Формула крамера примеры: Метод Крамера, примеры решений

Как решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Метод Крамера для решения СЛАУ

В данной публикации мы рассмотрим формулировку и формулу метода Крамера, а также разберем пример практической задачи для закрепления теоретического материала.

• Теорема Крамера
• Пример задачи

Теорема Крамера

Система линейных уравнений может решаться несколькими способами, и один из них – это метод Крамера (или теорема), который так назван в честь швейцарского математика Габриэля Крамера.

Формулировка теоремы:

Если определитель матрицы, соответствующий квадратной СЛАУ не равняется нулю, значит система является совместной и имеет одно решение, которое можно найти следующим образом:

• Δ – определитель матрицы системы;
• Δ_i – определитель, в котором место столбца i расположен столбец правых частей.

Примечание: если определитель матрицы, соответствующей системе, равняется нулю, то она может быть и совместной, и несовместной.

Пример задачи

Давайте с помощью метода Крамера решим систему линейных уравнений ниже:

Решение

1. Для начала представим заданное СЛАУ в виде расширенной матрицы A.

2. Определитель матрицы (без учета столбца свободных членов) не равен нулю, значит у системы есть решение, причем единственное.

3. Считаем определитель, заменив первый столбец на третий (т.е. для корня x).

4. Теперь аналогичным образом вычислим определитель, подставив вместо второго столбца третий (для y).

5. Остается только воспользоваться формулой выше, чтобы найти x и y.

Ответ: x = 2, y = 5.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Теорема Крамера — ПриМат

Пусть дана система линейных уравнений (СЛАУ) $$\left. \begin{matrix} a_{11}x_{1} & + & \cdots & + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{m1}x_{2} & + & \cdots & + & a_{mn}x_{n} & = & b_{m} \end{matrix}\right\},$$ где $a_{11}, a_{1n}, a_{m1}, a_{mn}$ — числовые коэффициенты, $x_{1},x_{2},x_{3}$ — переменные, $b_{1},b_{m}$ — свободные члены.

Обозначим матрицу-столбец неизвестных $(X)$, матрицу коэффициентов при неизвестных $(A)$ и столбец правых частей $(B)$: $$X = \begin{Vmatrix} x_{1}\\ \vdots \\ x_{n}\\ \end{Vmatrix}, \quad A = \begin{Vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix},\quad B=\begin{Vmatrix}b_{1}\\ \vdots \\ b_{m}\end{Vmatrix}.$$

Соотношения, задаваемые системой, запишем в виде матричного уравнения $(A \cdot X = B)$: $$\begin{Vmatrix}x_{1}\\ \vdots \\ x_{n}\\ \end{Vmatrix}\cdot \begin{Vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}b_{1}\\ \vdots \\ b_{m}\end{Vmatrix}. {n} A_{jn} \cdot b_{j} \end{Vmatrix}.$$

Заменив соответствующий столбец из определителя матрицы системы столбцом свободных членов системы, получим суммы, представляющие собой искомые нами определители. Теорема доказана.

Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера

1. Находим определитель матрицы искомой системы $\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{vmatrix}$. Определитель обязательно должен быть отличен от нуля.
2. Находим определители матриц $\Delta_{x_{n}} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & b_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_{n} \end{vmatrix}$, в которых $k$-ые столбцы $(k = 1,2, \; \ldots, n)$ заменены на столбец свободных членов системы.
3. Вычисляем неизвестные переменные по формуле: $x_{n} = \frac{\Delta_{x_{n}}}{\Delta }$.
4. Выполняем проверку решения, подставив $x_{k} (k = 1,2, \ldots, n)$ в исходную систему. Все уравнения системы должны быть тождественно равны.

Некоторые следствия из теоремы Крамера

Следствие 1. Если определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю и все определители «вспомогательных» (в которых $i$-ый столбец заменен на столбец свободных членов) матриц равны нулю, то система имеет бесконечное количество решений.

Следствие 2. Если определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю, но хотя бы один из определителей «вспомогательных» матриц отличен от нуля, то система не имеет решений.

Следствие 3. Если определитель матрицы из коэффициентов системы отличен от нуля, то система имеет решение, причём единственное.

Примеры решения задач

1. Решить систему уравнений методом Крамера $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}- x_{2}- x_{3}=4 \\ 3 x_{1}+4x_{2}-2 x_{3}=11 \\ 3 x_{1}-2 x_{2}+4x_{3}=11 \end{array}\right. $$

   Решение

   Вычислим определитель матрицы системы с помощью правила треугольника: $$ \Delta = \left|\begin{array}{} 2& -1& -1 \\ 3& 4& -2 \\ 3& -2& 4 \end{array}\right| = 60,$$ $\Delta = 60 \neq 0$, значит эта система имеет решение, причем единственное.

   Найдем с помощью правила треугольника определители $\Delta_{i}$ ($i$-ый столбец заменяется на столбец свободных членов), где $i = 1,2,3:$ $$\Delta_{1} = \begin{vmatrix} 4 & -1& -1\\ 11& 4& -2\\ 11& -2& 4 \end{vmatrix} = 180,$$ $$\Delta_{2} = \begin{vmatrix} 2& 4& -1\\ 3& 11& -2\\ 3& 11& 4 \end{vmatrix} = 60,$$$$\Delta_{3} = \begin{vmatrix} 2& -1& 4\\ 3& 4& 11\\ 3& -2& 11 \end{vmatrix} = 60.$$

   Находим неизвестные $x_{n} = \frac{\Delta _{n}}{\Delta}:$ $$x_{1} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{180}{60} = 3;$$ $$x_{2} =\frac{\Delta_{2}}{\Delta} = \frac{60}{60} = 1;$$ $$x_{3} =\frac{\Delta_{3}}{\Delta} = \frac{60}{60} = 1;$$

   Ответ:$\; x_{1} = 3; \; x_{2} = 1; \; x_{3} = 1$. {2} + 6}.$$

   [свернуть]

2. Решить систему уравнений методом Крамера $$ \left\{\begin{array}{} x_{1}+ x_{2}+2 x_{3}=-1 \\ 2 x_{1}- x_{2}+2 x_{3}=-4 \\ 4 x_{1}+x_{2}+4_{3}=-2 \end{array}\right. $$

   Решение

   Вычислим определитель матрицы с помощью правила треугольника: $$\Delta = \begin{vmatrix} 1& 1& 2\\ 2& -1& 2\\ 4& 1& 4 \end{vmatrix} = 6,$$ $\Delta = 6 \neq 0$, значит эта система имеет решение, причем единственное.

   Найдем с помощью правила треугольника определители $\Delta_{i}$ ($i$-ый столбец заменяется на столбец свободных членов), где $i = 1,2,3:$ $$\Delta_{1} = \begin{vmatrix} -1& 1& 2\\ -4& -1& 2\\ -2& 1& 4 \end{vmatrix} = 6,$$ $$ \Delta_{2} = \begin{vmatrix} 1& -1& 2\\ 2& -4& 2\\ 4& -2& 4 \end{vmatrix} = 12,$$ $$ \Delta_{3} = \begin{vmatrix} 1& 1& -1\\ 2& -1& -4\\ 4& 1& -2 \end{vmatrix} = -12.$$

   Находим неизвестные $x_{n} = \frac{\Delta _{n}}{\Delta}:$ $$x_{1} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{6}{6} = 1;$$ $$x_{2} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{12}{6} = 2;$$ $$x_{3} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{-12}{6} = -2;$$ Ответ:$\; x_{1} = 1; \; x_{2} = 2; \; x_{3} = -2$.

   [свернуть]

3. Найти количество решений у системы уравнений $$ \left\{\begin{array}{} 2 x_{1}+ 3x_{2}- x_{3}=3 \\ 4 x_{1}+6x_{2}-2x_{3}=6 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2x_{3}=-1 \end{array}\right.$$

   Решение

   Вычислим определитель матрицы с помощью правила треугольника: $$\Delta = \begin{vmatrix} 2& 3& -1\\ 4& 6& -2\\ 3& -1& 2 \end{vmatrix} = 0,$$ $\Delta = 0$, значит эта система имеет либо бесконечное количество решений, либо вообще не имеет.

   Найдем с помощью правила треугольника определители $\Delta_{i}$ ($i$-ый столбец заменяется на столбец свободных членов), где $i = 1,2,3:$ $$ \Delta_{1} = \begin{vmatrix} 3& 3& -1\\ 6& 6& -2\\ -1& -1& 2 \end{vmatrix} = 0,$$ $$ \Delta_{2} = \begin{vmatrix} 2& 3& -1\\ 4& 6& -2\\ 3& -1& 2 \end{vmatrix} = 0,$$ $$ \Delta_{3} = \begin{vmatrix} 2& 3& 3\\ 4& 6& 6\\ 3& -1& -1 \end{vmatrix} = 0.$$

   По следствию 1 выясняем, что система уравнений имеет бесконечное количество решений.

   [свернуть]

4. Решить систему уравнений методом Крамера $$ \left\{\begin{array}{}2x_{1}+6x_{2}+4x_{3}=8 \\x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=8 \\x_{1}+5x_{2}+7x_{3}=17\end{array}\right.$$
   Решение

   Вычислим определитель матрицы с помощью правила треугольника: $$\Delta = \begin{vmatrix} 2& 6& 4\\ 1& 5& 4\\ 1& 5& 7 \end{vmatrix} = 12,$$ $\Delta = 12 \neq 0$, значит эта система имеет решение, причем единственное.

   Найдем с помощью правила треугольника определители $\Delta_{i}$ ($i$-ый столбец заменяется на столбец свободных членов), где $i = 1,2,3:$ $$ \Delta_{1} = \begin{vmatrix} 8& 6& 4\\ 8& 5& 4\\ 17& 5& 7 \end{vmatrix} = 12,$$ $$ \Delta_{2} = \begin{vmatrix}2& 8& 4\\ 1& 8& 4\\ 1& 17& 7 \end{vmatrix} = -12,$$ $$ \Delta_{3} = \begin{vmatrix} 2& 6& 8\\ 1& 5& 8\\ 1& 5& 17 \end{vmatrix} = 36.$$

   Находим неизвестные $x_{n} = \frac{\Delta _{n}}{\Delta}:$ $$x_{1} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{12}{12} = 1;$$ $$x_{2} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{-12}{12} = -1;$$ $$x_{3} =\frac{\Delta_{1}}{\Delta} = \frac{36}{12} = 3;$$ Ответ:$\; x_{1} = 1; \; x_{2} = -1; \; x_{3} = 3$.

   [свернуть]

Тест на знание темы «Теорема Крамера».

Смотрите также

1. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.
2. Курош А.Г., Курс высшей алгебры М.: Наука, 1972, 10-ое издание, Глава 1, $\S$ 7, «Теорема Крамера» (стр. 53 — 59)
3. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука. Главна редакция физико-математической литературы, 1984.-416с. (стр. 106 — 108)
4. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре М.: Наука, 1972, 10-ое издание, Глава 3, $\S$ 1, «Теорема Крамера» (стр. 56)

правило Крамера для двух уравнений

Чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными, мы используем следующие правила.

Правило 1 :

Если ∆ ≠ 0. Тогда система имеет единственное решение, и мы можем решить уравнения, используя формулу

x  =  ∆ₓ/∆ , y  =  ∆ᵧ/∆ :

Если

∆  =  0 и ∆ₓ  = 0, ∆ᵧ  =  0

и хотя бы один из коэффициентов a ₁₁ , a ₁₂ , a ₂₁ , a ₂₂ не равно нулю, то система непротиворечива и имеет бесконечно много решений.

Правило 3 :

Если ∆ = 0 и хотя бы одно из значений ∆ₓ, ∆ᵧ отлично от нуля, то система несовместна и не имеет решения.

Пример 1:

Решите следующее уравнение, используя метод определения

x + 2y = 3, x + y = 2

Решение:

Напишите значения Δ, Δx и Δ и оценка

.0003

Здесь Δ ≠ 0, Δx ≠ 0 и Δy ≠ 0.

Итак, система непротиворечива и имеет единственное решение.

x =  Δx/Δ и y = Δy/Δ

x =  -1/(-1)  ==>  1

x  =  -1/(-1)  ==>  1

Следовательно, решение ( 1, 1).

Пример 2:

Решите следующее уравнение с использованием определяемого метода

3x + 2y = 5 и x + 3y = 4

Решение:

Здесь Δ гать 0, Δx ≠ 0 и Δy гать 0

Итак, система непротиворечива и имеет единственное решение.

x = Δx/Δ and y = Δy/Δ

x = 7/7 ==> 1

x = 7/7 ==> 1

Следовательно, решение (1, 1).

Пример 3:

Решите следующее уравнение, используя метод детерминантного средства

x + 2y = 3 и 2x + 4y = 8

Решение:

Здесь, Δ = 0, но Δx ♠ 0.

Итак , система несовместна и не имеет решений.

Пример 4:

Решите следующее уравнение, используя метод детерминантного характера

x + 2y = 3 и 2x + 4y = 6

Решение:

, так как ∆ = 0, ∆ ₓ = 0 и ∆. ᵧ  = 0 и хотя бы один из элементов в ∆ не равен нулю.

Тогда система непротиворечива и имеет бесконечно много решений. Приведенная выше система сводится к одному уравнению. Чтобы решить это уравнение, мы должны присвоить y = k.

х+2у  =  3

x+2(k) = 3

x+2k = 3

x = 3-2k и y = k

Итак, решение (3-2k, k). Здесь k ∈ R, где R — действительные числа.

Пример 5:

Решите следующее уравнение, используя метод детерминантного средства

2x+4y = 6, 6x+12y = 24

Решение:

здесь ∆ = 0, но ∆ ₓ гать 0, тогда система совместна и не имеет решений.

Пример 6:

Решите следующее уравнение с использованием метода определения

2x+y = 3 и 6x+3y = 9

Решение:

, так как ∆ = 0, ∆ ₓ = 0 и ∆ ᵧ = 0 и Atele East One One One One One элемента в ∆ отличен от нуля. Тогда система совместна и имеет бесконечно много решений. Приведенная выше система сводится к одному уравнению. Чтобы решить это уравнение, мы должны присвоить y = k.

2x+y  =  3

2x+k  =  3

2x+k  =  3

2x = 3-k

x = (3-k)/2

y = k

Итак, решение ((3-k)/2, k). Здесь k ∈ R, где R — действительные числа.

Помимо всего вышеперечисленного, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Введение в правило Крамера: определение, формула и примеры

В математике одновременные линейные уравнения решаются с помощью правила Крамера. Правило Крамера является подтипом матриц и часто используется в алгебре для решения нескольких алгебраических выражений.

Алгебраические выражения — это те выражения, которые имеют по крайней мере одну переменную и одну арифметическую операцию. В этой статье мы изучим определение и формулу правила Крамера на примерах.

Что такое правило Крамера?

Согласно Britannica :

В линейной алгебре процедура вычисления системы одновременных линейных уравнений с использованием определителей известна как правило Крамера. Это метод, который используется для решения линейных уравнений до порядка 2, 3 или 4.

Записывается как:

А ₁ х + В ₁ у = С ₁

А ₂ х + В ₂ у = С ₂

АХ = В

В правиле Крамера участвуют определители уравнений, поэтому этот метод также известен как метод определителей. Правило Краммера применимо только к квадратным матрицам. Вы не можете применить правило Крамера к прямоугольному массиву матриц.

Но возникает вопрос, что по определению матрица представляет собой прямоугольный массив, то почему мы не можем применить к нему это правило. Ответ на этот вопрос заключается в том, что каждая квадратная матрица является прямоугольной матрицей.

Проще говоря, правило Крамера применимо только к тем матрицам, которые имеют одинаковое количество строк и столбцов. При неравном количестве строк и столбцов правило Крамера не существует.

Уравнение правила Крамера

Уравнение, используемое для решения линейных уравнений, приведено ниже.

1. Значение X = определитель X / определитель A

Значение X = D _x  / Д

1. Значение Y = определитель Y / определитель A

Значение Y = D _y  / D

• Значение Z = определитель Z/ определитель A

Значение Z = D _z  / D

Используйте Калькулятор правила Крамера для решения линейных уравнений в соответствии с приведенными выше формулами. Этот калькулятор решает линейное уравнение для матриц 2, 3 и 4 порядка.

Как рассчитать задачи по правилу Крамера?

Вы должны быть знакомы с тем, как взять определитель и члены x и y для вычисления правила Крамера.

Для решения линейного уравнения необходимо преобразовать данные уравнения в форму матриц, а затем составить из матриц матрицу x и матрицу y. Затем найдите определитель квадратной матрицы A, а затем определитель матриц x и y.

После определения определителей матриц подставьте вычисленные значения в формулы x и y в случае матриц второго порядка. В случае матрицы третьего порядка необходимо использовать формулы для нахождения значений x, y и z.

Имейте в виду, что если определитель матрицы A равен нулю, то правило Крамера не применяется. Ниже приведены несколько примеров правила Крамера, чтобы научиться его вычислять.

Пример 1

Используйте метод правила Крамера для решения заданного линейного уравнения.

15х – у = 14

21x + 3y = 8

Раствор

Шаг 1:  Запишите данное линейное уравнение в виде матриц.

Шаг 2:   Прежде всего, вычислите определитель приведенной выше матрицы, чтобы узнать, существует ли правило Крамера или нет

Шаг 3:  Используйте общее уравнение, чтобы найти определитель заданных матриц.

Шаг 4:  Теперь подставьте значения в приведенное выше уравнение.

Определитель A = D = 66

Шаг 5:  Теперь замените первый столбец матрицы A столбцом ответов, чтобы сделать его матрицей X.

Шаг 6: Теперь подставьте значения в общее уравнение определителя.

Определитель матрицы x (det _x ) = D _x  = 50

Шаг 7:  Теперь замените второй столбец матрицы A столбцом ответов, чтобы сделать его матрицей Y.

Шаг 8:  Теперь подставьте значения в общее уравнение определителя.

Определитель матрицы y (det _y ) = D _y  = -174

Шаг 9 : Используя общие уравнения, найдите значения x и y.

Значение X = det _x / det = D _x  / D

Значение Y = det _y /det = D _y  / D

Шаг 10: Теперь подставьте вычисленный определитель в приведенные выше формулы.

Значение X = 50/66 = 25/33 = 0,7576

Значение Y = -174/66 = -87/33 = -2,6364

Пример 2

Используйте метод правила Крамера для решения заданного линейного уравнения.

12х + 3у = 14

4х + 5у = ​​10

Раствор

Шаг 1:  Запишите данное линейное уравнение в виде матриц.

Шаг 2:   Прежде всего, вычислите определитель приведенной выше матрицы, чтобы узнать, существует ли правило Крамера или нет

Шаг 3:  Используйте общее уравнение, чтобы найти определитель заданных матриц.

Шаг 4:  Теперь подставьте значения в приведенное выше уравнение.

Определитель A = D = 48

Шаг 5:  Теперь замените первый столбец матрицы A столбцом ответов, чтобы сделать его матрицей X.

Шаг 6: Теперь подставьте значения в общее уравнение определителя.

Определитель матрицы x (det _x ) = D _x  = 40

Шаг 7:  Теперь замените второй столбец матрицы A столбцом ответов, чтобы сделать его матрицей Y.

Шаг 8: Теперь подставьте значения в общее уравнение определителя.

Определитель матрицы y (det _y ) = D _y  = 64

Шаг 9 : Используя общие уравнения, найдите значения x и y.

Значение X = det _x / det = D _x  / D

Значение Y = det _y /det = D _y  / D

Шаг 10: Теперь подставьте вычисленный определитель в приведенные выше формулы.