Кинематика вращательного движения | Физика
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Наблюдать кинематику вращательного движения.
- Вывести уравнения кинематики вращения.
- Оцените стратегии решения проблем для вращательной кинематики.
Просто используя нашу интуицию, мы можем начать видеть, как величины вращения, такие как θ , ω и α , связаны друг с другом. Например, если колесо мотоцикла имеет большое угловое ускорение в течение достаточно долгого времени, оно быстро начинает вращаться и делает много оборотов. С технической точки зрения, если угловое ускорение колеса α велико для длительного периода времени t , то конечная угловая скорость ω и угол поворота θ велики. Вращательное движение колеса в точности аналогично тому факту, что большое поступательное ускорение мотоцикла дает большую конечную скорость, и пройденное расстояние также будет большим.
Кинематика — это описание движения. Кинематика вращательного движения
[латекс]v={v}_{0}+{at}\\[/латекс] (константа a )
Обратите внимание, что при вращательном движении a = a t , и с этого момента мы будем использовать символ a для тангенциального или линейного ускорения. Как и в линейной кинематике, мы предполагаем, что a является постоянным, что означает, что угловое ускорение
Радиус r сокращается в уравнении, что дает
ω = ω 0 + at.
(константа a )
, где ω 0 — начальная угловая скорость. Это последнее уравнение представляет собой кинематическое отношение между ω , α и
Кинематика вращательного движения полностью аналогична поступательной кинематике, впервые представленной в Одномерной кинематике. Кинематика занимается описанием движения без учета силы или массы. Мы обнаружим, что поступательные кинематические величины, такие как перемещение, скорость и ускорение, имеют прямые аналоги во вращательном движении.
Начав с четырех уравнений кинематики, которые мы разработали в разделе «Одномерная кинематика», мы можем вывести следующие четыре уравнения кинематики вращения (представленные вместе с их эквивалентами поступательного движения):
The second row lists translational kinematic equations. The third column lists constants for both.” cellspacing=”0″ cellpadding=”0″>В этих уравнениях нижний индекс 0 обозначает начальные значения ( θ 0 , x 0 и t 0 — начальные значения), а также средняя угловая скорость [латекс]\bar{\omega}\\[/латекс] и средняя скорость [ латекс]\bar{v}\\[/latex] определяются следующим образом:
[латекс]\bar{\omega}=\frac{{\omega }_{0}+\omega }{2}\text { и }\overline{v}=\frac{{v}_{0}+v}{2}\\[/latex].
Уравнения, приведенные выше в таблице 1 , могут использоваться для решения любой задачи вращательной или поступательной кинематики, в которой a и α являются постоянными.
Стратегия решения задач для вращательной кинематики- Изучите ситуацию, чтобы определить, что задействована вращательная кинематика (вращательное движение)
- Определите, что именно нужно определить в задаче (идентифицируйте неизвестные) . Набросок ситуации полезен.
- Составьте список того, что дано или может быть выведено из заявленной проблемы (укажите известное) .
- Решите соответствующее уравнение или уравнения для определяемой величины (неизвестной) . Может быть полезно подумать в терминах поступательного аналога, потому что к этому моменту вы уже знакомы с таким движением.
- Подставьте известные значения вместе с их единицами измерения в соответствующее уравнение и получите численное решение с единицами измерения
- Проверьте свой ответ, чтобы убедиться, что он разумен: Имеет ли смысл ваш ответ ?
Пример 1. Расчет ускорения рыболовной катушки
Глубоководный рыбак ловит на крючок большую рыбу, которая уплывает от лодки, вытягивая леску из своей рыболовной катушки. Вся система изначально находится в покое и леска разматывается с катушки на радиусе 4,50 см от ее оси вращения. Катушке придается угловое ускорение 110 рад/с 2 в течение 2,00 с, как показано на рисунке 1. (а) Какова конечная угловая скорость катушки? б) С какой скоростью леска сходит с катушки по истечении 2,00 с? в) Сколько оборотов делает катушка? г) Сколько метров лески сойдет с катушки за это время?
Стратегия В каждой части этого примера стратегия такая же, как и при решении задач линейной кинематики.
В частности, идентифицируются известные значения, а затем ищется взаимосвязь, которую можно использовать для нахождения неизвестного.
Здесь α и t даны, а ω необходимо определить. Наиболее просто использовать уравнение ω = ω 0 + αt , потому что неизвестное уже находится на одной стороне, а все остальные члены известны. Это уравнение утверждает, что
ω = ω 0 + αt .
Нам также известно, что ω 0 = 0 (начинается с состояния покоя), так что
ω = 0 + (110 рад/с 2 )(2,00 с) = 220 рад/с
Решение для (b)
5 Теперь так как известно ω , то скорость v проще всего найти из соотношения
v = rω ,
, где радиус r барабана равен 4,50 см; таким образом,
v = (0,0450 м)(220 рад/с) = 9,90 м/с.
Еще раз обратите внимание, что в любом расчете линейных и угловых величин всегда должны использоваться радианы. Кроме того, поскольку радианы безразмерны, мы имеем m × rad = m. 9{2}=\text{220 рад}.\end{массив}\\[/latex]
Преобразование радианов в обороты дает
[латекс]\theta =(220 \text{ рад})\frac{1 \ text{ rev}}{2\pi \text{rad}}=35.0 \text{ rev}\\[/latex]
Решение для (d)Количество метров лески x , который можно получить через его соотношение с θ:
x = rθ = (0,0450 м) (220 рад) = 9,90 м.
Обсуждение Этот пример показывает, что взаимосвязь между величинами вращения во многом аналогична связям между линейными величинами. Мы также видим в этом примере, как связаны линейные и вращательные величины. Ответы на вопросы реалистичны. После размотки в течение двух секунд обнаруживается, что катушка вращается со скоростью 220 рад/с, что составляет 2100 об/мин.
(Неудивительно, что катушки иногда издают высокие звуки.) Длина вытянутой лески составляет 9,90 м, что примерно соответствует моменту поклевки крупной рыбы.
Рисунок 1. Леска, сходящая с вращающейся катушки, движется линейно. Пример 10.3 и пример 10.4 рассматривают отношения между вращательными и линейными величинами, связанными с рыболовной катушкой.
Пример 2. Расчет продолжительности торможения и остановки рыболовной катушки
Теперь рассмотрим, что произойдет, если рыбак затормозит спиннинговую катушку, достигнув углового ускорения -300 рад/с 2 . Сколько времени требуется барабану, чтобы остановиться?
Стратегия Нас просят найти время t для остановки барабана. Начальные и конечные условия отличаются от условий в предыдущей задаче, в которой использовалась та же рыболовная катушка. Теперь мы видим, что начальная угловая скорость равна ω 0 = 220 рад/с, а конечная угловая скорость ω равна нулю. {2}}=0\text{.}\text{733 с}\\[ /латекс].
Обратите внимание, что следует соблюдать осторожность со знаками, указывающими направления различных величин. Также обратите внимание, что время остановки барабана довольно мало, потому что ускорение довольно велико. Леска иногда рвется из-за связанных с ней ускорений, и рыбаки часто позволяют рыбе немного поплавать, прежде чем затормозить катушку. Уставшая рыба будет двигаться медленнее, требуя меньшего ускорения.
Пример 3. Расчет медленного ускорения поездов и их колес
Большие грузовые поезда разгоняются очень медленно. Предположим, что один такой поезд разгоняется из состояния покоя, придавая своим колесам с радиусом 0,350 м угловое ускорение 0,250 рад/с 2 . После того, как колеса совершили 200 оборотов (предположим, что проскальзывание отсутствует): (а) Как далеко поезд продвинулся по пути? б) Чему равны конечная угловая скорость колес и линейная скорость поезда?
Стратегия В части (а) нас просят найти x , а в (б) нас просят найти ω и v .
Нам дано число оборотов θ , радиус колес r и угловое ускорение α .
Расстояние x очень легко найти из соотношения между расстоянием и углом поворота:
[латекс]\тета =\frac{x}{r}\\[/латекс ].
Решение этого уравнения для x дает
x = rθ.
Прежде чем использовать это уравнение, мы должны преобразовать число оборотов в радианы, потому что мы имеем дело с соотношением между линейными и вращательными величинами:
[латекс]\тета =\влево(\текст{200}\текст{ rev}\right)\frac{2\pi \text{rad}}{\text{1 rev}}=\text{1257}\text{rad}\\[/latex].
Теперь мы можем подставить известные значения в x = rθ , чтобы найти расстояние, которое проехал поезд по пути:
x = rθ = 9{1/2}\\ & =& \text{25,1 рад/с.}\end{array}\\[/latex]
Мы можем найти линейную скорость поезда v через ее отношение к ω :
v = rω = (0,350 м) (25,1 рад/с) = 8,77 м/с.
Пройденное расстояние довольно велико, а конечная скорость довольно мала (чуть меньше 32 км/ч).
Существует поступательное движение даже для чего-либо, вращающегося на месте, как показано в следующем примере. На рисунке 2 показана муха на краю вращающейся пластины микроволновой печи. В приведенном ниже примере вычисляется общее расстояние, которое он проходит.
Рис. 2. На изображении показана микроволновая плита. Муха совершает обороты, пока еда нагревается (вместе с мухой).
Пример 4. Расчет расстояния, пройденного мухой на краю плиты микроволновой печи
Человек решает использовать микроволновую печь, чтобы разогреть обед. При этом муха случайно залетает в микроволновку, приземляется на внешний край вращающейся пластины и остается там. Если пластина имеет радиус 0,15 м и вращается со скоростью 6,0 об/мин, рассчитайте общее расстояние, пройденное мухой за 2,0-минутный период приготовления. (Игнорируйте время запуска и замедления.
)
Сначала найдите общее количество оборотов θ , а затем пройденное линейное расстояние x . используется для нахождения θ , потому что [латекс]\бар{\омега}\\[/латекс] равно 6,0 об/мин.
РешениеВвод известных значений в [латекс]\тета =\бар{\омега} т\\[/латекс] дает
[латекс]\тета =\бар{\омега} т=\левый( \text{6,0 об/мин}\right)\left(\text{2,0 мин}\right)=\text{12 об.}\\[/latex].
Как всегда, необходимо преобразовать обороты в радианы, прежде чем вычислять линейную величину, такую как x , из угловой величины, такой как θ :
[латекс]\тета =\влево(\текст{12 об}\право )\left(\frac{2\pi \text{rad}}{\text{1 rev}}\right)=75,4 \text{rad}\\[/latex].
Теперь, используя соотношение между х и θ , мы можем определить пройденное расстояние:
х = rθ = (0,15 м)(75,4 рад) = 11 м.
Обсуждение Хорошая поездка (если выживет)! Обратите внимание, что это расстояние является общим расстоянием, пройденным мухой.
Смещение фактически равно нулю для полных оборотов, потому что они возвращают мушку в исходное положение. Различие между общим пройденным расстоянием и перемещением впервые было отмечено в одномерной кинематике.
Проверьте свое понимание
Вращательная кинематика имеет много полезных взаимосвязей, часто выражаемых в форме уравнения. Являются ли эти отношения законами физики или они просто описательные? (Подсказка: тот же вопрос относится и к линейной кинематике.)
РешениеВращательная кинематика (как и линейная кинематика) носит описательный характер и не отражает законы природы. С помощью кинематики мы можем с большой точностью описать многие вещи, но кинематика не рассматривает причины. Например, большое угловое ускорение описывает очень быстрое изменение угловой скорости без учета его причины.
Резюме раздела
- Кинематика — это описание движения.
- Кинематика вращательного движения описывает соотношения между углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением и временем.
- Начав с четырех уравнений кинематики, которые мы разработали в разделе «Одномерная кинематика», мы можем вывести четыре уравнения кинематики вращения (представленные вместе с их эквивалентами поступательного движения), показанные в таблице 1.
- В этих уравнениях нижний индекс 0 обозначает начальное значение ([латекс]{x}_{0}\\[/латекс] и [латекс]{t}_{0}\\[/латекс] являются начальными значениями), а средняя угловая скорость [латекс]\бар{\омега}\\[/латекс] и средняя скорость [латекс]\бар{в}\\[/латекс] определяются следующим образом:
[латекс]\bar{\omega}=\frac{{\omega}_{0}+\omega}{2}\text{и}\bar{v}=\frac{{v}_{0} +v}{2}\\[/латекс].
Задачи и упражнения
1. С помощью нити гироскоп разгоняется из состояния покоя до 32 рад/с за 0,40 с. (a) Каково его угловое ускорение в рад/с 2
2. Предположим, на компакт-диске оказалась пылинка. Если скорость вращения компакт-диска составляет 500 об/мин, а пылинка находится на расстоянии 4,3 см от центра, какое общее расстояние проходит пыль за 3 минуты? (Игнорируйте ускорения из-за вращения компакт-диска.
)
3. Гироскоп замедляется с начальной скорости 32,0 рад/с до скорости 0,700 рад/с 2 . а) Через сколько времени он остановится? б) Сколько оборотов он сделает до остановки?
4. Во время очень быстрой остановки автомобиль замедляется со скоростью 700 м/с
(a) Каково угловое ускорение его шин радиусом 0,280 м, если предположить, что они не скользят по дорожному покрытию?
(б) Сколько оборотов сделают шины до остановки, если их начальная угловая скорость равна 95,0 рад/с?
(c) Через какое время автомобиль полностью остановится?
(г) Какое расстояние проедет автомобиль за это время?
(e) Какова была начальная скорость автомобиля?
(f) Являются ли полученные значения разумными, учитывая, что эта остановка происходит очень быстро?
Рис. 3. Йо-йо — это забавные игрушки, в которых реализована важная физика и которые разработаны для повышения производительности на основе физических законов. (Источник: Beyond Neon, Flickr)
5.