Краткий курс высшей математики
Краткий курс высшей математики
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ § 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ 2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой 3. Абсолютная величина действительного числа  Расстояние между двумя точками на прямой§ 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Расстояние между двумя точками на плоскости 3. Деление отрезка в данном отношении 4. Координаты точки в пространстве 5. Расстояние между двумя точками в пространстве § 3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 2. Полярные координаты 3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами § 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 2. Понятие функции 3. График функции 4. Способы задания функций 5. Основные элементарные функции и их графики 6. Сложные функции. Элементарные функции 7. Целые и дробно-рациональные функции 8. Функции четные и нечетные. Периодические функции 2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам § 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 2. Поворот осей координат ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. ПРЯМАЯ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат 4.  Общее уравнение прямой и его частные случаи5. Точка пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению 6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 10. Расстояние от точки до прямой § 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Окружность 3. Эллипс 4. Гипербола 5. Парабола 6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена 8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат 9. График дробно-линейной функции 10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ § 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 3.  Понятие об определителях высших порядков§ 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными 3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными § 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 2. Линейные операции над векторами 4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси 5. Разложение вектора на составляющие по осям координат 6. Направляющие косинусы вектора 8. Скалярное произведение 9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов 10. Косинус угла между двумя векторами 11. Векторное произведение 12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов 13. Смешанное произведение трех векторов 14. Геометрический смысл смешанного произведения 15. Условие компланарности трех векторов § 4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 2.  Равенство матриц. Действия над матрицами3. Обратная матрица 4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени 2. Преобразование координат 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду 4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка ГЛАВА IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. ПЛОСКОСТЬ 2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи 4. Построение плоскости по ее уравнению 5. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей 6. Точка пересечения трех плоскостей § 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Общие уравнения прямой 3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой 4. Канонические уравнения прямой 6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых § 3.  Прямая и плоскость в пространстве2. Точка пересечения прямой с плоскостью 3. Расстояние от точки до плоскости 4. Пучок плоскостей § 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Цилиндрические поверхности 3. Конические поверхности 4. Поверхность вращения 6. Гиперболоиды 7. Параболоиды ГЛАВА V. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 2. Предел функции при х -> -оо 3. Предел функции при х->х0 5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями 6. Основные теоремы о пределах 7. Предел функции при x -> 0 8. Последовательность. Число e 9. Натуральные логарифмы 10. Сравнение бесконечно малых функций § 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций 3. Свойства функций, непрерывных на сегменте 4. Понятие об обратной функции 5. Обратные тригонометрические функции 6. Показательная и логарифмическая функции 7.  ГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1. Приращение аргумента и приращение функции 2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции 3. Задачи, приводящие к понятию производной 4. Определение производной и ее механический смысл 5. Дифференцируемость функции 6. Геометрический смысл производной 7. Производные некоторых основных элементарных функций 8. Основные правила дифференцирования 9. Производная обратной функции 10. Производные обратных тригонометрических функций 11. Производная сложной функции § 12. Производные гиперболических функций 14. Сводная таблица формул дифференцирования 15. Неявные функции и их дифференцирование 16. Уравнения касательной а нормали к кривой 17. Графическое дифференцирование § 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 1. Нахождение производных высших порядков 2.  Механический смысл второй производной§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 2. Производная как отношение дифференциалов 3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций 4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала 5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям § 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 2. Дифференцирование функций, заданных параметрически § 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная 3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой 4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента § 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Теорема Ролля 3. Теорема Лагранжа 4. Правило Лопиталя § 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ 2. Максимум и минимум функции 3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной  Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции5. Применение теории максимума и минимума к решению задач 6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 7. Асимптоты графика функции 8. Общая схема исследования функции и построение ее графика § 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных § 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 3. Таблица основных интегралов 4. Основные свойства неопределенного интеграла § 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 2. Интегрирование методом замены переменной 3. Интегрирование по частям § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби 3. Интегрирование простейших рациональных дробей 4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби 5.  Метод неопределенных коэффициентов6. Интегрирование рациональных дробей § 4. Интегрирование тригонометрических функций 2. Рациональные функции двух переменных 3. Интегралы вида § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Интеграл вида 3. Интегралы видов 4. Интегралы вида § 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ 2. Задача о работе переменной силы § 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Свойства определенного интеграла 3. Производная интеграла по переменной верхней границе 4. Формула Ньютона—Лейбница 5. Замена переменной в определенном интеграле 6. Интегрирование по частям в определенном интеграле § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 2. Вычисление площади в полярных координатах 3.  Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям4. Объем тела вращения 5. Длина дуги кривой 6. Дифференциал дуги 7. Площадь поверхности вращения 8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм § 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 2. Вычисление кривизны 3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны 4. Эволюта и эвольвента § 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Интегралы от разрывных функций 3. Признаки сходимости несобственных интегралов § 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 2. Метод трапеций 3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона) ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. График функции двух переменных 3. Функции трех и большего числа переменных § 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва 2. Непрерывность функции нескольких переменных 3. Понятие области 4.  Точки разрыва5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области § 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных 3. Частные производные высших порядков § 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Полный дифференциал функции 3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям § 5. Дифференцирование сложных и неявных функций 2. Инвариантность формы полного дифференциала 3. Дифференцирование неявных функций § 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 2. Производная по направлению 3. Градиент 4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности 5. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных § 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных ГЛАВА X. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Двойной интеграл. Теорема существования 3. Свойства двойного интеграла 4.  Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 6. Приложения двойного интеграла § 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Тройной интеграл и его свойства 3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 5. Приложения тройного интеграла § 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Задача о работе. Криволинейный интеграл 3. Вычисление криволинейного интеграла 4. Формула Остроградского — Грина 5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования 6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу 7. Криволинейный интеграл по длине дуги ГЛАВА XI. РЯДЫ § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 2. Геометрическая прогрессия 3. Простейшие свойства числовых рядов 4. Необходимый признак сходимости ряда 5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов 6. Знакопеременные ряды 7. Остаток ряда и его оценка § 2.  ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства § 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2. Свойства степенных рядов 3. Ряды по степеням разности х-а 4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена § 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 2. Приближенное вычисление интегралов § 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 2. Числовые ряды с комплексными членами 3. Степенные ряды в комплексной области § 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 2. Ряд Фурье 3. Сходимость ряда Фурье 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 3. Уравнения с разделяющимися переменными 4. Однородные уравнения 5. Линейные уравнения 6. Уравнение в полных дифференциалах 7.  Особые решения8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков § 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка 4. Метод вариации произвольных постоянных § 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 6.  ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ§ 7. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ |
Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Вопросы занятия:
• показать геометрический смысл определённого интеграла;
• показать физический смысл определённого интеграла;
• рассказать историю интегрального исчисления;
• ввести формулу Ньютона-Лейбница.
Материал урока
Давайте рассмотрим задачу.
Пусть в декартовой прямоугольной системе координат дана фигура:
Такую фигуру мы назовем криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции.
Рассмотрим еще одну задачу.
Пусть дан прямолинейный неоднородный стержень.
Нам надо найти массу стержня.
Рассмотрим еще одну задачу.
Пусть по прямой неравномерно движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Надо найти перемещение точки за промежуток времени [a; b].
Итак, при решении каждой задачи, мы получали одну и ту же математическую модель. Задач, которые приводятся к этой же математической модели довольно много. Поэтому возникла необходимость специально изучить данную математическую модель, то есть присвоить ей новый термин, ввести для нее обозначение, научится с ней работать.
Давайте еще раз дадим математическое описание той модели, которую мы использовали в задачах:
В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его обозначают так
Числа a и b называют пределами
интегрирования (соответственно верхним и нижним).
Здесь dx – замена Δx, длин кусочков из которых состоит целое.
Согласно интернет энциклопедии Википедии интегрирование прослеживалось еще в Древнем Египте, примерно в 1800 году до нашей эры. Первым известным методом для расчета интегралов является метод исчерпывания Евдокса, который пытался найти площади и объемы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объем уже известны. Это метод был подхвачен и развит Архимедом. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в третьем веке нашей эры.
Следующий шаг в исчислении интегралов был сделан в Ираке в одиннадцатом веке математиком Ибн аль-Хайсамом. В своей работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвертой степени. Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные вычислению определенного интеграла, чтобы найти объем параболоида.
Следующий значительный прогресс в исчислении
интегралов появился в шестнадцатом веке.
В работах Кавальери с его методом
неделимых, а также в работах Ферма, были заложены основы современного
интегрального исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале семнадцатого
века Барроу и Торичелли,
которые представили первые намеки на связь между интегрированием и
дифференцированием.
В качестве символа интегрирования, Ньютон использовал значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него, но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение было введено Лейбницем в 1675 году. Он образовал интегральный символ из длинной буквы S – сокращения латинского слова сумма. Современное обозначение определенного интеграла, с указанием пределов интегрирования, были впервые предложены Жаном Батистом Жозефом Фурье в 1820.
Введя понятие определенного интеграла, мы можем переписать формулы, полученные при решении наших задач.
Площадь криволинейной трапеции можно найти так:
В этом состоит геометрический
смысл определенного интеграла.
Определение массы прямолинейного неоднородного стержня с плотностью ро от икс можно вычислить так:
В этом заключается физический смысл определенного интеграла.
Определение перемещения материальной точки, движущейся по прямой со скоростью v(t), за промежуток времени [a; b] можно записать так:
Это еще одно физическое истолкование определенного интеграла.
Давайте еще раз вернемся к третьей задаче.
Мы записали, что перемещение точки, которая движется со скоростью v(t), за промежуток времени [a; b] вычисляется по формуле:
С другой стороны, координата движущейся точки – это первообразная для скорости:
В курсе математического анализа доказана следующая теорема:
В 1708 году вспыхнул печально
известный спор Лейбница с Ньютоном о научном приоритете открытия
дифференциального исчисления.
Известно, что Лейбниц и Ньютон работали над
дифференциальным исчислением. Известно также, что Ньютон создал свою версию
математического анализа, «метода флюксий», хоть и опубликовал свои результаты
лишь много лет спустя; Лейбниц же первым опубликовал исчисление бесконечно
малых и разработал символику, которая оказалась настолько удобной, что ее
используют и на сегодняшний день.
Поэтому эту формулу называют формулой Ньютона – Лейбница. На практике вместо разности пишут так:
Такую запись иногда называют двойной подстановкой.
Рассмотрим пример.
Рассмотрим еще один пример.
Давайте попробуем найти некоторые свойства определенного интеграла.
Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.
Докажем это свойство.
Рассмотрим пример.
Свойство 2.
Постоянный
множитель можно вынести за знак интеграла.
Рассмотрим пример.
определенных интегралов | Определение, формулы, примеры
Определенные интегралы обобщают правило нахождения площадей под кривыми с помощью интегралов. В прошлом мы научились работать с первообразными и неопределенными интегралами непрерывных функций. Теперь пришло время изучить, как установить правила и свойства, когда определены ограничения и установлены границы для входных значений.
В этой статье мы покажем вам основные свойства и формулы, необходимые для вычисления и применения определенных интегралов. К концу нашего обсуждения мы хотим, чтобы вы чувствовали себя уверенно при работе с определенными интегралами и их приложениями. 9{b} f(x) \phantom{x}dx}\end{выровнено}
Мы вернулись к области под кривой, но на этот раз у нас есть интервал [a, b]. Мы можем оценить площадь кривой, разделив ее на прямоугольники одинаковой ширины, h = \dfrac{b – a}{n}. Добавление этих сумм приведет к площади кривой — аналогично тому, как мы используем сумму Римана для оценки неопределенных интегралов.
Это означает, что когда нас просят вычислить площадь под кривой функции y = f(x), ограниченной пределами, x = a и x = b, мы просто вычисляем определенный интеграл от f(x) между интервалом x \in [a, b]. 9{n} f(x_i)h\end{выровнено}
Конечно, это математическое определение наиболее полезно, когда вычисление неопределенного интеграла функции является сложной задачей. Численные аппроксимации определенных интегралов сильно зависят от формул этих аппроксимаций для вычисления сложных определенных интегралов.
Формула определенного интеграла (фундаментальная теорема исчисления)
Теперь давайте сосредоточимся на формуле, которую нам легче запомнить и с которой работать. Сняв ограничения на то, чтобы наша функция была непрерывной, а также положительной, мы теперь можем установить математическое определение определенного интеграла функции. 9{b}\\&= [F(b) + C] – [F(a) + C]\\&= F(b) + \cancel{C}- F(a) – \cancel{C}\ \&= F(b) -F(a)\end{выровнено}
Конечно, если мы записываем таким образом вычисления определенных интегралов, со временем это становится утомительным.
Вот почему двигаться вперед; мы можем пренебречь произвольной константой, когда имеем дело с определенными интегралами.
Определенные интегральные свойства и формула
Прежде чем мы приступим к более сложным примерам, мы хотим показать вам некоторые важные определенные интегральные свойства, которые следует запомнить. Вы могли столкнуться с некоторыми из них при работе с первообразными и неопределенными интегралами. 93} \фантом{х}dx = \dfrac{3}{320}.
Интегрирование, неопределенный интеграл, основные формулы и правила
Интегрирование, неопределенный интеграл, основные формулы и правилаSolitaryRoad.com
Владелец сайта: Джеймс Миллер
[ Дом ] [ Вверх ] [ Информация ] [ Почта ]
ИНТЕГРАЦИЯ, НЕОПРЕДЕЛЕННАЯ ИНТЕГРАЦИЯ, ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ФОРМУЛЫ И ПРАВИЛА
По умолчанию Неопределенный интеграл. Неопределенный интеграл функции f(x) — это функция F(x)
производная которой есть f(x). Неопределенный интеграл функции – это первообраз функции.
термины «неопределенный интеграл», «интеграл», «примитив» и «противопроизводная» означают одно и то же.
Они используются взаимозаменяемо. Из четырех терминов наиболее часто используется термин интегральный,
сокращение от неопределенного интеграла. Если F(x) является интегралом от f(x), то F(x) + C также является интегралом от
f(x), где C — любая константа.
По умолчанию Интегрировать (функцию). Чтобы интегрировать функцию, нужно пройти через процесс нахождение интеграла или первообразной функции.
Обозначение, используемое для обозначения интегралов. Обозначение, используемое для обозначения интеграла (или примитив) функции f(x) равен
Это обозначение может показаться немного нелогичным, громоздким и запутанным читателю в первый раз, и он
может задаться вопросом, почему такое сложное обозначение используется для обозначения примитива F(x)
функция f(x). Конечно, простое обозначение, такое как Λ f(x), можно использовать для обозначения примитива f(x).
Зачем использовать такие заумные, запутанные, громоздкие обозначения? Ну, есть причины
обозначение.
Это обозначение логически следует, если предположить, что мы можем использовать обычные алгебраические правила в манипулирование дифференциалами в форме уравнения. Обозначение следует как логическое следствие правила. Например, рассмотрим следующее.
По определению интеграла или примитива мы имеем следующую связь между функция f(x) и ее примитив F(x):
Затем, используя алгебраические правила манипуляции,
Взятие интеграла от обеих сторон,
или
Таким образом, используя правила алгебраической обработки, мы начали с
.и пришел к выводу, что примитив F(x) задается как
Таким образом, это обозначение позволяет нам использовать алгебраические манипуляции при решении задач интегрирования.
Кроме того, большинство задач интегрирования имеют форму определенных интегралов вида
, и мы работаем алгебраически из этой формы.
Источник обозначения, несомненно,
интеграл. Это определенный интеграл без ограничений. Действительно, если вы посмотрите на верхнюю границу b
определенный интеграл 1) в качестве переменной замените его на x, тогда он станет функцией площади
, а функция площади A(x) действительно представляет примитив f(x).
Основные формулы интегрирования. Ниже приведены основные формулы и правила интегрирования, наиболее важные из которых необходимо запомнить. Многие следуют непосредственно из стандартных формул дифференцирования. а и m являются константами.
По умолчанию Вычислить (интеграл). Провести указанное интегрирование, и если это определенный интеграл, подставить пределы интегрирования.
Процесс интеграции. Определение производной носило формальный характер.
процесс, с помощью которого можно найти производную данной функции. Учитывая любой аналитически
определенной функции (алгебраической, тригонометрической и т.
д.) мы можем найти производную от нее через довольно
простой процесс. Иная ситуация с интеграцией. Нет прямого,
прямой процесс интегрирования функции. Процесс выглядит следующим образом: нам предоставляется
интеграл, такой как
для оценки. Для этого спросим себя: «Какой примитив имеет дифференциал f(x)dx?» Мы используем наши знание заученных формул и правил плюс различные приемы, которым мы научились плюс возможно, таблицы интеграции, чтобы попытаться найти примитив, если он существует. Установленной процедуры нет. Часто требуются творческий подход и изобретательность. Обычно мы можем много манипулировать и экспериментировать. Если мы найдем примитив F(x), то интеграл будет равен
, где C — любая константа.
Если нам представят определенный интеграл, такой как
для оценки, тогда решение будет иметь вид
Однако нет никакой гарантии, что существует решение, которое выражается в терминах элементарных
функции.
Например, ни одна из функций
имеют примитивы, которые могут быть выражены в терминах элементарных функций. Нет, например, конечная комбинация элементарных функций (например, алгебраических, тригонометрических, экспоненциальных и т. д.), производная .
Еще от SolitaryRoad.com:
Путь Истины и Жизни
Божье послание миру
Иисус Христос и Его Учение
Мудрые слова
Путь просветления, мудрости и понимания
Путь истинного христианства
Америка, коррумпированная, развратная, бессовестная страна
О честности и ее отсутствии
Критерием христианства человека является то, что он есть
Кто попадет в рай?
Высшее лицо
О вере и делах
Девяносто пять процентов проблем, с которыми большинство людей пришли от личной глупости
Либерализм, социализм и современное государство всеобщего благосостояния
Желание причинить вред, мотив поведения
Учение это:
О современном интеллектуализме
О гомосексуализме
О самодостаточной загородной жизни, приусадебном хозяйстве
Принципы жизни
Тематические пословицы, поучения,
Цитаты.
Общие поговорки. Альманах бедного Ричарда.
Америка сбилась с пути
Действительно большие грехи
Теория формирования характера
Моральное извращение
Ты то, что ты ешь
Люди как радиотюнеры – они выбирают и слушать одну длину волны и игнорировать остальные
Причина черт характера — по Аристотелю
Эти вещи идут вместе
Телевидение
Мы то, что мы едим — живем по дисциплине диеты
Избегание проблем и неприятностей в жизни
Роль привычки в формировании характера.
Истинный христианин
Что такое истинное христианство?
Личные качества истинного христианина
Что определяет характер человека?
Любовь к Богу и любовь к добродетели тесно связаны
Прогулка по одинокой дороге
Интеллектуальное неравенство между людьми и властью в хороших привычках
Инструменты сатаны. Тактика и Уловки, используемые Дьяволом.
О реакции на обиды
Настоящая христианская вера
Естественный путь – Неестественный путь
Мудрость, Разум и Добродетель тесно связаны
Знание одно, мудрость другое
Мои взгляды на христианство в Америке
Самое главное в жизни это понимание
Оценка людей
Мы все примеры — хорошо это или плохо
Телевидение — духовный яд
Перводвигатель, который решает, «Кто мы есть»
Откуда берутся наши взгляды, взгляды и ценности?
Грех — дело серьезное.