Формула крамера для решения системы линейных уравнений онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Система линейных уравнений – Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

Из Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

Линейная система с тремя переменными определяет набор плоскостей (одна плоскость для каждого уравнения). Точка пересечения является решением.

В математике система линейных уравнений (или линейная система ) представляет собой набор линейных уравнений, включающий один и тот же набор переменных.

Математики показывают взаимосвязь между различными факторами в виде уравнений. «Линейные уравнения» означают, что переменная появляется только один раз в каждом уравнении без возведения в степень. «Система» линейных уравнений означает, что все уравнения верны одновременно. Итак, человек, решающий систему уравнений, ищет значения каждой переменной, которые сделают все уравнения верными одновременно. Если никакие такие значения не могут удовлетворять всем уравнениям системы, то уравнения называются «несовместными».

Например,

3x+2y-z=12x-2y+4z=-2-x+12y-z=0{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&& \;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&& \;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}

представляет собой систему из трех уравнений с тремя переменными x{\displaystyle x}, y{\displaystyle y}, z{\displaystyle я}. «Решение» линейной системы — это выбор чисел для каждой переменной таким образом, чтобы каждое уравнение было истинным в одно и то же время. Ниже приведено решение приведенного выше уравнения:

x = 1y = -2z = -2 {\ displaystyle {\ begin {alignedat} {2} x & = & 1 \\ y & = & -2 \\ z & = & -2 \ end {alignedat}}}

Это работает, потому что делает все три уравнения верными:

[1]

3(1)+2(-2)-(-2)=12(1)-2(-2)+4(-2 ) = -2-(1) + 12 (-2) – (-2) = 0 {\ displaystyle {\ begin {alignedat} {7} 3 (1) & & \; + \; & & 2 (-2) & & \ ;-\;&&(-2)&&\;=\;&&1&\\2(1)&&\;-\;&&2(-2)&&\;+\;&&4(-2)&&\;=\; &&-2&\\-(1)&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}(-2)&&\;-\;&&(-2)&&\;=\;&&0&\end {выровнено}}}

В математике теория линейных систем является разделом линейной алгебры, фундаментальным предметом современной математики. Компьютерные алгоритмы поиска решений являются важной частью численной линейной алгебры, и такие методы играют заметную роль в технике, физике, химии, информатике и экономике. Систему нелинейных уравнений часто можно аппроксимировать линейной системой (см. Линеаризацию), что является полезным методом при создании математической модели, компьютерной модели или компьютерного моделирования относительно сложной системы. Для сложных систем существует много уравнений и много переменных, а не только два или три. Во многих случаях количество уравнений и переменных в системе одинаково. В некоторых случаях переменных больше, чем уравнений, и решение будет представлять собой диапазон различных значений, а не одно точное решение.

Простейшая линейная система включает два уравнения и две переменные:

2x+3y=64x+9y=15.{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}2x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&6&\\4x&&\;+\;&&9y&&\;= \;&&15&.\end{alignedat}}}

Один из методов решения такой системы заключается в следующем. Сначала решите первое уравнение для x{\displaystyle x} относительно y{\displaystyle y}:

x=3−32y.{\displaystyle x=3-{\frac {3}{2}}y.}

Теперь подставьте это выражение для x в нижнее уравнение:

4(3−32y)+9y=15.{\displaystyle 4\left(3-{\frac {3}{2}}y\right)+9y=15.}

Это приводит к единственное уравнение, включающее только переменную y{\displaystyle y}. Решение дает y = 1 {\ displaystyle y = 1}, а подстановка этого обратно в уравнение для x {\ displaystyle x} дает x = 3/2 {\ displaystyle x = 3/2}:

2 (32) + 3 (1) = 64 (32) + 9 (1) = 15. {\ displaystyle {\ begin {alignedat} {5} 2 \ left ({\ frac {3} {2} }\right)&&\;+\;&&3(1)&&\;=\;&&6&\\4\left({\frac {3}{2}}\right)&&\;+\;&&9(1)&&\;=\;&&15&.\end{alignedat}}}

Этот метод обобщается на системы с дополнительными переменными.

Очень часто все коэффициенты записывают в виде матрицы А, которая называется матрицей коэффициентов.

A = [a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn] {\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21 }&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}

Точно так же переменные можно записать в виде вектора:

х = [x1x2⋮xn]; b = [b1b2⋮bm] {\ displaystyle x = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ конец {bmatrix}};\qquad b={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}.

Это позволяет писать

A⋅x = b {\ displaystyle A \ cdot x = b}.

Математически вектор, определенный выше, представляет собой матрицу размером 1 на n. Затем система уравнений может быть решена с помощью операции умножения, определенной для матриц. A, x и b являются частью одного и того же алгебраического поля.

Решение системы линейных уравнений[изменить | change source]

При поиске решений системы линейных уравнений возможны три случая:

• Нет решения
• Существует ровно одно решение
• Есть много решений; точное число зависит от свойств поля. Во многих случаях будет бесконечное количество решений.

Существует две категории методов решения системы линейных уравнений. Итерационные методы используют много шагов для получения решения, прямые методы требуют только одного шага:

• Примером прямого метода является решение системы для одной переменной; эту переменную можно исключить и заменить выражением, которое использует только другие переменные, или числом. Выполнение этого для всех переменных уравнения приведет к решению системы, если она существует.
• Другой метод состоит в том, чтобы преобразовать два уравнения так, чтобы одна из частей уравнений была одинаковой в обоих случаях; тогда можно написать другое уравнение, которое заменяет два уравнения и уменьшает количество уравнений на одно.
• Исключение Гаусса
• QR-разложение
• Распад Холецкого
• Правило Крамера

Примеры итерационных методов:

• Релаксация, включая методы Гаусса-Зейделя и Якоби
• Многосеточный метод
• Метод Крылова

Существуют примеры, такие как геодезия, где измерений гораздо больше, чем неизвестных. Такая система почти всегда переопределена и не имеет точного решения. Каждое измерение обычно является неточным и содержит некоторую погрешность. Поскольку измерения неточны, получить точное решение системы линейных уравнений невозможно; такие методы, как метод наименьших квадратов, можно использовать для вычисления решения, которое лучше всего соответствует переопределенной системе.

Это решение методом наименьших квадратов часто можно использовать в качестве замены точного решения.

Решение системы линейных уравнений имеет сложность не более O (n ³ ). Для решения общей системы из n линейных уравнений требуется не менее n ² операций. Лучший алгоритм, известный на сегодняшний день, был разработан Доном Копперсмитом и Шмуэлем Виноградом и датируется 1990 годом. Он имеет сложность n ^{2,376 [2]} К сожалению, практического применения от него мало.

Использование компьютеров для решения систем линейных уравнений используется каждый день. Например, он используется в моделях прогнозирования погоды. Фабрики хот-догов используют его для внесения небольших изменений в рецепт при изменении цен на пищевые ингредиенты. Столовые колледжей используют его, чтобы выяснить, сколько еды нужно приготовить, основываясь на прошлом опыте, когда столовая предоставляет студентам выбор между несколькими основными блюдами.

1. ↑ Линейная алгебра, о которой говорится в этой статье, является хорошо зарекомендовавшей себя математической дисциплиной, по которой существует множество источников. Почти весь материал этой статьи можно найти у Lay 2005, Meyer 2001 и Strang 2005.
2. ↑ Джин Голуб, Чарльз Ван Лоан: Matrix Computations
   , Johns Hopkins University Press, 3-е издание, 1996; ISBN 978-0-8018-5414-9

Учебники[изменить | изменить источник]

• Экслер, Шелдон Джей (1997), Linear Algebra Done Right (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0387982590
• Лэй, Дэвид С. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0321287137
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0898714548 , заархивировано из оригинала 31 октября 2009 г., получено 18 декабря 2011 г.
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд. ), Wiley International
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall
• Странг, Гилберт (2005), Линейная алгебра и ее приложения

• Веб-приложение, описательное решение систем линейных уравнений с помощью ряда методов. Архивировано 25 апреля 2011 г. в Archive.today
• Решение системы линейных уравнений онлайн матричный калькулятор и учебник.
• Решатель уравнений онлайн
• Онлайновый линейный решатель
• Онлайн-калькулятор системы линейных уравнений

• Матричный анализ
• Числовая линейная алгебра

Матрикс -уравнение -калькулятор -ось = B – Google Suce

ALLBILDERVIDEOSSHOPPINGMAPSNEWSBücher

SUCOPTIONEN

WHAVATURE – SYSTER SOLVER ON LINE – MATHSTOOLS

WWWARES – SYSTER SOLVER ON LINE – MATHSTOLS

WWWARES. Калькулятор линейных систем: интуитивно понятный калькулятор матриц… 1) Расчет канонической формы Жордана. … 3) Решить системы линейных уравнений в виде Ax=b.

Решатели матриц (калькуляторы) с шагами – Math20

www.math20.com › Решатели задач

Вычисление определителя, ранга и обратной матрицы. Размер матрицы: … Решение системы n линейных уравнений с n переменными … Размерности B: 3 x.

Калькулятор матричных уравнений – Symbolab

www.symbolab.com › … › Алгебра › Уравнения

Бесплатный калькулятор матричных уравнений – шаг за шагом решайте матричные уравнения.

Калькулятор системы линейных уравнений – Калькулятор матриц

matrixcalc.org › slu

Вы можете решать системы линейных уравнений с помощью исключения Гаусса-Жордана, правила Крамера, обратной матрицы и других методов. Кроме того, вы можете анализировать …

Ähnliche Fragen

Что означает ax b matrix?

Что такое A и B в оси B?

Калькулятор матриц

matrixcalc. org

С помощью этого калькулятора вы можете: найти определитель матрицы, ранг, возвести матрицу в степень, найти сумму и произведение матриц, …

Калькулятор матриц – eMathHelp

www.emathhelp.net › калькуляторы › линейная алгебра

Пошаговое решение матриц. Этот калькулятор складывает, вычитает, умножает, делит и возводит в степень две матрицы с показанными шагами …

Как решить Ax=b в калькуляторе, используя обратную операцию, а не… – YouTube

www. youtube.com › смотреть

07.11.2016 · Как решить Ax=b на калькуляторе, используя обратную, а не расширенную матрицу TI 83 …
Dauer: 3:56
Прислан: 07.11.2016

Как решить Ax=B для матрицы x с помощью TI 84 – YouTube

www.youtube.com › смотреть

08.10.2020 · Как использовать обратная для решения Ax=B для матрицы x с использованием уравнения TI 84. … by …
Dauer: 4:51
Прислан: 08.10.2020

Решить системы линейных уравнений Ax = B для x – MATLAB mldivide \

www.