Формулы крамера для решения системы линейных уравнений: I.3. Метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений

Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений — Студопедия

Поделись  

 

Пусть дана система линейных уравнений (для простоты возьмем систему 4-го порядка)

(2.1)

 

Введем специальные обозначения, где D – определитель системы

 

; ; ; ; (2.2)

.

 

Если D ¹ 0, то система является определенной, т.е. имеет единственное решение в виде соотношений, которые и называются формулами Крамера

 

; ; ; , (2.3)

 

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

 

Элементарными преобразованиями называются следующие 3 типа преобразований:

1. Перестановка двух уравнений системы.

2. Умножение обеих частей уравнений системы на любое число неравное нулю.

3. Прибавление (вычитание) к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число, отличное от нуля.

Пусть дана система

 

(2.4)

 

Будем исключать неизвестное x₁ из всех уравнений системы (2.4), кроме первого. Назовем x₁ – ведущим неизвестным, а коэффициент a₁₁ – ведущим коэффициентом. Разделив первое уравнение на a₁₁ (это возможно если a₁₁ ¹ 0), получим:

 

.

Обозначим

 

; ; ; ;

и вообще

 

, (j > 0) ,

тогда

 

или

 

. (2.5)

 

Дальнейшее решение системы уравнений (2.4) методом Гаусса представляет собой ряд последовательных шагов:

1. Для исключения неизвестного вычтем из второго уравнения системы (2.4) уравнение (2.5), умноженное на

a₂₁ :

 

−

___________________________________________________________

 

Обозначим

 

.

 

Перепишем полученное уравнение в виде

 

.

 

2. Из третьего уравнения системы (2.4) вычтем уравнение (2.5) умноженное на

–

________________________________________________________

 

 

Обозначим

.

 

Перепишем полученное уравнение в виде

 

.

 

3. Из четвертого уравнения системы (2.4) вычитаем уравнение (2.5), умноженное на . Применив аналогичные преобразования, получим следующее уравнение:

,

 

где

.

 

В результате элементарных преобразований имеем систему 3-х уравнений с тремя неизвестными, эквивалентную системе (2.4) :

 

(2.6)

,

 

где коэффициент вычисляется по формуле

 

.

 

Разделив далее коэффициент первого уравнения системы (2.4) на ведущий коэффициент , получим первое уравнение системы в виде :

 

,

 

обозначим , где j > 2 , тогда первое уравнение системы (2.4) примет вид :

 

или

 

.

 

Исключая теперь из всех уравнений системы (2.4), кроме первого, мы получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

 

, (2.7)

 

где , .

Разделив коэффициенты первого уравнения системы (2.7) на ведущий коэффициент и ведущий коэффициент получим

 

, (2.8)

где , j > 3, то есть .

 

Исключив теперь х₃ , аналогичным путем из системы (2.8), находим:

 

, (2.9)

где

 

, ;

отсюда

 

. (2.10)

 

Остальные неизвестные системы последовательно определяются из уравнений (2.5, 2.8, 2.9, 2.10):

 

;

;

;

.

 

Таким образом, процесс решения системы линейных уравнений по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы уравнений (2.5, 2.8, 2.9, 2.10, …).

Метод Гаусса применим при условии, что все ведущие коэффициенты отличны от нуля.

Для удовлетворения данных условий вычисления проводятся по схеме единственного деления.

 

 

ЛЕКЦИЯ 3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

Приближенные методы решения систем линейных уравнений позволяют получать значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов. Процесс повторения такой последовательности называется итерационным (повторяющимся).

Эффективность применения приближенных методов зависит от удачного выбора начального вектора и быстроты сходимости процесса. Мы рассмотрим два метода – метод последовательных приближений и метод Зейделя.



Метод Крамера – вывод формул — Мегаобучалка

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

При изучении материала Вам может быть полезна статья вычисление определителя матрицы, свойства определителя.

Навигация по странице.

• Метод Крамера – вывод формул.
• Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
• Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Метод Крамера – вывод формул.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида

где x₁, x₂, …, x_n – неизвестные переменные, a_{i j} , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b₁, b₂, …, b_n – свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x₁, x₂, …, x_n при которых все уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B, где – основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, – матрица – столбец свободных членов, а – матрица – столбец неизвестных переменных.

После нахождения неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n, матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество .

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. (Методы решения систем при разобраны в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений).

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

1. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю:

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x₁. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А

1 1 , обе части второго уравнения – на А_{2 1} , и так далее, обе части n-ого уравнения – на А_{n 1} (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А):

Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n, и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:

Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем

и предыдущее равенство примет вид

откуда

Аналогично находим x₂. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы

А:

Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n и применяем свойства определителя:

Откуда
.

Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить

то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера .

Замечание.

Если система линейных алгебраических уравнений однородная, то есть , то она имеет лишь тривиальное решение (при ). Действительно, при нулевых свободных членах все определители будут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Следовательно, формулы дадут .

К началу страницы

матриц – Решение системы линейных уравнений с использованием правила Крамера

Задавать вопрос

спросил 2 года, 6 месяцев назад

Изменено 2 года, 6 месяцев назад

Просмотрено 100 раз

$\begingroup$ 9{2}\end{vmatrix}$$ В итоге мы поменяем на на m . 2)(c-a) \\ &= (b-a)(c-a)[c+a – (b+a)] \\ &= (b-a)(c-a)(c-b). \конец{разделить} $$

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Используйте правило Крамера, чтобы решить следующую систему линейных уравнений. Найдите Dx, Dy, Dz и определитель. Дайте значение у.

Предварительный расчет

Руди О.

спросил 26.03.20

4x – 3y + z = 29

6x + 9y – 2z = 6

3x – 2y + 4z = 31

Подписаться І 1

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

ЖАК Д. ответил 26.03.20

Репетитор

4,8 (59)

Физика, Химия, Математика – Без проблем!

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Правило Крамера довольно крутое, но вам нужно уметь находить определитель матрицы 3×3. D – определитель матрицы коэффициентов. Dx, Dy и Dz являются определителями матриц с i-м столбцом (i = x, y или z), замененным столбцом вектора решения. Если у вас есть это, то

x = Dx/D, y = Dy/D и z = Dz/D

определитель матрицы коэффициентов равен |4 -3 1|

|6 9 -2| = 4*9*4 +(-3*-2*3) + 1*6*-2 -3*9*1-(-2*-2*4)-4*-3*6 =

| 3 -2 4| 179

определитель, Dy равен |4 29 1|

|6 6 -2| = 4*6*4+29*-2*3+1*6*31-1*6*3-4*-2*31-4*29*6=

|3 31 4| -358

Следовательно, y = (-358/179) = -2

Кстати, вектор решения (x y z) = (5 -2 3)

Остальное я оставлю вам.

Голосовать за 1 Понизить

Подробнее

Отчет

Омкар А. ответил 26.03.20

Репетитор

Новое в Византе

NCSU Engineering ’23

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Составьте матрицу, используя коэффициенты уравнений

D=[4,-3,1] Определитель = 179

[6,9,-2]

[3,-2,4]

Далее составьте матрица, заменяющая первый столбец числами в правой части каждого уравнения

[29,-3, 1] Dx = 895

[6, 9,-2]

[31,-2, 4]

Составьте матрицу, заменив второй столбец числами справа для Dy

[4,29,1] Dy= -358

[6,6,-2]

[3,31,4]

В последнюю очередь составьте матрицу для Dz и замените третий столбец числами справа

[4,-3,29] Dz = 537

[6, 9, 6]

[3,-2,31]

Теперь, когда у вас есть определители для каждой матрицы, вы уже ответили на большую часть вопроса.