Формулы и Задачи (Информатика 10) – Школа N61 г.Ульяновска
Формулы
N = 2i
N – мощность алфавита (количество знаков в алфавите)
i – информационный вес символа алфавита (количество информации в одном символе)
I – количество информации, содержащееся в выбранном сообщении (информационный объем сообщения)
K – число символов в сообщении
i – информационный вес символа (количество информации в одном символе)
Q – количество разных сообщений
N – количество символов
L – длина сообщения
Формула Хартли:
I = log2N
I – количество информации, содержащееся в выбранном сообщении
N – количество сообщений
Римская система счисления
I – 1 (палец),
V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони),
L – 50,
C – 100 (Centum),
D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)
Перевод чисел из других систем счисления в десятичную систему счисления
Развернутая запись целого числа:
a3a2a1a
Правило перевода числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления – умножаем каждую цифру исходного числа на основание системы счисления в степени разряда, в котором находится эта цифра, а затем всё складываем.
Запись через схему Горнера:
a3a2a1a0 = ((a3 * p + a2) * p + a1) * p + a0
p – основание системы счисления в котором представлено число.
Пример:
637510 = 6 * 103
637510 = ((6 * 10 + 3) * 10 + 7) * 10 + 5
12345 = 1 * 53 + 2 * 52 + 3 * 51 + 4 * 50 = 19410
12345 = ((1 * 5 + 2) * 5 + 3) * 5 + 4 = 19410
Развернутая запись дробного числа:
0,a1a2a3a4 = a1*p-1 + a2*p-2 + a3*p-3 + a4*p-4
Запись через схему Горнера:
0,a1a2a3a4 = p-1 * (a1 + p-1
p * (0,a1a2a3a4) = a1 + p-1 * (a2 + p-1 * (a3 + p-1 * a4))
p – основание системы счисления в котором представлено число.
Пример:
0,6375 = 6 * 10-1 + 3 * 10-2 + 7 * 10-3 + 5 * 10-4
0,6375 = 10-1 * (6 + 10-1 * (3 + 10-1 * (7 + 10
0,12345 = 1 * 5-1 + 2 * 5-2 + 3 * 5-3 + 4 * 5-4
0,12345 = 5-1 * (1 + 5-1 * (2 + 5-1 * (3 + 5-1 * 4)))
Задачи
Алфавитный подход к измерению количества информации
Определить количество информации в 10 страницах текста (на каждой странице 32 строки по 64 символа) при использовании алфавита из 256 символов.
- информационная ёмкость символа: 256 = 28 =>> i = 8 бит = 1 байт
-
количество символов на странице:
32 * 64 = 25 * 26 = 211 -
общее количество символов:
L = 10 * 211 -
информационный объём сообщения:
I = L * i = 10 * 211 * 1 байт = 20 Кбайт
Системы счисления
X10 X16 X8 X2
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 10
3 3 3 11
4 4 4 100
5 5 5 101
6 6 6 110
7 7 7 111
8 8 10 1000
9 9 11 1001
10 A 12 1010
11 B 13 1011
12 C 14 1100
13 D 15 1101
14 E 16 1110
15 F 17 1111
16 10 20 10000
17 11 21 10001
18 12 22 10010
19 13 23 10011
20 14 24 10100
21 15 25 10101
22 16 26 10110
23 17 27 10111
24 18 30 11000
25 19 31 11001
26 1A 32 11010
27 1B 33 11011
28 1C 34 11100
29 1D 35 11101
30 1E 36 11110
31 1F 37 11111
32 20 40 100000
Логические операции
Логической операцией называется выбор решения (действия), исходя из заданной ситуации, определяемой набором факторов (условий).
Зависимости между логическими функциями (операциями) и логическими переменными устанавливаются с помощью таблиц истинности. Используются следующие логические операции: НЕ, И, ИЛИ, исключающее ИЛИ, тождество.
Логическая операция НЕ (инверсия, операция логического отрицания). Действие, которое определяется операцией НЕ произойдет, если отсутствует фактор его определяющий.
Таблица истинности для операции НЕ имеет вид:
A | |
0 | 1 |
1 | 0 |
Действие, связанное с операцией НЕ можно записать следующим образом:
Логическая операция И (конъюнкция, операция логического умножения). Действие, которое определяется операцией И произойдет, если выполняются все влияющие на него факторы (условия). B
Таблица истинности для операции ИЛИ имеет вид:
A | B | X=A v B |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Действие, связанное с операцией ИЛИ можно записать следующим образом:
X = A + B = A v B
Логическая операция Исключающее ИЛИ. Операция Исключающее ИЛИ осуществляет суммирование по модулю два т.е. без учета переноса в старший разряд.
Таблица истинности имеет вид:
A | B | X=AB |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
Действие, связанное с операцией Исключающее ИЛИ можно записать следующим образом:
X = A B
Действие, связанное с операцией Импликации можно записать следующим образом:
X = A → B
Таблица истинности Импликации имеет вид:
A | B | A → B |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Операция тождество. Операция
Таблица истинности для операции тождество имеет вид:
A | B | A Ξ B |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Действие, связанное с операцией тождество можно записать следующим образом:
X = A Ξ B
Диаграммы Венна (круги Эйлера)
Поиск номера сети
Необходимо найти номер сети по IP-адресу 12. 16.196.10 и маске 255.255.224.0.
маска сети | 255. | 255. | 224. | 0 | |
IP-адрес | 12. | 16. | 196. | 10 | – ip-адрес (узла, компьютера и т.п.) |
IP-адрес | 0000 1100. | 0001 0000. | 1100 0100. | 0000 1010 | |
маска сети | 1111 1111. | 1111 1111. | 1110 0000. | 0000 0000 | |
адрес сети | 0000 1100. | 0001 0000. | 110x xxxx. | xxxx xxxx | – эта часть относится к адресу сети – она взята из ip-адреса, но взяты те цифры, напротив которых стоят единицы остальные цифры справа надо дополнить нулями, чтобы общее число цифр стало равным 32. Получится следующее: |
адрес сети | 0000 1100. | 0001 0000. | 1100 0000. | 0000 0000 | – полный адрес сети теперь каждую октаду (последовательность из 8 цифр, разделены точками) переводим в десятичный вид. Получаем: |
адрес сети | 12. | 16. | 192. | 0 | – полный адрес сети (в десятичном виде) |
Формулы по экономике
Формулы спроса и эластичности
В первую очередь необходимо рассмотреть формулы по экономике, которые касаются спроса и предложения. Уравнение функции спроса можно представить в виде следующей формулы:
y= к*x+b
Сама функция спроса выглядит следующим образом:
QD= к*P+b
Функция предложения:
Qs= к*P+b
Если рассмотреть показатели эластичности, то можно выделить формулы по экономике, определяющие эластичность спроса по цене:
EDP= Δ QD (%) : Δ P (%)
EDP= (Q2 –Q1)/(Q2 + Q1) : (P2 –P1)/(P2 + P1)
Вторая формула представляет собой расчет средней точки, здесь значение P1 – цена продукции до изменения, P2 – цена продукции после изменения, Q1 – спрос до изменения цены, Q2 –спрос после изменения цены.
Формула коэффициента эластичности спроса в общем виде:
EDI= (Q2 –Q1)/ Q1 : (Р2 –Р1)/ Р1
Формулы макроэкономики
Формулы по экономике включают в себя формулы по микроэкономике (спрос и предложение, издержки фирмы и др.), а также формулы по макроэкономике. Важной формулой по макро экономике является формула расчета необходимого в обращении количества денег:
КД = ∑ ЦТ – К + СП – ВП / СО
КД — количество денег в обращении,
ЦТ — сумма цен на товары;
К — товары, продаваемые в кредит;
СП — срочные платежи;
ВП — взаимно погашаемые платежи по бартерным сделкам;
СО — годовая скорость оборота денежной единицы.
Для того чтобы определить денежную массу в обращении необходимо воспользоваться следующей формулой:
М = Р * Q / V
Здесь M — денежная масса, которая находится в обращении;
V — скорость обращения денег;
Р — средние цены на продукцию;
Q — количество выпущенной продукции в постоянных ценах.
Уравнение обмена может быть представлено следующим равенством:
M*V = P*Q
Это уравнение отражает, равенство совокупных расходов в денежном выражении и стоимости всех товаров и услуг, которые выпущены в государстве.
Другие формулы макроэкономики
Рассмотрим еще несколько формул по экономике, среди которых важное место занимает формула вычисления реального дохода:
РД = НД / ИПЦ * 100 %
Здесь РД – реальный доход,
НД – номинальный доход,
ИПЦ – показатель индекса потребительских цен.
Формула для вычисления индекса потребительских цен представлена следующим выражением:
ИПЦ = СТТГ / СТБГ
СТТГ – стоимость потребительской корзины в текущем году,
СТБГ – в базовом году.
В соответствии с показателем индексов цен можно определить темп инфляции по соответствующей формуле:
ТИ =(ИПЦ1 – ИПЦ0) / ИПЦ0 * 100 %
В соответствии с темпами инфляции можно выделить несколько видов:
1. Ползучая инфляция с ростом цен до 5 % годовых,
2. Умеренная инфляция до 10 % годовых,
3. Галопирующая инфляция с ростом цен 20-200% годовых,
4. Гиперинфляция с катастрофическим ростом цен более 200 % в год.
Формулы для расчета процентов
Экономические расчеты часто требуют расчета процентов. Формулы по экономике включают расчет, как сложного, так и простого процента. Формула расчета простого процента представлена следующим образом:
С = Р * (1 + in/360)
Здесь P — сумма долга, включая проценты;
С — общая сумма кредита;
n – количество дней;
i — годовой процент в долях.
Формула для вычисления сложного процента выглядит так:
С = Р (1 + in/360)k
K – количество лет.
Формула для расчёта сложного процента, который вычисляется за несколько лет:
С = Р (1+i)k
Формула безработицы, занятости и ВНП
Формулы по экономике также помогают рассчитать уровень безработицы:
УБ = Число безработных/ЧРС * 100%
Здесь ЧРС – численность рабочей силы.
Формула для вычисления уровня занятости выглядит следующим образом:
УЗ = Число занятых / ЧРС * 100 %
Формула для вычисления валового национального продукта вычисляется так:
ВНП = % + ЗП + Тр + КНал – ЧС + Р + Ам + ДС
Здесь Тр – корпорации,
Кнал – косвенные налоги,
ЧС – чистые субсидии,
Р – рента,
Ам – сумма амортизации,
ДС – доходы от собственности.
Формула расчёта ВНП в соответствии с расходами:
ВНП = ЛПР + ГЗ + ВЧВИ – ЧИ
Расчет выручки, прибыли и издержек
Формулы по экономике при расчете выручки и прибыли:
TR = P*Q
Прибыль = TR — TC
Формула для вычисления средних общих издержек выглядит так:
АС = AFC + AVC или
АС = TC / Q
Для того чтобы рассчитать общие издержки необходимо применить следующую формулу:
ТС = TFC + TVC
Формула для вычисления средних постоянных издержек:
AFC = TFC / Q
При расчете средних переменных издержек можно воспользоваться следующей формулой:
AVC = TVC / Q
Примеры решения задач
Q-absorb® 100 мг мягких капсул – Jarrow Formulas
$41,99
Продажа
Без НДС
100 мг / 60-120 гелевых капсул / 2-4 месяца
60 карат 120 карат
12345678910
Q-absorb ® — это пролипосомная жирорастворимая система доставки, которая, как клинически показано на людях, увеличивает уровень Co-Q10 (убихинон) почти на 400% по сравнению с исходным уровнем при физических нагрузках и в 3-4 раза лучше усваивается, чем жевательный Co-Q10. таблетки. В качестве антиоксиданта Co-Q10 помогает повысить жизненный тонус, поддерживая здоровье митохондрий и эффективное производство энергии, польза для здоровья от которых поддерживает сердечно-сосудистую функцию.*
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ
Размер порции: 1 мягкая капсула
Количество на порцию
%DV
Коэнзим Q10 (убихинон)
100 мг
†
† Дневная норма (DV) не установлена.
Другие ингредиенты: соевый лецитин, мягкая капсула (бычий желатин, глицерин, вода, карамель и рожковое дерево [в качестве светового барьера]), глицериды со средней длиной цепи и натуральные смешанные токоферолы (для сохранения свежести).
Содержит: Соя.
Без пшеницы, глютена, молочных продуктов, яиц, рыбы/моллюсков или арахиса/древесных орехов.
Kaneka Q10® является зарегистрированным товарным знаком Kaneka Corporation of Japan.
Образование частиц внутри мягкой капсулы является нормальным явлением и растворяется после приема внутрь.
Хранить в прохладном, сухом месте.
О Q-absorb® – 100 мг
Рекомендации по применению
Принимайте по 1 мягкой капсуле до 3 раз в день во время еды или по указанию квалифицированного медицинского работника.
ПРИМЕЧАНИЕ: проконсультируйтесь с врачом перед использованием этого продукта, если вы пытаетесь забеременеть, беременны или кормите грудью, моложе 18 лет или имеете заболевание; если возникают побочные реакции, прекратите использование.
Хранить в недоступном для детей месте.
Наша наука
Высшая наука
Наш штат ученых опирается на опыт исследователей и учреждений по всему миру, которые изучают продукты и ингредиенты, а также то, как они влияют на ваше тело. Поддерживая научные исследования и финансируя исследования, Jarrow Formulas® поддерживает передовую науку в качестве руководящего принципа во всем, что она делает.
Умные формулы
Наши рецептуры тщательно разработаны и основаны на серьезных научных исследованиях. Таким образом, продукты Jarrow Formulas могут поддерживать и укреплять оптимальное здоровье.
Качественные ингредиенты
Наши клиенты могут быть уверены как в чистоте, так и в эффективности каждого продукта Jarrow Formulas. Мы оцениваем чистоту, прочность и состав всех ингредиентов и работаем только с теми поставщиками сырья, которые следуют тем же действующим правилам надлежащей производственной практики (cGMP), что и мы.
Наша наука
Q-absorb® – 100 мг хорошо сочетается с:
Здоровье сердечно-сосудистой системы
пирролохинолинхинона — 10 мг
23,49 $
Здоровье сердечно-сосудистой системы
QH-абсорб® – 100 мг
1 отзыв
$55,49
Здоровье сердечно-сосудистой системы
QH-absorb® + PQQ™
51,49 $
Отзывы
Справочники по здоровью
Здоровье пищеварения
Jarro-Dophilus EPS – Справочное руководство по добавкам с пробиотиками
Прочитать руководство
Энергетическая поддержка
Метил B-12 Справочное руководство
Прочитать руководство
Здоровье сердца
Справочное руководство QH-absorb
Прочитать руководство
1.
1 Логические операцииМатематика обычно включает в себя объединение истинных (или гипотетически истинных) утверждения различными способами для получения (или доказательства) новых истинных утверждений. Начнем с разъяснения некоторых из этих фундаментальных идей.
предложение мы имеем в виду утверждение, имеющее определенное истинностное значение , истина (T) или ложь (F) — например,
«В 1492 году Колумб плыл по синему океану». (T)
«Наполеон выиграл битву при Ватерлоо». (Ф)
В более общем смысле под формулой мы подразумеваем утверждение, возможно, с некоторыми переменными, которое либо истинно, либо false всякий раз, когда мы присваиваем определенные значения каждой из переменных. Мы будем использовать заглавные буквы для обозначения формул. Если правда а формула зависит от значений, скажем, $x$, $y$ и $z$, мы будем использовать обозначение типа $P(x,y,z)$ для обозначения формулы. 92+y = 12$”, то $P(2,8)$ и $P(3,3)$ верно, а $P(1,4)$ и $P(0,6)$ ложны. Если $Q(x,y,z)$ равно “$x+y
Является ли предложение истинным или ложным, обычно зависит от того, что мы говорят о том, что одно и то же предложение может быть истинным или ложным в зависимости от по контексту; например, формула $x|y$ означает, что `$x$ делит $у$’. То есть $x|y$, если существует некоторый $z$ такой, что $y=x\cdot z$. В настоящее время, правда ли, что $3|2$? Это зависит: если мы говорим о целых числах, ответ – нет; если мы говорим о рациональных числах, то ответ да, потому что $2=3\cdot(2/3)$. (Конечно, если $x\not=0$ и $y$ любых рациональных чисел, то $x|y$, так что это не очень полезное понятие. При обычном использовании внешний вид формулы “$x|y$” подразумевает , что $x$ и $y$ являются целыми числами.)
Вселенная дискурса для конкретной области математики представляет собой набор, который содержит все, что представляет интерес для этой темы. Когда мы изучение математических формул типа «$x$ делит $y$» на переменные предполагается, что они принимают значения в любом дискурсивном универсуме подходит для конкретного предмета. Вселенная дискурса обычно ясно из обсуждения, но иногда нам нужно будет идентифицируйте его явно для ясности. Вселенная дискурса обычно обозначается $U$.
Сложные предложения и формулы составляются из более простых, используя небольшое количество логических операций . Просто горстка этих операций позволит нам сказать все, что мы должны сказать в математика.
Если $P$ — это формула, то «не $P$» — это другая формула. формула, которую мы символически запишем как $\lnot P$. Конечно, $\lне P$ ложно, если $P$ истинно, и наоборот, например,
“6 не простое число” или “Неверно, что 6 премьер” или “$\lnot(\hbox{6 простое число})$” (T)
«Рональд Рейган не был президентом». (Ф)
Предположим, что $P$ и $Q$ — формулы. затем «$P$ и $Q$» — это формула, записанная символически как $P\land Q$, называемое соединением из $P$ и $Q$. Чтобы $P\land Q$ были истинными как $P$, так и $Q$ должно быть истинным, иначе оно ложно, например,
«5 долларов = 6 долларов и 7 долларов = 8 долларов». (F)
«Сиэтл находится в Вашингтоне, а Бойсе — в Айдахо». (T)
«Толстой был русским, а Диккенс был Французский.” (Ф)
Если $P$ и $Q$ являются формулами, то формула “$P$ или $Q$” записывается символически как $P\lor Q$, называемая дизъюнкция $P$ и $Q$. это важно отметить, что это включительно или, то есть, “либо или оба”. Итак, если $P$, $Q$ или оба $P$ и $Q$ верны, то же самое и с $P\lor Q$. Единственный случай, когда $P\lor Q$ может быть ложным, состоит в том, что оба $P$ и $Q$ ложны, например,
«Вашингтон в Канаде или Лондон в Англии». (T)
“$5
«Ленин был испанцем или Ганди был итальянцем». (Ф)
Если $P$ и $Q$ – формулы, то “если $P$, то $Q$” или “$P$ означает, что $Q$” написано $P\подразумевает Q$, используя условное обозначение , $\подразумевает$. Не очевидно (по крайней мере, для большинства людей), под чем обстоятельства $P\имеет Q$ должно быть правдой. Отчасти это потому, что «if… then» используется в обычном английском языке более чем одним способом, однако нам нужно исправить правило, которое позволит нам точно знать, когда $P\ подразумевает Q$ верно. Конечно, если $P$ истинно, а $Q$ ложно, $P$ не может подразумевают $Q$, поэтому $P\implis Q$ в этом случае ложно. Чтобы помочь нам с в других случаях рассмотрим следующее утверждение:
«Если $x$ меньше 2, то $x$ меньше 4».
Это утверждение должно быть верным независимо от значения $x$. (при условии, что вселенная дискурса является чем-то знакомым, например целые числа). Если $x$ равно 1, оно оценивается как $\rm T\имплицитно T$, если $x$ равно 3, оно становится $\rm F\implis T$, а если $x$ равно 5, становится $\rm F\ подразумевает F$. Таким образом, оказывается, что $P\implis Q$ истинно, если только $P$ истинно, а $Q$ ложно. Это правило, которое мы принимаем.
Наконец, biconditional , написанный $\Leftrightarrow$, соответствует фраза «если и только если» или «если» коротко. Таким образом, $P \Leftrightarrow Q$ истинно, когда и $P$, и $Q$ имеют одинаковое истинностное значение, иначе оно ложно.
Пример 1.1.2 Предположим, что $P(x,y)$ равно “$x+y=2$” и $Q(x,y)$ равно “$xy>1$”. Тогда, когда $x=1$ и $y=1$, $\lnot P(x,y)$, $P(x,y)\land Q(x,y)$, $P(x,y)\lor Q(x,y)$, $P(x,y)\имеет Q(x,y)$ и $P(x,y)\Leftrightarrow Q(x,y)$ имеют значения истинности F, F, T, F, F соответственно, а когда $x=2$ и $y=3$ имеют истинностные значения Т, Ф, Т, Т, Ф соответственно. $\квадрат$
Используя операции $\lnot$, $\land$, $\lor$, $\implies$, $\Leftrightarrow$, мы можем построить составных выражений, таких как $$ (P\land (\lnot Q))\ подразумевает ((\lnot R)\lor ((\lnot P)\land Q)). $$ Как показывает этот пример, иногда необходимо включать много круглых скобок, чтобы группировать термины в формуле ясно. Как и в алгебре, где умножение имеет приоритет перед сложением, мы можем убрать некоторые скобки согласование определенного порядка, в котором логически операции выполняются. Мы будет применять операции в этом порядке, начиная с от первого к последнему: $\lnot$, $\land$, $\lor$, $\implies$ и $\Leftrightarrow$. Так $$A\подразумевает B\или C\land\lnot D $$ сокращение от $$A\подразумевает (B\или (C\land (\lnot D))). $$ Как и в алгебре, часто разумно включать несколько дополнительных скобок, чтобы убедиться, что предполагаемый смысл понятен. Большая часть информации, которую мы обсудили, может быть резюмирована в таблицы истинности . Например, таблица истинности для $\lnot P$:
$P$ | $\lnot P$ |
---|---|
Т | Ж |
Ф | Т |
В этой таблице две строки, потому что есть только две возможности для истинное значение $P$. Другие логические операции используют две переменные, поэтому им требуется 4 строки в их таблицах истинности.
$P$ | $Q$ | $P\land Q$ | $P \lor Q$ | $P\Rightarrow Q$ | $P\Leftrightarrow Q$ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Т | Т | Т | Т | Т | Т | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ф | Т | Ф | Т | Т | Ф | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т | Ж | Ж | Т | Ж | Ж | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ф | Ф | Ф | Ф 9п$
строки в таблице, потому что есть много разных способов назначить
T и F для $n$ простых формул в составном выражении. Таблица истинности для $(P\land Q)\lor \lnot R$ такова:
Обратите внимание, как включение промежуточных шагов облегчает работу с таблицей. посчитай и прочитай. Тавтология — это логическое выражение, которое всегда оценивается как T, то есть последний столбец его таблицы истинности состоит только из Т. Иногда говорят, что тавтология равна 9.0146 действительный ; хотя «действительный» используется в других контекстах как ну, это не должно вызывать путаницы. Например, $(P\land Q)\lor P\Leftrightarrow P$ является тавтологией, поскольку ее таблица истинности такова:
Мы перечисляем несколько важных тавтологий в следующей теореме. Теорема 1.1.3. Справедливы следующие утверждения. а) $P\стрелка влево \lnot\lnot P$ б) $P\lor Q\Leftrightarrow Q\lor P$ c) $P\land Q\Стрелка влево Q\land P$ d) $(P\land Q)\land R\Стрелка влево P\land(Q\land R)$ e) $(P\lor Q)\lor R\Стрелка влево P\lor(Q\lor R)$ f) $P\land (Q\lor R)\Leftrightarrow (P\land Q)\lor (P\land R)$ g) $P\lor (Q\land R)\Стрелка влево (P\lor Q)\land (P\lor R)$ ч) $(P\подразумевает Q)\стрелка влево (\lnot P\или Q)$ i) $P\подразумевает (P\или Q)$ j) $P\land Q\имплицит Q$ k) $(P\стрелка влево Q)\стрелка влево ((P\подразумевает Q)\land (Q\подразумевает P))$ l) $(P\подразумевается Q)\стрелка влево (\lnot Q\подразумевается \lnot P)$ Доказательство. Доказательства оставлены в качестве упражнений. $\qed$ Заметим, что (b) и (c) — коммутативные законы, (d) и (e) — ассоциативные законы и (е) и (ж) говорят, что $\land$ и $\lor$ распределяются друг над другом. Это говорит о том, что существует форма алгебры для логических выражений, аналогичная алгебре для числовых выражений. Этот предмет называется Булева алгебра и имеет множество применений. особенно в информатике. Если две формулы всегда принимают одно и то же истинностное значение независимо от того, элементы из вселенной дискурса, которые мы заменяем различными переменные, то мы говорим, что они эквивалентны . Стоимость эквивалента формулы в том, что они говорят одно и то же. Это всегда правильный шаг в доказательстве заменить некоторую формулу эквивалентной. Кроме того, многие тавтологии содержат важные идеи для построения доказательств. За например, (k) говорит, что если вы хотите показать, что $P\Leftrightarrow Q$, это можно (и часто целесообразно) разбить доказательство на два части, одна из которых доказывает импликацию $P\implis Q$, а вторая доказывая обратное , $Q\подразумевает P$. При чтении теоремы 1.1.3 у вас может возникнуть заметил, что $\land$ и $\lor$ обладают многими схожими свойствами. Они называются «двойственными» понятиями — для любого свойства один, есть почти идентичное свойство, которому удовлетворяет другой, экземпляры двух операций поменялись местами. Это часто означает, что когда мы доказываем результат, включающий одно понятие, мы получаем соответствующий результат для своего двойственного без дополнительной работы. Джордж Буль. Буль (1815–1864) имел только обычное школьное образование, хотя и выучил Греческий и латынь самостоятельно. Он начал свою карьеру в качестве элементарного школьным учителем, но решил, что ему нужно больше узнать о математики, поэтому он начал изучать математику, а также языки, необходимые ему для чтения современной литературы на математика. В 1847 году он опубликовал короткую книгу «Математический анализ». Анализ логики , который, можно справедливо сказать, лег в основу исследования. математической логики. Ключевой вклад работы заключался в переопределить «математику» так, чтобы она означала не просто «изучение чисел и величина», но изучение символов и манипулирование ими в соответствии с к определенным правилам. Важность этого уровня абстракции для будущее математики трудно переоценить. Вероятно, на Благодаря этой работе он перешел на должность в Куинс-колледж в Корке. В «Исследовании законов мысли» , опубликованном в 1854 г., Буль установил настоящую формальную логику, развивая то, что сегодня называется Булева алгебра или иногда алгебра множеств . Он использовал символы для сложение и умножение как операторы, но в совершенно абстрактном смысл. Сегодня эти символы все еще иногда используются в булевых выражениях. алгебре, хотя символы `$\land$’ и `$\lor$’, и `$\cap$’ и `$\cup$’ также используются. Буль применил алгебраическую манипуляцию к процесс рассуждения. Вот простой пример типа манипуляцию, которую он проделал: уравнение $xy=x$ (которое сегодня можно было бы записать $x\land y = x$ или $x\cap y = x$) означает, что «все вещи, удовлетворяющие $x$ удовлетворяет $y$’, или, говоря нашим языком, $x\имеет y$. Если также $yz=y$ (что есть $y\implis z$), то подстановка $y=yz$ в $xy=x$ дает $x(yz)=x$ или $(xy)z=x$. Заменив $xy$ на $x$, получим $xz=x$, или $x\подразумевает z$. Этот простой пример логического рассуждения используется более и далее по математике. 92+bD+c=0$, обработка $D$ как номер , предоставляет информацию о решениях для дифференциальное уравнение. Информация здесь взята из A History of Mathematics, by Карл Б. Бойер, Нью-Йорк: John Wiley and Sons, 1968. Подробнее информацию см. в Lectures on Ten British Mathematics , by Александр Макфарлейн, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1916. Пример 1.1.1 Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений: а) $(P\land Q)\или \lnot P$ б) $P\имеет (Q\land P)$ c) $(P\land Q)\Стрелка влево (P\lor \lnot R)$ d) $\lnot P\имеет в виду \lnot(Q\lor R)$ Пример 1.1.2 Проверьте тавтологии в теореме 1.1.3. Пример 1.1.3 Предположим, что $P(x,y)$ — это формула «$x+y=4$», а $Q(x,y)$ — это формула “$x $P(x,y)\land Q(x,y)$, $\lnot P(x,y)\lor Q(x,y)$, $P(x,y)\подразумевает \lnot Q(x,y)$, $\lnot(P(x,y)\Leftrightarrow Q(x,y))$, , используя значения:
Пример 1. |