Правила и формулы нахождения производных. Производная сложной функции.
Основные правила дифференцирования:
Производная постоянной равна нулю, т.е. .
Производная аргумента равна единице, т.е. .
Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е. .
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. .
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .
Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле (при условии, что ).
Производная сложной функции. Пусть задана сложная функция .
Теорема. Если
Производные основных элементарных функций (таблица производных):
Производная логарифмической функции.
А) и
Б) и.
Производная показательной функции.
А) и.
Б) и.
Производная степенной функции.
и .
.
Производная тригонометрических функций.
и ;
и ;
и ;
и .
Производная обратных тригонометрических функций.
и ;
и ;
и .
Пример. Найти производные следующих функций:
Производные высших порядков.
Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее первой производной, т.е., и обозначаетсяили
Аналогично определяются и обозначаются: производная 3-го порядка ; производная 4-го порядка; ………… производная-го порядка.
Пример. Найти производную 2-го и 3-го порядка:
А) |
Понятие дифференциала и его геометрический смысл.
Пусть функция определена на промежуткеи дифференцируема в окрестности точки,тогдаили по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем, где бесконечно малая величина при . Отсюда:. Таким образом, приращение функции
Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:.
Пример. Найти приращение функции прии
Пример. Найти дифференциал функции .
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:.
Тогда формулу для дифференциала функции можно записать в виде: . Откуда
Геометрический смысл. На графике функции (рис. 5.) возьмем произвольную точку . Дадим аргументу
Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когдаполучает приращение.
Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:
Формула дифференциала не изменится, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной
Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Согласно формулы , т.е., при достаточно малых значенияхприращение функцииприблизительно равно ее дифференциалу,. Эту формулу часто используется в приближенных вычислениях.
Пример. Вычислить .
studfiles.net
Формулы производных
Что такое производная функция – это основное математическое понятие, находится на одном уровне с интегралами, при анализе. Данная функция в определенной точке дает характеристику скорости изменений функции в данной точке.
Такие понятия как дифференцирование и интегрирование, первое расшифровывается как действие поиска производной, второе наоборот, восстанавливает функцию отталкиваясь от данной производной.
Вычислениям производной отводится важная часть в дифференциальных расчетах.
Для наглядного примера, изобразим производную на координатной плоскости.
в функции у=f(х) фиксируем точки М в которой (х0; f(X0)) и N f (x0+?x) к каждой абсциссе есть приращение в виде ?x. Приращением называется процесс когда изменяется абсцисса, тогда меняется и ордината. Обозначается как ?у.
Найдем тангенс угла в треугольнике MPN используя для этого точки М и N.
tg? = NP/MP = ?у/?x.
При ?x идущем к 0. Пересекающая МN все ближе к касательной МТ и угол ? будет ?. Следовательно, tg ? максимальное значение для tg ?.
tg ? = lim от ?x-0 tg ? = lim от ?x-0 ?у/?x
Таблица производныхЕсли проговаривать формулировку каждой формулы производных. Таблица будет проще запоминаться.
1) Производная от постоянного значения равняется 0.
2) Х со штрихом равняется единице.
3) Если есть постоянный множитель, просто выносим ео за производную.
4) Чтобы найти производную степень, нужно показатель данной степени умножить на степень с таким же основанием, у которого показатель на 1 меньше.
5) Поиск корня равен одному, деленному 2 этих корня.
6) Производная одного, деленного на Х равняется одному разделенному на Х возведенный в квадрат, со знаком минус.
7) П синус равняется косинусу
8) П косинус равняется синусу со знаком минус.
9) П тангенс равняется одному, деленному на косинус в квадрате.
10) П котангенс равняется одному со знаком минус, деленная на синус в квадрате.
В дифференцировании также существуют правила, которые тоже проще выучить проговаривая их в слух.
1) Очень просто, п. слагаемых равняется их сумме.
2) Производная в умножении равняется умножению первого значения на второе, прибавляя к себе умножение второго значения на первое.
3) Производная в делении равняется умножению первого значения на второе, отнимая от себя умножение второго значения на первое. Дробь деления на второе значение в квадрате.
4) Формулировка является частным случаем третьей формулы.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
reshit.ru
Формулы производной | Формулы с примерами
ФормулыПриращение аргумента
Приращение функции
Производная функции ?(x) в точке x0
Касательная к графику
Геометрический смысл производной
Уравнение касательной к графику ? (x)
Физический смысл производной
Правила дифференцирования
Таблица производных
Достаточное условие монотонности функции ? (x)
Экстремумы функции ? (x)
Необходимое условие экстремума ? (x)
Достаточное условие экстремума непрерывной в точке x0 функции ? (x)
formula-xyz.ru