Формулы математика производные: Таблица производных, таблица производных функций для студентов и школьников

Урок 12. производная степенной функции – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №12. Производная степенной функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• разбор понятия производной степенной функции;
• вычисление производной степенной функции;
• знакомство с правилами вычисления производных одночлена и многочлена.

Глоссарий по теме

Формула для вычисления производной степенной функции xⁿ, где n – произвольное натуральное число, такова:

(xⁿ) ‘ =nx^n-1

Формула для вычисления производной степенной функции (kx+b)^p:

((kx+b)^p) ‘ = pk(kx+b)^p

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Формула для вычисления производной степенной функции xⁿ, где n – произвольное натуральное число, такова: (xⁿ)’=nx^n-1.

Нам уже известна формула производной функции х²: (x²)’=2x.

Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:

(x³) ‘ = (x²·x) ‘ = (x²) ‘ · x + x² · (x) ‘ = 2x·x+x²·1 = 3x²;

(x⁴) ‘ = (x³

Заметим, что

(x²) ‘ = 2x^2-1

(x³) ‘ = 3x^3-1

(x⁴)’=4x^4-1

Т. е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n, равного 5, 6 и т.д.

Пример 1.

Докажем что, , при .

Решение:

1. представим как х^-1;
2. воспользуемся формулой (1): (х^-1)’=-1·x^-1-1=-x^-2;
3. вернемся к первоначальному виду

.

В более сложных случаях, например, при нахождении производной функции (3х-1)⁷, можно воспользоваться следующей формулой:

((kx+b)^p)’=pk(kx+b)^p-1

Пример

Найдем производную функции (3х-1)⁷.

Решение:

воспользуемся формулой (2)

((3х-1)⁷)’=21(3x-1)⁶.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Вычислить f’(9), если .

Решение:

;

.

Пример 2

Доказать, что на промежутке:

1. x>0;
2. x<0.

Доказательство:

1. если x>0, то и по формуле (1) получаем:

.

1. если x<0, то и по формуле (2) получаем:

.

Правила дифференцирования в математике | univer-nn.ru

Производная алгебраической суммы функций

выражается следующей теоремой.

Теорема 1. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Следствие. Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

Производную произведения функций определяет

Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой, т. е.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cv)’ = cv’ (с = const). 6, {x, 3}]

Или несколько раз запишем символ штриха:

Sin''[x]

Также, как и в предыдущих разделах, формулы математического анализа доступны через естественную форму ввода:

product rule formula

Справочная информация: Математический анализ »

Hands–on Start to
Wolfram Mathematica »

Полная документация »

Demonstrations Project »

Понятие производной. Правила и формулы дифференцирования функции. Дифференциал

Тема: « Понятие производной. Правила и формулы дифференцирования функции. Дифференциал ». 1) Производная функции – это функция, которая обозначается «штришком» f ‘ (х) , х) , ) , g’ (х) , х) , ), h’ (х) , х) , ) , y’ ….. 2) Процесс вычисления производных) , называется дифференцированием функции. 3) 4) !!!!!! Значение производной функции в точке х) , 0 – это число. 5) Основные правила нах) , ождения производных) , : 1. Производная от суммы (х) , разности) нескольких) , функций равна сумме (х) , разности) производных) , этих функций: (х) , f (х) , x) + g (х) , x))’ = f ‘ (х) , x) + g’ (х) , x), (х) , f (х) , x) – g (х) , x))’ = f ‘ (х) , x) – g’ (х) , x). 2. Постоянный множитель выносят за знак производной: (х) , k ·f (х) , х) , )) ‘ = k ·f ‘ (х) , х) , ). 3. Производная произведения двух) , функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и первой функции на производную второй: (х) , f (х) , x) g (х) , x))’ = f ‘ (х) , x) g (х) , x) + f (х) , x) g’ (х) , x), Другими словами, производная от произведения двух) , функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции. 4. Производная от дроби (х) , частного двух) , функций) вычисляется по формуле Определение. Рассмотрим функции f (х) , x) и g (х) , x) . Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида f (х) , g (х) , x)) При этом функцию f (х) , x) называют внешней функцией, а функцию g (х) , x) – внутренней функцией. 5. Производная сложной функции вычисляется по формуле [ f (х) , g (х) , x))]’ = f ‘ (х) , g (х) , x)) g’ (х) , x) Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x . Таблица производных часто встречающихся функций Функция Формула для производной Название формулы y = c , где c – любое число y’ = 0 Производная от постоянной функции (х) , числа)

формулы, значение, как писать функции

Производная функции – одно из фундаментальных понятий в математике, без понимания которого становится невозможным решение большинства математических и физических задач. Что же это такое?

Производная функции — краткое описание, суть

Если совсем просто, то:

Производная – это скорость изменения функции в данной точке.

Выражаясь математическим языком, это предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Формула:

Она понимается в двух смыслах: геометрическом и физическом.

Геометрический смысл: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения. Таким образом, значение скорости в определённый момент времени t₀ определяется по формуле:

Вычисление производной называется дифференцированием. Обратный процесс – интегрированием.

Основные правила нахождения производных

Дифференцирование строится на следующих правилах.

Правило №1: производная от произведения числа на функцию равна

(c * f (x))’ = c * f’ (x),

где с – любое число.

Правило №2: производная от суммы функций равна

(f (x) + g (x))’ = f ‘ (x) + g’ (x).

Правило №3: производная от разности функций равна

(f (x) – g (x))’ = f ‘ (x) – g’ (x).

Правило №4: производная от произведения двух функций равна

(f (x) g (x))’ = f ‘ (x) g (x) + f (x) g’ (x).

Правило №5: производная от дроби равна

Существует и так называемая сложная функция (композиция функции) вида f (g(x)). В данном случае f (x) считается внешней функцией, g (x) – внутренней.

Правило дифференцирования сложной функции

Производная сложной функции вычисляется по формуле:

[ f (g (x))]’ = f ‘ (g (x)) g’ (x).

Задача: продифференцировать (x+2)¹⁰. Обозначим её как u=x+2.

Решение: так как (x¹⁰)’=10x⁹,

то ((x+2) ¹⁰)’=(u¹⁰)’=10u⁹⋅u’=10(x+2) ⁹⋅1=10(x+2) ⁹.

Ответ: 10(x+2) ⁹.

Логарифмическая производная

Логарифмическая производная — это производная от натурального логарифма функции.

Вычисляется по формуле:

Часто применяется для упрощения дифференцирования некоторых функций.

Пример поиска производной

Пусть y = y(x).

Для удобства прологарифмируем данную функцию:

ln y = ln y(x).

Теперь вычислим производную по правилу дифференцирования сложной функции:

Из этого следует, что

Тогда ответ:

Производная обратной функции

Теорема: для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равная обратной величине производной данной функции.

Общая формула:

Формулы и пример решения

Производные обратных тригонометрических функций:

Задача: продифференцировать y=x²-7lnx.

Решение: находим по формуле

отсюда

Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция задана параметрическим уравнением:

Тогда производная равна:

Формулировка, решение примеров

Задача: продифференцировать функцию.

Решение: (при записи производной всегда необходимо писать t в нижнем индексе)

Подставляем в формулу:

Ответ:

В ответе составляется система, в которой кроме полученной производной необходимо писать х = t – 4.

Производная неявной функции

Если функция у = у(х) задана уравнением F (x; y(x)) = 0 то говорят, что она задана неявно.

Теоретическое обоснование

Для нахождения производной неявной функции нужно:

1. Продифференцировать обе части уравнения по независимой переменной х предполагая, что у – это дифференцируемая по х функция.
2. Решить полученное уравнение относительно производной у’ (х).

Решение в примерах

Задача: решить функцию , заданную неявно:

Решение:

1) перенесём 3у -1 в левую часть и дифференцируем обе части равенства

Получим

Считая, что у – это функция от х, находим производную как от сложной функции:

Тогда

Для заданной функции имеем:

2) Решаем полученное уравнение относительно у’:

Ответ:

Полная таблица производных

Приводим табличную форму, которая существенно облегчает вычисления:

Формул из этого списка достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Решение элементарных производных, примеры

Задача№1: найти производную функции

Решение: данная функция является сложной, поэтому

Ответ:

Задача №2: найти производную функции 

Решение:

Ответ:

Изучение производных и интегралов занимает большое количество времени. ФениксХэлп может помочь вам в решении контрольных и самостоятельных работ по этой теме и многим другим.

Производные высших порядков. Правила и примеры

Под производной высших порядков понимают дифференцирования функции более одного раза. Если производнуюповторно дифференцировать, то получим производную второго порядка, или вторую производную функции , и она обозначается

Производная третьего порядка будет иметь вид

Аналогично получают формулы для нахождения производных высших порядков. При нахождении производной порядке необходимо иметь производную порядка. Исключение составляют функции для которых можно заметить тенденцию изменения производных. Это степенные, некоторые тригонометрические и экспоненциальные функции:

В других случаях, для нахождения производных высших порядков от заданной функции нужно последовательно находить все ее производные низших порядков. Для практического усвоения материала рассмотрим примеры.

Пример 1.

Вычислить производные второго порядка

1)

2)

3)

4)

Решение.

1) По правилам дифференцирования параметрических функций имеем

Применим к заданной функции. Найдем производную

Дифференцируем второй раз. По правилу дифференцирования получим

По формуле вычисляем

2)Определяем первую производную для функции

Вычисляем вторую производную

3)Вычислим первую производную

а потом вторую

При нахождении производной второго и высших порядков для данного примера и ему подобных можно пользоваться следующим правилам:

1) если степень функции меньше порядка производной , то она вклада не дает

2) все старшие степени дают вклад

По такой схеме вторую производную можно было найти так:

Для практики второй способ эффективнее, особенно если нужно найти производные гораздо более высоких порядков чем второй.

4) Производную функции первого порядка будет иметь вид

второго порядка

По аналогии можно вывести формулу для производной экспоненциальной функции порядка

Решая примеры для синус и косинус функций можно заметить сходство при исчислении старших производных и вывести следующие зависимости

Пользуйтесь и пусть не возникают проблемы с производными высших порядков.

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Денис Стехун (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Валентин Малявко (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2),

Введение в производные инструменты

Все дело в наклоне!

Давайте найдем производную!

Чтобы найти производную функции y = f (x), воспользуемся формулой наклона:

Наклон = Изменение в иен Изменение X = Δy Δx

И (из схемы) видим, что:

Теперь выполните следующие действия:

• Заполните эту формулу наклона: Δy Δx = f (x + Δx) – f (x) Δx
• Упростите как можно лучше
• Затем сделайте Δx сжатием до нуля.

Как это:

Пример: функция

Мы знаем f (x) = x ² , и мы можем вычислить f (x + Δx) :

Формула наклона: f (x + Δx) – f (x) Δx

Положите f (x + Δx) и f (x) : x ² + 2x Δx + (Δx) ² – x ² Δx

Упростить (x ² и −x ² отменить): 2x Δx + (Δx) ² Δx

Еще больше упростить (разделить на Δx): = 2x + Δx

Тогда , поскольку Δx направляется к 0 , получаем: = 2x

Результат: производная x ² равна 2x

Другими словами, наклон в точке x равен 2x

Мы пишем dx вместо “Δx головок по направлению к 0” .

И «производная от» обычно пишется d dx вот так:

d dx x ² = 2x
“Производная x ² равна 2x ”
или просто “d dx x ² равно 2x ”

Итак, что означает

Это означает, что для функции x ² наклон или «скорость изменения» в любой точке составляет 2x .

Итак, когда x = 2 , наклон равен 2x = 4 , как показано здесь:

Или, когда x = 5 , наклон равен 2x = 10 и так далее.

Примечание: f ’(x) также может использоваться как« производная от »:

f ’(x) = 2x
” Производная f (x) равна 2x “
или просто ” f-тире x равно 2x “

Попробуем другой пример.

Пример: Что такое

Мы знаем f (x) = x ³ и можем вычислить f (x + Δx) :

Формула наклона: f (x + Δx) – f (x) Δx

Положите f (x + Δx) и f (x) : x ³ + 3x ² Δx + 3x (Δx) ² + (Δx) ³ – x ³ Δx

Упростить (x ³ и −x ³ отменить): 3x ² Δx + 3x (Δx) ² + (Δx) ³ Δx

Еще больше упростить (разделить на Δx): 3x ² + 3x Δx + (Δx) ²

Тогда , поскольку Δx направляется к 0 , мы получаем: 3x ²

Результат: производная x ³ равна 3x ²

Поиграйте с этим с помощью плоттера производных.

Производные от других функций

Мы можем использовать тот же метод для вычисления производных других функций (например, синуса, косинуса, логарифмов и т. Д.).

Пример: какова производная sin (x)?

В правилах производных финансовых инструментов он указан как cos (x)

Готово.

Но пользоваться правилами бывает непросто!

Пример: какова производная от cos (x) sin (x)?

Мы получим неправильный ответ , если попытаемся умножить производную cos (x) на производную sin (x)…!

Вместо этого мы используем «Правило продукта», как описано на странице «Производные правила».

И фактически получается, что cos ² (x) – sin ² (x)

Итак, это ваш следующий шаг: научитесь использовать правила.

Обозначение

«Сжимать к нулю» на самом деле записывается как предел, например:

f ’(x) = lim Δx → 0 f (x + Δx) – f (x) Δx

«Производная f равна
пределу, когда Δx стремится к нулю f (x + Δx) – f (x) по Δx»

Или иногда производная записывается так (объяснено в Производных как dy / dx):

dy dx = f (x + dx) – f (x) dx

Процесс нахождения производной называется «дифференцированием».

Вы, , проводите дифференциацию … до получаете производную.

Куда дальше?

Иди и узнай, как находить деривативы с помощью правил деривативов, и получи много практики:

Производный инструмент

Определение производного инструмента

Дана производная функции f ( x ) в точке и обозначается

Некоторые базовые производные инструменты

В таблице ниже u , v и w являются функциями переменной х . a , b , c и n – константы (с некоторыми ограничениями всякий раз, когда они применяются). обозначить натуральный логарифмический функция и e естественная база для. Напомним, что .

Правило цепочки

Последняя формула

известна как формула цепного правила. Его можно переписать как

Другая аналогичная формула дается формулой

Производная обратной функции

Обратной функцией y ( x ) является функция x ( y ), мы имеем

Производные тригонометрических функций и их обратные

Напомним определения тригонометрических функций

Производная экспоненциальной и логарифмической функций

Напомним определение функции логарифма с основанием a > 0 (с ):

Производная гиперболических функций и их обратных

Напомним определения тригонометрических функций

Производные высшего порядка

Пусть y = f ( x ).У нас есть:

В некоторых книгах также используются следующие обозначения для высших производных. использовал:

Формула высшей производной для продукта: Формула Лейбница

где находятся биномиальные коэффициенты. Например, у нас есть

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем С.2}}} \ normalsize \)

3.1 Формулы дифференцирования

3. 1 Формулы дифференцирования

Следующие правила позволяют нам находить алгебраические формулы для производной наиболее дифференцируемых функций мы умеем записывать.

3.1.1 Производная постоянной функции

, г. для любой постоянной c Доказательство 1

3.1.2 Производная от функции идентичности

Доказательство 2

3.1.3 Правило суммы

Доказательство правила сумм

Пример правила сумм

3.1.4 Правило продукта

В частности

Подтверждение правила продукта

Пример правила продукта

3.1.5 Правило цепочки

y = f (u), u = g (x), f и g дифференцируемы.

Затем

Пример цепного правила

Доказательство цепного правила

3.1.6 Неявная дифференциация

Предположим, что функция f (x) определяется уравнением: g (f (x), x) = 0, а не по явной формуле.

Тогда g является функцией двух переменных, x и f.

Таким образом, g может измениться, если f изменяется, а x – нет, или если x изменяется, а f – нет.

Пусть изменение g, возникающее из-за изменения df, в f и отсутствия в x, будет a (f, x) df, и пусть изменение в g от изменения, dx, в x, а не в f, равно b (f, x).

Полное изменение g должно равняться нулю, поскольку g является константой (0), что дает нас

a (f, x) df + b _{(f, x) dx = 0}

или

Комментарий к неявной дифференциации

Примеры неявного дифференцирования

3.1.7 Правило частного

В частности,

Доказательство правила частного

Пример правила частного

3.1.8 Правило силы

для любая степень n, целая, рациональная или иррациональная.

следовательно,

означает

Правило доказательства силы

Пример правила мощности

3: Производные – математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

1. Соавторы и атрибуция

Вычисление скорости и ее изменений – важные области применения исчисления, но они гораздо более распространены, чем это.Исчисление важно во всех областях математики, естественных наук и инженерии, а также для анализа в бизнесе и здравоохранении. В этой главе мы исследуем один из основных инструментов исчисления, производную, и покажем удобные способы вычисления производных. В этой главе мы применяем эти правила к различным функциям, чтобы затем можно было изучить приложения этих методов.

• 3.0: Введение к производным

  Вычисление скорости и ее изменений – важные области применения исчисления, но они гораздо более распространены, чем это.Исчисление важно во всех областях математики, естественных наук и инженерии, а также для анализа в бизнесе и здравоохранении. В этой главе мы исследуем один из основных инструментов исчисления, производную, и покажем удобные способы вычисления производных. Мы применяем эти правила к различным функциям в этой главе, чтобы затем мы могли изучить приложения

• 3.1: Определение производной

  Наклон касательной к кривой измеряет мгновенную скорость изменения кривая.Мы можем вычислить его, найдя предел отношения разности или отношения разности с приращением h. Производная функции f (x) при значении a находится с использованием любого из определений наклона касательной. Скорость – это скорость изменения позиции. Таким образом, скорость v (t) в момент времени t является производной от положения s (t) в момент времени t.

• 3.2: Производная как функция

  Производная функции f (x) – это функция, значение которой в x равно f ′ (x).График производной функции f (x) связан с графиком f (x). Где (f (x) имеет касательную с положительным наклоном, f ′ (x)> 0. Где (x) имеет касательную с отрицательным наклоном, f ′ (x) <0. Где f (x) имеет горизонтальную касательная, f ′ (x) = 0. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

• 3.3: Правила дифференцирования

  Производная постоянной функции равна нулю. Производная степенной функции – это функция, в которой степень x становится коэффициентом члена, а степень x в производной уменьшается на 1.Производная константы c, умноженная на функцию f, такая же, как константа, умноженная на производную. Производная суммы функции f и функции g такая же, как сумма производной функции f и производной функции g.

• 3.4: Производные как скорость изменения

  В этом разделе мы рассмотрим некоторые применения производной, сосредоточив внимание на интерпретации производной как скорости изменения функции. Эти приложения включают ускорение и скорость в физике, темпы роста населения в биологии и маргинальные функции в экономике.

• 3.5: Производные тригонометрических функций

  Мы можем найти производные sin x и cos x, используя определение производной и предельные формулы, найденные ранее. С помощью этих двух формул мы можем определить производные всех шести основных тригонометрических функций.

• 3.6: Правило цепочки

  Ключевые концепции Правило цепочки позволяет нам различать композиции из двух или более функций. {n − 1} g ′ (x) \).

• 3.7: Производные обратных функций

  Теорема об обратной функции позволяет нам вычислять производные от обратных функций без использования предельного определения производной. Мы можем использовать теорему об обратной функции, чтобы получить формулы дифференцирования для обратных тригонометрических функций.

• 3.8: Неявное дифференцирование

  Мы используем неявное дифференцирование, чтобы найти производные от неявно определенных функций (функций, определяемых уравнениями).Используя неявное дифференцирование, мы можем найти уравнение касательной к графику кривой.

• 3.9: Производные экспоненциальных и логарифмических функций

  В этом разделе мы исследуем производные экспоненциальных и логарифмических функций. Как мы обсуждали во введении в функции и графики, экспоненциальные функции играют важную роль в моделировании роста населения и распада радиоактивных материалов. Логарифмические функции могут помочь масштабировать большие количества и особенно полезны при переписывании сложных выражений.

• 3R: Упражнения по обзору глав

Эскиз: деривативы (CC BY; OpenStax)

Авторы и авторство

• Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами. Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

6. Производные продукты и коэффициенты

М.Борн

ПРАВИЛО ПРОДУКТА

Если u и v – две функции от x , то производная от произведения uv дается как …

`(d (uv)) / (dx) = u (dv) / (dx) + v (du) / dx`

На словах это можно запомнить как:

“Производная произведения двух функций – это первое, умноженное на производное второго, плюс второе, умноженное на производное первого. «

Откуда взялась эта формула? Как и все встречающиеся нам формулы дифференцирования, она основана на производных от первых принципов.

Пример 1

Если у нас есть такой товар, как

y = (2 x ² + 6 x ) (2 x ³ + 5 x ² )

мы можем найти производную, не умножая выражение справа.2) `(в главе« Дифференциация трансцендентных функций ».) Это выражение нельзя умножить почленно, поэтому нам нужен метод, чтобы дифференцировать произведения таких функций.

Примечание

Мы можем написать правило продукта разными способами:

`(d (uv)) / (dx) = uv’ + vu’`

ИЛИ

`(d (fg)) / (dx)` `= f (x) d / (dx) g (x) + g (x) d / (dx) f (x)`… и т. Д.

ЧАСТНОЕ ПРАВИЛО

(частное – это всего лишь дробь.2) `

Формула производной

Формулы производных

Производная – это скорость изменения функции по отношению к переменной. После изобретения производной функции Ньютоном и Лейбницем примерно в 17 веке она широко используется в области математики и физики.

Вот некоторые из важных формул производной: –

Пусть u, v и w являются функциями переменной x, а a, b, c постоянны, тогда

Производная тригонометрической функции и обратная им:

Производная экспоненциальной и логарифмической

Отклонение гиперболических функций и их обратных
Напомним определение тригонометрических функций тригонометрических функций.


Производные высшего порядка
Пусть y = f (x), мы имеем:

Вторая производная:
Третья производная:
n-я производная:
В некоторых книгах также используются следующие обозначения для высших производных:
Формула высшей производной для продукта: Формула Лейбница
Применение производных
i.