Формула деление производных: Производные сложной функции

Содержание

СУММПРОИЗВ (функция СУММПРОИЗВ) – Служба поддержки Office

Функция СУММПРОИВ ВОЗВРАЩАЕТ сумму products из соответствующих диапазонов или массивов. По умолчанию операция умножения, но возможна с добавлением, вычитанием и делением.

В этом примере мы используем СУММПРОИВ для возврата общего объема продаж для данного элемента и его размера:

SumPRODUCT соответствует всем экземплярам элемента Y/Size M и суммирует их, поэтому в данном примере 21 плюс 41 равняется 62.

Синтаксис

Чтобы использовать операцию по умолчанию (умножение):

=СУММПРОИВ(массив1;[массив2];[массив3];. ..)

Аргументы функции СУММПРОИЗВ описаны ниже.

Аргумент

Описание

массив1   

Обязательный

Первый массив, компоненты которого нужно перемножить, а затем сложить результаты.

[массив2], [массив3],…    

Необязательно

От 2 до 255 массивов, компоненты которых нужно перемножить, а затем сложить результаты.

Выполнение других арифметических операций

Используйте функцию СУММПРОИВ, как обычно, но вместо запятых, разделяющих аргументы массива, используйте нужные арифметические операторы (*, /, +, -). После выполнения всех операций результаты суммются обычным образом.

Примечание: Если вы используете арифметические операторы, заключите аргументы массива в скобки и используйте скобки для группировки аргументов массива для управления порядком арифметических операций.

Примечания

  • Аргументы, которые являются массивами, должны иметь одинаковые размерности. В противном случае функция СУММПРОИЗВ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!. Например, =СУММПРОИВ(C2:C10;D2:D5) возвращает ошибку, так как диапазоны не одного размера.

  • В функции СУММПРОИВТ ненумерические записи массива обрабатывают их так, как если бы они были нулями.

  • Для лучшей производительности не следует использовать суммпроив с полными ссылками на столбцы. Рассмотрим функцию =СУММПРОИВ(A:A;B:B), чтобы умножить 1 048 576 ячеек в столбце A на 1 048 576 ячеек в столбце B перед их добавлением. 

Пример 1

Чтобы создать формулу на примере выше, введите =СУММПРОИВ(C2:C5;D2:D5) и

нажмитеввод . Каждая ячейка в столбце C умножается на соответствующую ячейку в той же строке столбца D, и результаты сбавляются. Общая сумма продуктов составляет 78,97 долларов США.

Чтобы ввести более длинную формулу, которая дает такой же результат, введите =C2*D2+C3*D3+C4*D4+C5*D5 и нажмите ввод . После нажатия ввод результат будет таким же: 78,97 долларов США. Ячейка C2 умножается на D2, а ее результат добавляется к результату ячейки C3, умноженной на ячейку D3 и так далее.

Пример 2

В следующем примере sumPRODUCT возвращает суммарные чистую сумму продаж по агенту продаж, у которых есть как общие объемы продаж, так и расходы по агенту. В этом случае мы используем таблицу Excel,в которой вместо стандартных диапазонов Excel используются структурированные ссылки. Здесь вы увидите, что диапазоны “Продажи”, “Расходы” и “Агент” имеют ссылку по имени.

Формула: =СУММПРОИМ(((Таблица1[Продажи])+(Таблица1[Расходы]))*(Таблица1[Агент]=B8)) и возвращает сумму всех продаж и расходов агента, указанных в ячейке B8.

Пример 3

В этом примере мы хотим получить итоги по конкретному товару, проданного в определенном регионе. В данном случае, сколько вишней было продается в восточном регионе?

Вот формула: =СУММПРОИВ((B2:B9=B12)*(C2:C9=C12)*D2:D9). Сначала оно умножает количество вхождений восточного на количество совпадающих вишней. Наконец, она суммирует значения соответствующих строк в столбце Продажи. Чтобы узнать, как Excel вычисляет эту формулу, выберите ячейку формулы, а затем перейдите к формуле > Вычислить формулу > Вычислить.

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

См. также

Выполнение условных вычислений в диапазонах ячеек

Сумма на основе нескольких критериев с помощью ФУНКЦИИ СУММЕ ЕСЛИМНА

Подсчет на основе нескольких критериев с помощью ФУНКЦИИ СЧЁТЕСС

Среднее значение на основе нескольких критериев с помощью функции ССВЕIFS

Zero To Hero

Каким способом лучше всего объяснить понятие производной? Вот моя версия.

Производная — это сердце вычислений, похороненное внутри этого определения:

Но что оно на самом деле значит?

Представим, что я дал вам волшебную газету, в которой приведены ежедневные изменения на фондовом рынке на следующие несколько лет (+1% на понедельник, -2% на вторник и т.д.). Что бы вы могли с ней делать?

В принципе, производя эти изменения по одному, вы бы могли узнать будущие цены и покупать дешевле / продавать дороже разные валютные пары, чтобы баснословно разбогатеть.

Также производную называют “наклоном функции” — как же это упрощённо! Производная — это полное понимание поведение системы, позволяющее предсказывать её будущее. Вы можете графически представить прошлое, настоящее и будущее, вычислить минимумы и максимумы, и многое-многое другое.

Давайте отступим от того грубого уравнения. Уравнения существуют, чтобы передавать идею, нам же нужно её понять, а не копаться в грамматике.

Производные создают идеальную модель изменения из неидеального предположения.

Эта мысль — результат тысячелетних раздумий, от Архимеда до Ньютона. Давайте посмотрим, что за ней стоит.

Мы все живем в сияющей бесконечности

Бесконечность — это постоянный источник парадоксов (“головных болей”):

  • Прямая состоит из точек? Конечно.
  • И в ней бесконечное количество точек? Ага.
  • Как вообще можно пройтись по комнате, встречая бесконечное количество точек на своем пути? (ох уж этот парадокс Зенона)

И всё же, мы движемся. С бесконечностью я планирую бороться бесконечностью. Конечно, между 0 и 1 простирается бесчисленное число точек. Но если двигаться со скоростью две бесконечности в секунду (каким-то неведомым способом!), то можно преодолеть эту дистанцию за полсекунды.

Дистанция состоит из бесконечных точек, движение возможно, поэтому движение описывается “бесконечностями точек в секунду”.

Вместо того, чтобы мыслить разностями (“Как далеко до следующей точки?”), мы можем сравнивать темпы (“Как быстро вы движетесь по множеству?”).

С виду покажется странным, но вы можете представить 10/5 как “

Мне нужно пройти 10 ‘бесконечностей’ за 5 промежутков времени. Чтобы это осуществить, я буду проходить 2 ‘бесконечности’ за каждую единицу времени”.

Вывод: представляйте деление как темп движения по множеству точек.

 

А что после нуля?

И еще один взрыв мозга: Какое число идет после нуля? 0.01? 0.0001?

Хм.. Что бы вы ни назвали, я всегда смогу назвать меньше (Я просто разделю ваше число пополам….и все!).

Даже если мы не можем вычислить число после нуля, оно же должно быть там, правда? Оно как демоны древности – “его нельзя изображать, дабы оно не поразило тебя”.

Давайте обозначим расстояние от нуля до следующего меньшего числа “dx”. Я не могу точно сказать, насколько это большое расстояние, но оно есть!

Вывод: dx — это “прыжок” к следующему числу в множестве.

 

Точность измерений зависит от измерителей

Производная предсказывает изменение. Хорошо, и как измерить скорость (изменения в расстоянии)?

Полицейский: Вы знаете, с какой скоростью передвигались?

Водитель: Без понятия.

Полицейский: 150 километров в час.

Водитель: но я не ехал целый час!

Это точно, нам не нужен “полный час”, чтобы измерить вашу скорость. Мы можем измерить расстояние “до и после” (например, спустя 1 секунду) и получить вашу текущую скорость. Если вы прошли 41.7 метра за секунду, то скорость вашего движения составляет 150 км/ч. Всё просто, не так ли?

Не совсем. Представьте себе видеокамеру, присоединенную к Кларку Кенту (альтер-эго Супермена). Камера запечатлевает 24 картинки/секунду (40 мс на каждое фото), и Кларк кажется неподвижным. Если смотреть посекундно, он не движется, его скорость равна 0 км/ч.

Опять неверно! Между каждым фото за те 40 мс Кларк превращается в Супермена, расследует преступления и возвращается в свое кресло для невинного фотоснимка. Наши датчики зафиксировали скорость в 0 км/ч, но он на самом деле движется — просто движется слишком быстро, так, что наши приборы не успевают это уловить.

Вывод как в случае с камерой, которая следит за Суперменом, измеряемая скорость зависит от измерительного прибора!

 

Испытание на беговой дорожке

Мы уже видим суть производной на горизонте, все еще смутно, но видим! Нам нужны измерения до и после движения, чтобы зафиксировать изменения. Но эти измерения могут врать.

Представьте Деда Мороза без рубашки на беговой дорожке (да, постарайтесь, это нелегко). Мы будем измерять его пульс во время стресс-теста: мы присоединим к нему кучу тяжелых, холодных электродов и заставим его бежать.

Дед мороз пыхтит в поте лица, его пульс достигает 190 ударов в минуту. Должно быть, это его пульс в “условиях стресса”, верно?

Нет. Видите ли, присутствие строгих ученых и холодные электроды заставили его переживать, участив тем самым сердцебиение! Мы измерили 190 ударов в минуту, но кто знает, что мы увидим, когда уберем всё эти электроды? Конечно, если бы их не было, мы бы не смогли зафиксировать пульс. Как же быть? Давайте посмотрим на эту систему:

  • значение измерения = фактическое значение + эффект измерения

Ух, спустя годы исследований, мы выяснили, что “каждый электрод прибавляет к фактическому пульсу еще 10 ударов в минуту”. Мы снова делаем замер (который снова показывает цифру в 190) и вычитаем влияние электродов (“идеальная оценка”).

Вывод: убираем “эффект электрода” после выполнения измерений.

Между прочим, “эффект электрода” проявляется везде. Исследования вывели Хоторнский эффект, при котором люди меняют свое поведение, потому что их изучают. Видимо, по этой причине красотки, постоянно находящиеся под вниманием парней, ударяются в разные диеты!

 

Понимание производной

Вооружившись всеми этими мыслями, мы можем понять, каким образом изменяется модель производной:

  1. Выберите интервал
  2. Вычислите конечное изменение
  3. Найдите коэффициент изменения
  4. Сделайте модель идеальной

Начните с изучения какой-то системы, f(x):

  1. Изменяйте её с наименьшим возможным шагом (dx)
  2. Получите разность “до и после”: f(x + dx) – f(x)
  3. Мы точно не знаем, насколько мало “dx”, но нам и не важно: высчитайте коэффициент движение по множеству: [f(x + dx) – f(x)] / dx
  4. Этот коэффициент, сколько мал он ни был, всё равно вызывает ошибку (наши камеры слишком медленно работают!). Представьте себе, что было бы, когда измерения идеальны, когда там нет никакого dx.

Вся магия происходит на последнем шаге: как нам убрать электроды? Есть два подхода:

  • Пределы: что происходит, когда dx сводится к полному “ничто”, за пределами любой допустимой погрешности?
  • Бесконечно малые величины: А что, если dx совсем крошечное число, которое невозможно зафиксировать ни в одной числовой системе?

Оба способа позволяют сформулировать идею того, “Как мы можем избавиться от dx, если оно не нужно нам?”.

Это моя любимая мозоль: Пределы — понятие современное, не существовавшее во времена Ньютона. Они позволяют “начисто” убрать dx. Но изучать их перед производными, это все равно, что показать человеку руль без автомобиля! Этот инструмент помогает производной работать, но не является отдельной темой для изучения.

Пример: f(x) = x

2

Давайте распутаем клубок непонимания на простом примере. Как изменяется функция f(x) = x2 по мере продвижения в непрерывном множестве?

Заметьте разницу в двух последних частях уравнения:

  • в одном погрешность обусловлена dx
  • в другом происходит “реальное” изменение, dx=0 (наши измерения наконец не влияют на результат)

Настало время реальных чисел: Вот значения для f(x) = x2 с интервалом dx = 1:

  • 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64…

Абсолютная разница между результатами равна:

  • 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…

(В данном случае абсолютная разница — это “скорость” между каждым шагом вычислений с интервалом 1)

Рассмотрим скачок от x=2 к x=3 (32 – 22 = 5). Из чего сделала это значение “5″?

  • Измеренный показатель= Фактический показатель + Погрешность
  • 5 = 2x + dx
  • 5 = 2(2) + 1

Ну конечно, мы измерили “передвижение на 5 точек в секунду”, потому что мы перескочили с 4 на 9 за один интервал.

Но наши инструменты нас обманывают! Единицы скорости вызваны реальным изменением, и 1 единица вызвана некачественными измерителями (1.0 — это довольно большой скачок, не так ли?).

Если мы ограничим себя только целочисленными значениями, 5 — очень даже неплохой показатель скорости между 4 и 9. Нет “погрешности” в предположении, что dx = 1, потому что это настоящий интервал между ближайшими точками.

Но в реальном мире, измерения каждую 1.0 секунду — это очень медленные измерения. А что если наш dx равен 0.1? Какую скорость мы замеряем на x=2?

Итак, вычисляем разницу между x=2 и x=2.1:

Запомните, 0.41 — это то, насколько ситуация изменилась за интервал, равный 0.1. Наша скорость от точки к точке составляет 0. 41 / 0.1 = 41 (предполагая, что каждая точка — это целое число).

И, как прежде, у нас:

  • Измеренный показатель= Фактический показатель + Погрешность
  • 4.1 = 2x + dx

Интересно. При dx=0.1, измеренное и фактическое значения очень близки (4.1 и 4.2, погрешность 2.5%). При dx=1, измеренные значения серьезно разнятся (5 и 4, погрешность 25%).

Следуя этой мысли, можно четко понять, что выбросив электроды (полагая, что dx=0), мы получаем фактическое значение 2х.

Простыми словами: мы проанализировали, как f(x) = x2 изменяется, нашли “неидеальное” измерение и вывели “идеальную” модель изменений — 2х.

Производная — это “непрерывное деление”

Интеграл видится мне как усовершенствованное умножение, где к одной изменяющейся величине можно применить другую.

Производная — это “улучшенная версия деления”, где скорость движения по множеству можно определить в любой момент. Что-то вроде 10/5 = 2 говорит: “у вас постоянная скорость по множеству, равная 2”. Когда по мере движения скорость меняется, нужно описывать скорость в каждый момент отдельно. Это и есть производная.

Если применить эту изменяющуюся скорость к каждому моменту движения, вы воспроизведете настоящее поведение в системе, точно как трейдеры применяют ежедневные изменения на фондовом рынке для воссоздания полной истории динамики цен. Но, это уже тема для совсем другой дискуссии.

Я понял: Как много значений у “производной”

Вы узнаете “производную” во многих контекстах:

  • “Производная от x2 равна 2x” означает “В каждой точке мы изменяемся со скоростью 2х (на значение, вдвое большее текущему значению х)”. (Общая формула изменений)
  • “Производная равна 44” означает “В данном положении на множестве, наш коэффициент изменения равен 44. “При f(x) = x2 в точке x=22 значение функции изменяется на 44 (частный коэффициент изменения).
  • “Производная равна dx” ссылается на крошечный, гипотетический прыжок к следующей точке. Технически, dx — это “дифференциал”, и тут мы подмечаем, что запутались в терминах. Иногда люди будут говорить “производная х” и подразумевать dx.

Уяснил: Наша модель может быть неидеальна

Мы построили “идеальную” модель, делая изменения и улучшая её. Но иногда этого недостаточно. Делая прогнозы без dx, не всегда можно просчитать шаги наперед. Некоторые нерегулярные функции ломают всю идиллию: есть существенная разница между избавлением от dx с помощью предела и тем, что на самом деле происходит в тот момент. Эти функции называются “прерывистыми”, и это означает, что их “нельзя смоделировать с помощью пределов”. Как вы уже догадываетесь, производные на них не работают, потому что поведение таких функций невозможно предугадать.

Прерывные функции редко встречаются на деле, и на них очень часто ловят в тестах (“Ой, ты попытался взять производную от прерывной функции, глупенький, ты проиграл”). Представьте теоретические ограничения производных, а затем представьте их практическое применение в измерении разных явлений природы. Почти каждая функция, которая вам встретится (синус, косинус, е, полиномы и т. д.) будет непрерывной.

Понял: Интегралов вообще-то не существует

Связь между производными, интегралами и первообразными довольно тонкая (Я и сам поначалу не так её понял). Вот вам метафора. Начните с тарелки, это будет вашей функцией для изучения:

  • Дифференцирование — это когда мы разбиваем тарелку на осколки. Мы вычисляем разницу, находим коэффициент изменения и предполагаем, что dx не существует.
  • Интегрирование — это взвешивание осколков: изначально функция была “вот такой” большой. Это кумулятивная функция (суммирования масс осколков), она выдаст массу тарелки, но никогда не даст понять, как выглядела тарелка до разбития.
  • Поиск первообразной — это попытки узнать, какой формы была тарелка, исходя из имеющейся кучки осколков.

Нет алгоритма по поиску первообразной — мы можем только строить догадки. Мы строим таблицу подстановки из известных производных (целая тарелка => кучка осколков), и ищем кучку осколков, похожую на нашу. “Давайте найдем интеграл 10х. Ну, похоже 2х — это производная x2. Так что… каляки-маляки…10х — это производная от 5х2.”.

Поиск производных — это целый механизм; поиск первообразных — это искусство. Иногда мы попадаем в тупик: мы берем изменения, по кусочками применяем их, и механически воссоздаем образ. Это может и не быть той “настоящей” тарелкой, но она будет достаточно хорошей для использования.

Еще одна тонкость: не являются ли интегралы и первообразные одним и тем же? (Я так обычно и думал).

Да, но это не совсем очевидно. Это всё равно, что сказать “А не будут одинаковы ли a2 + b2 и c2? Да, но только лишь в частном случае, когда речь идет о теореме Пифагора”.

Читая математику

Математика — это язык, и я хочу “читать” исчисления (не декламировать их вслух, как средневековые германские песнопения, а именно понимать). Моим самым крупным открытием было понимание нестабильности роли dx: он нужен для измерений, но мы избавляемся от него, чтобы создать идеальную модель. Пределы/бесконечно малые величины — это формализм, мы не можем опираться на них слишком. Ньютон, похоже, неплохо справлялся без них.

Освоив вышеперечисленное, хочется углубиться и в другие математические вопросы:

  • Как можно измерить разные размеры бесконечности? (в каком-то смысле они все “бесконечны”, а в другом смысле интервал (0.1) явно меньше интервала (0.2))
  • Какие реальные правила избавления от dx? (Как на самом деле работают пределы и бесконечно малые величины?)
  • Как мы опишем числа без записывания их на бумагу? “Число, следующее за 0” — для начала нужно освоить это (я сам хочу изучить).

Основы интересны, когда ты реально понимаешь, почему они существуют. Приятных вычислений!

Перевод статьи «Calculus: Building Intuition for the Derivative»

f x формула

Вы искали f x формула? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и все о производной, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «f x формула».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как f x формула,все о производной,все о производных,вычисления производных формулы,действия с производными,деление производных,значения производных,как найти производная функции,определение производная,первая производная,первая производная функции,правила взятия производной,правила взятия производных,правила вычисления производной,правила вычисления производных,правила нахождения производной,правила производная,правила производной,правила производной функции,правила производных,правила производных функций,правила функции производной,правило производной,правило производных,применение производных формулы,производная в точке,производная и функция,производная как обозначается,производная правила,производная разности формула,производная формула,производная функции,производная функции определение,производная функция,производная функция формулы,производная элементарных функций,производная это что,производное функции,производной,производной функции,производной функция,производную функции,производные и производные функции,производные формулы функции,производные функции,производные функций,производные это,производные это что,производных функции,теория производная,умножение производных,формула f x,формула производная,формула производной,формула производной функции,формулы вычисления производных,формулы нахождения производной,формулы производной функции,функции производной,функции производную,функции производных,функция и производная,функция производная,функция производной. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и f x формула. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, все о производных).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же f x формула Онлайн?

Решить задачу f x формула вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Внешняя производная

Пользователи также искали:

производная обратной функции, производная сложной функции деление, производная сложной функции доказательство, производная сложной функции определение, производная сложной функции примеры, производная умножения, производные примеры для самостоятельного решения, производные, производная, функции, сложной, производные, примеры, производная обратной функции, производная умножения, Внешняя, доказательство, обратной, деление, самостоятельного, решения, умножения, определение, Внешняя производная, производная сложной функции доказательство, производная сложной функции деление, производные примеры для самостоятельного решения, производная сложной функции примеры, производная сложной функции определение, внешняя производная, дифференциальные операторы. внешняя производная,

контрольная работа по теме «Производная»

класс

    Математика (раздел «Алгебра и начала анализа»)

    Контрольная работа по теме «Производная».

    Цели

    обучающая: проверить знание таблицы производных основных функций, правила вычисления производной, умение находить производную сложной функции;

    развивающая: умение работать с Google формами при прохождении опроса, корректный ввод ответа;

    воспитательная: распределять время выполнения заданий.

    ХОД УРОКА:

    Организационный момент. (1 мин) Проверка готовности рабочего места (рабочий ноутбук, черновик, ручка). Краткий инструктаж по технике безопасности при работе с компьютером.

      занимать рабочие места согласно указаниям преподавателя и не менять их самовольно;

      немедленно сообщать преподавателю о любых замеченных неисправностях оборудования или неверной работе программного обеспечения;

      немедленно сообщать преподавателю о любом случае травматизма, особенно от электрического тока;

      расстояние от центра экрана до глаз учащихся должно быть не менее 60 см.

      Инструктаж по выполнению контрольной работы.

        Вам сейчас будет высланы ссылки на форму – опрос «Контрольная работа». Соблюдайте свой вариант. Введите в первое текстовое поле свою фамилию и имя. Каждый вариант содержит пять заданий. Проверяются ваше знание таблицы производных основных функций, правила нахождения производной и умение находить производную сложной функции. В каждое поле вносится ответ, который может быть представлен целым числом или конечной десятичной дробью. Прежде чем отправлять результат проверьте правильность внесения ответов.

        Подпишите листы – черновики. Черновик в конце урока сдайте на проверку учителю.

        Контрольная работа

          https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeAoLMuJPxYkUuphU6QrStqcaxKGclxLX28he3Tx76y_2LZcA/viewform

          https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfcc-_510a263Wb4QRE0CsMBPCtVVvvtv8zQWxT0UXLJ5DIUg/viewform


           

          Инструктаж по выполнению домашнего задания.

            Учитель: Провести анализ вашего выполнения контрольной работы, предположить где могли допустить ошибки, самостоятельно рассмотреть несколько аналогичных заданий в рабочей тетради.

            Правильные ответы

              Вариант первый

              -6

              -2

              -0,5

              -58

              0

              Вариант второй

              36

              12

              -8

              0,5

               -0,35

              Алгебра: уроки, тесты, задания.

              Алгебра: уроки, тесты, задания.
              1. Информация о разделе

                1. Числовые выражения. Алгебраические выражения
                2. Математический язык
                3. Математические модели реальных ситуаций
                4. Линейное уравнение с одной переменной.
                  Алгоритм решения
                5. Координатная прямая. Числовые промежутки
                1. Координатная плоскость. Координаты точки
                2. Линейное уравнение ax + by + c = 0. График линейного уравнения
                3. Линейная функция y = kx + m.
                  График линейной функции
                4. Линейная функция y = kx, её свойства
                5. Взаимное расположение графиков линейных функций
                1. Понятие системы линейных уравнений с двумя переменными
                2. Решение систем линейных уравнений.
                  Метод подстановки
                3. Решение систем линейных уравнений. Метод сложения
                4. Система линейных уравнений как математическая модель
                1. Понятие степени с натуральным показателем
                2. Часто используемые степени
                3. Базовые свойства степеней с натуральным показателем
                4. Умножение и деление степеней с одинаковыми натуральными показателями
                5. Понятие степени с нулевым показателем
                1. Понятие одночлена.
                  Приведение одночлена к стандартному виду
                2. Сложение и вычитание подобных одночленов
                3. Произведение одночленов и возведение одночлена в степень
                4. Деление одночленов
                1. Понятие многочлена.
                  Приведение многочлена к стандартному виду
                2. Как складывать и вычитать многочлены
                3. Как умножать многочлен на одночлен
                4. Как умножать многочлен на многочлен
                5. Применение формул сокращённого умножения
                6. Как делить многочлен на одночлен
                1. Понятие разложения многочленов на множители
                2. Разложение на множители.
                  Вынесение общего множителя за скобки
                3. Разложение на множители. Способ группировки
                4. Разложение на множители. Использование формул сокращённого умножения
                5. Разложение на множители. Сочетание различных приёмов
                6. Применение разложения на множители для сокращения алгебраических дробей
                7. Понятие тождества
                1. Квадратичная функция y = x² и её график
                2. Решение уравнений графическим методом
                3. Запись функции в виде у = f(x)
                1. Понятие алгебраической дроби
                2. Применение основного свойства алгебраической дроби
                3. Как складывать и вычитать алгебраические дроби с равными знаменателями
                4. Как складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями
                5. Как умножать, делить и возводить в степень алгебраические дроби
                6. Упрощение рациональных выражений
                7. Решение рациональных уравнений
                1. Квадратичная функция y = kx² и её свойства.
                  Парабола
                2. Функция y = k/x и её свойства. Гипербола
                3. Как построить график функции у = f(x + l)
                4. Как построить график функции у = f(x) + m
                5. Как построить график функции y = f(x + l) + m
                6. Квадратичная функция y = ax² + bx + c
                7. Решение квадратных уравнений с помощью графиков функций
                1. Понятие квадратного корня
                2. Функция квадратного корня y = √x, её свойства и график
                3. Множество рациональных чисел
                4. Базовые свойства квадратных корней
                5. Преобразование иррациональных выражений
                1. Какие бывают квадратные уравнения
                2. Способы решения квадратных уравнений
                3. Решение рационального уравнения, сводящегося к квадратному
                4. Использование рациональных уравнений для решения задач
                5. Упрощённая формула для решения квадратного уравнения
                6. Применение теоремы Виета
                7. Решение иррационального уравнения, сводящегося к квадратному
                1. Множества натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел
                2. Понятие иррационального числа
                3. Множество действительных чисел и её геометрическая модель
                4. Модуль действительного числа и его геометрический смысл
                5. Приближённые значения по недостатку (по избытку)
                6. Понятие степени с отрицательным целым показателем
                7. Стандартный вид положительного числа
                1. Понятие числовых промежутков
                2. Свойства числовых неравенств.
                  Свойства неравенств одинакового смысла
                3. Как решать линейное неравенство
                4. Методы решения квадратных неравенств
                5. Понятие монотонности функции. Исследование функций на монотонность
              1. Международная оценка образовательных достижений учащихся (PISA)

                1. Повторим способы решения линейных и квадратных неравенств
                2. Решение рациональных неравенств методом интервалов
                3. Множества и подмножества.
                  Объединение и пересечение множеств
                4. Системы рациональных неравенств
                1. Понятие системы рациональных уравнений
                2. Методы решения систем рациональных уравнений
                3. Использование систем рациональных уравнений для решения задач
                1. Определение числовой функции и способы её задания
                2. Свойства основных функций
                3. Чётные и нечётные функции.
                  Определение чётности и нечётности
                4. Степенная функция с натуральным показателем
                5. Степенная функция с отрицательным целым показателем
                6. Функция кубического корня
                1. Понятие числовой последовательности.
                  Способы задания последовательностей
                2. Арифметическая прогрессия. Свойства арифметической прогрессии
                3. Геометрическая прогрессия. Свойства геометрической прогрессии
                1. Злементы комбинаторики.
                  Комбинаторные задачи
                2. Элементы статистики. Методы обработки информации
                3. Элементы теории вероятности. Нахождение вероятности
                4. Относительная частота и статистическая вероятность события
                1. Натуральные числа.
                  Повторение
                2. Рациональные числа. Повторение
                3. Иррациональные числа. Повторение
                1. Обратимая и обратная функции
                2. Понятие периодической функции (профильный)
                1. Числовая окружность на координатной плоскости
                2. Нахождение значений синуса и косинуса, тангенса и котангенса
                3. Числовой аргумент тригонометрических функций
                4. Угловой аргумент тригонометрических функций
                5. Свойства функции y = sin x и её график
                6. Свойства функции y = cos x и её график
                7. Периодичность тригонометрических функций, чётность, нечётность
                8. Гармонические колебания (профильный)
                9. Свойства функций y = tg x, y = ctg x и их графики
                10. Функции y = arcsin a, y = arccos a, y = arctg a, y = arcctg a (профильный)
                1. Арккосинус и решение уравнения cos х = a
                2. Арксинус и решение уравнения sin x = a
                3. Арктангенс и арккотангенс.
                  Решение уравнений tg x = a, ctg x = a
                4. Методы, используемые для решения тригонометрических уравнений
                1. Формулы синуса суммы и разности, косинуса суммы и разности
                2. Тангенс суммы и разности
                3. Формулы приведения.
                  Общее правило
                4. Формулы синуса, косинуса, тангенса двойного угла
                5. Формулы понижения степени, или формулы половинного угла (профильный)
                6. Формулы сумм тригонометрических функций
                7. Формулы произведений тригонометрических функций
                8. Метод введения вспомогательного угла (профильный)
                1. Числовые последовательности и их свойства
                2. Понятие предела числовой последовательности
                3. Как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии
                4. Предел функции в точке.
                  Предел функции на бесконечности
                5. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной
                6. Вычисление производных. Правила дифференцирования
                7. Как получить уравнение касательной к графику функции
                8. Исследование функций на монотонность и экстремумы
                9. Исследование выпуклости и перегиба, построение графиков функции
                10. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин
                1. Понятие корня n-й степени из действительного числа
                2. Функция корня n-й степени
                3. Свойства корня n-й степени.
                  Преобразование иррациональных выражений
                4. Способы упрощения выражений, содержащих радикалы
                5. Понятие степени с рациональным показателем, свойства степеней
                6. Свойства степенных функций и их графики
                1. Свойства показательной функции и её график
                2. Методы решения показательных уравнений
                3. Методы решения показательных неравенств
                4. Понятие логарифма.
                  Основное логарифмическое тождество
                5. Свойства логарифмической функции и её график
                6. Базовые свойства логарифмов
                7. Методы решения логарифмических уравнений
                8. Методы решения логарифмических неравенств
                9. Переход к новому основанию логарифма
                10. Системы показательных и логарифмических уравнений
                11. Системы логарифмических и показательных неравенств
                12. Производная показательной и логарифмической функции
                1. Понятие первообразной
                2. Неопределённые и определённые интегралы. Методы интегрирования
                3. Вычисление площадей с помощью интегралов
                1. Правило суммы
                2. Правило произведения
                3. Перестановки. Перестановки без повторений
                4. Размещения. Размещения с повторениями
                5. Сочетания и их свойства
                6. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона
                1. Какие бывают случайные события
                2. Комбинации событий. Противоположные события
                3. Вероятность события
                4. Сложение вероятностей
                5. Независимые события. Умножение вероятностей
                6. Статистическая вероятность
                1. Случайные величины
                2. Центральные тенденции
                3. Меры разброса
                4. Закон распределения вероятностей. Закон больших чисел
                1. Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений
                2. Общие методы решения уравнений
                3. Равносильность неравенств. Системы и совокупности неравенств
                4. Уравнения и неравенства с двумя переменными
                5. Общие методы решения систем уравнений
                6. Уравнения и неравенства с параметром
              1. Коллекция интерактивных моделей

              Почему нельзя делить на ноль?

              «Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

              Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

              Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

              Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

              Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

              Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

              Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

              Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

              Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

              Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

              Ответил: Александр Сергеев

              2}}}.} \]

              Эта формула доказывается аналогично. Приращение частного можно записать как

              .

              \ [\ require {cancel}
              {\ Delta \ left ({\ frac {u} {v}} \ right)} = {\ frac {{u + \ Delta u}} {{v + \ Delta v} } – \ frac {u} {v}}
              = {\ frac {{\ left ({u + \ Delta u} \ right) v – u \ left ({v + \ Delta v} \ right)}} { {v \ left ({v + \ Delta v} \ right)}}}
              = {\ frac {{\ cancel {uv} + v \ Delta u – \ cancel {uv} – u \ Delta v}} {{ v \ left ({v + \ Delta v} \ right)}}}
              = {\ frac {{v \ Delta u – u \ Delta v}} {{v \ left ({v + \ Delta v} \ right )}}. 4}}} \ normalsize}.2}}} {3}} \ normalsize \) при \ (x = 0. \)

              Пример 21

              Вычислите производную следующей функции: \ (y = {\ large \ frac {{\ sqrt x – 1}} {{\ sqrt x + 1}} \ normalsize}. \)

              Пример 22

              Выведите формулу производной функции \ (f \ left (x \ right) = {\ large \ frac {{u \ left (x \ right) v \ left (x \ right)}} {{w \ left (x \ right)}} \ normalsize}. \)

              Пример 1.

              Найдите производную функции \ ({y = {\ large \ frac {2} {x} \ normalsize}}.2}}} $$. Другими словами, мы можем читать это как производную частного двух функций, равную второй функции, как она есть, и производную первой функции минус первая функция, как она есть, и производная второй функции, деленная на квадрат второй функции. Это правило можно доказать, используя первый принцип или производную по определению.

              Рассмотрим функцию вида $$ y = \ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} $$.

              Сначала мы берем приращение или небольшое изменение функции:
              \ [\ begin {gather} y + \ Delta y = \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right)}} {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right)}} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right)}} {{g \ left ({ x + \ Delta x} \ right)}} – y \\ \ end {gather} \]

              Подставляя значение функции $$ y = \ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} $$ в приведенное выше уравнение, мы получаем
              \ [\ begin {собрано} \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right)}} {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right)}} – \ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) g \ left (x \ right) – f \ left (x \ right) g \ left ({x + \ Delta x} \ right)}} {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) g \ left (x \ right)}} \\ \ end {собрано} \]

              Вычитая и добавляя $$ f \ left (x \ right) g \ left (x \ right) $$ с правой стороны, мы получаем
              \ [\ begin {gather} \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{ f \ left ({x + \ Delta x} \ right) g \ left (x \ right) – f \ left (x \ right) g \ left (x \ right) + f \ left (x \ right) g \ left (x \ right) – f \ left (x \ right) g \ left ({x + \ Delta x} \ right)}} {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) g \ left (x \ right)}} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{g \ left (x \ right) \ left [{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left ( x \ right)} \ right] + f \ left (x \ right) \ left [{g \ left (x \ right) – g \ left ({x + \ Delta x} \ right)} \ right]}} {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) g \ left (x \ right)}} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{g \ left (x \ right) \ left [{ f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)} \ right] – f \ left (x \ right) \ left [{g \ left ({x + \ Delta x } \ right) – g \ left (x \ right)} \ right]}} {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) g \ left (x \ right)}} \\ \ end { собрано} \]

              Разделив обе стороны на $$ \ Delta x $$, мы получим
              \ [\ begin {gather} \ Rightarrow \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {{g \ left ( x \ right) \ left [{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)} \ right] – f \ left (x \ right) \ left [{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left (x \ right)} \ right]}} {{\ Delta xg \ left ({x + \ Delta x} \ right) g \ left (x \ right)}} \\ \ Rightarrow \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ left [{\ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}}} \ right] \ frac {{g \ left (x \ right)}} {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) g \ left (x \ right)}} – \ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) g \ left (x \ right)} } \ left [{\ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}}} \ right] \\ \ end { собрано} \]

              Принимая предел обеих сторон как $$ \ Delta x \ to 0 $$, мы получаем
              \ [\ begin {gather} \ Rightarrow \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac { {\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ left [{\ frac {{f \ left ({x + \ Delta x} \ right) – f \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}}} \ right] \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{g \ left (x \ right)}} {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) g \ left (x \ right)}} \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, – \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ в 0} \ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) g \ left (x \ right)}} \ mathop {\ lim} \ ограничивает _ {\ Delta x \ до 0} \ left [{\ frac {{g \ left ({x + \ Delta x} \ right) – g \ left (x \ right)}} {{\ Delta x}}} \ right] \\ \ Rightarrow \ frac {{dy}} {{dx}} = f ‘\ left (x \ right) \ frac {{g \ left (x \ right)}} {{g \ left ({ x + 0} \ right) g \ left (x \ right)}} – \ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left ({x + 0} \ right) g \ left ( x \ right)}} g ‘\ left (x \ right) \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {{g \ left (x \ right) f’ \ left (x \ right) – f \ left (x \ right) g ‘\ left (x \ right)}} {{{{\ left [{g \ left (x \ right)} \ right]} ^ 2}}} \ \ \ frac {d} {{dx}} \ left [{\ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}} \ right] = \ frac {{ g \ left (x \ right) f ‘\ left (x \ right) – f \ left (x \ right) g’ \ left (x \ right)}} {{{{\ left [{g \ left (x \ right)} \ right]} ^ 2}}} \\ \ end {собрано} \]

              Пример : Найдите производную от \ [y = \ frac {{{x ^ 3} – 8}} {{{x ^ 3} + 8}} \]

              У нас есть заданная функция как
              \ [y = \ frac {{{x ^ 3} – 8}} {{{x ^ 3} + 8}} \]

              Дифференцируя по переменной $$ x $$, получаем
              \ [\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {d} {{dx}} \ left ({\ frac {{x ^ 3} – 8}} {{{x ^ 3} + 8}}} \ right) \]

              Теперь, используя правило частного производной, мы имеем
              \ [\ begin {gather} \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {{\ left ({{x ^ 3} + 8} \ right) \ frac {d} {{dx}} \ left ({{x ^ 3} – 8} \ right) – \ left ({{x ^ 3} – 8} \ right) \ frac {d} {{ dx}} \ left ({{x ^ 3} + 8} \ right)}} {{{{\ left ({{x ^ 3} + 8} \ right)} ^ 2}}} \\ \ frac { {dy}} {{dx}} = \ frac {{\ left ({{x ^ 3} + 8} \ right) 3 {x ^ 2} – \ left ({{x ^ 3} – 8} \ right ) 3 {x ^ 2}}} {{{{\ left ({{x ^ 3} + 8} \ right)} ^ 2}}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {{\ left ({3 {x ^ 5} + 24 {x ^ 2}} \ right) – \ left ({3 {x ^ 5} – 24 {x ^ 2}} \ right)}} {{ {{\ left ({{x ^ 3} + 8} \ right)} ^ 2}}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {{48 {x ^ 2}}} {{{{\ left ({{x ^ 3} + 8} \ right)} ^ 2}}} \\ \ end {gather} \]

              Правило отношения и произведения – Формула и примеры

              Правило частного и произведения – Правило частного – это формальное правило для различения задач, в которых одна функция делится на другую.Это следует из предельного определения производной и дается выражением. Запомните правило следующим образом. Всегда начинайте с функции «низ» и заканчивайте функцией «низ» в квадрате. Правило частного определяется как количество знаменателя, умноженное на производную числителя минус числитель, умноженное на производную знаменателя во всем квадрате знаменателя.

              Правило произведения гласит, что производная произведения двух функций – это первая функция, умноженная на производную второй функции, плюс вторая функция, умноженная на производную первой функции.Правило произведения должно использоваться, когда должна быть взята производная от частного двух функций.

              Производная по правилу частного

              Определение и формула

              Правило частного – это формула для взятия производной частного от двух функций. Это несколько упрощает отслеживание всех терминов. Давайте посмотрим на формулу.

              Если у вас есть функция f (x) в числителе и функция g (x) в знаменателе, то производная находится по следующей формуле:

              Правило частного Формула производной

              Возьмем g (x), умноженную на производную f (x).В этой формуле d обозначает производную. Итак, df (x) означает производную функции f, а dg (x) означает производную функции g. Формула гласит, что для нахождения производной от f (x), деленной на g (x), необходимо:

              1. Затем из этого произведения вы должны вычесть произведение f (x) на производную g (x).
              2. Наконец, вы разделите эти члены на квадрат g (x).

              Мнемоническое устройство

              Формулу правила частного может быть трудно запомнить.Возможно, вам поможет небольшое пение в стиле йодлинг. Представьте себе лягушку, которая бормочет: «LO dHI меньше HI dLO над LO LO». В этом мнемоническом устройстве LO относится к функции знаменателя, а HI относится к функции числителя.

              Производная правила частного

              Давайте переведем йодль лягушки обратно в формулу правила частного.

              LO dHI означает умножение знаменателя на производную числителя: g (x) умноженное на df (x).

              На

              меньше означает «минус».

              HI dLO означает умножение числителя на производную знаменателя: f (x) умноженное на dg (x).

              больше означает «разделить на».

              LO LO означает взятие самого знаменателя, умноженного на: g (x) в квадрате.

              Формула производной правила частного

              Теперь мы хотим иметь возможность брать производную дроби, например f / g, где f и g – две функции. Этот запомнить немного сложнее, но, к счастью, у него есть собственная песня. Формула выглядит следующим образом:

              формула

              Как запомнить эту формулу (спасибо Белоснежке и семи гномам):

              Заменяя f на hi и g на ho (hi означает верхнее положение в числителе, а ho означает низкое значение в знаменателе), и позволяя D заменить “производную от”, формула принимает следующий вид:

              как запомнить формулу

              На словах это «хо ди хи минус хи ди хо хо хо».Теперь, если Sleepy and Sneezy могут это помнить, для вас это не должно быть проблемой.

              Например,

              пример

              Распространенная ошибка: Неправильное запоминание правила частного и получение дополнительного знака минус в ответе. Очень легко забыть, сначала хо-ди-хо (да, это так) или сначала привет-хо (нет, это не так).

              Правило о производном продукте и коэффициенте

              Если e (x) = f (x). g (x) и если существуют обе производные, то
              e ‘(x) = f (x).д ‘(х) + е (х). g ‘(x)
              На словах это означает, что производная произведения – это первая функция, умноженная на производную второй функции, плюс вторая функция, умноженная на производную первой функции.

              Правило продукта

              Правило частичного производного коэффициента

              Частные производные в исчислении – это производные функций многих переменных, взятые только по одной переменной в функции, при этом другие переменные рассматриваются как константы. Повторяющиеся производные функции f (x, y) могут быть взяты по одной и той же переменной, давая производные Fxx и Fxxx, или взяв производную по другой переменной, давая производные Fxy, Fxyx, Fxyy и т. Д.2 * y – 2xy равно 6xy – 2y.

              Вычислите производную функции по y, определив d / dy (Fx), рассматривая x как постоянную. В приведенном выше примере частная производная Fxy от 6xy – 2y равна 6x – 2.

              Каково определение правила частного?

              Подобно правилу произведения, правило частного – это способ дифференцировать частное или разделение функций. Правило частного определяется как количество знаменателя, умноженное на производную числителя, минус числитель, умноженное на производную знаменателя по всему знаменателю в квадрате.

              Почему работает правило частного?

              Правило частного – это правило , используемое для нахождения производной функции, которая может быть записана как частное двух функций. Проще говоря, вы можете думать о правиле как о применении к функциям, которые записываются как дроби, где числитель и знаменатель сами являются функциями.

              Что такое правило произведения Лейбница?

              В исчислении общее правило Лейбница, названное в честь Готфрида Вильгельма Лейбница, обобщает правило произведения (которое также известно как «правило Лейбница»).В нем говорится, что если и являются дифференцируемыми в разы функциями, то произведение также является дифференцируемым в раз и его производная равна.

              Что такое определение правила продукта?

              Правило произведения – это формальное правило для дифференциации задач, в которых одна функция умножается на другую. Правило следует из предельного определения производной и задается формулой. Запомните правило следующим образом. Каждый раз выделяйте разные функции в продукте и складывайте два термина вместе.

              Какое правило произведения в вероятности?

              Правило произведения – это руководство относительно того, когда вероятности можно умножить, чтобы получить другую значимую вероятность. В частности, для определения вероятности пересечения событий используется правило продукта: пусть A и B – независимые события.

              Как решить правило продукта?

              Правило произведения – если две «части» функции умножаются вместе, а правило цепочки – если они составляются.Например, чтобы найти производную от f (x) = x² sin (x), вы используете правило произведения, а чтобы найти производную от g (x) = sin (x²), вы используете правило цепочки.

              Сообщение навигации

              Правило частного

              Что такое частное правило?

              Правило частных – один из подразделов дифференцирования в исчислении. Это самая важная тема дифференциации (функция, которая разбита на небольшие функции).Он в основном используется в задаче дифференцирования, где одна функция делится на другую. Правило частного:

              В исчислении правило частного определяется как метод нахождения производных двух функций, которые находятся в соотношении и дифференцируются.

              Это выражается как:

              • Умножение функции знаменателя на

              • Производная числителя

              • Умножение функции числителя на

              • Производная функции знаменателя

              • 25
              • функция знаменателя

              Проще говоря, это дифференцирование функции деления.

              Примеры правил вычисления коэффициентов

              Это очень похоже на правило произведения в исчислении. Единственное различие между правилом частного и правилом продукта состоит в том, что в правиле продукта у нас есть функция типа f (x) * g (x), а в правиле частного у нас есть функция типа f (x) / g (x). .

              Это правило всегда начинается с функции знаменателя и заканчивается функцией знаменателя.

              Примеры этих функций: six / ex, 3x / x4, e3x / 2x и т. Д.

              Пример:

              Рассмотрим функцию f (x), которая задается как,

              f (x) = g (x) / t (x)

              Тогда производная функции f (x) равна,

              f ‘(x) = [g (x) / t (x)]’

              Правило частного дает нам производные функции уникальным способом.{2}} \] DV

              Формула правила частного кажется сложной, но если вы запомните ее и проделаете шаг за шагом, это будет проще и сэкономит наше время.

              Производные функции высшего порядка можно найти также с помощью правила частного в форме деления.

              Шаги по нахождению производных с использованием правила частных

              1. Рассмотрим заданную функцию, она должна быть в форме деления.

              2. Различайте обе стороны функции по отношению к чему-либо.

              3. Предположим, что функция на LHS – это y, равная некоторой другой функции от x.

              4. Тогда производные LHS будут dy / dx

              5. Производные на RHS будут умножать на нижнюю функцию, умноженную на производную верхней функции, минус верхнюю функцию, умноженную на производную нижней функции, деленную на квадрат нижняя функция.

              6. Ответ, который вы получите в конце после упрощения, будет производной от заданной вам функции y.{2}} \]

                Чтение: формулы производных | Бизнес-расчет

                В этом разделе мы получим правила для производных, которые позволят нам находить формулы для производных, когда наша функция приходит к нам в виде формулы. Это очень алгебраический раздел, и вам нужно много попрактиковаться. Когда вы говорите кому-то, что изучали математику, это единственный навык, который они ожидают от вас. Здесь не так много глубокого смысла – это строго алгебраические правила.

                Строительные блоки

                Это простейшие правила – правила для основных функций.Мы не будем доказывать эти правила; мы просто воспользуемся ими. Но сначала давайте посмотрим на некоторые из них, чтобы понять, что они имеют смысл.

                Пример

                Найдите производную от y = f ( x ) = mx + b

                Решение

                Это линейная функция, поэтому ее график представляет собой отдельную касательную! Наклон касательной, производная, представляет собой наклон прямой: f ′ ( x ) = м

                Правило

                Производная линейной функции – это ее наклон.

                Пример

                Найдите производную от f ( x ) = 135

                Решение

                Подумайте и об этом графически. График f ( x ) представляет собой горизонтальную линию. Значит, его наклон равен нулю. f ′ ( x ) = 0

                Правило

                Производная постоянной равна нулю.

                Пример

                Я просто скажу вам, что производная от f ( x ) = x 3 равна f ′ ( x ) = 3 x 2 .Теперь подумайте о функции g ( x ) = 4 x 3 . Какая будет его производная?

                Решение

                Подумайте, что это изменение означает для графика g – теперь он в 4 раза выше графика f . Если мы найдем наклон секущей линии, он будет [latex] \ frac {\ Delta g} {\ Delta x} = \ frac {4 \ Delta f} {\ Delta x} = 4 \ frac {\ Delta f } {\ Delta x} [/ латекс]; каждый наклон будет в 4 раза больше наклона секущей линии на графике f . x [/ latex]

              7. Натуральный логарифм: [латекс] \ frac {d} {dx} (\ text {ln} x) = \ frac {1} {x} [/ latex]

              Правило суммы, разности и постоянного кратного в сочетании с правилом степени позволяет нам легко найти производную любого многочлена.т [/ латекс]

              Будьте осторожны при нахождении производных с отрицательными показателями.

              Это видео представляет собой еще один пример поиска производной функции, содержащей радикалы.

              Пример

              Стоимость производства x предметов составляет [латекс] \ sqrt x [/ латекс] сотен долларов.

              1. Сколько стоит 100 предметов? 101 предмет? Какая стоимость 101-го предмета?
              2. Для [латекса] f (x) = \ sqrt x [/ latex] вычислите f ′ ( x ) и оцените f ′ при x = 100.{-1/2} [/ latex] итак [латекс] f \ prime (100) = \ frac {1} {2 \ sqrt {100}} = \ frac {1} {20} = [/ latex] сто долларов = 5 долларов США. 3 – 11) (x + 3) [/ latex]

                Решение

                Эта функция не является простой суммой или разностью многочленов.5 + 120x + 3) [/ латекс]

                Решение

                Эта функция не является простой суммой или разностью многочленов. Это произведение многочленов. Мы, , могли бы, как и раньше, просто умножить , чтобы найти производную – кто хочет стать волонтером? Никто?

                Нам понадобится правило для нахождения производной продукта, чтобы нам не приходилось все умножать.

                Является ли правило тем, на что мы надеемся, что мы можем просто взять производные от факторов и умножить их? К сожалению, нет – это неправильный ответ.2 [/ latex], что совершенно не соответствует правильному ответу.

                Правила нахождения производных от произведений и частных немного сложны, но они избавляют нас от гораздо более сложной алгебры, с которой мы могли бы столкнуться, если бы попытались перемножить вещи. Они также позволяют нам иметь дело с продуктами, в которых множители не являются полиномами. 2 [/ latex].20 [/ латекс].

                Решение

                Мы могли бы записать это как произведение с 20 факторами и использовать правило произведения, или мы могли бы умножить. Но я не хочу этого делать, а вы?

                Нам нужен более простой способ, правило, которое будет обрабатывать такую ​​композицию. Цепное правило немного сложнее, но оно избавляет нас от гораздо более сложной алгебры умножения чего-то вроде этого. Он также будет обрабатывать композиции, которые невозможно «размножить».”

                «Цепное правило» – это наиболее частое место, где студенты делают ошибки. Отчасти причина в том, что к обозначениям нужно немного привыкнуть. Отчасти причина в том, что студенты часто забывают использовать его, когда должны. Когда следует использовать правило цепочки? Практически каждый раз вы берете производную.

                Производные правила: правило цепочки

                Далее f и g являются дифференцируемыми функциями с [latex] y = f (u) [/ latex] и [latex] u = g (x) [/ latex]

                Правило цепочки (нотация Лейбница)

                [латекс] \ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ times \ frac {du} {dx} [/ latex]

                Обратите внимание, что du s, кажется, отменяются.Это одно из преимуществ системы обозначений Лейбница; он может напоминать вам о том, как правила цепочки связаны друг с другом.

                Правило цепочки (с использованием простых обозначений)

                [латекс] е \ прайм (х) = е \ прайм (и) \ раз г \ прайм (г (х)) \ раз г \ прайм (х) [/ латекс]

                Правило цепочки (прописью)

                Производная композиции – это) производная внешнего ВРЕМЕНИ производная того, что внутри.

                Я пересказываю версию словами каждый раз, когда беру производную, особенно если функция сложная.2 + 5} [/ латекс].

                Решение

                Это не простая экспоненциальная функция; это композиция. Типичный калькулятор или компьютерный синтаксис могут помочь вам понять, что это за «внутренняя» функция. Например, на калькуляторе TI при нажатии клавиши e x открываются круглые скобки: e x 2+ 5 . Здесь внутренняя часть – экспонента. Теперь мы можем использовать правило цепочки: мы хотим, чтобы производная внешнего ВРЕМЕНИ была производной того, что внутри.2 + 5}) (2x) [/ латекс]

                Пример

                В таблице приведены значения для f , f ′, g и g ′ в нескольких точках. Используйте эти значения, чтобы определить ( f ° g ) ( x ) и ( f ° g ) ′ ( x ) при x = −1 и 0.

                x f ( x ) г ( x ) f ′ ( x ) г ′ ( x ) ( футов ) ( x ) ( f ° g ) ′ ( x )
                –1 2 3 1 0
                0 –1 1 3 2
                1 1 0 –1 3
                2 3 –1 0 1
                3 0 2 2 –1
                Решение

                (f ° g) (- 1) = f (g (–1)) = f (3) = 0 и (f ° g) (0) = f (g (0)) = f (1) = 1 .

                ( f ° g ) ′ (–1) = f ′ ( g (–1) ) .g ′ ( –1 ) = f ′ ( 3 ). (0) = (2) (0) = 0 и

                ( f ° g ) ′ (0) = f ′ ( g (0) ) .g ′ ( 0 ) = f ′ ( 1 ). (2) = (–1) (2) = –2.

                Я позволю тебе сделать все остальное.

                Производные сложных функций

                Теперь вы готовы взять производную от некоторых очень сложных функций.2)}) [/ латекс]

                Уф!

                методов дифференциации

                методов дифференциации

                Методы дифференциации


                Может быть самые простые и полезные формулы – те, в которых говорится, что производная линейна:


                В сочетании с формулой ( x n ) ‘= n x n -1 , мы видим, что каждый полиномиальная функция имеет производную в любой точке.

                Пример. Для P ( x ) = 1-2 x + 3 x 4 -5 x 6 , имеем

                Следующие две формулы – самые действенные. Они имеют дело с производная продукта и частное. Они обычно называется правилом произведения и правилом частного . У нас есть


                В частности, у нас есть

                Итак, у нас есть

                что означает, что формула ( x r ) ‘= r x r -1 также допустимо для отрицательных показателей.

                Прежде чем обсуждать производную тригонометрических функций, пусть на этом мы остановимся и немного подробнее рассмотрим многочлен функции. Действительно, мы видели, что производная многочлена функция также является полиномиальной функцией. Так что мы можем взять еще один производная и сгенерируйте новую функцию. Эта функция называется вторая производная . Мы можем продолжать делать это до тех пор, пока мы хотеть. Полученные функции называются высшими производными. Для них используются следующие общие обозначения:



                Упражнение 1. Найти производную функции


                Есть ли хороший способ переписать эту производную?

                Ответ.

                Упражнение 2. Найдите производную от

                Ответ.

                Упражнение 3. Решите уравнение когда

                Ответ.

                Упражнение 4. Найдите точки на графике y = x 3/2 x 1/2 , где касательная параллельна прямой y +2 x = 1.Также найдите точки на том же графике, в которых касательная перпендикулярна прямой y x = 3.

                Ответ.


                [Назад] [Следующий] [Тригонометрия] [Исчисление] [Геометрия] [Алгебра] [Дифференциальные уравнения] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics

                Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.


                Мохамед А. Хамси
                Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC.Все права защищены.
                Свяжитесь с нами
                Math Medics, LLC. – П.О. Box 12395 – El Paso TX 79913 – США
                пользователей онлайн за последний час

                Понимание производной от суммы, произведения или частного

                Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

                Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

                Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

                Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

                Вы должны включить следующее:

                Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

                Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

                Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
                101 S. Hanley Rd, Suite 300
                St. Louis, MO 63105

                Или заполните форму ниже:

                .

              Оставить комментарий

              Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *