Формулы для вычисления производных: Таблица производных, таблица производных функций для студентов и школьников

Содержание

Вычисление производной. Формулы дифференцирования

Вопросы занятия:

·     рассмотреть формулы дифференцирования;

·     рассмотреть примеры применения данных формул для нахождения производных функций.

Материал урока.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним упражнение.

Упражнение.

На прошлых уроках мы с вами находили производные функций по алгоритму, но это долго и влечёт за собой большие преобразования. Чтобы упростить процесс нахождения производных, можно воспользоваться так называемыми формулами дифференцирования, это производные некоторых функций, которые были найдены с помощью алгоритма нахождения производных. Давайте сформулируем некоторые из них.

То есть теперь, если нам нужно будет найти производную функции, аналогичной этим, то нам не нужно применять алгоритм нахождения производной, а достаточно применить соответствующую формулу дифференцирования.

Это неполный список формул, мы его будем постепенно пополнять.

А пока давайте посмотрим примеры, в которых найдём производную функции с помощью этих формул.

Пример.

Пример.

Как вы успели заметить, находить производные с помощью формул дифференцирования гораздо проще и легче.

Давайте дополним наш список ещё несколькими формулами.

Формулы дифференцирования

Эти формулы мы рассматриваем без доказательства, однако, вы можете доказать их самостоятельно. Для доказательства достаточно будет найти эти производные, используя алгоритм для отыскания производных.

Рассмотрим пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Давайте ещё раз запишем формулы дифференцирования, с которыми мы познакомились на сегодняшнем уроке.

Численное дифференцирование в Excel | Металловедение

Для решения  многих инженерных задач часто требуется вычисление производных. Когда есть формула, описывающая процесс, сложностей никаких нет: берем формулу и вычисляем производную, как учили еще в школе, находим значения производной в разных точках, и всё. Сложность, наверное, только в этом и состоит, чтобы вспомнить, как вычислять производные. А как быть, если у нас есть только несколько сотен или тысяч строк с данными, а никакой формулы нет? Чаще всего именно так на практике и бывает. Предлагаю два способа.

Первый заключается в том, что мы наш набор точек аппроксимируем стандартной функцией Excel, то есть подбираем функцию, которая лучше всего ложится на наши точки (в Excel это линейная функция, логарифмическая, экспоненциальная, полиномиальная и степенная). Второй способ – численное дифференцирование, для которого нам нужно будет только умение вводить формулы.

Вспомним, что такое производная вообще:

Производной функции f (x) в точке x называется предел отношения приращения Δf функции в точке x к приращению Δx аргумента, когда последнее стремится к нулю:


Вот и воспользуемся этим знанием: будем просто брать для расчета производной очень маленькие значения приращения аргумента, т.е. Δx.

Для того, чтобы найти приближённое значение производной в нужных нам точках (а у нас точки – это различные значения степени деформации ε) можно поступить вот как. Посмотрим еще раз на определение производной  и видим, что при использовании малых значений приращения аргумента Δε (то есть малых приращений степени деформации, которые регистрируются при испытаниях) можно заменить значение реальной производной в точке x

0 (f’(x0)=dy/dx (x0)) на отношение Δy/Δx=(f (x0+ Δx) – f (x0))/Δx.

То есть вот что получается:

f’(x0) ≈(f (x0+ Δx) – f (x0))/Δx          (1)

Для вычисления этой производной в каждой точке мы производим вычисления с использованием двух соседних точек: первая с координатой ε0по горизонтальной оси, а вторая с координатой x0 + Δx, т.

е. одна – производную в которой вычисляем и та, что поправее. Вычисленная таким образом производная называется разностной производной вправо (вперед) с шагом Δx.

Можем поступить наоборот, взяв уже другие две соседние точки: x0 — Δx и x0, т.е интересующую нас и ту, что левее. Получаем формулу для вычисления разностной производной влево (назад) с шагом — Δx.

f’(x0) ≈(f (x0) – f (x0— Δx))/Δx          (2)

Предыдущие формулы были «левые» и «правые», а есть еще одна формула, которая позволяет вычислять центральную разностною производную

с шагом 2 Δx, и которая чаще других используется для численного дифференцирования:

f’(x0) ≈(f (x0+ Δx) – f (x0— Δx))/2Δx          (3)

Для проверки формулы рассмотрим простой пример с известной функцией y=x3. Построим таблицу в Excel с двумя с столбцами: x и y, а затем построим график по имеющимся точкам.

Производная функции y=x3 это y=3x2, график которой, т.е. параболу, мы и должны получить с использованием наших формул.




data-ad-client=”ca-pub-9341405937949877″
data-ad-slot=”7535111348″>

Попробуем вычислить значения центральной разностной производной в точках х. Для этого. В ячейке второй строки нашей таблицы забиваем нашу формулу (3), т.е. следующую формулу в Excel:

Далее, воспользовавшись автозаполнением, копируем эту формулу во все нижние ячейки (тянем за нижнюю правую часть прямоугольника, который указывает на текущую ячейку):

Теперь строим график с использованием уже имеющихся значений х и полученных значений центральной разностной производной:

А вот и наша красненькая парабола! Значит, формула работает!

 

Ну а теперь можем перейти к конкретной инженерной задаче, про которую говорили в начале статьи – к нахождению изменения dσ/dε с увеличением деформации. Первая производная кривой «напряжение-деформация» σ=f (ε) в зарубежной литературе называется «скорость упрочнения» (strain hardening rate),а в нашей – «коэффициент упрочнения». Итак, в результате испытаний мы имеем массив данных, которой состоит из двух столбцов: один — со значениями  деформаций ε и другой – со значениями напряжений  σ в МПа. Возьмем холодную деформацию стали 1035 или наша 40Г (см. таблицу аналогов сталей) при 20°С.

C Mn P S Si N
0.36 0.69 0.025 0.032 0.27 0.004

Вот наша кривая в координатах «истинное напряжение — истинная деформация» σ-ε:


Действуем так же, как и в предыдущем примере и получаем вот такую кривую:

Это и есть изменение скорости упрочнения по ходу деформации. Что с ней делать, это уже отдельный вопрос.

На этом все на сегодня.

Подписаться на обновления блога.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите

Ctrl+Enter.

Поделиться ссылкой:

Повторительно-обобщающий урок по теме «Производная. Правила и формулы вычисления производных».

Министерство образования и науки Амурской области

Государственное профессиональное образовательное автономное учреждение

«БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

Преподаватель математики: Пакичева Татьяна Геннадьевна

Повторительно-обобщающий урок по теме

«Производная. Правила и формулы вычисления производных».

Цель урока:

  • обобщение и закрепление знаний, умений и навыков вычисления производных,

  • дать студентам всесторонние (углубленные и расширенные) знания о предмете, развивать познавательный процесс.

Оборудование урока:

  1. Организационный момент.

Рады видеть всех, присутствующих на этом занятии. Сегодняшнее занятие я хочу начать со слов А. Маркушевича «Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели».

На сегодняшнем занятии мы с вами объединим полученные знания на 3 предыдущих занятиях, а также проверим как вы усвоили данный материал. Тема нашего сегодняшнего занятия «Производная. Правила и формулы вычисления производных. Применение производной». Что же такое производная? А какие правила вычисления производных вы знаете?

  1. Проверка домашнего задания.

Вчера вам были заданы 4 примера. С самопроверка..

Критерии оценки. Кто получил «отлично», «неудовлетворительно».

Давайте еще раз вспомним, что такое производная?

  1. Решение кроссворда.

Вопросы:

  1. Предельное положение секущей?

  2. Как называется изменение величин?

  3. Как называется переменная х?

  4. Процесс нахождения производной?

  5. Предел разностного отношения функции к приращению аргумента, при последнем стремящемся к нулю?

  6. График такой функции можно начертить на бумаге не отрывая руки?

  7. Композиция функций?

Д

И

П

Ф

Р

Н

Ф

О

Е

К

Е

И

П

А

Р

З

Р

С

П

Е

В

Е

А

Р

Н

О

Р

С

Т

И

А

Ц

Д

Ы

Л

Е

Р

Р

И

Н

В

О

Л

А

Г

Р

А

Н

Ж

Ь

Щ

У

О

Я

А

Н

Н

Е

М

В

Я

А

А

Н

Е

А

Я

Я

И

Н

Н

Е

Т

И

Е

  1. Историческая справка.

Лейбниц Готфрид Фридрих говорил, что «Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет». Поэтому я хочу вам рассказать как появился термин производная и кто из ученых активно занимался изучением этого вопроса. Начнем с Лагранжа.

В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение(два штриха) также ввёл Лагранж.

Основное понятие дифференциального исчисления – понятие производной – возникло в ХVII в. в связи с необходимостью решения задач: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой. Эта задача была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной. Производную – ф л ю к с и е й. Ньютон пришел к понятию производной исходя из вопросов механики.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внес Эйлер.

  1. Устный счет.

Найди соответствие между функцией и ее производной (формулы).

  1. Найдите ошибки:

  1. Математический диктант.

Давайте проверим знание формул в математическом диктанте. Откройте тетради для проверочных работ. Запишите свой вариант. Я читаю задания 3 раза. Начнем.

Чему равна производная?

№ задания

Вариант 1.

Вариант 2.

3

0,3

х

-2

5

0

2

2,3

5

Ответы:

№ задания

Вариант 1.

Вариант 2.

-3

0

1

-4x

0

2

0

14

0

5

7

Диктант с взаимопроверкой, поэтому поменялись тетрадями и проверили, вот критерии оценки:

Более 4 ошибок – оценка«2».

4,3 ошибки – оценка«3».

1, 2 ошибки – оценка«4».

Нет ошибок – оценка«5».

  1. Работа в тетрадях и у доски.

  1. =

при x=

= ()

при

Ответ:; -6

при

Ответ: 9

  1. Решите уравнение

Ответ:7;-3.

  1. Решите уравнение

Ответ:

  1. Домашнее задание.

  1. Решите уравнение , если

  2. Вычислите , если

  1. Проверочная работа.

Вариант 1.

  1. Найдите производную функции:

  1. Найдите значение производных в заданных точках:

Дополнительное задание.

  1. Решите уравнение

Вариант 2.

  1. Найдите производную функции:

  1. Найдите значение производных в заданных точках:

Дополнительное задание.

  1. Решите уравнение

  1. Практическое применение производной.

(исследовательские работы студентов)

Спасибо за работу. Занятие окончено.

Формула производной

– Что такое формула производной? Примеры

Производная помогает нам узнать, как меняются отношения между двумя переменными. Рассмотрим независимую переменную «x» и зависимую переменную «y». Изменение значения зависимой переменной относительно изменения значения выражения независимой переменной можно найти с помощью формулы производной. Математически формула производной полезна для определения наклона прямой, для определения наклона кривой и для определения изменения одного измерения по сравнению с другим измерением.В этом разделе мы узнаем больше о формуле производной и решим несколько примеров.

Что такое формула производной?

Формула производной – одно из основных понятий, используемых в исчислении, а процесс нахождения производной известен как дифференцирование. Формула производной определяется для переменной «x», имеющей показатель степени «n». Показатель n может быть целым или рациональной дробью. Следовательно, формула для вычисления производной:

\ (\ dfrac {d} {dx}.{n – 1} \)

Правила производной формулы

Существуют некоторые основные правила формулы производной, т. Е. Набор формул производной, которые используются на разных уровнях и в разных аспектах. На изображении ниже есть правила.

Вывод формулы производной

Пусть f (x) – функция, область определения которой содержит открытый интервал вокруг некоторой точки \ (x_0 \). Тогда функция f (x) называется дифференцируемой в точке \ ((x) _ {0} \), а производная f (x) в точке \ ((x) _ {0} \) представляется по формуле как:

f ‘(x) = lim Δx → 0 Δy / Δx

⇒ f ‘(x) = lim Δx → 0 [f (\ ((x) _ {0} \) + Δx) −f (\ ((x) _ {0} \))] / Δx

Производная функции y = f (x) может быть обозначена как f ′ (x) или y ′ (x).

Кроме того, популярны обозначения Лейбница для записи производной функции y = f (x) как df (x) / dx, то есть dy / dx

Список формул производных

Ниже перечислены еще несколько важных формул производных, используемых в различных областях математики, таких как исчисление, тригонометрия и т. Д. Для дифференцирования тригонометрических функций используются различные формулы производных, перечисленные здесь. Все производные формулы получены из дифференцирования первого принципа.

Формулы производных элементарных функций

  • \ (\ dfrac {d} {dx} \).x n = n. х н-1
  • \ (\ dfrac {d} {dx} .k \) = 0, где k – постоянная
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). E x = e x
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). x = x . log \ (_ e \) .a, где a> 0, a ≠ 1
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). Logx = 1 / x, x> 0
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). журнал \ (_ a \) e = 1 / x журнал \ (_ a \) e
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). √x = 1 / (2 √x)

Формулы производных тригонометрических функций

  • \ (\ dfrac {d} {dx} \).грех х = соз х
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). Cosx = -sin x
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). Tan x = sec 2 x, x ≠ (2n + 1) π / 2, n ∈ I
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). кроватка x = – cosec 2 x, x ≠ nπ, n ∈ I
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). сек x = сек x tan x, x ≠ (2n + 1) π / 2, n ∈ I
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). Cosec x = – cosec x кроватка x, x ≠ nπ, n ∈ I

Формулы производных гиперболических функций

  • \ (\ dfrac {d} {dx} \).sinhx = coshx
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). coshx = sin hx
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). tan hx = sec h 2 x
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). детская кроватка hx = -cosec h 2 x
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). сек hx = -sech hx tan hx
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). cosec hx = -cosec hx cot hx

Дифференциация обратных тригонометрических функций

  • \ (\ dfrac {d} {dx} \). 2}} \), -1
  • \ (\ dfrac {d} {dx} \).2}} \)

Отличное обучение в старшей школе по простым подсказкам

Занимаясь заучиванием наизусть, вы, вероятно, забудете концепции. С Cuemath вы будете учиться наглядно и будете удивлены результатами.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Примеры с использованием формулы производной

Пример 1. Найдите производную x 7 , используя формулу производной.

Решение:

Используя формулу производной, \ (\ dfrac {d} {dx}.{n – 1} \)

Здесь n = 2

\ (\ dfrac {d} {dx} \). T 2 = 2. t 2 – 1

= 2 т

По цепному правилу dy / dx = dy / dt. dt / dx

dy / dx = 2т. -sin x

= -2 (соз х) (грех х)

= – грех 2x

Следовательно, d / dx = Cos 2 x is = -sin 2x

Часто задаваемые вопросы по формуле производных

Что означает формула производной?

Формула производной – один из фундаментальных аспектов, используемых в исчислении. {n – 1} \)

Каковы основные правила формулы производной?

Основные правила производных формул:

  • Постоянное правило
  • Постоянное множественное правило
  • Правило мощности
  • Правило суммы
  • Правило разницы
  • Правило продукта (формула УФ-дифференцирования)
  • Правило цепочки
  • Правило частного

Какова производная от f (x) = 25?

Поскольку функция f (x) постоянна, согласно формуле производной, ее производная будет равна нулю i.е. f ’(x) = 0

Как использовать формулу производной?

Формулы производной получаются с использованием определения f ‘(x) = \ (\ lim _ {h \ rightarrow 0} \ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} \). Это происходит из дифференциации первого принципа. Например, если f (x) = sin x, то f (x + ∆x) = sin (x + ∆x)

f (x + ∆x) -f (x) = sin (x + ∆x) – sin x = 2 sin ∆x / 2 .cos (x + x / 2)

Теперь \ (\ dfrac {f (x + ∆x) -f (x)} {∆x} \) = \ (\ dfrac {sin \ dfrac {∆x} {2}} {\ dfrac {∆x} { 2}} \) cos (x + x / 2)

⇒ \ (\ lim _ {∆x \ rightarrow 0} \ dfrac {f (x + ∆x) -f (x)} {∆x} \) = cos x

Таким образом, производная sin x = cos x.

Есть ли определенная формула для деривативов? + Пример

Да, но не только одна формула. Здесь очень много.

Производная (дифференцируемой функции) # y = f (x) # в точке # x = a # определяется следующим пределом

# f ‘(a) = lim_ (x rarr a) (f (x) -f (a)) / (x-a) #

С небольшим изменением обозначений запишем:

# dy / dx = f ‘(x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / h #

В некоторых старых текстах обозначение может включать # deltax # или # Deltax # вместо # h #, что дает идентичный результат:

# f ‘(x) = lim_ (deltax rarr 0) (f (x + deltax) -f (x)) / (deltax) = lim_ (Deltaxrarr 0) (f (x + Deltax) -f (x)) / (Deltax) #

Он представляет как скорость изменения функции, так и градиент касательной в любой конкретной точке.2 #

Вот еще несколько полезных формул производных, которые, я думаю, вам следует знать.

# d / dx (lnx) = 1 / x #

# d / dx (sinx) = cosx #

# d / dx (cosx) = -sinx #

Когда вы освоите основные правила дифференциации, вас могут попросить решить задачи, которые интересным образом сочетают правила дифференциации.

Пример: найти # dy / dx # для #y = ln (secx) #

Прежде всего, обратите внимание, что #secx = 1 / cosx #. Функция становится

.

# у = ln (1 / cosx) #

Есть несколько способов отличить это.-1 #, а затем дважды дифференцируйте, используя цепное правило.

c) вы можете использовать законы логарифмов, чтобы упростить, а затем дифференцировать. Я воспользуюсь этим методом.

По правилу #ln (a / b) = lna – lnb # имеем:

#y = ln (1 / cosx) = ln1 – lncosx = 0 – ln (cosx) = -ln (cosx) #

По цепному правилу имеем

# dy / dx = -1 / cosx * -sinx = sinx / cosx = tanx #

Надеюсь, теперь вы хорошо понимаете, в чем заключается дифференциация!

Формула дифференцирования тригонометрических функций

Формула дифференцирования: В математике дифференциация – это хорошо известный термин, который обычно изучается в области вычислительной части математики.Мы все изучили и решили его количество задач в нашей средней школе и +2 уровнях.

Формулы дифференцирования тригонометрических функций

Формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций

Другая формула дифференциации

На языке обывателей дифференциация может быть объяснена как мера или инструмент, с помощью которого мы можем измерить точную скорость изменения.Например, вы можете вычислить скорость изменения скорости в соответствии со временем для данного количества функций.

Что ж, если вы фанатик математики и хотите решить несколько вопросов на основе дифференциации, то здесь мы вам в этом поможем.

Мы обсудим систематическую формулу дифференцирования, по которой вы можете определить скорость для такой функции.

Типы дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения можно разделить на типы –

.
  • Обыкновенные дифференциальные уравнения
  • Уравнения в частных производных
  • Линейные дифференциальные уравнения
  • Нелинейные дифференциальные уравнения
  • Однородные дифференциальные уравнения
  • Неоднородные дифференциальные уравнения

Различные формулы дифференцирования для исчисления

Что ж, дифференциация, являющаяся частью исчисления, может состоять из множества задач, и для каждой задачи мы должны применять различный набор формул для ее вычисления.

Итак, если вы хотите твердо придерживаться и понимать дифференциацию, тогда вы должны держать все ее формулы в своей голове.

Ниже приведен список нескольких формул дифференциации, начиная с базового уровня и заканчивая продвинутым.

Производная экспоненциальной и логарифмической функций

Напомним определение функции логарифма с основанием a > 0 (с

Ну, как мы знаем, исчисление основано на чисто научных расчетах, где вы должны применить определенную формулу, чтобы получить решение определенной проблемы.

Подобным образом вы столкнетесь с рядом проблем при дифференциации, для которых вам понадобится конкретная формула, чтобы получить правильный ответ.

В исчислении есть количество формул, и вы должны применить правильную формулу в рассматриваемой дифференциальной задаче. Мы настоятельно рекомендуем вам практиковать все вышеупомянутые формулы, чтобы лучше решать задачи дифференциации.

Производные тригонометрических функций – веб-формулы

Общие правила

Функция

Производная

грех х

cos x

cos x

sin x

sin 2 x

2 ∙ sin x ∙ cos x = sin 2 x

cos 2 x

-2 ∙ sin x ∙ cos x = – sin 2 x

желто-коричневый x = сек 2 x

1 / ( cos 2 x) = 1+ tan 2 x

детская кроватка x = – csc 2 x

-1 / ( sin 2 x) = -1- детская кроватка 2 x

сек x

сек x ∙ tan x

csc x

csc x ∙ детская кроватка x

arcsin x = sin -1 x

1 / √ (1-х 2 )

arccos x = cos -1 x

-1 / √ (1-х 2 )

arctan x = tan -1 x

1 / (1 + х 2 )

arccot ​​ x = детская кроватка -1 x

-1 / (1 + х 2 )

угл. Сек x = сек -1 x

1 / (| x | ∙ √ (x 2 -1))

arccsc x = csc -1 x

-1 / (| x | ∙ √ (x 2 -1))

В следующей таблице приведены производные шести тригонометрических функций, а также их аналоги в цепочках (то есть синус, косинус и т. Д.)функции).

Пример 1:

Пример 2: Найдите производную от y = 3 sin 3 (2x 4 + 1) .

Положим u = 2x 4 + 1 и v = sin u

Итак, y = 3 v 3

Пример 3: Дифференциация

Сначала примените правило частного, затем у нас будет

Теперь примените правило произведения в первой части числителя, результат g ‘(x) будет:

Пример 4: Дифференцировать y = cos 3 (загар (3x)).

Производные формулы – объяснение, правила, решенные примеры и часто задаваемые вопросы

Производные – один из основных инструментов, которые широко используются для решения различных задач в области исчисления и дифференциальных уравнений. Это одна из важных тем математического анализа. Вопросы, основанные на производных финансовых инструментах, задаются не только в школе, но и на конкурсных экзаменах, таких как JEE Main, JEE advance и т. Д. Даже концепции производных инструментов используются для решения различных реальных задач, таких как расчет прибыли и убытков от бизнеса. , проверка изменения температуры, определение скорости или пройденного расстояния, например километров в час, миль в час и т. д.

Следовательно, учащиеся должны хорошо разбираться в формулах производных и правилах производных. Здесь вы найдете список всех производных формул, а также правила для производных, которые помогут вам при решении различных задач дифференцирования.

Производная в математике

В математике производная – это метод, показывающий мгновенную скорость изменения, то есть величину, на которую функция изменяется в заданный момент времени. Производные часто представлены как $ \ dfrac {dy} {dx} $ (пишется как $ dy $ над $ dx $, что означает, что разница в $ y $ делится на разницу в $ x $).$ D $ в $ \ dfrac {dy} {dx} $ не является переменной и не может быть отменен. Другое распространенное представление производной – $ f ’(x) $, что означает производную функции $ f $ в точке $ x $.

Определение производной

Пусть $ f (y) $ будет функцией, область определения которой включает открытый интервал вокруг некоторой точки $ y_0 $. Тогда, поскольку функция $ f (y) $ считается дифференцируемой в $ y_0 $, а производная $ f (y) $ в $ y_0 $ задается как:

$ f ‘(y_0) = \ underset {y \ to 0} {lim} \ dfrac {\ Delta x} {\ Delta y} = \ underset {y \ to 0} {lim} \ dfrac {f (y_0 + \ Delta y) – f (y_0)} {\ Delta y} $

Список всех производных формул

Найдите список всех производных формул:

Общие производные формулы

d \ ddd

Функции

{dx} (k) = 0 $, где $ k $ – любая константа

$ \ dfrac {d} {dx} (x) = 1 $

$ \ dfrac {d} {dx} \ sqrt {x} = \ dfrac {1} {2 \ sqrt {x}} $

$ \ dfrac {d} {dx} \ sqrt {f (x)} = \ dfrac { 1} {2 \ sqrt {f (x)}} \ dfrac {d} {dx} f (x) = \ dfrac {1} {\ sqrt {2f (x)}} f ‘(x) $

$ \ dfrac {d} {dx} k \ cdot f (x) = k \ dfrac {d} {dx} f (x) = k \ cdot f ‘(x) $

Производные логарифмической функции

Функции

Производные

$ \ dfrac {d} $

1} {x} $

$ \ dfrac {d} {dx} log_a x $

$ \ dfrac {1} {x In a} $

$ \ dfrac { d} {dx} In f (x) $

$ \ dfrac {f ‘(x)} {f (x)} $

$ \ dfrac {d} {dx} log_a f ( x) $

$ \ dfrac {1} {f (x) In a} \ dfrac {d} {dx} f (x) $

Производные формул экспоненциальной функции

$ } {dx } a ^ x $

Функции

Производные

$ \ dfrac {d} {dx} e ^ x $

$ e ^ x $

$ a ^ x In a $

$ \ dfrac {d} {dx} x ^ x $

$ x ^ x (1 + In x) $

$ \ dfrac {d} {dx} e ^ {f (x)} $

$ e ^ {f (x)} \ dfrac {d} {dx} f (x) $

$ \ dfrac {d} {dx} a ^ {f (x)} $

$ a ^ {f (x)} In af (x) $

Производные формул тригонометрических функций

Функции

Производные

$ \ dfrac {d} {dx} (sin (x))

$

3 ) $

$ \ dfrac {d} {dx} (cos (x)) $

$ -sin (x) $

$ \ dfrac {d} {dx} (tan (x)) $

$ sec ^ 2 (x) $

$ \ dfrac {d} {dx} (sec (x)) $

$ sec (x)tan (x) $

$ \ dfrac {d} {dx} (csc (x)) $

$ -csc (x) детская кроватка x $

$ \ dfrac { d} {dx} (cot (x)) $

$ -csc ^ 2 (x) $

Производные обратных тригонометрических функций

Производная

Ограничения

$ \ dfrac {d} {dx} (sin ^ {- 1} x) $

$ \ dfrac {1} {1 – x ^ 2} $

$ -1

$ \ dfrac {d} {dx} (cos ^ {- 1} x) $

$ \ dfrac {-1} { 1 – x ^ 2} $

$ -1

$ \ dfrac {d} {dx} (tan ^ {- 1} x) $

$ \ dfrac {1} {1 + x ^ 2} $


$ \ dfrac {d} {dx} (sec ^ {- 1} x) $ 9 0003

$ \ dfrac {1} {| x | \ sqrt {x ^ 2 – 1}} $

$ | x | > 1 $

$ \ dfrac {d} {dx} (csc ^ {- 1} x) $

$ \ dfrac {-1} {| x | \ sqrt {x ^ 2 – 1}} $

$ | x | > 1 $

$ \ dfrac {d} {dx} (cot ^ {- 1} x) $

$ \ dfrac {-1} {1 + x ^ 2} $


Производные от гиперболических функций

Функция

Производная

$ \ dfrac $ cosh x $

$ \ dfrac {d} {dx} (cosh x) $

$ sinh x

$

$ \ dfrac {d} {dx} (tanh x ) $

$ sech ^ 2 x $

$ \ dfrac {d} {dx} (csch x) $

$ -cschx cothx $

{d} {dx} (sech x) $

$ -sechx tanhx $

$ \ dfrac {d} {dx} (coth x)

$

$ -csch ^ 2 x $

9085 4 Производные обратной гиперболической функции

Обратная функция

Производная

Ограничения

$ 1 y $ y y ‘= \ dfrac {1} {1 + x ^ 2} $


$ y cosh ^ {- 1} x $

$ y’ = \ dfrac {1} {x ^ 2-1} $


$ y tanh ^ {- 1} x $

$ y ‘= \ dfrac {1} {1-x ^ 2} $

$ | x | <1 $

$ y csc h ^ {- 1} x $

$ y ‘= \ dfrac {-1} {\ sqrt [x] {1 + x ^ 2}}

$

$ x> 0 $

$ y sech ^ {- 1} x $

$ y ‘= \ dfrac {-1} {\ sqrt [x] {1-x ^ 2 }} $

$ 0

$ y coth ^ {- 1} x $

$ y ‘= \ dfrac {1} {x ^ 2-1} $

$ | x | > 1 $

Производные правила

Постоянное правило

Пусть $ k $ будет константой, тогда $ \ dfrac {d} {dx} (n) = 0 $.{n-1} $

Постоянное кратное правило

Если $ k $ – константа, а $ f $ дифференцируема, то

$ \ dfrac {d} {dx} [kf (x)] = k \ dfrac {d} {dx} f (x) $

Сумма и правило дифференциации

Если $ a $ и $ b $ оба дифференцируемы, то

$ \ dfrac {d} {dx} (a (x) + b (x)) = \ dfrac {d} {dx} a (x) + \ dfrac {d} {dx} b (x) $

И,

$ \ dfrac {d} {dx} (a (x ) + b (x)) = \ dfrac {d} {dx} a (x) + \ dfrac {d} {dx} b (x) $

Правило продукта

Если $ a $ и $ b $ оба являются дифференцируемо, тогда

$ \ dfrac {d} {dx} [a (x) \ cdot b (x)] = a (x) \ dfrac {d} {dx} [b (x)] + b (x) \ dfrac {d} {dx} [a (x)] $

Правило частного

Если $ a $ и $ b $ оба дифференцируемы, то

$ \ dfrac {d} {dx} [a (x) b (x)] = \ dfrac {b (x) \ dfrac {d} {dx} a (x) – a (x) \ dfrac {d} {dx} b (x)} {(b (x)) ^ 2} $

Решенные проблемы

1.4 \ sqrt {x}} $

Распространенные производные с упражнениями – бесплатная помощь по математике

Дифференциация: (урок 1 из 3)

Формулы общих производных – упражнения

Правила для обычных деривативов

$ f (x) $ и $ g (x) $ – дифференцируемые функции, $ C $ – вещественное число:

1. Правило множественности постоянных

$$ \ color {синий} {(f (x) \ pm g (x)) ‘= f’ (x) \ pm g ‘(x)} $$

2. Правило о сумме

$$ \ color {синий} {(C \ cdot f (x)) ‘= C \ cdot f’ (x)} $$

Производные многочленов

$ \ color {синий} {\ text {1.2 (x)}

долл. США

Пример 6:

Найти производную от $ y = 3x + \ sin (x) – 4 \ cos (x) $

Решение 6:

$$ \ begin {выровнено} (3x + \ sin (x) – 4 \ cos (x)) ‘& = (3x)’ + (\ sin (x)) ‘- (4 \ cos (x))’ = \\ & = 3x ‘+ \ cos (x) – 4 (\ cos (x))’ = \\ & = 3 \ cdot 1 + \ cos (x) – 4 (\ cos (x)) ‘= \\ & = 3 + \ соз (х) + 4 \ грех (х) \ end {выровнен} $$

Производные обратных тригонометрических функций

$ \ color {синий} {\ text {1.x 9 000 долл. США 3

404 не найдено

404 не найдено

Запрошенный URL /~bdriver/driver/preprints/derivative_formulas.htm не найден на этом сервере.


Наиболее частые причины этой ошибки:
  • Вы неправильно ввели URL-адрес, к которому вы пытаетесь получить доступ. Тщательно проверьте орфографию, пунктуацию и чувствительность к регистру URL-адреса и повторите попытку.
  • Файл или каталог, к которому вы пытаетесь получить доступ, больше не существует или был перемещен в другое место.
Если вам нужна помощь в разрешении этой проблемы, обратитесь к владельцу веб-страницы или веб-мастеру, как описано ниже.
Информацию о веб-сайтах класса см. В списке веб-сайтов класса по адресу http://www.math.ucsd.edu/resources/course-websites/.

Для других веб-страниц, пожалуйста, начните с веб-сайта верхнего уровня математического факультета UCSD по адресу http://www.math.ucsd.edu/.


Чтобы связаться с администраторами веб-сервера, отправьте электронное письмо по адресу [email protected]

Чтобы мы могли должным образом устранить проблему, включите:

  • Точный URL-адрес, который вы пытаетесь достичь, указан в вашем веб-браузере:
    REQUEST_URI = http: // www.math.ucsd.edu/~bdriver/driver/preprints/derivative_formulas.htm
  • Предыдущая ссылающаяся веб-страница или ссылка, которая привела вас к этому URL-адресу:
    HTTP_REFERER = (нет)
  • Полное имя используемого вами веб-браузера, включая номер его версии:
    HTTP_USER_AGENT = Mozilla / 5.0 (X11; Linux x86_64; rv: 33.0) Gecko / 20100101 Firefox / 33.0
  • Любые сообщения об ошибках или подробное описание возникшей проблемы.
  • Название вашей операционной системы, включая номер ее версии.
  • Текущий IP-адрес или имя хоста вашего компьютера:
    REMOTE_ADDR (REMOTE_HOST) = 213.87.139.238 ((нет))
  • Точная дата и время, когда вы столкнулись с проблемой:
    DATE_LOCAL = среда, 1 декабря 2021 г.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *