Формула циклической частоты колебаний в физике
Формула циклической частоты колебаний в физикеОпределение и формула циклической частоты колебаний
Определение
Циклическая частота – это параметр, характеризующий колебательные движения. Обозначают эту скалярную величину как $\omega $, иногда ${\omega }_0$.
Напомним, что уравнение гармонических колебаний параметра $\xi $ можно записать как:
\[\xi \left(t\right)=A{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\left(1\right),\]
где $A={\xi }_{max}$ – амплитуда колебаний величины $\xi $; $\left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)$=$\varphi $ – фаза колебаний; ${\varphi }_0$ – начальная фаза колебаний.
Циклическую частоту при гармонических колебаниях определяют как частную производную от фазы колебаний ($\varphi $) по времени ($t$):
\[{\omega }_0=\frac{?\varphi }{\partial t}=\dot{\varphi }\left(2\right).
\]
Циклическая частота колебаний связана с периодом ($T$) колебаний формулой:
Циклическую частоту с частотой $?$$?$ связывает выражение:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \ \left(4\right).\]
Формулы для частных случаев нахождения циклической частоты
Пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой равной:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\left(5\right),\]
$k$ – коэффициент упругости пружины; $m$ – масса груза на пружине.
Гармонические колебания физического маятника происходят с циклической частотой равной:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{mga}{J}}\left(6\right),\]
где $J$ – момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ – расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ – масса маятника.
Частным случаем физического маятника является математический маятник (физический маятник, масса которого сосредоточена в точке), циклическая частота его колебаний может быть найдена как:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}\left(7\right),\]
где $l$ – длина подвеса, на которой находится материальная точка.
2S_1S_2}}$
Пример 2
Задание. Чему равна циклическая частота гармонических колебаний материальной точки, если амплитуда скорости точки равна ${\dot{x}}_{max}=v_0$, амплитуда ее ускорения: ${\ddot{x}}_{max}=a_0$? Начальная фаза колебаний равна нулю.
Решение. Из контекста условий задачи понятно, что колебания совершает координата $x$, поэтому уравнение колебаний (в общем виде) запишем как:
\[x\left(t\right)=A{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)=\ }A{\cos \left({\omega }_0t\right)\ }\left(2.1\right),\]
По условию задачи ${\varphi }_0$=0. Тогда уравнение для скорости изменения параметра $x\left(t\right)$ имеет вид:
\[\dot{x}\left(t\right)=v\left(t\right)=-A{\omega }_0{\sin \left({\omega }_0t\right)\left(2.2\right).\ }\]
Из выражения (2.2) следует, что:
\[{\dot{x}}_{max}=v_0=A{\omega }_0\left(2.
2 \end{array}
\right.\left(2.6\right).\]
Найдем отношение $\frac{a_0}{v_0}$, получим:
\[\frac{a_0}{v_0}={\omega }_0.\]
Ответ. ${\omega }_0=\frac{a_0}{v_0}$
Читать дальше: формула частоты колебаний пружинного маятника.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Циклическая частота колебаний – формула
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 190.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 190.
Любые колебательные процессы в Природе (в том числе и непериодические) могут быть представлены в виде бесконечной суммы простых гармонических колебаний. Поэтому в первую очередь изучаются гармонические колебания. Рассмотрим такую характеристику этих колебаний, как циклическая частота.
Период и частота гармонических колебаний
Впервые гармоническими колебаниями заинтересовались еще античные философы, изучая вопросы музыкальной гармонии. Поэтому простейшие колебания, происходящие по закону круговых функций (синуса или косинуса), называются гармоническими.
Формула гармонических колебаний:
$$x=Asin(\omega t+\varphi)$$
Рис. 1. График гармонических колебаний.Как можно видеть из графика колебаний (а также из изучения круговых функций в математическом анализе), функции эти регулярно повторяют свои значения. Более того, регулярно повторяется форма графика колебаний. Это свойство функции называется периодичностью. То есть, функция, обладающая периодичностью, имеет равные значения на промежутках, равных своему периоду.
Период обозначается латинской буквой $T$. Однако, физический и математический подход к измерению периода немного различен.
В математике в качестве аргумента круговой функции рассматривается угол поворота вектора, образующего ее, и этот угол удобно измерять в радианах (каждый радиан равен дуге, имеющей длину радиуса).
В радианах измеряется и период круговой функции. Для простого синуса или косинуса $T = 2\pi$.
В физике угол поворота менее важен, нередко такой угол даже невозможно указать (например, для колебаний пружинного маятника). Поэтому в физике период измеряется в единицах времени – секундах. Дополнительно это дает возможность ввести специальную характеристику, позволяющую определить «скорость» колебаний – частоту (обозначается греческой буквой $\nu$ («ню»).
Если период показывает, за сколько времени совершается одно колебание, то частота показывает, сколько колебаний совершается за одну секунду:
$$\nu= {1\over T}$$
Частота измеряется в колебаниях в секунду или Герцах (Гц). Один герц – это одно колебание в секунду.
Круговая частота
Как видим, физический и математический подход к описанию периода функций несколько отличаются, и возникает вопрос их связи.
Из приведенной выше формулы гармонических колебаний можно видеть, что она имеет период:
$$T = {2\pi \over \omega}$$
В эту формулу входит параметр $\omega$, который обратно пропорционален периоду.
При сравнении этой формулы с формулой частоты можно получить:
$$T = {2\pi \over \omega}={1\over \nu}$$
Или, после упрощений:
$$\omega = 2\pi \nu$$
Таким образом, параметр $\omega$ в $2\pi$ раз больше частоты колебаний. Поскольку в одном круге $2\pi$ радиан, то параметр $\omega$ называется «круговой» или «циклической» частотой.
Физический смысл частоты – это количество колебаний, происходящих в системе за единицу времени, а физический смысл круговой частоты – это количество радиан, проходящих функцией, описывающей систему, за единицу времени.
Таким образом, удобный и наглядный параметр частоты может быть легко преобразован для вида, удобного в математических преобразованиях.
Что мы узнали?
Круговая (циклическая) частота – это важный параметр гармонического колебания, удобный в математической обработке функций. Круговая частота обозначает количество радиан, прошедших гармонической функцией за единицу времени.
Она прямо пропорциональна обычной частоте.
Тест по теме
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка доклада
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 190.
А какая ваша оценка?
Угловая скорость – манекены
Авторы: Стивен Хольцнер и
Обновлено: 26 марта 2016 г.
Практика Исследуйте книгу Купить на Amazon Существуют аналоги каждой величины линейного движения (например, расстояния, скорости и ускорения) в угловом движении, и это одна из вещей, которая облегчает работу с угловым движением после того, как вы изучите о линейном движении. Скорость объекта в линейном движении показана в следующем уравнении (на самом деле это векторное уравнение, конечно, но вы можете посмотреть на это уравнение в скалярном выражении): Какой аналог этого уравнения в угловых единицах? Это легко; вы просто подставляете расстояние под углом тета, поэтому угловая скорость равна тета/ t . На рисунке показана линия, описывающая окружность. В определенный момент она находится под углом тета, и если на это требуется время t , чтобы добраться туда, его угловая скорость равна омега = тета/ Итак, если линия совершает полный оборот за 1,0 с, ее угловая скорость равна 2π/1,0 с = 2π радиан/с (поскольку в полном круге 2π радиан). С технической точки зрения радиан не является физической единицей измерения (это отношение), поэтому угловую скорость также можно записать как 2π с –1 . Зная угловую скорость, вы также можете найти угол, пройденный за несколько секунд: Луна обращается вокруг Земли примерно за 27,3 дня. Какова его угловая скорость? Правильный ответ: 2,66 x 10 –6 радиан/с. Преобразовать 27,3 дня в секунды: Используйте уравнение для угловой скорости: Подставьте числа: У вас есть игрушечный самолет на веревке, которая делает три полных круга за 9.0 с. Какова его угловая скорость? Вы размахиваете бейсбольной битой, готовясь к удару по мячу. Если летучей мышью сделать полукруг за 1,0 с, какова будет ее угловая скорость? Спутник вращается вокруг Земли со скоростью 8,7 x 10 –4 радиан/с. Сколько времени потребуется, чтобы обогнуть весь мир? Карусель вращается со скоростью 2,1 радиан/с. Сколько времени потребуется, чтобы пройти полный круг? Ниже приведены ответы на практические вопросы: (2/3)ð радиан/с (2,1 радиан/с) Используйте уравнение для угловой скорости: Подставьте числа: ð радиан/с (3,1 радиан/с) Используйте уравнение для угловой скорости: 2. 120 минут Начните с уравнения для угловой скорости: Найти Ä: 3. Подставьте числа: Это около 120 минут. 3,0 с 1. Начните с уравнения для угловой скорости: Решить: Подставьте числа:
Это означает, что угловая скорость — это угол (в радианах), который объект проходит за секунду. Символ угловой скорости — омега, поэтому вы можете написать уравнение для угловой скорости следующим образом: Пример вопроса
Практические вопросы
Подставьте числа: Об этой статье
Эта статья из книги:
Об авторе книги:
Эту статью можно найти в категории:
ньютоновская механика – Как выводится формула $v=r\omega$?
спросил
Изменено 4 года, 7 месяцев назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$
Я видел вывод соотношения между скоростью и угловой скоростью при круговом движении как
$$
S=\тета R,
$$
где $S$ — длина дуги, а $R$ — радиус.