\(α \)- угол между сторонами ромба,
\(a\) – длина стороны ромба,
Cторона ромба:
Угол между сторонами в градусах:
Площадь ромба можно найти по двум диагоналям:
\(S=\frac{1}{2}d_1d_2\)
где \(d_1,d_2\) – длины диагоналей.
Первая диагональ ромба:
Вторая диагональ ромба:
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Анна Георгиевна Садовская
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Несвижский государственный педагогический колледж
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Виктория Анатольевна Шилова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Северо-Казахстанский государственный университет имени Козыбаева
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Всеволод Константинович Добровольский
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
РГПУ им. А.И. Герцена
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
- Математика
- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализации
- Подготовка к ЕГЭ по математике (базовый уровень)
- Репетитор для подготовки к ОГЭ по физике
- Репетитор по русскому языку для подготовки к ОГЭ
- Репетитор по грамматике русского языка
- Репетитор по грамматике английского языка
- Репетитор для подготовки к ОГЭ по истории
- ВПР по физике
- Репетитор для подготовки к ОГЭ по обществознанию
- Репетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ
- Репетитор по географии для подготовки к ОГЭ
Похожие статьи
- Периметр треугольника
- Хорда.
Свойства хорды - Финансовый Университет при Правительстве РФ: Управление Персоналом
- РУДН: Прикладная информатика (учебный план, проходной балл)
- ЕГЭ по математике, базовый уровень. Текстовые задачи (вариант 9)
- Летнее меню: рацион школьника летом
- Укусы насекомых: об опасности, способах защиты и первой помощи
- Как выбрать велосипед для школьника
Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Синус(sin), косинус(cos), тангенс(tg), котангенс(ctg) – как найти, отношение, формулы
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол A обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
sin A
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
cos A
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg A
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
tg A
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
ctg A
Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
sin | sincos | |
cos | 1+tg | cos = sin |
tg | 1+ctg | sin = cos |
ctg | tg = ctg |
Давайте докажем некоторые из них.
- Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
- С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, .
- Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем то есть
Мы получили основное тригонометрическое тождество. - Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
0 | |||||
sin | 0 | ||||
cos | 0 | ||||
tg | 0 | − | |||
ctg | − | 0 |
Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Докажем теорему:
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и и равными острыми углами А и
Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому
Из этих равенств следует, что т. е. sin А = sin
Аналогично, т. е. cos А = cos и т. е. tg A = tg
Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен , sin A = 0,1. Найдите cos B.
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , sin A = cos B = 0,1.
Задача 2. В треугольнике угол равен , , .
Найдите .
Решение:
Отсюда
Найдем AC по теореме Пифагора.
Ответ: 4,8.
Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.
Решение:
Для угла А противолежащий катет – это ВС,
АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A
Катет, прилежащий к – это катет АС, следовательно, cos А
Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:
Тогда
cos А
tg A
Ответ: 0,92; 0,42.
Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.
Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A=
Найдите BC.
Решение:
AC = b = 2, BC = a, AB = c.
Так как sin A
По теореме Пифагора получим
Ответ: 0,5.
Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен tg A = Найдите AB.
Решение:
AC = b = 4, tg A
Ответ: 7.
Задача 6.
В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = Найдите AH.
Решение:
AВ = с = 13, tg A = тогда b = 5a.
По теореме Пифагора ABC:
тогда
(по двум углам), следовательно откуда
Ответ: 12,5.
Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен
CH – высота, BC = 3, sin A =
Найдите AH.
Решение:
Так как sin A = тогда c = АВ = 18.
sin A = = cos B =
Рассмотрим BHC:
= получим
тогда BH = = 0,5,
AH = AB – BH = 18 – 0,5 = 17,5.
Ответ: 17,5.
Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BC = 3, cos A =
Найдите АH.
Решение:
Так как для АВС: A = sin В =
а для ВНС: sin В = = , откуда СН =
По теореме Пифагора найдем ВН:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:
тогда
Ответ: 17,5.
Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.
Решение:
По определению sin A= = =
Рассмотрим BHC :
ВС найдем по теореме Пифагора:
ВС=
тогда а значит и sin A = = 0,28.
Ответ: 0,28.
Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.
Решение:
По определению sin A = = = cos A = = =
тогда tg A = который найдем из BHC:
Ответ: 0,5.
Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, tg A = Найдите АН.
Решение:
По определению tg A=
Для BHC: , значит СН =
Для АHC: tg A= то AH =
Ответ: 27.
Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, sin A = Найдите АВ.
Решение:
Так как cos В = = sin A =
Из СВН имеем cos В = = тогда ВС =
В АВС имеем sinA = = тогда AВ =
Ответ: 27.
Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.
Решение:
Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:
sin В = =
Для АВС: cos A = получили cos A = 0,6.
Найдем АС и АВ несколькими способами.
1-й способ.
Так как cos A = то пусть АС = 3х, АВ = 5х,
тогда по теореме Пифагора получим
х = 5 ( так как х0). Значит,
2-й способ.
(по двум углам), значит или
k = тогда АС = ; АВ =
3-й способ.
(высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда АН = 144:16 = 9.
АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.
По теореме Пифагора найдем АС:
=
Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.
Задача 14.
Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.
Найдите АВ и cos А.
Решение:
Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:
ВС = =
cos C =
Для АВС: sin А = = cos C =
Для АНВ: sin А = = то = АВ =
Из основного тригонометрического тождества найдем
cos A =
Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.
Задача 15.
Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А =
Найдите площадь треугольника.
Решение:
В прямоугольном АСЕ sin А =
значит = 14.
Второй катет найдем, используя теорему Пифагора:
Площадь прямоугольного треугольника равна S =
поэтому
Ответ: 336.
Задача 16.
В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.
Найдите sin Результат округлите до сотых.
Решение:
A-общий, ),
значит sin
Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:
Тогда sin
Ответ: 0,38.
Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = Найдите высоту СН.
Решение:
Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда
высота СН является медианой, то есть АН = НВ =
Поскольку АСН — прямоугольный,
cos A = то есть АС =
По теореме Пифагора тогда
Ответ: 15.
Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 sin A = AC = 10 Найдите АВ.
Решение:
1-й способ.
Поскольку sin A = то можно обозначить
ВС = 11х, АВ = 14х.
По теореме Пифагора
(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 100;
учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,
следовательно, АВ = 14 2 = 28.
2-й способ.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством
cos A =
По определению cos A = значит
Так как АС=10 то откуда АВ = = 28.
Ответ: 28.
Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 и 4.
Решение:
Пусть ВАО =
Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, =
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = а катет ВО =
Поэтому tg откуда
Ответ:
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Задача 20.
В треугольнике АВС угол С равен 90 угол А равен 30 АВ = 2
Найдите высоту CH.
Решение:
Рассмотрим АВС:
По свойству катета, лежащего против угла имеем ВС = АВ =
В BHC: то следовательно, ВН = BC =
По теореме Пифагора найдем НС:
Ответ: 1,5.
Задача 21.
В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, АВ = 2, Найдите АH.
Решение:
Из АВС найдем ВС = АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30),
то
Из ВСН: то следовательно,
ВН = ВС =
АН = АВ — НВ = 2 – = 1,5.
Ответ: 1,5.
Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.
Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.
Если вам понравился разбор данной темы – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 07.02.2023
Уравнения движения – Резюме – Гиперучебник по физике
[закрыть]
- Следующие уравнений движения действительны только тогда, когда…
- ускорение постоянное
- движение ограничено прямой
традиционное название | уравнение | отношения |
---|---|---|
1-е уравнение | v = v 0 + на | скорость-время |
2-е уравнение | с = с 0 + v 0 t + ½ в 3 | 2позиция-время |
3-е уравнение | v 2 = v 0 2 + 2 a ( с − с 0 ) | скорость-позиция |
правило Мертона | v = ½( v + v 0 ) | средняя скорость |
где…
с 0 = | начальная позиция (позиция в начале какого-либо события) |
с = | конечная позиция (позиция в конце какого-либо события) |
v 0 = | начальная скорость (скорость в начале некоторого события) |
v = | конечная скорость (скорость в конце некоторого события) |
и = | ускорение |
т = | время (длительность события) |
Альтернативно
традиционное название | уравнение | отношения |
---|---|---|
1-е уравнение | v = v 0 + на | скорость-время |
2-е уравнение | ∆ с = v 0 t + ½ в 2 | перемещение-время |
3-е уравнение | v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ с | скорость-перемещение |
правило Мертона | v = ½( v + v 0 ) | средняя скорость |
где…
∆ с = | смещение (изменение положения) |
v 0 = | начальная скорость |
v = | конечная скорость |
и = | ускорение |
т = | время |
- Знаки пространственных величин должны быть…
- то же, если они указывают в одном направлении
- напротив, если они направлены в противоположные стороны
- Выбор положительного и отрицательного направления произвольный.
- Законы физики изотропны (не зависят от вашего выбора).
- Примите решение и придерживайтесь его. (Будьте последовательны.)
Формула начальной скорости с решенным примером
Формула начальной скоростиНачальная скорость относится к начальной скорости, когда объект начинает двигаться. Когда время равно 0 секунд, скорость называется начальной скоростью. Для обозначения начальной скорости мы используем символ «u».
Различные факторы влияют на начальную скорость, такие как расстояние, скорость, перемещение и т. д. Поэтому мы вычисляем скорость изменения положения человека во времени, используя различные факторы.
Формула для расчета начальной скоростиДля расчета начальной скорости у нас есть четыре разные формулы.
1. Когда в вопросе заданы время, конечная скорость и ускорение:
Тогда заданы время, конечная скорость и ускорение. Они представлены формулой
u=v+at
Здесь «u» обозначает начальную скорость. v обозначает конечную скорость, a обозначает ускорение, t – затраченное время.
2. Если расстояние скорости в ускорении после преодоления, то мы используем эту формулу
U2= v2 +2as
Здесь u — начальная скорость, V — конечная скорость, a обозначает ускорение, а s равно расстоянию.
3. Если заданными переменными являются расстояние, ускорение и время, то есть s, a и t, мы используем приведенную ниже формулу для расчета начальной скорости:
u= s/t – ½ at
4. Когда нам нужно рассчитать начальную скорость, используя конечную скорость, расстояние и время, мы можем использовать эту формулу:
u= 2/3 (s/t)- v /3
Здесь s обозначает расстояние или перемещение, t обозначает время в секундах, v — конечная скорость, а u — начальная скорость.
Пример 1: Если конечная скорость человека составляет 10 метров в секунду, а ускорение равно 2 метрам в секунду, время, затраченное на это, составляет 3 секунды. Какова была начальная скорость этого человека?
Ans: v= 10 м/с, a= 2 м/с2, t=3 с
Используя формулу для расчета начальной скорости, когда заданы время, конечная скорость и ускорение,
u= v+ при
u = 10+2(3)
u= 10+6 = 16 м/с. Следовательно, начальная скорость этого человека была 4 м/с.
Пример 2: Суман преодолевает расстояние 100 метров со скоростью 40 метров в секунду, а ускорение на всем протяжении этого пути составляет шесть квадратных метров в секунду. Найдите начальную скорость Сумана.
Решение: Здесь d= 100 м, v= 40 м/с, a= 6 м/с2, u=?
Используя формулу для вычисления начальной скорости, когда заданы конечная скорость, ускорение и расстояние,
U2= v2 +2as
U2= 402 + 2(6)(100)
U2 = 1600+1200 = 2800
Отсюда U= 52,91 м/с.