Физика
166
Реклама и PR
31
Педагогика
80
Психология
72
Социология
7
Астрономия
9
Биология
30
Культурология
86
Экология
8
Право и юриспруденция
36
Политология
13
Экономика
49
Финансы
9
История
16
Философия
8
Информатика
20
Право
35
6
Экономическая теория
7
Менеджент
719
Математика
338
Химия
20
Микро- и макроэкономика
1
Медицина
5
Государственное и муниципальное управление
2
География
542
Информационная безопасность
2
Аудит
11
Безопасность жизнедеятельности
3
Архитектура и строительство
1
Банковское дело
1
Рынок ценных бумаг
6
Менеджмент организации
2
Маркетинг
238
Кредит
3
Инвестиции
2
Журналистика
1
Конфликтология
15
Этика
9
Формулы дифференцирования Формулы интеграла Формула Тейлора для разложения функции Формула Ньютона-Лейбница Формулы интегрирования функций
Узнать цену работы
Узнай цену
своей работы
Имя
Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно – исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругоеПодпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях
Производная функции
6.

Производной функцииy=f(x) в точкеx0называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производная функцииy=f(x) обозначается черезy/, илиf /(x).
Операция нахождения производной f /(x) от функцииf(x) называется
Геометрически
значение производной функции y=f(x)
в точкеx=x0равно тангенсу угла, образованного
положительным направлением осиОхи касательной, проведенной к графику
функции в точке с абсциссойx0,
то естьf /( x0)=tg (рис 6. 1).
Число tg называютугловым коэффициентом касательной k =f /( x0)=tg. В прямоугольной системе координат уравнения касательной и нормали к некоторой кривой y =f (x) в точкеМ0(x0; y0) имеют вид | Рис 6.1 |
–уравнение касательной,
–уравнение нормали.
Если
функция y=f(x)
описывает какой–либо физический
процесс, то производнаяy
Основные правила дифференцирования.
Пусть даны функции, имеющие производные u=u(x) и v=v(x), c=const
6.1 6.2 6.3 | 6.4 6.5 |
6.6
6.7 если дана сложная функция y=f(u), где u=u(x), то есть y=f[u(
Основные формулы дифференцирования.
6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6. | 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24 6.25 6.26 |
Пример 1. Найти производную функции .
Решение. Дифференцируем как сумму по формулам 6.4, 6.1, 6.3 правил дифференцирования и применяем формулу 6.8
Пример 2. Найти y// функции .
Решение. Дифференцируем как частное по формуле 6.5 правил дифференцирования и применяем формулы 6.2, 6.1 и 6.8
.
Пример 3. Найти y/функции .
Решение. Дифференцируем, применяя формулы производной сложной функции и формулы 6.8 и 6.12
Пример
4. Найти y/функции
.
Решение. Вводим сначала дробные и отрицательные показатели, затем дифференцируем, применяя формулы 6.3, 6.2 и 6.1 и формулу 6.8
Пример 5. Найти y/функции .
Решение. Применяем сначала формулу 6.3, а для второго слагаемого формулу 6.4. Затем используем формулы 6.9, 6.14, 6.8 и 6.15
Логарифмический метод.
Иногда,
прежде чем находить производную от
заданного выражения, лучше выражение
преобразовать так, чтобы процесс
дифференцирования упрощался. Во многих
случаях оказывается выгодным, прежде
чем дифференцировать заданную функцию,
взять ее логарифм, определить затем
производную от этого логарифма и по
производной от логарифма отыскать
производную от заданной функции. Такой
прием называется способом логарифмического
дифференцирования.
Метод логарифмического дифференцирования позволяет находить производные от сложной функции вида , где
.
Дифференцируя последнее равенство, имеем
.
Умножая обе части равенства на y и заменяя затемy черезuv, окончательно получаем
.
Пример 6. Найтиy/, если.
Решение. Здесь основание и показатель степени зависят отx. Логарифмируя, получим
(так как).
Продифференцируем обе части последнего равенства по
или
.
Умножив последнее равенство на y, получим
.
производных формул | Superprof
Что такое производная?
Производная определяется как мгновенная скорость изменения функции в любой заданной точке. Эта мгновенная скорость изменения также известна как наклон. Общее обозначение производной функции дается следующей функцией:
Другими словами, мы можем сказать, что производная функции — это скорость изменения y по отношению к x. Интеграция функции обратна производной. Процесс вычисления производной известен как дифференцирование. В этой статье мы изучим некоторые производные правила или правила дифференцирования вместе с соответствующими примерами.
Лучшие репетиторы по математике
Поехали
Производная константы
Производная постоянной функции равна нулю.
Пример
Если a является константой, то следующая функция будет иметь нулевую производную:
Здесь мы представили производную функции через . Мы также можем представить производную функцию через . Оба обозначения используются для представления производной функции.
Производная постоянной, кратной
Если нам нужно найти производную функции, в которой константа умножается на функцию, то мы берем производную функции и умножаем на нее константу. Общие обозначения этого правила приведены ниже:
Если , то
Пример 1
Найдите производную функции .
Решение
В приведенной выше функции константа 7 умножается на переменную . Итак, сначала мы напишем 7 как есть, а в скобках возьмем производную от кубической переменной.
Чтобы получить производную кубической функции, мы использовали правило степени, которое гласит, что если , то .
Теперь умножьте 7 на член в скобках, чтобы получить окончательное значение .
Пример 2
Найдите производную функции .
Решение
Вы можете заметить, что в приведенной выше функции дробь умножается на квадрат переменной . Следовательно, мы можем записать функцию как произведение дроби и переменной следующим образом:
Теперь воспользуемся правилом степени производной, чтобы получить производную функции, заключенной в скобки:
Мы получим следующий окончательный ответ после упрощения приведенной выше производной:
Производная x
Производная равно 1, потому что, когда мы применим правило мощности, мы получим показатель степени 0 переменной . Поскольку , следовательно, как правило, мы можем сказать, что производная равна 1. Математически это можно записать как:
Если , то
Правило производной степени
Мы уже использовали это правило при дифференцировании функций в приведенных выше примерах. Степенное правило производной выражается как:
Если , то
Пример
Найдите производную функции .
Решение
Мы просто применим правило степени производной, чтобы найти производную приведенной выше функции. Поскольку в приведенной выше функции значение n равно 10, следовательно, производная функции будет записана следующим образом, используя это значение n:
Производная корня
Правило производной корня объясняется ниже математически:
Если , то
Вышеприведенная формула для производной функции, которая включает квадратный корень. Если вам нужно найти производную функции корня, отличной от квадратного корня, то следует использовать следующую формулу:
Если , то
Поясним вышеприведенное правило на следующих примерах.
Пример 1
Найдите производную функции
Решение
Производная члена внутри корневого символа равна 6. Используя формулу квадратного корня производной, мы запишем окончательный ответ следующим образом:
Чтобы упростить приведенный выше ответ , мы просто разделим числитель и знаменатель на 2:
Пример 2
Найдите производную функции
Решение
Чтобы найти производную указанной выше функции, используйте формулу .
Можно также записать как:
Производная суммы или разности
Производная суммы или разности двух чисел равна производной отдельных членов. Если m и n два слагаемых, то их производная будет вычисляться следующим образом:
Если , то
Пример 1
Найдите производную функции .
Решение
Чтобы найти производную вышеприведенной функции, мы воспользуемся правилом сумм производных, которое работает путем нахождения производной отдельных членов, участвующих в ней. Производная от 2x вычисляется по степенному правилу, а производная от 4x равна 4. Следовательно, производная всей функции приведена ниже:
Пример 2
Найдите производную функции .
Решение
Найдите производные отдельных членов функции. Производная от is и производная от 5x равна 5.
Правило производного произведения
Математическая запись правила производного произведения приведена ниже:
Если , то
Приведенное выше правило поясняется следующим примером.
Пример
Найдите производную функции .
Решение
Найдите производную отдельных факторов, входящих в указанную выше функцию. Производная is и производная 5x равна 5. Следовательно, используя формулу , тогда , мы запишем производную всей функции следующим образом:
Правило производного частного выражается математически как:
Если , то
Пример
Найдите производную функции .
Решение
Производная члена равна 18x, а производная члена 2x равна 2. Мы подставим эти значения в формулу производной в частном, которая говорит, что если , то :
Производное правило взаимности
Производное правило взаимности математически обозначается следующим образом:
Если , то
Пример
Найдите производную функции
Решение
Так как приведенная выше функция имеет обратную форму, поэтому мы будем использовать формулу производной, чтобы найти производную. Производная функции равна . Подставьте это значение в формулу, чтобы получить производную:
Разделите члены в числителе и знаменателе на – 8x:
Производная экспоненциальной функции
Производная экспоненциальной функции математически обозначается как :
Если , то
Пример
Найдите производную показательной функции .
Решение
Мы найдем производную вышеприведенной функции в четыре шага:
Шаг 1 – Сначала запишем функцию как она есть
Шаг 2 – Найдите производную функции в степени. Производная функции в показателе степени представляет собой линейное уравнение. Мы знаем, что производная линейной функции равна ее наклону, поэтому ее производная будет равна 6,9.0005
Шаг 3 – Найдите логарифм основания. База в приведенной выше функции равна 5, поэтому ее журнал будет записан как .
Шаг 4 – Мы получим производную всей функции путем умножения членов, полученных в шагах 1, 2 и 3:
Производная логарифмической функции
Математическая запись производной логарифмической функции приведен ниже:
Если , то
Пример
Найдите производную логарифмической функции .
Решение
Сначала найдите производную от 7x. Производная от 7x равна 7. Подставьте это значение в формулу.
Производная функции синуса
Математическое обозначение этого правила производной приведено ниже:
Если , то
Пример
Найдите производную функции
4 Подставьте это значение в формулу.
Производная функции косинуса
Производная функции косинуса математически обозначается следующим образом:
Если , то
Пример
Найдите производную функции
Решение
Производная члена равна 7. Подставляя это значение в формулу, мы получится:
Производная функции тангенса
Производная функции тангенса математически обозначается следующим образом:
Если , то
В приведенной выше формуле cos представляет функцию косинуса, а sec представляет функцию секанса.
Пример
Найдите производную функции тангенса.
Решение
Производная члена 3x равна 3. Подставьте это значение в формулу тангенса, чтобы получить следующий ответ: . Мы используем правило цепочки производных, когда у нас есть функция внутри другой функции. Математически правило производной цепи обозначается следующим образом:
Если есть , то его производная равна
Пример
Найдите производную функции .
Решение
Мы не можем решить приведенную выше функцию, используя любое из приведенных выше правил дифференцирования, кроме цепного правила, потому что это составная функция. Есть функция внутри другой функции. Сначала у нас есть функция, а затем мы берем куб всей функции. Можно сказать и так. Когда мы напишем функцию в виде , мы получим функцию .
Используя правило цепочки производных, мы запишем производную функции следующим образом:
Мы можем переписать ее после упрощения следующим образом:
Производные формулы | Формулы дифференцирования
Понятие производной является основой теории исчисления.