Формулы периода в физике: Формула периода колебаний математического маятника

Формула периода колебаний математического маятника

Формула периода колебаний математического маятника

Математический маятник

Определение

Математический маятник – это частный случай физического маятника, масса которого находится в одной точке.

Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.

Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.

Формула для периода колебаний математического маятника

Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($\overline{F}$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:

\[T=\frac{L}{v}=\frac{2\pi R}{v}\left(1\right),\]

где $L$ – длина окружности; $v$ – скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:

\[F_1=\frac{mv^2}{R}\left(2\right). 2}{R}=mg\frac{R}{l}\ \to v=R\sqrt{\frac{g}{l}}\left(4\right).\]

Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:

\[T=\frac{2\pi R}{R\sqrt{\frac{g}{l}}}\to \] \[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(5\right).\]

Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.

Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Как известно, величина ускорения свободного падения зависит от широты. 2}$

Пример 2

Задание. Каким будет период колебаний математического маятника, если точка его подвеса движется вертикально вниз 1) с постоянной скоростью? 2) с ускорением $a$? Длина нити этого маятника равна $l.$

Решение. Сделаем рисунок.

1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:

\[T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(2.1\right).\]

2) Ускорение точки подвеса маятника можно рассматривать как появление дополнительной силы, равной $F=ma$, которая направлена против ускорения. То есть, если ускорение направлено вверх, то дополнительная сила направлена вниз, значит, она складывается с силой тяжести ($mg$). Если точка подвеса движется с ускорением, направленным вниз, то дополнительная сила вычитается из силы тяжести.

Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:

\[T_2=2\pi \sqrt{\frac{l}{a_p}}\left(2. 2\right),\]

где:

\[a_p=g-a\ \left(2.3\right),\]

тогда:

\[T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}.\]

Ответ. 1) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$; 2) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$

Читать дальше: формула периода колебаний пружинного маятника.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

6. Гармонические колебания и их период

Самыми важными в физике являются гармонические колебания. Если, например, мы говорим про колебание грузика на пружинке и обозначаем его координату через y, то его колебание описывается законом

y(t) = y₀ + A cos(ω t + φ₀).

Здесь y₀ — это положение равновесия, относительно которого происходят колебания, A — амплитуда колебания (максимальное отклонение), ω — круговая частота, связанная с обычной частотой и с периодом формулой ω = 2πf = 2π/

T, и, наконец, φ₀ — это начальная фаза колебания, состояние, с которого колебание стартует.

Самый важный факт про гармонические колебания — это то, что это самый естественный способ колебаться практически для любых систем, особенно если амплитуда колебания небольшая. Колебания по косинусу возникают в любых системах с линейным откликом, и означают эти слова вот что. Если взять систему и сместить ее из положения равновесия на величину Δy, то в системе возникает возвращающая сила, линейно пропорциональная этому смещению: F = −kΔy. Величина k определяется упругостью системы (например, жесткостью пружинки), а знак минус означает, что сила стремится вернуть систему в состояние равновесия.

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

Так вот, теперь ключевой момент. Период собственных колебаний — вовсе не произвольная величина. Он четко задается упругими свойствами и инертностью системы (для того же примера грузика на пружинке это жесткость пружинки k и масса грузика m). И это дает нам мощный метод изучения системы:

зная упругие и инертные характеристики системы, мы можем легко узнать характерный период колебаний.

И наоборот, если мы смогли измерить период свободных колебаний, это дает нам информацию об упругих и инертных свойствах системы.

Слова «упругие» и «инертные» свойства не стоит воспринимать слишком механистически. Для иллюстрации мы использовали пример с грузиком на пружинке, но всё то же самое относится к самым разным системам, будь то движение маятника, рябь на поверхности воды, звук или даже электрические колебания в радиоцепях. Во всех этих примерах есть колеблющаяся величина, а система обладает линейным откликом. Это значит, что тут есть свои аналоги упругости и инертности, которые порождают гармонические колебания, описывающиеся тем же законом косинуса.

Между прочим, это поразительный факт нашего мира — что такие разные, совершенно непохожие друг на друга физические системы демонстрируют математически одинаковые законы движения. Физическая реальность — безумно многообразна, но математические законы, ею управляющие, во многом универсальны. Если хотите — считайте это даром природы, но именно это чудесное свойство окружающего мира позволяет нам так много о нем узнать и доставляет ученым столько удовольствия от самого этого процесса.

Калькулятор частоты | От периода до частоты и др.

Создано Ритой Рейн

Отредактировано Домиником Черня, доктором философии, и Джеком Боуотером

Последнее обновление: 26 сентября 2022 г.

Содержание:

• Определение частоты и формула частоты длина волны
• Как пользоваться частотным калькулятором?
• Пример: Как рассчитать частоту по периоду?
• Пример: Как найти частоту волны?
• Реальное применение
• Часто задаваемые вопросы

Калькулятор частоты позволит вам найти частоту волны по заданной длине волны и ее скорости или периоду в кратчайшие сроки. Вы можете выбрать скорость волны из предустановленного списка, так что вам не нужно запоминать.

В тексте вы также найдете определение частоты , две формулы частоты (отношение периода к частоте и длины волны к частоте) и несколько примеров, показывающих, как вычислять частоту.

Если вы хотите узнать больше о волнах, воспользуйтесь калькулятором длины волны, а если вы хотите узнать частоту музыкальных нот, воспользуйтесь калькулятором частоты нот.

Определение частоты и формула частоты

Посмотрите на следующую модель волны; это поможет вам понять термины, используемые в приведенном ниже определении частоты.

Источник: Британская энциклопедия

Частота — это количество полных циклов волны в секунду . Другими словами, частота говорит нам, сколько гребней волны проходит данную точку за секунду.

Это определение частоты приводит нас к простейшей частотной формуле :

f=1Tf=\frac{1}{T}f=T1​

fff обозначает частоту, а TTT обозначает время, необходимое для ее завершения. волновой цикл измеряется в секундах.

Единица частоты SI — Герц (Гц) , что равно 1/с (один цикл в секунду). Другие единицы частоты включают миллигерц (мГц), килогерц (кГц), мегагерц (МГц), гигагерц (ГГц) и терагерц (ТГц).

Частотное уравнение от длины волны

Посмотрите на другую картинку, которая позволит нам увидеть связь между частотой и длиной волны. Длина волны — это расстояние между двумя соседними гребнями (или впадинами). Другими словами – это длина одного волнового цикла. Чем длиннее длина волны, тем ниже частота :

Источник: Британская энциклопедия

Еще один факт, который нам нужен – скорость распространения волн (скорость волн) определяет, сколько из них пройдет заданную точку в секунду. Это означает , что чем выше скорость волны, тем выше частота .

Эти два соотношения между частотой и длиной волны (λ\lambdaλ) и между частотой и скоростью (vvv) приводят нас к следующему частотному уравнению :

f=vλf=\frac{v}{\lambda}f=λv​

Как пользоваться частотным калькулятором?

Наш калькулятор частоты включает в себя вышеупомянутые формулы частоты. Таким образом, вы можете использовать его в качестве калькулятора периода для частоты или калькулятора длины волны для частоты.

Как использовать его в качестве калькулятора преобразования периода в частоту? (Как найти частоту, если известен период?)

1. Введите время, в течение которого происходит один цикл волны ( период ). Калькулятор определит частоту.

2. Вы можете использовать этот калькулятор для определения периода, если знаете его частоту.

Как использовать его в качестве калькулятора преобразования длины волны в частоту? (Как рассчитать частоту по длине волны?)

1. Введите скорость волны во второе поле или выберите тип волны и ее среду из списка в первом поле. По умолчанию у нас установлено значение 9.0025 свет в вакууме .

2. Введите длину волны, появится значение частоты.

Итак, в принципе, вы можете ввести любые две переменные, и сразу появится третья 😀

Пример: Как вычислить частоту по периоду?

Чтобы развеять сомнения, как рассчитать частоту по периоду, разберем несколько простых примеров. Во-первых, вспомним частотное уравнение:

f=1Tf=\frac{1}{T}f=T1​

Пример 1:

Как найти частоту волны, в которой один цикл завершается за 0,25 с:

f=1T=10,25 с=4×1 с\begin{align*} f&=\frac{1}{T}\\[1. 2em] &=\frac{1}{0,25\ \text{s}}\\[1,2em] &= 4\times\frac{1}{\text{s}} \end{align*}f​=T1​=0.25 s1​=4×s1​​

Не забудьте преобразовать 1s\frac{1}{\text{s}}s1​ в единицу частоты:

f= 4 Hzf = 4\ \text{Hz}f=4 Hz

Пример 2:

Как найти частоту волны, в которой за 1 минуту происходит 360 циклов:

f = 3601 м = 36060 с = 6 с = 6 Гц \ начало {выравнивание *} f&=\frac{360}{1\ \text{m}}\\[1.2em] &=\frac{360}{60\ \text{s}}\\[1.2em] &= \frac{6}{\text{s}}\\[1.2em] &= 6\ \text{Гц} \end{align*}f​=1 m360​=60 s360​=s6​=6 Hz​

Пример: Как найти частоту волны?

На этот раз мы хотим узнать, как найти частоту волны, если известны скорость и длина волны. Вам необходимо использовать следующую формулу частоты:

f=vλf=\frac{v}{\lambda}f=λv​

Пример 1:

Скорость волны 320 м/с, длина волны 8 м. Найдя его частоту, имеем:

f=vλ=320 мс8 m=40с≈40 Гц\begin{align*} f&=\frac{v}{\lambda}\\[1.2em] &=\frac{320\\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{8\ \text{m}}\\[1. 2em] &= \frac{40}{\text{s}}\\[1.2em] &\около 40\ \text{Гц} \end{align*}f​=λv​=8 m320 sm​=s40​≈40 Гц​

Пример 2:

Найдите частоту света, если длина волны равна 3000 км. Скорость волны равна скорость света в вакууме приблизительно равна 300 000 км300,\hspace{-0,05 см}000\ \tfrac{\text{км}}{\text{s}}300 000 км​. Используя формулу частоты, получаем:

f=vλ=300 000 км3 000 км=100 с≈100 Гц\begin{align*} f&=\frac{v}{\lambda}\\[1.2em] &=\frac{300,\hspace{-0,05см}000\ \tfrac{\text{км}}{\text{s}}}{3,\hspace{-0,05cm}000\ \text{км} }\\[1.2em] &= \frac{100}{\text{s}}\\[1.2em] &\примерно 100\\текст{Гц} \end{align*}f​=λv​=3000 км300 000 skm​=s100​≈100 Гц​

Реальное приложение

В беспроводной связи у нас есть объем эллипсоида между антенной передатчика и антенной приемника . Эта область определяется расстоянием между антеннами и частотой беспроводной волны. Она называется Зона Френеля и выглядит так:

Из основной формулы зоны Френеля мы делаем вывод, что чем выше частота, тем меньший объем эллипсоида должен быть свободен для правильной беспроводной связи. Наоборот, для низкой частоты мы получаем большую зону Френеля, которую здания или деревья могут легко блокировать и, таким образом, создавать нестабильную беспроводную связь.

💡 Вы можете узнать больше о зоне Френеля, посмотрев наш Калькулятор зоны Френеля.

Волны с разной частотой вызывают биения и задаются вопросом, как рассчитать частоту биений, а объем камеры сильно влияет на частоту резонанса Гельмгольца.

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать частоту?

Вам необходимо знать либо длину волны и скорость, либо период волны (время, необходимое для завершения одного цикла волны). Если вы знаете период:

1. Преобразуйте в секунды, если необходимо, и разделите 1 на период .
2. Результатом будет частота , выраженная в Герцах .

Если вы хотите рассчитать частоту по длине волны и скорости волны:

1. Убедитесь, что имеют одинаковые единицы измерения длины.
2. Разделите скорость волны на длину волны .
3. Преобразовать результат в герцы. 1/с равняется 1 Герцу.

Как определить длину волны по частоте?

1. Определить скорость волны.
2. Определить частоту.
3. Преобразовать герц в 1/с.
4. Убедитесь, что скорость волны и частота имеют одну и ту же единицу времени.
5. Разделите скорость волны на частоту.

Какая связь между частотой и длиной волны?

Частота равна скорости волны, деленной на длину волны. Следовательно, чем длиннее длина волны, тем ниже частота, а чем короче длина волны, тем выше частота. Другими словами, 9Частота 0025 обратно пропорциональна длине волны .

В чем измеряется частота?

Частота волны измеряется в Герцах . 1 герц равен 1/с – один цикл в секунду. Связанные единицы включают миллигерц (одна тысячная герца), килогерц (тысяча герц), мегагерц (миллион герц) и гигагерц (миллиард герц). Единица названа в честь Генриха Рудольфа Герца, физика, доказавшего существование электромагнитных волн.

Как найти частоту волны?

1. Определить скорость волны.
2. Определить длину волны.
3. Убедитесь, что скорость волны и длина волны имеют одну и ту же единицу измерения длины, например, если скорость выражается в метрах в секунду, длина волны должна быть выражена в метрах.
4. Разделите скорость волны на длину волны.
5. Преобразовать результат в герцы. Один герц равен 1/с — один цикл в секунду.

Какая частота у 5G?

5G, который является технологическим стандартом пятого поколения для сотовых сетей, работает в различных диапазонах частот, которые попадают в два частотных диапазона. Диапазон частот 1 — от 450 МГц до 6 ГГц , а диапазон частот 2 — от 24,25 ГГц до 52,6 ГГц .

Какой цвет имеет самую высокую частоту?

Фиолетовый — это цвет с самой высокой частотой , которая колеблется от 670 до 750 терагерц. На другой стороне спектра находится красный цвет с частотой от 430 до 480 терагерц.

Какая связь между частотой и энергией?

Энергия прямо пропорциональна частоте . Другими словами, чем выше частота, тем больше энергия. Связь между частотой и энергией описывается следующей формулой для энергии фотона:

E = h × f

«E» — символ энергии, «h» — постоянная Планка, а «f» обозначает частоту.

Какая волна имеет самую высокую частоту?

Гамма-лучи — это электромагнитные волны с наивысшей частотой , то есть более 10 ¹⁹ Гц. У них самая высокая энергия и самая короткая длина волны среди всех электромагнитных волн. Их высокая энергия позволяет им отрывать электроны от атомов и повреждать живые клетки. Источниками гамма-излучения являются нейтронные звезды, сверхновые звезды, ядерные взрывы и молнии.

Как получить период из частоты?

1. Формула для периода T = 1 / f , где «T» — период — время, необходимое для завершения одного цикла, а «f» — частота.
2. Чтобы получить период из частоты, сначала преобразуйте частоту из герц в 1/с .
3. Теперь делим 1 на частоту . Результатом будет время (период), выраженное в секундах.

Рита Рейн

Скорость волны

Скорость волны (v)

Длина волны (λ)

Период (T)

Частота (f)

Посмотреть 22 похожих калькулятора волн 🔊

Акустическое сопротивление Альфвеновская скорость Частота ударов… Еще 19

16.2 Период и частота колебаний – College Physics: OpenStax

Глава 16 Колебательное движение и волны

Резюме

• Наблюдайте за колебаниями гитарной струны.
• Определить частоту колебаний.

Рисунок 1. Струны этой гитары вибрируют через равные промежутки времени. (Фото: JAR)

Когда вы дергаете гитарную струну, в результате получается устойчивый звук, который длится долго. Каждое последующее колебание струны занимает такое же время, как и предыдущее. Мы определяем периодическое движение — движение, которое повторяется через равные промежутки времени, например гитарная струна или объект на пружине, движущийся вверх и вниз. Время совершения одного колебания остается постоянным и называется периодом [латекс]\жирныйсимвол{Т}.[/латекс]Его единицами обычно являются секунды, но может быть и любая удобная единица времени. Слово «период» относится ко времени какого-либо события, повторяющегося или нет; но нас прежде всего будет интересовать периодическое движение, которое по определению является повторяющимся. Понятие, тесно связанное с периодом, — это частота события. Например, если вы получаете зарплату два раза в месяц, частота выплат — две в месяц, а период между проверками — полмесяца. Частота [latex]\boldsymbol{f}[/latex] определяется как количество событий в единицу времени. Для периодического движения частота – это число колебаний в единицу времени. Отношение между частотой и периодом равно

.

[латекс]\boldsymbol{f\:=}[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{1}{T}}[/латекс]

Единицей СИ для частоты является циклов в секунду , что определяется как герц (Гц):

[латекс]\boldsymbol{1\textbf{Гц}=1}[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{\textbf{цикл}}{\textbf{сек}}}[/латекс][латекс] \boldsymbol{\textbf{или}1\textbf{Гц}=}[/latex][латекс]\boldsymbol{\frac{1}{\textbf{s}}}[/latex]

Цикл – это одно полное колебание. Обратите внимание, что вибрация может быть одиночным или множественным событием, тогда как колебания обычно повторяются в течение значительного числа циклов.

Пример 1.

Определение частоты двух колебаний: медицинский ультразвук и средний период C

Мы можем использовать формулы, представленные в этом модуле, для определения как частоты на основе известных колебаний, так и колебаний на основе известной частоты. Давайте попробуем по одному примеру каждого. (a) Медицинское устройство визуализации производит ультразвук путем колебаний с периодом 0,400 мкс. Какова частота этих колебаний? (b) Частота среднего C на типичном музыкальном инструменте составляет 264 Гц. За какое время совершается одно полное колебание?

Стратегия

На оба вопроса (a) и (b) можно ответить, используя соотношение между периодом и частотой. В вопросе (a) задан период[latex]\boldsymbol{T}[/latex], и нас просят найти частоту[latex]\boldsymbol{f}.[/latex]В вопросе (b) частота [latex]\boldsymbol{f}[/latex]дан, и нас просят найти период[latex]\boldsymbol{T}.[/latex]

Решение a

1. Замена[latex]\boldsymbol {0. 400\:\mu\textbf{s}}[/latex]для[латекса]\boldsymbol{T}[/latex]в[латексе]\boldsymbol{f=\frac{1}{T}}:[/ латекс] 96\textbf{Гц}}.[/латекс]

Обсуждение a

Частота звука в (а) намного выше, чем самая высокая частота, которую может слышать человек, и поэтому называется ультразвуком. Соответствующие колебания на этой частоте генерируют ультразвук, используемый для неинвазивной медицинской диагностики, например, для наблюдения за плодом в утробе матери.

Решение b

1. Определите известные значения:

   Время одного полного колебания равно периоду[latex]\boldsymbol{T}:[/latex]

   [латекс]\boldsymbol{f=}[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{1}{T}}.[/латекс]

2. Решите для[латекс]\жирныйсимвол{Т}:[/латекс]

   [латекс]\boldsymbol{T\:=}[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{1}{f}}.[/латекс]

3. Подставить заданное значение частоты в полученное выражение:

   [латекс]\boldsymbol{T\:=}[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{1}{f}}[/латекс][латекс]\boldsymbol{=}[/латекс][латекс] \boldsymbol{\frac{1}{264\textbf{Гц}}}[/latex][латекс]\boldsymbol{=}[/latex][латекс]\boldsymbol{\frac{1}{264\textbf{циклы /s}}}[/латекс][латекс]\boldsymbol{=3,79{-3}\textbf{s}=3,79\textbf{мс}}.