Формула модуля ускорения тела: Ускорение тела в физике, теория и онлайн калькуляторы - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

{2}}{2}$ ускорение от времени не зависит, значит, график a(t) принимает вид (рис.2).

Читать дальше: Формула давления.

Содержание

1. График зависимости скорости от времени при прямолинейном движении с постоянным ускорением

Самое простое из всех неравномерных движений — это прямолинейное движение с постоянным ускорением.

При движении с постоянным ускорением (a→=const→) скорость тела линейно зависит от времени:

v→=v→o+a→t.

В проекциях на ось $Ox$ данные равенства имеют вид:

ax=const;

vx=vox+axt.

Построим графики зависимостей axt и vxt для случаев ax>0 и ax<0.

Примем vox>0.

Поскольку в обоих случаях ax=const, то графиком зависимости axt ускорения от времени в обоих случаях будет прямая, параллельная оси времени.

Только при ax>0 данная прямая будет лежать в верхней полуплоскости (рис. $1$), а при ax<0 — в нижней (рис. $2$).

Рис. $1$

Рис. $2$

Графиком зависимости скорости движения тела от времени vxt является прямая, пересекающая ось скорости в точке v0 и образующая с положительным направлением оси времени острый угол при ax>0 (рис. $3$) и тупой угол при ax<0 (рис. $4$).

Рис. $3$

Рис. $4$

График на рисунке $3$ описывает возрастание проекции скорости vx. При этом модуль скорости тела также растёт. Данный график соответствует равноускоренному движению тела.

График на рисунке $4$ показывает, что проекция vx скорости тела вначале положительна.

Она уменьшается и в момент времени t=tп становится равной нулю.

В этот момент тело достигает точки поворота, в которой направление скорости тела меняется на противоположное, и при t>tп проекция скорости становится отрицательной.

Из последнего графика также видно, что до момента поворота модуль скорости уменьшался — тело двигалось равнозамедленно.

При t>tп модуль скорости растёт — тело движется равноускоренно.

Для любого равнопеременного прямолинейного движения площадь фигуры между графиком vx и осью времени $t$ численно равна проекции перемещения Δrx.

Рис. $5$

Согласно данному правилу, проекция перемещения Δrx при равнопеременном движении определяется площадью трапеции $ABCD$ (рис. $5$). Эта площадь равна полусумме оснований трапеции, умноженной на её высоту:

S=AB+DC2⋅AD.

В результате:

Δrx=vox+vx2⋅Δt.

Из данной формулы получим формулу для среднего значения проекции скорости:

vxср=ΔrxΔt=vox+vx2.

При движении с постоянным ускорением данное отношение выполняется не только для проекций, но и для векторов скорости:

vcp→=vo→+v→2.

Средняя скорость движения с постоянным ускорением равна полусумме начальной и конечной скоростей.

Измерение ускорения свободного падения на различных высотах при помощи математического маятника

Участник: Мингалеев Артур Эдуардович
Руководитель: Баскова Мария Аркадьевна

1. Введение

Первым человеком, изучавшим природу падения тел, был греческий ученый Аристотель. Затем Галилео Галилей обобщил и не проанализировал опыт и эксперименты нескольких поколений исследователей. Он предположил, что в среде, свободной от воздуха, все тела будут падать с одинаковой скоростью. Также Галилей предположил, что во время падения скорость тел постоянно увеличивается. Экспериментировать со свободным падением тел продолжил Исаак Ньютон. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.

Цель настоящего исследования состояла в получении значения ускорения свободного падения при помощи математического маятника в условиях разного уровня высоты на уровнем моря. Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи исследования:

Ознакомиться с историей открытия свободного падения тел;
Изучить методы измерения ускорения свободного падения на поверхности Земли;

Провести самостоятельные измерения ускорения свободного падения при помощи математического маятника;
Провести измерения на различных высотах.

Гипотеза исследования: логично предположить, что ускорение свободного падения, полученные в разных экспериментах, должны быть близки к значению 9,8 м/с² и отличаться на сотые или тысячные доли на глубине станции метро Кремлевская (–34 м) и на высоте небоскреба «Лазурные небеса» (+120 м). Также результаты измерений и вычислений могут отличаться погрешностью измерений.

Методы изучения: самостоятельная, индивидуальная работа в сочетании с теоретическими исследовательскими, проектными формами работы.

Читая много различной в том числе и технической литературы, я узнал о практическом применении различия ускорения свободного падения в разных точках на поверхности Земли. Я измерял g различными способами, рассчитывал погрешности измерений, опираясь на общепринятое значение g, учился грамотно проводить эксперимент. Выяснил, что свободное падение – движение равноускоренное. Ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Гипотезу о том, что значения ускорения свободного падения должны быть близки к значению 9,8 м/с² и отличаться только погрешностью измерений удалось подтвердить разными экспериментами. Наиболее точный результат ускорения свободного падения у меня получился с помощью математического маятника. Поэтому для исследования изменения значения ускорения свободного падения с высотой я выбрал именно этот способ измерения. Погрешность составила не более 10%.

В дальнейшем я хотел бы самостоятельно исследовать зависимость значения ускорения свободного падения от географического положения.

2. Основная часть

2.1. Исторические сведения об открытии свободного падения и методах его измерения

Еще тысячелетия назад люди замечали, что большая часть предметов падает все быстрее и быстрее, а некоторые падают равномерно. Но как именно падают эти предметы – этот вопрос первобытных людей не занимал. Тем не менее нашлись люди, которые по мере возможностей начали исследовать это явление. Сначала они проделывали опыты с двумя предметами. Например, брали два камня, и давали возможность им свободно падать, выпустив их из рук одновременно. Затем снова бросали два камня, но уже в стороны по горизонтали. Потом бросали один камень в сторону, и в тот же момент выпускали из рук второй, но так, чтобы он просто падал по вертикали. Люди извлекли из таких опытов много сведений о природе. Из опытов с падающими телами люди установили, что маленький и большой камни, выпущенные из рук одновременно, падают с одинаковой скоростью. То же самое можно сказать о кусках свинца, золота, железа, стекла, и т.д. самых разных размеров. Из подобных опытов выводиться простое общее правило: свободное падение всех тел происходит одинаково независимо от размера и материала, из которого тела сделаны. Между наблюдением за причинной связью явлений и тщательно выполненными экспериментами, вероятно, долго существовал разрыв. Две тысячи лет назад некоторые древние ученые, по-видимому, проводили вполне разумные опыты с падающими телами. Великий греческий философ и ученый Аристотель, по-видимому придерживался распространенного представления о том, что тяжелые тела падают быстрее, чем легкие. Аристотель и его последователи стремились объяснить, почему происходят те или иные явления, но не всегда заботились о том, чтобы пронаблюдать, что происходит и как происходит. Он говорил, что тела стремятся найти свое естественное место на поверхности Земли. В XIV столетии группа философов из Парижа восстала против теории Аристотеля и предложила значительно более разумную схему, которая передавалась из поколения в поколение и распространилась до Италии, оказав двумя столетиями позднее влияние на Галилея. Парижские философы говорили об ускоренном движении и даже о постоянном ускорении, объясняя эти понятия архаичным языком. Великий итальянский ученый Галилео Галилей обобщил имеющиеся сведения и представления и критически их проанализировал, а затем описал и начал распространять то, что считал верным. Галилей понимал, что последователей Аристотеля сбивало с толку сопротивление воздуха. Он указал, что плотные предметы, для которых сопротивление воздуха несущественно, падают почти с одинаковой скоростью.

Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, Галилей вывел следующие законы падения тел для идеального случая: все тела при падении движутся одинаково; начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью; движение происходит с “постоянным ускорением”; темп увеличения скорости тела не меняется, т.е. за каждую последующую секунду скорость тела возрастает на одну и ту же величину. Существует легенда, будто Галилей проделал большой демонстрационный опыт, бросая легкие и тяжелые предметы с вершины Пизанской падающей башни (одни говорят, что он бросал стальные и деревянные шары, а другие утверждают, будто это были железные шары весом 0,5 и 50 кг). Описаний такого публичного опыта нет, и Галилей, несомненно, не стал таким способом демонстрировать свое правило. Галилей знал, что деревянный шар намного отстал бы при падении от железного, но считал, что для демонстрации различной скорости падения двух неодинаковых железных шаров потребовалась бы более высокая башня. Итак, мелкие камни слегка отстают в падении от крупных, и разница становится тем более заметной, чем большее расстояние пролетают камни. И дело тут не просто в размере тел: деревянный и стальной шары одинакового размера падают не строго одинаково. Галилей знал, что простому описанию падения тел мешает сопротивление воздуха. Но он мог лишь уменьшить его и не мог устранить его полностью. Поэтому ему пришлось вести доказательство, переходя от реальных наблюдений к постоянно уменьшающимся сопротивлением воздуха к идеальному случаю, когда сопротивление воздуха отсутствует. Позже, оглядываясь назад, он смог объяснить различия в реальных экспериментах, приписав их сопротивлению воздуха.

Вскоре после Галилея были созданы воздушные насосы, которые позволили произвести эксперименты со свободным падением в вакууме. С этой целью Ньютон выкачал воздух из длинной стеклянной трубки и бросил сверху одновременно птичье перо и золотую монету. Даже столь сильно различающиеся по своей плотности тела падали с одинаковой скоростью. Именно этот опыт дал решающую проверку предположения Галилея. Опыты и рассуждения Галилея привели к простому правилу, точно справедливому в случае свободного падения тел в вакууме. Это правило в случае свободного падения тел в воздухе выполняется с ограниченной точностью. Поэтому верить в него, как в идеальный случай нельзя. Для полного изучения свободного падения тел необходимо знать, какие при падении происходят изменения температуры, давления, и др., то есть исследовать и другие стороны этого явления. Так Галилей установил признак равноускоренного движения:

S₁ : S₂ : S₃ : … = 1 : 2 : 3 : … (при V₀ = 0)

Таким образом, можно предположить, что свободное падение есть равноускоренное движение. Так как для равноускоренного движения перемещение рассчитывается по формуле, то если взять три некоторые точки 1,2,3 через которые проходит тело при падении и записать: (ускорение при свободном падении для всех тел одинаково), получится, что отношение перемещений при равноускоренном движении равно:

S₁ : S₂ : S₃ = t₁² : t₂² : t₃² (2)

Остается еще добавить небольшой комментарий относительно экспериментов со свободным падением тел Исаака Ньютона. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.

2.2. Практическая значимость нахождения значения ускорения свободного падения

Я много читаю и, как следствие склонен фантазировать. Для меня практическая значимость исследования заключается в возможности прогнозирования форм жизни на небесных телах, с которыми человечество столкнется при неизбежном освоении космоса. Ведь от значения g на другой планете зависит не только сила тяжести. Люди заранее смогут узнать, какие существа встретят их на той или иной планете, какими физическими характеристиками они будут обладать.

2.3. Методы измерения ускорения свободного падения

На самом деле методов по измерению ускорения свободного падения достаточно много. Приведу только те, которые сам испробовал.

1) Измерение ускорения свободного падения с помощью наклонной плоскости

Понадобится следующее оборудование:деревянный брусок, трибометр, штатив с муфтой и лапкой, электронный секундомер, динамометр, измерительная лента, линейка. Рассматривая движение бруска вниз по наклонной плоскости, можно записать второй закон Ньютона в векторном виде:

Записывая второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

О_х: – F_тр+ mgsinα = ma

O_y: N – mgcosα = 0

и учитывая, что N = mgcosα; F_тр = μN; можно решить данную систему уравнений и получить ускорение свободного падения:

g =	a
	sinα – μcosα

При этом ускорение a можно вычислить из формулы

так как начальная скорость бруска при скольжении по наклонной плоскости равна 0:

Видим, что для этого нужно измерить длину наклонной плоскости и время скольжения по ней бруска.

Для вычисления sinα и cosα нужно знать длину S и высоту h наклонной плоскости:

Для определения коэффициента трения скольжения положим трибометр на горизонтальную поверхность и с помощью динамометра равномерно протащим по нему брусок. В этом случае на брусок будут действовать 4 силы: сила тяжести, сила упругости пружины динамометра, сила трения, сила реакции опоры.

При равномерном движении бруска эти силы будут попарно равны: F_тр = F_упр, F_тяж = N, т. е. F_упр = μF_тяж, тогда коэффициент трения равен

Для меня в этом методе оказалось слишком много математических действий, с которыми в курсе математики я еще не знаком. Поэтому даже не буду приводить результаты проделанных измерений и вычислений.

2) Определение

g благодаря давлению жидкости

Как известно давление столба жидкости обусловлено следующими факторами: плотность жидкости, непосредственно высота столба жидкости и само значение ускорения свободного падения на данной планете.

Если преобразовать формулу P = ρgh, получится формула нахождения g. Эта формула выглядит так g = P / ρh, где Р – давление в жидкости на глубине h, которое можно узнать с помощью манометра, ρ – плотность воды равное 1000 кг/м³.

При подобных измерениях нужно учитывать погрешность измерительного прибора, манометра. Достаточно точного мне найти не удалось, поэтому для своих исследований я выбрал другой метод.

3) Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Необходимое оборудование: секундомер, штатив с муфтой и лапкой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

С другой стороны период колебаний маятника можно расчитать из определения, ведь период – это время одного полного колебания. Тогда период

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

Подготовка к проведению работы

В работе используется простейший маятник – шарик на нити. При малых размерах по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

Тогда период

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

Результаты измерений и вычислений представлены в разделе 2.5

2.4. Теоретические расчеты по определению ускорения свободного падения различных высотах

Теоретически значение ускорения свободного падения на поверхности планеты Земля можно приблизительно подсчитать, представив планету точечной массой M, и вычислив гравитационное ускорение на расстоянии её радиуса R:

где G — гравитационная постоянная (G = 6,6743 · 10^–11 (H ·м²)/кг²).

При вычислениях я применял такие значения:

R = 6370 · 10³ м – радиус Земли на широте Казани;

M = 5,9722 · 10²⁴ кг – масса Земли.

Таким образом теоретическое значение g_т = 9,823386 м/с².

Согласно формуле

естественно предположить, что ускорение свободного падения на разных высотах будет немного отличаться: на глубине будет больше, а на высоте меньше вычисленного выше.

Возможно эту небольшую разницу можно объяснить погрешностью измерений. Проверим.

Результаты вычислений значения ускорения свободного падения на различных высотах представлены в таблице:

В классе

На станции метро Кремлевская

На 36-м этаже небоскреба

R = 6370 км,

h = 0

R = 6370 км,

h = –16 м

R = 6370 км,

h = +120 м

9,8234

9,8231

9,8227

2.5. Экспериментальное определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Как уже говорилось ранее, оборудование для проведения измерений требовалось весьма не замысловатое: секундомер, штатив с муфтой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

Ход работы

Для начала я проделал все необходимые измерения в классе, в кабинете физики Лицея № 110. Кабинет находится на втором этаже. Учитывая высоту потолков (около 3 м), логично предположить, что вычисленные значения g должны быть близки к gт.

Я установил на краю стола штатив. У его верхнего конца укрепил с помощью муфты кольцо и подвесил к нему шарик на нити. Шарик должен висеть и свободно совершать колебания.
Нить я взял метровой длины для удобства вычислений.
Отклонив шарик на небольшое расстояние (5-8 см), я возбудил колебания маятника.
Измерил в пяти экспериментах время t 20 колебаний маятника и вычислил t_ср:

t_ср =	t₁ + t₂ + t₃ + t₄ + t₅
	5

Затем вычислил среднюю абсолютную погрешность измерения времени:

∆t_ср =	│t₁ – t_ср│ + │t₂ – t_ср│+ │t₃– t_ср│ + │t₄– t_ср│ + │t₅– t_ср│
	5

Вычислил ускорение свободного падения по формуле:

Таблица результатов измерений в классе

n	N	t, c	t_ср, с	Δt_ср, с	g, м/с²
1	20	40,26	39,94	0,36	9,88924
2	20	39,20
3	20	40,30
4	20	40,18
5	20	39,78

Я определил относительную погрешность измерения времени εt.

ε =	∆t	=	∆t_и + ∆t_{отсчета}	=	1 с + 1 с	=	2 c	=	2 с	= 0,05 = 5%
	t		t		t		t_средн		39,94 с

Определил относительную погрешность измерения длины маятника:

εl =	∆l	=	∆l_и + ∆l_{отсчета}	=	половина цены деления + цена деления	=
	l		l		длина маятника

=	0,0005 м + 0,001 м	=	0,0015 м	=	0,0015 м	= 0,0015 = 0,15%
	l		l		1 м

Вычислил относительную погрешность измерения g:
εg = εl+ 2εt = 0,05 + 2 · 0,0015 = 0,053 = 5,3%
Определил абсолютную погрешность вычисления ускорения свободного падения:
∆g = ε_gg_{средняя} = 0,053 · 9,73971 м/с² = 0,5162 м/с² ≈ 0,520

Итог моих измерений и вычислений:

9,37 ≤ g ≤ 10,41

Такие действия я проделал в казанском метрополитене, на станции метро Кремлевская и на 36-м этаже единственного в Казани небоскреба «Лазурные небеса».

Таблица результатов измерений на станции метро Кремлевская

n	N	t, c	t_ср, с	Δt_ср, с	g, м/с²
1	20	31,80	31,71	0,042	9,96232
2	20	31,72
3	20	31,62
4	20	31,69
5	20	31,71

При измерениях в метро пришлось использовать длину нити 63,5 см.

Относительная погрешность измерения времени ε_t = 0,063 = 6,3%.

Относительная погрешность измерения длины маятника: ε_l = 0,24%

Относительная погрешность измерения g: ε_g = 6,78%

Абсолютную погрешность вычисления ускорения свободного падения составила: 0,63 м/с².

Итог моих измерений и вычислений:

9,33 ≤ g ≤ 10,59

Таблица результатов измерений на 36-м этаже небоскреба «Лазурные небеса»

n	N	t, c	t_ср, с	Δt_ср, с	g, м/с²
1	20	28,59	28,57	0,10	9,85664
2	20	28,56
3	20	28,81
4	20	28,52
5	20	28,39

Здесь при измерениях пришлось длину нити еще сократить до 51 см.

Относительная погрешность измерения времени εt = 7%.

Относительная погрешность измерения длины маятника: ε_l = 0,29%

Относительная погрешность измерения g: ε_g = 7,58%

Абсолютную погрешность вычисления ускорения свободного падения составила: 0,75 м/с².

Итог моих измерений и вычислений:

9,11 ≤ g ≤ 10,61

Таблица сравнения теоретически полученных значений g (м/с²) и полученных экспериментально

	В классе	На станции метро Кремлевская	На 36-м этаже небоскреба
	R = 6370 км, h = 0	R = 6370 км, h = –16 м	R = 6370 км, h = +120 м
Теория	9,8234	9,8231	9,8227
Эксперимент	9,8892	9,9623	9,8566

3. Заключение

При подготовке к защите данной работы и в результате теоретического исследования, чтения разных книг и статей я узнал многое об ускорении свободного падения. Как уже упоминал, для меня практическая значимость исследования заключается в возможности прогнозирования форм жизни на небесных телах, с которыми человечество столкнется при неизбежном освоении космоса. Ведь люди заранее смогут узнать, какие существа встретят их на той или иной планете, какими физическими характеристиками они будут обладать.

Также я узнал, что расчеты различия ускорения свободного падения в разных точках на поверхности Земли могут указывать на гравитационные аномалии.

Самое главное, я научился измерять g, различными способами, рассчитывать погрешности измерений, грамотно проводить эксперимент.

Считаю цель исследования достигнута. Средние значение ускорения свободного падения на различных высотах отличаются в зависимости от высоты над уровнем моря: при увеличении высоты значение g уменьшается, при углублении в недра Земли – увеличивается. Экспериментально полученные значения хорошо это показывают.

Погрешность измерений достаточно велика, но не превышает 10%. Уменьшить погрешность возможно путем проведения большего числа измерений: ни 5, а 20; большего числа колебаний: не 20, а 100. Также при расчетах можно учесть, что Казань находится примерно на уровне 250-300 м над уровнем моря.

В дальнейшем хотелось бы усовершенствовать экспериментальные установки, чтобы измерять ускорение свободного падения с большей точностью.

Планирую самостоятельно исследовать значения ускорения свободного падения в различных уголках земного шара.

Ускорение при равноускоренном прямолинейном движении 🐲 СПАДИЛО.РУ

Равноускоренное прямолинейное движение — движение по прямой линии с постоянным ускорением (a=const).
Ускорение — векторная физическая величина, показывающая изменение скорости тела за 1 с. Обозначается как a.
Единица измерения ускорения — метр в секунду в квадрате (м/с²).
Акселерометр — прибор для измерения ускорения.

Формула ускорения

Ускорение тела равно отношению изменения вектора скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:

v — скорость тела в данный момент времени, v₀ — скорость тела в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Пример №1. Состав тронулся с места и через 20 секунд достиг скорости 36 км/ч. Найти ускорение его разгона.

Сначала согласуем единицы измерения. Для этого переведем скорость в м/с: умножим километры на 1000 и поделим на 3600 (столько секунд содержится в 1 часе). Получим 10 м/с.

Начальная скорость состава равно 0 м/с, так как изначально он стоял на месте. Имея все данные, можем подставить их в формулу и найти ускорение:

Проекция ускорения

Проекция ускорения на ось ОХ

v_x — проекция скорости тела в данный момент времени, v_0x — проекция скорости в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Знак проекции ускорения зависит от того, в какую сторону направлен вектор ускорения относительно оси ОХ:

Если вектор ускорения направлен в сторону оси ОХ, то его проекция положительна.
Если вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению оси ОХ, его проекция отрицательная.

При решении задач на тему равноускоренного прямолинейного движения проекции величин можно записывать без нижнего индекса, так как при движении по прямой тело изменяет положение относительно только одной оси (ОХ). Их обязательно нужно записывать, когда движение описывается относительно двух и более осей.

Направление вектора ускорения

Направление вектора ускорения не всегда совпадает с направлением вектора скорости!

Равноускоренным движением называют такое движение, при котором скорость за одинаковые промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела совпадают (а↑↑v).

Равнозамедленное движение — частный случай равноускоренного движения, при котором скорость за одинаковые промежутки времени уменьшается на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела противоположны друг другу (а↑↓v).

Пример №2. Автомобиль сначала разогнался, а затем затормозил. Во время разгона направления векторов его скорости и ускорения совпадают, так как скорость увеличивается. Но при торможении скорость уменьшается, потому что вектор ускорения изменил свое направление в противоположную сторону.

График ускорения

График ускорения — график зависимости проекции ускорения от времени. Проекция ускорения при равноускоренном прямолинейном движении не изменяется (a_x=const). Графиком ускорения при равноускоренном прямолинейном движении является прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость положения графика проекции ускорения относительно оси ОХ от направления вектора ускорения:

Если график лежит выше оси времени, движение равноускоренное (направление вектора ускорения совпадает с направлением оси ОХ). На рисунке выше тело 1 движется равноускорено.
Если график лежит ниже оси времени, движение равнозамедленное (вектор ускорения направлен противоположно оси ОХ). На рисунке выше тело 2 движется равнозамедлено.

Если график ускорения лежит на оси времени, движение равномерное, так как ускорение равно 0. Скорость в этом случае — величина постоянная.

Чтобы сравнить модули ускорений по графикам, нужно сравнить степень их удаленности от оси времени независимо от того, лежат они выше или ниже нее. Чем дальше от оси находится график, тем больше его модуль. На рисунке график 2 находится дальше от оси времени по сравнению с графиком один. Поэтому модуль ускорения тела 2 больше модуля ускорения тела 1.

Пример №3. По графику проекции ускорения найти участок, на котором тело двигалось равноускорено. Определить ускорение в момент времени t₁= 1 и t₂= 3 с.

В промежуток времени от 0 до 1 секунды график ускорения рос, с 1 до 2 секунд — не менялся, а с 2 до 4 секунд — опускался. Так как при равноускоренном движении ускорение должно оставаться постоянным, ему соответствует второй участок (с 1 по 2 секунду).

Чтобы найти ускорение в момент времени t, нужно мысленно провести перпендикулярную прямую через точку, соответствующую времени t. От точки пересечения с графиком нужно мысленно провести перпендикуляр к оси проекции ускорения. Значение точки, в которой пересечется перпендикуляр с этой осью, покажет ускорение в момент времени t.

В момент времени t₁= 1с ускорение a = 2 м/с². В момент времени t₂= 3 ускорение a = 0 м/с².

Задание EF18774

На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
Определить величины, которые характеризуют такое движение.
Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.

Решение

График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:

перемещение и путь;
скорость;
ускорение.

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.

График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.

Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.

График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».

График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».

Ответ: 24

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF17992 Начальная скорость автомобиля, движущегося прямолинейно и равноускоренно, равна 5 м/с. После прохождения расстояния 40 м его скорость оказалась равной 15 м/c. Чему равно ускорение автомобиля?

Алгоритм решения

Записать исходные данные.
Записать формулу, связывающую известные из условия задачи величины.
Выразить из формулы искомую величину.
Вычислить искомую величину, подставив в формулу исходные данные.

Решение

Запишем исходные данные:

Начальная скорость v₀ = 5 м/с.
Конечная скорость v = 15 м/с.
Пройденный путь s = 40 м.

Формула, которая связывает ускорение тела с пройденным путем:

Так как скорость растет, ускорение положительное, поэтому перед ним в формуле поставим знак «+».

Выразим из формулы ускорение:

Подставим известные данные и вычислим ускорение автомобиля:

Ответ: 2,5

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF18202

Внимательно прочитайте текст задания и выберите верный ответ из списка. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела v_x от времени.

Какой из указанных ниже графиков совпадает с графиком зависимости от времени проекции ускорения этого тела a_x в интервале времени от 6 с до 10 с?

Алгоритм решения

Охарактеризовать движение тела на участке графика, обозначенном в условии задачи.
Вычислить ускорение движение тела на этом участке.
Выбрать график, который соответствует графику зависимости от времени проекции ускорения тела.

Решение

Согласно графику проекции скорости в интервале времени от 6 с до 10 с тело двигалось равнозамедленно. Это значит, что проекция ускорения на ось ОХ отрицательная. Поэтому ее график должен лежать ниже оси времени, и варианты «а» и «в» заведомо неверны.

Чтобы выбрать между вариантами «б» и «г», нужно вычислить ускорение тела. Для этого возьмем координаты начальной и конечной точек рассматриваемого участка:

t₁ = 6 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 0 м/с.
t₂ = 10 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = –10 м/с.

Используем для вычислений следующую формулу:

Подставим в нее известные данные и сделаем вычисления:

Этому значению соответствует график «г».

Ответ: г

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF18027 На графике приведена зависимость проекции скорости тела от времени при прямолинейном движении по оси х. Определите модуль ускорения тела.

Алгоритм решения

Записать формулу ускорения.
Записать формулу для вычисления модуля ускорения.
Выбрать любые 2 точки графика.
Определить для этих точек значения времени и проекции скорости (получить исходные данные).
Подставить данные формулу и вычислить ускорение.

Решение

Записываем формулу ускорения:

По условию задачи нужно найти модуль ускорения, поэтому формула примет следующий вид:

Выбираем любые 2 точки графика. Пусть это будут:

t₁ = 1 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 15 м/с.
t₂ = 2 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = 5 м/с.

Подставляем данные формулу и вычисляем модуль ускорения:

Ответ: 10

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Ускорение тела – Физика тела: движение к метаболизму

Первый закон Ньютона говорит нам, что нам нужна чистая сила, чтобы создать ускорение. Как и следовало ожидать, большая чистая сила вызовет большее ускорение, а та же чистая сила даст меньшую массу – большее ускорение. Второй закон Ньютона суммирует все это в одно уравнение, связывающее чистую силу, массу и ускорение:

(1)

В поисках ускорения от Net Force

Если мы знаем чистую силу и хотим найти ускорение, мы можем решить Второй закон Ньютона для ускорения:

(2)

Теперь мы видим, что большие результирующие силы создают большие ускорения, а большие массы уменьшают величину ускорения.Фактически, масса объекта является прямой мерой сопротивления объекта изменению его движения или его инерции.

В поисках чистой силы от ускорения

Повседневный пример: открытие парашюта

В предыдущей главе мы обнаружили, что если раскрытие парашюта замедляет парашютиста с 54 м / с до 2,7 м / с всего за 2,0 с времени, то среднее ускорение вверх составляет 26 м / с. / с . Если масса парашютиста в нашем примере составляет 85 кг , какова средняя чистая сила , действующая на человека?

Начнем со второго закона движения Ньютона

Введите наши значения:

Человек испытывает среднюю чистую силу 2200 Н , направленную вверх во время открытия желоба.Когда желоб начинает открываться, положение тела сначала меняется на ноги, что значительно снижает сопротивление воздуха, поэтому сопротивление воздуха больше не уравновешивает вес тела. Следовательно, привязь должна выдерживать вес тела и обеспечивать дополнительную неуравновешенную силу 2200 Н , направленную вверх на человека. Масса тела парашютиста составляет F _г = 85 кг x 9,8 м / с = 833 Н , поэтому сила, действующая на него от подвески, должна составлять 2833 Н. Эта сила на самом деле больше, чем в три раза больше веса их тела, но распределяется по широким лямкам, образующим ножные и поясные петли обвязки, что помогает предотвратить травмы.

Посмотрите это моделирование, чтобы увидеть, как силы объединяются для создания общих сил и ускорений:

При отсутствии сопротивления воздуха тяжелые предметы падают не быстрее, чем более легкие, и все предметы падают с одинаковым ускорением. Нужны экспериментальные доказательства? Посмотрите это видео:

Интересная особенность нашей Вселенной заключается в том, что одно и то же свойство объекта, в частности его масса, определяет как силу тяжести, действующую на него, так и его сопротивление ускорениям или инерции.Другими словами, инертная масса и гравитационная масса эквивалентны. Вот почему ускорение свободного падения для всех объектов имеет величину 9,8 м / с / с , как мы покажем в следующем примере.

Повседневный пример: свободное падение

Давайте вычислим начальное ускорение нашего парашютиста в момент прыжка. В этот момент у них есть сила тяжести, тянущая их вниз, но они еще не набрали никакой скорости, поэтому сопротивление воздуха (сила сопротивления) равно нулю.Таким образом, результирующая сила – это просто сила тяжести, потому что это единственная сила, поэтому в этот момент они находятся в свободном падении. Начиная со Второго закона Ньютона:

(3)

Гравитация – это чистая сила в этом случае, потому что это единственная сила, поэтому мы просто используем формулу для расчета силы тяжести у поверхности Земли, добавляем отрицательный знак, потому что наше отрицательное направление вниз (), и вводим это для чистая сила::

(4)

Мы видим, что масса сокращается,

(5)

Мы видим, что наше ускорение отрицательное, что имеет смысл, поскольку ускорение направлено вниз.Мы также видим, что величина или величина ускорения составляет g = 9,8 м / с ². Мы только что показали, что при отсутствии сопротивления воздуха все объекты, падающие у поверхности Земли, будут испытывать ускорение, равное по размеру 9,8 м / с ² , независимо от их массы и веса . Будет ли ускорение свободного падения -9,8 м / с / с или +9,8 м / с / с , зависит от того, выбрано ли направление вниз: отрицательное или положительное.

Эластичность: напряжение и деформация | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Закон штата Гука.
Объясните закон Гука, используя графическое представление между деформацией и приложенной силой.
Обсудите три типа деформаций, такие как изменение длины, сдвиг в сторону и изменение объема.
Опишите на примерах модуль Юнга, модуль сдвига и модуль объемной упругости.
Определите изменение длины с учетом массы, длины и радиуса.

Теперь мы переходим от рассмотрения сил, влияющих на движение объекта (таких как трение и сопротивление), к тем, которые влияют на форму объекта. Если бульдозер втолкнет машину в стену, машина не сдвинется с места, но заметно изменит форму. Изменение формы из-за приложения силы – это деформация . Известно, что даже очень небольшие силы вызывают некоторую деформацию. При малых деформациях наблюдаются две важные характеристики.Во-первых, объект возвращается к своей исходной форме, когда сила снимается, то есть деформация является упругой для небольших деформаций. Во-вторых, размер деформации пропорционален силе, то есть при малых деформациях соблюдается закон Гука. В форме уравнения Закон Гука определяется как

F = k Δ L ,

, где Δ L – величина деформации (например, изменение длины), вызванная силой F , а k – константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта и направления сила.Обратите внимание, что эта сила является функцией деформации Δ L – она не постоянна, как кинетическая сила трения. Переставляем это на

[латекс] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {F} {k} [/ latex]

дает понять, что деформация пропорциональна приложенной силе. На рисунке 1 показано соотношение по закону Гука между удлинением Δ L пружины или человеческой кости. Для металлов или пружин область прямой линии, к которой относится закон Гука, намного больше.Кости хрупкие, эластичная область небольшая, а перелом резкий. В конце концов, достаточно большое напряжение материала приведет к его разрушению или разрушению.

Закон Гука

F = kΔL ,

[латекс] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {F} {k} [/ latex]

Рис. 1. График зависимости деформации ΔL от приложенной силы F. Прямой сегмент – это линейная область, где соблюдается закон Гука. Наклон прямой области [латекс] \ frac {1} {k} [/ latex]. Для больших сил график изогнут, но деформация остается упругой – ΔL вернется к нулю, если сила будет устранена. Еще большие силы деформируют объект до тех пор, пока он не сломается.Форма кривой возле трещины зависит от нескольких факторов, в том числе от того, как прикладывается сила F . Обратите внимание, что на этом графике наклон увеличивается непосредственно перед трещиной, указывая на то, что небольшое увеличение F дает большое увеличение L рядом с трещиной.

Константа пропорциональности k зависит от ряда факторов материала. Например, гитарная струна из нейлона растягивается при затягивании, и удлинение Δ L пропорционально приложенной силе (по крайней мере, для небольших деформаций).Более толстые нейлоновые струны и струны из стали меньше растягиваются при одной и той же приложенной силе, что означает, что они имеют большее значение k (см. Рисунок 2). Наконец, все три струны возвращаются к своей нормальной длине, когда сила снимается, при условии, что деформация мала. Большинство материалов будут вести себя таким образом, если деформация будет меньше примерно 0,1% или примерно 1 часть на 10 ³.

Рис. 2. Одна и та же сила, в данном случае груз (w), приложенная к трем различным гитарным струнам одинаковой длины, вызывает три различных деформации, показанные заштрихованными сегментами.Левая нить из тонкого нейлона, посередине – из более толстого нейлона, а правая – из стали.

Растянись немного

Как бы вы измерили константу пропорциональности k резиновой ленты? Если резинка растянулась на 3 см, когда к ней была прикреплена 100-граммовая масса, то насколько она растянулась бы, если бы две одинаковые резинки были прикреплены к одной и той же массе – даже если соединить их параллельно или, наоборот, если связать вместе последовательно?

Теперь мы рассмотрим три конкретных типа деформаций: изменение длины (растяжение и сжатие), сдвиг в сторону (напряжение) и изменения объема.Все деформации считаются небольшими, если не указано иное.

Изменения длины – растяжение и сжатие: модуль упругости

Изменение длины Δ L происходит, когда к проволоке или стержню прилагается сила, параллельная ее длине L ₀, либо растягивая (натяжение), либо сжимая. (См. Рисунок 3.)

Рис. 3. (a) Напряжение. Стержень растягивается на длину ΔL , когда сила прилагается параллельно его длине. (б) Сжатие.Тот же стержень сжимается силами той же величины в противоположном направлении. Для очень малых деформаций и однородных материалов ΔL примерно одинаково для одинаковой величины растяжения или сжатия. При больших деформациях площадь поперечного сечения изменяется при сжатии или растяжении стержня.

Эксперименты показали, что изменение длины (Δ L ) зависит только от нескольких переменных. Как уже отмечалось, Δ L пропорциональна силе F и зависит от вещества, из которого сделан объект.Кроме того, изменение длины пропорционально исходной длине L ₀ и обратно пропорционально площади поперечного сечения проволоки или стержня. Например, длинная гитарная струна растягивается больше, чем короткая, а толстая струна растягивается меньше, чем тонкая. Мы можем объединить все эти факторы в одно уравнение для Δ L :

[латекс] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {1} {Y} \ text {} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex],

, где Δ L – изменение длины, F – приложенная сила, Y – коэффициент, называемый модулем упругости или модулем Юнга, который зависит от вещества, A – площадь поперечного сечения, и L ₀ – исходная длина.В таблице 1 перечислены значения Y для нескольких материалов – те, которые имеют большой Y , как говорят, имеют большую прочность на разрыв , потому что они меньше деформируются при заданном растяжении или сжатии.

Таблица 1. Модули упругости
Материал	Модуль Юнга (растяжение – сжатие) Y (10 ⁹ Н / м ²)	Модуль сдвига S (10 ⁹ Н / м ²)	Модуль объемной упругости B (10 ⁹ Н / м ²)
Алюминий	70	25	75
Кость – напряжение	16	80	8
Кость – компрессионная	9
Латунь	90	35	75
Кирпич	15
Бетон	20
Стекло	70	20	30
Гранит	45	20	45
Волосы (человеческие)	10
Твердая древесина	15	10
Чугун литой	100	40	90
Свинец	16	5	50
Мрамор	60	20	70
Нейлон	5
Полистирол	3
шелк	6
Паутинка	3
Сталь	210	80	130
Сухожилие	1
Ацетон			0.7
Этанол			0,9
Глицерин			4,5
Меркурий			25
Вода			2,2

Модули Юнга не указаны для жидкостей и газов в таблице 1, потому что они не могут быть растянуты или сжаты только в одном направлении. Обратите внимание, что существует предположение, что объект не ускоряется, поэтому на самом деле существуют две приложенные силы величиной F , действующие в противоположных направлениях.Например, струны на рисунке 3 тянут вниз силой величиной w и удерживаются потолком, который также оказывает силу величиной w .

Пример 1. Растяжение длинного кабеля

Подвесные тросы используются для перевозки гондол на горнолыжных курортах. (См. Рис. 4). Рассмотрим подвесной трос, длина которого без опоры составляет 3 км. Рассчитайте степень растяжения стального троса. Предположим, что кабель имеет диаметр 5,6 см и максимальное натяжение, которое он может выдержать, равно 3.0 × 10 ⁶ Н.

Рис. 4. Гондолы перемещаются по подвесным тросам на горнолыжном курорте Гала Юдзава в Японии. (Источник: Руди Херман, Flickr)

Стратегия

Сила равна максимальному натяжению, или F = 3,0 × 10 ⁶ Н. Площадь поперечного сечения π r ² = 2,46 × 10 ^–3 м ². Уравнение [latex] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {1} {Y} \ text {} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] можно использовать для определения изменения длины.{2}} \ right) \ left (\ text {3020 m} \ right) \\ & = & \ text {18 m}. \ End {array} [/ latex]

Обсуждение

Это довольно большая длина, но только около 0,6% от длины без опоры. В этих условиях влияние температуры на длину может быть важным.

Кости в целом не ломаются от растяжения или сжатия. Скорее они обычно ломаются из-за бокового удара или изгиба, что приводит к срезанию или разрыву кости. Поведение костей при растяжении и сжатии важно, потому что оно определяет нагрузку, которую кости могут нести.Кости классифицируются как несущие конструкции, такие как колонны в зданиях и деревья. Несущие конструкции обладают особенностями; колонны в здании имеют стальные арматурные стержни, а деревья и кости – волокнистые. Кости в разных частях тела выполняют разные структурные функции и подвержены разным нагрузкам. Таким образом, кость в верхней части бедренной кости расположена в виде тонких пластин, разделенных костным мозгом, в то время как в других местах кости могут быть цилиндрическими и заполненными костным мозгом или просто твердыми.Люди с избыточным весом имеют тенденцию к повреждению костей из-за длительного сжатия костных суставов и сухожилий.

Другой биологический пример закона Гука встречается в сухожилиях. Функционально сухожилие (ткань, соединяющая мышцу с костью) должно сначала легко растягиваться при приложении силы, но обеспечивать гораздо большую восстанавливающую силу для большего напряжения. На рисунке 5 показана зависимость напряжения от деформации человеческого сухожилия. Некоторые сухожилия имеют высокое содержание коллагена, поэтому деформация или изменение длины относительно невелико; другие, например, опорные сухожилия (например, в ноге), могут изменять длину до 10%.Обратите внимание, что эта кривая напряжения-деформации является нелинейной, поскольку наклон линии изменяется в разных областях. В первой части растяжения, называемой областью пальца, волокна в сухожилии начинают выравниваться в направлении напряжения – это называется распаковка . В линейной области фибриллы будут растянуты, а в области разрушения отдельные волокна начнут разрываться. Простую модель этой взаимосвязи можно проиллюстрировать параллельными пружинами: разные пружины активируются при разной длине растяжения.Примеры этого приведены в задачах в конце этой главы. Связки (ткань, соединяющая кость с костью) ведут себя аналогичным образом.

Рис. 5. Типичная кривая “напряжение-деформация” для сухожилия млекопитающих. Показаны три области: (1) область пальца ноги (2) линейная область и (3) область разрушения.

В отличие от костей и сухожилий, которые должны быть прочными и эластичными, артерии и легкие должны быть легко растяжимыми. Эластичные свойства артерий важны для кровотока. Когда кровь выкачивается из сердца, давление в артериях увеличивается, и стенки артерий растягиваются.Когда аортальный клапан закрывается, давление в артериях падает, и артериальные стенки расслабляются, чтобы поддерживать кровоток. Когда вы чувствуете свой пульс, вы чувствуете именно это – эластичное поведение артерий, когда кровь хлынет через каждый насос сердца. Если бы артерии были жесткими, вы бы не чувствовали пульса. Сердце также является органом с особыми эластичными свойствами. Легкие расширяются за счет мышечного усилия, когда мы вдыхаем, но расслабляемся свободно и эластично, когда мы выдыхаем. Наша кожа особенно эластична, особенно для молодых.Молодой человек может подняться от 100 кг до 60 кг без видимого провисания кожи. С возрастом снижается эластичность всех органов. Постепенное физиологическое старение за счет снижения эластичности начинается в начале 20-х годов.

Пример 2. Расчет деформации: насколько укорачивается нога, когда вы стоите на ней?

Рассчитайте изменение длины кости верхней части ноги (бедренной кости), когда мужчина весом 70,0 кг поддерживает на ней 62,0 кг своей массы, предполагая, что эта кость эквивалентна стержню, равному 40.0 см в длину и 2,00 см в радиусе.

Стратегия

Сила равна поддерживаемому весу, или F = мг = (62,0 кг) (9,80 м / с ²) = 607,6 Н, а площадь поперечного сечения равна π r ² = 1,257 × 10 ^–3 м ². Уравнение [latex] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {1} {Y} \ text {} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] можно использовать для определения изменения длины.

Решение

Все величины, кроме Δ L , известны.{-5} \ text {m.} \ End {array} [/ latex]

Обсуждение

Это небольшое изменение длины кажется разумным, поскольку, по нашему опыту, кости жесткие. Фактически, даже довольно большие силы, возникающие при напряженных физических нагрузках, не сжимают и не сгибают кости в больших количествах. Хотя кость более жесткая по сравнению с жиром или мышцами, некоторые из веществ, перечисленных в таблице 1, имеют более высокие значения модуля Юнга Y . Другими словами, они более жесткие и обладают большей прочностью на разрыв.

Уравнение изменения длины по традиции перестраивается и записывается в следующем виде:

[латекс] \ displaystyle \ frac {F} {A} = Y \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex].

Отношение силы к площади, [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс], определяется как напряжение (измеряется в Н / м ²), а отношение изменения длины к длина, [латекс] \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами, напряжение = Y × деформация.

В этой форме уравнение аналогично закону Гука с напряжением, аналогичным силе, и деформацией, аналогичной деформации. Если снова переписать это уравнение к виду

[латекс] \ displaystyle {F} = YA \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex],

мы видим, что он совпадает с законом Гука с константой пропорциональности

[латекс] \ displaystyle {k} = \ frac {YA} {L_0} [/ latex].

Эта общая идея о том, что сила и вызываемая ею деформация пропорциональны небольшим деформациям, применима к изменениям длины, боковому изгибу и изменениям объема.

Напряжение

Отношение силы к площади, [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс], определяется как напряжение, измеренное в Н / м. ².

Штамм

Отношение изменения длины к длине, [латекс] \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами, напряжение = Y × деформация.

Боковое напряжение: Модуль сдвига

На рисунке 6 показано, что подразумевается под боковым напряжением или срезающей силой .Здесь деформация называется Δ x , и она перпендикулярна L ₀, а не параллельна, как при растяжении и сжатии. Деформация сдвига аналогична растяжению и сжатию и может быть описана аналогичными уравнениями. Выражение для деформации сдвига : [латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex], где S – модуль сдвига ( см. Таблицу 1) и F – сила, приложенная перпендикулярно к L ₀ и параллельно площади поперечного сечения A .Опять же, чтобы объект не ускорялся, на самом деле есть две равные и противоположные силы F , приложенные к противоположным граням, как показано на рисунке 6. Уравнение логично – например, легче согнуть длинный тонкий карандаш (маленький A ), чем короткий толстый, и оба гнутся легче, чем аналогичные стальные стержни (большие S ).

Рис. 6. Сила сдвига прилагается перпендикулярно длине L ₀ и параллельно области A , создавая деформацию Δx.Вертикальные силы не показаны, но следует иметь в виду, что в дополнение к двум силам сдвига, F , должны существовать поддерживающие силы, препятствующие вращению объекта. Искажающие эффекты этих поддерживающих сил игнорируются при этом лечении. Вес объекта также не показан, поскольку он обычно незначителен по сравнению с силами, достаточно большими, чтобы вызвать значительные деформации.

Деформация сдвига

[латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex],

, где S – модуль сдвига, а F – сила, приложенная перпендикулярно к L ₀ и параллельно площади поперечного сечения A .

Изучение модулей сдвига в таблице 1 выявляет некоторые характерные закономерности. Например, для большинства материалов модули сдвига меньше модулей Юнга. Кость – замечательное исключение. Его модуль сдвига не только больше, чем модуль Юнга, но и такой же, как у стали. Это одна из причин того, что кости могут быть длинными и относительно тонкими. Кости могут выдерживать нагрузки, сопоставимые с бетонными и стальными. Большинство переломов костей возникает не из-за сжатия, а из-за чрезмерного скручивания и изгиба.

Позвоночный столб (состоящий из 26 позвоночных сегментов, разделенных дисками) обеспечивает основную опору для головы и верхней части тела. Позвоночник имеет нормальную кривизну для стабильности, но это искривление может быть увеличено, что приведет к увеличению силы сдвига на нижних позвонках. Диски лучше выдерживают силы сжатия, чем силы сдвига. Поскольку позвоночник не вертикальный, вес верхней части тела влияет на обе части. Беременным женщинам и людям с избыточным весом (с большим животом) необходимо отвести плечи назад, чтобы поддерживать равновесие, тем самым увеличивая искривление позвоночника и тем самым увеличивая сдвигающий компонент напряжения.Увеличенный угол из-за большей кривизны увеличивает поперечные силы вдоль плоскости. Эти более высокие усилия сдвига увеличивают риск травмы спины из-за разрыва дисков. Пояснично-крестцовый диск (клиновидный диск под последними позвонками) особенно подвержен риску из-за своего расположения.

Модули сдвига для бетона и кирпича очень малы; они слишком изменчивы, чтобы их можно было перечислить. Бетон, используемый в зданиях, может выдерживать сжатие, как в колоннах и арках, но очень плохо противостоит сдвигу, который может возникнуть в сильно нагруженных полах или во время землетрясений.Современные конструкции стали возможны благодаря использованию стали и железобетона. Почти по определению жидкости и газы имеют модуль сдвига, близкий к нулю, потому что они текут в ответ на сдвигающие силы.

Пример 3. Расчет силы, необходимой для деформации: гвоздь не сильно изгибается под нагрузкой

Найдите массу картины, висящей на стальном гвозде, как показано на рисунке 7, учитывая, что гвоздь изгибается только на 1,80 мкм. (Предположим, что модуль сдвига известен с двумя значащими цифрами.)

Рис. 7. Гвоздь, вид сбоку, на котором висит изображение. Гвоздь очень слабо прогибается (показан намного больше, чем на самом деле) из-за срезающего воздействия поддерживаемого веса. Также показано направленное вверх усилие стенки на гвоздь, иллюстрирующее равные и противоположные силы, приложенные к противоположным поперечным сечениям гвоздя. См. Пример 3 для расчета массы изображения.

Стратегия

Сила F на гвоздь (без учета собственного веса гвоздя) – это вес изображения w .Если мы сможем найти w , то масса изображения будет просто [латекс] \ frac {w} {g} [/ latex]. Уравнение [латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] может быть решено для F .

Решение

Решая уравнение [латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] для F , мы видим, что все остальные величины могут быть найдены :

[латекс] \ displaystyle {F} = \ frac {SA} {L_0} \ Delta {x} [/ latex]

S находится в таблице 1 и составляет S = 80 × 10 ⁹ Н / м ².{-6} \ text {m} \ right) = 51 \ text {N} [/ latex]

Эта сила 51 Н составляет вес w изображения, поэтому масса изображения [латекс] m = \ frac {w} {g} = \ frac {F} {g} = 5.2 \ text {kg} [ /латекс].

Обсуждение

Это довольно массивное изображение, и впечатляет то, что гвоздь прогибается всего на 1,80 мкм – величину, невидимую невооруженным глазом.

Изменения объема: модуль объемной упругости

Объект будет сжиматься во всех направлениях, если внутренние силы приложены равномерно ко всем его поверхностям, как показано на рисунке 8.Относительно легко сжимать газы и чрезвычайно сложно сжимать жидкости и твердые тела. Например, воздух в винной бутылке сжимается, когда она закупорена. Но если вы попытаетесь закупорить бутылку с полными краями, вы не сможете сжать вино – некоторые из них необходимо удалить, чтобы вставить пробку. Причина такой разной сжимаемости заключается в том, что атомы и молекулы разделены большими пустыми пространствами в газах, но плотно упакованы в жидкостях и твердых телах. Чтобы сжать газ, вы должны сблизить его атомы и молекулы.Чтобы сжать жидкости и твердые тела, вы должны действительно сжать их атомы и молекулы, и очень сильные электромагнитные силы в них препятствуют этому сжатию.

Рис. 8. Внутренняя сила на всех поверхностях сжимает этот куб. Его изменение в объеме пропорционально силе на единицу площади и его первоначальному объему и связано со сжимаемостью вещества.

Мы можем описать сжатие или объемную деформацию объекта уравнением. Во-первых, отметим, что сила, «приложенная равномерно», определяется как имеющая одинаковое напряжение или отношение силы к площади [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс] на всех поверхностях.Произведенная деформация представляет собой изменение объема Δ V , которое, как было обнаружено, ведет себя очень аналогично сдвигу, растяжению и сжатию, обсуждавшимся ранее. (Это неудивительно, поскольку сжатие всего объекта эквивалентно сжатию каждого из его трех измерений.) Связь изменения объема с другими физическими величинами определяется выражением [latex] \ displaystyle \ Delta {V} = \ frac {1} {B} \ frac {F} {A} V_0 [/ latex], где B – объемный модуль упругости (см. Таблицу 1), V ₀ – исходный объем, а [латекс] \ frac {F} {A} [/ latex] – это сила на единицу площади, равномерно приложенная внутрь ко всем поверхностям.Обратите внимание, что объемные модули для газов не приводятся.

Какие есть примеры объемного сжатия твердых тел и жидкостей? Одним из практических примеров является производство алмазов промышленного качества путем сжатия углерода с чрезвычайно большой силой на единицу площади. Атомы углерода перестраивают свою кристаллическую структуру в более плотно упакованный узор алмазов. В природе аналогичный процесс происходит глубоко под землей, где чрезвычайно большие силы возникают из-за веса вышележащего материала. Еще один естественный источник больших сжимающих сил – давление, создаваемое весом воды, особенно в глубоких частях океанов.Вода воздействует на все поверхности погружаемого объекта и даже на саму воду. На больших глубинах вода ощутимо сжата, как показано в следующем примере.

Пример 4. Расчет изменения объема с деформацией: насколько вода сжимается на глубинах огромного океана?

Рассчитайте частичное уменьшение объема [латекс] \ left (\ frac {\ Delta {V}} {V_0} \ right) [/ latex] для морской воды на глубине 5,00 км, где сила на единицу площади составляет 5,00 × 10 ⁷ Н / м ².

Стратегия

Уравнение [латекс] \ displaystyle \ Delta {V} = \ frac {1} {B} \ frac {F} {A} V_0 [/ latex] является правильным физическим соотношением. Все величины в уравнении, кроме [latex] \ frac {\ Delta {V}} {V_0} [/ latex], известны.

Решение

Решение неизвестного [латекса] \ frac {\ Delta {V}} {V_0} [/ latex] дает [latex] \ displaystyle \ frac {\ Delta {V}} {V_0} = \ frac {1} {B } \ frac {F} {A} [/ латекс].

Замена известных значений значением модуля объемной упругости B из таблицы 1,

[латекс] \ begin {array} {lll} \ frac {\ Delta {V}} {V_0} & = & \ frac {5.2} \\ & = & 0.023 = 2.3 \% \ end {array} [/ latex]

Обсуждение

Хотя это можно измерить, это не является значительным уменьшением объема, учитывая, что сила на единицу площади составляет около 500 атмосфер (1 миллион фунтов на квадратный фут). Жидкости и твердые вещества чрезвычайно трудно сжимать.

И наоборот, очень большие силы создаются жидкостями и твердыми телами, когда они пытаются расшириться, но им это мешает, что эквивалентно их сжатию до меньшего, чем их нормальный объем.Это часто происходит, когда содержащийся в нем материал нагревается, поскольку большинство материалов расширяются при повышении их температуры. Если материалы сильно ограничены, они деформируют или ломают контейнер. Другой очень распространенный пример – замерзание воды. Вода, в отличие от большинства материалов, расширяется при замерзании, и она может легко сломать валун, разорвать биологическую клетку или сломать блок двигателя, который встанет у нее на пути.

Другие типы деформаций, такие как кручение или скручивание, ведут себя аналогично рассмотренным здесь деформациям растяжения, сдвига и объемной деформации.

Сводка раздела

Закон Гука определяется выражением [латекс] F = k \ Delta {L} [/ latex], где [латекс] \ Delta {L} [/ latex] – величина деформации (изменение длины), F – приложенная сила, а k – константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта, а также направления силы. Связь между деформацией и приложенной силой также может быть записана как [latex] \ displaystyle \ Delta L = \ frac {1} {Y} \ frac {F} {A} {L} _ {0} [/ latex] , где Y – это модуль Юнга , , который зависит от вещества, A – площадь поперечного сечения, а [латекс] {L} _ {0} [/ latex] – исходная длина.
Отношение силы к площади, [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс], определяется как напряжение , измеренное в Н / м ².
Отношение изменения длины к длине, [латекс] \ frac {\ Delta L} {{L} _ {0}} [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами, [латекс] \ текст {напряжение} = Y \ times \ text {напряжение} [/ латекс].
Выражение деформации сдвига [латекс] \ displaystyle \ Delta x = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} {L} _ {0} [/ latex], где S – модуль сдвига и F – это сила, приложенная перпендикулярно [латексу] {L} _ {\ text {0}} [/ latex] и параллельно площади поперечного сечения A .
Связь изменения объема с другими физическими величинами определяется выражением [latex] \ displaystyle \ Delta V = \ frac {1} {B} \ frac {F} {A} {V} _ {0} [/ latex ], где B – объемный модуль, [latex] {V} _ {\ text {0}} [/ latex] – исходный объем, а [latex] \ frac {F} {A} [/ latex] – сила на единицу площади, равномерно приложенная внутрь ко всем поверхностям.

Концептуальные вопросы

Эластичные свойства артерий важны для кровотока. Объясните важность этого с точки зрения характеристик кровотока (пульсирующий или непрерывный).
Что вы чувствуете, когда щупаете пульс? Измерьте частоту пульса в течение 10 секунд и 1 минуты. Есть ли разница в 6 раз?
Изучите различные типы обуви, включая спортивную обувь и шлепанцы. С точки зрения физики, почему нижние поверхности устроены именно так? Какие различия будут иметь для этих поверхностей сухие и влажные условия?
Ожидаете ли вы, что ваш рост будет отличаться в зависимости от времени суток? Почему или почему нет?
Почему белка может спрыгнуть с ветки дерева на землю и убежать целой, а человек может сломать кость при таком падении?
Объясните, почему беременные женщины часто страдают растяжением спины на поздних сроках беременности.
Уловка старого плотника, чтобы удерживать гвозди от сгибания, когда они забиваются в твердый материал, заключается в том, чтобы крепко удерживать центр гвоздя плоскогубцами. Почему это помогает?
Когда стеклянная бутылка, полная уксуса, нагревается, и уксус, и стекло расширяются, но уксус расширяется значительно больше с температурой, чем стекло. Бутылка разобьется, если наполнить ее до плотно закрытой крышки. Объясните, почему, а также объясните, как воздушный карман над уксусом предотвратит разрыв.(Это функция воздуха над жидкостями в стеклянных контейнерах.)

Задачи и упражнения

Во время циркового номера один артист качается вверх ногами, висит на трапеции, держа другого, также перевернутого, за ноги. Если восходящая сила, действующая на более низкую спортсменку, в три раза превышает ее вес, насколько растягиваются кости (бедра) в ее верхних конечностях? Вы можете предположить, что каждый из них эквивалентен одинаковому стержню длиной 35,0 см и радиусом 1,80 см. Ее масса 60.0 кг.
Во время схватки борец 150 кг ненадолго встает на одну руку во время маневра, призванного сбить с толку его и без того умирающего противника. Насколько укорачивается длина кости плеча? Кость может быть представлена однородным стержнем длиной 38,0 см и радиусом 2,10 см.
(a) «Грифель» в карандашах – это графитовая композиция с модулем Юнга примерно 1 × 10 ⁹ Н / м ². Вычислите изменение длины грифеля в автоматическом карандаше, если постучите им прямо по карандашу с силой 4.0 Н. Шнур диаметром 0,50 мм и длиной 60 мм. б) разумен ли ответ? То есть согласуется ли это с тем, что вы наблюдали при использовании карандашей?
телевизионные антенны – самые высокие искусственные сооружения на Земле. В 1987 году физик весом 72,0 кг разместил себя и 400 кг оборудования на вершине одной антенны высотой 610 м для проведения гравитационных экспериментов. Насколько была сжата антенна, если считать ее эквивалентом стального цилиндра радиусом 0,150 м?
(a) На сколько стоит 65.Альпинист весом 0 кг натягивает нейлоновую веревку диаметром 0,800 см, когда она висит на 35,0 м ниже скалы? б) Соответствует ли ответ тому, что вы наблюдали для нейлоновых веревок? Имел бы смысл, если бы веревка была на самом деле эластичным шнуром?
Полый алюминиевый флагшток высотой 20,0 м по жесткости эквивалентен твердому цилиндру диаметром 4,00 см. Сильный ветер изгибает полюс так же, как горизонтальная сила в 900 Н. Насколько далеко в сторону прогибается верхняя часть шеста?
По мере бурения нефтяной скважины каждая новая секция бурильной трубы выдерживает собственный вес, а также вес трубы и бурового долота под ней.Рассчитайте растяжение новой стальной трубы длиной 6,00 м, которая поддерживает 3,00 км трубы, имеющей массу 20,0 кг / м, и буровое долото 100 кг. Труба эквивалентна по жесткости сплошному цилиндру диаметром 5 см.
Рассчитайте усилие, которое настройщик рояля применяет, чтобы растянуть стальную рояльную проволоку на 8,00 мм, если проволока изначально имеет диаметр 0,850 мм и длину 1,35 м.
Позвонок подвергается действию силы сдвига 500 Н. Найдите деформацию сдвига, принимая позвонок в виде цилиндра 3.00 см в высоту и 4,00 см в диаметре.
Диск между позвонками позвоночника подвергается действию силы сдвига 600 Н. Найдите его деформацию сдвига, принимая модуль сдвига 1 × 10 ⁹ Н / м ². Диск эквивалентен сплошному цилиндру высотой 0,700 см и диаметром 4,00 см.
При использовании ластика для карандашей вы прикладываете вертикальную силу в 6,00 Н на расстоянии 2,00 см от соединения ластика с твердой древесиной. Карандаш имеет диаметр 6,00 мм и держится под углом 20 °.0º к горизонтали. а) Насколько дерево прогибается перпендикулярно своей длине? б) Насколько он сжат в продольном направлении?
Чтобы рассмотреть влияние проводов, подвешенных на столбах, мы возьмем данные из рисунка 9, на котором были рассчитаны натяжения проводов, поддерживающих светофор. Левая проволока образовывала угол 30,0 ° ниже горизонтали с вершиной своего столба и выдерживала натяжение 108 Н. Полый алюминиевый столб высотой 12,0 м эквивалентен по жесткости сплошному цилиндру диаметром 4,50 см.а) Насколько он наклонен в сторону? б) Насколько он сжат?
Рисунок 9. Светофор подвешен на двух тросах. (б) Некоторые из задействованных сил. (c) Здесь показаны только силы, действующие на систему. Также показана схема свободного движения светофора. (d) Силы, проецируемые на вертикальную ( y ) и горизонтальную ( x ) оси. Горизонтальные составляющие натяжения должны компенсироваться, а сумма вертикальных составляющих натяжений должна равняться весу светофора.{-2} [/ латекс]). Какую силу на единицу площади вода может оказывать на емкость при замерзании? (В этой задаче допустимо использовать объемный модуль упругости воды.) (B) Удивительно ли, что такие силы могут разрушать блоки двигателя, валуны и тому подобное?

Эта проблема возвращается к канатоходец изученного на рисунке 10, который создал натяжение 3,94 × 10 3 N в проводе, составляющем угол 5. 2 \ end {array} [/ latex],

, где C – коэффициент лобового сопротивления, A – площадь объекта, обращенного к жидкости, а ρ – плотность жидкости.

Закон Стокса: F _s = 6 πrη v , где r – радиус объекта, η – вязкость жидкости, а v – величина объекта. скорость.

Решения проблем и упражнения

1. 1.90 × 10 ⁻³ см

3. а) 1 мм; (б) Это кажется разумным, поскольку кажется, что поводок немного сжимается, когда вы на него нажимаете.

5. (а) 9 см; (б) Это кажется разумным для нейлоновой веревки для лазания, поскольку она не должна сильно растягиваться.

7. 8,59 мм

9. 1.49 × 10 ⁻⁷ м

11. (а) 3.99 × 10 ⁻⁷ м; (б) 9,67 × 10 ⁻⁸ м

13. 4 × 10 ⁶ Н / м ². Это примерно 36 атм, больше, чем может выдержать обычная банка.

15. 1,4 см

4.2 Вектор ускорения | Университетская физика, том 1,

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Рассчитайте вектор ускорения с учетом функции скорости в единичном векторе.
Опишите движение частицы с постоянным ускорением в трех измерениях.
Используйте одномерные уравнения движения вдоль перпендикулярных осей, чтобы решить задачу в двух или трех измерениях с постоянным ускорением.
Выразите ускорение в единичном векторе.

Мгновенное ускорение

Помимо получения векторов смещения и скорости движущегося объекта, мы часто хотим знать его ускорение вектор в любой момент времени на его траектории.Этот вектор ускорения представляет собой мгновенное ускорение, и его можно получить из производной по времени функции скорости, как мы видели в предыдущей главе. Единственная разница в двух или трех измерениях состоит в том, что теперь это векторные величины. Взяв производную по времени [latex] \ overset {\ to} {v} (t), [/ latex], находим

[латекс] \ overset {\ to} {a} (t) = \ underset {t \ to 0} {\ text {lim}} \ frac {\ overset {\ to} {v} (t + \ text {Δ } t) – \ overset {\ to} {v} (t)} {\ text {Δ} t} = \ frac {d \ overset {\ to} {v} (t)} {dt}.{2}) \ hat {i} + 5t \ hat {j} + 5t \ text {} \ hat {k} \ text {m}. [/ latex] (а) Какая скорость? б) Что такое ускорение? (c) Опишите движение от t = 0 с.

Стратегия

Мы можем получить некоторое представление о проблеме, посмотрев на функцию положения. Оно линейно в y и z , поэтому мы знаем, что ускорение в этих направлениях равно нулю, когда мы берем вторую производную. Также обратите внимание, что положение в направлении x равно нулю для t = 0 с и t = 10 с.{2}. [/ latex] Вектор ускорения постоянен в отрицательном направлении оси x.

(в)

Покажи ответ Траекторию движения частицы можно увидеть на (Рисунок).

Давайте сначала посмотрим в направлениях y и z. Положение частицы постоянно увеличивается в зависимости от времени с постоянной скоростью в этих направлениях. Однако в направлении x частица следует по положительному положительному x до тех пор, пока t = 5 с, когда она меняет направление на противоположное. Мы знаем это, глядя на функцию скорости, которая в этот момент становится равной нулю, а затем становится отрицательной.Мы также знаем это, потому что ускорение отрицательное и постоянное, то есть частица замедляется или ускоряется в отрицательном направлении. Положение частицы достигает 25 м, после чего она меняет направление и начинает ускоряться в отрицательном направлении по оси x. Положение достигает нуля при t = 10 с.

Рис. 4.9 Частица начинается в точке (x, y, z) = (0, 0, 0) с вектором положения [latex] \ overset {\ to} {r} = 0. [/ latex] Показана проекция траектории на плоскость xy.Значения y и z линейно увеличиваются как функция времени, тогда как x имеет точку поворота в t = 5 с и 25 м, когда он меняет направление. {2} +2 {a} _ {y} (y- {y} _ {0}).[/латекс]

Здесь индекс 0 обозначает начальное положение или скорость. (Рисунок) на (Рисунок) можно заменить на (Рисунок) и (Рисунок) без компонента z для получения вектора положения и вектора скорости как функции времени в двух измерениях:

[латекс] \ overset {\ to} {r} (t) = x (t) \ hat {i} + y (t) \ hat {j} \, \ text {и} \, \ overset {\ to } {v} (t) = {v} _ {x} (t) \ hat {i} + {v} _ {y} (t) \ hat {j}. [/ латекс]

Следующий пример иллюстрирует практическое использование кинематических уравнений в двух измерениях.{2} [/ latex] вниз по склону [латекс] 15 \ text {°} [/ latex] при t = 0. С началом системы координат в передней части ложи, ее начальное положение и скорость

[латекс] \ overset {\ to} {r} (0) = (75,0 \ hat {i} -50,0 \ hat {j}) \, \ text {m} [/ latex]

[латекс] \ overset {\ to} {v} (0) = (4.1 \ hat {i} -1.1 \ hat {j}) \, \ text {m / s}. [/ латекс]

(a) Каковы составляющие x- и y положения и скорости лыжника как функции времени? (b) Каковы ее положение и скорость при t = 10.{2} [/ latex] по склону [латекс] 15 \ text {°}. [/ latex] Начало системы координат находится на лыжной базе.

Стратегия

Поскольку мы оцениваем компоненты уравнений движения в направлениях x и y , нам нужно найти компоненты ускорения и поместить их в кинематические уравнения. Компоненты ускорения находятся в системе координат на (Рисунок). Затем, вставив компоненты начального положения и скорости в уравнения движения, мы можем найти ее положение и скорость в более позднее время t .{2}) (10.0 \, \ text {s}) = – 6.5 \, \ text {m / s}. [/ latex] Положение и скорость при t = 10,0 с, наконец,

[латекс] \ overset {\ to} {r} (10.0 \, \ text {s}) = (216.0 \ hat {i} -88.0 \ hat {j}) \, \ text {m} [/ latex] [латекс] \ overset {\ to} {v} (10.0 \, \ text {s}) = (24.1 \ hat {i} -6.5 \ hat {j}) \ text {m / s}. [/ latex] Величина скорости лыжника на 10,0 с составляет 25 м / с, что составляет 60 миль / ч.

Значение

Полезно знать, что, учитывая начальные условия положения, скорости и ускорения объекта, мы можем найти положение, скорость и ускорение в любое более позднее время.

С (Рисунок) – (Рисунок) мы завершили набор выражений для положения, скорости и ускорения объекта, движущегося в двух или трех измерениях. Если траектории объектов выглядят как «красные стрелки» на начальном рисунке главы, то выражения для положения, скорости и ускорения могут быть довольно сложными. В следующих разделах мы исследуем два частных случая движения в двух и трех измерениях, рассматривая движение снаряда и круговое движение.

Сводка

В двух и трех измерениях вектор ускорения может иметь произвольное направление и не обязательно указывать вдоль заданного компонента скорости.
Мгновенное ускорение вызывается изменением скорости за очень короткий (бесконечно малый) период времени. Мгновенное ускорение – это вектор в двух или трех измерениях. Он находится путем взятия производной функции скорости по времени.
В трех измерениях ускорение [latex] \ overset {\ to} {a} (t) [/ latex] может быть записано как векторная сумма одномерных ускорений [latex] {a} _ {x} (t ), {a} _ {y} (t), \ text {and} \, {a} _ {z} (t) [/ latex] вдоль линий x- , y – и z- оси.
Кинематические уравнения для постоянного ускорения могут быть записаны как векторная сумма уравнений постоянного ускорения в направлениях x , y и z .

Концептуальные вопросы

Если функция положения частицы является линейной функцией времени, что можно сказать о ее ускорении?

Если объект имеет постоянную составляющую скорости x и внезапно испытывает ускорение в направлении y , изменится ли составляющая x- его скорости?

Показать решение

Нет, движения в перпендикулярных направлениях независимы.{2} \ hat {i}. [/ latex] Сильный ветер толкает лодку, придавая ей дополнительную скорость [latex] 2.0 \, \ text {м / с} \ hat {i} +1.0 \, \ text {m / s} \ hat { j}. [/ latex] (a) Какова скорость лодки при t = 10 с? (b) Каково положение лодки при t = 10 с? Нарисуйте эскиз траектории и положения лодки на отметке t = 10 с, показывая оси x- и y .

Положение частицы для t > 0 определяется как [latex] \ overset {\ to} {r} (t) = (3.{2} [/ латекс],

г. [латекс] \ overset {\ to} {v} (2.0s) = (12.0 \ hat {i} -84.0 \ hat {j} +1.25 \ hat {k}) \ text {m / s} [/ latex] ,

г. [латекс] \ overset {\ to} {v} (1.0 \, \ text {s}) = 6.0 \ hat {i} -21.0 \ hat {j} +10.0 \ hat {k} \ text {m / s} , \, | \ overset {\ to} {v} (1.0 \, \ text {s}) | = 24.0 \, \ text {m / s} [/ latex]

[латекс] \ overset {\ to} {v} (3.0 \, \ text {s}) = 18.0 \ hat {i} -189.0 \ hat {j} +0,37 \ hat {k} \ text {м / с }, [/ latex] [latex] | \ overset {\ to} {v} (3.0 \, \ text {s}) | = 199.0 \, \ text {m / s} [/ latex],

e. [латекс] \ overset {\ to} {r} (t) = (3.{-2} \ hat {k}) \ text {cm} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {cc} \ hfill {\ overset {\ to} {v}} _ {\ text {avg}} & = 9.0 \ hat {i} -49.0 \ hat {j} -6.3 \ hat {k} \ text {m / s} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Ускорение частицы – постоянная величина. При t = 0 скорость частицы равна [latex] (10 \ hat {i} +20 \ hat {j}) \ text {m / s}. [/ latex] При t = 4 с скорость [латекс] 10 \ hat {j} \ text {м / с}. [/ latex] а) Каково ускорение частицы? б) Как положение и скорость меняются со временем? Предположим, что частица изначально находится в начале координат.

У частицы есть функция положения [latex] \ overset {\ to} {r} (t) = \ text {cos} (1.0t) \ hat {i} + \ text {sin} (1.0t) \ hat { j} + t \ hat {k}, [/ latex], где аргументы функций косинуса и синуса выражены в радианах. а) Что такое вектор скорости? б) Что такое вектор ускорения?

Показать решение

а. [латекс] \ overset {\ to} {v} (t) = \ text {−sin} (1.0t) \ hat {i} + \ text {cos} (1.0t) \ hat {j} + \ hat { k} [/ латекс], б. [латекс] \ overset {\ to} {a} (t) = \ text {−cos} (1.0t) \ hat {i} – \ text {sin} (1.0t) \ hat {j} [/ latex]

Реактивный самолет Lockheed Martin F-35 II Lighting взлетает с авианосца с длиной взлетно-посадочной полосы 90 м и скоростью взлета 70 м / с в конце взлетно-посадочной полосы.{2} [/ latex] на [latex] 30 \ text {°} [/ latex] по отношению к горизонтали. (а) Каково начальное ускорение F-35 на палубе авианосца, чтобы он поднялся в воздух? (b) Запишите положение и скорость F-35 в единичном векторе от точки, когда он покидает палубу авианосца. (c) На какой высоте находится истребитель через 5,0 с после выхода из палубы авианосца? (г) Каковы его скорость и скорость в это время? д) Как далеко он прошел по горизонтали?

Глоссарий

вектор ускорения: мгновенное ускорение, полученное путем взятия производной функции скорости по времени в обозначении единичного вектора

Влияние начальной скорости на ускорение падения сферической частицы через неподвижную жидкость

Ускорение падения сферической частицы через неподвижную жидкость было исследовано аналитически и экспериментально с использованием уравнения Бассе-Буссинеска-Озеена.Была изучена взаимосвязь между коэффициентом сопротивления и числом Рейнольдса, и были получены различные параметры в уравнении коэффициента сопротивления в отношении зон малого, среднего и большого числа Рейнольдса. Затем некоторые уравнения были использованы для вывода уравнений конечного времени падения и расстояния с учетом определенных допущений. Был проведен простой эксперимент по измерению времени и расстояния падения сферической частицы, падающей в стоячую воду. Наборы экспериментальных данных использовались для проверки взаимосвязи между скоростью падения, временем и расстоянием.Наконец, влияние начальной скорости на общее время падения и расстояние обсуждалось с различными конечными числами Рейнольдса, и было определено, что начальная скорость играет более важную роль в падающем движении для малых конечных чисел Рейнольдса, чем для сценариев с большими конечными числами Рейнольдса. .

1. Введение

С середины XIX века твердые частицы, падающие в газы или жидкости, исследуются во многих областях, таких как гидравлика и химия.Значительное внимание было уделено установившемуся движению сферической частицы, падающей в несжимаемой ньютоновской жидкости, особенно связи между коэффициентом сопротивления и числом Рейнольдса. Стокс [1] не учел элемент инерции в уравнениях Навье-Стокса и впервые предложил обратно пропорциональную зависимость между сценариями и сценариями. Затем Озеен [2, 3] принял во внимание элемент инерции, и для сценариев было предложено улучшенное соотношение.Затем с помощью теории возмущений была получена формула для сценариев [4, 5]. Более недавнее исследование корреляций с можно найти в работах Chester et al., Clift et al. И Liao и Julien [6–9]. Следует отметить, что большинство из этих корреляций имели небольшие отклонения [10].

В отличие от стационарного падения частицы, нестационарное падение имеет процесс ускорения, прежде чем оно достигнет конечной скорости падения. Чанг и Йен [11] обсуждали важность добавленной массы и силы Бассета для сферы, падающей при низком и низком отношении плотности сферы к плотности жидкости.Jalaal et al. [12] использовал метод гомотопических возмущений, чтобы получить уравнения скорости падения, ускорения и расстояния для сферической частицы, неустойчиво падающей в ньютоновскую жидкость, игнорируя влияние силы Бассе. Гуо [13] проанализировал поведение сферы при падении с ускорением в неподвижной жидкости для произвольных чисел Рейнольдса и представил простое решение для расстояния и скорости падения. Инь и др. В [14] пренебрегали эффектом силы Бассе и экспериментально исследовали ускорение сферических частиц при падении через стоячую воду с большой величиной.

Целью нашего исследования было исследовать влияние начальной скорости на ускорение сферических частиц, падающих через неподвижную жидкость, аналитически и экспериментально. В этом исследовании была изучена взаимосвязь между и, и были получены различные параметры в уравнении в отношении малых, средних и больших зон. Затем были выведены уравнения конечного времени падения и расстояния с учетом некоторых допущений с использованием результатов, представленных Гуо [13]. Кроме того, был проведен простой эксперимент по измерению времени и расстояния падения сферической частицы, падающей через неподвижную воду.Кроме того, для проверки взаимосвязи между скоростью падения, временем и расстоянием использовались наборы экспериментальных данных. Влияние начальной скорости на время падения и расстояние обсуждалось с различными терминальными числами Рейнольдса. Наконец, подведены выводы.

2. Кинетическое уравнение ускорения падения

2.1. Вывод уравнений

Что касается сферической частицы, падающей с ускорением в неподвижной жидкости, классическое уравнение Бассета-Буссинеска-Озеена (BBO) часто использовалось для описания поведения падения [3, 11–13, 15–17].где левая часть (1) – инерция сферической частицы. Первый, второй, третий и четвертый члены с правой стороны – это его подводный вес, лобовое сопротивление, сила добавленной массы и историческая сила Бассета, соответственно. – масса сферической частицы, – скорость падения, – время, – масса жидкости для того же объема сферической частицы, – гравитационное ускорение, – плотность жидкости, – диаметр сферической частицы, – коэффициент сопротивления, является классическим коэффициентом добавленной массы, является классическим коэффициентом силы Бассета, является динамической вязкостью жидкости и является фиктивной переменной для интегрирования.

Погруженный вес определяется путем вычитания выталкивающей силы из веса частицы, и хорошо известно, что этот член играет важную роль в общей силе [9]. Вклад силы сопротивления в значительной степени определяется. Значительное внимание было уделено ее величине с разным (), в котором – кинематическая вязкость жидкости [1–3, 7, 11–13]. В терминах его можно разделить на малые, средние и большие числа, и предполагается, что соответствующие критические значения равны и [13, 18], где определяется как первая критическая скорость между малыми и средними зонами, определяется как второе критическое значение между средними и большими зонами и соответствующие им времена были определены как и, соответственно.Связь между и может быть выражена следующим общим выражением с законом сопротивления Руби [19]:

Для малых в ламинарной зоне () и [1]. Для больших в турбулентной зоне (), и, что хорошо согласуется с экспериментальными данными в широком диапазоне чисел Рейнольдса [13]. Что касается среды в переходной зоне (), Лаппл и Шеперд [20] заявили, что она уменьшается с увеличением:

Диапазон отклонения в (3) составляет от -8% до 5% [7]. Используя (3), результаты для диапазона от 0.От 1 до 1000 с шагом 0,1 были получены, и (3) было подогнано как

Коэффициент корреляции равен 0,997. Следовательно, (4) можно использовать для изображения взаимосвязи между переходной зоной и в ней, не вызывая серьезных ошибок.

Что касается члена добавленной массы, то он заслуживает краткого описания. Одним из важных свойств взаимодействия твердого тела с жидкостью является то, что твердое тело не может свободно перемещаться внутри жидкости. Когда твердая частица перемещается из одного положения в другое, равный объем жидкости должен двигаться в противоположном направлении.Таким образом, если масса твердой частицы ускоряется, масса равного объема жидкости также должна ускоряться. И это понятие называется добавленной массой [9]. В (1) после интегрирования потенциального нестационарного давления на поверхности сферы, равняется 1/2 для ползучего движения [21]. Гамильтон и Линделл [22] также пришли к выводу, что экспериментально оно стабильно близко к 0,5 для значений до 35000, пренебрегая эффектом ускорения сферы. Напротив, увеличивается с из-за отрыва потока [9].Одар [23] дополнительно коррелировал с использованием мгновенного модуля ускорения; тем не менее, модуль трудно получить в явном виде.

Вклад силы Бассе в общую силу в значительной степени определялся отношением плотностей, где – плотность частицы. Было обнаружено, что сила Бассета всегда важна при расчетах сценариев. Для некоторых тяжелых частиц в воздухе, таких как сила Бассе, играет незначительную роль в общей силе. Вклад силы Бассе для зависит от типа частиц и от частоты пульсаций скорости жидкости [24].Особое внимание было уделено важности силы Бассе по сравнению с другими гидродинамическими силами [25]. Лоуренс и Вайнбаум [26] исследовали нестационарную силу на сфере при низком числе Рейнольдса и указали, что сила Бассета для произвольной скорости содержит новый интеграл памяти, ядро которого отличается от классического поведения, полученного Бассетом [15]. Sobral et al. [27] рассмотрели нестационарное движение твердой сферической частицы в потоках жидкости и обнаружили, что на ее движение существенно влияет сила Бассе на ранних стадиях движения и при приближении к установившемуся состоянию.В основном из-за сложности силы Бассета для ее решения использовался ряд численных методов, таких как метод преобразования Лапласа [28], «оконная модель» [29] и подход дробной производной [30]. Однако его вычисление было намного дороже, чем другие элементы уравнения BBO, из-за огромных требований к вычислительному времени и памяти. В отличие от численных решений, ее аналитическое решение имеет преимущества, в том числе простоту и надежность. Однако аналитические решения для сферической частицы, падающей в стоячую воду, так и не были найдены.Попытки разрешить эту дилемму были предприняты для теоретического решения силы Бассета и уравнения BBO с помощью упрощенного метода. Гуо [13] предполагается постоянной величиной, чтобы отделить ее от определенного интеграла, как и в силе Бассета. Он эмпирически объединил добавленную массовую силу и силу Бассе в один интегрированный член (интегральный коэффициент добавленной массы), и скорость падения была выражена как где,,,,, – начальный момент времени, а – начальная скорость. Конечная скорость падения, может быть вычислена с помощью (5) для:

Используя (5) с помощью или, и может быть выражена как

Расстояние падения было выражено как

Предполагая, что начальная скорость падения равна нулю, Guo [13 ] вывел следующую зависимость между расстоянием падения и скоростью падения: где – обратная гиперболическая функция.

2.2. Конечные значения времени спада ускорения и расстояния

Для расстояние падения в (8) приближается к бесконечному значению. Чтобы упростить исследование, конечные значения времени падения и расстояния были выражены со следующими допущениями.

Для сценариев процесс снижения ускорения считался завершенным, когда скорость падения достигала 99% конечной скорости падения. Применение (6) и (5) дает соответствующее время следующим образом:

Подстановка (10) в (8) дает

Для сценариев процесс падения с ускорением считался завершенным, когда скорость падения достигала 101% от скорости падения. предельная скорость падения.Применение (6) и (5) дает соответствующее время следующим образом:

Подстановка (12) в (8) дает

Обратите внимание, что сценарии или не рассматриваются в нашем исследовании, потому что они очень близки к конечному падению. скорость.

3. Проверка экспериментальными данными

Для проверки (9) были использованы два набора данных об ускорении сферических частиц, падающих через неподвижную жидкость от Аллена [31] и Мурмана [32]. Аллен [31] измерил стальной шар, падающий в прямоугольный резервуар для воды; его глубина, длина и ширина составляли 28 см, 11.5 см и 3 см соответственно. Температура воды составляла 17,8 ° C, мм,, см / с, и конечное число Рейнольдса. Испытания Мурмана (1955) проводились в масляном резервуаре с мм, кг / м ³, кг / м ³, м ² с ^-1,, см / с, и. Скорости падения и расстояния экспериментов были нанесены на график, и их сравнение с (9) показано на рисунке 1. Обратите внимание, что и для, и для, для, и, и для, как сообщает Guo [13] из-за его хорошей проверка с помощью тестовых данных Аллена [31] и Мурмана [32].Рисунок 1 показывает, что результаты (9) для сценария Аллена [31] и экспериментальные данные хорошо согласуются. Как видно из рисунка 1, результаты (9) несколько завышены по сравнению с экспериментом со сценариями Мурмана [32].

Для дальнейшей проверки (8) в Гидравлической лаборатории Китайского океанографического университета была проведена серия экспериментов. Использовался прямоугольный стеклянный резервуар высотой 2,0 м, шириной 0,3 м и длиной 0,3 м. Он был заполнен водопроводной водой на глубину 1.8 мес. Температура воды, измеренная термометром, составила 20,7 ° C. Сферические частицы были изготовлены из пластика или стекла. Диаметр сферических частиц измеряли штангенциркулем Вернье, а массу сферических частиц измеряли весами. В результате были рассчитаны плотности сферических частиц. Масштабная бумага была наклеена снаружи резервуара, чтобы определить расстояние до него. Сферическая частица была выпущена на поверхность воды. Для записи процесса падения использовалась видеокамера со скоростью 30 кадров в секунду.Программное обеспечение видеопроигрывателя использовалось для считывания видео кадра за кадром, и были получены соответствующие время и расстояние до каждого кадра. В таблице 1 представлены подробные сценарии осенних экспериментов.
1 902 сценарии с 1 по 4 с.Обратите внимание, что падение в ламинарной зоне не измерялось из-за ограничения производительности камеры и ее очень небольшого значения. На рисунках 2 (a) и 2 (b) показаны данные только в переходной зоне, а горизонтальные координаты s и s являются критическими значениями между переходной и турбулентной зонами, как показано на рисунках 2 (c) и 2 (d), соответственно. Было замечено, что результаты (8) хорошо согласуются с экспериментальными данными, подтверждая, что определение, и является надежным для расчета падающего движения.
4. Различные эффекты начальной скорости на общее время падения и расстояние
Предыдущие исследования показали, что начальная скорость играет важную роль во времени и расстоянии падения [12, 13, 31, 32], и заслуживает подробных комментариев. Что касается и, общее время падения и общая дистанция падения ускорения обсуждались в следующих девяти сценариях.
4.1. для
Для сценариев скорость падения увеличивается с до. Следовательно, для сценариев скорость падения уменьшается с до.Следовательно,
4.2. для
Скорость падения уменьшается от до и, а соответствующее время увеличивается от до и. Следовательно, где можно получить с помощью,,, и используя (12).
4.3. для
Скорость падения уменьшается от до,, и, а соответствующее время увеличивается от до,, и. Следовательно, где можно получить с помощью,,, и используя (12).
4.4. для
Скорость падения увеличивается от до и, а соответствующее время увеличивается от до и.Следовательно, где можно получить с помощью,,, и используя (10).
4.5. для
Для сценариев скорость падения увеличивается с до. Следовательно, для сценариев скорость падения уменьшается с до. Следовательно,
4.6. для
Скорость падения уменьшается от до и, а соответствующее время увеличивается от до и. Следовательно, где можно получить с помощью,,, и используя (12).
4.7. для
Скорость падения увеличивается от до,, и, а соответствующее время увеличивается от до,, и.Следовательно, где можно получить с помощью,,, и используя (10).
В таблице 2 показано сравнение расстояния падения полного ускорения между (21b) и экспериментальными данными с. В таблице 2 – значение (21b), – значение из экспериментов, а относительная погрешность была определена как. Было обнаружено, что все относительные ошибки между ними были меньше 5,0%, подтверждая, что (21b) надежно вычислить с.
Номер сценария (мм) (кгм ^-3)
2 5.1 1236,7 880
3 5,3 1445,6 1458
4 14,4 1165 4020 1165 4020
6 16,6 1165 4982
7 17,5 1165 5391
9098 illust000
Номер сценария (м) (м) (%)
4 90.29299 0,290 3,1
5 0,330 0,315 4,8
6 0,347 0,357
4.8. для
Скорость падения увеличивается от до и, а соответствующее время увеличивается от до и. Следовательно, где можно получить с помощью,,, и используя (10).
На рисунке 3 показана взаимосвязь между, и для и. Обратите внимание, что . является сокращением экспериментальных значений на рисунках 3 (b) и 4 (b). Рисунок 3 (а) показывает, что это уменьшается с увеличением, и скорость его уменьшения выше для малых, чем для больших. На рис. 3 (b) показано, что оно немного уменьшается с увеличением, а его скорость снижения очень незначительно увеличивается с уменьшением, хотя, по-видимому, остается постоянной в значительной степени. Также было обнаружено, что результаты (22b) согласуются с экспериментальными значениями, как показано на рисунке 3 (b).

(а) и
(б) и
(а) и
(б) и
(а) и
(б) и
(а) и
(б) и
4.9. для
Для сценариев скорость падения увеличивается с до. Следовательно, для сценариев скорость падения уменьшается с до. Поэтому для сценариев и взаимосвязь между, и показана на рисунке 4. Рисунок 4 показывает, что и увеличиваются с увеличением, а темпы увеличения выше для малых, чем для больших.Рисунок 4 (b) показывает, что результаты (24b) согласуются с экспериментальными значениями. Следовательно, начальная скорость играет более важную роль в ускоренном движении для малых, чем для больших сценариев, как показано на рисунках 3 и 4.
5. Выводы
Ускоренное движение сферической частицы, падающей через неподвижную жидкость, было аналитически и экспериментально исследовали с помощью уравнения BBO. Результаты этого исследования можно резюмировать следующим образом. (1) Была изучена взаимосвязь между коэффициентом сопротивления и числом Рейнольдса, и были получены различные параметры в уравнении коэффициента сопротивления в отношении зон малого, среднего и большого числа Рейнольдса.С точки зрения некоторых предположений, уравнения конечного времени падения и расстояния были выведены с использованием результатов, сообщенных Гуо [13]. (2) Был проведен простой эксперимент для измерения процесса падения сферической частицы через неподвижную воду. Литературные и экспериментальные данные использовались для проверки уравнений между временем падения, скоростью и расстоянием, что подтвердило определение коэффициента силы сопротивления и интегрированного коэффициента добавленной массы для различных зон числа Рейнольдса. (3) Различные начальные скорости и конечные числа Рейнольдса. были учтены, и были получены уравнения для полного времени падения и расстояния.Они хорошо соответствовали экспериментальным данным для сценариев. Было обнаружено, что начальная скорость играет более важную роль в падающем движении для малых, чем для больших сценариев. (4) Результаты этого исследования, возможно, полезны в областях гидравлики, окружающей среды и химической инженерии, таких как анализ размера частиц, осаждение отложений в водоочистной технике и химические реакции частиц в псевдоожиженном слое.
Следует отметить, что в этом исследовании экспериментально измерялись данные о падениях только в средних и крупных зонах.Нам не удалось измерить соответствующие данные в небольших зонах из-за ограничений производительности камеры, материала сферических частиц и сферических размеров частиц; это может заслужить дальнейшей экспериментальной оценки в будущей работе.
Обозначения
: Параметры модели в (5) (-)
: Интегрированный коэффициент добавленной массы (-)
: Классический коэффициент добавленной массы (-)
: Классический коэффициент силы Бассета (-)
: Коэффициент сопротивления (-)
: Диаметр сферической частицы (м)
: Ускорение силы тяжести (мсек. 2 )
: Промежуточный параметр (-)
: Масса жидкости для того же объема сферической частицы (кг)
: Масса сферической частицы (кг)
: Число Рейнольдса (-)
: Расстояние падения (м)
: Время (с)
: 9 0294 Начальное время (с)
: Скорость падения (мс ⁻¹)
: Начальная скорость (мс ⁻¹)
: Конечная скорость падения ( мс ⁻¹)
: Параметры сопротивления в (2) (-)
: Отношение сферы к плотности жидкости (-)
: Динамическая вязкость жидкости ( Нсм ⁻²)
: Кинематическая вязкость жидкости (м ² с ⁻¹)
: Плотность жидкости (кгм ⁻³)
: Плотность сферической частицы (кгм ⁻³)
: Фиктивная переменная для интегрирования (-).
Конкурирующие интересы
Авторы заявляют, что у них нет конкурирующих интересов.
Благодарности
Эта работа была частично поддержана Национальным фондом естественных наук Китая (№№ 51579229 и 51009123).
Массовый момент инерции
Массовый момент инерции (момент инерции) – I – это мера сопротивления объекта изменению направления вращения. Момент инерции имеет такое же отношение к угловому ускорению, как масса к линейному ускорению.
Момент инерции тела зависит от распределения массы в теле относительно оси вращения
Для точечной массы Момент инерции равен массе, умноженной на квадрат перпендикулярного расстояния к вращению. ось отсчета и может быть выражена как
I = mr ² (1)
где
I = момент инерции ( кг · м ² , снаряд футов ², фунт _f футов ²)

м = масса (кг, снаряды)
r = расстояние между осью и массой вращения (м, футы)
Пример – Момент инерции отдельной массы
Создание трехмерных моделей с помощью бесплатного расширения Engineering ToolBox Sketchup Extension
Момент инерции относительно для вращения вокруг оси z единой массы 1 кг , распределенной в виде тонкого кольца, как показано на рисунке выше, можно рассчитать как
I _z = (1 кг) ((1000 мм) ( 0.001 м / мм)) ²
= 1 кг м ²
Момент инерции – распределенные массы
Точечная масса является основой для всех других моментов инерции, поскольку любой объект может быть “построен”. “из набора точечных масс.
I = ∑ _i м _i r _i ² = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ² + ….. + m _n r _n ² (2)
Для твердых тел с непрерывным распределением соседних частиц формулу лучше выразить в виде интеграла
I = ∫ r ² дм (2b)
где
дм = масса бесконечно малой части тела
Преобразование между единицами измерения момента инерции
от до
кг м ² г см ² фунтов _м футов ² фунтов _м 9189 дюймов 900 пуля футов ² пуля в ²
кг м ² 1 1 10 ⁷ 2.37 10 ¹ 3,42 10 ³ 7,38 10 ^-1 1,06 10 ²
г см ² 1 10 ^-7 1 2,37 10 ^-6 3,42 10 ^-4 7,38 10 ^-8 1,06 10 ⁵
фунтов _м футов ² 4,21 10293 4,21 2 4.21 10 ⁵ 1 1,44 10 ² 3,11 10 ^-2 4,48
фунтов _м дюйм ² 2,93 10 4 2,93 2,93 10 ³ 6,94 10 ^-3 1 2,16 10 ^-4 3,11 10 ^-2
оторочка футов ² 1,3136 10 ⁷ 3,22 10 ¹ 4,63 10 ³ 1 1,44 10 ²
вставка в ² 10 4-9 9,42 10 ⁴ 2,23 10 ^-1 3,22 10 ¹ 6,94 10 ^-3 1
Момент инерции – общая формула
Общее выражение инерции уравнение:
I = kmr ² (2c)
, где
k = инерционная постоянная – в зависимости от формы тела
Радиус Гирации )
Радиус вращения – это расстояние от оси вращения, где сосредоточенная точечная масса равна Моменту инерции переменного тока. Туальное тело.Радиус вращения тела можно выразить как
r _g = (л / м) ^1/2 (2d)
, где
r _g = радиус вращения ( м, футы)
I = момент инерции корпуса ( кг · м ² , снаряд футов ²)

м = масса тела (кг, пробки)
Некоторые типичные тела и их моменты инерции
Цилиндр
Тонкостенный полый цилиндр
Моменты инерции для полого тонкостенного цилиндра сравнимы с точечной массой (1) и могут быть выражены как :
I = mr ² (3a)
где
м = масса полости (кг, снаряды)
r = расстояние между ось и тонкостенная полость (м, футы)
r _o = расстояние между осью и внешней полостью (м, футы)
Полый цилиндр
I = 1/2 м (r _i ² + r _o ²) (3b)
где
м = масса полости (кг, снаряды)
r _i = расстояние между осью и внутри полый (м, фут)
r _o = расстояние между осью и внешней полостью (м, фут)
Сплошной цилиндр
I = 1/2 mr ² (3c)
, где
m = масса цилиндра (кг, снаряды)
r = расстояние между осью и внешним цилиндром (м, футы)
Круглый диск
900 02 I = 1/2 mr ² (3d)
, где
m = масса диска (кг, снаряды)
r = расстояние между осью и внешним диском (м, фут)
Сфера
Тонкостенная полая сфера
I = 2/3 mr ² (4a)
, где
м = масса полой сферы (кг1816 9 штекеров) 9
r = расстояние между осью и полостью (м, фут)
Сплошная сфера
I = 2/5 mr ² (4b)
, где
м = масса сферы (кг, снаряды)
r = радиус в сфере (м, фут)
Прямоугольная плоскость
Моменты инерции для прямоугольной плоскости с xis через центр можно выразить как
I = 1/12 м (a ² + b ²) (5)
, где
a, b = короткая и длинная стороны
Моменты инерции для прямоугольной плоскости с осью вдоль кромки могут быть выражены как
I = 1/3 ма ² (5b)
Slender Rod
Моменты инерции для тонкого стержня с осью через центр можно выразить как
I = 1/12 м L ² (6)
, где
L = длина стержня
Моменты инерции тонкого стержня с осью сквозной конец может быть выражен как
I = 1/3 м L ² (6b)
Напряжение, S поезд и модуль Юнга
Напряжение
Напряжение – это отношение приложенной силы F к площади поперечного сечения – , определяемой как « силы на единицу площади ».
растягивающее напряжение – напряжение, которое имеет тенденцию к растяжению или удлинению материала – действует нормально по отношению к напряженной области
сжимающее напряжение – напряжение, которое имеет тенденцию к сжатию или укорачиванию материала – действует нормально к напряженной области
напряжение сдвига – напряжение, которое имеет тенденцию к сдвигу материала – действует в плоскости напряженной области под прямым углом к напряжению сжатия или растяжения
Напряжение растяжения или сжатия – нормальное напряжение
Напряжение растяжения или сжатия перпендикулярно плоскости обычно обозначается как « нормальное напряжение » или « прямое напряжение » и может быть выражено как
σ = F _n / A (1)
где
σ = нормальное напряжение (Па (Н / м ²), фунт / кв. дюйм (фунт _f / дюйм ²))
F _n = нормальная сила, действующая перпендикулярно площади (Н, фунт _f)
A = площадь (м ², дюйм ²)
a kip – британская система мер единица силы – она равна 1000 фунтов _f (фунт-сила)
1 кип = 4448.2216 Ньютонов (Н) = 4,4482216 килограммов Ньютонов (кН)
Нормальная сила действует перпендикулярно площади и возникает всякий раз, когда внешние нагрузки имеют тенденцию толкать или тянуть два сегмента тела.
Пример – Растягивающая сила, действующая на стержень
Сила 10 кН действует на круглый стержень диаметром 10 мм . Напряжение в стержне можно рассчитать как
σ = (10 10 ³ Н) / (π ((10 10 ^-3 м) / 2) ²)
= 127388535 (Н / м ²)
= 127 (МПа)
Пример – Сила, действующая на квадратную стойку из пихты Дугласа
Сжимающая нагрузка 30000 фунтов действует на короткий квадрат 6 x 6 дюймов пост из пихты Дугласа.Одетый размер пост является 5,5 х 5,5 в и сжимающее напряжение может быть вычислено как
σ = (30000 фунтов) / ((5,5 дюйма) (5,5 дюйма) ⁾
= 991 (фунт / дюйм ², фунт / кв. дюйм)

Напряжение сдвига
Напряжение, параллельное плоскости, обычно обозначается как «напряжение сдвига » и может быть выражено как
τ = F _p / A (2)
где
τ = напряжение сдвига (Па (Н / м ²), фунт / кв. Дюйм (фунт _f / дюйм ²))
F _p = поперечная сила в плоскости области (Н, фунт _f)
A = площадь (м ², в ²)
Поперечная сила лежит в плоскости области и возникает, когда внешние нагрузки имеют тенденцию вызывать два сегмента тела скользить друг по другу.
Деформация (деформация)
Деформация определяется как «деформация твердого тела под действием напряжения».
Нормальная деформация – удлинение или сжатие отрезка линии
Деформация сдвига – изменение угла между двумя отрезками прямой, первоначально перпендикулярными
Нормальная деформация и может быть выражена как
ε = dl / l _o
= σ / E (3)
, где
dl = изменение длины (м, дюйм)
l _o = начальная длина (м, дюйм)
ε = деформация – без единицы измерения
E = Модуль Юнга (модуль упругости) (Па, (Н / м ²), фунт / кв. дюйм (фунт _f / дюйм ² ))
Модуль Юнга можно использовать для прогнозирования удлинения или сжатия объекта при воздействии силы.
Обратите внимание, что деформация является безразмерной единицей, поскольку это отношение двух длин.Но также общепринято указывать это как отношение двух единиц длины – например, м / м или дюйм / дюйм .
Пример – напряжение и изменение длины
Стержень в приведенном выше примере имеет длину 2 м и и изготовлен из стали с модулем упругости 200 ГПа (200 10 ⁹ Н / м ²) . Изменение длины можно рассчитать, преобразовав (3) в
dl = σ l _o / E
= (127 10 ⁶ Па) (2 м) / (200 10 ⁹ Па)
= 0.00127 м
= 1,27 мм
Энергия деформации
Напряжение объекта сохраняет в нем энергию. Для осевой нагрузки запасенная энергия может быть выражена как
U = 1/2 F _n дл
, где
U = энергия деформации (Дж (Н · м), фут-фунт)
Модуль Юнга – модуль упругости (или модуль упругости) – закон Гука
Большинство металлов деформируются пропорционально приложенной нагрузке в диапазоне нагрузок.Напряжение пропорционально нагрузке, а деформация пропорциональна деформации в соответствии с законом Гука .
E = напряжение / деформация
= σ / ε

= (F _n / A) / (dl / l _o) 918 4)
, где
E = модуль Юнга (Н / м ²) (фунт / дюйм ², psi)
Модуль упругости или модуль Юнга обычно используется для металлов и металлических сплавов и выражается в единицах 10 ⁶ фунтов _f / дюйм ², Н / м ² или Па .Модуль упругости при растяжении часто используется для пластмасс и выражается в единицах 10 ⁵ фунтов _f / дюйм ² или ГПа .
Модуль упругости при сдвиге – или модуль жесткости
G = напряжение / деформация
= τ / γ

= (F _p / A) / (с / d) (5)
, где
G = модуль упругости при сдвиге – или модуль жесткости (Н / м ²) (фунт / дюйм ², psi)
τ = напряжение сдвига ((Па) Н / м ², psi)
γ = мера деформации сдвига без единицы измерения

F _p = сила, параллельная граням, на которые они действуют
A = площадь (м ², в ²)
s = смещение граней (м, дюйм)
d = ди положение между смещенными гранями (м, дюйм)
Объемный модуль упругости
Объемный модуль упругости – или объемный модуль – является мерой сопротивления вещества равномерному сжатию.Объемный модуль упругости – это отношение напряжения к изменению объема материала, подвергающегося осевой нагрузке.
Модули упругости
Модули упругости для некоторых распространенных материалов:
Медь Стекло 9025 8
Материал Модуль упругости
– E – Модуль упругости
– G – Модуль упругости

(ГПа)
(10 ⁶ фунтов на кв. Дюйм) (ГПа)
(10 ⁶ фунтов на кв. Дюйм) (ГПа)
(10 ⁶ фунтов на кв. )
Алюминий 70 24 70
Латунь 91 36
55 23 37
Железо 91 70 100
Свинец 16 5.6 7,7
Сталь 200 84 160
УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ: КАК РАССЧИТАТЬ И ПРИМЕРЫ
Угловое ускорение – это изменение, которое влияет на угловую скорость с учетом единицы времени. Он воспроизводится греческой буквой альфа, α. Угловое ускорение – векторная величина
Содержание:
Угловое ускорение – это изменение, которое влияет на угловую скорость с учетом единицы времени.Он представлен греческой буквой альфа, α. Угловое ускорение – это векторная величина; следовательно, он состоит из модуля, направления и смысла.
Единицей измерения углового ускорения в Международной системе является радиан на секунду в квадрате. Таким образом, угловое ускорение позволяет определить, как угловая скорость изменяется во времени. Угловое ускорение, связанное с равномерно ускоренными круговыми движениями, часто изучается.
Таким образом, при равномерно ускоренном круговом движении значение углового ускорения остается постоянным.Напротив, при равномерном круговом движении значение углового ускорения равно нулю. Угловое ускорение при круговом движении эквивалентно касательному или линейному ускорению при прямолинейном движении.
Фактически, его значение прямо пропорционально значению тангенциального ускорения. Таким образом, чем больше угловое ускорение колес велосипеда, тем большее ускорение он испытывает.
Следовательно, угловое ускорение присутствует как в колесах велосипеда, так и в колесах любого другого транспортного средства, если скорость вращения колеса изменяется.
Точно так же угловое ускорение присутствует и в колесе обозрения, поскольку оно испытывает равномерно ускоренное круговое движение, когда начинает свое движение. Конечно, угловое ускорение можно встретить и на карусели.
Как рассчитать угловое ускорение?
В общем случае мгновенное угловое ускорение определяется из следующего выражения:
α = dω / dt
В этой формуле ω – вектор угловой скорости, а t – время.
Среднее угловое ускорение также можно рассчитать по следующему выражению:
α = ∆ω / ∆t
В частном случае плоского движения случается, что и угловая скорость, и угловое ускорение являются векторами с направлением, перпендикулярным плоскости движения.
С другой стороны, модуль углового ускорения может быть вычислен из линейного ускорения с помощью следующего выражения:
α = a / R
В этой формуле a – тангенциальное или линейное ускорение; R – радиус вращения кругового движения.
Равномерно ускоренное круговое движение
Как уже упоминалось выше, угловое ускорение присутствует в равномерно ускоренном круговом движении. По этой причине интересно знать уравнения, которые управляют этим движением:
ω = ω ₀ + α ∙ t
θ = θ ₀ + ω ₀ ∙ t + 0,5 ∙ α ∙ t ²
ω ² = ω ₀ ² + 2 ∙ α ∙ (θ – θ ₀)
В этих выражениях θ – угол поворота при круговом движении, θ ₀ – угол начальный угол, ω ₀ – начальная угловая скорость, ω – угловая скорость.
Крутящий момент и угловое ускорение
В случае линейного движения, согласно второму закону Ньютона, для того, чтобы тело приобрело определенное ускорение, требуется сила. Эта сила – результат умножения массы тела на испытанное им ускорение.
Однако в случае кругового движения сила, необходимая для передачи углового ускорения, называется крутящим моментом. В конечном итоге крутящий момент можно понимать как угловую силу.Обозначается греческой буквой τ (произносится «тау»).
Точно так же необходимо учитывать, что при вращательном движении момент инерции I тела играет роль массы при линейном движении. Таким образом, крутящий момент кругового движения вычисляется по следующему выражению:
τ = I α
В этом выражении I – момент инерции тела относительно оси вращения.
Примеры
Первый пример
Определите мгновенное угловое ускорение тела, движущегося во вращательном движении, по выражению его положения при вращении Θ (t) = 4 t ³ i.(I – единичный вектор в направлении оси x).
Аналогичным образом определите значение мгновенного углового ускорения через 10 секунд после начала движения.
Решение
Из выражения положения можно получить выражение угловой скорости:
ω (t) = d Θ / dt = 12 t ² i (рад / с)
После мгновенного угловая скорость вычислена, мгновенное угловое ускорение может быть вычислено как функция времени.
α (t) = dω / dt = 24 ti (рад / с ²)
Для расчета значения мгновенного углового ускорения через 10 секунд необходимо только подставить значение времени в предыдущий результат .
α (10) = = 240 i (рад / с ²)
Второй пример
Определите среднее угловое ускорение тела, совершающего круговое движение, зная, что его начальная угловая скорость составляла 40 рад / с и что через 20 секунд оно достигло угловой скорости 120 рад / с.
Решение
Из следующего выражения можно рассчитать среднее угловое ускорение:
α = ∆ω / ∆t
α = (ω _F – ω ₀) / (t _F – t ₀) = (120-40) / 20 = 4 рад / с
Третий пример
Каким будет угловое ускорение колеса обозрения, которое начинает двигаться равномерно ускоренным круговым движением, пока через 10 секунд не достигнет угловой скорости 3 оборота в минуту? Каким будет тангенциальное ускорение кругового движения в этот период времени? Радиус колеса обозрения – 20 метров.
Решение
Во-первых, вам нужно преобразовать угловую скорость из оборотов в минуту в радианы в секунду. Для этого выполняется следующее преобразование:
ω _F = 3 об / мин = 3 ∙ (2 ∙ ∏) / 60 = ∏ / 10 рад / с
После того, как это преобразование было выполнено, можно вычислить угловое ускорение, так как:
ω = ω ₀ + α ∙ t
∏ / 10 = 0 + α ∙ 10
α = ∏ / 100 рад / с ²
И тангенциальное ускорение получается из используя следующее выражение:
α = a / R
a = α ∙ R = 20 ∙ ∏ / 100 = ∏ / 5 м / с ²
Ссылки
Resnik, Halliday & Krane (2002). Физика Том 1 . Cecsa.
Томас Уоллес Райт (1896 г.). Элементы механики, включая кинематику, кинетику и статику . E и FN Spon.
П. П. Теодореску (2007). «Кинематика». Механические системы, классические модели: механика элементарных частиц . Springer.
Кинематика твердого тела. (нет данных). В Википедии. Получено 30 апреля 2018 г. с сайта es.wikipedia.org.
Угловое ускорение. (нет данных). В Википедии. Получено 30 апреля 2018 г. с сайта es.wikipedia.org.
Резник, Роберт и Холлидей, Дэвид (2004). Физика 4-я . CECSA, Мексика
Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон В.
Оставить комментарий Отменить ответ
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Поиск:
Рубрики
Вакансии
Востребованные вакансии
Обучение в Европе
Обучение за границей
Работа
Работа для всех
Советы абитуриенту
Студенту
Студенческие будни
Разное
2019 © Все права защищены. Карта сайта
Меню
Поиск:
Советы абитуриенту
Работа для всех
Востребованные вакансии
Студенческие будни
Обучение за границей