также рассматривает базовую тригонометрию для определения синуса, косинуса и тангенса угла.

Проверка захвата

Предположим, что земля ровная. Если горизонтальная составляющая скорости снаряда увеличивается вдвое, а вертикальная составляющая остается неизменной, как это влияет на время полета?

  1. Время достижения земли останется прежним, поскольку вертикальная составляющая не изменилась.
  2. Время достижения земли останется прежним, поскольку вертикальная составляющая скорости также удваивается.
  3. Время достижения земли уменьшится вдвое, поскольку горизонтальная составляющая скорости удвоена.
  4. Время достижения земли удвоится, поскольку горизонтальная составляющая скорости удвоена.

Рабочий пример

Снаряд фейерверка взрывается высоко и далеко

Во время фейерверка, подобного показанному на рис. 5.30, в воздух взлетает снаряд с начальной скоростью 70.0 м / с под углом 75 ° к горизонту. Взрыватель рассчитан на то, чтобы зажечь снаряд, как только он достигнет своей наивысшей точки над землей. (а) Рассчитайте высоту взрыва снаряда. б) Сколько времени прошло между запуском снаряда и взрывом? (c) Каково горизонтальное смещение снаряда при взрыве?

Рисунок 5.30 На схеме показана траектория выстрела фейерверка.

Стратегия

Движение можно разбить на горизонтальные и вертикальные движения, в которых ax = 0ax = 0 и ay = g ay = g.Затем мы можем определить x0x0 и y0y0 равными нулю и найти максимальную высоту.

Решение для (а)

Под высотой мы подразумеваем высоту или вертикальное положение yy над начальной точкой. Наивысшая точка любой траектории, максимальная высота, достигается, когда vy = 0 vy = 0; это момент, когда вертикальная скорость переключается с положительной (вверх) на отрицательную (вниз). Поскольку мы знаем начальную скорость, начальное положение и значение v y , когда фейерверк достигает максимальной высоты, мы используем следующее уравнение, чтобы найти yy

vy2 = v0y2−2g (y − y0).vy2 = v0y2−2g (y − y0).

Поскольку y0y0 и vyvy оба равны нулю, уравнение упрощается до

0 = v0y2−2gy. 0 = v0y2−2gy.

Решение для yy дает

Теперь мы должны найти v0yv0y, компонент начальной скорости в направлении y . Он задается формулой v0y = v0sinθv0y = v0sinθ, где v0yv0y – начальная скорость 70,0 м / с, а θ = 75∘θ = 75∘ – начальный угол. Таким образом,

v0y = v0sinθ0 = (70,0 м / с) (sin75∘) = 67,6 м / sv0y = v0sinθ0 = (70,0 м / с) (sin75∘) = 67,6 м / с

и yy равно

y = (67.6 м / с) 22 (9,80 м / с2), y = (67,6 м / с) 22 (9,80 м / с2),

, так что

Обсуждение для (а)

Так как верх положительный, начальная скорость и максимальная высота положительны, а ускорение свободного падения отрицательно. Максимальная высота зависит только от вертикальной составляющей начальной скорости. Цифры в этом примере приемлемы для больших фейерверков, снаряды которых достигают такой высоты перед взрывом.

Решение для (b)

Существует несколько способов решения на время до наивысшей точки.В этом случае проще всего использовать y = y0 + 12 (v0y + vy) ty = y0 + 12 (v0y + vy) t. Поскольку y0y0 равно нулю, это уравнение сводится к

y = 12 (v0y + vy) t.y = 12 (v0y + vy) t.

Обратите внимание, что окончательная вертикальная скорость vyvy в наивысшей точке равна нулю. Следовательно,

t = 2y (v0y + vy) = 2 (233 м) (67,6 м / с) = 6,90 с. t = 2y (v0y + vy) = 2 (233 м) (67,6 м / с) = 6,90 с.

Обсуждение для (б)

Это время также подходит для больших фейерверков. Когда вы увидите запуск фейерверка, вы заметите, что прошло несколько секунд, прежде чем снаряд взорвется.Другой способ найти время – использовать y = y0 + v0yt − 12gt2y = y0 + v0yt − 12gt2 и решить квадратное уравнение для tt.

Решение для (c)

Поскольку сопротивление воздуха незначительно, ax = 0ax = 0 и горизонтальная скорость постоянна. Горизонтальное смещение – это горизонтальная скорость, умноженная на время по формуле x = x0 + vxtx = x0 + vxt, где x0x0 равно нулю

, где vxvx – составляющая скорости x , которая определяется выражением vx = v0cosθ0. .vx = v0cosθ0. Теперь

vx = v0cosθ0 = (70,0 м / с) (cos75∘) = 18,1 м / с. Vx = v0cosθ0 = (70,0 м / с) (cos75∘) = 18,1 м / с.

Время tt для обоих движений одинаково, поэтому xx равно

x = (18,1 м / с) (6,90 с) = 125 м. X = (18,1 м / с) (6,90 с) = 125 м.

Обсуждение для (c)

Горизонтальное движение – это постоянная скорость при отсутствии сопротивления воздуха. Обнаруженное здесь горизонтальное смещение могло быть полезно для предотвращения падения фрагментов фейерверка на зрителей. Как только снаряд взорвется, сопротивление воздуха будет иметь большое значение, и многие фрагменты упадут прямо под ним, в то время как некоторые из фрагментов теперь могут иметь скорость в направлении –x из-за сил взрыва.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL] [OL] [AL] Обсудите пример проблемы. Обсудите переменные или неизвестные в каждой части задачи. Спросите учащихся, какие кинематические уравнения лучше всего подходят для решения различных частей задачи.

Выражение, которое мы нашли для yy при решении части (a) предыдущей задачи, работает для любой задачи о движении снаряда, где сопротивление воздуха незначительно. Назовем максимальную высоту y = hy = h; затем

Это уравнение определяет максимальную высоту снаряда.Максимальная высота зависит только от вертикальной составляющей начальной скорости.

Рабочий пример

Расчет движения снаряда: Снаряд Hot Rock

Предположим, что большая порода выбрасывается из вулкана, как показано на рисунке 5.31, со скоростью 25,0 м / с, 25,0 м / с и под углом 35 ° 35. ° выше горизонтали. Скала упирается в край вулкана на высоте 20,0 м ниже его начальной точки. (а) Вычислите время, которое требуется камню, чтобы пройти по этому пути.

Рис. 5.31 На схеме показано движение снаряда большой скалы из вулкана.

Стратегия

Разделение этого двумерного движения на два независимых одномерных движения позволит нам решить на время. Время нахождения снаряда в воздухе зависит только от его вертикального движения.

Решение

Пока камень находится в воздухе, он поднимается, а затем падает в конечное положение 20.На 0 м ниже начальной высоты. Мы можем найти время для этого, используя

y = y0 + v0yt − 12gt2.y = y0 + v0yt − 12gt2.

Если мы примем начальную позицию y0y0 равной нулю, то конечная позиция будет y = -20.0 m.y = −20.0 m. Теперь начальная вертикальная скорость – это вертикальная составляющая начальной скорости, найденная из

. v0y = v0sinθ0 = (25,0 м / с) (sin35∘) = 14,3 м / с. v0y = v0sinθ0 = (25,0 м / с) (sin35∘) = 14,3 м / с.

5,9

Подстановка известных значений дает

−20.0 м = (14,3 м / с) t- (4,90 м / с2) t2. − 20,0 м = (14,3 м / с) t- (4,90 м / с2) t2.

Перестановка членов дает квадратное уравнение в tt

(4,90 м / с2) t2- (14,3 м / с) t- (20,0 м) = 0. (4,90 м / с2) t2- (14,3 м / с) t- (20,0 м) = 0.

Это выражение представляет собой квадратное уравнение вида at2 + bt + c = 0at2 + bt + c = 0, где константы равны a = 4,90, b = –14,3 и c = –20,0. Его решения даются квадратной формулой

t = −b ± b2−4ac2a.t = −b ± b2−4ac2a.

Это уравнение дает два решения: t = 3,96 и t = –1,03. Вы можете проверить эти решения в качестве упражнения. Время t = 3,96 с или –1,03 с. Отрицательное значение времени подразумевает событие до начала движения, поэтому мы его отбрасываем. Следовательно,

Обсуждение

Время движения снаряда полностью определяется вертикальным движением. Так что любой снаряд с начальной вертикальной скоростью 14.3 м / с 14,3 м / с и приземление на 20,0 м ниже начальной высоты проведет в воздухе 3,96 с.

Практические задачи

11.

Если объект брошен горизонтально, движется со средней x-составляющей его скорости, равной 5 \, \ text {м / с}, и не ударяется о землю, какой будет x-составляющая смещения через 20 секунд. \, \ text {s}?

  1. {-100} \, \ text {m}
  2. {-4} \, \ text {m}
  3. 4 \, \ text {m}
  4. 100 \, \ text {m}
12.

Если мяч подброшен вверх с начальной скоростью 20 \, \ text {м / с}, какой максимальной высоты он достигнет?

  1. {-20.4} \, \ text {m}
  2. {-1.02} \, \ text {m}
  3. 1.02 \, \ text {m}
  4. 20,4 \, \ text {m}

Тот факт, что вертикальные и горизонтальные движения независимы друг от друга, позволяет нам предсказать дальность полета снаряда.Дальность – это горизонтальное расстояние R , пройденное снарядом на ровной поверхности, как показано на Рисунке 5.32. На протяжении всей истории люди интересовались поиском различных снарядов для практических целей, таких как прицельные пушки.

Рисунок 5.32 Траектории полета снарядов на ровной поверхности. (a) Чем больше начальная скорость v0v0, тем больше диапазон для данного начального угла. (b) Влияние начального угла θ0θ0 на дальность полета снаряда с заданной начальной скоростью.Обратите внимание, что любая комбинация траекторий, которые в сумме составляют 90 градусов, будет иметь одинаковый диапазон при отсутствии сопротивления воздуха, хотя максимальные высоты этих траекторий различаются.

Как начальная скорость снаряда влияет на дальность его действия? Очевидно, что чем больше начальная скорость v0v0, тем больше диапазон, как показано на рисунке выше. Начальный угол θ0θ0 также сильно влияет на дальность действия. Когда сопротивление воздуха незначительно, дальность RR снаряда на ровной поверхности составляет

. R = v02sin2θ0g, R = v02sin2θ0g,

где v0v0 – начальная скорость, а θ0θ0 – начальный угол относительно горизонтали.Важно отметить, что диапазон не применяется к задачам, в которых начальная и конечная позиции y различаются, или к случаям, когда объект запускается идеально горизонтально.

Virtual Physics

Движение снаряда

В этом симуляторе вы узнаете о движении снаряда, взрывая объекты из пушки. Вы можете выбирать между такими объектами, как танковый снаряд, мяч для гольфа или даже Бьюик. Поэкспериментируйте с изменением угла, начальной скорости и массы, а также с увеличением сопротивления воздуха.\ circ

Проверьте свое понимание

13.

Что такое движение снаряда?

  1. Движение снаряда – это движение объекта, который выбрасывается в воздух и движется под действием силы тяжести.
  2. Движение снаряда – это движение объекта, выбрасываемого в воздух и перемещающегося независимо от силы тяжести.
  3. Движение снаряда – это движение объекта, который проецируется вертикально вверх в воздух и движется под действием силы тяжести.
  4. Движение снаряда – это движение объекта, горизонтально проецируемого в воздух и перемещающегося независимо от силы тяжести.
14.

Какова сила, испытываемая снарядом после начальной силы, запустившей его в воздух при отсутствии сопротивления воздуха?

  1. Ядерная сила
  2. Сила тяжести
  3. Электромагнитная сила
  4. Контактное усилие

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Используйте вопросы «Проверьте свое понимание», чтобы оценить, достигли ли учащиеся учебных целей, поставленных в этом разделе.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *