Формула по физике длины: Как найти длину пути в физике

Содержание

Как найти длину пути в физике

В физике следует различать траекторию, путь и перемещение.

Определение 1

Траектория – форма линии, описываемая телом. Ее длина представляет собой путь и является скалярной величиной. Перемещением же называется вектор, соединяющий точки начала и конца пути, и направленный от начала к концу.

Длина пути измеряется в системе СИ в метрах, в СГС (сантиметр, грамм, секунда) – в сантиметрах. Применяются и другие единицы измерения длины, в том числе внесистемные (дюйм, фут, ярд, миля и т.д.).

При движении без ускорения путь равен произведению скорости на расстояние:

$S = v \cdot (t_2 – t_1) = v \cdot \Delta t$,

где $v_0$ – скорость тела, $t_2$ — момент времени окончания движения, $t_1$ — момент времени начала движения, $\Delta t$ – время движения. График зависимости пути от времени на координатной плоскости в случае такого, называемого равномерным, движения является прямой линией.

Замечание 1

Поскольку скорость – векторная величина, равномерным можно считать только движение по прямой, т.2}{2} + 10 \cdot 20 = 600 м$.

Ответ: длина пути составила 600 метров.

Все формулы и основные законы по физике в 6-9 классах – Физика – Теория, тесты, формулы и задачи

На данной странице представлен список всех формул по физике и основных физических законов, изучаемых в школах и гимназиях в 6-9 классах. Файл создан для выпускников 9-ых классов, которые готовятся к поступлению в лицеи и колледжи. Данный документ поможет таким ученикам систематизировать полученные ранее знания и хорошенько повторить всё что нужно. Файл включает все формулы и основные законы, относящиеся к следующим темам по физике: Кинематика; Динамика; Статика; Гидростатика; Импульс; Энергия; Молекулярная физика и термодинамика; Электростатика и электрический ток; Оптика.

 

Изучать все формулы и основные законы по физике в 6-9 классах онлайн:

 

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

 

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Длина волны — формулы, измерение, определение

Волна: продольная и поперечная

Начнем с того, что волна — это распространение колебания в пространстве.

Волны бывают механическими и электромагнитными.

Механические волны — это те волны, колебания которых можно почувствовать физически, потому что они распространяются в упругой среде.

  • Например, звук. Когда звук распространяется внутри какого-либо вещества, мы можем ощутить его прикосновением.

Представьте, что вы стоите на железнодорожных путях. Нет, вы не Анна Каренина, вы — экспериментатор.

Если к вам приближается поезд, вы рано или поздно его услышите. Вернее, услышите, как только звуковая волна со скоростью 𝑣 = 330 м/с достигнет ваших ушей.8 м/с. И источники у них разные.

Волны также принято делить на продольные и поперечные:


Продольные — это те волны, у которых колебание происходит вдоль направления распространения волны.



  • Дрожание окон во время грома или сейсмические волны (землетрясения) — это пример продольных волн.

Поперечные — волны, у которых колебание происходит поперек направления распространения волны.

  • Представьте, что вы запустили волну из людей на стадионе — она будет поперечной.
  • Видимый свет и дрожание гитарной струны — тоже поперечные волны.


Морская волна — продольная или поперечная?

На самом деле в ней есть и продольная, и поперечная составляющие, поэтому ее нельзя отнести к конкретному типу.

Длина волны: определение и расчет

Конечно, у любой волны есть характеристики. Одна из таких характеристик — это длина волны.

  • λ — длина волны [м]

Длиной волны

называется расстояние между двумя точками этой волны, колеблющихся в одной фазе. Если проще, то это расстояние между двумя «гребнями».


Еще длиной волны можно назвать расстояние, пройденное волной, за один период колебания.


Период — это время, за которое происходит одно колебание. То есть, если дано время распространения волны и количество колебаний, можно рассчитать период.

Формула периода колебания волны

T = t/N

T — период [с]

t — время [с]

N — количество колебаний [-]

Связь со скоростью

Чтобы вывести формулу скорости через длину волны, нужно вспомнить формулу скорости из кинематики — это раздел физики, в котором изучается движение тел без учета внешнего воздействия).

Формула скорости

𝑣 = S/t

𝑣 — скорость [м/с]

S — путь [м]

t — время [с]

Переходя к волнам, можно провести следующие аналогии:

  • путь — длина волны
  • время — период

А для скорости даже аналогия не нужна — скорость и Африке скорость.

Формула скорости волны

𝑣 = λ/T

𝑣 — скорость [м/с]

λ — длина волны [м]

T — период [с]

Задачка

Лодка совершает колебания на волнах. За 40 с она совершила 10 колебаний. Какова скорость распространения волны, если расстояние между соседними гребнями волны равно 1 м?

Решение:


  1. Возьмем формулу скорости:
  2. 𝑣 = λ/T


  3. Нам известна длина волны, но не дан период. Период вычисляется по формуле:
  4. T = t/N

    T = 40/10 = 4 с


  5. Теперь подставляем величины в формулу
  6. 𝑣 = λ/T

    𝑣 = ¼ = 0,25 м/с


Ответ: 𝑣 = 0,25 м/с

Резонанс

Если громко говорить в одном помещении с гитарой — можно услышать, как на ней начал играть призрак. На самом деле частота струны совпала с частотой голоса и возник резонанс.

На графике ниже можно увидеть, что на некоторой частоте резко увеличивается амплитуда. Эта частота называется частотой резонанса.


Частота — это величина, обратная периоду. Она показывает, за какое время происходит одно колебание.

Формула частоты

ν = N/t

ν — частота [Гц]

t — время [с]

N — количество колебаний [-]

В мире существует очень много историй про то, как солдаты шли в ногу по мосту, он впал в резонанс и все провалились. А вот еще одна история про гидрологов — как говорится, из первых уст🙂

Команда гидрологов — специалистов по внутренним водам — работала на Алтае и изучала местную реку. Через реку был протянут веревочный мост, а по центру моста стояла лебедка, которая помогает поднять пробу воды из речки, не спускаясь до нее.

В один из дней экспедиции начался сильный, почти штормовой, ветер. Исследователи работали на мосту, а когда поняли, что находиться на веревочной конструкции в такой сильный ветер небезопасно, начали с него уходить. Как только последний человек из команды сделал шаг с моста на землю, мост вместе с лебедкой разнесло в щепки. Это произошло из-за того, что частота ветра совпала с собственной частотой раскачивающегося моста. Хорошо, что история закончилась именно так.

Длина волны. Скорость распространения волн :: Класс!ная физика

ДЛИНА ВОЛНЫ

СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН

Что ты должен знать и уметь?

1.Определение длины волны.
Длина волны – это расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковых фазах.
2. Величины, характеризующие волну:
длина волны, скорость волны, период колебаний, частота колебаний.
Единицы измерения в системе СИ:
длина волны [лямбда] = 1 м
скорость распространения волны [ v ] = 1м/с
период колебаний [ T ] = 1c
частота колебаний [ ню ] = 1 Гц
3. Расчетные формулы


4. Уметь показать графически длину волны ( для продольных и поперечных волн).


ЕЩЁ ОДНА ИГРУШКА
ДЛЯ УМНЕНЬКИХ И ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ

Ощути себя физиком-исследователем – нажми здесь.


ЭТО ИНТЕРЕСНО !

Сейсмические волны.

Сейсмическими волнами называются волны, распространяющиеся в Земле от очагов землетрясений или каких-нибудь мощных взрывов. Так как Земля в основном твердая, в ней одновременно могут возникать 2 вида волн – продольные и поперечные. Скорость этих волн разная: продольные распространяются быстрее поперечных. Например, на глубине 500 км скорость поперечных сейсмических волн 5км/с, а скорость продольных волн – 10км/с.
Регистрацию и запись колебаний земной поверхности, вызанных сейсмическими волнами, осуществляют с помощью приборов – сейсмографов. Распространяясь от очага землетрясения, первыми на сейсмическую станцию приходят продольные волны, а спустя некоторое время – поперечные. Зная скорость распространения сейсмических волн в земной коре и время запаздывания поперечной волны, можно определить расстояние до центра землетрясения. Чтобы узнать точнее , где он находится , используют данные нескольких сейсмических станций.
Ежегодно на земном шаре регистрируют сотни тысяч землетрясений. Подавляющее большинство из них относится к слабым, однако время от времени наблюдаются и такие. которые нарушают целостность грунта, разрушают здания и ведут к человеческим жертвам.

Устали? – Отдыхаем!

Физика условные обозначения и формулы. Обозначение: высота, ширина, длина

Ни для кого не секрет, что существуют специальные обозначения для величин в любой науке. Буквенные обозначения в физике доказывают, что данная наука не является исключением в плане идентификации величин при помощи особых символов. Основных величин, а также их производных, достаточно много, каждая из которых имеет свой символ. Итак, буквенные обозначения в физике подробно рассматриваются в данной статье.

Физика и основные физические величины

Благодаря Аристотелю начало употребляться слово физика, так как именно он впервые употребил этот термин, который в ту пору считался синонимом термина философия. Это связано с общностью объекта изучения – законы Вселенной, конкретнее – то, как она функционирует. Как известно, в XVI-XVII веках произошла первая научная революция, именно благодаря ей физика была выделена в самостоятельную науку.

Михаил Васильевич Ломоносов ввел в русский язык слово физика посредством издания учебника в переводе с немецкого – первого в России учебника по физике.

Итак, физика представляет собой раздел естествознания, посвященный изучению общих законов природы, а также материи, ее движение и структуре. Основных физических величин не так много, как может показаться на первый взгляд – их всего 7:

  • длина,
  • масса,
  • время,
  • сила тока,
  • температура,
  • количество вещества,
  • сила света.

Конечно, у них есть свои буквенные обозначения в физике. Например, для массы выбран символ m, а для температуры – Т. Также у всех величин есть своя единица измерения: у силы света – кандела (кд), а у количества вещества единицей измерения является моль.

Производные физические величины

Производных физических величин значительно больше, чем основных. Их насчитывается 26, причем часто некоторые из них приписывают к основным.

Итак, площадь является производной от длины, объем – также от длины, скорость – от времени, длины, а ускорение, в свою очередь, характеризует быстроту изменения скорости. Импульс выражается через массу и скорость, сила – произведение массы и ускорения, механическая работа зависит от силы и длины, энергия пропорциональна массе. Мощность, давление, плотность, поверхностная плотность, линейная плотность, количество теплоты, напряжение, электрическое сопротивление, магнитный поток, момент инерции, момент импульса, момент силы – все они зависят от массы. Частота, угловая скорость, угловое ускорение обратно пропорциональны времени, а электрический заряд имеет прямую зависимость от времени. Угол и телесный угол являются производными величинами из длины.

Какой буквой обозначается напряжение в физике? Напряжение, которое является скалярной величиной, обозначается буквой U. Для скорости обозначение имеет вид буквы v, для механической работы – А, а для энергии – Е. Электрический заряд принято обозначать буквой q, а магнитный поток – Ф.

СИ: общие сведения

Международная система единиц (СИ) представляет собой систему физических единиц, которая основана на Международной системе величин, включая наименования и обозначения физических величин. Она принята Генеральной конференцией по мерам и весам. Именно эта система регламентирует буквенные обозначения в физике, а также их размерность и единицы измерения. Для обозначения используются буквы латинского алфавита, в отдельных случаях – греческого. Также возможно в качестве обозначения использование специальных символов.

Заключение

Итак, в любой научной дисциплине есть особые обозначения для различного рода величин. Естественно, физика не является исключением. Буквенных обозначений достаточно много: сила, площадь, масса, ускорение, напряжение и т. д. Они имеют свои обозначения. Существует специальная система, которая называется Международная система единиц. Считается, что основные единицы не могут быть математически выведены из других. Производные же величины получают при помощи умножения и деления из основных.

Построение чертежей – дело непростое, но без него в современном мире никак. Ведь чтобы изготовить даже самый обычный предмет (крошечный болт или гайку, полку для книг, дизайн нового платья и подобное), изначально нужно провести соответствующие вычисления и нарисовать чертеж будущего изделия. Однако часто составляет его один человек, а занимается изготовлением чего-либо по этой схеме другой.

Чтобы не возникло путаницы в понимании изображенного предмета и его параметров, во всем мире приняты условные обозначения длины, ширины, высоты и других величин, применяемых при проектировании. Каковы они? Давайте узнаем.

Величины

Площадь, высота и другие обозначения подобного характера являются не только физическими, но и математическими величинами.

Единое их буквенное обозначение (используемое всеми странами) было уставлено в середине ХХ века Международной системой единиц (СИ) и применяется по сей день. Именно по этой причине все подобные параметры обозначаются латинскими, а не кириллическими буквами или арабской вязью. Чтобы не создавать отдельных трудностей, при разработке стандартов конструкторской документации в большинстве современных стран решено было использовать практически те же условные обозначения, что применяются в физике или геометрии.

Любой выпускник школы помнит, что в зависимости от того, двухмерная или трехмерная фигура (изделие) изображена на чертеже, она обладает набором основных параметров. Если присутствуют два измерения – это ширина и длина, если их три – добавляется еще и высота.

Итак, для начала давайте выясним, как правильно длину, ширину, высоту обозначать на чертежах.

Ширина

Как было сказано выше, в математике рассматриваемая величина является одним из трех пространственных измерений любого объекта, при условии что его замеры производятся в поперечном направлении. Так чем знаменита ширина? Обозначение буквой «В» она имеет. Об этом известно во всём мире. Причем, согласно ГОСТу, допустимо применение как заглавной, так и строчной латинских литер. Часто возникает вопрос о том, почему именно такая буква выбрана. Ведь обычно сокращение производится по первой греческого или английского названия величины. При этом ширина на английском будет выглядеть как “width”.

Вероятно, здесь дело в том, что данный параметр наиболее широкое применение изначально имел в геометрии. В этой науке, описывая фигуры, часто длину, ширину, высоту обозначают буквами «а», «b», «с». Согласно этой традиции, при выборе литера «В» (или «b») была заимствована системой СИ (хотя для других двух измерений стали применять отличные от геометрических символы).

Большинство полагает, что это было сделано, дабы не путать ширину (обозначение буквой «B»/«b») с весом. Дело в том, что последний иногда именуется как «W» (сокращение от английского названия weight), хотя допустимо использование и других литер («G» и «Р»). Согласно международным нормам системы СИ, измеряется ширина в метрах или кратных (дольных) их единицах. Стоит отметить, что в геометрии иногда также допустимо использовать «w» для обозначения ширины, однако в физике и остальных точных науках такое обозначение, как правило, не применяется.

Длина

Как уже было указано, в математике длина, высота, ширина – это три пространственных измерения. При этом, если ширина является линейным размером в поперечном направлении, то длина – в продольном. Рассматривая ее как величину физики можно понять, что под этим словом подразумевается численная характеристика протяжности линий.

В английском языке этот термин именуется length. Именно из-за этого данная величина обозначается заглавной или строчной начальной литерой этого слова – «L». Как и ширина, длина измеряется в метрах или их кратных (дольных) единицах.

Высота

Наличие этой величины указывает на то, что приходится иметь дело с более сложным – трехмерным пространством. В отличие от длины и ширины, высота численно характеризует размер объекта в вертикальном направлении.

На английском она пишется как “height”. Поэтому, согласно международным нормам, ее обозначают латинской литерой «Н»/«h». Помимо высоты, в чертежах иногда эта буква выступает и как глубины обозначение. Высота, ширина и длина – все все эти параметры измеряются в метрах и их кратных и дольных единицах (километры, сантиметры, миллиметры и т. п.).

Радиус и диаметр

Помимо рассмотренных параметров, при составлении чертежей приходится иметь дело и с иными.

Например, при работе с окружностями возникает необходимость в определении их радиуса. Так именуется отрезок, который соединяет две точки. Первая из них является центром. Вторая находится непосредственно на самой окружности. На латыни это слово выглядит как “radius”. Отсюда и строчная или заглавная «R»/«r».

Чертя окружности, помимо радиуса часто приходится сталкиваться с близким к нему явлением – диаметром. Он также является отрезком, соединяющим две точки на окружности. При этом он обязательно проходит через центр.

Численно диаметр равен двум радиусам. По-английски это слово пишется так: “diameter”. Отсюда и сокращение – большая или маленькая латинская буква «D»/«d». Часто диаметр на чертежах обозначают при помощи перечеркнутого круга – «Ø».

Хотя это распространенное сокращение, стоит иметь в виду, что ГОСТ предусматривает использование только латинской «D»/«d».

Толщина

Большинство из нас помнят школьные уроки математики. Ещё тогда учителя рассказывали, что, латинской литерой «s» принято обозначать такую величину, как площадь. Однако, согласно общепринятым нормам, на чертежах таким способом записывается совсем другой параметр – толщина.

Почему так? Известно, что в случае с высотой, шириной, длиной, обозначение буквами можно было объяснить их написанием или традицией. Вот только толщина по-английски выглядит как “thickness”, а в латинском варианте – “crassities”. Также непонятно, почему, в отличие от других величин, толщину можно обозначать только строчной литерой. Обозначение «s» также применяется при описании толщины страниц, стенок, ребер и так далее.

Периметр и площадь

В отличие от всех перечисленных выше величин, слово «периметр» пришло не из латыни или английского, а из греческого языка. Оно образовано от “περιμετρέο” («измерять окружность»). И сегодня этот термин сохранил свое значение (общая длина границ фигуры). Впоследствии слово попало в английский язык (“perimeter”) и закрепилось в системе СИ в виде сокращения буквой «Р».

Площадь – это величина, показывающая количественную характеристику геометрической фигуры, обладающей двумя измерениями (длиной и шириной). В отличие от всего перечисленного ранее, она измеряется в квадратных метрах (а также в дольных и кратных их единицах). Что касается буквенного обозначения площади, то в разных сферах оно отличается. Например, в математике это знакомая всем с детства латинская литера «S». Почему так – нет информации.

Некоторые по незнанию думают, что это связано с английским написанием слова “square”. Однако в нем математическая площадь – это “area”, а “square” – это площадь в архитектурном понимании. Кстати, стоит вспомнить, что “square” – название геометрической фигуры “квадрат”. Так что стоит быть внимательным при изучении чертежей на английском языке. Из-за перевода “area” в отдельных дисциплинах в качестве обозначения применяется литера «А». В редких случаях также используется «F», однако в физике данная буква означает величину под названием «сила» (“fortis”).

Другие распространенные сокращения

Обозначения высоты, ширины, длины, толщины, радиуса, диаметра являются наиболее употребляемыми при составлении чертежей. Однако есть и другие величины, которые тоже часто присутствуют в них. Например, строчное «t». В физике это означает «температуру», однако согласно ГОСТу Единой системы конструкторской документации, данная литера – это шаг (винтовых пружин, и подобного). При этом она не используется, когда речь идет о зубчатых зацеплениях и резьбе.

Заглавная и строчная буква «A»/«a» (согласно все тем же нормам) в чертежах применяется, чтобы обозначать не площадь, а межцентровое и межосевое расстояние. Помимо различных величин, в чертежах часто приходится обозначать углы разного размера. Для этого принято использовать строчные литеры греческого алфавита. Наиболее применяемые – «α», «β», «γ» и «δ». Однако допустимо использовать и другие.

Какой стандарт определяет буквенное обозначение длины, ширины, высоты, площади и других величин?

Как уже было сказано выше, чтобы не было недопонимания при прочтении чертежа, представителями разных народов приняты общие стандарты буквенного обозначения. Иными словами, если вы сомневаетесь в интерпретации того или иного сокращения, загляните в ГОСТы. Таким образом вы узнаете, как правильно обозначается высота, ширины, длина, диаметр, радиус и так далее.

Переходя к физическим приложениям производной, мы будем использовать несколько иные обозначения те, которые приняты в физике.

Во-первых, меняется обозначение функций. В самом деле, какие функции мы собираемся дифференцировать? Этими функциями служат физические величины, зависящие от времени. Например, координата тела x(t) и его скорость v(t) могут быть заданы формулами:

(читается ¾икс с точкой¿).

Имеется ещё одно обозначение производной, очень распространённое как в математике, так и в физике:

производная функции x(t) обозначается

(читается ¾дэ икс по дэ тэ¿).

Остановимся подробнее на смысле обозначения (1.16 ). Математик понимает его двояко либо как предел:

либо как дробь, в знаменателе которой стоит приращение времени dt, а в числителе так называемый дифференциал dx функции x(t). Понятие дифференциала не сложно, но мы не будем его сейчас обсуждать; оно ждёт вас на первом курсе.

Физик, не скованный требованиями математической строгости, понимает обозначение (1.16 ) более неформально. Пусть dx есть изменение координаты за время dt. Возьмём интервал dt настолько маленьким, что отношение dx=dt близко к своему пределу (1.17 ) с устраивающей нас точностью.

И тогда, скажет физик, производная координаты по времени есть попросту дробь, в числителе которой стоит достаточно малое изменение координаты dx, а в знаменателе достаточно малый промежуток времени dt, в течение которого это изменение координаты произошло.

Такое нестрогое понимание производной характерно для рассуждений в физике. Далее мы будем придерживаться именно этого физического уровня строгости.

Производная x(t) физической величины x(t) снова является функцией времени, и эту функцию снова можно продифференцировать найти производную производной, или вторую производную функции x(t). Вот одно обозначение второй производной:

вторая производная функции x(t) обозначаетсяx (t)

(читается ¾икс с двумя точками¿), а вот другое:

вторая производная функции x(t) обозначаетсяdt 2

(читается ¾дэ два икс по дэ тэ квадрат¿ или ¾дэ два икс по дэ тэ дважды¿).

Давайте вернёмся к исходному примеру (1.13 ) и посчитаем производную координаты, а заодно посмотрим на совместное использование обозначений (1.15 ) и (1.16 ):

x(t) = 1 + 12t 3t2 )

x(t) = dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6t:

(Символ дифференцирования dt d перед скобкой это всё равно что штрих сверху за скобкой в прежних обозначениях.)

Обратите внимание, что производная координаты оказалась равна скорости (1.14 ). Это не случайное совпадение. Связь производной координаты со скоростью тела будет выяснена в следующем разделе ¾Механическое движение¿.

1.1.7 Предел векторной величины

Физические величины бывают не только скалярными, но и векторными. Соответственно, часто нас интересует скорость изменения векторной величины то есть, производная вектора. Однако прежде чем говорить о производной, нужно разобраться с понятием предела векторной величины.

Рассмотрим последовательность векторов ~u1 ; ~u2 ; ~u3 ; : : : Сделав, если необходимо, параллельный перенос, сведём их начала в одну точку O (рис.1.5 ):

Рис. 1.5. lim ~un = ~v

Концы векторов обозначим A1 ; A2 ; A3 ; : : : Таким образом, имеем:

Предположим, что последовательность точек A1 ; A2 ; A3 ; : : : ¾втекает¿2 в точку B:

lim An = B:

Обозначим ~v = OB. Мы скажем тогда, что последовательность синих векторов ~un стремится к красному вектору ~v, или что вектор ~v является пределом последовательности векторов ~un :

~v = lim ~un :

2 Вполне достаточно интуитивного понимания этого ¾втекания¿, но вас, быть может, интересует более строгое объяснение? Тогда вот оно.

Пусть дело происходит на плоскости. ¾Втекание¿ последовательности A1 ; A2 ; A3 ; : : : в точку B означает следующее: сколь бы малый круг с центром в точке B мы ни взяли, все точки последовательности, начиная с некоторой, попадут внутрь этого круга. Иными словами, вне любого круга с центром B имеется лишь конечное число точек нашей последовательности.

А если дело происходит в пространстве? Определение ¾втекания¿ модифицируется незначительно: нужно лишь заменить слово ¾круг¿ на слово ¾шар¿.

Предположим теперь, что концы синих векторов на рис. 1.5 пробегают не дискретный набор значений, а непрерывную кривую (например, указанную пунктирной линией). Таким образом, мы имеем дело не с последовательностью векторов ~un , а с вектором ~u(t), который меняется со временем. Это как раз то, что нам и нужно в физике!

Дальнейшее объяснение почти такое же. Пусть t стремится к некоторому значению t0 . Если

при этом концы векторов ~u(t) ¾втекают¿ в некоторую точку B, то мы говорим, что вектор

~v = OB является пределом векторной величины ~u(t):

t!t0

1.1.8 Дифференцирование векторов

Выяснив, что такое предел векторной величины, мы готовы сделать следующий шаг ввести понятие производной вектора.

Предположим, что имеется некоторый вектор ~u(t), зависящий от времени. Это означает, что длина данного вектора и его направление могут меняться с течением времени.

По аналогии с обычной (скалярной) функцией вводится понятие изменения (или приращения) вектора. Изменение вектора ~u за время t есть векторная величина:

~u = ~u(t + t) ~u(t):

Обратите внимание, что в правой части данного соотношения стоит разность векторов. Изменение вектора ~u показано на рис. 1.6 (напомним, что при вычитании векторов мы сводим их начала в одну точку, соединяем концы и ¾укалываем¿ стрелкой тот вектор, из которого производится вычитание).

~u(t) ~u

Рис. 1.6. Изменение вектора

Если промежуток времени t достаточно мал, то и вектор ~u за это время меняется мало (в физике, по крайней мере, так считается всегда). Соответственно, если при t ! 0 отношение~u= t стремится к некоторому пределу, то этот предел называется производной вектора ~u:

При обозначении производной вектора мы не будем использовать точку сверху (так как символ ~u_ не слишком хорошо смотрится) и ограничиваемся обозначением (1.18 ). Но для производной скаляра мы, разумеется, свободно используем оба обозначения.

Напомним, что d~u=dt это символ производной. Его можно понимать и как дробь, в числителе которой стоит дифференциал вектора ~u, соответствующий промежутку времени dt. Выше мы не стали обсуждать понятие дифференциала, так как в школе его не проходят; не будем обсуждать дифференциал и здесь.

Однако на физическом уровне строгости производную d~u=dt можно считать дробью, в знаменателе которой стоит очень малый интервал времени dt, а в числителе соответствующее малое изменение d~u вектора ~u. При достаточно малом dt величина данной дроби отличается от

предела в правой части (1.18 ) столь мало, что с учётом имеющейся точности измерений этим отличием можно пренебречь.

Этого (не вполне строгого) физического понимания производной нам окажется вполне достаточно.

Правила дифференцирования векторных выражений во многом аналогичны правилам дифференцирования скаляров. Нам понадобятся лишь самые простые правила.

1. Постоянный скалярный множитель выносится за знак производной: если c = const, то

d(c~u) = c d~u: dt dt

Мы используем это правило в разделе ¾Импульс¿, когда второй закон Ньютона

будет переписан в виде:

2. Постоянный векторный множитель выносится за знак производной: если ~c = const, то dt d (x(t)~c) = x(t)~c:

3. Производная суммы векторов равна сумме их производных:

dt d (~u + ~v) =d~u dt +d~v dt :

Последними двумя правилами мы будем пользоваться неоднократно. Посмотрим, как они работают в важнейшей ситуации дифференцирования вектора при наличии в пространстве прямоугольной системы координат OXY Z (рис. 1.7 ).

Рис. 1.7. Разложение вектора по базису

Как известно, любой вектор ~u единственным образом раскладывается по базису единичных

векторов ~ ,~ ,~ : i j k

~u = ux i + uy j + uz k:

Здесь ux , uy , uz проекции вектора ~u на координатные оси. Они же являются координатами вектора ~u в данном базисе.

Вектор ~u в нашем случае зависит от времени, а это значит, что его координаты ux , uy , uz являются функциями времени:

~u(t) = ux (t) i

Uy (t) j

Uz (t)k:

Дифференцируем это равенство. Сначала пользуемся правилом дифференцирования суммы:

ux (t)~ i +

uy (t)~ j

uz (t)~ k:

Затем выносим постоянные векторы за знак производной:

Ux (t)i + uy (t)j + uz (t)k:

Таким образом, если вектор ~u имеет координаты (ux ; uy ; uz ), то координаты производной d~u=dt являются производными координат вектора ~u, а именно (ux ; uy ; uz ).

Ввиду особой важности формулы (1.20 ) дадим более непосредственный её вывод. В момент времени t + t согласно (1.19 ) имеем:

~u(t + t) = ux (t + t) i + uy (t + t) j + uz (t + t)k:

Напишем изменение вектора ~u:

~u = ~u(t + t) ~u(t) =

Ux (t + t) i + uy (t + t) j + uz (t + t)k ux (t) i + uy (t) j + uz (t)k =

= (ux (t + t) ux (t)) i + (uy (t + t) uy (t)) j + (uz (t + t) uz (t)) k =

Ux i + uy j + uz k:

Делим обе части полученного равенства на t:

T i +

t j +

В пределе при t ! 0 дроби ux = t, uy = t, uz = t переходят соответственно в производные ux , uy , uz , и мы снова получаем соотношение (1.20 ):

Ux i + uy j + uz k.

Изучение физики в школе длится несколько лет. При этом ученики сталкиваются с проблемой, что одни и те же буквы обозначают совершенно разные величины. Чаще всего этот факт касается латинских букв. Как же тогда решать задачи?

Пугаться такого повтора не стоит. Ученые постарались ввести их в обозначение так, чтобы одинаковые буквы не встретились в одной формуле. Чаще всего ученики сталкиваются с латинской n. Она может быть строчной или прописной. Поэтому логично возникает вопрос о том, что такое n в физике, то есть в определенной встретившейся ученику формуле.

Что обозначает прописная буква N в физике?

Чаще всего в школьном курсе она встречается при изучении механики. Ведь там она может быть сразу в дух значениях – мощность и сила нормальной реакции опоры. Естественно, что эти понятия не пересекаются, ведь используются в разных разделах механики и измеряются в разных единицах. Поэтому всегда нужно точно определить, что такое n в физике.

Мощность — это скорость изменения энергии системы. Это скалярная величина, то есть просто число. Единицей ее измерения служит ватт (Вт).

Сила нормальной реакции опоры — сила, которая оказывает действие на тело со стороны опоры или подвеса. Кроме числового значения, она имеет направление, то есть это векторная величина. Причем она всегда перпендикулярна поверхности, на которую производится внешнее воздействие. Единицей измерения этой N является ньютон (Н).

Что такое N в физике, помимо уже указанных величин? Это может быть:

    постоянная Авогадро;

    увеличение оптического прибора;

    концентрация вещества;

    число Дебая;

    полная мощность излучения.

Что может обозначать строчная буква n в физике?

Список наименований, которые могут за ней скрываться, достаточно обширен. Обозначение n в физике используется для таких понятий:

    показатель преломления, причем он может быть абсолютным или относительным;

    нейтрон — нейтральная элементарная частица с массой незначительно большей, чем у протона;

    частота вращения (используется для замены греческой буквы «ню», так как она очень похожа на латинскую «вэ») — число повторения оборотов за единицу времени, измеряется в герцах (Гц).

Что означает n в физике, кроме уже указанных величин? Оказывается, за ней скрываются основное квантовое число (квантовая физика), концентрация и постоянная Лошмидта (молекулярная физика). Кстати, при вычислении концентрации вещества требуется знать величину, которая также записывается латинской «эн». О ней будет идти речь ниже.

Какая физическая величина может быть обозначена n и N?

Ее название происходит от латинского слова numerus, в переводе оно звучит как «число», «количество». Поэтому ответ на вопрос о том, что значит n в физике, достаточно прост. Это количество любых предметов, тел, частиц — всего, о чем идет речь в определенной задаче.

Причем «количество» — одна из немногих физических величин, которые не имеют единицы измерения. Это просто число, без наименования. Например, если в задаче идет речь о 10 частицах, то n будет равно просто 10. Но если получается так, что строчная «эн» уже занята, то использовать приходится прописную букву.

Формулы, в которых фигурирует прописная N

Первая из них определяет мощность, которая равна отношению работы ко времени:

В молекулярной физике имеется такое понятие, как химическое количество вещества. Обозначается греческой буквой «ню». Чтобы его сосчитать, следует разделить количество частиц на число Авогадро :

Кстати, последняя величина тоже обозначается столь популярной буквой N. Только у нее всегда присутствует нижний индекс — А.

Чтобы определить электрический заряд, потребуется формула:

Еще одна формула с N в физике частота колебаний. Чтобы ее сосчитать, нужно их число разделить на время:

Появляется буква «эн» в формуле для периода обращения:

Формулы, в которых встречается строчная n

В школьном курсе физики эта буква чаще всего ассоциируется с показателем преломления вещества. Поэтому важным оказывается знание формул с ее применением.

Так, для абсолютного показателя преломления формула записывается следующим образом:

Здесь с — скорость света в вакууме, v — его скорость в преломляющей среде.

Формула для относительного показателя преломления несколько сложнее:

n 21 = v 1: v 2 = n 2: n 1 ,

где n 1 и n 2 — абсолютные показатели преломления первой и второй среды, v 1 и v 2 — скорости световой волны в указанных веществах.

Как найти n в физике? В этом нам поможет формула, в которой требуется знать углы падения и преломления луча, то есть n 21 = sin α: sin γ.

Чему равно n в физике, если это показатель преломления?

Обычно в таблицах приводятся значения для абсолютных показателей преломления различных веществ. Не стоит забывать, что эта величина зависит не только от свойств среды, но и от длины волны. Табличные значения показателя преломления даются для оптического диапазона.

Итак, стало ясно, что такое n в физике. Чтобы не осталось каких-либо вопросов, стоит рассмотреть некоторые примеры.

Задача на мощность

№1. Во время пахоты трактор тянет плуг равномерно. При этом он прилагает силу 10 кН. При таком движении в течение 10 минут он преодолевает 1,2 км. Требуется определить развиваемую им мощность.

Перевод единиц в СИ. Начать можно с силы, 10 Н равны 10000 Н. Потом расстояние: 1,2 × 1000 = 1200 м. Осталось время — 10 × 60 = 600 с.

Выбор формул. Как уже было сказано выше, N = А: t. Но в задаче нет значения для работы. Для ее вычисления пригодится еще одна формула: А = F × S. Окончательный вид формулы для мощности выглядит так: N = (F × S) : t.

Решение. Вычислим сначала работу, а потом – мощность. Тогда в первом действии получится 10 000 × 1 200 = 12 000 000 Дж. Второе действие дает 12 000 000: 600 = 20 000 Вт.

Ответ. Мощность трактора равна 20 000 Вт.

Задачи на показатель преломления

№2. Абсолютный показатель преломления у стекла равен 1,5. Скорость распространения света в стекле меньше, чем в вакууме. Требуется определить, во сколько раз.

В СИ переводить данные не требуется.

При выборе формул остановиться нужно на этой: n = с: v.

Решение. Из указанной формулы видно, что v = с: n. Это значит, что скорость распространения света в стекле равна скорости света в вакууме, деленному на показатель преломления. То есть она уменьшается в полтора раза.

Ответ. Скорость распространения света в стекле меньше, чем в вакууме, в 1,5 раза.

№3. Имеются две прозрачные среды. Скорость света в первой из них равна 225 000 км/с, во второй — на 25 000 км/с меньше. Луч света идет из первой среды во вторую. Угол падения α равен 30º. Вычислить значение угла преломления.

Нужно ли переводить в СИ? Скорости даны во внесистемных единицах. Однако при подстановке в формулы они сократятся. Поэтому переводить скорости в м/с не нужно.

Выбор формул, необходимых для решения задачи. Потребуется использовать закон преломления света: n 21 = sin α: sin γ. А также: n = с: v.

Решение. В первой формуле n 21 — это отношение двух показателей преломления рассматриваемых веществ, то есть n 2 и n 1 . Если записать вторую указанную формулу для предложенных сред, то получатся такие: n 1 = с: v 1 и n 2 =с: v 2 . Если составить отношение двух последних выражений, получится, что n 21 = v 1: v 2 . Подставив его в формулу закона преломления, можно вывести такое выражение для синуса угла преломления: sin γ = sin α × (v 2: v 1).

Подставляем в формулу значения указанных скоростей и синуса 30º (равен 0,5), получается, что синус угла преломления равен 0,44. По таблице Брадиса получается, что угол γ равен 26º.

Ответ. Значение угла преломления — 26º.

Задачи на период обращения

№4. Лопасти ветряной мельницы вращаются с периодом, равным 5 секундам. Вычислите число оборотов этих лопастей за 1 час.

Переводить в единицы СИ нужно только время 1 час. Оно будет равно 3 600 секундам.

Подбор формул . Период вращения и число оборотов связаны формулой Т = t: N.

Решение. Из указанной формулы число оборотов определяется отношением времени к периоду. Таким образом, N = 3600: 5 = 720.

Ответ. Число оборотов лопастей мельницы равно 720.

№5. Винт самолета вращается с частотой 25 Гц. Какое время потребуется винту, чтобы совершить 3 000 оборотов?

Все данные приведены с СИ, поэтому переводить ничего не нужно.

Необходимая формула : частота ν = N: t. Из нее необходимо только вывести формулу для неизвестного времени. Оно является делителем, поэтому его полагается находить делением N на ν.

Решение. В результате деления 3 000 на 25 получается число 120. Оно будет измеряться в секундах.

Ответ. Винт самолета совершает 3000 оборотов за 120 с.

Подведем итоги

Когда ученику в задаче по физике встречается формула, содержащая n или N, ему нужно разобраться с двумя моментами. Первый — из какого раздела физики приведено равенство. Это может быть ясно из заголовка в учебнике, справочнике или слов учителя. Потом следует определиться с тем, что скрывается за многоликой «эн». Причем в этом помогает наименование единиц измерения, если, конечно, приведено ее значение. Также допускается еще один вариант: внимательно посмотрите на остальные буквы в формуле. Возможно, они окажутся знакомыми и дадут подсказку в решаемом вопросе.

Скорость и длина волны | Физика

Каждая волна распространяется с какой-то скоростью. Под скоростью волны понимают скорость распространения возмущения. Например, удар по торцу стального стержня вызывает в нем местное сжатие, которое затем распространяется вдоль стержня со скоростью около 5 км/с.

Скорость волны определяется свойствами среды, в которой эта волна распространяется. При переходе волны из одной среды в другую ее скорость изменяется.

Помимо скорости, важной характеристикой волны является длина волны. Длиной волны называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний в ней.

Поскольку скорость волны — величина постоянная (для данной среды), то пройденное волной расстояние равно произведению скорости на время ее распространения. Таким образом, чтобы найти длину волны, надо скорость волны умножить на период колебаний в ней:

где

v — скорость волны; T — период колебаний в волне; λ (греческая буква «ламбда») — длина волны.

Выбрав направление распространения волны за направление оси x и обозначив через y координату колеблющихся в волне частиц, можно построить график волны. График синусоидальной волны (при фиксированном времени t) изображен на рисунке 45. Расстояние между соседними гребнями (или впадинами) на этом графике совпадает с длиной волны λ.

Формула (22.1) выражает связь длины волны с ее скоростью и периодом. Учитывая, что период колебаний в волне обратно пропорционален частоте, т. е. T = 1/ν, можно получить формулу, выражающую связь длины волны с ее скоростью и частотой:

Полученная формула показывает, что скорость волны равна произведению длины волны на частоту колебаний в ней.

Частота колебаний в волне совпадает с частотой колебаний источника (так как колебания частиц среды являются вынужденными) и не зависит от свойств среды, в которой распространяется волна. При переходе волны из одной среды в другую ее частота не изменяется, меняются лишь скорость и длина волны.

1. Что понимают под скоростью волны? 2. Что такое длина волны? 3. Как длина волны связана со скоростью и периодом колебаний в волне? 4. Как длина волны связана со скоростью и частотой колебаний в волне? 5. Какие из следующих характеристик волны изменяются при переходе волны из одной среды в другую: а) частота; б) период; в) скорость; г) длина волны?

Экспериментальное задание. Налейте воду в ванну и посредством ритмичных касаний воды пальцем (или линейкой) создайте на ее поверхности волны. Используя разную частоту колебаний (например, касаясь воды один и два раза в секунду), обратите внимание на расстояние между соседними гребнями волн. При какой частоте колебаний длина волны больше?

Основные формулы по физике – КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

Физические законы, формулы, переменные

Формулы квантовой физики

Закон Стефана-Больцмана:
где R – энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела, т.е. энергия, испускаемая в единицу времени с единицы площади:
σ – постоянная Стефана-Больцмана:

 

Энергетическая светимость (излучательность) серого тела:
где α – коэффициент черноты.

Закон смещения Вина:
где λm – длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения;
b – постоянная Вина :

Импульс фотона:
где λ – длина волны;
h – постоянная Планка:

Энергия фотона:
где ν – частота;
с – скорость света в вакууме:

Формула Эйнштейна для фотоэффекта:
где hν – энергия фотона, падающего на поверхность металла;
А – работа выхода электрона из металла;
– максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Красная граница фотоэффекта:
где λк – максимальная длина волны, при которой возможен фотоэффект;
νк – минимальная частота, при которой возможен фотоэффект.

или

Сериальные формулы спектра водородоподобного атома
где R – постоянная Ридберга R=1,097·107 м-1,
z – порядковый номер элемента;
Серия Лаймана m=1, n=2,3,4…
Серия Бальмера m=2, n=3,4,5…
Серия Пашена m=3, n=4,5,6…
Серия Брекета m=4, n=5,6,7… и т.д.

Длина волны де Бройля:

где р – импульс частицы.

В классическом приближении (при v<<c): p = mv;

m – масса частицы;

v – скорость частицы;

с – скорость света в вакууме.

В релятивистском случае (при ):

Связь импульса с кинетической энергией Wк в релятивистском приближении:
где E0 – энергия покоя частицы:

Плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства

Волновая функция, описывающая состояние частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
где l – ширина ямы,
х – координата частицы в яме (0 ≤ x ≤ l),
n – квантовое число (n=1,2,3…).

Энергия частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
где m – масса частицы.

Электропроводность собственных полупроводников
где е – заряд электрона,
n – концентрация носителей заряда,
uр – подвижность электронов,
un – подвижность дырок.

Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, германия, кремния

Уравнений для простого маятника Рона Куртуса

SfC Home> Физика> Механика>

Рона Куртуса

Уравнения для простого маятника показывают, как найти частоту и период движения.

Простой маятник состоит из точечной массы, подвешенной на струне или проволоке, масса которой незначительна. Если маятник или грузик потянуть на относительно небольшой угол от вертикали и отпустить, он будет качаться назад и вперед с постоянной периодичностью и частотой.Эти требования позволяют сделать уравнения относительно простыми и называются простым гармоническим движением .

Если боб больше, у проволоки масса или угол больше, он называется физическим маятником со сложными уравнениями движения.

Хотя демпфирующие эффекты от сопротивления воздуха и трения являются факторами, они считаются незначительными для основных уравнений, касающихся частоты или периода маятника.

Вопросы, которые могут у вас возникнуть:

  • Какие факторы и параметры движения маятника?
  • Какие уравнения для частоты и периода?
  • Каковы уравнения длины маятниковой струны?

Этот урок ответит на эти вопросы.Полезный инструмент: Конвертация единиц



Факторы и параметры

Основным фактором, используемым в уравнениях для расчета частоты простого маятника, является длина стержня или проволоки, при условии, что начальный угол или амплитуда качания малы. Масса или вес боба не влияет на частоту простого маятника, но имеет значение ускорение свободного падения.

Примечание : Это означает, что частота и период будут отличаться на Луне и на Земле.

Зная длину маятника, можно определить его частоту. Или, если вам нужна конкретная частота, вы можете определить необходимую длину.

Факторы и параметры простого маятника

( См. Демонстрация маятника, чтобы увидеть маятник в движении )

Уравнение периода

Период движения маятника – это время, необходимое для его качания вперед-назад, измеряется в секундах.Уравнение для периода простого маятника, начинающегося под малым углом α (альфа):

T = 2π√ (л / г)

где

  • T – период в секундах
  • π – греческая буква пи и составляет приблизительно 3,14
  • .
  • – это квадратный корень из скобок
  • L – длина прутка или проволоки в метрах или футах
  • g – ускорение свободного падения (9.8 м / с² или 32 фут / с² на Земле)

Таким образом, если L = 2 метра:

T = 2 * 3,14 * √ (2 / 9,8) = 6,28 * √ (0,204) = 6,28 * 0,4517

T = 2,837 секунды или небольшое округление до T = 2,8 с.

Частотное уравнение

Частота маятника – это количество возвратно-поступательных колебаний в секунду, измеряемое в герцах.

Частота f – величина, обратная периоду T :

f = 1 / T

f = 1 / [2π√ (л / г)]

Уравнение также можно изменить в следующем виде:

f = [√ (г / л)] / 2π

Таким образом, если L = 2 метра,

f = [√ (9.8/2)] / 2 * 3,14

f = [√ (4,9)] / 6,28 = 2,21 / 6,28 = 0,353 Гц.

Длина провода

Вы можете найти длину стержня или проволоки для заданной частоты или периода.

Частота

Решите уравнение для L :

f = [√ (г / л)] / 2π

2πf = √ (г / л)

Возвести в квадрат обе части уравнения:

2 f 2 = г / л

Решить для л :

L = г / (4π 2 f 2 )

Например, длина маятника с частотой 1 Гц (1 цикл в секунду) составляет около 0.25 метров.

Период

Аналогично, длина провода за данный период составляет:

T = 2π√ (л / г)

Квадрат с двух сторон:

T 2 = 4π 2 (л / г)

Решить для л :

L = gT 2 / 4π 2

Сводка

Если маятник простого маятника потянуть на относительно небольшой угол и отпустить, он будет качаться назад и вперед с постоянной частотой.Эти требования позволяют сделать уравнения относительно простыми и называются простым гармоническим движением .

Если демпфирующими эффектами от сопротивления воздуха и трения можно пренебречь, можно вычислить уравнения, касающиеся частоты и периода маятника, а также длины струны.

Уравнение периода: T = 2π√ (л / г)

Частотное уравнение: f = [√ (г / л)] / 2π

Уравнения длины: L = g / (4π 2 f 2 ) и L = gT 2 / 4π 2


Почувствуйте себя хорошо, стараясь изо всех сил


Ресурсы и ссылки

Полномочия Рона Куртуса

Сайты

Как работают маятниковые часы – From Как работают вещи

Физические ресурсы

Книги

(Примечание: Школа чемпионов может получать комиссионные от покупки книг)

Книги о маятниках с самым высоким рейтингом

Книги с самым высоким рейтингом по Periodic Motion

Книги по физике движения с самым высоким рейтингом


Вопросы и комментарии

Есть ли у вас какие-либо вопросы, комментарии или мнения по этой теме? Если да, отправьте свой отзыв по электронной почте.Я постараюсь вернуться к вам как можно скорее.


Поделиться страницей

Нажмите кнопку, чтобы добавить эту страницу в закладки или поделиться ею через Twitter, Facebook, электронную почту или другие службы:


Студенты и исследователи

Веб-адрес этой страницы:
www.school-for-champions.com/science/
pendulum_equations.htm

Пожалуйста, включите его в качестве ссылки на свой веб-сайт или в качестве ссылки в своем отчете, документе или тезисе.

Авторские права © Ограничения


Где ты сейчас?

Школа чемпионов

Физические темы

Уравнения простого маятника

Калькулятор сокращения длины

Возможно, вы слышали о концепции относительности длины или сокращения длины. Если вы уже знакомы с явлением относительности длины или только делаете первые шаги в области специальной теории относительности, этот калькулятор сокращения длины поможет вам лучше понять релятивистские эффекты и уравнение сокращения длины.Сокращение длины также известно как сокращение Лоренца.

Длина относительная: лестница парадокс

Сокращение длины – это релятивистское явление, когда длина движущегося объекта измеряется короче, чем его длина при измерении в состоянии покоя. Этот эффект заметен только при больших скоростях.

Сокращение длины приводит к лестничному парадоксу. Парадокс связан с гаражом и лестницей, которую следует разместить внутри гаража. Однако лестница слишком длинная, чтобы в нее поместиться.Решение – бежать по лестнице. С точки зрения неподвижного наблюдателя лестница будет казаться короче и поместится в гараже. Однако для человека, бегущего по лестнице, гараж движется. Поэтому его длина сокращена, и он не может поместиться на лестнице. Кто прав?

Разрешение парадокса заключается в том, что можно заметить, что лестница умещается в гараже, если два события:

  1. Передняя лестница находится в гараже
  2. Задняя часть трапа находится в гараже

происходят одновременно.Но будут ли два события происходить одновременно, зависит от точки зрения. Для человека, наблюдающего сценарий, эти два события могут произойти одновременно, и этот человек может утверждать, что лестница подходит. Для человека, бегущего по лестнице, эти два события не происходят одновременно, и лестница не подходит.

Формула сокращения длины

Как быстро нужно бежать, чтобы сбить с толку друзей? Вы можете рассчитать сокращение длины с помощью следующего уравнения

относительная длина = l * γ = l * √ (1 - v² / c²)

где:

  • относительная длина – наблюдаемая длина движущегося объекта,
  • l – длина объекта в его опорной раме,
  • v – скорость объекта,
  • c – скорость света (299 792 458 м / с),
  • γ называется фактором Лоренца.

Или воспользуйтесь калькулятором сокращения длины.

Чтобы эффект сокращения длины был заметен, скорость должна быть очень высокой – сравнимой со скоростью света. У нас нет опыта повседневной жизни с объектами, движущимися с такой высокой скоростью. Это делает эффекты специальной теории относительности очень противоречивыми.

Эффект сокращения длины трудно наблюдать, потому что, помимо необходимой высокой скорости, трудно измерить длину объекта, движущегося относительно нас.Однако есть косвенные подтверждения сокращения длины. Например, Землю бомбардируют мюонами, которые создаются в верхних слоях атмосферы в результате столкновений космических лучей с атомами. Мюоны имеют чрезвычайно короткое время жизни; они быстро распадаются на другие элементарные частицы, прежде чем достигают поверхности Земли. Однако, поскольку они движутся со скоростью, близкой к скорости света, расстояние от верхних слоев атмосферы до поверхности Земли (для них) сокращается, и мы можем наблюдать мюоны на поверхности Земли.

Если вы хотите узнать или вычислить другие эффекты специальной теории относительности, попробуйте наш калькулятор E = mc2 или калькулятор замедления времени.

Как рассчитать период движения в физике

Обновлено 28 декабря 2020 г.

Крис Дезил

В естественном мире есть множество примеров периодического движения, от орбит планет вокруг Солнца до электромагнитных колебаний фотонов к нашему сердцебиению.

Все эти колебания связаны с завершением цикла, будь то возвращение движущегося по орбите тела в исходную точку, возврат вибрирующей пружины в точку равновесия или расширение и сжатие сердцебиения.Время, необходимое колебательной системе для завершения цикла, известно как ее период .

Период системы – это мера времени, и в физике он обычно обозначается заглавной буквой T . Период измеряется в единицах времени, подходящих для этой системы, но наиболее распространенными являются секунды. Вторая – это единица времени, первоначально основанная на вращении Земли вокруг своей оси и по ее орбите вокруг Солнца, хотя современное определение основано на колебаниях атома цезия-133, а не на каком-либо астрономическом явлении.

Периоды некоторых систем интуитивно понятны, например, вращение Земли, которое составляет сутки или (по определению) 86 400 секунд. Вы можете рассчитать периоды некоторых других систем, таких как колеблющаяся пружина, используя характеристики системы, такие как масса и жесткость пружины.

Когда дело доходит до световых колебаний, все становится немного сложнее, потому что фотоны движутся поперек пространства, пока они колеблются, поэтому длина волны является более полезной величиной, чем период.

Период – величина, обратная частоте

Период – это время, необходимое колебательной системе для завершения цикла, тогда как частота ( f ) – это количество циклов, которое система может завершить за заданный период времени. Например, Земля вращается один раз в день, поэтому период составляет 1 день, а частота также составляет 1 цикл в день. Если вы установите стандарт времени на годы, период составит 1/365 года, а частота – 365 циклов в год.Период и частота являются обратными величинами:

T = \ frac {1} {f}

В расчетах, связанных с атомными и электромагнитными явлениями, частота в физике обычно измеряется в циклах в секунду, также известных как Герцы (Гц), с −1 или 1 / сек. При рассмотрении вращающихся тел в макроскопическом мире число оборотов в минуту (об / мин) также является общепринятой единицей. Период может быть измерен в секундах, минутах или другом подходящем периоде времени.

Период простого гармонического осциллятора

Самый основной тип периодического движения – это движение простого гармонического осциллятора, который определяется как тот, который всегда испытывает ускорение, пропорциональное его расстоянию от положения равновесия и направленное в сторону равновесия. позиция.В отсутствие сил трения и маятник, и масса, прикрепленная к пружине, могут быть простыми гармоническими осцилляторами.

Можно сравнить колебания массы на пружине или маятнике с движением тела, вращающегося с равномерным движением по круговой траектории с радиусом r . Если угловая скорость тела, движущегося по окружности, равна ω, его угловое смещение ( θ ) от начальной точки в любой момент времени t составляет θ = ωt , и компоненты x и y его положения равны x = r cos ( ωt ) и y = r sin ( ωt ).

Многие осцилляторы движутся только в одном измерении, а если они движутся горизонтально, они движутся в направлении x . Если амплитуда, наиболее удаленная от положения равновесия, составляет A , то положение в любой момент времени t составляет x = A cos ( ωt ). Здесь ω известен как угловая частота, и она связана с частотой колебаний ( f ) уравнением ω = 2π f .Поскольку f = 1/ T , вы можете записать период колебаний следующим образом:

T = \ frac {2π} {ω}

Пружины и маятники: уравнения периода

Согласно Согласно закону Гука, масса на пружине подвергается действию восстанавливающей силы F = – kx , где k – характеристика пружины, известная как жесткость пружины и x Это смещение. Знак минус указывает, что сила всегда направлена ​​против направления смещения.Согласно второму закону Ньютона, эта сила также равна массе тела ( м ), умноженной на его ускорение ( a ), поэтому ма = – kx .

Для объекта, колеблющегося с угловой частотой ω , его ускорение равно – 2 cos ωt или, упрощенно, – ω 2 х . Теперь вы можете написать м (- ω 2 x ) = – kx , исключить x и получить ω = √ ( к / м ).Тогда период колебаний массы на пружине равен:

T = 2π \ sqrt {\ frac {m} {k}}

. Аналогичные соображения можно применить к простому маятнику, на котором вся масса центрируется на конце строки. Если длина струны составляет L , уравнение периода в физике для малоуглового маятника (то есть такого, в котором максимальное угловое смещение от положения равновесия мало), которое оказывается независимым от массы, имеет вид

T = 2π \ sqrt {\ frac {L} {g}}

, где g – ускорение свободного падения.

Период и длина волны

Подобно простому осциллятору, волна имеет точку равновесия и максимальную амплитуду по обе стороны от точки равновесия. Однако, поскольку волна распространяется через среду или пространство, колебания растягиваются вдоль направления движения. Длина волны определяется как поперечное расстояние между любыми двумя идентичными точками в цикле колебаний, обычно точками максимальной амплитуды на одной стороне положения равновесия.

Период волны – это время, за которое одна полная длина волны проходит через контрольную точку, тогда как частота волны – это количество длин волн, которые проходят через контрольную точку за данный период времени. Если период времени равен одной секунде, частота может быть выражена в циклах в секунду (герц), а период выражен в секундах.

Период волны зависит от скорости ее движения и длины волны ( λ ). Волна перемещается на расстояние в одну длину волны за один период времени, поэтому формула скорости волны равна v = λ / T , где v – скорость.Если преобразовать период в другие величины, получим:

T = \ frac {λ} {v}

Например, если волны на озере разделены 10 футами и движутся со скоростью 5 футов в секунду, период каждой волны 10/5 = 2 секунды.

Использование формулы скорости волны

Все электромагнитное излучение, к одному типу которого относится видимый свет, распространяется с постоянной скоростью, обозначаемой буквой c , через вакуум. Вы можете написать формулу скорости волны, используя это значение, и поступить так, как обычно делают физики, заменив период волны ее частотой.Формула принимает следующий вид:

c = \ frac {λ} {T} = f × λ

Поскольку c является константой, это уравнение позволяет вычислить длину волны света, если вы знаете его частоту, и наоборот. наоборот. Частота всегда выражается в герцах, и, поскольку свет имеет чрезвычайно малую длину волны, физики измеряют ее в ангстремах (Å), где один ангстрем равен 10 −10 метров.

Размеры и единицы

Механическая система, испытывающая одномерные демпфированные колебания, может быть моделируется уравнением

, где \ (m \) – масса системы, \ (b \) – некоторый коэффициент демпфирования, \ (k \) – жесткость пружины, а \ (u (t) \) – смещение система.Это уравнение, выражающее баланс трех физических эффекты: \ (mu ” \) (масса, умноженная на ускорение), \ (bu ‘\) (демпфирующая сила) и \ (ку \) (сила пружины). Различные физические величины, такие как \ (m \), \ (u (t) \), \ (b \) и \ (k \), все имеют разные размеры , измеренные в разные единицы , но \ (mu ” \), \ (bu ‘\) и \ (ku \) должны иметь одинаковые размерность, иначе добавлять их не было бы смысла.

Основные концепции

Базовые блоки и размеры

Базовые блоки обладают важным свойством, присущим всем остальным блокам. от них.В системе СИ таких базовых единиц семь и соответствующих физические величины: метр (м) на длину, килограмм (кг) для массы, секунды на время, кельвин (K) для температуры, ампер (А) для электрического тока, кандела (кд) для силы света, и моль (моль) для количества вещества. {- 2}] \)

Префиксы для единиц

Единицы часто имеют префиксы.9 \) Па.

Теорема Букингема Пи

Почти все тексты по масштабированию имеют трактовку знаменитого Бэкингема. Теорема Пи, которую можно использовать для вывода физических законов на основе единицы измерения совместимость, а не лежащие в основе физические механизмы. Этот буклет сосредоточен на моделях, в которых физические механизмы уже выражены через дифференциальные уравнения. Тем не менее, Pi Теорема занимает заметное место в литературе по масштабированию, и поскольку мы время от времени будем на него ссылаться, теорема такова: кратко обсуждается ниже.

Сама теорема просто состоит из двух частей. Во-первых, если проблема включает \ (n \) физические параметры, в которых \ (m \) независимые типы единиц (например, длина, масса и т. д.), тогда параметры могут быть в сочетании с ровно \ (n-m \) независимыми безразмерными числами, отнесенными как Пи. Во-вторых, любое безразмерное отношение между исходным \ (n \) параметры могут быть преобразованы в отношение между \ (n-m \) безразмерные числа. Такие отношения могут быть идентичностями или неравенства, указывающие, например, является ли данный эффект незначительный.Более того, преобразование системы уравнений в безразмерная форма соответствует выражающим коэффициентам, а также как свободные и зависимые переменные в единицах числа Пи.

В качестве примера представьте тело, движущееся с постоянной скоростью \ (v \). Что расстояние \ (s \), пройденное за время \ (t \)? Теорема Пи приводит к одна безразмерная переменная \ (\ pi = vt / s \) и приводит к формуле \ (s = Cvt \), где \ (C \) – неопределенная константа. Результат очень близко к известной формуле \ (s = vt \), возникающей из дифференциала уравнение \ (s ‘= v \) в физике, но с дополнительной константой.

На первый взгляд теорема Пи может показаться граничащей с тривиально. Тем не менее, это может привести к значительному прогрессу для избранных проблемы, такие как турбулентные струи, ядерные взрывы или сходство решения, без детальных знаний математических или физических модели. Следовательно, новичку в масштабировании это может показаться чем-то особенным. очень глубокий, если не волшебный. Во всяком случае, если перейти к более сложным задач со многими параметрами, использование теоремы дает сравнительно меньший выигрыш по мере увеличения числа Пи.Многие Пи также могут быть рекомбинированы разными способами. Итак, хорошо физическое понимание и / или информация, передаваемая через набор уравнений, требуется для выбрать полезные безразмерные числа или соответствующее масштабирование упомянутый набор уравнений. Иногда изучение уравнений также показывает, что некоторые числа Пи, полученные в результате применения теоремы, на самом деле может быть удалено из проблемы. Как следствие, когда моделирование сложной физической задачи, реальная оценка масштабирования и безразмерные числа так или иначе будут включены в анализ основных уравнений вместо того, чтобы быть отдельной проблемой с теоремой Пи.И в учебниках, и в статьях обсуждение масштабирование в контексте уравнений слишком часто отсутствует или представлен в нерешительности. Следовательно, внимание авторов будет об этом процессе, хотя мы не приводим много примеров по теореме Пи. Мы не говорим, что теорема Пи мало стоимость. В ряде случаев, например, в экспериментах, он может предоставить ценные и даже важные рекомендации, но в частности В учебнике мы стремимся рассказать дополнительную историю о масштабировании.Кроме того, как будет показано в этом буклете, безразмерные числа в проблема также возникает очень естественным образом из-за масштабирования дифференциальные уравнения. Если есть модель, основанная на дифференциальных уравнений, в классических размерный анализ.

Абсолютные ошибки, относительные ошибки и единицы

Математически не имеет значения, какие единицы мы используем для физического количество. Однако когда мы имеем дело с приближениями и ошибками, единицы важны.{-3} \) независимо от того, измеряется ли длина в километрах или миллиметрах.

Тем не менее, вместо того, чтобы полагаться исключительно на относительные ошибки, лучше масштабировать проблему так, чтобы количества, входящие в вычисления имеют размер единицы (или, по крайней мере, умеренные), а не очень большой или очень маленький. Техника этих заметок показывает, как это можно сделать.

Агрегаты и компьютеры

Традиционные числовые вычисления включают только числа и, следовательно, требует безразмерных математических выражений.Обычно неявный используется тривиальное масштабирование. Можно, например, просто масштабировать по всей длине величин на 1 м, всех временных величин на 1 с и всех массовых величин на 1 кг, чтобы получить необходимые для расчетов безразмерные числа. Это наиболее распространенный подход, хотя он очень редко используется в явном виде. заявил.

Пакеты символьных вычислений, такие как Mathematica и Maple, позволяют вычисления с величинами, имеющими размерность. Это тоже возможно в популярных компьютерных языках, используемых для численных вычислений (раздел PhysicalQuantity: инструмент для вычислений с помощью единиц предоставляет конкретный пример на Python).{-3} \)). Хотя таблицы преобразования единиц измерения часто встречаются в школе, ошибки при пересчете единиц измерения, вероятно, ранжируют самый высокий среди всех ошибок, совершаемых учеными и инженерами (и когда из-за ошибки преобразования единиц в самолете заканчивается топливо, это серьезно!). Наличие хороших программных инструментов для помощи в подразделении поэтому конверсия имеет первостепенное значение, что мотивирует лечение этого тема в разделах PhysicalQuantity: инструмент для вычислений с единицами измерения и Parampool: пользовательские интерфейсы с автоматическим преобразованием единиц измерения.Читатели, которые в первую очередь заинтересованы в методе математического масштабирования. смело пропустите этот материал и сразу перейдите к разделу Задачи экспоненциального распада.

Пример проблем, связанных с системами единиц

Слегка доработанный пример масштабирования в реальном научный / инженерный проект может стимулировать читателя мотивация. В полном объеме изучение цунами, пролетов геофизика, геология, история, гидродинамика, статистика, геодезия, инженерия и гражданская защита.Эта сложность отражается в разнообразие практик использования единиц, весов и концепции. Если сузить рамки до моделирования цунами распространение, аспект масштабирования, по крайней мере, может показаться простым, поскольку мы в основном касается продолжительности и времени. Тем не менее, даже здесь неоднородность физических единиц является помехой.

Незначительной проблемой является периодическое использование единиц, не относящихся к системе СИ, таких как дюймы или в старых диаграммах, даже саженях. Более важна неоднородность величина различных переменных и различия в присущие, в частности, горизонтальные и вертикальные масштабы.Обычно отметки поверхности указаны в метрах или меньше. Для дальних водоемов распространения, а также небольшие цунами (которые до сих пор остаются научными интереса) отметки поверхности часто указываются в см или даже мм. В глубоком океане характерная глубина порядка величина больше этой, обычно \ (5000 \, \ hbox {m} \). Распространение расстояния, с другой стороны, составляют сотни или тысячи километров. Часто лучше всего описываются местоположения и вычислительные сети. в географических координатах (долгота / широта), которые связаны с Единицы СИ на 1 минуту широты составляют примерно одну морскую милю. (\ (1852 \, \ hbox {m} \)), и 1 минута долготы составляет это количество раз косинус широты.Периоды волн цунами в основном колеблются от от минут до часа, надеюсь, достаточно коротких, чтобы их можно было хорошо разделить из полусуточного периода приливов. Время распространения обычно часы или, может быть, лучшая часть дня, когда Тихий океан Океан пройден.

Ученые, инженеры и бюрократы в сообществе цунами имеют тенденцию быть конкретными и не соответствовать форматам и единицам измерения, поскольку а также тип требуемых данных. Чтобы удовлетворить эти требования, Разработчик моделирования цунами должен производить разнообразные данные, которые представлены в единицах измерения. и форматы, которые нельзя использовать внутри ее моделей.На с другой стороны, она также должна быть готова принять входные данные в разнообразные формы. Некоторые наборы данных могут быть большими, что означает ненужное дублирование с другими единицами измерения или масштабированием должно быть избегали. Кроме того, модели цунами часто маркируются по сравнение с экспериментальными данными. Лабораторный масштаб обычно \ (\ hbox {cm} \) или \ (\ hbox {m} \), самое большее, что подразумевает, что измеренные данные представлены в единицах, отличных от используемых в реальных событиях земного масштаба, или даже в вольтах, с информацией о преобразовании, полученной с измерительных приборов.

Все подробности устройства в различных форматах файлов явно мешают и порождают ряд заблуждений и ошибок, которые могут вызвать потеря драгоценного времени или усилий. Чтобы уменьшить такие проблемы, разработчики вычислительных инструментов должны сочетать разумную гибкость относительно единиц ввода и вывода с четким и последовательным соглашение о масштабировании в инструментах. Фактически, это также относится к академические инструменты для внутреннего использования.

Приведенное выше обсуждение указывает на некоторые передовые методы, которые продвигает.Во-первых, всегда выполняйте вычисления с помощью масштабированного дифференциального уравнения. модели. В этом буклете рассказывается, как это сделать. Во-вторых, пользователи программного обеспечения часто хотят указать входные данные с измерением и получить выходные данные с размером. Затем программное обеспечение должно применить такие инструменты, как PhysicalQuantity (раздел PhysicalQuantity: инструмент для вычислений с единицами) или более сложный пакет Parampool (раздел Parampool: пользовательские интерфейсы с автоматическим преобразованием единиц измерения), чтобы разрешить ввод с явными размерами и при необходимости преобразуйте размеры в нужные типы.Эти инструменты тривиально применять, если вычислительное программное обеспечение написан на Python, но это просто, если программное обеспечение написаны на скомпилированных языках, таких как Fortran, C или C ++. В последнем случай, когда вы просто создаете модуль чтения ввода в Python, который захватывает данные из пользовательский интерфейс и передает их в вычислительное программное обеспечение, либо через файлы или вызовы функций (вызываемые соответствующие функции должны быть обернуты в Python с такими инструментами, как f2py, Cython, Ткать SWIG, Мгновенное, или аналогичный, см. [Ref03] (Приложение C) для основных примеры обертывания кода C и Fortran в f2py и Cython).

PhysicalQuantity: инструмент для вычислений с модулями

Эти заметки содержат довольно много компьютерного кода, чтобы проиллюстрировать, как теория подробно отображает работающее программное обеспечение. Python – это язык программирования используется, прежде всего потому, что это легко читаемый, мощный, полноценный язык, позволяющий использовать MATLAB-подобный код а также код на основе классов, обычно используемый в Java, C # и C ++. Экосистема Python для научных вычислений за последние годы выросла. быстро набирает популярность и заменяет более специализированные инструменты как MATLAB, R и IDL.Примеры кодирования в этом буклете требуют только знания основных процедурное программирование на Python.

Читатели без знания переменных Python, функций, тестов if, и при импорте модулей следует обращаться, например, к краткому руководству по научным Python, конспекты научных лекций Python, или полный учебник [Ref04] параллельно с чтением о Код Python в настоящих заметках.

Эти примечания относятся к Python 2.7

Python существует в двух несовместимых версиях, пронумерованных 2 и 3.Различия можно сделать небольшими, и есть инструменты для написания код, работающий под обеими версиями.

Поскольку Python версии 2 все еще доминирует в научных вычислениях мы придерживаемся этой версии, но написать код версии 2.7, максимально приближенный к версии 3.4 и позже. В большинстве наших программ отличается только оператор print между версиями 2 и 3.

Вычисления с модулями в Python хорошо поддерживаются очень полезный инструмент PhysicalQuantity из пакета ScientificPython от Конрада Хинсен.К сожалению, ScientificPython не поддерживает писать, работать с NumPy версии 1.9 или новее, поэтому мы изолировали PhysicalQuantity объект в модуле PhysicalQuantities и сделал его общедоступным доступно на GitHub. Также существует альтернативный пакет Unum для вычислений с числами с единиц, но здесь мы будем придерживаться первого модуля.

Продемонстрируем использование объекта PhysicalQuantity вычисление \ (s = vt \), где \ (v \) – скорость, заданная в единицах измерения ярда на минута , а \ (t \) – время в часах.Сначала нам нужно знать, что единицы называются в PhysicalQuantities . Для этого запустите pydoc Физические количества или

 Терминал> pydoc Scientific.Physics.PhysicalQuantities
 

, если у вас установлен весь пакет ScientificPython. В итоговая документация показывает имена единицы. В частности, ярды указаны ярдов , минуты мин , а часы по ч . Теперь мы можем вычислить \ (s = vt \) следующим образом:

 >>> # С ScientificPython:
>>> от Науч.Physics.PhysicalQuantities import \
... PhysicalQuantity как PQ
>>> # С PhysicalQuantities как отдельным / автономным модулем:
>>> из PhysicalQuantities импортировать PhysicalQuantity как PQ
>>>
>>> v = PQ ('120 ярдов / мин') # скорость
>>> t = PQ ('1 h') # время
>>> s = v * t # расстояние
>>> print s # s - строка
120,0 ч * ярд / мин
 

Нечетная единица ч * ярд / мин лучше преобразовать в стандартную единицу СИ, например как метр:

 >>> с.convertToUnit ('м')
>>> print s
6583,68 м
 

Обратите внимание, что s – это объект PhysicalQuantity со значением и Блок. Для математических вычислений нам нужно извлечь значение как объект с плавающей запятой . Мы также можем извлечь единицу в виде строки:

 >>> print s.getValue () # float
6583,68
>>> print s.getUnitName () # строка
м
 

Вот пример того, как преобразовать единицы нечетной скорости ярды на минута на что-то более стандартное:

 >>> v.{-1} \)
где джоуль заменяет калорийность? 

 >>> c = PQ ('1 кал / (г * К)')
>>> c.convertToUnit ('Дж / (г * К)')
>>> печать c
4,184 Дж / К / г
 

Parampool: пользовательские интерфейсы с автоматическим преобразованием единиц измерения

Пакет Parampool позволяет создание пользовательских интерфейсов с поддержкой юнитов и юнитов конверсия. Значения параметров можно задать в виде числа с Блок. Параметры могут быть зарегистрированы заранее с предпочтительным единица измерения, и все, что предписывает пользователь, значение и единица измерения преобразован так, что единица станет зарегистрированной единицей.2 \), \ (t \) быть время измеряется в с, и, следовательно, \ (с \) будет расстоянием, измеряемым в м.

Пул параметров

Во-первых, Parampool требует от нас определения пула всех входных параметры, которые здесь просто представлены списком словарей, где каждый словарь содержит информацию об одном параметре. Возможно организовать входные параметры в древовидной структуре с подпулами, которые сами могут иметь субпулы, но для нашего простого приложения нам просто нужна плоская структура с три входных параметра: \ (v_0 \), \ (a \) и \ (t \).Эти параметры помещаются в подпул под названием "Основной". Пул создается по коду

 def define_input ():
    бассейн = [
        'Основной', [
            dict (name = 'начальная скорость', по умолчанию = 1.0, unit = 'm / s'),
            dict (name = 'acceleration', по умолчанию = 1.0, unit = 'm / s ** 2'),
            dict (name = 'time', по умолчанию = 10.0, unit = 's')
            ]
        ]

    из parampool.pool.UI import listtree2Pool
    pool = listtree2Pool (pool) # преобразовать список в объект Pool
    возвратный бассейн
 

Для каждого параметра мы можем определить логическое имя, например, начальная скорость , значение по умолчанию и единица измерения.Дополнительные свойства также разрешены, см. документацию Parampool.

Совет: укажите значения чисел по умолчанию как объекты с плавающей запятой

Обратите внимание, что мы пишем не просто 1, а 1.0 по умолчанию. Если бы использовалось 1, Parampool интерпретировал бы наш параметр как целое число и поэтому преобразует ввод, например, 2,5 м / с в 2 м / с . Чтобы гарантировать, что параметр с действительным знаком становится объектом float внутри пула, мы должны указать значение по умолчанию как действительное число: 1. или 1.0 . (Тип входного параметра также может быть установлен явно с помощью свойство str2type , например, str2type = float .)

Получение данных пула для вычислений

Мы можем сделать небольшую функцию для получения значений из пула и вычисление \ (s \):

 дистанция def (бассейн):
    v_0 = pool.get_value ('начальная скорость')
    a = pool.get_value ('ускорение')
    t = pool.get_value ('время')
    s = v_0 * t + 0.5 * а * т ** 2
    вернуть s
 

Функция pool.get_value возвращает числовое значение названный параметр, после того, как единица была преобразована из того, что Пользователь указал, что было зарегистрировано в пуле. Например, если пользователь предоставляет аргумент командной строки - время '2 ч' , Parampool преобразует это количество в секунды и pool.get_value ('time') вернет 7200.

Чтение параметров командной строки

Для запуска вычислений мы определяем пул, загружаем значения из командная строка и позвоните по номеру на расстояние :

 пул = define_input ()
из Parampool.menu.UI import set_values_from_command_line
pool = set_values_from_command_line (пул)

s = расстояние (бассейн)
print 's =% g'% s
 

В именах параметров с пробелами должен использоваться символ подчеркивания вместо пробела. в параметре командной строки, например, в --Initial_velocity . Теперь мы можем запустить

 Терминал> python distance.py --initial_velocity '10 km / h '\
          - ускорение 0 - время '1 ч
s = 10000
 

Обратите внимание на ответ ( s ), что 10 км / ч преобразуется в м / с, а 1 ч - в с.

Также можно получить значения параметров как PhysicalQuantity объекты из пула по телефону

 v_0 = pool.get_value_unit ('Начальная скорость')
 

Следующий вариант функции расстояние вычисляет с значений и единиц:

 def distance_unit (пул):
    # Вычислить с помощью единиц
    из parampool.PhysicalQuantities импортировать PhysicalQuantity как PQ
    v_0 = pool.get_value_unit ('начальная скорость')
    a = pool.get_value_unit ('ускорение')
    t = бассейн.get_value_unit ('время')
    s = v_0 * t + 0,5 * a * t ** 2
    вернуть s.getValue (), s.getUnitName ()
 

Тогда мы можем сделать

 с, s_unit = Distance_unit (пул)
print 's =% g'% s, s_unit
 

и получите результат с правильным блоком.

Установка значений по умолчанию в файле

В больших приложениях с большим количеством входных параметров часто нравится для определения (огромного) набора значений по умолчанию для конкретного случая, а затем переопределите некоторые из них в командной строке.Такие наборы значений по умолчанию может быть установлен в файле с использованием синтаксиса типа

 subpool Главный
начальная скорость = 100! ярд / мин
ускорение = 0! м / с ** 2 # ускорение падения
конец
 

Аппарат можно отдать после ! Символ (и перед символом комментария # ).

Для чтения таких файлов мы должны добавить строки

 из parampool.pool.UI import set_defaults_from_file
pool = set_defaults_from_file (пул)
 

перед звонком на номер set_defaults_from_command_line .

Если приведенные выше команды сохранены в файле distance.dat , мы даем информация об этом файле в программу через опция --poolfile distance.dat . Запуск всего

 Терминал> python distance.py --poolfile distance.dat
s = 15,25 м
 

сначала загружает скорость 100 ярдов / мин преобразовано в 1,524 м / с и нулевое ускорение в систему пула и затем мы вызываем distance_unit , который загружает эти значения из пула вместе со значением по умолчанию для время, установленное на 10 с.Тогда расчет будет \ (s = 1,524 \ cdot 10 + 0 = 15,24 \) с блоком м. Мы можем изменить время и / или два других параметры в командной строке:

 Терминал> python distance.py --poolfile distance.dat --time '2 h'
s = 10972,8 м
 

Результат вычисления: \ (s = 1,524 \ cdot 7200 + 0 = 10972,8 \). Предлагаем вам поиграть с программой distance.py.

Указание нескольких значений входных параметров

Parampool имеет интересную особенность: можно назначить несколько значений. к входному параметру, тем самым облегчая приложению пройти через все комбинации всех параметров.Мы можем продемонстрировать эту особенность, составив таблицу из \ (v_0 \), \ (a \), \ (t \) и \ (s \) значения. В функции вычисления нам нужно вызвать pool.get_values ​​ вместо pool.get_value , чтобы получить список всех значений, которые были указаны для рассматриваемого параметра. Путем вложенности петель поверх все параметры, мы посещаем все комбинации всех параметров как указано пользователем:

 def Distance_table (бассейн):
    "" "Получение нескольких значений параметров из пула." ""
    таблица = []
    для v_0 в пуле.get_values ​​('начальная скорость'):
        для a в pool.get_values ​​('ускорение'):
            для t в pool.get_values ​​('time'):
                s = v_0 * t + 0,5 * a * t ** 2
                table.append ((v_0, a, t, s))
    таблица возврата
 

Если для параметра было указано только одно значение, pool.get_values ​​ возвращает только это значение, и будет только один проход в связанном петля.

После загрузки аргументов командной строки в наш объект пула , мы можем вызвать Distance_table вместо Distance или Distance_unit и напишите красиво оформленную таблицу результатов:

 table = distance_table (бассейн)
print '| ----------------------------------------------- ------ | '
печать '| v_0 | а | т | с | '
print '| ----------------------------------------------- ------ | '
для v_0, a, t, s в таблице:
    печать '|% 11.3f | % 10.3f | % 10.3f | % 12.3f | ' % (v_0, a, t, s)
print '| ----------------------------------------------- ------ | '
 

Вот пример выполнения,

 Терминал> python distance.py --time '1 ч и 2 ч и 3 ч' \
          - ускорение '0 м / с ** 2 и 1 м / с ** 2 и 1 ярд / с ** 2' \
      --initial_velocity '1 и 5'
| ------------------------------------------------- ---- |
| v_0 | а | т | s |
| ------------------------------------------------- ---- |
| 1.000 | 0,000 | 3600.000 | 3600.000 |
| 1.000 | 0,000 | 7200.000 | 7200.000 |
| 1.000 | 0,000 | 10800.000 | 10800.000 |
| 1.000 | 1.000 | 3600.000 | 6483600.000 |
| 1.000 | 1.000 | 7200.000 | 25927200.000 |
| 1.000 | 1.000 | 10800.000 | 58330800.000 |
| 1.000 | 0,914 | 3600.000 | 5928912.000 |
| 1.000 | 0,914 | 7200.000 | 23708448.000 |
| 1.000 | 0,914 | 10800.000 | 53338608.000 |
| 5.000 | 0,000 | 3600.000 | 18000.000 |
| 5.000 | 0,000 | 7200.000 | 36000.000 |
| 5.000 | 0,000 | 10800.000 | 54000.000 |
| 5.000 | 1.000 | 3600.000 | 6498000.000 |
| 5.000 | 1.000 | 7200.000 | 25956000.000 |
| 5.000 | 1.000 | 10800.000 | 58374000.000 |
| 5.000 | 0,914 | 3600.000 | 5943312.000 |
| 5.000 | 0,914 | 7200.000 | 23737248.000 |
| 5.000 | 0,914 | 10800.000 | 53381808.000 |
| ------------------------------------------------- ---- |
 

Обратите внимание, что некоторые из нескольких значений имеют разные размеры. из зарегистрированного измерения для этого параметра, а таблица показывает, что преобразование в правильное измерение имело место.

Создание графического пользовательского интерфейса

Для удовольствия мы можем легко создать графический пользовательский интерфейс. через Parampool. Мы оборачиваем функцию distance_unit в функцию, которая возвращает результат в красивом HTML-коде:

 def distance_unit2 (пул):
    # Перенести результат из distance_unit в HTML
    s, s_unit = Distance_unit (пул)
    return ' Distance: % .2f% s'% (s, s_unit)
 

Кроме того, мы должны сделать файл generate_distance_GUI.py с простое содержание

 из импорта parampool.generator.flask сгенерировать
с расстояния импорт distance_unit2, define_input

генерировать (distance_unit2, pool_function = define_input, MathJax = True)
 

Запуск generate_distance_GUI.py создает веб-сайт на основе Flask. интерфейс для нашей функции distance_unit , см. Рисунок Web GUI, где параметры могут быть указаны с единицами измерения. Текстовые поля в этом графическом интерфейсе позволяют указывать параметры с числа и единицы, e.g., ускорение с единицей измерения ярдов в минуту в квадрате, как показано на рисунке. Слегка наведя указатель мыши слева от текстовое поле вызывает появление маленького черного окошка с зарегистрированным устройством этого параметра.

Веб-интерфейс, в котором параметры могут быть указаны в единицах измерения

С примерами, показанными выше, читатель должен уметь использовать PhysicalQuantity объект и пакет Parampool в программах и тем самым безопасно работать с юнитами. В следующем тексте, где мы обсуждаем умение масштабировать подробно, мы просто будем работать в стандартных единицах СИ и избегайте преобразования единиц измерения, чтобы больше не использовать PhysicalQuantity и Parampool.

Преломление и лучевая модель света

Диаграммы лучей могут использоваться для определения местоположения изображения, его размера, ориентации и типа изображения, сформированного из объектов при размещении в заданном месте перед линзой. Использование этих диаграмм было продемонстрировано ранее в Уроке 5 как для собирающих, так и для расходящихся линз. Диаграммы лучей предоставляют полезную информацию об отношениях объект-изображение, но не могут предоставить информацию в количественной форме. Хотя лучевая диаграмма может помочь определить приблизительное местоположение и размер изображения, она не предоставит числовой информации о расстоянии до изображения и размере изображения.Чтобы получить этот тип числовой информации, необходимо использовать уравнение линзы и уравнение увеличения . Уравнение объектива выражает количественную зависимость между расстоянием до объекта (d o ), расстоянием до изображения (d i ) и фокусным расстоянием (f). Уравнение сформулировано следующим образом:

Уравнение увеличения связывает отношение расстояния до изображения и расстояния до объекта с отношением высоты изображения (h i ) и высоты объекта (h o ).Уравнение увеличения указано следующим образом:

Эти два уравнения можно объединить для получения информации о расстоянии до изображения и высоте изображения, если известны расстояние до объекта, высота объекта и фокусное расстояние.

Практические задачи

В качестве демонстрации эффективности уравнения линзы и уравнения увеличения рассмотрим следующий пример задачи и ее решение.

Пример задачи № 1
А 4.Лампочка высотой 00 см расположена на расстоянии 45,7 см от двойной выпуклой линзы с фокусным расстоянием 15,2 см. Определите расстояние до изображения и размер изображения.

Как и все проблемы в физике, начните с выявления известной информации.

h o = 4,00 см d o = 45,7 см f = 15,2 см

Затем определите неизвестные величины, которые вы хотите найти.

Для определения расстояния до изображения необходимо использовать уравнение линзы. Следующие строки представляют решение для расстояния до изображения; показаны замены и алгебраические шаги.

1 / f = 1 / do + 1 / d i

1 / (15,2 см) = 1 / (45,7 см) + 1 / d i

0,0658 см -1 = 0,0219 см -1 + 1 / d i

0,0439 см -1 = 1 / d i

Числовые значения в приведенном выше решении были округлены при записи, однако во всех расчетах использовались неокругленные числа.Окончательный ответ округляется до третьей значащей цифры.

Для определения высоты изображения необходимо уравнение увеличения. Поскольку три из четырех величин в уравнении (без учета M) известны, четвертая величина может быть вычислена. Решение показано ниже.

h i / час o = - d i / d o

ч i /( 4,00 см) = - (22,8 см) / (45,7 см)

ч i = - (4.00 см) • (22,8 см) / (45,7 см)

Отрицательные значения высоты изображения указывают на то, что изображение является перевернутым. Как это часто бывает в физике, отрицательный или положительный знак перед числовым значением физической величины представляет информацию о направлении. В случае высоты изображения отрицательное значение всегда указывает на перевернутое изображение.

Из расчетов в этой задаче можно сделать вывод, что если поместить объект высотой 4,00 см 45.7 см от двойной выпуклой линзы с фокусным расстоянием 15,2 см, то изображение будет перевернутым, высотой 1,99 см и расположенным на расстоянии 22,8 см от линзы. Результаты этого расчета согласуются с принципами, обсужденными ранее в этом уроке. В этом случае объект расположен на за точкой 2F (что было бы на два фокусных расстояния от объектива), а изображение расположено между точкой 2F и фокусной точкой. Это подпадает под категорию случая 1: объект расположен на дальше 2F для собирающей линзы.

Теперь давайте попробуем второй пример задачи:

Пример задачи № 2
Лампочка высотой 4,00 см помещена на расстоянии 8,30 см от двойной выпуклой линзы с фокусным расстоянием 15,2 см. (ПРИМЕЧАНИЕ: это тот же объект и тот же объектив, только на этот раз объект расположен ближе к объективу.) Определите расстояние до изображения и размер изображения.

Опять же, начнем с определения известной информации.

h o = 4,00 см d o = 8,3 см f = 15,2 см

Затем определите неизвестные величины, которые вы хотите найти.

Для определения расстояния до изображения необходимо использовать уравнение линзы. Следующие строки представляют решение для расстояния до изображения; показаны замены и алгебраические шаги.

1 / f = 1 / do + 1 / d i

1 / (15,2 см) = 1 / (8,30 см) + 1 / d i

0,0658 см -1 = 0,120 см -1 + 1 / d i

-0,0547 см -1 = 1 / d i

Числовые значения в приведенном выше решении были округлены при записи, однако во всех расчетах использовались неокругленные числа. Окончательный ответ округляется до третьей значащей цифры.

Для определения высоты изображения необходимо уравнение увеличения. Поскольку три из четырех величин в уравнении (без учета M) известны, четвертая величина может быть вычислена. Решение показано ниже.

h i / час o = - d i / d o

h i /( 4,00 см) = - (-18,3 см) / (8,30 см)

h i = - (4,00 см) • (-18,3 см) / (8,30 см)

Отрицательное значение расстояния до изображения указывает, что изображение является виртуальным изображением, расположенным на стороне объекта линзы.Опять же, отрицательный или положительный знак перед числовым значением физической величины представляет информацию о направлении. В случае расстояния до изображения отрицательное значение всегда означает, что изображение находится на стороне объекта линзы. Также обратите внимание, что высота изображения - положительное значение, что означает вертикальное изображение. Любое изображение, расположенное вертикально и расположенное на стороне линзы объекта, считается виртуальным изображением.

Из вычислений во втором примере задачи можно сделать вывод, что если 4.Объект высотой 00 см помещается на 8,30 см от двойной выпуклой линзы с фокусным расстоянием 15,2 см, затем изображение будет увеличено, вертикально, высотой 8,81 см и расположено на расстоянии 18,3 см от линзы на стороне объекта. Результаты этого расчета согласуются с принципами, обсужденными ранее в этом уроке. В этом случае объект находится перед точкой фокусировки (т.е. расстояние до объекта меньше фокусного расстояния), а изображение располагается за линзой. Это попадает в категорию случая 5: объект расположен перед F (для собирающей линзы).

Третья проблема, связанная с образцом, относится к рассеивающей линзе.

Пример задачи № 3
Лампочка высотой 4,00 см помещена на расстоянии 35,5 см от расходящейся линзы с фокусным расстоянием -12,2 см. Определите расстояние до изображения и размер изображения.

Как и все проблемы в физике, начните с выявления известной информации.

h o = 4.00 см d o = 35,5 см f = -12,2 см

Затем определите неизвестные величины, которые вы хотите найти.

Для определения расстояния до изображения необходимо использовать уравнение линзы. Следующие строки представляют решение для расстояния до изображения; показаны замены и алгебраические шаги.

1 / f = 1 / do + 1 / d i

1 / (- 12.2 см) = 1 / (35,5 см) + 1 / d i

-0,0820 см -1 = 0,0282 см -1 + 1 / d i

-0,110 см -1 = 1 / d i

Числовые значения в приведенном выше решении были округлены при записи, однако во всех расчетах использовались неокругленные числа. Окончательный ответ округляется до третьей значащей цифры.

Для определения высоты изображения необходимо уравнение увеличения.Поскольку три из четырех величин в уравнении (без учета M) известны, четвертая величина может быть вычислена. Решение показано ниже.

h i / час o = - d i / d o

ч i /( 4,00 см) = - (-9,08 см) / (35,5 см)

h i = - (4,00 см) * (-9,08 см) / (35,5 см)

Отрицательные значения расстояния до изображения указывают на то, что изображение расположено на стороне объекта линзы.Как уже упоминалось, отрицательный или положительный знак перед числовым значением физической величины представляет информацию о направлении. В случае расстояния до изображения отрицательное значение всегда указывает на существование виртуального изображения, расположенного на стороне объекта линзы. В случае высоты изображения положительное значение указывает на вертикальное изображение.

Из расчетов в этой задаче можно сделать вывод, что если поместить объект высотой 4,00 см на расстоянии 35,5 см от расходящейся линзы с фокусным расстоянием 12.2 см, то изображение будет вертикальным, высотой 1,02 см и расположено на расстоянии 9,08 см от линзы на стороне объекта. Результаты этого расчета согласуются с принципами, обсужденными ранее в этом уроке. Расходящиеся линзы всегда создают вертикальные, виртуальные, уменьшенные изображения, расположенные на стороне линзы объекта.

Практика ведет к совершенству!

Используйте виджет Find the Image Distance ниже, чтобы исследовать влияние фокусного расстояния и расстояния до объекта на расстояние до изображения.Просто введите фокусное расстояние и расстояние до объекта. Затем нажмите кнопку Calculate Image Distance , чтобы просмотреть результат. Используйте виджет как инструмент практики.

Постоянная задача фотографов - создать изображение, на котором сфокусировано как можно больше объекта. В цифровых камерах используются линзы для фокусировки изображения на чувствительной пластине, на том же расстоянии от объектива. Однако на этом уроке мы узнали, что расстояние до изображения зависит от расстояния до объекта.Так как же фотографу сфокусировать объекты в поле зрения, если они находятся на разном расстоянии от камеры? Это постоянная проблема для фотографов (будь то любители-энтузиасты или профессионалы), которые хотят контролировать, насколько сфокусирована часть объекта. Глубина резкости - это термин фотографа для описания расстояния от ближайшего до самого дальнего объекта в поле зрения, который приемлемо сфокусирован на фотографии. Виджет Photography и Depth of Field позволяет вам исследовать переменные, влияющие на глубину резкости.

f-stop или f-число объектива камеры связано с размером круглого отверстия или диафрагмы, через которую свет проходит на своем пути к цифровому датчику. Чем больше число f, тем меньше отверстие и тем меньше света попадает на датчик. Круг нерезкости связан с ограничением глаза на разрешение деталей изображения в пределах небольшой области. Для 35-мм камеры, изображения которой увеличены до отпечатка 5 "x7", общепринятое значение кружка нерезкости равно 0.0333 мм.

Условные обозначения знаков

Условные обозначения для данных величин в уравнении линзы и увеличении следующие:

  • f = +, если линза представляет собой двойную выпуклую линзу (собирающую линзу)
  • f - если линза двояковогнутая (рассеивающая линза)
  • d i равно +, если изображение является реальным и расположено на противоположной стороне объектива.
  • d i - если изображение является виртуальным и расположено на стороне объекта линзы.
  • h i равно +, если изображение является вертикальным (и, следовательно, также виртуальным)
  • h i is - если изображение перевернутое изображение (а значит, тоже реальное)

Подобно многим математическим задачам в физике, этот навык можно приобрести только через личную практику. Возможно, вы захотите потратить некоторое время на решение следующих задач.


Мы хотели бы предложить ... Зачем просто читать об этом и когда можно с этим взаимодействовать? Взаимодействовать - это именно то, что вы делаете, когда используете одно из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения Optics Bench Interactive. Вы можете найти это в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Optics Bench Interactive предоставляет учащимся интерактивную среду для изучения формирования изображений с помощью линз и зеркал.Это похоже на полный набор инструментов для оптики на экране.

Проверьте свое понимание

1. Определите расстояние до изображения и высоту изображения для объекта высотой 5 см, помещенного на 45,0 см от двойной выпуклой линзы с фокусным расстоянием 15,0 см.


2. Определите расстояние до изображения и высоту изображения для объекта высотой 5 см, помещенного на 30.0 см от двойной выпуклой линзы с фокусным расстоянием 15,0 см.


3. Определите расстояние до изображения и высоту изображения для объекта высотой 5 см, помещенного на расстоянии 20,0 см от двойной выпуклой линзы с фокусным расстоянием 15,0 см.


4. Определите расстояние до изображения и высоту изображения для объекта высотой 5 см, размещенного на расстоянии 10,0 см от двойной выпуклой линзы с фокусным расстоянием 15.0 см.


5. Увеличенное перевернутое изображение находится на расстоянии 32,0 см от двойной выпуклой линзы с фокусным расстоянием 12,0 см. Определите расстояние до объекта и определите, является ли изображение реальным или виртуальным.


6. ZINGER : перевернутое изображение увеличивается на 2, когда объект помещается на 22 см перед двойной выпуклой линзой.Определите расстояние до изображения и фокусное расстояние объектива.


7. Двойная вогнутая линза имеет фокусное расстояние -10,8 см. Объект находится на расстоянии 32,7 см от поверхности линзы. Определите расстояние до изображения.


8. Определите фокусное расстояние двойной вогнутой линзы, которая дает изображение на расстоянии 16,0 см за линзой, когда объект 28.5 см от объектива.

9. Монета диаметром 2,8 см помещается на расстоянии 25,0 см от двойной вогнутой линзы с фокусным расстоянием -12,0 см. Определите расстояние до изображения и диаметр изображения.


10. Точка фокусировки расположена на расстоянии 20,0 см от двойной вогнутой линзы. Объект находится на расстоянии 12 см от линзы. Определите расстояние до изображения.

5.4 Сокращение длины - University Physics Volume 3

Длина вагона поезда на рис. 5.8 одинакова для всех пассажиров. Все они согласятся об одновременном расположении двух концов машины и получат одинаковый результат для расстояния между ними. Но одновременные события в одной инерциальной системе отсчета не обязательно должны быть одновременными в другой.Если бы поезд мог двигаться с релятивистскими скоростями, наблюдатель на земле видел бы одновременные местоположения двух конечных точек вагона на разном расстоянии друг от друга, чем наблюдатели внутри вагона. Измеренные расстояния не обязательно должны быть одинаковыми для разных наблюдателей, когда речь идет о релятивистских скоростях.

Правильная длина

Два проходящих мимо наблюдателя всегда видят одно и то же значение своей относительной скорости. Несмотря на то, что замедление времени подразумевает, что пассажир поезда и наблюдатель, стоящий рядом с путями, измеряют разное время прохождения поезда, они все же согласны с тем, что относительная скорость, которая представляет собой расстояние, разделенное на прошедшее время, одинакова.Если наблюдатель на земле и наблюдатель в поезде измеряют разное время длины поезда, чтобы пройти наземного наблюдателя, согласование их относительной скорости означает, что они также должны видеть разные пройденные расстояния.

Мюон, обсуждаемый в примере 5.3, иллюстрирует эту концепцию (рисунок 5.9). Для наблюдателя на Земле мюон движется со скоростью 0,950 c за 7,05 мкс с момента образования до распада. Следовательно, он преодолевает расстояние относительно Земли:

. L0 = vΔt = (0.950) (3,00 × 108 м / с) (7,05 × 10–6 с) = 2,01 км. L0 = vΔt = (0,950) (3,00 × 108 м / с) (7,05 × 10–6 с) = 2,01 км.

В мюонной системе отсчета время жизни мюона составляет 2,20 мкс. В этой системе координат Земля, воздух и земля имеют достаточно времени только для путешествия:

L = vΔτ = (0,950) (3,00 × 108 м / с) (2,20 × 10–6 с) км = 0,627 км. L = vΔτ = (0,950) (3,00 × 108 м / с) (2,20 × 10–6 с) км = 0,627 км.

Расстояние между одними и теми же двумя событиями (рождением и распадом мюона) зависит от того, кто его измеряет и как они движутся относительно него.

Правильная длина

Правильная длина L0L0 - это расстояние между двумя точками, измеренное наблюдателем, находящимся в состоянии покоя относительно обеих точек.

Земной наблюдатель измеряет правильную длину L0L0, потому что точки, в которых мюон рождается и распадается, стационарны относительно Земли. К мюону движутся Земля, воздух и облака, поэтому расстояние L , которое он видит, не является надлежащей длиной.

Фигура 5.9 (а) Приближенный к Земле наблюдатель видит, что мюон проходит 2,01 км. (b) Тот же самый путь имеет длину 0,627 км в системе отсчета мюона. Земля, воздух и облака движутся относительно мюона в его системе координат и имеют меньшую длину в направлении движения.

Сокращение длины

Чтобы связать расстояния, измеренные разными наблюдателями, обратите внимание, что скорость относительно земного наблюдателя в нашем примере с мюоном равна

Время относительно земного наблюдателя равно Δt, Δt, потому что измеряемый объект движется относительно этого наблюдателя. Скорость относительно движущегося наблюдателя равна

.

Движущийся наблюдатель движется вместе с мюоном и, следовательно, наблюдает собственное время Δτ.Δτ. Две скорости идентичны; таким образом,

Мы знаем, что Δt = γΔτ.Δt = γΔτ. Подстановка этого уравнения в приведенное выше соотношение дает

Подстановка γγ дает уравнение, связывающее расстояния, измеренные разными наблюдателями.

Сокращение длины

Сокращение длины - это уменьшение измеренной длины объекта от его надлежащей длины при измерении в системе отсчета, которая движется относительно объекта:

L = L01-v2c2L = L01-v2c2

5,4

, где L0L0 - длина объекта в его неподвижной рамке, а L - длина в кадре, движущемся со скоростью v .

Если мы измерим длину всего, что движется относительно нашего кадра, мы обнаружим, что его длина L меньше, чем правильная длина L0L0, которая была бы измерена, если бы объект был неподвижен. Например, в системе координат покоя мюона расстояние, на которое Земля движется между местом образования мюона и местом его распада, короче, чем расстояние, пройденное в системе координат Земли. Эти точки фиксированы относительно Земли, но движутся относительно мюона. Облака и другие объекты также сжимаются по направлению движения, как это видно из системы покоя мюона.

Таким образом, два наблюдателя измеряют разные расстояния по направлению их относительного движения, в зависимости от того, какой из них измеряет расстояния между неподвижными объектами.

А как насчет расстояний, измеренных в направлении, перпендикулярном относительному движению? Представьте себе двух наблюдателей, движущихся вдоль своих осей x и проходящих друг мимо друга, удерживая измерительные стержни вертикально в направлении x . На рис. 5.10 показаны две метровые палки M и M′M ′, которые покоятся в системе отсчета двух мальчиков S и S ′, S ′ соответственно.На верхушку (отметка 100 см) палочки M′.M ′ прикреплена небольшая кисточка. Предположим, что S′S ′ движется вправо с очень высокой скоростью v относительно S, и стержни ориентированы так, что они перпендикулярны или поперечны вектору их относительной скорости. Палочки держат так, чтобы при переходе друг в друга их нижние концы (отметки 0 см) совпадали. Предположим, что когда S затем смотрит на свою палку M, он находит нарисованную на ней линию чуть ниже вершины палки. Поскольку щетка прикреплена к верхней части палки M 'другого мальчика, M', S может только сделать вывод, что палочка M'M 'меньше 1.Длина 0 м.

Фигура 5.10 Измерительные стики M и M′M ′ неподвижны в системе отсчета наблюдателей S и S ′, S ′ соответственно. По мере того, как палочки проходят, небольшая кисть, прикрепленная к отметке M′M ′ длиной 100 см, рисует линию на M.

Теперь, когда мальчики приближаются друг к другу, S ′, S ′, как и S, видит, что к нему движется метровая палка со скоростью v . Поскольку их ситуации симметричны, каждый мальчик должен сделать такое же измерение палки в другом кадре. Итак, если S измеряет стержень M′M ′ меньше 1.Длина 0 м, S′S ′ должен иметь длину палки M, которая также должна быть меньше 1,0 м, и S′S ′ должен видеть, как его кисть проходит через верхнюю часть палочки M, а не рисовать на ней линию. Другими словами, после того же события один мальчик видит нарисованную линию на палке, а другой не видит такой линии на той же палке!

Первый постулат Эйнштейна требует, чтобы законы физики (как, например, применяемые к живописи) предсказывали, что S и S ', S', которые оба находятся в инерциальных системах отсчета, производят одни и те же наблюдения; то есть S и S′S ′ должны либо оба видеть линию, нарисованную на стержне M, либо оба не видеть эту линию.Поэтому мы вынуждены сделать вывод, что наше первоначальное предположение о том, что S видел линию, нарисованную под вершиной его палки, было неверным! Вместо этого S находит линию, нарисованную прямо на отметке 100 см на M. Тогда оба мальчика согласятся, что линия нарисована на M, и они также согласятся, что обе палки имеют длину ровно 1 м. Мы приходим к выводу, что размеры поперечной длины должны быть одинаковыми в разных инерциальных системах отсчета .

Пример 5.5

Расчет сокращения длины
Предположим, что астронавт, такой как близнец в обсуждении парадокса близнецов, летит так быстро, что γ = 30.00.γ = 30,00. (a) Астронавт путешествует с Земли в ближайшую звездную систему, Альфа Центавра, на расстоянии 4 300 световых лет (лет), по данным наземного наблюдателя. Как далеко друг от друга находятся Земля и Альфа Центавра по измерениям астронавта? (b) В терминах c , какова скорость космонавта относительно Земли? Вы можете пренебречь движением Земли относительно Солнца (рис. 5.11).

Фигура 5.11 (а) Приближенный к Земле наблюдатель измеряет правильное расстояние между Землей и Альфой Центавра.(b) Астронавт наблюдает сокращение длины, потому что Земля и Альфа Центавра движутся относительно ее корабля. Она может преодолеть это меньшее расстояние за меньшее время (свое собственное время), не превышая скорости света.

Стратегия
Во-первых, обратите внимание, что световой год (световой год) - удобная единица измерения расстояния в астрономическом масштабе - это расстояние, которое свет проходит за год. Для части (а) расстояние в 4,300 св. Лет между Альфой Центавра и Землей является правильным расстоянием L0, L0, потому что оно измеряется наземным наблюдателем, для которого обе звезды (приблизительно) неподвижны.Для астронавта Земля и Альфа Центавра движутся с одинаковой скоростью, поэтому расстояние между ними составляет сокращенную длину L . В части (b) нам даны γ, γ, поэтому мы можем найти v , изменив определение γγ, чтобы выразить v в терминах c .
Решение для (a)
Для части (а):
  1. Определите известные: L0 = 4.300ly; γ = 30.00.L0 = 4.300ly; γ = 30.00.
  2. Определить неизвестное: L .
  3. Выразите ответ в виде уравнения: L = L0γ.L = L0γ.
  4. Сделайте расчет: L = L0γ = 4.300ly30.00 = 0.1433ly.L = L0γ = 4.300ly30.00 = 0.1433ly.
Решение для (b)
Для части (b):
  1. Определите известное: γ = 30.00.γ = 30.00.
  2. Определите неизвестное: v в терминах c .
  3. Выразите ответ в виде уравнения. Начнем с: γ = 11 − v2c2.γ = 11 − v2c2. Затем решите для неизвестного v / c , сначала возведя обе стороны в квадрат, а затем переставив: γ2 = 11 − v2c2v2c2 = 1−1γ2vc = 1−1γ2.γ2 = 11 − v2c2v2c2 = 1−1γ2vc = 1−1γ2.
  4. Сделайте расчет: vc = 1−1γ2 = 1−1 (30,00) 2 = 0,99944 vc = 1−1γ2 = 1−1 (30,00) 2 = 0,99944 или
Значение
Не забывайте округлять вычисления до окончательного ответа, иначе вы можете получить ошибочные результаты. Это особенно верно для расчетов по специальной теории относительности, где различия могут быть обнаружены только после нескольких десятичных знаков. Релятивистский эффект здесь велик (γ = 30,00), (γ = 30,00), и мы видим, что v приближается (не равняется) скорости света.Поскольку расстояние, измеренное космонавтом, намного меньше, космонавт может преодолеть его за гораздо меньшее время в своем кадре.

Люди, путешествующие с чрезвычайно высокими скоростями, могут преодолевать очень большие расстояния (тысячи или даже миллионы световых лет) и стареть всего за несколько лет в пути. Однако, как эмигранты прошлых веков, покинувшие свой дом, эти люди навсегда покинут Землю, которую они знают. Даже если бы они вернулись, на Земле прошли бы тысячи или миллионы лет, уничтожив большую часть того, что сейчас существует.Существует также более серьезное практическое препятствие для путешествия с такой скоростью; Для достижения таких высоких скоростей потребовалось бы гораздо больше энергии, чем может быть достигнута классическая физика. Об этом мы поговорим позже в этой главе.

Почему мы не замечаем сокращения длины в повседневной жизни? Расстояние до продуктового магазина, похоже, не зависит от того, переезжаем мы или нет. Изучая уравнение L = L01 − v2c2, L = L01 − v2c2, мы видим, что при малых скоростях (v << c), (v << c) длины почти равны, что является классическим ожиданием.Но сокращение длины вполне реально, если не часто. Например, заряженная частица, такая как электрон, движущийся с релятивистской скоростью, имеет силовые линии электрического поля, сжатые вдоль направления движения, как это видит неподвижный наблюдатель (рис. 5.12). Когда электрон проходит через детектор, такой как катушка с проволокой, его поле взаимодействует гораздо быстрее, эффект наблюдается на ускорителях частиц, таких как Стэнфордский линейный ускоритель (SLAC) длиной 3 км. Фактически, для электрона, движущегося по лучевой трубе в SLAC, ускоритель и Земля все движутся и сокращаются по длине.Релятивистский эффект настолько велик, что длина ускорителя до электрона составляет всего 0,5 м. На самом деле, направить электронный луч по трубе легче, потому что для прохождения по короткой трубе не нужно точно направлять луч, как для прохождения по трубе длиной 3 км. Это опять же экспериментальная проверка специальной теории относительности.

Фигура 5,12 Силовые линии электрического поля высокоскоростной заряженной частицы сжимаются вдоль направления движения за счет сокращения длины, производя наблюдаемый другой сигнал, когда частица проходит через катушку.

Проверьте свое понимание 5,4

Проверьте свое понимание Частица движется в атмосфере Земли со скоростью 0,750 c . Для наземного наблюдателя расстояние, которое он преодолевает, составляет 2,50 км. Как далеко перемещается частица, если смотреть из системы отсчета частицы?

найти длину взлетно-посадочной полосы) Учитывая воздух…

Стенограмма видео

Хорошо, это семейство, они говорят, что мы хотели рассчитать перила с минимальным пробегом или самолет с использованием ускорения и скорости взлета самолета.Eso Будет трехступенчатая программа, когда все будет в первую очередь. МКС. Посмотрим от пользователя для ввода. Да, мы воспользуемся услугами «консул - советник», и для расчетов мы проходим непреодолимое преобразование рулевого управления и чисел. А затем мы рассчитаем минимальную длину перил. Мы воспользуемся формулой. Они дали нам длину, равную: Давайте посмотрим, будет скорость взлета Итак, скорость в квадрате. Затем мы перейдем к вам, разделенному на да, умноженное на ускорение. В этом случае мы собираемся использовать Consul. И помните, что Teoh преобразовал две строки, но в противоположность тому, что мы сделали, правильно? Давайте посмотрим, они дают нам пример, когда мы предлагаем пользователю получить гибкую скорость при ускорении.Мы даже увидим, как превратить наш строковый ввод в числа, которые мы можем вычислить, мы собираемся спросить for in print Давайте посмотрим на скорость и ускорение по отдельности, и похоже, что пользователю просто нужно знать, что они должны звонить отдельно.Ладно, на этом этапе мы выполнили это, и я собирался рассчитать это. Я должен сказать, что ссылки будут равны, ну, по формуле, принимающей это. Это было похоже на то, что мощность понижается, чтобы разделить 0,2-кратное ускорение, которое мы получили. Как мы собираемся показать это пользователям? Что ж, с их вывода поздравляем с конфликтом. Принесите нам A. Минимальная длина взлетно-посадочной полосы для этого самолета есть, и они собираются дать номер. Они рассчитали нашу длину, но помните, когда он здесь превратил ее в веревку? Правильно.Итак, кто знает, как объединить кучу строк, иначе он не знал бы, как очень легко объединить наше строковое сообщение с номером. Затем давайте посмотрим, как вы дадите это число, и они убедятся, что они сообщили им, что преобразовали его. Вероятно, они даже не спрашивали пользователя и не сообщали ему единицы измерения. Это немного интересно. Вы всегда должны сообщать им об этом. Так что давайте улучшим то, что они нам показали. Допустим, мы хотим скорости и меня. Есть на секунду. Допустим, мы хотим получить ускорение в метрах в секунду в квадрате.Да, насилие отображает их вклад и посмотрим, получим ли мы то же самое. Но когда они его вставили, они поставили для своего теста 60. Хм, я согласен с комментарием на три пункта выше ускорения. Так что это в том, и они заканчивают этим. Видите ли, минимальный разбег для самолета - 5,1, важен для восьми и Аарона шесть.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *