Релятивистская механика – формулы
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 100.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 100.
С открытием эффектов, описываемых Специальной Теорией Относительности (СТО), пришлось изменить многие представления, существовавшие в механике со времен Ньютона. Рассмотрим особенности релятивистской механики.
Релятивистская механика
После того, как все попытки «примирить» электродинамику Максвелла, принцип относительности Галилея и представления об абсолютном ньютоновском пространстве и времени потерпели неудачу, стало ясно, что эти представления нуждаются в пересмотре. Ни пространство, ни время не являются абсолютными, они зависят от скорости движения наблюдателя.
Чем ближе скорость наблюдателя к скорости света – тем большие отклонения будут отмечаться в законах движения и взаимодействия. В обычной жизни мы не замечаем отклонений потому, что скорости, с которыми мы обычно имеем дело, гораздо меньше скорости света.
С замедлением времени связан интересный парадокс близнецов, один из которых отправился в космическое путешествие с большой скоростью, а когда вернулся, обнаружил своего брата значительно постаревшим.
Рис. 3. Космический парадокс близнецов.Заметим, что согласно принципу относительности, и близнец, оставшийся на земле, и близнец, быстро летящий в ракете – оба являются инерциальными системами. А значит, каждый из них может считать, что его время течет «как обычно», а время другого замедлилось. «Фиксация разницы», когда движущийся близнец не стареет, происходит в моменты разгона и торможения ракеты, когда ракета инерциальной системой не является.
Релятивистский закон сложения скоростей
Поскольку расстояния и время для разных наблюдателей неодинаковы, то и релятивистское сложение скоростей сложнее галилеевского.
В соответствии с преобразованиями Лоренца, если мы находимся в движущемся со скоростью $v$ поезде, и стреляем по направлению движения пулей со скоростью $v_1$, то относительно наблюдателя на платформе скорость пули равна:
$$v_2={v_1+v\over1+{v_1v \over c^2 }}$$
Из этой формулы можно видеть, что какими бы ни были значения исходных скоростей $v$ и $v_1$ (обе они не могут превышать скорость света), результирующая скорость $v_2$ также никогда не превысит скорость света, хотя может очень близко к ней приблизиться.
При этом, если обе скорости значительно меньше световой, данная формула превращается в обычный закон сложения скоростей.
Что мы узнали?
Законы релятивистской механики учитывают относительность пространства и времени для движущегося наблюдателя. При больших скоростях для перехода между Системами Отсчета следует использовать преобразования Лоренца. Следствиями из преобразований Лоренца являются сокращение расстояний и замедление времени у движущегося наблюдателя.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка доклада
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 100.
А какая ваша оценка?
Релятивистская динамика – материалы для подготовки к ЕГЭ по Физике
Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Темы кодификатора ЕГЭ: полная энергия, связь массы и энергии, энергия покоя.
В классической динамике мы начали с законов Ньютона, потом перешли к импульсу, а после него — к энергии. Здесь мы ради простоты изложения поступим ровно наоборот: начнём с энергии, затем перейдём к импульсу и закончим релятивистским уравнением движения — модификацией второго закона Ньютона для теории относительности.
Релятивистская энергия
Предположим, что изолированное тело массы покоится в данной системе отсчёта. Одно из самых впечатляющих достижений теории относительности — это знаменитая формула Эйнштейна:
(1)
Здесь — энергия тела, — скорость света в вакууме. Поскольку тело покоится, энергия , вычиляемая по формуле (1), называется энергией покоя.
Формула (1) утверждает, что каждое тело само по себе обладает энергией — просто потому, что оно существует в природе. Образно говоря, природа затратила определённые усилия на то, чтобы «собрать» данное тело из мельчайших частиц вещества, и мерой этих усилий служит энергия покоя тела.
Энергия эта весьма велика; так, в одном килограмме вещества заключена энергия
Дж.
Интересно, какое количество топлива нужно сжечь, чтобы выделилось столько энергии? Возьмём, например, дерево. Его удельная теплота сгорания равна Дж/кг, поэтому находим: кг. Это девять миллионов тонн!
Ещё для сравнения: такую энергию единая энергосистема России вырабатывает примерно за десять дней.
Почему столь грандиозная энергия, содержащаяся в теле, до сих пор оставалась нами незамеченной? Почему в нерелятивистских задачах, связанных с сохранением и превращением энергии, мы не учитывали энергию покоя? Скоро мы ответим на этот вопрос.
Поскольку энергия покоя тела прямо пропорциональна его массе, изменение энергии покоя на величину приводит к изменению массы тела на
.
Так, при нагревании тела возрастает его внутренняя энергия, и, стало быть, масса тела увеличивается! В повседневной жизни мы не замечаем этого эффекта ввиду его чрезвычайной малости. Например, для нагревания воды массой кг на (удельная теплоёмкость воды равна ) ей нужно передать количество теплоты:
Дж.
Увеличение массы воды будет равно:
кг.
Столь ничтожное изменение массы невозможно заметить на фоне погрешностей измерительных приборов.
Формула ( 1) даёт энергию покоящегося тела. Что изменится, если тело движется?
Снова рассмотрим неподвижную систему отсчёта и систему , движущуюся относительно со скоростью . Пусть тело массы покоится в системе ; тогда энергия тела в системе есть энергия покоя, вычисляемая по формуле ( 1). Оказывается, при переходе в систему энергия преобразуется так же, как и время — а именно, энергия тела в системе , в которой тело движется со скоростью , равна:
( 2)
Формула ( 2) была также установлена Эйнштейном. Величина — это полная энергия движущегося тела. Поскольку в данной формуле делится на «релятивистский корень», меньший единицы, полная энергия движущегося тела превышает энергию покоя. Полная энергия будет равна энергии покоя только при .
Выражение для полной энергии ( 2) позволяет сделать важные выводы о возможных скоростях движения объектов в природе.
1. Каждое массивное тело обладает определённой энергией, поэтому необходимо выполнение неравенства
.
Оно означает, что : скорость массивного тела всегда меньше скорости света.
2. В природе существуют безмассовые частицы (например, фотоны), несущие энергию. При подстановке в формулу ( 2) её числитель обращается в нуль. Но энергия-то фотона ненулевая!
Единственный способ избежать здесь противоречия — это принять, что безмассовая частица обязана двигаться со скоростью света. Тогда и знаменатель нашей формулы обратится в нуль, так что формула ( 2) попросту откажет. Нахождение формул для энергии безмассовых частиц не входит в компетенцию теории относительности. Так, выражение для энергии фотона устанавливается в квантовой физике.
Интуитивно чувствуется, что полная энергия ( 2) состоит из энергии покоя и собственно «энергии движения», т. е. кинетической энергии тела. При малых скоростях движения это показывается явным образом. Используем приближённые формулы, справедливые при :
( 3)
( 4)
С помощью этих формул последовательно получаем из ( 2):
( 5)
Таким образом, при малых скоростях движения полная энергия сводится просто к сумме энергия покоя и кинетической энергии.
Это служит мотивировкой для определения понятия кинетической энергии в теории относительности:
. ( 6)
При формула ( 6) переходит в нерелятивистское выражение .
Теперь мы можем ответить на заданный выше вопрос о том, почему до сих пор не учитывалась энергия покоя в нерелятивистских энергетических соотношениях. Как видно из ( 5), при малых скоростях движения энергия покоя входит в полную энергию в качестве слагаемого. В задачах, например, механики и термодинамики изменения энергии тел составляют максимум несколько миллионов джоулей; эти изменения столь незначительны по сравнению с энергиями покоя рассматриваемых тел, что приводят к микроскопическим изменениям их масс. Поэтому с высокой точностью можно считать, что суммарная масса тел не меняется в ходе механических или тепловых процессов. В результате суммы энергий покоя тел в начале и в конце процесса попросту сокращаются в обеих частях закона сохранения энергии!
Но такое бывает не всегда. В других физических ситуациях изменения энергии тел могут приводить к более заметным изменениям суммарной массы.
Мы увидим, например, что в ядерных реакциях отличия масс исходных и конечных продуктов обычно составляют доли процента.Скажем, при распаде ядра урана суммарная масса продуктов распада примерно на меньше массы исходного ядра. Эта одна тысячная доля массы ядра высвобождается в виде энергии, которая при взрыве атомной бомбы способна уничтожить город.
При неупругом столкновении часть кинетической энергии тел переходит в их внутренюю энергию. Релятивистский закон сохранения полной энергии учитывает этот факт: суммарная масса тел после столкновения увеличивается!
Рассмотрим в качестве примера два тела массы , летящих навстречу друг другу с одинаковой скоростью . В результате неупругого столкновения образуется тело массы , скорость которого равна нулю по закону сохранения импульса (об этом законе речь впереди). Согласно закону сохранения энергии получаем:
,
,
,
.
Мы видим, что, — масса образовавшегося тела превышает сумму масс тел до столкновения.
Релятивистский импульс.
Классическое выражение для импульса не годится в теории относительности — оно, в частности, не согласуется с релятивистским законом сложения скоростей. Давайте убедимся в этом на следующем простом примере.
Пусть система движется относительно системы со скоростью (рис. 1). Два тела массы в системе летят навстречу друг другу с одинаковой скоростью . Происходит неупругое столкновение.
| Рис. 1. К закону сохранения импульса |
В системе тела после столкновения останавливаются. Давайте, как и выше, найдём массу образовавшегося тела:
,
откуда
.
Теперь посмотрим на процесс столкновения с точки зрения системы .
До столкновения левое тело имеет скорость:
.
Правое тело имеет скорость:
.
Нерелятивистский импульс нашей системы до столкновения равен:
.
После столкновения получившееся тело массы двигается со скоростью .
Его нерелятивистский импульс равен:
.
Как видим, , то есть нерелятивистский импульс не сохраняется.
Оказывается, правильное выражение для импульса в теории относительности получается делением классического выражения на «релятивистский корень»: импульс тела массы , двигающегося со скоростью , равен:
. 7
Давайте вернёмся к только что рассмотренному примеру и убедимся, что теперь с законом сохранения импульса всё будет в порядке.
Импульс системы до столкновения:
.
Импульс после столкновения:
Вот теперь всё правильно: !
Связь энергии и импульса.
Из формул ( 2) и ( 7) можно получить замечательное соотношение между энергией и импульсом в теории относительности.
Возводим обе части этих формул в квадрат:
,
Преобразуем разность:
Это и есть искомое соотношение:
. ( 8)
Данная формула позволяет выявить простую связь между энергией и импульсом фотона. Фотон имеет нулевую массу и движется со скоростью света. Как уже было замечено выше, сами по себе энергия и импульс фотона в СТО найдены быть не могут: при подстановке в формулы ( 2) и ( 7) значений и мы получим нули в числителе и знаменателе. Но зато с помощью ( 8) легко находим: , или
( 9)
В квантовой физике устанавливается выражение для энергии фотона, после чего с помощью формулы ( 9) находится его импульс.
Релятивистское уравнение движения.
Рассмотрим тело массы , движущееся вдоль оси под действием силы . Уравнение движения тела в классической механике — это второй закон Ньютона: . Если за бесконечно малое время приращение скорости тела равно , то , и уравнение движения запишется в виде:
.
( 10)
Теперь заметим, что — изменение нерелятивистского импульса тела. В результате получим «импульсную» форму записи второго закона Ньютона — производная импульса тела по времени равна силе, приложенной к телу:
. ( 11)
Все эти вещи вам знакомы, но повторить никогда не помешает 😉
Классическое уравнение движения — второй закон Ньютона — является инвариантным относительно преобразований Галилея, которые в классической механике описывают переход из одной инерциальной системы отсчёта в другую (это означает, напомним, что при указанном переходе второй закон Ньютона сохраняет свой вид). Однако в СТО переход между инерциальными системами отсчёта описывается преобразованиями Лоренца, а относительно них второй закон Ньютона уже не является инвариантным. Следовательно, классическое уравнение движения должно быть заменено релятивистским, которое сохраняет свой вид под действием преобразований Лоренца.
То, что второй закон Ньютона ( 10) не может быть верным в СТО, хорошо видно на следующем простом примере.
Допустим, что к телу приложена постоянная сила. Тогда согласно классической механике тело будет двигаться с постоянным ускорением; скорость тела будет линейно возрастать и с течением времени превысит скорость света. Но мы знаем, что на самом
деле это невозможно.
Правильное уравнение движения в теории относительности оказывается совсем не сложным.
Релятивистское уравнение движения имеет вид ( 11), где p — релятивистский импульс:
. ( 12)
Производная релятивистского импульса по времени равна силе, приложенной к телу.
В теории относительности уравнение ( 12) приходит на смену второму закону Ньютона.
Давайте выясним, как же в действительности будет двигаться тело массы m под действием постоянной силы . При условии из формулы ( 12) получаем:
.
Остаётся выразить отсюда скорость:
. ( 13)
Посмотрим, что даёт эта формула при малых и при больших временах движения.
Пользуемся приближёнными соотношениями при :
, ( 14)
.
( 15)
Формулы ( 14) и ( 15) отличаются от формул ( 3) и ( 4) только лишь знаком в левых частях. Очень рекомендую вам запомнить все эти четыре приближённых равенства — они часто используются в физике.
Итак, начинаем с малых времён движения. Преобразуем выражение ( 13) следующим образом:
.
При малых имеем:
.
Последовательно пользуясь нашими приближёнными формулами, получим:
.
Выражение в скобках почти не отличается от единицы, поэтому при малых имеем:
.
Здесь — ускорение тела. Мы получили результат, хорошо известный нам из классической механики: скорость тела линейно растёт со временем. Это и не удивительно — при малых временах движения скорость тела также невелика, поэтому мы можем пренебречь релятивистскими эффектами и пользоваться обычной механикой Ньютона.
Теперь переходим к большим временам. Преобразуем формулу ( 13) по-другому:
.
При больших значениях имеем:
,
и тогда:
.
Хорошо видно, что при скорость тела неуклонно приближается к скорости света , но всегда остаётся меньше — как того и требует теория относительности.
Зависимость скорости тела от времени, даваемая формулой ( 13), графически представлена на рис. 2.
| Рис. 2. Разгон тела под действием постоянной силы |
Начальный участок графика — почти линейный; здесь пока работает классическая механика. Впоследствии сказываются релятивистские поправки, график искривляется, и при больших временах наша кривая асимптотически приближается к прямой .
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Релятивистская динамика» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 04.01.2023
Релятивистская масса
предыдущая главная следующая
Майкл Фаулер, Университет Вирджинии
История до сих пор: краткий обзор
Первое последовательное утверждение того, что физики теперь называют теорией относительности было наблюдение Галилея почти четыреста лет назад, что если вы находитесь в
большую закрытую комнату, чего нельзя было сказать, наблюдая за движением вещей — живые
вещи, брошенные вещи, капающие жидкости — будь то
комната находилась в покое, скажем, в здании или под палубой большого движущегося корабля.
с постоянной скоростью. Более технически
(но на самом деле говоря одно и то же!) мы бы сказали, что законы движения
одинаковы в любой инерциальной системе отсчета. Это
то есть эти законы действительно описывают только относительных положений и скоростей. В частности, они не выделяют
специальную инерциальную систему отсчета как ту, которая «реально покоится».
Позже все это было записано более формально,
в терминах преобразований Галилея . Используя эти простые линейные уравнения, движение
анализируются с точки зрения положений и скоростей в одной инерциальной системе отсчета.
переводится на любой другой. Когда после Галилея
Ньютон писал
Согласно его трем законам движения, они, конечно, были инвариантны относительно Галилея.
преобразований и действителен в любой инерциальной системе отсчета.
Около двухсот лет назад стало ясно, что свет — это не просто
поток частиц (как Ньютон
думал), но проявил определенные волнообразных свойств. Это привело, естественно, к вопросу о том, что,
точно, махала, и по общему мнению, пространство было заполнено эфиром ,
и световые волны были рябью в этом всепроникающем эфире, подобно звуку.
волны в воздухе. Открытие Максвелла, что
уравнения, описывающие электромагнитные явления, имели волнообразные решения, и
предсказал скорость, совпадающую с измеренной скоростью света, предложил
что электрические и магнитные поля были напряжениями или напряжениями в эфире, и
Уравнения Максвелла, по-видимому, были точно правильными только в системе отсчёта.
котором эфир находился в покое. Однако,
очень точные эксперименты, которые должны были быть в состоянии обнаружить этот эфир все
неуспешный.
Около ста лет назад Эйнштейн предположил, что, возможно, все законы
физики были одинаковыми в во всех инерциальных системах отсчета, обобщая систему Галилея.
заявления о движении, чтобы включить недавно открытые законы
электричества и магнетизма. Это бы
подразумевают, что не может быть специальной системы «реально покоящегося» даже для легких
распространения и, следовательно, нет эфира. Этот
— очень привлекательная и очень простая концепция: одни и те же законы действуют во всех фреймах.
Что может быть разумнее? Однако, как мы видели, это приводит к столкновению
с некоторыми представлениями о пространстве и времени, глубоко укоренившимися у всех, кто сталкивается с
это впервые. Центральный
предсказание заключается в том, что, поскольку скорость света следует из законов физики
(уравнения Максвелла) и несколько простых электростатических и магнитостатических экспериментов,
которые явно не зависят от кадра , скорость света одинакова во всех
инерциальные системы .
То есть,
скорость конкретной вспышки света всегда будет измеряться как 3×10 8 метров в секунду, даже если их измеряют разные быстро движущиеся наблюдатели
относительно друг друга, где каждый наблюдатель измеряет скорость вспышки
относительно самого себя. Тем не менее,
эксперименты снова и снова показывают, что элегантная проницательность Эйнштейна верна,
и глубоко укоренившиеся убеждения всех ошибочны.
Мы подробно обсудили кинематических следствий теории Эйнштейна.
постулат: как измеряется положение,
время и скорость в одном кадре соотносятся с таковыми в другом, и насколько очевидны
парадоксы могут быть разрешены тщательным анализом. Однако до сих пор мы мало думали о
динамика. Мы знаем, что законы движения Ньютона были инвариантны при
преобразования Галилея между инерциальными системами отсчета. Теперь мы знаем, что преобразования Галилея
на самом деле неверно , за исключением низкоскоростного нерелятивистского предела. Поэтому нам лучше внимательно изучить законы движения Ньютона.
в свете наших новых знаний.
Ньютона Пересмотренные законы
Ньютона Первый закон, принцип инерции, согласно которому объект не подвержен никакому внешнему силы будут продолжать двигаться прямолинейно с постоянной скоростью, одинаково справедливо в специальной теории относительности. Действительно, это является определяющим свойством инерциальной системы отсчета, что это является истинным, и содержанием специальной теории относительности являются преобразования между такими системами отсчета.
Ньютона
Второй закон, сформулированный в виде сила = масса х ускорение, не может быть верным, поскольку
это стоит в специальной теории относительности. Это
следует из полученной нами формулы сложения скоростей. Представьте себе ракету, имеющую много ступеней, каждая
достаточно для разгона оставшейся части ракеты (включая неиспользуемые ступени)
до c/2 из покоя. Мы могли бы уволить их одного за другим в
тщательно рассчитанный способ создания постоянной большой силы на ракете, которая
доведут его до c/2 при первом обжиге.
Если ускорение продолжалось, ракета
очень скоро превысит скорость света. Но мы знаем из сложения скоростей
формула, что на самом деле ракета никогда не достигает c. Очевидно, второй закон Ньютона нуждается в уточнении.
Ньютона Третий закон, действие = противодействие, также имеет проблемы. Рассмотрим некоторую силу притяжения между двумя быстро движущиеся тела. Как их расстояние друг от друга меняется, как и сила притяжения. У нас может возникнуть соблазн сказать, что сила A на В обратна силе В на А , при каждом момент времени, но это подразумевает одновременных измерений в два тела на некотором расстоянии друг от друга, и если это произойдет в А инерционная рама, ее не будет в B -х.
Законы сохранения
Третий закон нерелятивистской ньютоновской физики говорит нам, что два
взаимодействующие тела ощущают равные, но противоположные силы от взаимодействия. Следовательно, согласно второму закону, скорость
изменение количества движения одного из тел равно и противоположно импульсу
другое тело, таким образом, общая скорость изменения импульса системы
вызванное взаимодействием, равно нулю.
Следовательно,
для любых закрытая динамическая система (без внешних сил) общая
импульс никогда не меняется . Это закон сохранения импульса . Оно делает , а не зависят от деталей сил взаимодействия между
тела, только то, что они равны и противоположны.
Другим важным динамическим законом сохранения является закон сохранения энергии. Это не было полностью сформулировано до тех пор, пока Ньютона, когда стало ясно, что, например, тепловыделение от трения может количественно объяснить очевидную потерю кинетического плюс потенциального энергии в реальных динамических системах.
Хотя эти законы сохранения были первоначально сформулированы в Ньютоновское мировоззрение, их весьма общий характер подсказали Эйнштейну, что они может иметь более широкое действие. Следовательно, в качестве рабочей гипотезы он предположил, что они выполняются во всех инерциальных кадров и исследовал последствия. Мы придерживаемся такого подхода.
Сохранение импульса на бильярдном столе
В качестве разминки рассмотрим сохранение импульса для
столкновение двух шаров на бильярдном столе.
Проводим мелом линию посередине
бильярдный стол и бросайте шары рядом с мелом, но с противоположных сторон
линии с обоих концов с одинаковой скоростью, поэтому они попадут в середину с
скользящий удар, который повернет их скорости на небольшой угол. Другими словами, если изначально мы говорим их (равные
величина, противоположное направление) скорости были параллельны направлению x — мел
линия – затем после
при столкновении они также будут иметь равные и противоположно малые скорости в направлении y. (Скорости в направлении x уменьшится очень
немного).
Симметричное столкновение космического корабля
Теперь давайте повторим упражнение в большом масштабе. Предположим, где-то в космосе, вдали от
гравитационные поля, мы натянули струну длиной в миллион миль. (Это может быть между нашими двумя часами в
эксперимент с замедлением времени). Эта строка
соответствует меловой линии на бильярдном столе. Допустим теперь у нас есть два одинаковых космических корабля
сближаются с равными и противоположными скоростями параллельно
струна с двух концов струны, направленная так, чтобы они слегка
скользящее столкновение, когда они встречаются посередине.
Это видно из симметрии
ситуация, при которой импульс сохраняется в обоих направлениях. В частности, скорость, с которой один космический корабль
удаляется от струны после столкновения — ее y – скорость — равна
и противоположно скорости, с которой другой удаляется от струны.
А теперь представьте, что это столкновение наблюдал кто-то в одном из
космические корабли, назовите его A . (Помните,
импульс должен сохраняться в всех инерциальных системах отсчета — они
все эквивалентно – есть
ничего особенного в системе отсчета, в которой струна покоится.) Перед столкновением он видит струну
двигаясь очень быстро у окна, скажем, на несколько метров. После столкновения он видит, что строка
удаляясь, скажем, со скоростью 15 метров в секунду. Это потому, что космический корабль выбрал
со скоростью, перпендикулярной струне, 15 м/с. Между тем, поскольку это совершенно
симметричная ситуация, наблюдатель на космическом корабле B наверняка сделает вывод
что ее космический корабль удалялся от струны со скоростью 15 метров в секунду, как
хорошо.
Насколько он симметричен?
Ключевой вопрос: как быстро наблюдатель на космическом корабле А видит космический корабль B будет удаляться от струны? Допустим, что относительно космического корабля А , космический корабль B удаляется (в направлении x) на 0,6c. Во-первых, напомним, что расстояния, перпендикулярные направление движения не лоренцево сокращение. Поэтому, когда наблюдатель на космическом корабле B говорит, что она переместилась на 15 метров дальше от веревки за одну секунду интервал, наблюдатель, наблюдающий за этим движением с космического корабля A , будет согласен насчет 15 метров, но не соглашусь на одну секунду! Он скажет ее часы идут медленно, так что по его часам 1,25 секунды придется прошло, когда она пройдет 15 метров в y – направление.
Отсюда следует, что в результате замедления времени это столкновение, если смотреть с
космический корабль A не вызывает ли , а не , равные и противоположные скорости для
два космических корабля в y-направлении.
Первоначально оба космических корабля двигались
параллельно оси x – импульс в направлении y был нулевым. Рассмотрим сохранение импульса в направлении y в
инерциальная система отсчета, в которой A изначально покоилась. Наблюдатель в этой системе отсчета, измеряющий y-скорости после столкновения, найдет А двигаться со скоростью 15 метров в секунду, B двигаться со скоростью -0,8 x 15 метров
в секунду в направлении Y. Итак, как мы можем утверждать, что всего ноль
импульс в направлении y после столкновения, когда
идентичные космические корабли не имеют равные и противоположные скорости?
Эйнштейн спасает закон сохранения импульса
Эйнштейн был настолько уверен, что закон сохранения импульса должен сохраняться всегда, что он
спас его смелой гипотезой: масса объекта должна зависеть от его
скорость! На самом деле масса должна увеличиваться
со скоростью таким образом, чтобы компенсировать меньшую скорость в направлении Y, возникающую из-за времени
расширение.
То есть, если объект
в покое имеет массу m0, а при движении со скоростью v должна иметь массу
m=m01−v2/c2
сохранить y -направление импульс.
Обратите внимание, что это незаметно небольшой эффект при обычных скоростях, но как объект приближается к скорости света, масса увеличивается без ограничений!
Конечно, мы взяли здесь очень частный случай: особый вид столкновение. Читатель вполне может задаться вопросом если бы та же коррекция массы работала и при других типах столкновений, например прямолинейное столкновение, при котором тяжелый предмет наезжает сзади на более легкий предмет. Алгебра проста, хотя и утомительна, и обнаружено, что этот поправочный коэффициент массы действительно обеспечивает импульс сохранение для любого столкновения во всех инерциальных системах отсчета.
Упражнение : проверьте это для прямолинейное столкновение.
Реальная масса
Увеличивается ли со скоростью Решить, что массы объектов должны зависеть от скорости, как это кажется тяжелым
цена за спасение сохранения импульса! Тем не менее, это прогноз, который не
трудно проверить опытным путем.
Первое подтверждение пришло в 1908 году, когда была измерена масса быстрых электронов в
вакуумная труба. В самом деле, электроны в
старомодные цветные телевизионные трубки примерно на полпроцента тяжелее электронов на
покоя, и это необходимо учитывать при расчете магнитных полей, используемых для
направлять их к экрану.
Намного драматичнее, современные ускорители частиц очень мощные электрические поля используются для ускорения электронов, протонов и других частиц. На практике установлено, что эти частицы становиться все тяжелее и тяжелее по мере приближения к скорости света, и, следовательно, необходимо все большие и большие силы для дальнейшего ускорения. Следовательно, скорость света является естественной абсолютное ограничение скорости. Частицы разгоняются до скоростей, при которых их масса в тысячи раз превышает их масса, измеренная в состоянии покоя, обычно называемая «массой покоя».
…Или?
На самом деле среди физиков продолжаются споры
относительно этой концепции релятивистской массы.
Спор во многом семантический: никто не сомневается в правильности
выражение для импульса частицы с массой покоя m , движущейся со скоростью v→ , равно p→=m1−v2/c2v→. Но особенно физики элементарных частиц, многие из
которые проводят свою жизнь, измеряя массы покоя частиц с большой точностью,
не хочется писать это как p→=mrelv→. Им не нравится идея переменной
масса. С одной стороны, это может дать
такое впечатление, что по мере ускорения частица раздувается в размерах или, по крайней мере, ее
внутренняя структура как-то видоизменяется. В
Дело в том, что релятивистская частица просто подвергается лоренцеву сжатию вдоль
направление движения, как и все остальное. Он переходит от сферической формы к
дискообразная форма с одинаковым поперечным радиусом.
Так как же понимать это «увеличение массы»? Как обычно, Эйнштейн был прав: он заметил
что каждая форма энергии обладает инерцией. Сама кинетическая энергия имеет
инерция . Теперь «инерция» является определяющим
свойство массы: чем больше инерция, тем труднее ускоряться, данная сила ускоряет
это меньше .
. Другое фундаментальное свойство
массы заключается в том, что она притягивается гравитационно. Делает ли эта кинетическая энергия
что? Чтобы увидеть ответ, рассмотрите
шар, наполненный газом. (И давайте предположим, что взаимодействие между молекулами незначительно,
верно для разбавленного газа.) Сфера
газ будет генерировать сферически симметричное гравитационное поле вне себя,
прочность пропорциональна общей массе.
Если мы теперь нагреем газ, частицы газа будут иметь это увеличенное
(релятивистская) масса, соответствующая их повышенной кинетической энергии, и
пропорционально увеличится внешнее гравитационное поле. (В этом тоже никто не сомневается.)
Итак, «релятивистская масса» действительно имеет два основных свойства массы: инерция и гравитационное притяжение. (Как станет ясно из следующего лекциях, эта релятивистская масса есть не что иное, как полная энергия, а остальные сама масса теперь рассматривается как «энергия покоя».)
Сноска :
математически сложной обработки, следует добавить, что масса покоя играет важную роль как
я вариант при переходе с одного кадра
ссылка на другой, но “ релятивистский
Используемая здесь масса на самом деле является лишь первой составляющей (энергией)
четырехмерный вектор энергии-импульса частицы, поэтому , а не , является инвариантом Лоренца.
Сохранение массы и энергии: кинетическая энергия и масса для сверхбыстрых Частицы
Как все слышали, в специальной теории относительности масса и энергия не сохраняясь отдельно, в определенных ситуациях масса m может быть преобразована в энергию E=mc2. Эта эквивалентность тесно связана с как мы увидим, масса увеличивается со скоростью. Предположим, что постоянная сила F ускоряет частицу с массой покоя m0 по прямой. Работа, совершаемая силой при ускорении частица, когда она проходит расстояние d, равна Fd, и эта работа дала кинетическую частицу энергия.
В качестве разминки вспомните элементарный вывод кинетической энергии 12mv2 обычного нерелятивистского (т.е. медленно движущийся) объект массой м . Предположим, он начинается с отдыха. Затем по истечении времени t он прошел расстояние d=12at2 и v=at. Согласно второму закону Ньютона, F=ma, работа силы Fd=mad=12ma2t2=12mv2.
Это не сработает, если масса меняется, потому что второй закон Ньютона не всегда F=ma, для переменной массы это
F=dp/dt,
сила = скорость изменения импульса, и если масса изменяет импульс
изменяется даже при постоянной скорости.
(Вообще-то так Ньютон написал закон.)
Поучительный крайний случай — кинетическая энергия частица, движущаяся со скоростью, близкой к скорости света, как это делают частицы в ускорители. В этом режиме изменение скорости с увеличением импульса ничтожно мала! Вместо этого
F=dpdt=d(mv)dt≅dmdtc
, где, как обычно, c – скорость света. Вот что происходит в частице ускоритель для заряженной частицы в постоянном электрическом поле, с F=qE.
Так как частица движется со скоростью очень близкой к c, за время dt она будет двигаться cdt и сила будет совершать работу Fcdt. Уравнение выше можно переписать как
Fcdt=(dm)c2.
Таким образом, энергия dE расходуется ускоряющей силой за время dt приводит к увеличению массы, а dE=(dm)c2. При условии, что скорость близка к c, это, конечно, можно интегрировать в отличное приближение, чтобы связать конечное изменение массы частицы с энергией расходуется на его ускорение.
Кинетическая энергия и масса медленных частиц
Напомним, что для сохранения импульса во всех инерциальных системах отсчета мы имели
предположить увеличение массы со скоростью в 1/1−v2/c2 раз.
Этот
обязательно подразумевает, что даже у медленно движущегося объекта есть незначительное увеличение массы
если он приведен в движение .
Как это увеличение массы связано с кинетической энергией? Рассмотрим частицу с массой покоя m0, движущуюся со скоростью v, намного меньшей скорости света. Его кинетическая энергия E=12m0v2, как обсуждалось выше. Его масса равна m0/1−v2/c2, что мы можем записать как m0+dm, поэтому dm — это крошечное увеличение массы, которое, как мы знаем, должно произойти. Легко вычислить дм.
Для v/c≪1 мы можем сделать приближения
1−v2/c2≅1−12v2/c2
и
11−12v2/c2≅1+12v2/c2.
Итак, для v/c≪1,
m(v)≅m0(1+12v2/c2)dm≅(12m0v2)/c2=KE/c2.
Опять же, увеличение массы dm связано с кинетической энергией KE по KE = (dm)c2. Рассмотрев два простых случая, мы готов вывести общий результат, справедливый во всем диапазоне возможных скорости.
Кинетическая энергия и масса частиц произвольной скорости
В двух предыдущих разделах мы показали, что (в двух предельных случаях), когда
сила работает, чтобы увеличить кинетическую энергию частицы, она также вызывает
релятивистская масса частицы увеличится на величину, равную увеличению
энергия, деленная на c2.
На самом деле этот результат в точности верен для
весь диапазон скоростей от нуля до сколь угодно близкой к скорости света, т.к.
мы сейчас продемонстрируем.
Для частицы с массой покоя m0, ускоряющейся по прямой (из состояния покоя) под действием постоянной силы F,
F=ddt(mv)=dmdtv+mdvdt=m0(1−v2/c2)3/2v2c2dvdt+m0(1−v2/c2)1/2dvdt=m0(1−v2/c2)3/2dvdt.
Следовательно, работа, выполненная при перемещении частицы на расстояние dx , равна дт.
Таким образом, полная работа, выполненная в состоянии покоя,— кинетическая энергия — равна:
∫Fdx=∫m0(1−v2/c2)3/2vdv=(m−m0)c2.
(Интеграл легко сделать, сделав замену y=v2/c2. )
Итак, мы видим, что в общем случае работа, совершенная над телом, по определению его кинетическая энергия как раз равна увеличению его массы, умноженному на c2.
Чтобы понять, почему этого не замечают в повседневной жизни, попробуйте пример, такой
как реактивный самолет весом 100 тонн, движущийся со скоростью 2000 миль в час.
100 тонн это 100000 кг, 2000 миль в час это
около 1000 метров в секунду. Это
кинетическая энергия 12 мв2 ½,10 11 джоулей,
но соответствующее изменение массы самолета уменьшается на коэффициент c2=9⋅1016, что дает фактическое увеличение массы примерно на половину
миллиграмм, не слишком легко обнаружить!
Обозначение:
м и м 0Как указывалось ранее, мы используем м 0 для обозначения «массы покоя» объект, и m для обозначения его релятивистской массы, m=m0/1−v2/c2.
В этих обозначениях мы следуем фейнмановскому . Крейн и Типлер, напротив, используют m для
масса покоя . Используя м , как мы
дает более точные формулы для импульса и энергии, p→=mv→, E=mc2, но не без опасностей. Нужно помнить, что м это а не константа, но функция скорости. Также, надо помнить что релятивистская кинетическая энергия равна ( м – м 0 ) c 2 ,
и не равно ½ mv 2 ,
даже с релятивистской массой.
Если мы используем m для масса покоя , как обычно делают физики элементарных частиц, мы должны написать
p→=mv→1−v2/c2, E=mc21−v2/c2.
предыдущая главная следующая
Энергия массы – Гиперучебник по физике
[закрыть]
импульс и энергия отдельно
Эти идеи полностью дезорганизованы. Имейте это в виду, читая это.
У теории относительности другое уравнение для (почти) всего. Это похоже на то, что классическая физика просто недостаточно хороша. Есть другой для времени (замедление времени) и другой для пространства (сокращение длины), и теперь есть другой для импульса (релятивистский импульс) и еще один для энергии (релятивистская энергия).
Уравнение для релятивистского импульса выглядит так…
| р = | м в |
| √(1 − v 2 / c 2 ) |
Когда против мало (как это бывает для тех скоростей, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни), знаменатель приблизительно равен единице и уравнение сводится к его классической версии…
| v ≪ c | ⇒ | р ≈ м v |
как и должно быть.
Теория относительности не заменяет классическую физику, а дополняет ее. Все уравнения специальной теории относительности должны сводиться к классическим уравнениям при малых скоростях. Это известно как принцип соответствия .
Уравнение для релятивистской энергии выглядит так…
| E = | мс 2 |
| √(1 − v 2 / c 2 ) |
Применить принцип соответствия, чтобы получить классические уравнения, здесь не так просто. Опять же, на низких скоростях знаменатель равен единице, но числитель, с которым мы остались, — это что-то новое. Что-то не имеющее классического аналога. Что-то известное.
| v ≪ с | ⇒ | E ≈ мс 2 |
Это уравнение говорит о том, что объект в состоянии покоя обладает энергией, поэтому его иногда называют уравнением энергии покоя .
В нем также говорится, что причина, по которой покоящийся объект вообще имеет какую-либо энергию, заключается в том, что он имеет массу, поэтому это уравнение также известно как эквивалентность массы-энергии .
Давайте попробуем более сложный подход и посмотрим, куда он нас приведет. биномиальное разложение — это уравнение для преобразования бинома, возведенного в степень, в сумму членов. В самом общем виде это выглядит так…
| ( a + b ) n = |
| ⎛ ⎜ ⎝ | нет | ⎞ ⎟ ⎠ | а н – к б к | |||
| к |
Некоторые читатели могут узнать это как уравнение, используемое для получения членов в треугольнике Паскаля.
Каждая строка треугольника содержит коэффициенты разложения для неотрицательной целой степени ( n = 0, 1, 2, 3, …). Хотя расширение генерирует бесконечное число терминов, только первые n + 1 из них отличны от нуля.
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
| 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
| 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 |
| 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 |
| 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 |
| 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
| 1 | 11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | 1 |
| 1 | 12 | 66 | 220 | 495 | 792 | 924 | 792 | 495 | 220 | 66 | 12 | 1 | 12 | 1 | . Сравнение ( a + b ) n к релятивистскому гамма…
дает следующие параметры для биномиального разложения…
Когда n дробь, расширение действительно бесконечно. Вот как выглядят первые шесть членов релятивистского уравнения энергии. Интересны только первые два ( n = 0 и n = 1).
Распределить mc 2 по всем слагаемым Нулевой слагаемый — это энергия покоя. Е 0 = мс 2 Первый член представляет собой классическое уравнение для кинетической энергии.
Остальные члены являются поправками более высокого порядка, которые становятся все более и более значительными по мере того, как скорость объекта приближается к скорости света. Я не знаю никакого практического применения этих терминов. Однако они выглядят модно.
… Энергия, добавленная к объекту, чтобы перевести его с начальной скорости от нуля до конечной скорости чего-либо, называется его кинетической энергией. K = E − E 0 Заменитель.
Пусть начальная скорость равна нулю.
Разложим на множители подобные слагаемые и в итоге получим уравнение для релятивистской кинетической энергии , которое в расширенных обозначениях выглядит так…
и тому подобное в гамма-обозначении. К = (γ − 1) мк 2 импульс и энергия вместеВ релятивистской механике уравнение импульса…
и уравнение энергии…
имеют общую черту — фактор Лоренца, он же релятивистская гамма…
, что означает, что их можно записать в более компактной форме вот так…
Без видимой причины начните с этого выражения… Е 2 – р 2 в 2 Замените энергию и импульс их гамма-версиями, как здесь… γ 2 M 2 C 4 – γ 2 M 2 V 2 C 9 2 C 2 C C 2 C 2 C 6 2 C V 2 C . Правило тождества позволяет умножить второй член на 1 в виде c 2 / c 2 . γ 2 m 2 c 4 − γ 2 m 2 v 2 c 2 ( c 2 / c 2 ) Используя коммутативные и ассоциативные свойства умножения, переставьте вещи во втором члене. γ 2 м 2 c 4 – γ 2 M 2 ( V 2 / C 2 ) ( C 2 C 2 ) Немного упростить… γ 2 m 2 c 4 − γ 2 m 2 ( v 2 / c 2 ) c 4 и вытащите похожие сроки. γ 2 м 2 c 4 (1 − v 2 / c 2 ) Обратите внимание, что материал в скобках является обратной величиной γ 2 , что означает, что материал слева отменяет материал справа, а материал в середине остается на месте. м 2 с 4 Это означает, что… E 2 – p 2 c 2 = м 2 c 4 или… E 2 = P 2 C 2 + M 2 C 4 Это релятивистское соотношение энергии и импульса. Для массированных частиц в состоянии покоя мы получаем знаменитое соотношение массы и энергии или уравнение энергии покоя… Для безмассовых частиц мы получаем гораздо менее известную зависимость энергии-импульса… Если верить уравнениям относительности, то ничто, имеющее массу, не может двигаться со скоростью света. Если бы это было так, то у него была бы либо неопределенная энергия (ответ математиков), либо бесконечная энергия (ответ физиков). Если v = c , затем √(1 − v 2 / c 2 ) = 0 и, как всем известно, на ноль делить нельзя. Это аргумент математиков. Там нарушение логики. Поскольку v приближается к c , 1/√(1 − v 2 / c 2 ) приближается к бесконечности, и конечные вещи с бесконечными характеристиками кажутся совершенно нереалистичными. Это аргумент физиков. Есть отрыв от того, что мы можем наблюдать. Но что, если объект с нулевой массой движется со скоростью света? Теперь релятивистское уравнение энергии будет иметь ноль в числителе и ноль в знаменателе. Что ж, математики все еще недовольны. Деление на ноль просто не допускается ни при каких обстоятельствах. Но у физиков другое мнение. Они часто рассматривают экстремальные значения как ограничения на поведение чисел, а не как логические утверждения. Какова физическая «реальность» деления mc 2 = 0 на √(1 − v 2 / c 2 ) = 0? Математики нашли способы справиться с пределом деления нуля на ноль, а физики часто думают о крайностях как о пределах, а не как о реальных значениях. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Интересно, что символ ∞ означает одновременно и неопределенность, и бесконечность.
Что все говорят об этом?