Формулы крамера для решения систем линейных уравнений: I.3. Метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений

определение, теорема и примеры решения задач

Содержание:

• Теорема Крамера
• Примеры решения систем уравнений

Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым определителем основной матрицы. Назван по имени Габриэля Крамера, автора метод.

Теорема Крамера

Теорема

Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

$x_{i}=\frac{\Delta_{i}}{\Delta}$

где $\Delta$ – определитель матрицы системы, $\Delta_{i}$ – определитель матрицы системы, где вместо $i$ -го столбца стоит столбец правых частей.

Замечание

Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.

Замечание

Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных. Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+2 x_{2}=7 \\ 2 x_{1}+x_{2}=9 \end{array}\right.$ при помощи метода Крамера.

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right|=5 \cdot 1-2 \cdot 2=1 \neq 0$$

Так как $\Delta \neq 0$ , то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители. Определитель $\Delta_{1}$ получим из определителя $\Delta$ заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:

$$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{ll} 7 & 2 \\ 9 & 1 \end{array}\right|=7-18=-11$$

Аналогично, определитель $\Delta_{2}$ получается из определителя матрицы системы $\Delta$ заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:

$$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{ll} 5 & 7 \\ 2 & 9 \end{array}\right|=45-14=31$$

Тогда получаем, что

$$x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{-11}{1}=-11, x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{31}{1}=31$$

Ответ.

$x_{1}=-11, x_{2}=31$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. При помощи формул Крамера найти решение системы $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-4 \neq 0$$

Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:

$$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+(-2) \cdot(-1) \cdot 1+$$ $$+1 \cdot 0 \cdot 2-2 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-(-2) \cdot 1 \cdot 2=4$$ $$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-2) \cdot 2+1 \cdot 2 \cdot 1+2 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-2) \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 2 \cdot 2=-4$$ $$\Delta_{3}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 2+$$ $$+1 \cdot(-2) \cdot 3-3 \cdot(-1) \cdot 2-(-1) \cdot(-2) \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-12$$

Таким образом,

$x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{4}{-4}=-1 \quad x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{-4}{-4}=1 \quad x_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{-12}{-4}=3$

Ответ. $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Читать дальше: метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных.

Решение линейных уравнений с помощью метода крамера. Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера

и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4).

Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений.
   В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ – номер крайнего справа столбца.
4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

• Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

• С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
• При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 3 = – 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = – 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 – (-2) \cdot 3 \cdot 10 – (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = – 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т. е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



2.

5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т. е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Использование правила Крамера для решения системы линейных уравнений

Вопрос задан 3 года, 10 месяцев назад

Изменено 3 года, 10 месяцев назад

Просмотрено 375 раз

$\begingroup$

У меня возникли проблемы с ответом на следующий вопрос: Вопрос

Первоначально я подошел к этому вопросу следующим образом:

1) Поскольку в вопросе требуется только x3, я заменил столбец x3 конкретным решением. Шаг 1

2) Правило Крамера требует от нас разделить det(подстановочную матрицу на шаге 1) на det(исходную матрицу) Шаг 2

3) Чтобы найти det каждой матрицы 4×4, я сделал C(1,1)(det(3×3 sub Matrix)). Итак, 1 (det (3×3 sub Matrix)). Я оценил подматрицу 3×3 следующим образом: Подматрица 3×3 Красные стрелки добавляются, а затем вычитаются из добавления синих стрелок. Таким образом, det (подстановочная матрица) = 3aei + 3bfg + 2cdh — 3ceg — 2afh — 3bdi.

4) Я сделал шаг 3 и для начальной Матрицы и получил det(Исходная матрица) = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi

Теперь я не знаю, как обойти детерминанты, которые я только что получил. Я должен что-то исключить, а потом отменить остальное, но я не понимаю что. Я что-то пропустил?

• линейная алгебра

$\endgroup$

$\begingroup$

Ясно, что $\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\3\\2 \end{bmatrix}$ без Правило Крамера. ..

Что говорит Крамер?

$x_1 = \frac {\det\begin{bmatrix}0&0&0&0\\3b+2c&a&b&c\\3e+2f&d&e&f\\3h+2i&g&h&i \end{bmatrix}}{\det\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&a&b&c\ \0&d&e&f\\0&g&h&i \end{bmatrix}} = 0$

Мы знаем это, потому что одна строка состоит из нулей

$x_2 = \frac {\det\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&3b+2c&b&c\\0&3e+ 2f&e&f\\0&3h+2i&h&i \end{bmatrix}}{\det\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&a&b&c\\0&d&e&f\\0&g&h&i \end{bmatrix}} = 0$

Мы знаем это, потому что очевидно, что столбцы не являются линейно независимыми.

$x_3 = \frac {\det\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&a&3b+2c&c\\0&d&3e+2f&f\\0&g&3h+2i&i \end{bmatrix}}{\det\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&a&b&c\ \0&d&e&f\\0&g&h&i \end{bmatrix}} = 0$

вместо того, чтобы вычислять это.

$\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&a&3b+2c&c\\0&d&3e+2f&f\\0&g&3h+2i&i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&a&b&c\\0&d&e&f\\0&g&h&i \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&3&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}$

Определитель произведения равен произведению определителей. И

$\det\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&2&1 \end{bmatrix} = 2$

К $x_4$ можно подойти таким же образом.

$\endgroup$

3

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Как решать системы уравнений по правилу Крамера (практика)

В этом посте мы объясняем, что такое правило Крамера, и, кроме того, вы найдете примеры и упражнения для систем уравнений, решаемых по правилу Крамера.

Содержание

Формула правила Крамера

Правило Крамера — это формула, используемая для решения систем линейных уравнений с использованием определителей. Давайте посмотрим, как использовать правило Крамера:

Дана система линейных уравнений:

Пусть A — квадратная матрица с коэффициентами при неизвестных:

Правило Крамера утверждает, что решение системы уравнений можно вычислить следующим образом:

Примечание. что определители числителей подобны определителю матрицы A, но заменяют столбец каждого неизвестного столбцом констант. А определитель знаменателя дроби всегда является определителем матрицы А.

Поэтому метод Крамера используется для решения систем линейных уравнений. Но есть много других способов решения системы уравнений, например метод исключения Гаусса.

Ниже вы можете увидеть пример решения системы линейных уравнений по правилу Крамера.

Пример правила Крамера

• Решите следующую систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными по правилу Крамера:

Прежде всего построим матрицу А с коэффициентами при неизвестных:

Теперь применим правило Крамера для решения системы уравнений. Для этого сначала нужно найти определитель матрицы A:

. Чтобы вычислить неизвестное x по правилу Крамера, заменим первый столбец определителя A столбцом констант и разделим его на определитель матрицы A:

Чтобы найти неизвестный y по правилу Крамера, мы заменяем второй столбец определителя A на столбец констант и делим его на определитель A:

И, наконец, для вычисления переменной z по правилу Крамера меняем местами третий столбец определителя A со столбцом констант и делим его на определитель матрицы A:

Следовательно, решение системы линейных уравнений:

Практические задачи по правилу Крамера

Задача 1

Примените правило Крамера для решения следующей системы двух уравнений с двумя неизвестными:

См. решение

Сначала построим матрицу А с коэффициентами при переменных:

Теперь воспользуемся правилом Крамера для решения системы уравнений. Таким образом, мы вычисляем определитель матрицы A:

Чтобы вычислить неизвестный x по правилу Крамера, мы заменяем первый столбец определителя A на столбец констант и делим его на определитель A:

А чтобы найти значение неизвестного y, заменим второй столбец определителя A на столбец констант и разделим его на определитель матрицы A:

Таким образом, решение системы уравнений:

 

Задача 2

Найдите решение следующей системы трех уравнений с 3 неизвестными по правилу Крамера:

См. решение Матрица А представляет собой матрицу со всеми коэффициентами при переменных:

Вычислим определитель матрицы А, чтобы применить правило Крамера:

Чтобы вычислить неизвестное x методом Крамера, изменим первый столбец определителя A для столбца констант и разделить его на определитель A:

Во-вторых, чтобы найти неизвестный y методом Крамера, мы заменяем второй столбец определителя A столбцом констант и делим его на определитель A:

И, наконец, чтобы вычислить z с помощью По правилу Крамера, меняем третий столбец определителя А на столбец констант и делим его на определитель А:

Таким образом, решение системы уравнений:

 

Задача 3

Решите следующую систему линейных уравнений, применяя правило Крамера:

См.