Формула пределов: Вычисление пределов последовательностей — урок. Алгебра, 11 класс. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Свойства пределов функции, основные свойства пределов

Содержание:

Предел функции
Свойства пределов функции

Предел функции

Предел функции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел L в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к L.

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Предел функции обозначается как

$$f(x) \rightarrow L \quad$ при $\quad x \rightarrow a$$

или через символ предела функции:

$$\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=L$$

Если при прочтении данного материала у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме, также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, геометрии, химии, теории вероятности и многим другим предметам.

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

$$\lim _{x \rightarrow a} C=C$$

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

$$\lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x)+\lim _{x \rightarrow a} g(x)$$

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

$$\lim _{x \rightarrow a}\left[f_{1}(x)+\ldots+f_{n}(x)\right]=\lim _{x \rightarrow a} f_{1}(x)+\ldots+\lim _{x \rightarrow 0} f_{n}(x)$$

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

$$\lim _{x \rightarrow a} k f(x)=k \lim _{x \rightarrow a} f(x)$$

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

$$\lim _{x \rightarrow 0}[f(x) g(x)]=\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow 2} g(x)$$

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

$$\lim _{x \rightarrow a}\left[f_{1}(x) f_{2}(x) \ldots f_{n}(x)\right]=\lim _{x \rightarrow a} f_{1}(x) \cdot \lim _{x \rightarrow 0} f_{2}(x) \cdot \ldots \cdot \lim _{x \rightarrow 2} f_{n}(x)$$

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

$$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)}{\lim _{x \rightarrow 0} g(x)}, \quad$ ecл $\lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0$$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Вся элементарная математика – Средняя математическая интернет-школа

Пределы числовых последовательностей

Числовые последовательности . Формула общего члена.

Предел числовой последовательности. Сходящаяся и

расходящаяся последовательности. Ограниченная

последовательность. Монотонная последовательность.

Теорема Вейерштрасса . Основные свойства пределов.

Некоторые замечательные пределы.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:

1, 2, 3, … , n –1, n , … .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом u _n , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:

u ₁ , u ₂ , u ₃ , …, u _n _–
1

, u _n , …, кратко обозначаемый { u _n }

и называемый числовой последовательностью . Величина u _n называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой u _n

= f ( n ), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).

П р и м е р ы числовых последовательностей:

1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных чисел ;

2, 4, 6, 8, 10, … – ряд чётных чисел;

1. 4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – числовая последовательность

приближённых значений

с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность описана полностью.

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n . В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел . Это понятие имеет более строгое определение.

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n . Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N , что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (

a – , a + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся ; в противном случае – расходящейся .

Последовательность называется ограниченной , если существует такое число M , что | u _n | M для всех n .

Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной .

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства).

Основные свойства пределов. Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.

Если { u _n } и { v _n } – две сходящиеся последовательности, то:

Если члены последовательностей { u _n }, { v _n }, { w _n } удовлетворяют неравенствам

Некоторые замечательные пределы.

Формула лимита

Ежемесячная техническая подсказка от Тони ХансенSignUp

Нет отслеживания ! Нет объявлений ! Вот почему эта страница загружается быстро!

Весь глоссарий

Способ установления рекомендаций для каждого оксида в химии для различных типов керамической глазури. Понимание роли каждого оксида и ограничений этого подхода является ключом к эффективному использованию этих рекомендаций.

Детали

Термин «предельная формула» исторически обычно относился к усилиям по установлению абсолютных диапазонов для смесей оксидов, которые хорошо плавятся при заданной температуре и не находятся в достаточном избытке, чтобы вызвать дефекты. Эти формулы обычно показывают диапазоны для каждого оксида, обычно используемого в конкретном типе глазури (в отличие от концепции предельного рецепта, который выражает нормальные количества материала, ожидаемые в данном типе продукта).

Многие предпочитают термин «целевая формула». Это связано с тем, что термин «предельная формула» предполагает, что глазури за пределами диапазона не будут работать, а те, что внутри, каким-то образом безопасны. Однако, это не так. Хорошее плавление просто несет с собой гораздо более высокую вероятность того, что глазурь достаточно функциональна и сбалансирована (не содержит чрезмерного количества какого-либо отдельного оксида, который может привести к нестабильности или реакционной способности). Эти лимиты также зависят от количества B ₂ O ₃ присутствует (если допустимо больше, чем допустимо большее количество Al ₂ O ₃ и SiO ₂).

Определенные керамические отрасли установили запатентованные ограничения для глазурей, которые они производят (например, сверхнизкое расширение, высокая стойкость к истиранию, устойчивость к росту бактерий, высокая эластичность, определенные цвета, быстрое возгорание). Эти пределы часто являются тщательно охраняемыми секретами и будут значительно отличаться от показанных здесь нормальных диапазонов. Распространенным примером мишени общественного достояния являются кристаллические глазури, они почти не требуют глинозема, намного выше, чем обычные натрий и цинк. Они также требуют специальной обработки при обжиге.

Существует разница между получением оксида из фритты или сырья. Фритты легко выделяют свои оксиды в расплав глазури, что дает им больше времени для непосредственного участия в формировании однородной структуры глазури (это особенно важно, когда материалы имеют высокие температуры плавления). Таким образом, такие оксиды, как BaO, которые потенциально могут выщелачиваться в глазури, если они получены из сырья, могут не выщелачиваться из фритты, особенно при относительно низких уровнях.

Однако в основном мы занимаемся созданием глазури для функциональной посуды. Использование термина «целевая формула» вместо «предельная формула» предполагает, что нас больше интересует сравнение новой глазури с той, которую мы уже понимаем (использовали и широко тестировали). Он признает, что оценка пригодности глазури является скорее относительной, чем абсолютной наукой. Это хорошо.

Вот пример типичной предельной формулы для конуса 6 глазури.

CaO – 0-0,55
MgO – 0-0,325
KNaO – 0-0,375
ZnO – 0-0,3
БаО – 0-0,4
В ₂ О ₃ – 0-0,35
Ал ₂ О ₃ – 0,285-0,64
SiO ₂ – 2,4-4,7

Эти значения относятся к сравнительным числам молекул. Они предназначены для сравнения с глазурью, формула которой унифицирована (флюсы или плавители в сумме дают единицу). На конусе 6 потоки от CaO до BaO. Они уравновешивают Al ₂ O ₃ (стабилизатор) и SiO ₂ (формирователь стекла). B ₂ O ₃ — это низкотемпературное стекло, которое также действует как флюс.

Это предполагает, что содержание CaO (обычно из карбоната кальция или волластонита) может варьироваться от нуля до 0,55. Но на практике почти никогда не встретишь глазури с нулевым содержанием СаО, почти всегда его значительное количество (0,3 и более). В матовой глазури содержание СаО очень часто превышает этот предел.

-MgO (из талька и доломита) менее распространен, чем CaO или KNaO в глазури, он матирует их, когда количество достигает 0,3 и выше. Фактически, шелковисто-матовые глазури, которые очень распространены, часто имеют 0,35 или более.

-KNaO (совокупность K ₂ O и Na ₂ O из полевых шпатов и фритт) является ключевым плавителем. Как и CaO, он есть почти во всех глазурях. Глазури обжигают до блестящего блеска, когда это выше. Но KNaO имеет высокое тепловое расширение, поэтому ограничивающим фактором является восприимчивость вашего тела к сумасшествию (что, вероятно, поставит его ниже предела, указанного здесь).

-ZnO является вспомогательным плавильным средством, он редко встречается в глазури с медленным обжигом (например, для гончарных изделий), особенно если он получен из оксида цинка. Поскольку другие плавители (особенно бор) имеют гораздо меньше побочных эффектов (например, дефекты глазури, искажения цвета), они почти никогда не достигают этого предела 0,3. Однако в промышленных применениях с быстрым обжигом (обжиг от 1 до 2 часов) его можно допустить, если он получен из фритт, и он будет достигать этого предела.

-BaO требует осторожного обращения из-за токсичности; любая глазурь, которая имеет 0,4 BaO, будет зашкаливать с точки зрения потенциала выщелачивания! Кроме того, единственное время, когда BaO будет находиться на этом высоком уровне, должно быть для специального назначения, нефункциональных, кристально-матовых или синих матовых глазурей. Однако, несмотря на то, что глазурь не используется для функциональной посуды, гончар, изготавливающий посуду, подвергается воздействию высокого уровня бария-сырца. Для функциональных глазурей низкие уровни BaO часто допустимы (например, 0,05–0,1), если химический состав глазури сбалансирован (достаточно SiO ₂ и Al ₂ O ₃ ) и хорошо плавятся (но не кристаллизуются). Промышленность часто использует фритты для получения BaO, очевидно, что они намного безопаснее в использовании.

-SrO, хотя и не показан, может рассматриваться как BaO (он не токсичен и является обычным вспомогательным флюсом).

-Li ₂ O также не показан. Используйте только небольшое количество (например, 0,05), это мощный поток. У него также есть проблемы с токсичностью.

-B ₂ O ₃ требуется почти для всех среднетемпературных глазурей, без него они просто не расплавятся. Верхний предел здесь консервативен, но хорошо плавящаяся глазурь все же может быть достигнута при уровнях ниже этого (например, 0,2). Но если вам нужна глазурь с сильным блеском с красителем и замутнителями или с пестрыми реактивными визуальными эффектами, то, вероятно, потребуется значительно больше, чем 0,35 (удвоение этого количества не является чем-то необычным!). Однако этот предел, вероятно, отражает потребности промышленности, у них есть причины минимизировать использование бора из-за его побочных эффектов (борный синий и расстеклование, микропузырьки, проблемы с долговечностью, трудности с быстрым огнем).

-Al3O ₃ требуется для всех глазурей (кроме кристаллических). Он удерживает расплав от стекания с вертикальных поверхностей, стабилизируя его. Он также придает твердость и долговечность. Как правило, вам нужно как можно больше (но если слишком много, блеск будет потерян), и более того, он не расплавится (было бы очень необычно увидеть верхний предел 0,64). Около 0,4 было бы гораздо более типичным.

-SiO ₂ составляет основную часть всех глазурей, является стеклообразователем. Чем больше глазури возьмет (и при этом хорошо расплавится), тем лучше. Все его эффекты полезны. Этот верхний предел является консервативным, если больше бора (или вспомогательных флюсов, таких как Li ₂ O, ZnO) могут присутствовать больше SiO ₂.

– Красители (например, оксиды Fe, Co, Mn, Cu, Cr). Будьте благоразумны. Если 1% кобальта дает ярко-синий цвет, не добавляйте 5%. Если 5% пятна достаточно, не добавляйте 10%. Железо не опасно. Медь может сделать глазурь выщелачиваемой, проверьте это. MnO выделяет дым при обжиге. Кадмий и свинец, очевидно, требуют ноу-хау для безопасного использования.

– Титан и рутил: они обычно добавляются в разнообразные глазури (кристаллизуются и вызывают фазовые переходы). Они эффективны примерно до 5%, выше поверхность обычно становится шероховатой и матовой (сетка из кристаллов). Есть ломовые способы предотвратить это, например, включение значительного количества цинка или лития. Но такие глазури, как известно, привередливы и сложны. Остерегаться.

Физические пределы: Хорошо ли плавится глазурь? Можно ли поцарапать его металлом? Выдержит ли он испытание на выщелачивание? сильно кристаллизуется? (сделайте крупным планом камеру и увеличьте ее). В расплавленном стекле полно пузырьков воздуха? Это безумие? Это очевидные вещи, но нет особого смысла возиться с химией, если есть такие очевидные проблемы!

Большинство людей, имеющих большой опыт смешивания и тестирования глазури и наблюдения за их химическим составом, вероятно, рационализируют эти ограничения так же, как это сделано здесь. Как только вы зафиксируете этот план, вам больше никогда не понадобится смотреть на другой лимитный график, это становится вашей второй натурой!

Ниже есть ссылка на длинную статью о лимитах.

Сопутствующая информация

A Ограничение формулы единства Сегера

Нажмите на изображение, чтобы увидеть полный размер

Минеральные источники оксидов имеют свои собственные модели плавления, и когда один заменяется другим для получения оксида, вводится другая система со своим относительным химическим составом. Крайним примером этого может быть получение Al ₂ O ₃ для глазури с использованием прокаленного оксида алюминия вместо каолина. Хотя формула может быть точно такой же, результат обжига будет совершенно другим, потому что очень мало глинозема растворится в расплаве глазури. С другой стороны, можно использовать другую фритту для подачи набора оксидов (при сохранении общего химического состава глазури), и результат обжига будет гораздо более химически предсказуем. Почему? Потому что легко и высвобождают свои оксиды в расплаве.

Всегда ли добавление бора увеличивает плавление глазури?

Коснитесь изображения в полном размере

Бор (B ₂ O ₃ ) похож на кремнезем, но также является флюсом. Frits и Gerstley Borate поставляют его в глазури. В этом тесте я увеличил количество бора с 0,33 до 0,40 (используя химические инструменты в моем аккаунте Insight-live.com). Я был уверен, что это заставит глазурь больше таять и меньше склонна к потрескиванию. Но, как показывают эти тесты GBMF на текучесть расплава (10-граммовые тестовые шарики GBMF, расплавленные на фарфоровой плитке), этого не произошло. Почему? Я предполагаю, что для получения эффекта B ₂ O ₃ должен быть заменен молекулой на молекулу на SiO ₂ (а не просто добавлен в глазурь).

Предельная или целевая формула глазури. Что это значит?

Нажмите на изображение, чтобы увидеть его в полном размере

Рецепты показывают нам материалы в виде порошка глазури (или суспензии). Формулы перечисляют молекулы оксида и их сравнительные количества в обожженном стекле. Оксиды составляют обожженное стекло. Печь разрушает керамические материалы, чтобы получить их оксиды, выбрасывает углерод, серу и т. д. и создает стекло из остального. Существует прямая зависимость между свойствами обожженной глазури (например, диапазоном плавления, блеском, тепловым расширением, твердостью, долговечностью, цветовой чувствительностью и т. д.) и ее оксидной формулой. Нужно знать 8-10 оксидов (против сотен материалов). Таким образом, с точки зрения формулы материалы являются «источниками оксидов». Хотя есть и другие факторы, помимо чистой химии, которые определяют, как горит глазурь, ни один из них не является столь важным. Insight-live может рассчитать и показать формулу рецепта, это позволяет сравнивать ее бок о бок и с целевой формулой (или другим рецептом, который, как известно, работает по мере необходимости). Целевые формулы открываются с помощью расширенного поиска рецептов, выбора пакета лимитов и нажатия/нажатия кнопки поиска (ищите «целевой рецепт» в интерактивной справке Insight для получения дополнительной информации).

Ссылки

Статьи	Формулы ограничения и целевые формулы Химические составы глазури для каждого типа глазури имеют типичный вид, что позволяет нам выявить нетипичные. Формулы лимита и цели полезны для нас, если мы будем иметь в виду их правильное использование.
Артикул	С чего начать в понимании глазури? Избавьтесь от зависимости от онлайн-рецептов, которые не работают, или дорогих глазурей в бутылках. Узнайте, почему глазури так горят. Для чего используется каждый материал. Как создать идеальные свойства погружения и сушки. Даже немного химии.
Артикул	Создание собственной бюджетной глазури Как превратить склад, полный неиспользованных материалов, в хорошую глазурь, а не пробовать бесчисленное количество онлайн-рецептов, которые требуют покупки еще большего количества материалов, которые вам не нужны и не работают.
Оксиды	Al2O3 – оксид алюминия, глинозем
Оксиды	SiO2 – диоксид кремния, диоксид кремния
Оксиды	B2O3 – оксид бора
Оксиды	CaO – оксид кальция, кальций
Оксиды	CoO – оксид кобальта
Оксиды	Cr2O3 – оксид хрома
Оксиды	MnO – оксид марганца
Оксиды	MnO2 – диоксид марганца
Оксиды	Li2O – оксид лития, литий
Оксиды	ZnO – оксид цинка
Оксиды	BaO – оксид бария, бария
Глоссарий	краситель В керамике и гончарных изделиях красители добавляют к глазури в виде оксидов металлов, сырьевых материалов, содержащих оксиды металлов, или в виде промышленных красителей.
Глоссарий	Флюс Благодаря флюсам мы можем обжигать глиняные тела и глазури в обычных печах, они заставляют глазури плавиться, а тела стекловаться при более низких температурах.
Глоссарий	Выщелачивание Керамические глазури могут выделять тяжелые металлы в пищу и напитки. Эта тема не сложна, есть много вещей, которые каждый может сделать, чтобы решить эту проблему
Глоссарий	Предельный рецепт Этот термин относится к способности критического мышления, которую гончары и техники могут развить, чтобы распознавать рецепты, имеющие очевидные проблемы и достоинства, просто видя материалы и проценты.
Глоссарий	Керамический оксид В химии глазури оксид является основной единицей формул и анализов. Знание того, какие материалы поставляют оксид и как он влияет на обожженное стекло или глазурь, является ключом к контролю.
Глоссарий	Химия глазури Химия глазури — это изучение того, как химический состав оксидов глазури связан со способом их обжига. Он учитывает цвет, поверхность, твердость, текстуру, температуру плавления, тепловое расширение и т. д.
Глоссарий	Глазурь Долговечность Керамические глазури широко различаются по своей устойчивости к износу и выщелачиванию кислотами и щелочами. Основными факторами, определяющими долговечность, являются химический состав глазури и температура обжига.
Медиа	Desktop Insight 1B — Превратите полевой шпат в глазурь Научитесь сравнивать целевую формулу с химическим составом полевого шпата. Узнайте, почему она сама по себе не дает хорошей глазури и какие материалы нужно добавить, чтобы получить сбалансированную глазурь.
Рецепты	G3806C – Cone 6 Clear Fluid-Melt Clear Base Glaze Базовый рецепт плавящейся глазури, разработанный Тони Хансеном. С добавками красителей образует реактивные расплавы, которые пестрят и текут. Он более устойчив к растрескиванию, чем другие.
Рецепты	G2926B – Cone 6 Белая посуда/Фарфоровая прозрачная глазурь Базовый рецепт прозрачной глазури, созданный Тони Хансеном для Plainsman Clays, обеспечивает высокий глянец и ультрапрозрачность при низкой подвижности расплава.
Рецепты	G2934 – Матовая глазурь для конуса 6 Рецепт матовой глазури на основе MgO позволяет получить твердую утилитарную поверхность и обладает очень хорошими рабочими свойствами. Растушуйте глянец, если он слишком матовый.
URL-адреса	Немецкий гончар Корнелиус Брейманн исследует предельные формулы, эвтектику В этом видео на Youtube Корнелиус отправит вас в медленное и осознанное путешествие. Если вы будете придерживаться его, вы обнаружите, как путем тщательного смешивания полевого шпата, карбоната кальция и кремнезема мы можем увидеть, какие соотношения CaO, SiO2 и Al2O3 (и материалов, из которых они получены) дают хорошо плавящуюся высокотемпературную глазурь. Вы увидите, как процесс демонстрирует, где полевой шпат сам по себе не годится для глазури и каким он должен быть. И вы увидите продемонстрированную эвтектику CaO:SiO2:Al2O3.

By Тони Хансен
Следуйте за мной на

Есть вопрос?

Купи мне кофе и мы поговорим

Формула 3 Sigma для пределов анализа тренда: Pharmaguideline

Предупреждение и предел действия для анализа тенденций в фармацевтике являются обязательным требованием cGMP. Эти пределы получены с использованием формулы 3 сигма.

Все наблюдения, связанные с водной системой и мониторингом окружающей среды, подлежат анализу тенденций. Тенденции подготовлены, но их предел всегда остается предметом обсуждения, потому что все нормативные руководства предусматривают единый предел для тестов. Предупреждение и лимит действий не указаны.

Существует множество формул для определения внутренних пределов предупреждений и действий, но формула 3 сигма является более надежной и широко используемой формулой.

Для определения этих пределов сначала рассчитывается стандартное отклонение значений результата, а затем оно прибавляется к среднему значению всех значений. Например:

Если у вас есть 10 пользовательских точек очищенной воды с официальным пределом 100 КОЕ/мл и данными за 15 дней, рассчитайте пределы предупреждения и действия следующим образом.

Среднее всех результатов = 11,28

Стандартное отклонение (сигма) = 4,16 3xSigma)

=11,28+(3×4,16)

=24 КОЕ/мл

Точка отбора проб	Результаты разных дней
Точка отбора проб	1 ^ст	2 ^и	3 ^рд	4 ^-й	5 ^-й	6 ^-й	7 ^-й	8 ^-й	9 ^-й	10 ^-й	11 ^-й	12 ^-й	13 ^-й	14 ^-й	15 ^-й
SP01	05	08	11	06	08	05	12	06	06	10	12	11	06	13	17
SP02	08	13	06	11	08	09	07	10	08	06	13	11	07	09	06
SP03	12	19	08	12	13	09	07	15	12	10	10	13	09	07	12
SP04	18	10	09	13	06	09	11	10	12	08	12	08	06	11	09
SP05	12	08	11	08	04	15	09	06	12	10	07	13	16	10	12
SP06	05	12	08	06	06	19	12	10	09	11	08	08	08	12	16
SP07	10	13	09	16	12	08	11	10	14	24	18	21	16	12	16
SP08	16	18	08	11	22	12	09	14	12	06	10	16	20	11	13
SP09	09	18	22	09	14	06	13	09	14	12	07	13	16	09	11
СП10	15	22	08	12	09	13	17	20	14	08	08	13	11	19	22

Связанный: СОП для статистического исследования для анализа тенденций

Результаты не должны превышать порог предупреждения, и каждый раз, когда он превышается, следует проводить расследование.