Формулы крамера для решения систем линейных уравнений – Метод Крамера — Википедия

§2. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений

Рассмотрим случай, когда число уравнений системы совпадает с числом уравнений. (т.н. квадратная система):

(1)

Матрицу, составленную из коэффициентов системы (1), А=(а_ij), называют основной матрицей системы, а её определитель Δ=det(A) называют определителем системы.

Теорема. Квадратная система (1) с отличным от нуля определителем имеет решение, и притом, единственное. Его можно найти по формулам

(2)

где Δ_j – это определитель, получающийся из определителя Δ после замены в нем j–го столбца столбцом свободных членов системы (1).

Доказательство. Докажем сначала, что числа, определяемые формулами (2), дают решение системы (1). Возьмём левую часть i–го уравнения системы и подставим в нее эти числа, при этом определитель Δ_j разложим по j–му столбцу:

Внутренняя сумма (т.е. множитель, стоящий возлеb_k) в полученном выражении либо равна определителю Δ, если k=i, либо равна 0, если k≠j. Значит во внешней сумме только i–е слагаемое отлично от нуля и вся эта сумма равна

b_i·Δ. Откуда получаем, что левая часть i–го уравнения при подстановке (2) равна , т.е. правой части этого уравнения. Итак, числа (2) дают решение системы (1).

Докажем теперь единственность решения (2), для чего предположим, что существуют числа с₁,с₂,…,с_n такие, что:

(3)

есть система верных числовых равенств. Выполним с этими верными равенствами следующее: 1

е умножим на алгебраическое дополнение элемента а₁₁, 2^е – на дополнение элемента а₂₁ и т.д. и почленно сложим. Получим следующее:

(a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁+…+a_n1A_n1)c₁+(a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁+…+a_n2A_n1)c₂+…

…+(a₁

nA₁₁+a_2nA₂₁+…+a_nnA_n1)c_n=b₁A₁₁+b₂A₂₁+…+b_nA_n1.

Первая скобка в левой части равна определителю Δ, а все остальные скобки равны 0. Правая же часть есть разложение определителя Δ₁ по первому столбцу. Итак, мы получили

Δ·с₁ = Δ₁.

Если же указанную процедуру повторить, взяв в качестве множителей алгебраические дополнения элементов

а₁₂, а₂₂,…,а_n2, то получим

Δ·с₂ = Δ₂

и так далее по аналогии Δ·с_n= Δ_n. Поскольку по условию Δ≠0, то полученные равенства эквивалентны соотношениям

что и означает, что у системы (1) нет других решений кроме тех, что даются формулами Крамера. Теорема доказана.

Значение формул Крамера заключается главным образом в том, что в тех случаях, когда они применимы, эти формулы дают явное выражение для решения системы через коэффициенты и свободные члены. Практическое использование формул Крамера связано с довольно громоздкими вычислениями определителей

n–го порядка. К этому следует добавить, что, если коэффициенты уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближенные значения каких-либо измеряемых физических величин или округляются в процессе вычислений, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам и в ряде случаев является нецелесообразным.

Замечание. Из полученных в процессе доказательства равенств

c_j

·Δ = Δ_j , j=1,2,…,n

следует важный вывод:

если Δ=0, а хотя бы один из Δ₁, Δ₂,…, Δ_n отличен от 0, то системы (1) решений не имеет; в случае же когда Δ=Δ₁=Δ₂=…=Δ_n=0 система (1) может быть или несовместной, или неопределенной.

И еще один полезный вывод из теоремы: если однородная система n уравнений с n неизвестными имеет нетривиальное решение, то её определитель равен 0.

studfiles.net

8. Формулы Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

 = det (a_ij)

и n вспомогательных определителей  _i (i=), которые получаются из определителя  заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

  x_i=  _i( i  =

).                                                (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x _i=  _i/ .

Если главный определитель системы  и все вспомогательные определители  _i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы  = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример 2.14. Решить методом Крамера систему уравнений:

                                               x₁ +   x₂ +  x₃ +      x₄ = 5,

                                               x₁ + 2x₂ –   x₃ +    4x₄ = -2,

                                             2x₁ –  3x₂ –   x₃ –     5x₄ = -2,

                                             3x₁ +   x₂ +2x₃ + 11 x₄ = 0.

Решение. Главный определитель этой системы

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители  _i ( i = ), получающиеся из определителя  путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x_i, столбцом из свободных членов:

Отсюда x₁ =  ₁/ = 1, x₂ =  ₂/ = 2, x₃ =  ₃/ = 3, x₄ =  ₄/ = -1, решение системы – вектор С=(1, 2, 3, -1)^T.

9. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 2.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:

                                                      x +  y – 3z = 2,

                                                    3x – 2y +  z = – 1,

                                                    2x +  y – 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

                                                    x + y – 3z = 2,

                                                    -5y + 10z = -7,

                                                           – 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = – 0,7.

studfiles.net

§1. Основные определения

11

ЛЕКЦИЯ 3

Тема Системы линейных уравнений

В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:

(1)

При этом через x₁, x₂,…, x_n обозначены неизвестные, подлежащие определению, причем, их число n, не предполагается обязательно равным числу уравнений m. Величины a₁₁, a₁₂,…, a_mn , называемые коэффициентами системы, и величины b₁, b₂,…, b_n, называемые свободными членами, предполагаются известными.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел c₁, c₂,…, c_n , что каждое из уравнений (1) обращаются в верное числовое равенство после замены в нем неизвестных x_i соответствующими числами c_i , i=1,2,…,n.

Система уравнений называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Например, система

является несовместной, ибо в противном случае мы получили бы, что 1=3.

Решить систему уравнений означает найти все её решения или доказать, что она несовместна.

Два решения совместной системы с₁, с₂, …, с_n и d₁, d₂, …, d_n называют-

ся различными, если нарушается хотя бы одно из равенств с₁=d₁, c₂=d₂, …

…, c_n=d_n.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если у нее существуют, по крайней мере, два различных решения.

Система уравнений называется однородной, если свободные члены всех её уравнений равны нулю.

Очевидно, однородная система всегда совместна, ибо обладает решением x₁=0, x₂=0,…, x_n=0 (т.н. тривиальное решение).

Можно доказать, что, если система уравнений имеет два различных решения, то она имеет бесконечное множество решений.

Справедливость этого наглядно проявляется в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными:

(2)

Каждое уравнение системы (2) определяет на плоскости Oxy некоторую прямую. Решение системы (2) – это координаты общей точки двух прямых. Но у двух прямых может не существовать общих точек, быть только одна общая точка или бесконечно много общих точек ( если прямые совпадают ).

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (равносильными), если они или обе несовместимы, или же обе совместны и обладают одними и теми же решениями.

§2. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений

Рассмотрим случай, когда число уравнений системы совпадает с числом уравнений. (т.н. квадратная система):

(1)

Матрицу, составленную из коэффициентов системы (1), А=(а_ij), называют основной матрицей системы, а её определитель Δ=det(A) называют определителем системы.

Теорема. Квадратная система (1) с отличным от нуля определителем имеет решение, и притом, единственное. Его можно найти по формулам

(2)

где Δ_j – это определитель, получающийся из определителя Δ после замены в нем j–го столбца столбцом свободных членов системы (1).

Доказательство. Докажем сначала, что числа, определяемые формулами (2), дают решение системы (1). Возьмём левую часть i–го уравнения системы и подставим в нее эти числа, при этом определитель Δ_j разложим по j–му столбцу:

Внутренняя сумма (т.е. множитель, стоящий возлеb_k) в полученном выражении либо равна определителю Δ, если k=i, либо равна 0, если k≠j. Значит во внешней сумме только i–е слагаемое отлично от нуля и вся эта сумма равна b_i·Δ. Откуда получаем, что левая часть i–го уравнения при подстановке (2) равна , т.е. правой части этого уравнения. Итак, числа (2) дают решение системы (1).

Докажем теперь единственность решения (2), для чего предположим, что существуют числа с₁,с₂,…,с_n такие, что:

(3)

есть система верных числовых равенств. Выполним с этими верными равенствами следующее: 1^е умножим на алгебраическое дополнение элемента а₁₁, 2^е – на дополнение элемента а₂₁ и т.д. и почленно сложим. Получим следующее:

(a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁+…+a_n1A_n1)c₁+(a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁+…+a_n2A_n1)c₂+…

…+(a_1nA₁₁+a_2nA₂₁+…+a_nnA_n1)c_n=b₁A₁₁+b₂A₂₁+…+b_nA_n1.

Первая скобка в левой части равна определителю Δ, а все остальные скобки равны 0. Правая же часть есть разложение определителя Δ₁ по первому столбцу. Итак, мы получили

Δ·с₁ = Δ₁.

Если же указанную процедуру повторить, взяв в качестве множителей алгебраические дополнения элементов а₁₂, а₂₂,…,а_n2, то получим

Δ·с₂ = Δ₂

и так далее по аналогии Δ·с_n= Δ_n. Поскольку по условию Δ≠0, то полученные равенства эквивалентны соотношениям

что и означает, что у системы (1) нет других решений кроме тех, что даются формулами Крамера. Теорема доказана.

Значение формул Крамера заключается главным образом в том, что в тех случаях, когда они применимы, эти формулы дают явное выражение для решения системы через коэффициенты и свободные члены. Практическое использование формул Крамера связано с довольно громоздкими вычислениями определителей n–го порядка. К этому следует добавить, что, если коэффициенты уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближенные значения каких-либо измеряемых физических величин или округляются в процессе вычислений, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам и в ряде случаев является нецелесообразным.

Замечание. Из полученных в процессе доказательства равенств

c_j·Δ = Δ_j , j=1,2,…,n

следует важный вывод:

если Δ=0, а хотя бы один из Δ₁, Δ₂,…, Δ_n отличен от 0, то системы (1) решений не имеет; в случае же когда Δ=Δ₁=Δ₂=…=Δ_n=0 система (1) может быть или несовместной, или неопределенной.

И еще один полезный вывод из теоремы: если однородная система n уравнений с n неизвестными имеет нетривиальное решение, то её определитель равен 0.

studfiles.net