Формула добротности контура: что это, в чем измеряется, формулы расчета

Метод измерения добротности и других параметров контура

Авторы предлагают несложный метод определения добротности, индуктивности и активного сопротивления катушки в составе параллельного LC-контура. Для реализации этого метода потребуются регулируемый генератор прямоугольных импульсов и запоминающий осциллограф.

Предлагаемый метод измерения параметров резонансного контура имеет некоторое сходство с методом, предложенным В. Степановым в статье “Измерение добротности с цифровым отсчётом” (“Радио”, 2007, № 2, с. 29, 30). Это сходство заключается в том, что в обоих случаях исследуются затухающие свободные колебания в контуре после подачи в него некоторой порции энергии. Однако упомянутый выше метод представляется весьма громоздким.

Суть предлагаемого метода заключается в определении индуктивности L и сопротивления катушки R_n по найденной добротности Q. Собственно, измерить придётся только ёмкость контура С. При использовании прецизионного конденсатора с допуском в один или полпроцента, например К71-7, эта необходимость отпадает.

понадобятся источник питания, генератор импульсов Г5-54 (или подобный с возможностью регулирования длительности импульсов и периода их следования), цифровой запоминающий осциллограф и калькулятор. Схема для исследования приведена на рис. 1.

Рис. 1. Схема для исследования

 

В дальнейшем будем пользоваться формулами, которые можно найти в любом учебнике по основам теории электрических цепей или теоретическим основам электротехники.

Если в параллельный LC-контур подать короткий импульс тока, открыв транзистор VT1 управляющим сигналом с генератора G1, амплитуда колебаний напряжения в нём будет затухать по экспоненциальному закону в функции от времени t:

(1)

где U₀ – амплитуда первого колебания, U_n – амплитуда n-го колебания, n – число периодов между U₀ и U_n, τ = 2Q/ω₀ – постоянная времени контура, Q – искомая добротность контура, ω₀ – круговая резонансная частота контура.

Поскольку в формуле (1) фигурируют значения амплитуд напряжений в дискретные моменты времени, то текущее время можно представить как t = n·T₀, где Т₀ – период колебаний. После подстановки этого выражения в (1) получаем формулу для определения добротности контура:

(2)

Регулировать амплитуду колебаний в контуре можно изменением напряжения питания +U_пит, а также длительностью запускающего импульса генератора G1. Однако длительность импульса не должна превышать время нарастания первого колебания – четверти периода колебаний Т₀. Время повторения запускающих импульсов должно превышать время полного затухания колебаний контура. Или можно пользоваться режимом однократного ручного запуска генератора, тем более, что и осциллограф имеет режим регистрации одиночного сигнала SINGLE.

Если же катушка индуктивности имеет ферромагнитный магнитопро-вод, запитывать контур следует тем же уровнем напряжения, что и в устройстве, где он будет использоваться. Тем самым будет учтена амплитудная нелинейность катушки с ферромагнитным магнитопроводом.

Исходные уравнения для вычисления индуктивности L и сопротивления потерь R_п

(3)

(4)

В формулах (3) и (4) Z_в – волновое сопротивление катушки индуктивности.

Подставляя в формулу (3) выражение для L и Z_в полученное из (4), получим формулу для вычисления сопротивления активных потерь в контуре:

Подставив в формулу (3) выражение для R_п и Z_в из (4), получим формулу для вычисления индуктивности катушки:

Таким образом, зная (или измерив) ёмкость конденсатора С, вычислив добротность Q по соотношению амплитуд (2), легко вычислить остальные два параметра контура – сопротивление потерь R_n и индуктивность катушки L. Круговая резонансная частота определяется как ω₀ = 2π/Т₀, где период колебаний Т₀ отсчитывают по горизонтальной оси осциллографа.

Точность этого метода главным образом будет зависеть от точности определения ёмкости конденсатора С. Погрешность измерения амплитуд U₀ и U_n зависит от разрешающей способности вертикальной шкалы осциллографа. Поскольку в формуле (2) фигурирует отношение амплитуд, то эта составляющая погрешности практически нивелируется, если U₀ и U_n отсчитывались в одном масштабе чувствительности вертикальной развёртки осциллографа. Измерять амплитуды и период колебаний следует с помощью курсорных измерений, если осциллограф имеет такую функцию. Кроме того, точность вычислений будет тем выше, чем большее число периодов n удалось разместить на осциллограмме.

Чтобы практически исключить шунтирующее влияние на контур входного сопротивления осциллографа, переключатель на пробнике (щупе) необходимо переключить в положение “×10”. При этом входное сопротивление большинства пробников больше или равно 10 МОм, а полоса пропускания пробника, например НР-9150, расширяется до 150 МГц. В связи с этим желательно оценить эквивалентное резонансное сопротивление контура R_э параллельно которому и подключается осциллограф

В качестве примера на рис. 2 приведена осциллограмма затухающих колебаний в контуре, составленном из слюдяного конденсатора К31-10 ёмкостью 0,01 мкФ на номинальное напряжение 100 В полупроцентной точности и дросселя 100мкГн с ферритовым магнито-проводом на ток 1 А.

Рис. 2. Осциллограмма затухающих колебаний в контуре

 

Исходные данные (см. осциллограмму) для расчёта: U₀ = 55,2 B, U_n = 35,2 B, n = 6, T₀ = 6,43 мкс, ω₀ = 0,97717·10⁶ 1 /с.

Результаты вычислений: Q = 41,9, L= 104,7 мкГн, R_n = 2,44 Ом, R_э = 1,22 Ом.

Обращает на себя внимание неожиданно большое сопротивление потерь, хотя измерение сопротивления профессиональным мультиметром дало значение в десять раз меньше – 0,8 Ом. Это говорит о том, что начастоте полутора сотен килогерц в потерях участвует не только омическое сопротивление обмотки катушки, но это уже другая тема. Очевидно также, что осциллограф не шунтирует контур, поскольку эквивалентное резонансное сопротивление контура почти в десять тысяч раз меньше входного сопротивления осциллографического пробника.

Замечательным свойством предложенного метода является возможность обойтись без генератора импульсов и усилительного транзистора. Для этого достаточно один из проводов источника питания подпаять к одному из выводов контура, а по другому выводу просто “чиркнуть” вторым проводом источника питания. Режим горизонтальной развёртки осциллографа при этом должен быть SINGLE (одиночный). После немногочисленных попыток можно получить чистую осциллограмму затухающих колебаний. Именно так была получена осциллограмма на рис. 2.

При проведении исследований по схеме рис. 1 для защиты транзистора VT1 от пробоя напряжением противоЭДС катушки индуктивности следует обязательно устанавливать защитный диод (супрессор) VD1, напряжение пробоя которого должно быть меньше максимально допустимого импульсного напряжения коллектор-эмиттер применённого транзистора.

Может оказаться, что осциллограмму затухающих колебаний невозможно получить ни в “ручном” режиме, ни с применением генератора импульсов. Такой случай однозначно свидетельствует о чрезвычайно малой добротности катушки – меньше единицы. Это характерно для электромагнитов, имеющих тысячи витков, намотанных тонким проводом. Большое омическое сопротивление и большая межслойная ёмкость снижают добротность. В этом случае предлагаемый метод определения параметров колебательного контура не работает.

Для упрощения выполнения расчётов параметров Q, L и R_n авторы предлагают простую EXCEL-программу, в которую вводят значения n, t=T₀·n, U₀, U_n и С.

Упомянутую EXCEL-программу можно найти здесь.

Автор: И. Богатырёв, В. Дщценко, г. Харьков, Украина

Расчет добротности контура

8. По резонансным кривым, снятым экспериментально, определите частоты f₁ и f₂, соответствующие границам полосы пропускания контура и их разность f  f₂  f₁. Результаты измерений занесите в табл. 2.

Таблица 2

Сопротивление контура, Ом	R1	R2
U0 РЕЗ, В
0,7U0 РЕЗ, В
fРЕЗ, МГц
f1, МГц
f2, МГц
f, МГц
Q1
E0, В
Q2
QСР(Q1  Q2)/2
QТЕОР Q

9. Вычислите значения добротности Q₁ и Q₂ по формулам (10) и (12) для различных значений сопротивлений контура. Результаты занесите в табл. 2.

10. Определите среднее арифметическое значение добротности при различных фиксированных значениях сопротивлений контура:

Q_СР  (Q₁  Q₂)/2.

11. Оцените относительную погрешность определения добротности по косвенным измерениям:

Q₁     ,

Q₂   ,

где f_РЕЗ, f₁, f₂, U_{0 РЕЗ}, E₀ – ошибки в определении соответствующих значений f_РЕЗ, f₁, f₂, U_{0 РЕЗ}, E₀.

Вычислите теоретическое значение добротности контура по формуле (9) и сравните его с результатами расчета по формулам (10) и (12).

Объясните возможные причины расхождения результатов измерений и расчета.

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются вынужденными?

2. В чем заключается явление резонанса?

3. От чего зависит добротность контура?

4. Перечислите методы определения добротности контура.

5. Дайте определение полосы пропускания контура.

6. Чему равна частота вынуждающей э. д. с. в момент резонанса?

7. Каким образом снимается резонансная кривая в данной работе?

Список литературы

3. Савельев И.В. Курс общей физики в 3-х тт. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – М.: – Наука, 2005. – 496 с.

4. Селезнёв В.А., Тимофеев Ю.П. Методические указания к вводному занятию в лабораториях кафедры физики. – М.: МИИТ, 2006. – 30 с.

Работа 129

Изучение затухающих электромагнитных колебаний в колебательном контуре с помощью осциллографа

Цель работы. Изучение с помощью электронного осциллографа электромагнитных колебаний, возникающих в колебательном контуре, содержащем индуктивность, емкость и активное сопротивление; изучение условий возникновения затухающих колебаний в контуре; расчет основных физических величин, характеризующих эти колебания.

Введение

На рис. 1 изображена электрическая схема простейшего колебательного контура с сосредоточенными параметрами, содержащего последовательно соединённые конденсатор емкостью C, катушку индуктивностью L и активное сопротивление R.

Если в какой-либо момент времени одной из обкладок конденсатора сообщить электрический заряд или создать условия для возникновения в катушке электродвижущей силы (э.д. с.) индукции, а затем отключить источники возбуждения, в контуре начнутся свободные электромагнитные колебания.

Исследуем характер колебаний, возникающих в идеализированном колебательном контуре в отсутствие сопротивления R  0 при сообщении конденсатору заряда

q₀.

Вначале энергия электрического поля конденсатора емкостью C равна:

W_C q₀²/2C  CU₀²/2,

где U₀  q₀/С – максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора. Под действием электрического поля начинается движение зарядов и конденсатор разряжается. В контуре возникает электрический ток:

I(t)   dq(t)/dt, (1)

где dq(t) – изменение заряда на обкладках конденсатора. Знак минус показывает, что возникновение тока сопровождается уменьшением заряда на обкладках конденсатора (dq < 0).

Энергия электрического поля конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля, создаваемого током в катушке. Возрастание тока (dI > 0) в катушке индуктивностью L приводит к появлению в ней электродвижущей силы (э. д. с.) самоиндукции Et), препятствующей изменению тока (E < 0):

E(t)  – L(dI/dt)

.

При полном разряде конденсатора его электрическое поле исчезает, а ток в контуре, наоборот, достигает максимального значения I₀. Максимального значения достигает и энергия магнитного поля в катушке:

W_L  LI₀²/2.

С этого момента начинается перезарядка конденсатора под действием э. д. с. самоиндукции. Ток в контуре начинает убывать, вследствие чего э. д. с. самоиндукции изменяет знак, препятствуя убыванию тока. Энергия магнитного поля катушки уменьшается, а энергия электрического поля конденсатора растет, стремясь к максимальному значению, которому соответствует полная перезарядка конденсатора.

В тот момент времени мгновенные значения электрического тока и энергии магнитного поля обращаются в нуль. Далее процесс повторяется в обратном порядке. В контуре устанавливаются незатухающие электромагнитные колебания.

Интервал времени между двумя последовательными максимальными значениями колеблющейся величины называется периодом колебаний T.

Заметим, что описанные выше колебания происходили бы бесконечно долго лишь при отсутствии испускания таким контуром электромагнитного излучения.

Если колебательный контур содержит активное сопротивление R, то при протекании по нему тока часть общей энергии контура

W выделяется в виде тепла:

Q = W_R  I²Rt.

При этом уменьшаются с течением времени амплитудные значения тока в контуре и разности потенциалов на обкладках конденсатора. Колебания затухают.

Временная зависимость разности потенциалов на обкладках конденсатора U(t)  ₁ ₂ наблюдается в данной работе на экране осциллографа. Эту зависимость можно получить теоретическим путем, используя закон Ома для участка цепи, содержащей э. д. с. Для мгновенных значений токов и напряжений в таком контуре закон Ома запишется в виде:

IR  ₁ – ₂  E  U – L(dI/dt). (2)

Преобразуем это уравнение, используя формулу (1) и соотношение q  CU. Тогда уравнение (2) примет вид:

LC(d²U/dt²)  RC(dU/dt)  U  0. (3)

Разделив обе части уравнения (3) на LC и введя обозначения

R/2L = , 1/LC  ₀²,

где ₀ называется собственной циклической (круговой) частотой контура, а  – коэффициентом затухания, получим дифференциальное уравнение:

d²U/dt²  2(dU/dt)  ₀²U  0, (4)

решение которого дает искомую зависимость U(t).

Следует отметить, что аналогичные дифференциальные уравнения могут быть получены для различного рода механических, электромеханических и других колебательных систем, в которых отсутствуют внешние вынуждающие воздействия, а силы сопротивления при малых скоростях движения (скоростях изменения параметра системы, совершающей колебания) линейно зависят от скорости.

При этом энергия, внесенная в сиcтему извне, непрерывно уменьшается в процессе колебаний, переходя, в конечном счете, в тепловую энергию. Уравнение (4) есть линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для частного случая, когда  < ₀, его решение имеет вид:

U(t)  U₀e^βtcos(t  ₀), (5)

где ₀ – начальная фаза колебаний;  – циклическая частота затухающих колебаний:

= (6)

На рис. 2 приведены примеры графиков зависимости U(t) для различных типов колебаний в контуре.

Выражение (5) описывает затухающий колебательный процесс (рис. 2б) с периодом колебаний

T  . (7)

Амплитудой затухающих колебаний называют величину

A(t)  U₀e^t, (8)

где U₀ – максимально возможное значение амплитуды напряжения:

U₀  A(t  0).

Вообще говоря, при  0 разность потенциалов U(t) не является строго периодической функцией времени: U(t)U(t  T). Периодом колебаний в этом случае принято считать минимальные промежутки времени между наибольшими значениями напряжения одного знака.

Как следует из формул (5) и (8), изменение амплитуды колебаний зависит от величины коэффициента затухания . Согласно (8) коэффициент затухания есть физическая величина, обратная времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз:

U₀/A()  e при t    1/.

Таким образом, характер колебательного процесса определяется соотношениями между электрическими параметрами контура R, L и C. Так, при   0 в контуре устанавливаются свободные незатухающие гармонические (колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса) колебания (рис. 2а):

U(t)  U₀cos(₀t  ₀)

с периодом T₀  2/₀  2(формула У.Томсона).

При критическом сопротивлении (см. формулы (6) и (7))

R  R_КР  2

  ₀, и период колебаний становится бесконечным. В контуре возникает апериодический процесс, когда напряжение на конденсаторе постепенно уменьшается, не совершая при этом колебаний (рис. 2в).

При R < R_КР (т. е. при  < ₀) в контуре реализуется затухающий колебательный процесс (рис. 2б).

При R > R_КР (  ₀) циклическая частота  и период колебаний Т становятся мнимыми величинами. Это соответствует апериодическому процессу разряда конденсатора на большое активное сопротивление (рис. 2г).

Для характеристики затухающих колебаний наряду с коэффициентом затухания  используются и другие параметры: логарифмический декремент  и добротность контура Q.

Логарифмический декремент вводится как натуральный логарифм отношения амплитуд колебаний, разделенных во времени на период Т (рис. 2):

  ln ln T  T/  1/N, (9)

т.е. он равен величине, обратной числу колебаний (периодов), за которое амплитуда уменьшается в е раз (N  ).

Из соотношения между  и 

  T  RT/(2L) (10)

при малых затуханиях (  ₀): T  T₀  2можно, зная , определить коэффициент затухания :

  /T₀  /(2 

Добротность контура Q – важный параметр, характеризующий быстроту потери энергии, запасенной в контуре. Добротность контура показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе при резонансе превышает амплитуду внешней прикладываемой электродвижущей силы, и определяется формулой:

Q  ₀/2.

Для колебаний при малых  частота затухающих колебаний ω приблизительно равна собственной частоте колебаний ₀ (см. формулу (6)) и тогда, учитывая формулу (9), величина добротности:

Q  ₀/2 ≈ /2 = 2/2βT  /. (12)

Для колебательного контура:

R/2L, и ₀  1/.

Добротность в этом случае:

Q  ₀/2   /R. (13)

Физическую величину   называют волновым или характеристическим сопротивлением колебательного контура.

Из соотношения (13) следует, что контур, имеющий большое активное сопротивление, обладает малой добротностью и интенсивно теряет электромагнитную энергию, колебания быстро затухают.

Все рассмотренные процессы относятся к колебательному контуру с сосредоточенными параметрами R, L и C. В реальных колебательных контурах нельзя выделить ни одного участка цепи, не обладающего активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью, т. е. параметры R, L и С не являются сосредоточенными, а распределены по участкам цепи, что усложняет анализ колебательных процессов. При этом также необходимо учитывать входные электрические параметры измерительных приборов.

Расчет количества – Расчет объема

Объем можно измерить по контурной карте, но объем, рассчитанный этим методом, является приблизительным. Он не идет ни в какое сравнение с объемом, рассчитанным методом поперечных сечений. Поскольку полные неровности грунта не предсказываются изолиниями, а также поскольку интервалы изолиний не малы, объем, рассчитанный по изолиниям, вероятно, будет приблизительным. Общие рекомендации для расчета объема этим методом составляют максимум 2 метра для регулярной поверхности земли и 0,5 метра для неровного рельефа. Этот метод используется в основном для определения емкости резервуара. Чтобы узнать пропускную способность контура, можно использовать два метода.

1. Метод средней площади (известный как метод трапеций)
2. Призмоидальная формула

Методом средней площади конца (трапеции): Объем = L x 1/2 (A1 + A2) кубический метр

По формуле призмы: V = L (A + квадратный корень (A*B) + B) / 3

Для следующего примера:

Расчет объема с использованием метода среднего:

Контур	Зона	Предыдущая область	Средняя площадь	Интервал контура	Область между контурами	Совокупный объем (куб. м)
2	0,52	0	2	2	0	0
4	3,068	0,52	1,794	2	3,588	3,588
6	7,74	3,068	5. 404	2	10.808	14.396
8	14.534	7,74	11.137	2	22.274	36,67
10	23.824	14,534	19.179	2	38.358	75. 028
12	37.008	23.824	30.416	2	60.832	135,86
14	55,65	37.008	46.329	2	92.658	228,518
16	78.886	55,65	67,268	2	134,536	363. 054
18	114.916	78.886	96.901	2	193.802	556.856
20	262,949	114,916	188.9325	2	377,865	934.721

Расчет объема призмоидальным методом:

Контур	Зона	Предыдущая область	Зона (A + квадратный корень (A*B) + B) / 3	Интервал контура	Область между контурами	Совокупный объем (кубические метры)
2	0,52	0,00	0,00	2,00	0,00	0,00
4	3,07	0,52	1,62	2,00	3,23	3,23
6	7,74	3,07	5,23	2,00	10,45	13,69
8	14,53	7,74	10,96	2,00	21,92	35,61
10	23,82	14,53	18,99	2,00	37,98	73,59
12	37. 01	23,82	30.18	2,00	60,35	133,94
14	55,65	37.01	46.01	2,00	92.03	225,96
16	78,89	55,65	66,93	2,00	133,86	359,82
18	114,92	78,89	96,34	2,00	192,68	552,50
20	262,95	114,92	183,90	2,00	367,80	920. 30

Метод деления площади Земляные работы Расчет площади и объема

Формула для врачей | Butter Bronzer Contour Palette

17,49 $

BB_Contour

Бронзируйте, моделируйте и формируйте свой путь к идеальному контуру с помощью этой универсальной контурной палитры. Смешивайте и сочетайте эти невероятно смешиваемые оттенки для индивидуального скульптурного, бронзового и мелированного образа с ультрагладким сияющим финишем. Обогащенный мощной смесью масел Мурумуру, Купуасу и Тукума из пышной и богатой питательными веществами Амазонии, этот любящий кожу макияж содержит незаменимые жирные кислоты и провитамины, которые смягчают, кондиционируют и увлажняют кожу, оставляя он шелковисто-мягкий. Маслянисто-мягкие пигменты практически тают на коже, их можно легко смешивать и наносить, создавая неограниченное количество настраиваемых образов.

https://www.physiciansformula.com/wp-content/uploads/sites/2/2022/11/5-Butter-Bronzer-Contour-Palette_1. mp4

• Описание
• Дополнительная информация
• Преимущества
• Ингредиенты
• Направления
№

Описание

• 3-цветная контурная палитра : Зарумяньте, смоделируйте и сформируйте свой образ с помощью маслянисто-мягких оттенков в этой 3-компонентной контурной палитре. Легко наносимые и плавно растушевываемые, легко создавать четкие образы, которые сливаются с кожей.

• Косметика для кожи: Изготовлена ​​из смеси масел мурумуру, купуасу и тукумы из богатой питательными веществами Амазонки, которые помогают смягчить, кондиционировать и увлажнить кожу.