Формула производной произведения: Производная произведения функций (u*v)’

Содержание

23. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).

Производная функции м.б. найдена по схеме:

  1. Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .

  2. Находим приращение функции .

  3. Составляем отношение .

  4. Находим предел этого отношения при , т.е. (если этот предел существует).

Основные правила дифференцирования

  1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

При любых и имеем и . Отсюда при любом отношение и, следовательно, ■

  1. Производная аргумента равна единице, т.е. .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим функцию . При любых и имеем и . Отсюда при любом отношение и, следовательно, ■

  1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.

.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть и – дифференцируемые функции. Найдем производную функции по схеме:

  1. Дадим аргументу приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция – значение .

  2. Найдем приращение функции: .

  3. Составим отношение , которое представим в виде: .

  4. Найдем предел этого отношения при , используя теоремы о пределах:

На основании определения производной получили, что:

или . ■

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(при условии, что ).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) Дадим аргументу х приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция – значение .

2) Найдем приращение функции:

3) Составим отношение , которое представим в виде:

4) Найдем предел этого отношения при , используя теоремы о пределах: ■

24. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести).

Производная сложной функции. Производные основных элементарных функций (таблица производных)
  1. Производная логарифмической функции.

А) . Воспользуемся схемой нахождения производных:

1) Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .

2) Находим приращение функции .

3) Составляем отношение .

4) Находим предел этого отношения при , т.е. .

Обозначив , найдем и .

В силу непрерывности логарифмической функции, используя 3 свойство функций непрерывных в точке. (Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке ), меняем местами символы предела и логарифма, а затем используем определение числа ; получим:

.

Итак, и .

Б) . Найдем , т.е.

и .

  1. Производная показательной функции.

А) – прологарифмируем обе части равенства по основанию : . Дифференцируем или , откуда , т.е.

и .

Б) . . Итак,

и

  1. Производная степенной функции.

, для любого . Прологарифмируем обе части равенства

. Дифференцируем: , откуда , т.е:

и

  1. Производная степенно-показательной функции.

. . Дифференцируем: .

  1. Производная тригонометрических функций.

и

и

и

и

производная / Дифференцирование векторного произведения / Математика

Есть какие-то четкие правила дифференцирования векторного произведения?

Почему $% [\vec{a}\vec{b}]’=\left[\frac{d\vec{a}}{dt},\vec{b}\right]+\left[\vec{a},\frac{d\vec{b}}{dt}\right] $%? Может это как-то выводится?

дифференцирование производная векторы

задан 20 Авг ’16 10:46

org/Person”>CMTV
35●2●17
77% принятых

изменен 20 Авг ’16 10:46

старыеновыеценные

Это можно вывести явно выписав формулы и воспользовавшись формулой производная произведения… Или воспользоваться формулой дифференцирования определителей (которая тоже есть следствие производной произведения)… $$ \begin{vmatrix} a_1&a_2\\b_1&b_2 \end{vmatrix}’= (a_1b_2-a_2b_1)’=(a_1’b_2-a_2’b_1)+(a_1b_2′-a_2b_1′)= \begin{vmatrix} a_1’&a_2’\\b_1&b_2 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_1&a_2\\b_1’&b_2′ \end{vmatrix} $$

ссылка

отвечен 20 Авг ’16 11:21

org/Person”>all_exist
53.7k●3●13

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика – это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

регистрация »

отмечен:

производная ×372
векторы ×241
дифференцирование ×110

задан
20, 2016, 10:46 д.п.”>20 Авг ’16 10:46

показан
6680 раз

обновлен
20 Авг ’16 11:38

Связанные вопросы

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Как доказать формулу правила произведения с помощью первого принципа

Исчисление использует правило произведения для дифференциации функций. Правило произведения используется, когда данная функция является произведением двух или более других функций. Если проблемы представляют собой комбинацию двух или более функций, Правило продукта можно использовать для поиска их производных. Проще говоря, термин «продукт» относится к комбинации двух функций, которые перемножаются вместе.

Это правило, открытое Готфридом Лейбницем, позволяет нам вычислять производные, которые мы не хотим (или не можем) быстро умножать.

Другими словами, правило произведения позволяет нам найти производную двух дифференцируемых функций, которые перемножаются, объединяя наши знания как о степенном правиле для производных, так и о правиле суммы и разности для производных.

Простыми словами это можно выразить следующим образом: Вторая производная от первой, умноженная на производную от первой, умноженная на вторую, умноженная на ее собственную производную, равна производной от второй, умноженной на ее собственную производную.

Чтобы продемонстрировать формулу правила произведения с использованием определения производной или пределов, рассмотрим функцию h(x) = f(x)g(x), обладающую тем свойством, что f(x) и g(x) дифференцируемы при точка х.

В математическом анализе правило произведения — это метод определения производной любой функции, которая задана в виде произведения, полученного путем умножения двух дифференцируемых функций. По правилу произведения производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения второй функции на дифференцирование первой плюс произведение второй функции на дифференцирование первой функции, произведение дифференцирование первой и второй функций. То есть, учитывая функцию вида f(x)g(x), мы можем определить ее производную, используя производную по правилу произведения.

 d/dx f(x)g(x) = [g(x) f'(x) + f(x) g'(x)]

Доказательство правила произведения: 

Пределы и сложение и вычитание того же часть приведенной ниже функции может быть использована для демонстрации правила произведения:

Для двух функций f(x) и g(x) с h в качестве малых приращений функции мы получаем f(x + h) и g( х + ч).

Пусть F(x) = f(x)g(x) и F(x + h) = f(x + h)g(x + h)

Тогда производная функции равна.

Правило произведения в производных определяется как производная двух функций.

Получение правила произведения для дифференцирования: 

Все, что нам нужно сделать, это использовать понятие производной в сочетании с простым алгебраическим трюком.

Для начала вспомним, что произведение fg функций f и g определяется как (fg)(x) = f(x)g(x), поэтому производная равна.

Формула правила произведения: 

Формулу правила произведения в исчислении можно использовать для определения производной или оценки дифференцирования двух функций. Это формула правила произведения:

ddxf(x)=ddx{u(x).v(x)}=[v(x)u'(x) +u(x)v'(x)]

где,

В этом случае , f(x) — произведение дифференцируемых функций u(x) и v(x) (x)

Функции с дифференцируемыми коэффициентами (u(x) и v(x))

Функция u'(x) является производной функции u. (x)

Функция v'(x) является производной функции v (x)

Первый принцип правила произведения: 

По определению, производная относится к процессу использования алгебры для вывода общего уравнения для наклон кривой. Кроме того, его называют дельта-подходом. Производная является мерой мгновенной скорости изменения, равной. f ′ (x) = limh-0 f (x + h)- f (x) h

Вывод: 

Исчисление использует правило произведения для дифференциации функций. Правило произведения используется, когда данная функция является произведением двух или более других функций. Если проблемы представляют собой комбинацию двух или более функций, правило продукта можно использовать для поиска их производных. Проще говоря, термин «продукт» относится к комбинации двух функций, которые перемножаются вместе. По определению, производная относится к производной. процесс использования алгебры для получения общего уравнения для наклона кривой. Кроме того, его называют дельта-подходом.

 

Калькулятор правила произведения — пошаговый расчет производной

Введение в калькулятор правила произведения

Калькулятор правила произведения с шагами — это онлайн-инструмент для вычисления производной функции с использованием правила произведения. Он применяет формулу вывода к функции, состоящей из двух или трех функций, следуя правилу произведения для производной.

При выполнении вычислений вручную с использованием правила произведения производной вы можете забыть применить формулу производной к любому термину из-за отсутствия практики. Здесь мы представляем онлайн-программное обеспечение, которое может помочь вам в вычислении производных для более чем одной функции.

Что такое калькулятор правил производных продуктов?

Калькулятор правила продукта с шагами — это бесплатное онлайн-программное обеспечение, которое помогает вычислить производную комбинации двух функций. Другими словами, этот Калькулятор помогает вам различать две или более функции, которые перемножаются вместе.

Все производные правила играют существенную роль в исчислении, включая правило произведения. Итак, если вы хотите изучить концепцию деривативов, вы должны понять все правила. Калькулятор производных правил продукта упрощает понимание этой концепции, предоставляя пошаговые решения.

Вы также можете ознакомиться с другими инструментами на этом веб-сайте, такими как Калькулятор частных правил и Калькулятор цепных правил.

Как использовать калькулятор правила дифференцирования произведения?

Существуют элементарные и простые шаги для использования этого инструмента. Они следующие:

  1. Во-первых, вам нужно ввести функцию в поле «Ввести функцию». Или вы можете пойти с уже приведенным примером, чтобы проверить, как использовать этот калькулятор.
  2. Вам необходимо выбрать переменную из списка, приведенного ниже в поле «По отношению к».
  3. Теперь на последнем шаге нажмите кнопку «Рассчитать».

После нажатия на кнопку расчета инструмент начнет вычисление производной и покажет результат через несколько секунд.

Формула, используемая Калькулятором правил производных продуктов

Поскольку термин «производная» говорит нам о скорости изменения функции, правило произведения — это правило для производной, которое применяется, если функция представляет собой комбинацию двух функций.

Калькулятор правил произведения использует следующую формулу для нахождения производных двух функций, умноженных вместе.

$$ \frac{d}{dx}(uv) \;=\; v. \frac{du}{dx} \;+\; ты \frac{dv}{dx} $$

Где u и v две функции, зависящие от x.

Этот калькулятор также может выполнять три функции, объединенные вместе. Формула для трех функций:

$$ \frac{d(uvw)}{dx} \;=\; uw \frac{dv}{dx} \;+\; vw \frac{du}{dx} \;+\; uv \frac{dw}{dx} $$

Где u, v и w — три функции, зависящие от независимой переменной x.

Пример:

Найдите производную от y = xsinx.

Поскольку функция y содержит две функции x и sinx. Мы будем использовать правило произведения производной, чтобы решить этот пример.

Шаг I:

Применение производных к обеим частям данного уравнения.

$$ \frac{dy}{dx} \;=\; \frac{d}{dx}(xsinx) $$

Используя правило произведения,

$$ \frac{dy}{dx} \;=\; sinx \frac{d}{dx}(x) \;+\; x \frac{d}{dx}(sinx) $$

Теперь

$$ \frac{dy}{dx} \;=\; синкс \;+\; xcosx $$

Этот пример решен с использованием правила произведения, поскольку функция y является комбинацией двух функций.

Зачем использовать калькулятор правил продукта с шагами?

Концепция производной имеет важное значение в исчислении, потому что она может решать наши повседневные жизненные проблемы, например, может определять максимальное и минимальное значение, скорость изменения скорости машины и т. д. На веб-сайте доступны различные инструменты, которые делают легко решить эти проблемы относительно производных.

Калькулятор правила дифференциации продукта — один из таких инструментов, доступных в Интернете. Это помогает вам практиковаться, показывая пошаговую дифференциацию и строит график для наглядности. Вот почему вам нужно использовать его для дифференциации.

Преимущества использования калькулятора производных по правилу произведения

Использование онлайн-инструмента для дифференцирования в математике всегда является очень эффективным и интеллектуальным способом, поскольку он может мгновенно вычислить производную двух или более функций.

Использование этого инструмента дает ряд существенных преимуществ.

  1. Это экономит ваше время, что более эффективно, чем ручные вычисления.
  2. Он обеспечивает точную пошаговую дифференциацию, поскольку в решении с использованием Калькулятора правила производного произведения исключена вероятность ошибки.
  3. Он проверяет решение, интегрируя его и показывая его альтернативные формы.
  4. Также показывает графическое представление функции в зависимости от скорости изменения.
  5. Этот калькулятор является эффективным инструментом, который помогает учащимся практиковаться в калькуляторе правил продукта на большем количестве примеров.
  6. Это бесплатное онлайн-программное обеспечение, поэтому вам не нужно платить за него.
  7. Калькулятор правила дифференциации продукта прост в использовании. Вам нужно выполнить несколько шагов.
  8. Он имеет уникальный и простой дисплей, отличающий его от других онлайн-источников.
  9. Это мощный инструмент со множеством функций. Потому что вы можете находить числовые корни, действительные и мнимые части решения, область определения и диапазон, расширять форму решения и бесконечные интегралы с помощью этого единственного инструмента.

Оставить комментарий