Формула полного закона тока: Закон полного тока для магнитного поля: физический смысл, формулы - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Закон полного тока для магнитного поля: физический смысл, формулы

В электрических цепях всегда присутствует магнитное поле, которое оказывает электромагнитное взаимодействие с токами этих цепей. Данный фактор учитывается при расчетах цепей, а закон полного тока для магнитного поля является инструментом для подобных вычислений.

Если поднести магнитную стрелку к проводнику, по которому течёт ток, её положение изменится. Это говорит о наличии вокруг проводника кроме электрического ещё и магнитного поля. В результате многочисленных исследований электромагнитных явлений установлено, что существует взаимное влияние полей, имеющих электрическую и магнитную природу.

Физический смысл закона

Рассмотрим упрощённый вариант влияния магнитной индукции на электрическое поле. Для этого представим себе два параллельных проводника, по которым циркулируют постоянные токи, например, I₁и I₂. Вблизи этих проводников образуется поле, которое мысленно можно ограничить неким контуром L – воображаемой замкнутой фигурой, плоскость которой пересекает потоки движущихся зарядов.

В пределах плоскости, охватываемой контуром L, формируется магнитное поле, напряжённость которого распределена в соответствии с направлениями токов. При этом циркуляция вектора магнитного поля в плоскости замкнутого контура прямо пропорциональна сумме токов, пронзающих данный контур. Полный электрический ток равен векторной сумме его составляющих:

Направления векторов I₁ и I₂ определяется по правилу буравчика.

Приведённые выше рассуждения можно рассматривать в качестве примера изображающего упрощённую модель частного случая рассматриваемого закона. В действительности же, процессы взаимного влияния магнитных и электрических полей намного сложнее, и они описываются интегральными и дифференциальными уравнениями Максвелла.

Упрощенный подход

Выразить закон в дифференциальном представлении довольно сложно. Потребуется вводить дополнительные компоненты. Необходимо учитывать влияние молекулярных токов. Наличие вихревых токов является причиной образования магнитного вихревого поля в пределах контура.

Вектор электрического смещения сравним с вектором напряжённости присутствующего магнитного поля H. При этом Ориентация вектора смещения зависит от быстроты изменения магнитной индукции.

Для упрощения вычислений на практике часто пользуются формулами закона для магнитного поля полных токов, представленных в виде суммирования предельно малых участков контура, с учётом влияния вихревых полей. При реализации этого метода контур мысленно разбивают на бесконечно малые отрезки. На этих отрезках проводники считаются прямолинейными, а магнитное поле на таких участках контура считают однородным.

На одном дискретном участке вектор напряженности U_m определяется по формуле: U_m= H_L×ΔL, где H_L– циркуляция вектора напряжённости на участке ΔL контура L. Тогда суммарная напряжённость U_L вдоль всего контура вычисляется по формуле: U_L= Σ H_L× ΔL.

Закон в интегральном представлении

Рассмотрим бесконечно прямой проводник, по которому циркулирует электрический ток, образующий поле, ограниченное контуром в виде окружности. Плоскость, пронизывающая проводник, – это круг, очерчённый линией данной окружности (см. рис. 1).

Рис. 1. Поле бесконечно прямого тока

Воспользуемся методом разбиения контура на мизерные участки dl (элементарные векторы длины контура). Пусть φ – угол между векторами dl и B. В нашем случае, при суммировании отрезков, вектор индукции B поворачивается так, что он очерчивает круг, то есть угол φ → 2π.

Из теоремы Остроградского-Гаусса вытекает формула:

Учитывая, что cos φ = 1,

следовательно:

Данная формула – постулат, подтверждённый экспериментально. Согласно этому постулату, циркуляция вектора B по окружности, то есть по замкнутому контуру, равна μ₀I, где μ₀ = 1/c² ε₀ – магнитная постоянная.

Ориентация вектора dB определяется путём применения правила буравчика. Это направление всегда перпендикулярно вектору плотности. Если проводников будет несколько (например, N), тогда

Каждый ток, с учётом знака, необходимо учитывать такое количество раз, которое соответствует числу его охватов контуром.

Ток берётся со знаком «+», если он по направлению обхода образует правовинтовую систему. При этом, отрицательным считается ток противоположного направления.

Заметим, что формула справедлива только для вакуума. В обычных условиях необходимо учитывать проницаемость среды.

Если ток распределён в пространстве (произвольный ток), тогда

где S – натянутая на контур поверхность, j – объёмная плотность тока. С учётом последнего выражения, формулу полного тока в вакууме можно записать:

Рис. 2. Иллюстрация закона для вакуума

Отсюда вытекает:

Закон справедлив не только для бесконечно прямолинейного проводника, но и для контуров, произвольной конфигурации.
Циркуляция вектора магнитной индукции B сориентированного вдоль магнитных линий, всегда отлична от нуля.
Ненулевая циркуляция свидетельствует о том, что магнитное поле прямолинейного, бесконечно длинного проводника не потенциально. Такое поле называют вихревым, либо соленоидным.

Влияние среды

На результат взаимодействия магнитных потоков и постоянных токов влияет среда. Вещества обладают магнитной проницаемостью в потоке вектора индукции, что вносит коррективы на взаимодействие магнитной среды с токами проводимости. В однородной изотопной среде, где значение вектора электромагнитной индукции одинаково во всех точках, векторы B и H связаны между собой следующим соотношением:

где H — напряжённость магнитного поля, символом μ обозначена магнитная проницаемость.

Носители электрических зарядов создают собственные микротоки. Циркуляция вектора, характеризующего электростатическое поле, всегда нулевая. Поэтому электростатические поля, в отличие от магнитных, являются потенциальными.

Вектор B отображает результирующее значение полей макро- и микротоков. Линии электростатической индукции всегда остаются замкнутыми, в том числе и на положительных зарядах.

Рис. 3. Закон полного тока в веществе

Для полей, которые действуют в среде, состоящей из разных веществ, необходимо учитывать микротоки, характерные именно для конкретных структур, образующих данную среду.

Утверждение, изложенное выше, верно для полей соленоидов или любой другой структуры, обладающей свойствами конечной магнитной проницаемости.

Торойд

В электротехнике часто приходится иметь дело с катушками разных видов и размеров. Катушка, образованная витками намотанными на сердечник тороидальной формы (в виде бублика), называется тороидом. Важными характеристиками сердечника тора являются его радиусы — внутренний (R₁) и внешний (R₂).

Поле внутри соленоида на расстоянии r от центра равно:

Выводы

На основании изложенного, приходим к заключению:

Закон полного тока устанавливает зависимость между напряжённостью магнитного поля и перемещением в этом поле электрических зарядов.
Действие закона распространяется на все среды, при допустимых плотностях тока.
Закон также выполняется в полях постоянных магнитов.

При вычислениях не имеет значения, какую формулу мы используем – суть закона остаётся неизменной: он выражает взаимодействия, которые происходят между токами и создаваемыми ими магнитными полями, пронизывающими замкнутый контур.

Выводы закона учитываются при конструировании электромагнитных устройств. Наличие завихрений в электромагнитных полях приводит к снижению КПД. Кроме того, вихревые поля негативно влияют на работоспособность электронных элементов, расположенных в зоне их действий.

Конструкторы электротехнических приборов стремятся свести к минимуму таких влияний. Например, вместо обычных соленоидов применяют тороидальные катушки, за пределами которых отсутствуют электромагнитные поля.

Закон полного тока для магнитного поля: физический смысл, формулы

Содержание:

Определение полного тока

Сутью данного закона является определение взаимной связи между электрическим током и образованным его протеканием магнитным полем. Эта особенность выявлена экспериментальным путем в первой половине XIX века. Позднее была создана формулировка, устанавливающая закон полного тока для магнитного поля. Классическое определение приведено ниже. Однако начинать изучение темы следует с базовых принципов.

Схематическое изображение физических параметров

На рисунке отмечены следующие компоненты:

I∑ – суммарный (полный) ток;
S – пронизываемая (dS – элементарная) площадка;
dL – элементарный линейный участок.
J∑ – плотность распределения токов;
L – кольцевой замкнутый контур;
H – напряженность магнитного поля в векторном представлении.

Физический смысл закона

Рассмотрим упрощённый вариант влияния магнитной индукции на электрическое поле. Для этого представим себе два параллельных проводника, по которым циркулируют постоянные токи, например, I1 и I2. Вблизи этих проводников образуется поле, которое мысленно можно ограничить неким контуром L – воображаемой замкнутой фигурой, плоскость которой пересекает потоки движущихся зарядов.

Направления векторов I1 и I2 определяется по правилу буравчика.

Упрощенный подход

На одном дискретном участке вектор напряженности Um определяется по формуле: Um= HL×ΔL, где HL– циркуляция вектора напряжённости на участке ΔL контура L. Тогда суммарная напряжённость UL вдоль всего контура вычисляется по формуле: UL= Σ HL× ΔL.

Суть закона

Рассматриваемый закон, применимый в магнитных цепях, определяет следующую количественную связь между входящими в него составляющими. Циркуляция вектора магнитного поля по замкнутому контуру пропорциональна сумме токов, пронизывающих его. Чтобы понять физический смысл закона полного тока – потребуется ознакомиться с графическим представлением описываемых им процессов.

Из рисунка видно, что около двух проводников с протекающими по ним токами I1 и I2 образуется поле, ограниченное контуром L. Оно вводится как мысленно представляемая замкнутая фигура, плоскость которой пронизывают проводники с движущимися зарядами. Простыми словами этот закон можно выразить так. При наличии нескольких потоков электричества через мысленное представляемую поверхность, охватываемую контуром L, в ее пределах формируется магнитное поле с заданным распределением напряженности.

За положительное направление движения вектора в соответствии с законом для контура магнитной цепи выбирается ход часовой стрелки. Оно также является мысленно представляемым.

Такое определение создаваемого токами вихревого поля предполагает, что направление каждого из токов может быть произвольным.

Для справки! Вводимую полевую структуру и описывающий ее аппарат следует отличать от циркуляции электростатического вектора «Е», который при обходе контура всегда равен нулю. Вследствие этого такое поле относится к потенциальным структурам. Циркуляция же вектора «В» магнитного поля никогда не бывает нулевой. Именно поэтому оно называется «вихревым».

Основные понятия

В соответствии с рассматриваемым законом для расчета магнитных полей применяется следующий упрощенный подход. Полный ток представляется в виде суммы нескольких составляющих, протекающих через поверхность, охватываемую замкнутым контуром L. Теоретические выкладки могут быть представлены следующим образом:

Полный электрический поток, пронизывающих конур Σ I – это векторная сумма I1 и I2.
В рассматриваемом примере для его определения используется формула:
ΣI = I1- I2 (минус перед вторым слагаемым означает, что направления токов противоположны).
Они, в свою очередь, определяются по известному в электротехнике закону (правилу) буравчика.

Напряженность магнитного поля вдоль контура вычисляется на основании полученных выкладок по специальным методикам. Для ее нахождения придется проинтегрировать этот параметр по L, используя уравнение Максвелла, представленное в одной из форм.Оно может быть применено и в дифференциальной форме, но это несколько усложнит выкладки.

Влияние среды

Рассмотренные отношения для закона токов и полей, действующих не в вакууме, а в магнитной среде, приобретают несколько иной вид. В этом случае помимо основных токовых составляющих вводится понятие микроскопических токов, возникающих в магнетике, например, или в любом подобном ему материале.

Нужное соотношение в полном виде выводится из теоремы о векторной циркуляции магнитной индукции B. Простым языком она выражается в следующем виде. Суммарное значение вектора B при интегрировании по выбранному контуру равно сумме охватываемых им макро токов, умноженной на коэффициент магнитной постоянной.

В итоге формула для «В» в веществе определяется выражением:

Интеграл от B по dL = интегралу от Bl по dL= m(I+I1)

где: dL – дискретный элемент контура, направленный вдоль его обхода, Вl– составляющая в направлении касательной в произвольной точке,бI и I1 – ток проводимости и микроскопический (молекулярный) ток.

Если поле действует в среде, состоящей из произвольных материалов – должны учитываться микроскопические токи, характерные именно для этих структур.

Эти выкладки также верны для поля, создаваемого в соленоиде или в любой другой среде, обладающей конечной магнитной проницаемостью.

Практическое применение в расчетах

Закон полного тока является основным законом при расчете магнитных цепей и дает возможность без особых усилий определять напряженность поля.

Примеры магнитных цепей

Магнитная цепь являет собой комплекс физических тел, обладающих сильно выраженными магнитными свойствами, магнитодвижущих сил и других условий, по которым смыкается магнитный поток. Магнитодвижущая сила определяется как произведение количества витков катушки на протекающий в ней электрический ток:

F=Iω, где:

F – магнитодвижущая сила;
ω – количество витков в катушке;
I – электрический ток.

Подобно тому, как электродвижущая сила электрической цепи провоцирует возникновение тока, так и магнитодвижущая сила магнитной цепи вызывает магнитный поток. Направление магнитодвижущей силы в схемотехнике определяется на основании правила буравчика.

Параметры, описывающие характеристики магнитной или электрической цепи, являются тождественными. Аналогичными являются и мероприятия по расчету цепей. Постоянные токи в электрических цепях возникают благодаря электродвижущей силе. В магнитных цепях эту функцию выполняет магнитодвижущая сила обмоток. Характеристика сопротивления току в электрической цепи имеет свою аналогию в магнитной цепи в виде магнитного сопротивления.

Неразветвленная магнитная цепь

Согласно закону полного тока, выражение, описывающее процессы в магнитной цепи (рис. выше), выглядит так:

Iω=h2L1+h3L2, где:

h2 – напряженность поля первого участка;
h3 – напряженность поля второго участка;
L1 – длина первого однородного участка;
L2 – длина второго однородного участка.

Поскольку напряженность магнитного поля и магнитная индукции на первом и втором участках равны:

h2=B1/µа1, где:

B1 – магнитная индукция;
µа1 – магнитная проницаемость первого участка.

B 1=Φ/S1, где:

Φ – магнитный поток;
S1 – площадь поперечного сечения первого участка.

h3=B2/µа2, где:

B2 – магнитная индукция второго участка;
µа2 – магнитная проницаемость второго участка.

B 2=Φ/S2, где:

Φ – магнитный поток;
S2 – площадь поперечного сечения второго участка.

выражение, описывающее закон полного тока, преобразовывается в:

Iω=ΦL1/µа1S1+ ΦL2/µа2S2=ΦRм1+ΦRм2, где:

Rм1=L1/µа1S1 – магнитное сопротивление первого участка;
Rм2=L2/µа2S2 – магнитное сопротивление второго участка.

Проводя аналогии с электрической цепью, произведение магнитного потока на магнитное сопротивление является магнитным напряжением:

Uм2=ΦRм2=h3L2.

Если выделить из формулы магнитный поток, получается формула, представляющая собой закон Ома для магнитной цепи:

Φ= Iω/Rм1+Rм2= Iω/∑Rм.

Для магнитной цепи, не имеющей магнитодвижущей силы, выражение будет выглядеть как:

Uм=ΦRм=HL.

Аналогично электрическим цепям на магнитные цепи распространяются постулаты Кирхгофа:

Сумма магнитных потоков, втекающих в узел, равна сумме магнитных потоков, вытекающих из узла. Выражение выглядит как ∑Φк=0;
Сумма магнитодвижущих сил, находящихся в контуре, равна сумме падений напряжений на всех отрезках цепи, что соответствует выражению ∑Iω=∑Uм=∑HL.

Закон полного тока для магнитных цепей стоит на одном уровне с основными законами, касающимися электрических цепей. Понимание закона полного тока позволит с легкостью проводить расчет и подбор необходимых устройств, в основе работы которых лежат магнитные потоки.

Магнитное сопротивление и закон Ома для магнитной цепи.

По аналогии с электрической цепью величину

называют магнитным сопротивлением участка магнитной цепи (измеряется в 1/Гн).

Таким образом, магнитное напряжение

Выражение (3) по аналогии с электрической цепью часто называют законом Ома для магнитной цепи Однако вследствие нелинейности цепи, вызванной непостоянством магнитной проницаемости μr ферромагнетиков, оно практически не применяется для расчета магнитных цепей.

Магнитное напряжение вдоль контура

Закон Ома для переменного тока

В представленном примере для изучения берут проводники, через которые пропускают электрический ток. В совокупности они образуют сечение с мнимой площадью (S), которая ограничена неким контуром. Пользуясь классическим правилом «буравчика», несложно установить направление вектора (di или Н). Понятно, что в данном случае рассматривается дискретная величина. Вектор магнитной напряженности и полный ток связаны следующей формулой:

I∑ = ∫L*H*dL.

Магнитодвижущая сила

Представленный закон применяют для расчета рабочих характеристик разных устройств:

одно,- и трехфазных трансформаторов с подключением к сети 220 (380) V, соответственно;
электродвигателей постоянного тока;
катушек с тороидальными сердечниками;
электрических приводов реле и клапанов;
аналоговых измерительных приборов и датчиков;
электромагнитов, которые установлены в подъемных механизмах, системах водоочистки.

Простая магнитная цепь Закон Ома — онлайн калькулятор

Для подробного изучения подойдет несложный пример. В цепи обеспечивается перемещение тока по замкнутому контуру с применением катушки индукции. Созданная магнитодвижущая сила (F) будет зависеть от силы тока (I) в проводнике и количества сделанных витков (W):

F = I * W.

По классическим определениям, ток в цепи появляется при создании разницы потенциалов между точками подключения источника ЭДС. Подобным образом показанная выше сила F провоцирует образование магнитного потока. В данном случае аналогичным образом можно использовать не только правило буравчика, но и технологии расчета цепей. Необходимо только корректно применять отдельные понятия. Так, электрическому сопротивлению соответствует магнитный аналог.

При разделении такого контура на два сегмента справедливым будет следующее выражение:

Н1*L1 + h3*L2 = I *W,

где Н1 и h3 (L1 и L2) напряженность (длина) соответствующих частей.

Последовательным преобразованием можно получить удобную для практического применения формулу закона полного тока:

h2 = B1/ma1;
B1 = Ф/S1;
h3 = B2/ma2;
B2 = Ф/S2;
I*W = Ф*L1/ma1*S1 + Ф*L1/ma1*S1 = Ф*Rm1 + Ф*Rm2.

Кроме площади поперечного сечения (S), здесь приведены магнитные параметры разных участков (1 и 2):

Ф – поток;
В – индукция;
ma – проницаемость.

Из этого выражения нетрудно получить значение магнитного сопротивления для каждого участка:

Rm = L/ma*S.

По аналогии с формулой Ома для электрических цепей можно вычислить магнитное напряжение:

U = Ф * Rm.

Cучетом частоты питающего сигнала (w) магнитный поток будет зависеть от силы тока и суммарного сопротивления участков цепи:

Ф = (I*w)/(Rm1+Rm2) = (I*w)/∑Rm.

К сведению. По этим же принципам допустимо применение законов Кирхгофа. Так суммарная величина входящих и выходящих магнитных потоков будет равной.

Законы Кирхгофа для магнитной цепи

При расчетах разветвленных магнитных цепей пользуются двумя законами Кирхгофа, аналогичными законам Кирхгофа для электрической цепи.

Первый закон Кирхгофа непосредственно вытекает из непрерывности магнитных линий, т. е. и магнитного потока; алгебраическая сумма магнитных потоков в точке разветвления равна нулю:

Например, для узла а на рис. 6.11,б

— Ф1 — Ф2 + Ф3 = 0

Второй закон Кирхгофа для магнитной цепи основывается на законе полного тока: алгебраическая сумма магнитных напряжений на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме МДС:

Например, для левого контура и а рис. 6.11, б

Как следует из закона Ома, для получения наибольшего магнитного потока при наименьшей МДС у магнитной цепи должно быть возможно меньшее магнитное сопротивление. Большая магнитная проницаемость ферромагнитных материалов обеспечивает получение малых магнитных сопротивлений магнитопроводов из этих материалов. Поэтому магнитные цепи электрических машин выполняют преимущественно из ферромагнетиков, а участки цепей из неферромагнитных материалов, то есть неизбежные или необходимые воздушные зазоры, делают, как правило, возможно малыми.

Схема устройства магнитной цепи двухполюсной машины с явно выраженными полюсами показана на рис. 6.12.

Рис. 6.12 Магнитная цепь электрической машины с явно выраженными полюсами

Плоскость 00′, проведенная через середины полюсов N и S и ось машины, делит магнитную цепь на две симметричные части. В каждой из них магнитный поток Ф/2 замыкается через полюсы П, полюсные наконечники ПН, воздушные зазоры, якорь Я и станину машины С. Магнитодвижущая сила создается током в обмотке возбуждения ОВ, расположенной на полюсах N и S. Из северного полюса N магнитные линии выходят и в южный полюс S входят.

Рис, 6.13. Магнитная цепь электрической машины с неявно выраженными полюсами

Схема устройства магнитной цепи двухполюсной машины с неявно выраженными полюсами показана на рис. 6.13. Здесь обмотка возбуждения заложена в пазы ротора Р — вращающейся части машины, укрепленной на валу. Как и в предыдущем случае, плоскость 00′, проведенная через середины полюсов N и S, делит магнитную цепь машины на две симметричные части, в каждой из которых магнитный поток Ф/2. Магнитный поток замыкается через ротор машины, воздушные зазоры и станину машины С, представляющую собой неподвижный наружный стальной цилиндр — статор машины.

Торойд

Поле внутри соленоида на расстоянии r от центра равно:

РазноеЭлектролизсолей, щелочей, кислот

РазноеСхемы подключения трехфазного счетчика. Установка трёхфазного счетчика

Закон Кирхгофа о токе и напряжении (KCL & KVL)

Немецкий физик Роберт Кирхгоф ввел в 1847 году два важных электрических закона, с помощью которых мы можем легко найти эквивалентное сопротивление сложной сети и токи, протекающие в различных проводниках. Цепи переменного и постоянного тока могут быть решены и упрощены с помощью этих простых законов, известных как закон Кирхгофа для тока (KCL) и закон напряжения Кирхгофа (KVL).

Также обратите внимание, что KCL выводится из уравнения непрерывности заряда в электромагнетизме, а KVL выводится из уравнения Максвелла – Фарадея для статического магнитного поля (производная B по времени равна 0).

Действующий закон Кирхгофа (KCL):

Согласно KCL:

В любой момент алгебраическая сумма токов, протекающих через точку (или узел) в сети равна нулю (0), или в любой электрической сети алгебраическая сумма токов, сходящихся в точке (или узле), равна нулю ( 0). Этот закон также известен как точечный закон или действующий закон.

В любой электрической сети алгебраическая сумма входящих токов в точку и исходящих токов из этой точки равна нулю. Или входящие токи в точку равны выходящим токам этой точки.

Другими словами, сумма токов, текущих к точке, равна сумме токов, утекающих от нее. Или алгебраическая сумма токов, входящих в узел, равна алгебраической сумме токов, выходящих из него.

Пояснение к KCL:

Предположим, несколько проводников встречаются в точке «А», как показано на рис. 1.а. В одних проводниках токи входят в точку «А», а в других проводниках токи выходят или исходят из точки «А».

Рассматривайте входящие или входящие токи как «положительные (+) в направлении точки «А», а выходящие или исходящие токи из точки «А» — как «отрицательные (-)».
Тогда:

I ₁ + ( – I ₂) + ( – I ₃) + ( – I ₄) + I _{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_{_{= _{_{= _{= _{= _{_{_{₄) +}).}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

ИЛИ

I ₁ + I ₅ – I ₂ – I ₃ – I ₄ = 0

I ₁ + I ₅ = I ₂ + I ₃ + I ₄ = 0

, т. Е.

Входящие или входящие токи = оставляющие или исходящие токи

или

σ I Вход = σ I Оставшись

Например, 8A идет к точке и 5а плюс плюс. 3А выходят из этой точки на рис. 1.b, поэтому

8А = 5А + 3А

8А = 8А.

Демонстрация закона тока Кирхгофа (KCL)

Закон напряжения Кирхгофа (KVL):

Второй закон Кирхгофа или KVL утверждает, что;

В любом замкнутом пути (или цепи) в сети алгебраическая сумма произведения IR равна ЭДС в этом пути.

Другими словами, в любом замкнутом контуре (известном также как Mesh) алгебраическая сумма приложенных ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах. Второй закон Кирхгофа также известен как закон напряжения или закон сетки.

ΣIR= ΣE

Расшифровка КВЛ:

На рис. показана замкнутая цепь, содержащая два соединения аккумуляторов Е ₁ и Е ₂ . Общая сумма ЭДС аккумуляторов указана как E ₁ -E ₂ . Воображаемое направление тока также показано на рис.

E ₁ направляет ток в таком направлении, которое предполагается положительным, а E ₂ мешает в направлении тока (т. е. в направлении, противоположном предполагаемому направлению тока), следовательно, принимается как отрицательный. Падение напряжения в этой замкнутой цепи зависит от произведения напряжения и тока.

Падение напряжения происходит в предполагаемом направлении тока, известном как положительное падение напряжения, в то время как другое является отрицательным падением напряжения.

In the above fig, I ₁ R ₁ and I ₂ R ₂ are positive voltage drops and I ₃ R ₃ and I ₄ R ₄ are negative V.D.

Если обойти замкнутую цепь (или каждую сетку), и умножить сопротивление проводника на протекающий в ней ток, то сумма ИР будет равна сумме приложенных к цепи источников ЭДС.

The overall equation for the above circuit is:

E ₁ – E ₂ = i ₁ R ₁ + i ₂ R ₂ – i ₃ R ₃ – i ₄ R ₄

Если двигаться в предполагаемом направлении тока, как показано на рис., то произведение IR считается положительным, в противном случае отрицательным.

Полезно знать:

Направление тока:

Очень важно определять направление тока при решении цепей с помощью законов Кирхгофа. То же, что и в случае избирательного тока и обычного тока.

Направление тока можно принять по часовой стрелке или против часовой стрелки. После того, как вы выберете пользовательское направление тока, вам нужно будет применить и поддерживать то же направление для всей схемы до окончательного решения схемы.

Если мы получили положительное конечное значение, это означает, что предполагаемое направление тока было правильным. При отрицательных значениях ток направления меняется на противоположный по сравнению с предполагаемым.

Анализ схемы по законам Кирххоффа

Решающий пример на KCL и KVL (законы Кирхгоффа)

Пример:

Резисторы R ₁ = 10 000, r ₂ = 4 ОД. = 8 Ом подключены к двум батареям (пренебрежимо малого сопротивления), как показано. Найдите ток через каждый резистор.

Решение:

Предположим, что токи текут в направлениях, указанных стрелками.

Примените KCL на соединениях C и A.

Следовательно, ток в сетке ABC = I ₁

Ток в сетке Ca = I ₂

. Затем тока в Mesh CDA = I _{93. Затем тока в Mesh CDA = I ₁ – i ₂
Теперь примените KVL на сетке ABC, 20 В действуют по часовой стрелке. Приравнивая сумму произведений ИР, получаем;
10 I ₁ + 4 I ₂ = 20… (1)
в сетке ACD, 12 вольт действуют по часовой стрелке, тогда:
8 ( I ₁ – i ₂ ) – 4 i ₂ = 12
8 i ₁ – 8 i ₂ – 4 i ₂ = 12
8 i ₁ – 12 i ₂ = 12 … (2)
Умножение уравнения (1) на 3;
30 i ₁ + 12 i ₂ = 60
Solving for i ₁
30 i ₁ + 12 i ₂ = 60
8 I ₁ – 12 I ₂ = 12
___________
38 I ₁ = 72
Вышеупомянутое уравнение также может быть упрощено по ликвидации или правлению CRAMER.
I ₁ = 72 ÷ 38 = 1,895 Ампер = ток в 10 Ом резистор
Заменить это значение в (1), мы получаем:
10 (1.895) + 4 I 9003 9003 9003 9003 9003 9003 100002 10 (1.895) + 4 I 9003 9003 9003 9003
10 (1.895) + 4 I 9003 9003 2 = 20
4 i ₂ = 20 – 18,95
i ₂ =
дюймов Ампер 8 0,26
Сейчас,
i ₁ – I ₂ = 1,895 – 0,263 = 1,632 Amperes

Применение законов Kirchhoff. как направление протекания значений этих квинтетов в цепи. Эти законы можно применить к любой схеме* (см. ограничения законов Кирхгофа в конце статьи), но они полезны для поиска неизвестных значений в сложных схемах и сетях.
Также используется в узловом и сеточном анализе для определения значений тока и напряжения.
Ток через каждую независимую петлю передается путем применения КВЛ (каждая петля) и тока в любом элементе цепи путем подсчета всего тока (применимо в методе токовой петли).
Ток через каждую ветвь передается путем применения KCL (каждый переход) KVL в каждом контуре цепи (применимо в методе контурного тока).
Законы Кирхгофа полезны для понимания передачи энергии по электрической цепи.
Ограничения законов Кирхгофа: KCL применим при условии, что ток течет только в проводниках и проводах. В то время как в высокочастотных цепях, где паразитную емкость больше нельзя игнорировать. В таких случаях ток может течь в разомкнутой цепи, потому что в этих случаях проводники или провода действуют как линии передачи.
KVL применим при условии отсутствия флуктуирующего магнитного поля, связывающего замкнутый контур. В то время как при наличии изменяющегося магнитного поля в высокочастотных, но коротковолновых цепях переменного тока электрическое поле не является консервативным векторным полем. Итак, электрическое поле не может быть градиентом какого-либо потенциала и линейный интеграл электрического поля вокруг петли не равен нулю, что прямо противоречит КВЛ. Поэтому КВЛ в таком состоянии неприменим.
При передаче энергии от магнитного поля к электрическому, где в КВЛ приходится вводить помадку, чтобы сделать P.d (разность потенциалов) по цепи равной 0.
Похожие сообщения о теоремах анализа электрических цепей:
Теорема Тевенина. Пошаговая процедура с решенным примером
Теорема Нортона. Простая пошаговая процедура с примером (иллюстрации)
Анализ схемы СУПЕРУЗЛА | Шаг за шагом с решенным примером
Анализ цепей SUPERMESH | Шаг за шагом с решенным примером
Теорема о максимальной передаче мощности для цепей переменного и постоянного тока
Теорема о компенсации – доказательство, объяснение и примеры решения
Теорема о подстановке – пошаговое руководство с решенным примером
Теорема Миллмана. Анализ цепей переменного и постоянного тока. Примеры
Теорема о суперпозиции — анализ цепей с решенным примером
Теорема Теллегена – Решенные примеры и MATLAB Simulation
Правило делителя напряжения (VDR) — примеры решений для цепей R, L и C
Правило делителя тока (CDR) — примеры решений для цепей переменного и постоянного тока
Закон Ома: простое объяснение с утверждением и формулами
Преобразование звезды в дельту и дельты в звезду. Преобразование Y-Δ

URL Скопировано
Решение цепей с помощью действующего закона Кирхгофа
Опубликовано 23 июля 2020 г.
Пока мы обсуждали закон Ома, последовательные и параллельные схемы, вы, вероятно, уже поняли, что есть много ситуаций, когда эти методы терпят неудачу при попытке проанализировать схему. Густав Кирхгоф был немецким ученым, который сформулировал два важных закона, лежащих в основе большей части сетевого анализа. Эти законы применимы к большинству, хотя и не ко всем, ситуациям в цепях, и мы будем предполагать, что эти законы применимы, если специально не указано иное. Хотя история интересна, мы позволим вам зайти в Википедию, если вы хотите получить больше информации о Густаве — мы собираемся разобраться, что такое законы.
Таким образом, в этом уроке мы сосредоточимся только на его текущем законе и узловом анализе. Этот закон, называемый текущим законом Кирхгофа или наиболее часто используемым сокращением KCL, основан на принципе сохранения заряда. По сути – что входит, то и выходит.
Мы говорили о ветвях и узлах, и здесь это становится очень важным. В любом узле любой ток, втекающий в узел, должен также вытекать из узла. Давайте посмотрим на это изображение ниже:
На этом изображении вы можете видеть центральный узел с несколькими источниками тока, входящего и исходящего. Используя аналогию с водой, представьте, что это все трубы, которые уже заполнены водой и, немного растянув аналогию, всегда должны быть полностью заполнены водой. Если вы нальете воду в одну трубу, она должна будет выйти из другой трубы. Если вода выходит из трубы, она должна получать воду откуда-то еще. Концептуально это может показаться простым, и вы будете правы!
Одно замечание, прежде чем перейти к тому, как эта концепция связана с узловым анализом, пожалуйста, помните, что вы определяете направление токов полупроизвольно. Прежде чем приступить к математике, вы назначаете токи и их направление, и тогда математика сработает — если вы выбрали неправильное направление, ток будет отрицательным. В этом случае, используя изображение выше, вы можете предположить, что все токи текут в узел, вы просто знаете, что хотя бы один (если не все, кроме одного) из токов будет отрицательным.
Пример задачи 1
Теперь, когда мы знаем, что, согласно KCL, все, что входит в узел, также должно выходить наружу, мы можем приступить к изучению узлового анализа.
Глядя на рисунок выше, вы можете видеть, что ни один из резисторов не включен последовательно или параллельно, так что это не может быть упрощено. Также обратите внимание, что здесь нет источников напряжения, только источники тока, что упрощает KCL.
Шаг 1) Первый шаг, который я всегда делаю при решении схемы, — это проанализировать, что мне дали, что мне нужно, и остановиться на минутку и перевести дух. Иногда схема может быть сложной, но если вы потратите время и пройдете этот процесс, это неизбежно упростит проблему. В данном случае у нас есть три резистора и мы знаем их номиналы. Нам даны два источника тока, и мы знаем их значения. Итак, узлов всего два (N ₁ и N ₂ ) напряжение которых нам нужно и одна ветвь, через которую нам нужно узнать ток (R ₃ ). Поскольку мы определили, что нам нужно знать ток через R ₃ , давайте поместим стрелку, указывающую вниз, рядом с R ₃ и обозначим ее как I ₃ .
Шаг 2) Теперь, когда мы записали все, что знаем и что нам нужно знать, давайте выберем опорную площадку, если это еще не сделано. Это тоже полупроизвольно. Вы можете выбрать любой узел в схеме, в данном случае N ₁ или N ₂ будут работать, и математика будет работать. Однако стандартной практикой является выбор нижнего узла в качестве земли. В школе учителя иногда делают хитрые вещи, чтобы убедиться, что вы интуитивно понимаете, что происходит. Это хорошо, но в большинстве случаев вам нужна четкая схема, которой легко следовать, следуя лучшим практикам. Итак, давайте пометим N ₂ как нашу опорную землю.
Шаг 3) Напишите уравнения для тока через разные ветви. В этом случае мы уже знаем ток через R ₁ и R ₂, потому что это I ₁ (что соответствует 1A) и I ₂ (что соответствует 2A). Однако мы пока не знаем ток через R ₃ или I ₃. Итак, мы можем определить это как напряжение на N ₁ минус N ₂ – наше опорное напряжение в данном случае – над сопротивлением. Другими словами:
Шаг 4) Используя созданные вами уравнения (в данном случае только одно), составьте уравнения для тока в каждом узле и из него. Так, в N ₁ мы знаем, что у нас есть I ₁ и I ₂ вход и I ₃ выход. Опять же, мы , предполагая всего этого (и это очень разумное предположение в данном случае), и если наши предположения неверны, способ, который будет показан, будет с отрицательными токами и напряжениями. Таким образом, математически наше уравнение в N ₁ выглядит следующим образом:
Поскольку у нас есть только одно неизвестное, у нас есть только это единственное уравнение. Однако чем больше неизвестных, тем больше уравнений. Чтобы решить неизвестные, вам нужно как минимум столько уравнений, сколько неизвестных. Например, если вам нужны два напряжения, вам нужны два уравнения, чтобы иметь возможность получить реальные значения для этих двух напряжений. Три течения? Три уравнения. Мы углубимся в это позже.
Шаг 5) Найдите неизвестные. Опять же, в этом случае все довольно просто. Мы знаем I ₁ и I ₂, поэтому мы можем видеть, что I ₃ — это просто 3А. И, в зависимости от вопроса, это может быть все, что нам нужно. Но предположим, что нас спросили, какое напряжение на N ₁? Теперь мы можем использовать закон Ома или уравнение, которое мы составили на шаге 3.
Мы можем даже использовать закон Ома, чтобы увидеть, какое напряжение создается источниками тока для обеспечения их номинальных токов. Например, с R ₁ , чтобы получить 1 А, протекающий через резистор 10 Ом, мы видим, что V = IR равно V = 1 * 10, поэтому напряжение на R ₁ должно быть 10 В. Однако, поскольку N ₁ составляет 90 В, это означает, что напряжение на другой стороне резистора должно быть 100 В, чтобы получить падение на 10 В на R ₁ .
Я бы порекомендовал попытаться выяснить, каково напряжение на R ₂ и каково напряжение на выходе этого источника тока.
Таким образом, шаги таковы:
Просмотрите то, что у вас есть, пометьте все, что можно, установите эталонные потоки. Дышите, не торопитесь, не паникуйте.
При необходимости выберите базовое заземление.
Начните писать уравнения для тока через разные ветви.
Используя уравнения для тока, составьте уравнения для тока в каждом узле.
Решите уравнения. Для нескольких уравнений либо используйте линейную алгебру (матрицы), либо решите для одной переменной и вставьте эту переменную в следующее уравнение, пока не найдете действительные числа, а затем вернитесь и подставьте эти действительные числа для каждого значения.
Пример задачи 2
Давайте решим еще одну пробную задачу, на этот раз немного сложнее, но все же разумную. На этот раз вместо источника тока мы будем использовать источники напряжения, подключенные к эталонной земле. На самом деле это ненамного сложнее, но некоторые вещи в терминах напряжения можно определить как ток, так что математика становится более сложной.
Шаг 1) Давайте рассмотрим это. В этом примере все уже дано и названо, но все равно полезно просмотреть то, что у нас есть. У нас есть источник питания, который в данном случае является источником напряжения, и очень реалистичные 5 В. Имеем три резистора, два (R ₂ и R ₃ ), из которых включены параллельно (часто обозначаются сокращенно как R ₂ || R ₃ или R ₂ // R ₃ ), и оба этих резистора включены последовательно с R ₁ . У нас есть только один узел, напряжение которого мы не знаем. При осмотре мы можем видеть, что оба тока через R ₂ и R ₃ (I ₂ и I ₃ соответственно — старайтесь придерживаться правил именования) такие же, как ток через R ₁ . Другими словами, из проверки мы можем увидеть, что I ₁ = I ₂ + I ₃ . И, наконец, есть только один узел, напряжение которого нам неизвестно. Это все вещи, которые мы можем увидеть без какой-либо математики или чего-то слишком сложного.
Шаг 2) Мы видим, что источник напряжения подключен к тому, что уже определено как опорная земля в нижней части схемы.
Шаг 3) Мы уже установили, что I ₁ = I ₂ + I ₃ , но давайте определим эти токи через их напряжения. Назовем напряжение в одном неизвестном узле V ₁ .
Шаг 4) Основываясь на изображении, мы предположили, что I ₁ входит в узел, а I ₂ и I ₃ выходят из узла. При этом мы создаем следующее уравнение:
Шаг 5) Давайте решим это уравнение! Поскольку у нас есть только один неизвестный узел, у нас есть только одно уравнение, так что это вопрос простой алгебры. Конечно, именно здесь я делаю 95% своих ошибок, когда дело доходит до анализа цепей, так что не стоит недооценивать это.
Теперь проверим работоспособность. Это меньше, чем источник 5V? Да. Это больше, чем опорная земля? Да. Это не всегда будет то, что вам нужно, но в этом случае нет причин, по которым это напряжение должно быть выше, чем источник, или ниже, чем земля, так что это хорошая проверка работоспособности. Кроме того, 9 р.0034 2 || R ₃ по-прежнему будет иметь более высокое сопротивление, чем R ₁, поэтому также имеет смысл, что на них должно быть большее напряжение, чтобы проводить то же количество тока, которое проходит через R ₁.
Если мы хотим проверить дальше, мы можем найти токи через каждую ветвь, и токи должны быть равны нулю. Я позволю вам сделать это, это должно быть просто. Я поставлю ответы на пару предложений ниже, чтобы вы могли перепроверить.
Наконец, если вы очень параноик и/или дотошны, вы можете использовать то, что вы знаете о параллельных и последовательных резисторах, собрать эту схему вместе как один источник напряжения и резистор, и вы должны получить такое же количество тока через этот единственный резистор вы делаете через R ₁ . Я рекомендую вам попробовать это.
Чтобы перепроверить ваши ответы, я получил:
И эквивалентное сопротивление для всей цепи составляет 287,5 Ом, что 5 В / 287,5 Ом = 17,4 мА, что еще раз показывает, что наши цифры верны.
Вам не нужно, и у вас не будет времени выполнять все эти проверки при выполнении теста, но это будет отличная практика и действительно поможет вам понять все это интуитивно, если вы будете выполнять эти проверки в домашней работе. И просмотр чисел и проверка того, являются ли они просто «разумными», займет всего пару секунд и должен выполняться раз каждые раз.
Пример задачи 3
И, поскольку примеров всегда не хватает, давайте решим еще одну пробную задачу, еще раз усложнив ее. Если вы похожи на меня, самое сложное — это не ошибиться в математике. Это требует больше математики, поэтому убедитесь, что вы не делаете ошибок, так как они быстро накапливаются.
Шаг 1) Проверка всего. У нас есть два источника тока и три резистора, все номиналы которых нам известны. У нас также есть два напряжения узла и три тока ветвей, которые мы не знаем. Предположим, что ток через R ₁ равен I ₁ и течет вниз, R ₂ равен I ₂ и течет влево, а R ₃ равен I ₃ и тоже течет вниз. Поместим V ₁ и V ₂ в N ₁ и N ₂ соответственно, чтобы представить напряжения в этих узлах.
Шаг 2) Давайте поместим опорный узел внизу на N ₃ .
Шаг 3) Установите уравнения для тока через отдельные ветви.
ПРИМЕЧАНИЕ! Поскольку мы назначаем ток справа налево, это означает, что мы предполагаем, что ток течет от V ₂ до V ₁ . Если бы мы предположили, что ток течет в противоположном направлении, уравнение было бы (V ₁ – V ₂ )/20 — убедитесь, что ваше уравнение соответствует направлению текущего потока.
Шаг 4) Используйте уравнения из шага 3, чтобы определить ток, входящий и исходящий из Node1 и Node2. Лично мне нравится упрощать и располагать их так, чтобы уравнения равнялись реальному числу, но это только мое мнение, в этом нет большой ценности.
В узле 1:
В узле 2:
Шаг 5) Теперь решаем уравнения. В отличие от предыдущей задачи, теперь у нас есть два неизвестных (V ₁ и V ₂ ) и два уравнения. Мы можем решить для V ₁ в одном уравнении, а затем заменить V ₁ в другом уравнении, или мы можем поместить это в матрицу. Сделаем оба.
Первый метод:
Используя уравнение из узла 1, мы получаем
Затем мы подставляем его в уравнение из узла 2:
Теперь, когда мы знаем V ₂ , мы можем подставить его обратно в любое уравнение.
И вы можете подставить эти числа, чтобы легко найти токи.
Теперь, если мы хотим решить это как матрицу, вам нужно сначала получить уравнения в правильном формате, имея первое напряжение, затем второе напряжение, и они равны фактическому числу:
В узле 1:
В узле 2:
Это превращается в:
Которое затем можно рассчитать вручную или ввести в матричный калькулятор на вашем портативном компьютере или с помощью Калькулятора линейных уравнений CircuitBread, который затем дает результат:
Это соответствует нашему ручному расчету и заставляет меня почувствуй себя увереннее в своем ответе! Скорее всего, у вас не будет времени использовать оба метода в тесте, но если у вас есть время на выполнение домашнего задания или самостоятельное изучение, хорошей практикой будет перепроверить ваши ответы, чтобы использовать оба метода решения.
Пример задачи 4
Рискуя сделать это неприлично длинным, я хочу осветить еще одну вещь и привести пример того, что называется «суперузлом». С источниками напряжения, которые подключены одной стороной к эталонной земле, довольно легко справиться, но когда обе стороны источника напряжения (независимые или зависимые) подключены к небазовой земле, вы должны относиться к ним по-разному — вы можете создать «суперузел». В этом случае вы математически объединяете обе стороны источника напряжения в единый узел. Это означает, что вы создаете одно уравнение, описывающее все токи, входящие и исходящие из оба узла источника напряжения, что в наших шагах означает, что вы будете изменять только шаг 4. Поскольку это, вероятно, все еще не ясно, давайте рассмотрим пример:
Давайте пройдем первые три шага, как обычно.
Шаг 1) Выдохните, давайте посмотрим. Опять же, у нас все идентифицировано — мы знаем номинал обоих источников напряжения и номинал всех резисторов. У нас есть четыре неизвестных тока и два неизвестных напряжения узла. У нас есть эталонная земля внизу, и один из наших источников напряжения подключен к этому эталону, поэтому мы знаем, что напряжение прямо над этим источником напряжения составляет 10 В.
Шаг 2) У нас уже есть эталонная земля, так что все в порядке. В большинстве случаев этот шаг либо не понадобится, либо будет естественным и интуитивным шагом. Так что мы не обидимся, если вы решите проигнорировать этот шаг в будущем. Только будь осторожен, чтобы он как-то не укусил тебя в зад.
Шаг 3) Давайте создадим уравнения для всех токов через отдельные ветви. Я пропущу некоторые математические шаги, чтобы это было чище/быстрее. По-прежнему важно убедиться, что вы определяете эти уравнения так же, как мы определили текущий поток на рисунке.
Шаг 4) Когда мы пишем уравнения узла, здесь появляется суперузел. Обычно мы предполагаем, что сумма токов, втекающих и вытекающих из узла 1, равна 0. Но теперь мы предположим, что сумма токов входящий и исходящий из Node1 И Node2 равен 0.

Видите, как мы только что предположили, что там вообще нет источника напряжения? Что два конца источника напряжения в основном закорочены вместе, чтобы объединиться в один «суперузел»? Теперь мы можем взять наши уравнения и подставить их для наших токов. Обратите внимание на свои знаки!
Секундочку! У нас есть два неизвестных и одно уравнение! Как мы это понимаем? Здесь мы немного забегаем вперед. С помощью закона напряжения Кирхгофа, KVL, мы можем получить еще одно уравнение из этой схемы.
Мы видим, что по часовой стрелке есть напряжение, которое возрастает на R ₄ , падает на источнике напряжения 10 В и падает на R ₃ . Мы можем составить уравнение с этим.
Другими словами, напряжение на R ₄ минус напряжение на источнике напряжения минус напряжение на R ₃ равно 0. Если это немного странно для вас, не волнуйтесь, перейдите к учебнику KVL, а затем вернитесь к этому позже, вы почувствуете себя намного лучше в этой ситуации.
Наконец, теперь, когда у нас есть два уравнения для двух неизвестных, мы можем решить это.
Шаг 5) Решите уравнения:
Мне нравится переходить от простого к сложному, так как легче заменить элементы в уравнении.
, которые можно поместить в другое уравнение.
И теперь мы знаем, что
Давайте еще раз проверим работоспособность. Ни одно из напряжений не превышает сумму источников напряжения (ничего не превышает +/-20 В). Между V ₁ и V ₂ существует разница в 10 В, как и должно быть с источником напряжения, который вызывает это. Мы можем сказать, что мы определили токи I ₂ и I ₃ наоборот, сделав их отрицательными, но I ₁ и I ₄ оба положительны. Не тратя время на то, чтобы прогнать это через матричный калькулятор или симулятор, это, по крайней мере, выглядит так, как будто это может быть правильно. И не волнуйтесь, я прогнал его через симулятор, потому что знаю, что делаю ошибки – это правильно.}