Определение. Говорят, что последовательность $a_n$ имеет пределом $+\infty$, если для любого $A>0$ существует такое $N$, что при всех $n>N$ выполняется неравенство $a_n>A$.
Обозначение. Этот факт обозначают \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=+\infty, \]
или
\[ a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} +\infty. \]
Аналогично определяется ситуация, когда $ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=-\infty$.
Определение. Если предел последовательности равен $0$, последовательность называют бесконечно малой. Если предел последовательности равен $\infty$, последовательность называют бесконечно большой.
Теорема. Пусть последовательность $a_n$ имеет конечный предел. Тогда $a_n$ – ограниченная последовательность.
Доказательство.
Возьмем какое-нибудь $\varepsilon >0$. Согласно определению предела, существует такое $N$, что при всех $n>N$ выполняется $|a_n-A|
Теорема. Пусть последовательность $a_n$ имеет конечный предел $A$,
\[
a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} A.
Тогда последовательность $b_n=(a_n-A)$ является бесконечно малой.
Теорема. Последовательность может иметь только один предел.
Доказательство.
Предположим, что последовательность имеет два предела, \[ a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} A, \] \[ a_n \xrightarrow[n\to +\infty]{} B, \]
$A \neq B$. Будем для определенности считать, что числа $A$ и $B$ конечные. Возьмем $\varepsilon = |A-B|/3$.
Согласно определению предела, найдется такое $N_1$, что при $n >N_1$ выполняется $A-\varepsilon
По тем же причинам найдется $N_2$ такое, что при $n>N_2$ выполняется $B-\varepsilon
Тогда при $n>max(N_1,N_2)$ выполняются оба набора неравенств, что невозможно – отрезки $(A-\varepsilon,A+\varepsilon)$, $(B-\varepsilon,B+\varepsilon)$ не пересекаются. ч.т.д.
3.1.2 Арифметика пределов
Здесь приведена серия теорем, описывающая предел суммы, произведения и частного последовательностей, имеющих конечный предел.
Теорема. Пусть \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=A, \, \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=B, \]
причем $A$ и $B$ – конечные числа. Тогда последовательность $(a_n+b_n)$ имеет конечный предел, причем
\[ \lim _{n\rightarrow +\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Доказательство.
Возьмем произвольное число $\varepsilon >0 $. Согласно определению предела, существует такое $N_1$, что при всех $n>N_1$ выполняется: \begin{equation} |a_n-A|
По тем же причинам существует такое $N_2$, что при всех $n>N_2$ выполняется: \begin{equation} |b_n-B|
Пусть $N=max(N_1,N_2)$. Тогда при всех $n>N$ выполняются неравенства (1) и (2). Используя неравенство треугольника, получаем: при всех $n>N$ выполняется \begin{equation} |(a_n+b_n)-(A+B)| \[ \varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon.(3)\]
Теорема. Пусть \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=A, \, \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=B, \]
причем $A$ и $B$ – конечные числа. Тогда последовательность $(a_n\cdot b_n)$ имеет конечный предел, причем
\[ \lim _{n\rightarrow +\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B. \]
Теорема. Пусть \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=A, \, \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=B, \]
причем $A$ и $B$ – конечные числа, $B \neq 0$. Тогда последовательность $(a_n / b_n)$ имеет конечный предел, причем
\[ \lim _{n\rightarrow +\infty}(a_n / b_n)=A / B. \]
Теорема. Пусть при всех $n$ выполняется $a_n
Тогда $A \leq M$ (переход в неравенствах к пределу).
Замечание. Разумеется, существуют аналоги этих теорем и в том случае, когда один из пределов (или оба предела) бесконечен.
Контрольный вопрос.
Сформулируйте теорему о пределе суммы, если одна из последовательностей имеет конечный предел, вторая – бесконечный.
3.1.3 Арифметика бесконечно малых
Теорема. Пусть $a_n$, $b_n$ – бесконечно малые при $n \rightarrow +\infty$. Тогда $(a_n+b_n)$ – бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$.
Теорема. Пусть $a_n$ – бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$, $b_n$ – ограниченная последовательность. Тогда $a_n\cdot b_n$ – бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$.
Теорема. Пусть $a_n$ – бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$, \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=B, \] причем $B$ – конечное число, $B \neq 0$. Тогда последовательность $(a_n / b_n)$ бесконечно малая при $n \rightarrow +\infty$.
Определение. Бесконечно малые $a_n$, $b_n$ называются эквивалентными, если существует предел \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n/b_n=\theta, \] причем $\theta \neq 0$, $\theta \neq \pm \infty$. Этот факт обозначают следующим образом: $a_n \sim b_n$ при $n \rightarrow +\infty$.
3.1.4 Признаки существования пределов
Следующие теоремы указывают условия, при которых последовательность имеет предел.
Теорема. Пусть $a_n$ – монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху. Тогда она имеет конечный предел.
Следствие. Если $a_n$ – монотонно возрастающая последовательность, она имеет пределом либо $=+\infty$, либо конечное число. Соответственно, для монотонно убывающей последовательности.
Теорема. Пусть $a_n$ – монотонно убывающая последовательность, ограниченная снизу. Тогда она имеет конечный предел.
Теорема. Пусть для всех $n$ выполняются неравенства $a_n\leq b_n \leq c_n$, и \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}a_n=A, \, \lim _{n\rightarrow +\infty}c_n=A. \] Тогда $b_n$ также имеет предел, причем \[ \lim _{n\rightarrow +\infty}b_n=A. \]
Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность $a_n$ имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого $ \varepsilon >0$ существовало такое $N$, что при всех $m,n>N$ выполнялось $|a_n-a_m|
3.1.5 Вычисление пределов
Здесь мы приведем несколько примеров вычисления пределов последовательностей. При этом мы используем приведенные выше теоремы об арифметике пределов.
3.2 Функции непрерывной переменной
Высшая математика Т2
Высшая математика Т2
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГлава 1. ВВЕДЕНИЕ § 1.1. Предмет математики. Переменные и постоянные величины, множества § 1.3. Символика математической логики § 1.4. Действительные числа § 1.5. Определение равенства и неравенства § 1.6. Определение арифметических действий 1.6.1. Общие соображения 1.6.2. Стабилизирующиеся последовательности 1.6.3. Определение арифметических действий § 1.7. Основные свойства действительных чисел § 1.8. Аксиоматический подход к понятию действительного числа § 1.9. Неравенства для абсолютных величин § 1.10. Отрезок, интервал, ограниченное множество § 1.11. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел Глава 2. Предел последовательности § 2. ![]() § 2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины § 2.4. Неопределенные выражения § 2.5. Монотонные последовательности § 2.6. Число e § 2.7. Принцип вложенных отрезков § 2.8. Точные верхняя и нижняя грани множества § 2.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса § 2.10. Верхний и нижний пределы § 2.11. Условие Коши сходимости последовательности § 2.12. Полнота и непрерывность множества действительных чисел Глава 3. Функция. Предел функции 3.1.1. Функция от одной переменной. 3.1.2. Функции многих переменных. 3.1.3. Полярная система координат § 3.2. Предел функции § 3.3. Непрерывность функции § 3.4. Разрывы первого и второго рода § 3.5. Функции, непрерывные на отрезке § 3.6. Обратная непрерывная функция § 3.7. Равномерная непрерывность функции § 3.8. Элементарные функции § 3.9. Замечательные пределы § 3.10. Порядок переменной. Эквивалентность Глава 4. ![]() § 4.1. Производная § 4.2. Геометрический смысл производной § 4.3. Производные элементарных функций § 4.4. Производная сложной функции § 4.5. Производная обратной функции § 4.6. Производные элементарных функций (продолжение) § 4.7. Дифференциал функции 4.7.1. Дифференцируемые функции 4.7.2. Дифференциал функции 4.7.3. Приближенное выражение приращения функции § 4.8. Другое определение касательной § 4.9. Производная высшего порядка § 4.10. Дифференциал высшего порядка. Инвариантное свойство дифференциала первого порядка § 4.11 Дифференцирование параметрически заданных функций § 4.12. Теоремы о среднем значении § 4.13. Раскрытие неопределенностей § 4.14. Формула Тейлора § 4.15. Ряд Тейлора § 4.16. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций § 4.17. Локальный экстремум функции § 4.18. Экстремальные значения функции на отрезке § 4.19. Выпуклость кривой. ![]() § 4.20. Асимптота графика функции § 4.21. Непрерывная и гладкая кривая § 4.22. Схема построения графика функции § 4.23. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали Глава 5. неопределенные интегралы § 5.1. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов § 5.2. Методы интегрирования § 5.3. Комплексные числа § 5.4. Теория многочлена n-й степени § 5.5. Действительный многочлен n-й степени § 5.6. Интегрирование рациональных выражений § 5.7. Интегрирование иррациональных функций Глава 6. Определенный Интеграл § 6.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, и его определение § 6.2. Свойства определенных интегралов § 6.3. Интеграл как функция верхнего предела § 6.4. Формула Ньютона – Лейбница § 6.5. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме § 6.6. Суммы Дарбу. Условия существования интеграла § 6.7. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций § 6.8. Несобственные интегралы § 6. ![]() § 6.10. Интегрирование по частям несобственных интегралов § 6.11. Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках Глава 7. Приложения интегралов. Приближенные методы § 7.1. Площадь в полярных координатах § 7.2. Объем тела вращения § 7.3. Гладкая кривая в пространстве. Длина дуги § 7.4. Кривизна и радиус кривизны кривой. Эволюта и эвольвента § 7.5. Площадь поверхности вращения § 7.6. Интерполяционная формула Лагранжа § 7.7. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций § 7.8. Формула Симпсона Глава 8. Дифференциальное исчисление функций многих переменных § 8.1. Предварительные сведения § 8.2. Предел функции § 8.3. Непрерывная функция § 8.4. Частные производные и производная по направлению § 8.5. Дифференцируемые функции § 8.6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях § 8.7. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала § 8. ![]() 8.8.1. Производная сложной функции 8.8.2. Производная по направлению 8.8.3. Градиент функции 8.8.4. Однородные функции § 8.9. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка § 8.10. Формула Тейлора § 8.11. Замкнутое множество § 8.12. Непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве § 8.13. Экстремумы § 8.14. Нахождение наибольших и наименьших значений функции § 8.15. Теорема существования неявной функции § 8.16. Касательная плоскость и нормаль § 8.17. Системы функций, заданных неявно § 8.18. Отображения § 8.19. Условный (относительный) экстремум Глава 9. Ряды § 9.1. Понятие ряда § 9.2. Несобственный интеграл и ряд § 9.3. Действия с рядами § 9.4. Ряды с неотрицательными членами § 9.5. Ряд Лейбница § 9.6. Абсолютно сходящиеся ряды § 9.7. Условно сходящиеся ряды с действительными членами § 9.8. Последовательности и ряды функций. ![]() § 9.9. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов § 9.10. Перемножение абсолютно сходящихся рядов § 9.11. Степенные ряды § 9.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов § 9.13. Функции exp(z), sinz, cosz от комплексного переменного § 9.14. Ряды в приближенных вычислениях § 9.15. Понятие кратного ряда § 9.16. Суммирование рядов и последовательностей |
Усугубляется нехватка детского питания: Почему существует ограничение на покупку детского питания?
Ряд крупных розничных продавцов в Соединенных Штатах ввели новые ограничения на закупку детских смесей в ответ на тревожную нехватку поставок.
В прошлом месяце CVS заявила, что ограничивает покупки детских смесей как в магазине, так и в Интернете до трех на заказ после аналогичного ограничения, введенного Walgreens в марте. Kroger выбрал ограничение в четыре позиции на одного клиента, в то время как Цель также наложила ограничения на размер ордера.
Дефицит усугубился отзывом продукции ведущим поставщиком Abbott Laboratories еще в феврале, что привело к значительному сокращению поставок. Детские смеси, в том числе Similac, Alimentum и EleCare, , были отозваны из-за опасений по поводу бактериальных инфекций у небольшого числа младенцев, контактировавших с этими продуктами.
Кризис с детскими смесями был вызван корпоративной небрежностью на сверхконцентрированном рынке без конкуренции. Когда руководители и крупные корпорации не несут никакой ответственности, за это расплачиваются работающие семьи.
— Представитель Вэл Демингс (@RepValDemings) 14 мая 2022 г.
Почему не хватает детского питания?
Нехватка детского питания возникла в результате стечения факторов, которые привели к истощению запасов. Проблемы с цепочкой поставок, которые мешали восстановлению после пандемии, усложнили поиск определенных ингредиентов, используемых для изготовления формулы, а нехватка персонала усложнила производство и транспортировку.
Для товаров первой необходимости, таких как детское питание, спрос, вероятно, останется высоким независимо от цены, означает, что не было падения спроса по мере того, как продукты становились все более пугающими. Может быть трудно найти формулу, которая понравится вашему ребенку, поэтому родители часто очень неохотно переходят от предпочитаемого ими производителя.
Еще одним ключевым фактором стал отзыв трех видов детских смесей в последние месяцы. Компания Abbott Nutrition объявила о добровольном отзыве широко используемых смесей Similac, Alimentum и EleCare в связи с госпитализацией четырех младенцев.
Отзыв был заказан в качестве меры предосторожности, но это сильно повлияло на доступность продукта. Similac является ведущим поставщиком молочных смесей в США и 9 странах мира.В прошлом году доля рынка 0003 составила 42%.
Как я могу найти детскую смесь в США?
После того, как в начале этого года отзыв вступил в силу, возникла повсеместная нехватка; Фирма данных Datasembly подтвердила, что в апреле около 40% детских смесей отсутствовали на складе в США.
В ответ на кризис администрация Байдена создала новый веб-сайт, предназначенный для ответов на вопросы родителей о дефиците.
5 вещей, которые нужно знать, если вы не можете найти детское питание https://t.co/a7zTXsKXKm pic.twitter.com/WlxE3GA8Fq
— The Hill (@thehill) 16 мая 2022
Пресс-секретарь Белого дома Джен Псаки журналистам в пятницу, что новый веб-сайт HHS.gov/formula предоставит «ресурсы и места, куда родители могут обратиться, чтобы получить смесь, включая контакты с компаниями, продовольственными банками [и] поставщиками медицинских услуг».
На веб-сайте есть ответы на ряд часто задаваемых вопросов о молочных смесях, а также контактная информация производителей детских смесей, таких как Gerber, Reckitt и Abbott.
Нехватка детского питания: в каких магазинах действуют ограничения на покупку?
Многие компании, представленные на Money, размещают у нас рекламу. Мнения являются нашими собственными, но компенсация и
углубленных исследований определяют, где и как могут появиться компании. Узнайте больше о том, как мы зарабатываем деньги.
Крупные розничные торговцы, такие как Target и Walgreens, ограничивают покупки американцами детских смесей на фоне продолжающегося дефицита.
По состоянию на 3 апреля 31% самых популярных детских смесей отсутствовали на складе, согласно данным исследовательской компании Datasembly, которая проанализировала около 11 000 магазинов в Соединенных Штатах.
В нескольких штатах показатели были хуже. Datasembly обнаружил, что Коннектикут, Делавэр, Монтана, Нью-Джерси, Род-Айленд, Техас и Вашингтон столкнулись с острой нехваткой в начале апреля, в результате чего более 40% смесей отсутствовало на складе. В трех городах — Де-Мойне, Миннеаполисе и Сан-Антонио — уровень отсутствия детских смесей превысил 50%.
Почему не хватает детских смесей?
Дефицит вызван февральским отзывом некоторых порошковых смесей Similac, Alimentum и EleCare, произведенных Abbott Nutrition, после четырех жалоб потребителей на возможное бактериальное загрязнение. Отзыв был добровольным; Abbott заявила, что ни один из продуктов, которые она распространяла, не дал положительных результатов на бактерии, указанные в жалобах.
Текущие проблемы с цепочками поставок усложняют производителям замену отозванной продукции, что способствует дефициту по всей стране.
Отозванная формула больше не продается на полках магазинов, но если вы считаете, что приобрели ее ранее, вы можете проверить номер партии продукта на веб-сайте Abbott. Для получения дополнительной информации прочитайте веб-страницу Центров по контролю и профилактике заболеваний о продуктах формулы Abbott, затронутых отзывами.
Детская смесь стала дороже?
Datasembly обнаружил, что цены на молочные смеси остаются относительно стабильными, несмотря на растущий дефицит. Средняя цена всех детских смесей, которые компания отслеживает в январе, составляла 24,37 доллара, и в то время только 3,3% товаров отсутствовали на складе. В марте, когда частота выпуска акций, которых нет в наличии, подскочила почти до 30%, средняя цена немного выросла до 26,21 доллара.
Это не означает, что рост цен не влияет на родителей и опекунов. Рекордно высокий уровень инфляции — недавно установленный на уровне 8,5% в годовом исчислении — означает, что деньги просто не тянутся так далеко, как в прошлом году. Последние данные Бюро статистики труда показывают, что цены на детское питание подскочили почти на 11% в период с марта 2021 года по март 2022 года9.0005
Детская смесь является незаменимым продуктом для миллионов семей. По данным CDC, только 25,6% детей, родившихся в 2017 году в США, находились на исключительно грудном вскармливании до шестимесячного возраста.
Объявления за деньги. Мы можем получить компенсацию, если вы нажмете на это объявление. Объявление
Вы никогда не знаете, когда вы можете оказаться в финансовом затруднении – хорошая новость в том, что у вас есть выбор.
Индивидуальный кредит может помочь вам уменьшить потери и вернуться на правильный путь. Нажмите здесь, чтобы изучить варианты!
Начало работы
Магазины, ограничивающие покупку детских смесей
Со ссылкой на Совет по детскому питанию Америки, CBS News сообщила на этой неделе, что производители наращивают производство, чтобы справиться с нехваткой смесей. Совет посоветовал родителям хранить дома 10-дневный или двухнедельный запас смеси. По данным CBS News, он предостерег от дальнейшего накопления запасов и рекомендовал родителям покупать смесь только у авторитетных розничных продавцов или непосредственно у производителя.
«Мы надеемся, что по мере роста производства этой весной семьям по всей стране станет легче», — сообщил в Instagram USA Today Брайан Диттмайер, старший директор по государственной политике Национальной ассоциации WIC. Жить.
В то же время некоторые розничные продавцы предлагают детское питание.
Walgreens ввела ограничение в три продукта формулы на транзакцию, как в Интернете, так и в магазине, сославшись на «повышенный спрос и различные проблемы с поставщиками», сообщил Money по электронной почте представитель Walgreens. Target также ограничивает покупку некоторых детских смесей в Интернете.
Walmart подтвердил Money, что в соответствии с запросом Управления по санитарному надзору за качеством пищевых продуктов и медикаментов США он ограничивает количество покупок смесей до пяти на одного покупателя, на одного ребенка в день в большинстве магазинов и в Интернете.
CVS Health и Kroger, как сообщается, также установили ограничения на закупку детских смесей.
Американская академия педиатрии предостерегает от разбавления детской смеси, чтобы сэкономить деньги и продлить срок ее действия. Если вы не можете найти обычную смесь для вашего ребенка, CDC советует обратиться к лечащему врачу вашего ребенка за рекомендациями.
Информационный бюллетень
Все еще изучаете основы личных финансов? Позвольте нам преподать вам основные уроки денег, которые вам НЕОБХОДИМО знать. Получайте полезные советы, советы экспертов и милых животных в свой почтовый ящик каждую неделю.
Нажимая «Зарегистрироваться», я соглашаюсь получать информационные бюллетени и рекламные акции от Money и его партнеров. Я согласен с Условиями использования и Уведомлением о конфиденциальности Money и даю согласие на обработку моей личной информации.
Информационный бюллетень
Подписаться успешно!
Теперь вы будете получать информационный бюллетень Money’s Dollar Scholar по телефону
.