Формула момент инерции для диска: Кафедра физики Физико-механический институт СПбПУ

16. Момент инерции. Вычисление моментов инерции ноторых тел относительно оси симметрии (тонкий стержень, обруч, диск). Теорема Штейнера.

Момент инерции — скалярная физическая величина, характеризующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Для расчета моментов инерции тонкого диска массы m и радиуса R выберем систему координат так, чтобы ее оси совпадали с главными центральными осями (рис.32). Определим момент инерции тонкого однородного диска относительно оси z , перпендикулярной к плоскости диска. Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним

радиусом r и наружным r+dr. Площадь такого кольца ds=2r $\pi$ dr, а его масса , гдеS= $\pi$ R² – площадь всего диска. Момент инерции тонкого кольца найдется по формуле dJ=dmr². Момент инерции всего диска определяется интегралом

Вычисление момента инерции тонкого стержня:

Пусть тонкий стержень имеет длину l и массу m. Разделим его на малые элементы длины dx (рис.27), масса которых . Если выбранный элемент находится на расстоянии x от оси, то его момент инерции, т.е.     Интегрируя последнее соотношение в пределах от 0 до l/2 и удваивая полученное выражение (для учета левой половины стержня), получим

Момент инеpции обручаотносительно оси, пpоходящей чеpез центp кольца пеpпендикуляpно к его плоскости. В этом случае все элементаpные массы обруча удалены от оси на одинаковое pасстояние, поэтому в сумме (3.18) r2 можно вынести за знак суммы, т. е.    

Теорема Штейнера:

В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг произвольной оси, вычисление момента инерции может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: J=J0+ma^2.

Например, момент инерции диска относительно оси О’ в соответствии с теоремой Штейнера:

Линия – ось вращения.

– масса на квадрат радиуса окружности, по которой движется материальная точка.

Все тело мысленно разбиваем на маленькие объемы. Масса этого кусочка .

Твердое тело представляется как совокупность системы точечных масс.

– расстояние, на котором находится точка от оси вращения.

– общий алгоритм определения собственного момента инерции твердого тела, относительно оси проходящей через центр инерции данного тела.

Момент инерции шара.

     Сплошной шар массы m и радиуса R можно рассматривать как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами dm , радиусом r, толщиной dr (рис.35).

     Рассмотрим малый элемент сферического слоя $\delta$ m с координатами x, y, z. Его моменты инерции относительно осей проходящих через центр слоя – $\delta$ J_x, $\delta$ J_y, $\delta$ J_z, равны Т. е. можно записать     (п.26)

     Так как для элементов сферического слоя x²+y²+z²=r² то      После интегрирования по всему объему слоя получим     (п.27)

     Так как, в силу симметрии для сферического слоя dJ_x=dJ_y=dJ_z=dJ , а , тоИнтегрируя по всему объему шара, получаем      Окончательно (после интегрирования) получим, что момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр равен

Разобьём КОНУС на цилиндрические слои   ось толщиной dr. Масса такого слоя   dm = r²dr,

где ρ – плотность материала, из которого изготовлен конус. Момент инерции этого слоя dI = dm^.r².

Момент инерции всего конуса   складывается из моментов инерции всех слоёв: 

 I = = ρπ r ⁴dr = ρR⁵.

Остаётся выразить его через массу всего цилиндра: m = == R³,

отсюда    ρ = , I =  = mR².

Момент инерции диска. Явление инерции

Многие люди замечали: когда они едут в автобусе, и он увеличивает свою скорость, их тела прижимаются к креслу. И наоборот, при остановке транспортного средства пассажиров будто выбрасывает из посадочных мест. Все это происходит из-за инерции. Рассмотрим это явление, а также объясним, что такое момент инерции диска.

Что представляет собой инерция?

Под инерцией в физике понимают способность всех тел, обладающий массой, сохранять покоящееся состояние либо двигаться с одинаковой скоростью в одном и том же направлении. Если необходимо изменить механическое состояние тела, то приходится прикладывать некоторую внешнюю силу к нему.

В данном определении следует обратить внимание на два момента:

• Во-первых, это вопрос состояния покоя. В общем случае такого состояния не существует в природе. Все в ней находится в постоянном движении. Тем не менее, когда мы едем в автобусе, то нам кажется, что водитель не двигается со своего места. В таком случае идет речь об относительности движения, то есть относительно пассажиров водитель находится в покое. Отличие между состояниями покоя и равномерного движения заключается лишь в системе отсчета. В примере выше пассажир в состоянии покоя относительно автобуса, в котором едет, но движется относительно остановки, которую проезжает.
• Во-вторых, инерция тела пропорциональна его массе. Наблюдаемые нами объекты в жизни все имеют ту или иную массу, поэтому все они характеризуются некоторой инертностью.

Таким образом, инерция характеризует степень трудности изменения состояния движения (покоя) тела.

Инерция. Галилей и Ньютон

Когда изучают вопрос инерции в физике, то как правило, связывают ее с первым ньютоновским законом. Этот закон гласит:

Любое тело, на которое не действуют внешние силы, сохраняет свое состояние покоя либо равномерного и прямолинейного движения.

Считается, что этот закон сформулировал Исаак Ньютон, и произошло это в середине XVII века. Отмеченный закон справедлив всегда и во всех процессах, описываемых классической механикой. Но когда ему приписывают фамилию английского ученого, следует сделать некоторую оговорку…

В 1632 году, то есть за несколько десятков лет до постулирования закона инерции Ньютоном, итальянский ученый Галилео Галилей в одной из своих работ, в которой он сравнивал системы мира Птолемея и Коперника, по сути сформулировал 1-й закон “Ньютона”!

Галилей говорит, что если тело движется по гладкой горизонтальной поверхности, и силами трения и сопротивления воздуха можно пренебречь, то это движение будет сохраняться вечно.

Вращательное движение

Приведенные выше примеры рассматривают явление инерции с точки зрения прямолинейного перемещения тела в пространстве. Однако существует еще один тип движения, который распространен в природе и Вселенной – это вращение вокруг точки или оси.

Масса тела характеризует его инерционные свойства поступательного движения. Для описания же аналогичного свойства, которое проявляет себя при вращении, вводят понятие момента инерции. Но перед тем как рассматривать эту характеристику, следует познакомиться с самим вращением.

Круговое перемещение тела вокруг оси или точки описывается двумя важными формулами. Ниже они приводятся:

1) L = I*ω;

2) dL/dt = I*α = M.

В первой формуле L – это момент импульса, I – момент инерции, ω – угловая скорость. Во втором выражении α – это ускорение угловое, которое равно производной по времени от угловой скорости ω, M – момент силы системы. Он рассчитывается как произведение результирующей внешней силы на плечо, к которому она приложена.

Первая формула описывает вращательное движение, вторая – его изменение во времени. Как видно, в обеих этих формулах присутствует момент инерции I.

Момент инерции

Сначала приведем его математическую формулировку, а затем объясним физический смысл.

Итак, момент инерции I рассчитывается следующим образом:

I = ∑_i(m_i*r_i²).

Если перевести это выражение с математического на русский язык, то оно означает следующее: все тело, которое имеет некоторую ось вращения O, разбивается на мелкие “объемчики” массой m_i, находящиеся на расстоянии r_i от оси O. Момент инерции рассчитывается путем возведения в квадрат этого расстояния, его умножения на соответствующую массу m_i и сложения всех полученных слагаемых.

Если разбить все тело на бесконечно малые “объемчики”, тогда сумма выше будет стремиться к следующему интегралу по объему тела:

I = ∫_V(ρ *r²dV), где ρ – плотность вещества тела.

Из приведенного математического определения следует, что момент инерции I зависит от трех важных параметров:

• от значения массы тела;
• от распределения массы в теле;
• от положения оси вращения.

Физический смысл момента инерции заключается в том, что он характеризует, насколько “тяжело” привести в движение вращения данную систему или изменить ее скорость вращения.

Момент инерции диска однородного

Полученные в предыдущем пункте знания применимы для расчета момента инерции однородного цилиндра, который в случае h<r принято называть диском (h – высота цилиндра).

Для решения поставленной задачи достаточно рассчитать интеграл по объему этого тела. Выпишем исходную формулу:

I = ∫_V(ρ *r²dV).

Если ось вращения проходит перпендикулярно плоскости диска через его центр, тогда можно представить этот диск в виде нарезанных мелких колечек, толщина каждого из них является очень малой величиной dr. В этом случае объем такого колечка можно рассчитать так:

dV = 2*pi*r*h*dr.

Это равенство позволяет интеграл по объему заменить на интегрирование по радиусу диска. Имеем:

I = ∫_r(ρ *r²*2*pi*r*h*dr) = 2*pi*h*ρ*∫_r(r³*dr).

Вычисляя первообразную подынтегрального выражения, а также учитывая, что интегрирование проводится по радиусу, который изменяется от 0 до r, получаем:

I = 2*pi*h*ρ*r⁴/4 = pi*h*ρ*r⁴/2.

Поскольку масса рассматриваемого диска (цилиндра) равна:

m = ρ*V и V = pi*r²*h,

то получаем конечное равенство:

I = m*r²/2.

Эта формула момента инерции диска справедлива для абсолютно любого цилиндрического однородного тела произвольной толщины (высоты), ось вращения которого проходит через его центр.

Разные виды цилиндров и положения осей вращения

Аналогичное интегрирование можно провести для разных тел цилиндрической формы и совершенно любого положения осей их вращения и получить момент инерции для каждого случая. Ниже приводится список часто встречающихся ситуаций:

Из всех этих формул следует, что при одинаковой массе m наибольшим моментом инерции I обладает кольцо.

Где используют инерционные свойства вращающегося диска: маховик

Наиболее ярким примером применения момента инерции диска является маховик в автомобиле, который жестко соединен с коленвалом. Благодаря наличию такого массивного атрибута обеспечивается плавность движения автомобиля, то есть маховик сглаживает любые моменты сил импульсивного характера, которые действуют на коленвал. Более того, этот тяжелый металлический диск способен запасать огромную энергию, обеспечивая тем самым инерционное движение транспортного средства даже при заглушенном двигателе.

В настоящее время инженеры некоторых автомобильных компаний работают над проектом использования маховика в качестве накопителя энергии торможения транспортного средства с целью ее последующего использования при ускорении авто.

Другие понятия об инерции

Хотелось бы завершить статью несколькими словами о других “инерциях”, отличных от рассмотренного явления.

В той же физике существует понятие о температурной инерции, которая характеризует, насколько “трудно” нагреть или охладить данное тело. Температурная инерция прямо пропорциональна теплоемкости.

В более широком философском смысле инерция описывает сложность изменения какого-либо состояния. Так, инертным людям сложно начинать делать что-то новое из-за лени, привычки к рутинному образу жизни и удобству. Кажется, лучше оставить вещи такими, какие они есть, поскольку так жить гораздо проще…

Инерция диска с точечными массами

Патрик Форд

302просмотра

Было полезно?

Привет, ребята. Итак, давайте рассмотрим еще один пример проблемы момента инерции. Итак, у нас есть сплошной диск, помните, сплошной диск имеет тот же момент инерции, что и сплошной цилиндр. И когда я говорю вам форму, я говорю вам, какое уравнение использовать для I Итак, I диска составляет половину MR Квадрата. Хм, мне также известно, что его радиус равен четырем. Итак, r равно четырем при массе 10. Хорошо. А потом мы добавим к нему маленькие объекты. Дело в том, что это говорит о маленьких объектах, и это не дает мне форму объекта.

Это признак того, что их собирались рассматривать как точечные массы. Итак, вот эти два объекта. Так что я назову это, эм, один. Итак, это m один, а это M два. Хорошо, говорит, что объект слева имеет массу 2 кг и расположен посередине между центрами дисков, поэтому центральный диск здесь, на краю. Теперь расстояние между центром и краем равно радиусу вправо, равному четырем. Если вы находитесь на полпути между центром и краем. Твои расстояния, Половина радиуса. Итак, это расстояние — половина гонки. Так что я назову это нашим, потому что расстояние для массы равно единице, а это половина радиуса, к какому? А другой парень Тея Другой объект массой 3 кг 3 кг на своем месте на краю диска. Итак, если вы находитесь на грани, назовем это вашей дистанцией. Наши два совпадают с радиусом, который равен четырем. Итак, я даю вам всю информацию, необходимую для расчета систем. Эм, моменты инерции. Итак, система — это комбинация диска с массой. Итак, я выиграл систему, плюс я выбрал правильный объект, один объект плюс я диск. И помните, для каждого из них вы должны определить, является ли это точечной массой или формой? Ну, один и два – это точечные массы. Мы говорили об этом здесь, поэтому я напишу em один r один в квадрате плюс m два r два квадрата, а диск имеет форму, и его момент инерции равен половине m. R. квадрат, половина большого M большой r в квадрате. Теперь все, что нам нужно сделать, это подставить числа. Очень просто. Итак, что я собираюсь сделать, так это подключить массы к массам воздуха 12 и 10. Извините, к трем и 10 23 и 10. Так что я собираюсь сделать к трем плюс половина от 10 или в квадрате, хорошо? И тогда все, что нам нужно сделать, это подключить наш. Это вот радиус. Это очень просто. Мы знаем, что радиус равен четырем. Так что я поставлю здесь четверку, Эти наши мы должны немного замедлиться. Это воздушные расстояния между центром, гм, осью вращения, которая находится в центре и где объект находится маленькими плечами расстояния между объектом в центре. И мы уже разобрались с этим здесь.