Формула нахождения s в физике: Меры площади — урок. Физика, 7 класс. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

2*sinα \)

\(α \)- угол между сторонами ромба,
\(a\) – длина стороны ромба,

Cторона ромба:

Угол между сторонами в градусах:

Площадь ромба можно найти по двум диагоналям:

\(S=\frac{1}{2}d_1d_2\)

где \(d_1,d_2\) – длины диагоналей.

Первая диагональ ромба:

Вторая диагональ ромба:

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Анна Георгиевна Садовская

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Несвижский государственный педагогический колледж

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Виктория Анатольевна Шилова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Северо-Казахстанский государственный университет имени Козыбаева

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Всеволод Константинович Добровольский

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

РГПУ им. А.И. Герцена

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Предметы

Математика

Репетитор по физике
Репетитор по химии
Репетитор по русскому языку
Репетитор по английскому языку
Репетитор по обществознанию
Репетитор по истории России
Репетитор по биологии

Репетитор по географии
Репетитор по информатике

Специализации

Подготовка к ЕГЭ по математике (базовый уровень)
Репетитор для подготовки к ОГЭ по физике
Репетитор по русскому языку для подготовки к ОГЭ
Репетитор по грамматике русского языка
Репетитор по грамматике английского языка

Репетитор для подготовки к ОГЭ по истории
ВПР по физике
Репетитор для подготовки к ОГЭ по обществознанию
Репетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ
Репетитор по географии для подготовки к ОГЭ

Синус(sin), косинус(cos), тангенс(tg), котангенс(ctg) – как найти, отношение, формулы

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin	sincos
cos	1+tg	cos = sin
tg	1+ctg	sin = cos
ctg		tg = ctg

Давайте докажем некоторые из них.

Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, .
Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем то есть
Мы получили основное тригонометрическое тождество.
Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

	0
sin	0
cos		0
tg	0	−
ctg	−	0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и и равными острыми углами А и

Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

Из этих равенств следует, что т. е. sin А = sin

Аналогично, т. е. cos А = cos и т. е. tg A = tg

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен , sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку , sin A = cos B = 0,1.

Задача 2. В треугольнике угол равен , , .

Найдите .

Решение:

Отсюда

Найдем AC по теореме Пифагора.

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A

Катет, прилежащий к – это катет АС, следовательно, cos⁡ А

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:

Тогда

cos⁡ А

tg A

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A=

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A

По теореме Пифагора получим

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен tg A = Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = тогда b = 5a.

По теореме Пифагора ABC:

тогда

(по двум углам), следовательно откуда

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен

CH – высота, BC = 3, sin A =

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = тогда c = АВ = 18.

sin A = = cos⁡ B =

Рассмотрим BHC:

= получим

тогда BH = = 0,5,

AH = AB – BH = 18 – 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BC = 3, cos A =

Найдите АH.

Решение:

Так как для АВС: A = sin В =

а для ВНС: sin В = = , откуда СН =

По теореме Пифагора найдем ВН:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:

тогда

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= = =

Рассмотрим BHC :

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС=

тогда а значит и sin A = = 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = = = cos A = = =

тогда tg A = который найдем из BHC:

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, tg A = Найдите АН.

Решение:

По определению tg A=

Для BHC: , значит СН =

Для АHC: tg A= то AH =

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, sin A = Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = = sin A =

Из СВН имеем cos В = = тогда ВС =

В АВС имеем sinA = = тогда AВ =

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:

sin В = =

Для АВС: cos A = получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора получим

х = 5 ( так как х0). Значит,

2-й способ.

(по двум углам), значит или

k = тогда АС = ; АВ =

3-й способ.

(высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = =

cos C =

Для АВС: sin А = = cos C =

Для АНВ: sin А = = то = АВ =

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A =

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А =

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном АСЕ sin А =

значит = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора:

Площадь прямоугольного треугольника равна S =

поэтому

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin Результат округлите до сотых.

Решение:

A-общий, ),

значит sin

Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:

Тогда sin

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ =

Поскольку АСН — прямоугольный,

cos A = то есть АС =

По теореме Пифагора тогда

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 sin A = AC = 10 Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 100;

учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

cos A =

По определению cos A = значит

Так как АС=10 то откуда АВ = = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 и 4.

Решение:

Пусть ВАО =

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, =

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = а катет ВО =

Поэтому tg откуда

Ответ:

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90 угол А равен 30 АВ = 2

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим АВС:

По свойству катета, лежащего против угла имеем ВС = АВ =

В BHC: то следовательно, ВН = BC =

По теореме Пифагора найдем НС:

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, АВ = 2, Найдите АH.

Решение:

Из АВС найдем ВС = АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30),

то

Из ВСН: то следовательно,

ВН = ВС =

АН = АВ — НВ = 2 – = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.02.2023

Уравнения движения – Резюме – Гиперучебник по физике

[закрыть]

Следующие уравнений движения действительны только тогда, когда…
- ускорение постоянное
- движение ограничено прямой

Уравнения движения
традиционное название	уравнение	отношения
1-е уравнение	v = v ₀ + на	скорость-время
2-е уравнение	с = с ₀ + v ₀ t + ½ в ³	позиция-время
3-е уравнение	v ² = v ₀ ² + 2 a ( с − с ₀ )	скорость-позиция
правило Мертона	v = ½( v + v ₀ )	средняя скорость

где…

с ₀ =	начальная позиция (позиция в начале какого-либо события)
с =	конечная позиция (позиция в конце какого-либо события)
v ₀ =	начальная скорость (скорость в начале некоторого события)
v =	конечная скорость (скорость в конце некоторого события)
и =	ускорение
т =	время (длительность события)

Альтернативно

Вариация уравнений движения
традиционное название	уравнение	отношения
1-е уравнение	v = v ₀ + на	скорость-время
2-е уравнение	∆ с = v ₀ t + ½ в ²	перемещение-время
3-е уравнение	v ² = v ₀ ² + 2 a ∆ с	скорость-перемещение
правило Мертона	v = ½( v + v ₀ )	средняя скорость

где…

∆ с =	смещение (изменение положения)
v ₀ =	начальная скорость
v =	конечная скорость
и =	ускорение
т =	время

Знаки пространственных величин должны быть…
- то же, если они указывают в одном направлении
- напротив, если они направлены в противоположные стороны
Выбор положительного и отрицательного направления произвольный.
- Законы физики изотропны (не зависят от вашего выбора).
- Примите решение и придерживайтесь его. (Будьте последовательны.)

Формула начальной скорости с решенным примером

Формула начальной скорости

Начальная скорость относится к начальной скорости, когда объект начинает двигаться. Когда время равно 0 секунд, скорость называется начальной скоростью. Для обозначения начальной скорости мы используем символ «u».

Различные факторы влияют на начальную скорость, такие как расстояние, скорость, перемещение и т. д. Поэтому мы вычисляем скорость изменения положения человека во времени, используя различные факторы.

Формула для расчета начальной скорости

Для расчета начальной скорости у нас есть четыре разные формулы.

1. Когда в вопросе заданы время, конечная скорость и ускорение:

Тогда заданы время, конечная скорость и ускорение. Они представлены формулой

u=v+at

Здесь «u» обозначает начальную скорость. v обозначает конечную скорость, a обозначает ускорение, t – затраченное время.

2. Если расстояние скорости в ускорении после преодоления, то мы используем эту формулу

U2= v2 +2as

Здесь u — начальная скорость, V — конечная скорость, a обозначает ускорение, а s равно расстоянию.

3. Если заданными переменными являются расстояние, ускорение и время, то есть s, a и t, мы используем приведенную ниже формулу для расчета начальной скорости:

u= s/t – ½ at

4. Когда нам нужно рассчитать начальную скорость, используя конечную скорость, расстояние и время, мы можем использовать эту формулу:

u= 2/3 (s/t)- v /3

Здесь s обозначает расстояние или перемещение, t обозначает время в секундах, v — конечная скорость, а u — начальная скорость.

Решенные примеры

Пример 1: Если конечная скорость человека составляет 10 метров в секунду, а ускорение равно 2 метрам в секунду, время, затраченное на это, составляет 3 секунды. Какова была начальная скорость этого человека?

Ans: v= 10 м/с, a= 2 м/с2, t=3 с

Используя формулу для расчета начальной скорости, когда заданы время, конечная скорость и ускорение,

u= v+ при

u = 10+2(3)

u= 10+6 = 16 м/с. Следовательно, начальная скорость этого человека была 4 м/с.

Пример 2: Суман преодолевает расстояние 100 метров со скоростью 40 метров в секунду, а ускорение на всем протяжении этого пути составляет шесть квадратных метров в секунду. Найдите начальную скорость Сумана.

Решение: Здесь d= 100 м, v= 40 м/с, a= 6 м/с2, u=?

Используя формулу для вычисления начальной скорости, когда заданы конечная скорость, ускорение и расстояние,

U2= v2 +2as

U2= 402 + 2(6)(100)

U2 = 1600+1200 = 2800

Отсюда U= 52,91 м/с.

Синус(sin), косинус(cos), тангенс(tg), котангенс(ctg) – как найти, отношение, формулы

Уравнения движения – Резюме – Гиперучебник по физике

Формула начальной скорости с решенным примером

Оставить комментарий Отменить ответ