Формулы для пределов: Формулы вычисления пределов

Формулы вычисления пределов

Предел постоянной величины равен постоянной величине:

limxacc (c – константа)

Предел суммы равен сумме пределов:

limxafxgxlimxafxlimxagx

Предел разности равен разности пределов:

limxafxgxlimxafxlimxagx

Предел произведения равен произведению пределов:

limxafxgxlimxafxlimxagx

Предел отношения равен отношению пределов:

limxafxgxlimxafxlimxagx при условии, что limxagx0

Предел функции в степени:

(m – натуральное число)

Предел функции под корнем:

limxamfxmlimxafx (m – натуральное число)

Основные пределы:

Первый замечательный предел:

limx0sinxx1 (x – угол в радианах)

Второй замечательный предел:

limx∞11xxe

Другие полезные формулы пределов:

Бесконечно малые

Эквивалентность бесконечно малых:

При x → 0 , следующие функции эквивалентны:

x ~ sin(x) ~ arcsin(x) ~ tg(x) ~ arctg(x) ~ ln(1+x)

При нахождении предела отношения двух бесконечно малых, их можно заменять на эквивалентные:

limx0ln1xxlimx0xx1

limx0sinxxlimx0xx1

limx0sinxx2x42xx3sinxx2x4~x2xx3~2xlimx0x2x12

Для вычисления пределов Вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором.

Таблица пределов. Таблица пределов функций, формулы.

Проект Карла III Ребане и хорошей компании		Раздел недели: Холодильные агенты. Хладоны. Фреоны. Хладагенты.
Техническая информация тут Перевод единиц измерения величин Таблицы числовых значений Алфавиты, номиналы, единицы Математический справочник тут Физический справочник Химический справочник Материалы Рабочие среды Оборудование Инженерное ремесло Инженерные системы Технологии и чертежи Личная жизнь инженеров Калькуляторы Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Предел функции, суммы ряда. Ограниченность функции, замечательные пределы, односторонние и бесконечные пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке. Правила вычисления.  / / Таблица пределов. Таблица пределов функций, формулы. Поделиться:    Таблица пределов. Таблица пределов функций, формулы.  Версия для печати. Основные правила вычисления пределов. Примечательные пределы: Значимые специальные пределы: Пределы простейших функций: Пределы логарифмических и степенных функций: Пределы тригонометрических функций: Если   выражена в радианах: Пределы при стремлении переменной к бесконечности: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно – другие подразделы данного раздела: Вы сейчас здесь: Таблица пределов. Таблица пределов функций, формулы. Предел функции. Основные понятия: ограниченность функции, замечательные пределы, односторонние и бесконечные пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке. Виды и правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов Степенные ряды Тейлора, Маклорена (=Макларена) и периодический ряд Фурье. Разложение функций в ряды. Суммы некоторых бесконечных числовых рядов. Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Предел функции, суммы ряда. Ограниченность функции, замечательные пределы, односторонние и бесконечные пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке. Правила вычисления.
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Формулы пределов функций

При вычислении пределов зачастую используют понятия непрерывности функции в точке, предела функции на бесконечности, а также свойства пределов непрерывной функции.

Замечание. Таким образом, для элементарных функций, предел в любой точке из их области определения, кроме граничных, можно вычислять как значение соответствующей функции в этих точках.

Замечание. В граничных точках области определения вычисляются односторонние пределы.

Свойства пределов функций

1. Константу можно выносить за знак предела:

   

Пример.

   

2. Предел произведения функций равен произведению пределов от каждого из сомножителей при условии, что последние пределы существуют:

   

Пример.

   

3. Для непрерывных функций знак предельного перехода и знак функции можно менять местами:

   

Пример.

   

Таблица пределов функций

1. Предел константы равен этой константе:

   

где – некоторое действительное число, конечное или бесконечное.

2. Предел коренной функции :

, для любого натурального n

   

   

3. Предел степенной функции :

   

   

   

   

   

4. Предел показательной функции :

   

   

5. Предел логарифмической функции :

   

   

   

6. Предел тригонометрических функций:

не существуют;

   

   

   

7. Предел обратных тригонометрических функций:

   

   

   

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Предел последовательности свойства пределов раскрытие неопределенностей второй замечательный предел число e вычисление пределов числовых последовательностей

Содержание

Предел числовой последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число   a   называют пределом числовой последовательности

a₁

,  a₂ , … a_n , …

если для любого положительного числа   ε   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| a_n – a | < ε .

Условие того, что число   a   является пределом числовой последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,

записывают с помощью обозначения

и произносят так: «Предел   a_n   при   n ,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».

      То же самое соотношение можно записать следующим образом:

a_n → a   при .

Словами это произносится так: «a_n   стремится к   a   при   n ,   стремящемся к бесконечности».

ЗАМЕЧАНИЕ. Если для последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

найдется такое число   a ,   что   a_n → a   при , то эта последовательность ограничена.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| a_n| > C .

Условие того, что числовая последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,

стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

или с помощью обозначения

 при .

ПРИМЕР 1. Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

ПРИМЕР 2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

ПРИМЕР 3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство

ПРИМЕР 4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство

ПРИМЕР 5 . Последовательность

– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,

заданная с помощью формулы общего члена

a_n = (– 1)ⁿ ,

предела не имеет.

Свойства пределов числовых последовательностей

Рассмотрим две последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,   и   b₁ ,  b₂ , … b_n , … .

Если при существуют такие числа   a   и   b ,  что

  и   ,

то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

Если, кроме того, выполнено условие

то при существует предел дроби

причем

Для любой непрерывной функции   f (x)   справедливо равенство

Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию

b₁ ,  b₂ , … b_n , … ,

знаменатель которой равен   q .

Для суммы первых   n   членов геометрической прогрессии

S_n = b₁ + b₂ + … + b_n  ,       n = 1, 2, 3, …

справедлива формула

Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

S = b₁ + b₂ + … + b_n + … ,

то будет справедлива формула

В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель   q   удовлетворяет неравенству

| q | < 1 ,

поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем

Итак,

Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

ПРИМЕР 6. Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

ОТВЕТ.

ПРИМЕР 7 . Найти предел последовательности

ОТВЕТ.

В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.

ПРИМЕР 8 . Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

ОТВЕТ.

ПРИМЕР 9. Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а затем сокращая дробь на n²:

Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

ОТВЕТ.

ПРИМЕР 10. Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. Замечая, что для всех   k = 2, 3, 4, …   выполнено равенство

,

получаем

ОТВЕТ.   1 .

Число e. Второй замечательный предел

Рассмотрим последовательность

(1)

В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой   e.

Таким образом, справедливо равенство

(2)

причем расчеты показывают, что число

e = 2,718281828459045…

и является иррациональным и трансцендентным числом.

Число   e   играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

y = e ^x,

которую называют «экспонента».

Число   e   также является пределом последовательности

(3)

что позволяет вычислять число   e   с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

ЗАМЕЧАНИЕ. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.

Первый и второй замечательный предел

Найти замечательные пределы трудно не только многим студентам первого, второго курса обучения которые изучают теорию пределов, но и некоторым преподавателям.

Формула первого замечательного предела

Следствия первого замечательного предела запишем формулами
1. 2. 3. 4. Но сами по себе общие формулы замечательных пределов никому на экзамене или тесте не помогают. Суть в том что реальные задания построены так что к записанным выше формулам нужно еще прийти. И большинство студентов, которые пропускают пары, заочно изучают этот курс или имеют преподавателей, которые сами не всегда понимают о чем объясняют, не могут вычислить самых элементарных примеров на замечательные пределы. Из формул первого замечательного предела видим, что с их помощью можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль для выражений с тригонометрическими функциями. Рассмотрим сначала ряд примеров на первый замечательный пределу, а потом изучим второй замечательный предел.

Пример 1. Найти предел функции sin(7*x)/(5*x)
Решение: Как видите функция под пределом близка к первому замечательному пределу, но сам предел функции точно не равен единице. В такого рода заданиях на пределы следует в знаменателе выделить переменную с таким же коэффициентом, который содержится при переменной под синусом. В данном случае следует разделить и умножить на 7

Некоторым такая детализация покажется лишней, но большинству студентов которым трудно даются пределы поможет лучше понять правила и усвоить теоретический материал.
Также, если есть обратный вид функции – это также первый замечательный предел. А все потому, что замечательный предел равен единице

Это же правило касается и следствий 1 замечательного предела. Поэтому если Вас спросят “Чему равен первый замечательный предел?” Вы без колебаний должны ответить, что это – единица.

Пример 2. Найти предел функции sin(6x)/tan(11x)
Решение: Для понимания конечного результата распишем функцию в виде

Чтобы применить правила замечательного предела умножим и разделим на множители

Далее предел произведения функций распишем через произведение пределов

Без сложных формул мы нашли предел часки тригонометрических функций.2
Решение: При проверке подстановкой получим неопределенность 0/0. Многим неизвестно, как свести такой пример до 1 замечательного предела. Здесь следует использовать тригонометрическую формулу

При этом предел преобразится к понятному виду

Нам удалось свести функцию к квадрату замечательного предела.

Пример 4. Найти предел
Решение: При подстановке получим знакомую особенность 0/0. Однако переменная стремится к Pi, а не к нулю. Поэтому для применения первого замечательного предела выполним такую замену переменной х, чтобы новая переменная направлялась к нулю. Для этого знаменатель обозначим за новую переменную Pi-x=y

Таким образом использовав тригонометрическую формулу, которая приведена в предыдущем задании, пример сведен к 1 замечательному пределу.

Пример 5. Вычислить предел
Решение: Сначала неясно как упростить пределы. Но раз есть пример, значит должен быть и ответ. То что переменная направляется к единице дает при подстановке особенность вида ноль умножить на бесконечность, поэтому тангенс нужно заменить по формуле

После этого получим нужную неопределенность 0/0. Далее выполняем замену переменных в пределе, и используем периодичность котангенса

Последние замены позволяют использовать следствие 1 замечательного предела.

Второй замечательный предел равен экспоненте

Это классика к которой в реальных задачах на пределы не всегда легко прийти.
В вычислениях Вам понадобятся пределы – следствия второго замечательного предела:
1. 2. 3. 4.
Благодаря второму замечательному пределу и его последствиям можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль, единица в степени бесконечность, и бесконечность разделить на бесконечность, да еще и в таком же степени

Начнем для ознакомления с простых примеров.

Пример 6. Найти предел функции
Решение: Напрямую применить 2 замечательный пределу не получится. Сначала следует превратить показатель, чтобы он имел вид обратный к слагаемому в скобках

Это и есть техника сведения к 2 замечательному пределу и по сути – вывода 2 формулы следствия предела.(x-2)
Решение: Имеем особенность типа 1 в степени бесконечность. Если не верите, можете везде вместо “икс” подставить бесконечность и убедиться в этом. Для возведения под правило поделим в скобках числитель на знаменатель, для этого предварительно выполним манипуляции

Подставим выражение в предел и превратим к 2 замечательному пределу

Предел равен экспоненте в 10 степени. Константы, которые являются слагаемыми при переменной как в скобках так и степени никакой “погоды” не вносят – об этом следует помнить. А если Вас спросят преподаватели – “Почему не превращаете показатель?” (Для этого примера в x-3), то скажите что “Когда переменная стремится к бесконечности то к ней хоть добавляй 100 хоть отнимай 1000, а предел останется такой как и был!”.
Есть и второй способ вычислять пределы такого типа. О нем расскажем в следующем задании.

Пример 9. Найти предел
Решение: Теперь вынесем переменную в числителе и знаменателе и превратим оду особенность на другую. Для получения конечного значения используем формулу следствия 2 замечательного предела

Пример 10. Найти предел функции
Решение: Заданный предел найти под силу не каждому. Для возведения под 2 предел представим, что sin (3x) это переменная, а нужно превратить показатель

Далее показатель запишем как степень в степени

В скобках описаны промежуточные рассуждения. В результате использования первого и второго замечательного предела получили экспоненту в кубе.

Пример 11. Вычислить предел функции sin(2*x)/ln(3*x+1)
Решение: Имеем неопределенность вида 0/0. Кроме этого видим, что функцию следует превращать к использованию обеих замечательных пределов. Выполним предыдущие математические преобразования

Далее без труда предел примет значение

Вот так свободно Вы будете чувствовать себя на контрольных работах, тестах, модулях если научитесь быстро расписывать функции и сводить под первый или второй замечательный предел.{\infty}$%. Здесь $%(u(x)-1)v(x)=\frac{x+1}x\to1$%, поэтому предел равен $%e$%.

отвечен 20 Май ’15 16:03

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ – Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование  в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает вероятность того, что значение из интервала находится внутри заданных пределов. Если верхний_предел не задан, то возвращается вероятность того, что значения в аргументе x_интервал равняются значению аргумента нижний_предел.

Синтаксис

ВЕРОЯТНОСТЬ(x_интервал;интервал_вероятностей;[нижний_предел];[верхний_предел])

Аргументы функции ВЕРОЯТНОСТЬ описаны ниже.

• x_интервал    Обязательный. Диапазон числовых значений x, с которыми связаны вероятности.

• Интервал_вероятностей    Обязательный. Множество вероятностей, соответствующих значениям в аргументе “x_интервал”.

• Нижний_предел    Необязательный. Нижняя граница значения, для которого вычисляется вероятность.

• Верхний_предел    Необязательный. Верхняя граница значения, для которого вычисляется вероятность.

Замечания

• Если значение в prob_range ≤ 0 или любое из значений в prob_range > 1, то значение СБ возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Если сумма значений в prob_range не равна 1, возвращается значение #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Если верхний_предел опущен, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает вероятность равенства значению аргумента нижний_предел.

• Если x_интервал и интервал_вероятностей содержат различное количество точек данных, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает значение ошибки #Н/Д.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные
Значение x	Вероятность
0	0,2
1	0,3
2	0,1
3	0,4
Формула	Описание	Результат
=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;2)	Вероятность того, что x является числом 2.	0,1
=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;1;3)	Вероятность того, что x находится в интервале от 1 до 3.	0,8

Формула пределов

– определение, свойства, формула и примеры

Что такое предел?

Примеры пределов – одно из самых сложных понятий в математике по мнению многих студентов. Однако благодаря более легкому пониманию и продолжению практики учащиеся могут досконально изучить концепции того, что такое пределы в математике, предел примера функции, определение ограничений и свойства пределов. Пределы математики – одно из самых важных понятий в математическом анализе. Исчисление – это раздел математики, который занимается вычислениями, связанными с непрерывно изменяющимися величинами.Формула математического предела может быть определена как значение, которое функция возвращает в качестве выходных данных для заданных входных значений.

Что такое пределы и формулы пределов в математике?

Пределы математики очень важны в исчислении. Это одна из основных предпосылок для понимания других концепций в исчислении, таких как непрерывность, дифференциация, формула предела интегрирования и т. Д. В большинстве случаев формула предела математики представляет собой представление поведения функции в определенной точке. Следовательно, для анализа функции используется понятие пределов.Математическая концепция предела топологической сети обобщает предел последовательности и, следовательно, связывает математику пределов с категорией теории. Интегралы в общем случае делятся на определенные и неопределенные интегралы. Верхний и нижний пределы указываются в случае формулы определенного предела интегрирования. Однако формула неопределенного предела интегрирования определяется без установленных ограничений и, следовательно, имеет произвольную константу после интегрирования. В следующих разделах дается краткий обзор различных концепций, используемых для лучшего понимания формулы математических пределов.

Формула пределов: – Пусть y = f (x) как функция от x. Если в точке x = a f (x) принимает неопределенный вид, то мы можем рассматривать значения функции, очень близкой к a. Если эти значения стремятся к некоторому определенному уникальному числу, когда x стремится к a, то полученное уникальное число называется пределом f (x) при x = a.

Пределы Math

Предел вещественной функции ‘f’ по отношению к переменной ‘x’ может быть определен как:

\ [\ lim_ {x \ to p} f (x) \] = L

В приведенном выше уравнении слово «lim» относится к пределу.

Обычно он описывает, что действительная функция f (x) стремится достичь предела «L», поскольку «x» стремится к «p» и обозначается стрелкой вправо.

Это можно прочесть так: «предел любой заданной функции« f »от« x », когда« x »приближается к« p », равен« L »».

Каковы свойства или законы пределов?

Свойства пределов следующие:

1. Обозначение предела

Предел функции обозначается как f (x) → L как x → p или в обозначении предела как:

\ [\ lim_ {x \ to p} f (x) \] = L

Предположим, что существует \ [\ lim_ {x \ to p} f (x) \], \ [\ lim_ {x \ к p} g (x) \], \ [\ lim_ {x \ to p} f_ {1} (x) \],….. \ [\ lim_ {x \ to p} f_ {n} (x) \]. Это предположение сделано для объяснения других свойств пределов.

2. Правило суммы

Правило сумм утверждает, что сумма индивидуальных пределов любых двух функций равна пределу суммы этих функций.

\ [\ lim_ {x \ to p} f (x) \] + \ [\ lim_ {x \ to p} g (x) \] = \ [\ lim_ {x \ to p} \] | f (x) + g (x) |

3. Правило расширенной суммы

Расширенное правило суммы такое же, как правило суммы.Однако он определен для пределов более чем двух функций.

\ [\ lim_ {x \ to p} \] f1 (x) + \ [\ lim_ {x \ to p} \] f2 (x) +… .. \ [\ lim_ {x \ to p} \ ] fn (x) = \ [\ lim_ {x \ to p} \] | f1 (x) + f2 (x) + …… + fn (x) |

4. Правило постоянной функции

Правило постоянной функции утверждает, что предел постоянной функции равен константе.

5. Правило постоянной множественности

Предел функции при умножении на постоянное значение равен константе, умноженной на предел функции.

\ [\ lim_ {x \ to p} \] kf (x) = k \ [\ lim_ {x \ to p} \] f (x)

6. Правило продукта

Правило продукта утверждает, что произведение пределов двух отдельных функций равно пределу произведения функций.

\ [\ lim_ {x \ to p} \] f (x) * \ [\ lim_ {x \ to p} \] g (x) = \ [\ lim_ {x \ to p} \] | f (x) * g (x) |

7. Расширенное правило продукта

Расширенное правило продукта такое же, как правило продукта.Однако во внимание принимается более двух функций.

\ [\ lim_ {x \ to p} \] f1 (x) * \ [\ lim_ {x \ to p} \] f2 (x) *… .. * \ [\ lim_ {x \ to p} \] fn (x) = \ [\ lim_ {x \ to p} \] | f1 (x) * f2 (x) *…. * fn (x) |

8. Правило частного

Частное индивидуальных пределов двух функций, когда предел знаменателя не равен нулю, равен пределу частного двух функций, где функция знаменателя не равна нуль.

\ [\ frac {\ lim_ {x \ to p} f (x)} {\ lim_ {x \ to p} g (x)} \] = \ [\ lim_ {x \ to p} \] \ [\ frac {f (x)} {g (x)} \]

9. Правило мощности

Правило пределов мощности математически сформулировано следующим образом:

\ [\ lim_ {x \ to p } \] | f (x) | k = [\ [\ lim_ {x \ to p} \] f (x)] k

где k известно как любое целое число

Аналогично, когда степени дроби, правило мощности можно сформулировать как:

\ [\ lim_ {x \ to p} \] \ [\ sqrt {| f (x)} | \] = \ [\ sqrt {\ lim_ {x \ to p} f (x)} \]

Список формул важных пределов в пределах

Список формул математических пределов

1	\ [\ lim_ {x \ to 0} sin x = 0 \]
2	\ [\ lim_ {x \ to 0} cos x = 1 \]
3	\ [\ lim_ {x \ к 0} sin \; x / x = 1 \]
4	\ [\ lim_ {x \ to 0} log \; (1 + x) / x = 1 \]
5	\ [\ lim_ {x \ to 0} log \ ; e ^ {x} = 1 \]
6	\ [\ lim_ {x \ to e} log \; e ^ {x} = 1 \]
7	\ [\ lim_ {x \ to 0} log \; e ^ {x} – 1 / x = 1 \]
8	\ [\ lim_ {x \ to 0 } log \; a ^ {x} – 1 / x = log_ {e ^ {a}} \]

Выше список формул ограничения.

Примеры ограничений и решения

Вопрос 1) Оценить \ [\ lim_ {x \ to 2} \] (1×3 – 3×2 + 6x -3)

Решение:

\ [\ lim_ {x \ to 2} \ ] (1×3 – 3×2 + 6x -3)

= \ [\ lim_ {x \ to 2} \] (1×3) – \ [\ lim_ {x \ to 2} \] (3×2) + \ [\ lim_ { x \ to 2} \] (6x) – \ [\ lim_ {x \ to 2} \] (3)

= 1 \ [\ lim_ {x \ to 2} \] (x3) – 3 \ [\ lim_ {x \ to 2} \] (x2) + 6 \ [\ lim_ {x \ to 2} \] (x) – (3)

= 1 (2) 3 – 3 (2) 2 +6 ( 2) -3

= 1 x 8 – 3 x 4 + 12 – 3

= 8 – 12 + 9

= 17-12

= 5

Формула предела – Что такое формула предела ?, Примеры

Формула предела используется для вычисления производной функции.Предел – это значение функции, приближающееся к указанному значению. Пределы используются как способ приближения, используемого в расчетах, как можно ближе к фактическому значению количества. Давайте разберемся с формулой предела подробно в следующем разделе.

Что такое формула предела?

Формула предела – это представление поведения функции в определенной точке, и формула анализирует эту функцию. Предел описывает поведение некоторой величины, которая зависит от независимой переменной, когда эта независимая переменная приближается или приближается к определенному значению.

Формула предела

Пусть y = f (x) как функция от x. Если в точке x = a f (x) принимает неопределенный вид, то мы можем рассматривать значения функции, очень близкой к a. Если эти значения стремятся к некоторому определенному уникальному числу, когда x стремится к a, то полученное уникальное число называется пределом f (x) при x = a. Мы можем записать формулу как:

\ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f (x) = A \)

где,

• f (x) – функция
• x – переменная, приближающаяся к значению

Это читается как предел функции x, равный A, когда x приближается к a.

Формулы пределов

Формулы, упомянутые на изображении ниже, представляют собой несколько формул пределов,

Свойства предельной формулы

При расчете используется несколько свойств формулы предела, они показаны ниже.

Хотите находить сложные математические решения за секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов. С Cuemath находите решения простым и легким способом.2 + 10x + 15. \) равно 99

Часто задаваемые вопросы о формуле пределов

Что означает формула предела?

Формула предела используется для вычисления производной функции. Предел – это значение функции, приближающееся к указанному значению. Пределы используются как способ приближения, используемого в расчетах, как можно ближе к фактическому значению количества. Формула: \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f (x) = A \)

Какова формула поиска предела?

Пусть y = f (x) как функция от x.Если в точке x = a f (x) принимает неопределенный вид, то мы можем рассматривать значения функции, очень близкой к a. Если эти значения стремятся к некоторому определенному уникальному числу, когда x стремится к a, то полученное уникальное число называется пределом f (x) при x = a. Мы можем записать формулу как:

\ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f (x) = A \)

где,

• f (x) – функция
• x – переменная, приближающаяся к значению

Это читается как предел функции x, равный A, когда x приближается к a.

Как называются свойства предельной формулы?

Свойства формулы предела:

• Обозначение предела
• Правило суммы
• Правило расширенной суммы
• Правило постоянной функции
• Постоянное множественное правило
• Правило продукта
• Правило расширенного продукта
• Правило частного
• Правило мощности

Используя формулу предела, найдите значение \ (\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 1} 10x ^ 2 + 12.2 + 12. \) равно 22.

Таблица формул пределов

– Глава 13 Математические формулы для класса 11

Последнее обновление: 23 июля 2019 г., автор: Teachoo

Для ограничений,

ставим значение и проверяем, имеет ли оно форму 0/0, ∞ / ∞, 1 ^∞

Если он такой формы, мы не можем найти пределы, задавая значения.

Мы используем предельную формулу для ее решения.

Мы предоставили все формулы ограничений, например

Пределы функций тригонометрии

Пределы Журнал и экспоненциальные функции

Пределы формы 1 ^∞ и формула x ^ n

Проверка наличия лимита

L’hospital’s правило

---

Выписка

Пределы функций тригонометрии lim┬ (𝑥 → 0) ⁡sin⁡𝑥 = 0 lim┬ (𝑥 → 0) ⁡cos⁡𝑥 = 1 lim┬ (𝑥 → 0) ⁡ 〖sin⁡𝑥 / 𝑥〗 = 1 lim┬ (𝑥 → 0) ⁡ 〖tan⁡𝑥 / 𝑥〗 = 1 lim┬ (𝑥 → 0) ⁡ 〖(1 – cos⁡𝑥) / 𝑥〗 = 0 lim┬ (𝑥 → 0) ⁡ 〖sin ^ (- 1) ⁡𝑥 / 𝑥〗 = 1 lim┬ (𝑥 → 0) ⁡ 〖tan ^ (- 1) ⁡𝑥 / 𝑥〗 = 1 Пределы логарифмических и экспоненциальных функций lim┬ (𝑥 → 0) ⁡ 〖𝑒 ^ 𝑥〗 = 1 lim┬ (𝑥 → 0) ⁡ 〖(𝑒 ^ 𝑥 – 1) / 𝑥〗 = 1 lim┬ (𝑥 → 0) ⁡ 〖(𝑎 ^ 𝑥 – 1) / 𝑥〗 = log_𝑒⁡𝑎 lim┬ (𝑥 → 0) ⁡ 〖〖журнал〗 ⁡ 〖(1 + 𝑥)〗 / 𝑥〗 = 1 lim┬ (𝑥 → ∞) ⁡ 〖(1 + 1 / 𝑥) ^ 𝑥〗 = 𝑒 lim┬ (𝑥 → 0) ⁡ 〖(1 + 𝑥) ^ (1 / 𝑥)〗 = 𝑒 lim┬ (𝑥 → ∞) ⁡ 〖(1 + 𝑎 / 𝑥) ^ 𝑥〗 = 𝑒 ^ 𝑎 Пределы вида 𝟏 ^ ∞ lim┬ (𝑥 → 0) ⁡ 〖(1 + 𝑥) ^ (1 / 𝑥)〗 = 𝑒 lim┬ (𝑥 → ∞) ⁡ 〖(1 + 1 / 𝑥) ^ 𝑥〗 = 𝑒 lim┬ (𝑥 → ∞) ⁡ 〖(1 + 𝑎 / 𝑥) ^ 𝑥〗 = 𝑒 ^ 𝑎 x ^ n Формула lim┬ (𝑥 → 𝑎) ⁡ 〖((𝑥 ^ 𝑛 – 𝑎 ^ 𝑛)) / (𝑥 – 𝑎)〗 = 𝑛 (𝑎) ^ (𝑛 – 1) Чтобы проверить, существует ли предел для f (x) при x = a Мы проверяем, если Предел левой руки = Предел правой руки = f (a) я.(𝑛 – 1)

Показать больше

Свойства пределов

Обозначение предела

Предел функции обозначается как \ (f \ left (x \ right) \ to L \) как \ (x \ to a \) или с использованием обозначения предела: \ (\ lim \ limits_ {x \ to a } f \ left (x \ right) = L. \)

Ниже мы предполагаем, что пределы функций \ (\ lim \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right), \) \ (\ lim \ limits_ {x \ to a} g \ left (x \ справа), \) \ (\ lim \ limits_ {x \ to a} {f_1} \ left (x \ right), \) \ (\ ldots, \) \ (\ lim \ limits_ {x \ to a} { f_n} \ left (x \ right) \) существуют.

Правило суммы

Это правило гласит, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов:

\ [{\ lim \ limits_ {x \ to a} \ left [{f \ left (x \ right) + g \ left (x \ right)} \ right]} = {\ lim \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) + \ lim \ limits_ {x \ to a} g \ left (x \ right).} \]

Правило о расширенной сумме

\ [{\ lim \ limits_ {x \ to a} \ left [{{f_1} \ left (x \ right) + \ ldots + {f_n} \ left (x \ right)} \ right]}
= { \ lim \ limits_ {x \ to a} {f_1} \ left (x \ right) + \ ldots + \ lim \ limits_ {x \ to a} {f_n} \ left (x \ right).}
\]

Правило постоянной функции

Предел постоянной функции – это константа:

\ [\ lim \ limits_ {x \ to a} C = C. \]

Постоянное множественное правило

Предел умножения константы на функцию равен произведению константы на предел функции:

\ [{\ lim \ limits_ {x \ to a} kf \ left (x \ right)} = {k \ lim \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right).} \]

Правило продукта

Это правило гласит, что предел произведения двух функций равен произведению их пределов (если они существуют):

\ [{\ lim \ limits_ {x \ to a} \ left [{f \ left (x \ right) g \ left (x \ right)} \ right]} = {\ lim \ limits_ {x \ to a } f \ left (x \ right) \ cdot \ lim \ limits_ {x \ to a} g \ left (x \ right).} \]

Правило расширенного продукта

\ [{\ lim \ limits_ {x \ to a} \ left [{{f_1} \ left (x \ right) {f_2} \ left (x \ right) \ cdots {f_n} \ left (x \ right) » } \ right]}
= {\ lim \ limits_ {x \ to a} {f_1} \ left (x \ right) \ cdot \ lim \ limits_ {x \ to a} {f_2} \ left (x \ right) \ cdots} \ kern0pt {\ lim \ limits_ {x \ to a} {f_n} \ left (x \ right).}
\]

Правило частного

Предел частного двух функций – это частное их пределов, при условии, что предел в функции знаменателя не равен нулю:

\ [
{\ lim \ limits_ {x \ to a} \ frac {{f \ left (x \ right)}} {{g \ left (x \ right)}}} = {\ frac {{\ lim \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right)}} {{\ lim \ limits_ {x \ to a} g \ left (x \ right)}}, \; \; \;} \ kern -0.{\ lim \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right)}}, \]

где основание \ (b \ gt 0. \)

Предел логарифма функции

\ [{\ lim \ limits_ {x \ to a} \ left [{\ log _b f \ left (x \ right)} \ right]} = {\ log_b \ left [{\ lim \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right)} \ right],} \]

где основание \ (b \ gt 0. \)

Теорема сжатия

Предположим, что \ (g \ left (x \ right) \ le f \ left (x \ right) \ le h \ left (x \ right) \) для всех \ (x \), близких к \ (a, \) кроме, пожалуй, \ (x = a.\) Если

\ [{\ lim \ limits_ {x \ to a} g \ left (x \ right) = \ lim \ limits_ {x \ to a} h \ left (x \ right)} = {L,} \]

, затем

\ [\ lim \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = L. 3}} \ right) \).3}} \ right)}
= {2 \ cdot 10 \ cdot \ lg 1000 = 20 \ cdot 3 = 60.}
\]

Что такое правило сложения лимитов? – Определение и обзор

Формула

Формула для правила сложения показывает, как применять ее во всех ситуациях, когда у вас есть функции, которые являются суммой меньших функций.

Правило сложения лимитов.

Однако, как и многие другие математические вещи, эта формула имеет ограничение или условие, при котором она будет работать.Вне этого условия формула не будет работать.

Состояние

Что это за состояние? Дело в том, что должны существовать пределы меньших разделенных функций. Если их нет, то вы не можете использовать это правило, потому что оно вам не поможет.

Например, я хочу взять предел следующей функции.

Нахождение предела большей функции.

Правило сложения гласит, что я могу разбить эту большую функцию на пределы более мелких функций, подобных этой.

Применение правила сложения.

С этим легче работать, потому что мы знаем, как найти пределы самих меньших функций, а не более крупной функции в целом.

Применение правила сложения

Теперь давайте посмотрим, как применить это правило к проблемам ограничения.

Допустим, мы пытаемся найти предел следующей функции.

Нахождение предела другой более крупной функции.

Правило сложения говорит нам, что мы можем разделить эту функцию на две меньшие функции, прежде чем переходить к пределу.

Применение правила сложения.

Делая это, мы видим, что для меньших функций легко найти пределы. Мы видим, что они являются многочленами, и поэтому мы можем подключить наш предел x непосредственно к меньшим функциям, чтобы найти их предел.

Оценка лимита.

После этого мы видим, что наш ответ для этого предела – 4.

Однако, если у нас возникнет проблема, подобная следующей, мы не сможем использовать правило сложения для лимитов.

Можем ли мы применить здесь правило сложения?

Мы не можем использовать правило сложения для указанной выше функции, потому что функция не является суммой меньших функций.У нас есть только один член в этой функции, который является долей многочленов. Мы должны использовать другие инструменты, чтобы оценить этот предел.

Резюме урока

Правило сложения пределов говорит мне, что я могу разделить большие функции, которые являются суммой меньших функций, на меньшие функции и взять предел каждой из этих функций, чтобы найти предел большей функции. Но это работает только в том случае, если эти более мелкие функции действительно имеют ограничение.

Ключевые термины

• предел: значение, к которому функция приближается, когда вы приближаетесь к определенной точке
• правило сложения: помогает найти пределы более сложных функций, которые являются суммой двух или более меньших функций

Результат обучения

С полным пониманием этого урока вы можете определить, когда применять правило сложения для пределов, и использовать правило сложения для вычисления предела.

Советы по подготовке ограничений и непрерывности

для IIT JEE

Концепция предела и непрерывности является основой исчисления. Каждое понятие исчисления можно рассматривать как предел в том или ином смысле. Концепция пределов также привела к появлению различных других разделов исчисления. Непрерывность полностью зависит от пределов. Эти две концепции идут рука об руку.

Ограничения и непрерывность – одна из важнейших тем различных конкурсных экзаменов, таких как IIT JEE.Эта тема не только проста, но и набирает очки. Следовательно, те, кто присматривается к экзаменам, таким как IIT JEE, должны овладеть этой темой, чтобы оставаться конкурентоспособными в JEE. Мы прольем некоторый свет на концепции, связанные с ограничениями и непрерывностью, а также обсудим различные советы по освоению этой темы.

Предел функции

Предел – это в основном число, достигаемое функцией, когда независимая переменная функции приближается к заданному значению. Например, если у нас есть функция f (x) = 6x, то она определяется как «предел функции f (x) при приближении x к 2 равен 12.Математически это выражается как lim _{x → 2} f (x) = 12.

Непрерывность функции

Функция f называется непрерывной в точке x = a , если выполняются следующие условия:

Когда мы говорим о непрерывности, с ней связано еще одно понятие – прерывность функции. Мы не будем углубляться в тонкости разрыва функции, но из самого термина ясно, что функция, которая не является непрерывной, называется разрывной.Различные типы несплошностей представлены в виде диаграммы, приведенной ниже:

Те, кто желает углубиться в тонкости этих тем, могут сослаться на учебные материалы по пределам и непрерывности.

Важные формулы предела и непрерывности

• Левая граница f (x), когда x стремится к c, определяется как «L», если, когда x приближается к c слева, f (x) приближается к L. Математически это представлено как

?

• Правый предел f (x), когда x стремится к c, определяется как «L», если, когда x приближается к c справа, f (x) приближается к L.Математически это представлено как

?

Если функции f и g непрерывны в точке c, то

• f + g непрерывна при c

• f – g непрерывно при c

• af непрерывен в c для каждого действительного a

• ф.г. непрерывно при c

• ф / г непрерывно в точке c при условии, что g (c) ≠ 0
  

Алгебра пределов

Некоторые важные ограничения

Правило больницы

Если f (x) / g (x) равно 0/0 от, то

Теорема о сжатии / сэндвиче

Если h (x)

и Lim x → a h (x) = Lim _{x → a} f (x) = L

, тогда Lim _{x → a} g (x) = L

Интересные факты

Существование предела функции в точке не гарантирует непрерывность функции в этой конкретной точке

• Функция называется непрерывной, если она непрерывна во всех точках области.

• Если функция в какой-то момент является непрерывной, то предел обязательно существует в этой точке.

• Сумма, разность, произведение и частное (пока знаменатель не равен нулю) двух непрерывных функций непрерывны.

• Функция f, непрерывная на отрезке [a, b], достигает любого значения между f (a) и f (b) по крайней мере один раз на открытом интервале (a, b).

• Функции, которые можно рисовать, появляются без отрыва пера между ними, называются непрерывными.

• В то время как полиномиальные функции всегда непрерывны, рациональные функции непрерывны, только если знаменатель не равен нулю.

• Когда левый предел и правый предел в точке не равны, тогда мы имеем «конечный неустранимый разрыв» в точке.

• В случае, если предел функции существует в точке, но либо функция не определена в этой точке, либо определена неправильно, то говорят, что функция демонстрирует устранимый разрыв.

• Лимит суммы – сумма лимитов.

• Целая часть x ([x]) имеет скачкообразный разрыв в каждой целой точке.

• Непрерывность функции в определенной точке не гарантирует ее дифференцируемости в этой конкретной точке.

• Функция, непрерывная на отрезке [a, b], обязательно ограничена, если и a, и b конечны.Это не так в случае открытого интервала.

• Если функция u = f (x) непрерывна в точке x = a, а функция y = g (u) непрерывна в точке u = f (a), то составная функция y = (gof) ( x) = g (f (x)) непрерывно в точке x = a.

Являются ли ограничения и непрерывность важной частью подготовки IIT – JEE?

Предел и непрерывность – важный компонент дифференциального исчисления, который имеет вес около 15-20% в различных конкурсных экзаменах, таких как JEE.Эта глава также закладывает основу для различных других тем математического анализа.

Какие лучшие книги для подготовки предела и непрерывности?

Студентам не рекомендуется обращаться к слишком большому количеству книг, так как упоминание слишком большого количества текстов может привести к путанице. Следовательно, те, кто присматривается к различным элитным экзаменам, таким как JEE, должны ссылаться на стандартные книги, такие как:

Советы по изучению ограничений и непрерывности для IIT JEE

• Сосредоточьтесь на прояснении основ и концептуальных знаний, а не на решении вопросов для поиска решений.

• Maxima & Minima – это простая тема, но для того, чтобы преуспеть в ней, необходима последовательная практика.

• Практика – единственный ключ к успеху. Попробуйте решать вопросы, используя различные методы, такие как стандартные выражения, правило Л’Оспиталя, расширение ряда и т. Д.

• Всякий раз, когда вы собираетесь задать вопрос о максимумах или минимумах, внимательно прочтите вопрос, чтобы определить, чего он на самом деле требует.

• Проблема пределов должна быть сначала проанализирована с использованием разложения функции в ряд.

• Все важные ограничения и расширения должны быть у вас под рукой.

• При решении проблем, связанных с ограничениями функций составных частей, попробуйте использовать основной корень.

• Вопросы об односторонних пределах и непрерывности предпочтительно рассчитывать с использованием основного определения.

• Практикуйтесь в решении вопросов с помощью правила L’Hospital, так как это экономит время.

• Обязательно попытайтесь ответить на большое количество вопросов из работ за предыдущий год и образцов работ.

Практическое применение предела и непрерывности

Исчисление – чрезвычайно важный раздел математики. Эта ветвь широко используется в различных других областях, таких как классическая механика и электромагнетизм.Различные концепции, такие как законы движения Ньютона, момент инерции и т. Д., Основаны на логике исчисления. Вот некоторые из основных приложений в реальной жизни:

• Реальный пример непрерывной функции представлен температурой в течение дня.

• Концепция пределов используется при измерении мгновенной скорости транспортных средств, таких как мотоцикл, легковой автомобиль, грузовик и т. Д.

• Концепция предела оказывается полезной при вычислении области сложных геометрических форм, где базовая геометрия не работает.

• Еще одно важное применение ограничений и непрерывности – в астрономии и путешествиях во времени.

• Взаимодействие между различными видами в экосистеме также изучается с помощью концепций исчисления.

• Инженеры используют вычисления для строительства небоскребов, мостов, робототехники и т. Д.

• Электротехники и компьютерщики используют эту концепцию для проектирования различных систем.

• Способность Земли поддерживать и поддерживать различные виды также является реальным примером ограничений. По мере приближения к пределу или с исчерпанием ресурсов он в конечном итоге достигает нуля, и население, которое в нем нуждается, умирает.

• Исчисление используется при моделировании инженерных задач, которые часто формулируются как обыкновенные уравнения или уравнения в частных производных.

Связанные ресурсы

Чтобы узнать больше, купите учебные материалы по номеру Limtis and Continuity , включая примечания к исследованию, примечания к пересмотру, видеолекции, решенные вопросы за предыдущий год и т.Также просмотрите дополнительные учебные материалы по математике здесь .

Пределы функций | Блестящая вики по математике и науке

Наиболее важными свойствами пределов являются алгебраические свойства , которые по существу говорят, что ограничения относятся к алгебраическим операциям:

Предположим, что lim⁡x → af (x) = M \ lim \ limits_ {x \ to a} f (x) = Mx → alim f (x) = M и lim⁡x → ag (x) = N. \ lim \ limits_ {x \ to a} g (x) = Nx → alim g (x) = N. Тогда

lim⁡x → a (f (x) + g (x)) = M + Nlim⁡x → a (f (x) −g (x)) = M − Nlim⁡x → a (f (x) g (x)) = MNlim⁡x → a (f (x) g (x)) = MN (если N ≠ 0) lim⁡x → af (x) k = Mk (если M, k> 0).k \ \ \ text {(если} M, k> 0). \ end {выровнен} x → alim (f (x) + g (x)) x → alim (f (x) −g (x)) x → alim (f (x) g (x)) x → alim (g (x) f (x)) x → alim f (x) k = M + N = M − N = MN = NM (если N = 0) = Mk (если M, k> 0) .

Все это можно доказать с помощью определения эпсилон-дельта. Обратите внимание, что результаты верны только в том случае, если существуют пределы отдельных функций: если lim⁡x → af (x) \ lim \ limits_ {x \ to a} f (x) x → alim f (x) и lim⁡ x → ag (x) \ lim \ limits_ {x \ to a} g (x) x → alim g (x) не существует, предел их суммы (или разницы, произведения или частного) может существовать.

В сочетании с основными ограничениями lim⁡x → ac = c, \ lim_ {x \ to a} c = c, limx → a c = c, где c cc – постоянная, и lim⁡x → ax = a, \ lim_ {x \ to a} x = a, limx → a x = a, свойства могут использоваться для вывода пределов, включающих рациональные функции:

Пусть f (x) f (x) f (x) и g (x) g (x) g (x) – многочлены, и предположим, что g (a) ≠ 0.g (a) \ ne 0.g (a )  = 0. Тогда

lim⁡x → af (x) g (x) = f (a) g (a). \ lim_ {x \ to a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ frac {f (a)} {g (a)}. x → alim g (x) f (x) = g (a) f (a).

Это пример преемственности или того, что иногда называют ограничением путем замещения.