Формулы вычисления интегралов: Методы решения интегралов, формулы и примеры

Методы решения интегралов, формулы и примеры

1. Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование – метод интегрирования, при котором подынтегральная функция путем тождественных преобразований и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Подробнее про непосредственное интегрирование читайте по ссылке.

2. Метод подведения под знак дифференциала

Метод подведения под знак дифференциала. Этот метод является эквивалентным методу подстановки. Если , то

   

Подробнее про метод подведения под знак дифференциала читайте по ссылке.

3. Метод замены переменной или метод подстановки

Метод замены переменной или метод подстановки. Этот метод заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть делается подстановка). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или с помощью преобразований его можно свести к табличному.

Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку . Тогда и интеграл принимает вид:

   

Подробнее про метод замены переменной/подстановки читайте по ссылке.

4. Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям. Этот метод основывается на следующей формуле:

   

или

   

При этом предполагается, что нахождение интеграла проще, чем исходного интеграла . В противном случае применение метода неоправданно.

Подробнее про метод интегрирования по частям читайте по ссылке.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Интегрирование по частям: объяснение, решение примеров

Следующая формула называется формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле:

Для применения формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение нужно разбить на два множителя. Один из них обозначается через

u, а остальная часть относится ко второму множителю и обозначается через dv. Затем дифференцированием находится du и интегрированием – функция v. При этом за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv – такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется.

Когда выгодно применять метод интегрирования по частям? Тогда, когда подынтегральная функция содержит:

1) – логарифмические функции, а также обратные тригонометрические функции (с приставкой “arc”), тогда на основании продолжительного опыта интегрирования по частям эти функции обозначаются через

u;

2) , , – синус, косинус и экспоненту, умноженные на P(x) – произвольный многочлен от икса, тогда эти функции обозначают через dv, а многочлен – через u;

3) , , , , в этом случае интегрирование по частям применяется дважды.

Поясним ценность метода интегрирования по частям на примере первого случая. Пусть выражение под знаком интеграла содержит логарифмическую функцию (таким будет пример 1). Применением интегрирования по частям такой интеграл сводится вычислению интеграла только алгебраических функций (чаще всего многочлена), то есть не содержащих логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию. Применяя данную в самом начале урока формулу интегрирования по частям

,

получаем в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) – функцию, не содержащую логарифма. Интеграл алгебраической функции намного проще интеграла, под знаком которого находятся отдельно или вместе с алгебраическим множителем логарифмическая или обратная тригонометрическая функция.

Таким образом, с помощью формулы интегрирования по частям интегрирование не выполняется сразу: нахождение данного интеграла сводится к нахождению другого. Смысл формулы интегрирования по частям состоит в том, чтобы в результате её применения новый интеграл оказался табличным или хотя бы стал проще первоначального.

Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций:

Так как

то её можно записать в виде

,

который и был приведён в самом начале урока.

При нахождении интегрированием функции v для неё получается бесконечное множество первообразных функций. Чтобы применить формулу интегрирования по частям, можно взять любую из них, а значит, и ту, которая соответствует произвольной постоянной С, равной нулю. Поэтому при нахождении функции v произвольную постоянную С вводить не следует.

Есть у метода интегрирования по частям совершенно особенное применение: с его помощью можно выводить рекуррентные формулы для нахождения первообразных функций, когда требуется понизить степень функций под знаком интеграла.

Понижение степени необходимо, когда не существует табличных интегралов для таких, например, функций, как синусы и косинусы в степени более второй и их произведения. Рекуррентная формула – это формула для нахождения очередного члена последовательности через предыдущий член. Для обозначенных случаев цель достигается последовательным понижением степени. Так, если подынтегральная функция – синус в четвёртой степени от икса, то методом интегрирования по частям можно найти формулу для интеграла синуса в третьей степени и так далее. Описанной задаче посвящен последний параграф этого урока.

Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. В подынтегральном выражении – логарифм, который, как мы уже знаем, разумно обозначить через u. Полагаем, что , .

Тогда , .

Находим (как уже говорилось в пояснении к теоретической справке, сразу же получаем в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) – функцию, не содержащую логарифма):

И снова логарифм. ..

Пример 2.  Найти неопределённый интеграл:

.

Решение. Пусть , .

Логарифм присутствует в квадрате. Это значит, что его нужно дифференцировать как сложную функцию. Находим
,
.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Второй интеграл вновь находим по частям и получаем уже упомянутое преимущество (в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) – функцию, не содержащую логарифма).

Находим изначальный интеграл:

Пример 3.  Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Арктангенс, как и логарифм, лучше обозначить через u. Итак, пусть , .

Тогда ,
.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Второй интеграл находим методом замены переменной.

Возвращаясь к переменной x, получаем

.

Находим изначальный интеграл:

.

Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

Решение. Экспоненту лучше обозначить через dv. Разбиваем подынтегральное выражение на два множителя. Полагая, что

находим

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 6. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Синус, как и экспоненту, удобно обозначить через dv. Пусть , .

Тогда , .

По формуле интегрирования по частям находим:

Пример 10. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Как и во всех подобных случаях, косинус удобно обозначить через dv. Обозначаем , .

Тогда , .

По формуле интегрирования по частям получаем:

Ко второму слагаемому также применяем интегрирование по частям. Обозначаем , .

Тогда , .

Применив эти обозначения, интегрируем упомянутое слагаемое:

Теперь находим требуемый интеграл:

Среди интегралов, которые можно решить методом интегрирования по частям, есть и такие, которые не входят ни в одну из трёх упомянутых в теоретической части групп, относительно которых из практики известно, что лучше обозначать через u, а что через dv. Поэтому в этих случаях нужно пользоваться соображением удобства, также приведённым в параграфе “Суть метода интегрирования по частям”: за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv – такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется. Последний пример этого урока – решение именно такого интеграла.

Пример 11. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Примем как руководство к действию общее соображение относительно обозначений. Обозначаем , .

Тогда , .

По формуле интегрирования по частям получаем:

Случаев, когда требуется понижения степени подынтегральной функции, мы уже коснулись во вводной части урока. Теперь – практика использования для этой цели метода интегрирования по частям.

Пример 12. Используя интегрирование по частям, вывести рекуррентную формулу для

,

найти I4.

Решение. Для удобства приведём исходный интеграл к такому выражению, в котором присутствовали бы и синус, и косинус. Используя тригонометрические тождества, получаем

Ко второму слагаемому – интегралу – применяем метод интегрирования по частям. Для этого обозначим

Тогда

Находим это второе слагаемое – интеграл:

Теперь находим рекуррентную формулу для исходного интеграла:

С помощью полученной формулы найдём I4:

Начало темы “Интеграл”

Продолжение темы “Интеграл”

Поделиться с друзьями

Вычисление интегралов по формулам прямоугольников и трапеций.

Оценка погрешности

Учебно-воспитательные задачи:

• Дидактическая цель. Познакомить учащихся с методами приближённого вычисления определённого интеграла.
• Воспитательная цель. Тема данного занятия имеет большое практическое и воспитательное значение. Наиболее просто к идее численного интегрирования можно подойти, опираясь на определение определённого интеграла как предела интегральных сумм. Например, если взять какое-либо достаточно мелкое разбиение отрезка [a; b] и построить для него интегральную сумму, то её значение можно приближённо принять за значение соответствующего интеграла. При этом важно быстро и правильно производить вычисления с привлечением вычислительной техники.

Основные знания и умения. Иметь понятие о приближённых методах вычисления определённого интеграла по формулам прямоугольников и трапеций.

Обеспечение занятия

• Раздаточный материал. Карточки-задания для самостоятельной работы.
• ТСО. Мультипроектор, ПК, ноутбуки.
• Оснащение ТСО. Презентации: “Геометрический смысл производной”, “Метод прямоугольников”, “Метод трапеций”. (Презентации можно взять у автора).
• Вычислительные средства: ПК, микрокалькуляторы.
• Методические рекомендации

Вид занятия. Интегрированное практическое.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Очень часто приходится вычислять определённые интегралы, для которых невозможно найти первообразную. В этом случае применяют приближённые методы вычисления определённых интегралов. Иногда приближённый метод применяют и для “берущихся” интегралов, если вычисление по формуле Ньютона-Лейбница не рационально. Идея приближённого вычисления интеграла заключается в том, что кривая заменяется новой, достаточно “близкой” к ней кривой. В зависимости от выбора новой кривой можно использовать ту или иную приближённую формулу интегрирования.

Последовательность занятия.

1. Формула прямоугольников.
2. Формула трапеций.
3. Решение упражнений.

План занятия

1. Повторение опорных знаний учащихся.

Повторить с учащимися: основные формулы интегрирования, сущность изученных методов интегрирования, геометрический смысл определённого интеграла.

2. Выполнение практической работы.

Решение многих технических задач сводится к вычислению определённых интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближённого значения.

Пусть, например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой неизвестно. В этом случае можно заменить данную линию более простой, уравнение которой известно. Площадь полученной таким образом криволинейной трапеции принимается за приближённое значение искомого интеграла.

Простейшим приближённым методом является метод прямоугольников. Геометрически идея способа вычисления определённого интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции АВСD заменяется суммой площадей прямоугольников, одна сторона которых равна , а друга - .

Если суммировать площади прямоугольников, которые показывают площадь криволинейной трапеции с недостатком [Рисунок1], то получим формулу:

[Рисунок1]

то получим формулу:

Если с избытком

[Рисунок2],

то

Значения у₀, у₁,…, у_n находят из равенств , к = 0, 1…, n . Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближённый результат. С увеличением n результат становится более точным.

Итак, чтобы найти приближённое значение интеграла , нужно:

• разделить отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей точками х₀= а, х₁, х₂,…, х _{n -1}, х _n = b ;
• вычислить значения подынтегральной функции в точках деления, т.е. найти у ₀ = f (x₀), у ₁ = f (x₁), у ₂ = f (x₂), у _{n -1} = f (x_n-1), у _n = f (x_n) ;
• воспользоваться одной из приближённых формул.

Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:

Пример 1. Вычислить по формуле прямоугольников . Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Решение:

Разобьём отрезок [a, b] на несколько (например, на 6) равных частей. Тогда а = 0, b = 3 ,

х _k = a + k х
х₀ = 2 + 0 = 2
х₁ = 2 + 1 = 2,5
х₂ = 2 + 2 =3
х₃ = 2 + 3 = 3
х₄ = 2 + 4 = 4
х₅ = 2 + 5 = 4,5

 

f (x₀) = 2² = 4
f (x ₁ ) = 2 ,5 ² = 6,25
f (x ₂ ) = 3² = 9
f (x ₃ ) = 3,5² = 12,25
f (x ₄ ) = 4² = 16
f (x ₅ ) = 4,5² = 20,25.

х	2	2,5	3	3,5	4	4,5
у	4	6,25	9	12,25	16	20,25

По формуле (1):

Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:

Вычисления проходили долго и мы получили довольно-таки грубое округление. Чтобы вычислить этот интеграл с меньшим приближением, можно воспользоваться техническими возможностями компьютера.

Для нахождения определённого интеграла методом прямоугольников необходимо ввести значения подынтегральной функции f(x) в рабочую таблицу Excel в диапазоне х [2 ;5 ] с заданным шагом х = 0,1. 2 (при английской раскладке клавиатуры). Нажимаем клавишу Enter. В ячейке В2 появляется 4. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В32.
В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.

Теперь в ячейке В33 может быть найдено приближённое значение интеграла. Для этого в ячейку В33 вводим формулу = 0,1*, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (f(x)). В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция – функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В2:В31. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В33 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком (37,955) .

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла (39), можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна

= |39 – 37 , 955| = 1 ,045

Пример 2. Используя метод прямоугольников, вычислить с заданным шагом х = 0,05.

Решение:

1. Для нахождения определённого интеграла значения подынтегральной функции f(x) должны быть введены в рабочую таблицу Excel в диапазоне  с заданным шагом х = 0,05. В созданную уже таблицу данных в ячейку А2 вводится левая граница интегрирования (0). В ячейку А3 вводится второе значение аргумента – левая граница диапазона плюс шаг построения (0,05). Затем, выделив блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А33, до значения х=1,55).
2. Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать её уравнение. Для этого табличный курсор необходимо установить в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение косинуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения косинуса воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции ( f _х ) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция – функцию COS. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно COS. Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле вправо, чтобы открыть столбец данных (А). Указываем значение аргумента косинуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 1. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В33. В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
3. Теперь в ячейке В34 может быть найдено приближённое значение интеграла. Для этого в ячейку В34 вводим формулу = 0,05*, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции ( ( f _х )) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция – функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В2:В32. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В34 появляется приближённое значение искомого интеграла с избытком (1,024056).

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла , можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна

Метод трапеций обычно даёт более точное значение интеграла, чем метод прямоугольников. Криволинейная трапеция заменяется на сумму нескольких трапеций и приближённое значение определённого интеграла находится как сумма площадей трапеций

[Рисунок3]

Пример 3. Методом трапеций найти с шагом х = 0,1.

Решение.

1. Открываем чистый рабочий лист.
2. Составляем таблицу данных (х и f(x)). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями f(x). Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 – слово Функция. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента – левая граница диапазона (0). В ячейку А3 вводится второе значение аргумента – левая граница диапазона плюс шаг построения (0,1). Затем, выделив блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А33, до значения х=3,1).
3. Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать её уравнение (в примере синуса). Для этого табличный курсор необходимо установить в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение синуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения синуса воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции  f(x). В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция – функцию SIN. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно SIN. Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле вправо, чтобы открыть столбец данных (А). Указываем значение аргумента синуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В33. В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
4. Теперь в ячейке В34 может быть найдено приближённое значение интеграла по методу трапеций. Для этого в ячейку В34 вводим формулу = 0,1*((В2+В33)/2+, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции  (f(x)). В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция – функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В3:В32. Нажимаем кнопку ОК и ещё раз ОК. В ячейке В34 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком (1,997) .

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае вполне приемлемая для практики.

3. Решение упражнений.

1. Вычислить методом прямоугольников, разделив отрезок [0;1] на 20 равных частей.
   
2. Вычислить методом трапеций    
3. Вычислить методом трапеций
4. Вычислить методом трапеций
5. Вычислить  разделив отрезок [0;4] на 40 равных частей.
6. Вычислить   разделив отрезок [0;8] на 40 равных частей.
7. Вычислить 

Примеры на интегрирование

Примеры на интегрирование функций подобного состава заданий задают студентам 1, 2 курсов. Это в основном задания для математиков, экономистов, статистов, программистов. Данные интегралы задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка, другие ВУЗы Украины также практикует подобные здания на контрольных по интегрированию. Чтобы формулы в задачах и ответах не повторялись условия заданий выписывать не будем. Всем и так известно что в задачах нужно или “Найти интеграл”, или “Вычислить интеграл”.

Пример 18. Для раскрытия иррациональности в знаменателе дроби необходимо в подобных примерах выполнять такую замену переменных – “икс” в наименьшей степени. В результате придем к интегралу от дробной функции

дальше выполняем деления числителя на знаменатель и упрощение

Таким образом без громоздких расписаний дробей придем к интегралу

Пример 19. Корневую функцию обозначаем за новую переменную в квадрате (для удобства вычислений). Далее находим дифференциал переменной, подставляем в неопределенный интеграл и выполняем упрощение.

В результате замены получим дробь которая разделяется на два интеграла. Второй интеграл равен разнице логарифмов

Пример 20. Следующие интегралы касаются исключительно тригонометрических функций, а именно их произведения, квадратов, кубов, рациональных функций. Первый из приведенных интегралов нужно свести к синусу. Для этого косинус в 5 степени расписываем на произведение косинуса в 4 степени на косинус, который вносим под дифференциал


Для упрощения вводим замену переменных и приходим к интегрированию полинома

После интегрирования возвращаемся к замене и вместо t везде записываем sin(x).

Пример 21. Для вычисления интеграла нужно снизить степень синуса. Таким образом используем тригонометрические формулы, понижаем степень первой, а дальше находим интеграл по табличным формулам.

Пример 22. Нужно найти интеграл от произведения двойного синуса на тройной косинус. Под дифференциал ничего внести не удастся, поскольку имеем различные переменные. Для упрощения распишем произведение тригонометрических функций через разницу синусов

Пример 23. Данный интеграл без универсальной тригонометрической замены переменных найти не удастся. Поэтому пусть тангенс половины угла равный t, тогда синус превратится по формуле

После раскрытия скобок в знаменателе получим квадратный трехчлен

Для сведения такой дроби к табличному арктангенсу в знаменателе сначала выделяем квадратный трехчлен

Не забываем в конце вернуться к выполненной в начале замены. Это важно при тестах и контрольных.

Пример 24. Здесь можем использовать универсальную тригонометрическую замену, а может пойти другим путем. Вынесем в знаменателе синус в квадрате за скобки и перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы по тригонометрическим формулам получить котангенс. Его и обозначим за новую переменную u, вычисляем также дифференциал du и подставляем все в интеграл

В результате интегрирования получим табличную формулу арктангенса

Пример 25. Необходимо вычислить интеграл от тангенса в квадрате от тройного аргумента. Сначала расписываем тангенс как часть синуса к косинусу. Далее синус в квадрате расписываем через косинус. После деления числителя на знаменатель получим два интеграла которые без труда находим по формулам интегрирования

Как только Вы изучите приведенные схемы и методики сведения интегралов под то или иное правило, научитесь видеть в примерах табличные интегралы и преобразования, которые в несколько шагов позволят Вам найти интеграл – тогда контрольная работа, или “срезы” для Вас не будут препятствием в обучении. Для этого нужно решить с десяток различных интегралов к каждому из приведенных типов. Все остальные после этого будут для Вас подобными, а схема их вычислений очевидной и понятной. Если в обучении встречаются сложные интегралы или сомневаетесь в собственных силах помните – мы всегда готовы оказать помощь. Это предложение актуально не только для студентов стационарной формы обучения, но и для заочников и школьников. В 11 классе в обучении с недавних времен школьникам также приходится иметь дело с интегралами.

Готовые решения контрольной по интеграции

ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА | Опубликовать статью ВАК, elibrary (НЭБ)

Пекельник Н. М. ¹, Хаустова О. И. ², Трефилова И. А. ³

¹ Кандидат педагогических наук, ² Кандидат педагогических наук, ³ Преподаватель, Сибирский государственный университет путей сообщения

ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА

Аннотация

Статья посвящена выводу формулы для вычисления несобственного интеграла, содержащего произведение специального вида экспоненты и тригонометрической функции. Показано, что рассматриваемый  интеграл выражается через некоторую сумму, где в качестве слагаемых выступают произведения факториалов и различных показательных функций.

Ключевые слова: несобственный интеграл, ряд Маклорена, экспонента.

Pekel’nik N.M. ¹, Khaustova O.I. ², Trefilova I.A. ³

¹  PhD in Pedagogy, ²  PhD in Pedagogy, ³ Educator, Siberian Transport University

THE FORMULA FOR CALCULATING OF ONE CLASS OF IMPROPER INTEGRALS OF THE FIRST KIND

Abstract

Article dedicated to the conclusion of the formula to calculate the improper integral containing the product of a special kind of exponential and trigonometric functions. It is shown that this integral expressed in terms of a certain sum, where the terms are the product of the factorials of various exponential functions.

Keywords: improper integral, the Maclaurin series, exponential.

Литература

1. Двайт, Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт ; пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. – Изд. 10-е, стер. – СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2009. – 232 с.
2. Курант, Р. Курс дифференциального исчисления / Р. Курант; пер. с нем. и  англ. З. Г. Либина и Ю. Л. Рабиновича; под ред. К. А. Семендяева. – Том 2 – Изд. 2-е, перераб.  доп. – М. : «НАУКА», 1970. – 671 с.
3. Пожидаев, А. В. О вычислении некоторых несобственных интегралов / А. В. Пожидаев, Н. М. Пекельник, О. И. Хаустова, И. А. Трефилова. // Естественные и технические науки. – 2015. – № 11(89). – С. 30 –35.

References

1. Dvajt, G. B. Tablicy integralov i drugie matematicheskie formuly / G. B. Dvajt ; per. s angl. V. Levi ; pod red. K. A. Semendjaeva. – Izd. 10-e, ster. – SPb. ; M. ; Krasnodar : Lan’, 2009. – 232 s.
2. Kurant, R. Kurs differencial’nogo ischislenija / R. Kurant; per. s nem. i  Z. G. Libina i Ju. L. Rabinovicha; pod red. K. A. Semendjaeva. – Tom 2 – Izd. 2-e, pererab.  dop. – M. : «NAUKA», 1970. – 671 s.
3. Pozhidaev, A. V. O vychislenii nekotoryh nesobstvennyh integralov / A. V. Pozhidaev, N. M. Pekel’nik, O. I. Haustova, I. A. Trefilova. // Estestvennye i tehnicheskie nauki. – 2015. – № 11(89). – S. 30 –35.

Формула интеграции

– Примеры | Список формул интегрирования

Формулы интегрирования можно применять для интегрирования алгебраических выражений, тригонометрических соотношений, обратных тригонометрических функций, логарифмических и экспоненциальных функций. Интегрирование функций приводит к исходным функциям, для которых были получены производные. Эти формулы интегрирования используются для нахождения первообразной функции. Если мы дифференцируем функцию f в интервале I, мы получим семейство функций из I.Если значения функций известны в I, то мы можем определить функцию f. Этот обратный процесс дифференциации называется интегрированием. Пойдем дальше и узнаем о формулах интеграции, используемых в методах интеграции.

Что такое формулы интеграции?

Формулы интегрирования широко представлены в виде следующих шести наборов формул. По сути, интеграция – это способ объединения части для поиска целого. Формулы включают в себя основные формулы интегрирования, интегрирование тригонометрических соотношений, обратные тригонометрические функции, произведение функций и некоторый расширенный набор формул интегрирования.Интегрирование – это операция, обратная дифференцированию. Таким образом, основная формула интегрирования \ (\ int \) f ‘(x) .dx = f (x) + C

Основные формулы интеграции

Используя основные теоремы об интегралах, получаются обобщенные результаты, которые запоминаются как формулы интегрирования при неопределенном интегрировании.

• ∫ x ⁿ .dx = x ^{(n + 1)} / (n + 1) + C
• ∫ 1. dx = x + C
• ∫ e ^x . Dx = e ^x + C
• ∫1 / х.dx = журнал | x | + C
• ∫ a ^x . Dx = a ^x / loga + C
• ∫ e ^x [f (x) + f ‘(x)]. Dx = e ^x . F (x) + C

Формулы интегрирования тригонометрических функций

Процесс нахождения интеграла – это интегрирование. Вот несколько важных формул интегрирования, которые помнят для мгновенных и быстрых вычислений. Что касается тригонометрических функций, мы упрощаем их и переписываем как интегрируемые функции.Вот список тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

• ∫ cosx.dx = sinx + C
• ∫ sinx.dx = -cosx + C
• ∫ сек ² x.dx = tanx + C
• ∫ cosec ² x.dx = -cotx + C
• ∫ secx.tanx.dx = secx + C
• ∫ cosecx.cotx.dx = -cosecx + C
• ∫ tanx.dx = log | secx | + C
• ∫ cotx.dx = log | sinx | + C
• ∫ secx.dx = log | secx + tanx | + C
• ∫ косек.dx = log | cosecx – cotx | + C

Формулы интегрирования обратных тригонометрических функций:

• ∫1 / √ (1 – x ² ) .dx = sin ^-1 x + C
• ∫ / 1 (1 – x ² ) .dx = -cos ^-1 x + C
• ∫1 / (1 + x ² ) .dx = tan ^-1 x + C
• ∫ 1 / (1 + x ² ) .dx = детская кроватка ^-1 x + C
• ∫ 1 / x√ (x ² – 1) .dx = сек ^-1 x + C
• ∫ 1 / x√ (x ² – 1).dx = -cosec ^-1 x + C

Расширенные формулы интеграции

• ∫1 / (x ² – a ² ) .dx = 1 / 2a.log | (x – a) (x + a | + C
• ∫ 1 / (a ​​ ² – x ² ) .dx = 1 / 2a.log | (a + x) (a – x) | + C
• ∫1 / (x ² + a ² ) .dx = 1 / a.tan ^-1 x / a + C
• ∫1 / √ (x ² – a ² ) dx = log | x + √ (x ² – a ² ) | + C
• ∫ √ (x ² – ² ).dx = 1 / 2.x.√ (x ² – a ² ) -a ² /2 log | x + √ (x ² – a ² ) | + C
• ∫1 / √ (a ² – x ² ) .dx = sin ^-1 x / a + C
• ∫√ (a ² – x ² ) .dx = 1 / 2.x.√ (a ² – x ² ) .dx + a ² /2.sin-1 x / А + С
• ∫1 / √ (x ² + a ² ) .dx = log | x + √ (x ² + a ² ) | + C
• ∫ √ (x ² + ² ).dx = 1 / 2.x.√ (x ² + a ² ) + a ² /2. журнал | x + √ (x ² + a ² ) | + C

Различные формулы интегрирования

Существует 3 типа методов интегрирования, и каждый из них применяется со своими уникальными приемами, используемыми для нахождения интегралов. Это стандартизированные результаты. Их можно запомнить как формулы интегрирования.

Интеграция по формуле частей:

Когда заданная функция является продуктом двух функций, мы применяем это интегрирование по формуле частей или частичное интегрирование и вычисляем интеграл.Формула интегрирования при использовании частичного интегрирования имеет следующий вид:

∫ f (x) .g (x) = f (x) .∫g (x) .dx -∫ (∫g (x) .dx.f ‘(x)). Dx + c

.

Например: ∫ xe ^x dx имеет вид ∫ f (x) .g (x). Таким образом, мы применяем соответствующую формулу интегрирования и вычисляем интеграл.

f (x) = x и g (x) = e ^x

Таким образом, ∫ xe ^x dx = x∫e ^x .dx – ∫ (∫e ^x .dx. X). dx + c

= xe ^x – e ^x + c

Интегрирование по формуле подстановки:

Когда функция является функцией другой функции, мы применяем формулу интегрирования для подстановки.Если I = ∫ f (x) dx, где x = g (t), так что dx / dt = g ‘(t), то мы пишем dx = g’ (t)

Мы можем записать I = ∫ f (x) dx = ∫ f (g (t)) g ‘(t) dt

Например: Рассмотрим ∫ (3x +2) ⁴ dx

Здесь мы можем использовать формулу интегрирования подстановки. Пусть u = (3x + 2). ⇒ du = 3. dx

Таким образом, ∫ (3x +2) ⁴ dx = 1/3. ∫ (u) ⁴ . du

= 1/3. u ⁵ /5 = u ⁵ /15

= (3x + 2) ⁵ /15

Интегрирование по формуле частичных дробей:

Если нам нужно найти интеграл от P (x) / Q (x), который является неправильной дробью, при этом степень P (x) <степени Q (x), то мы используем интегрирование по частичным дробям.Мы разбиваем дробь, используя разложение на частичную дробь как P (x) / Q (x) = T (x) + P \ (_ 1 \) (x) / Q (x), где T (x) - многочлен от x и P \ (_ 1 \) (x) / Q (x) - собственная рациональная функция. Если A B и C - действительные числа, то у нас есть следующие типы более простых частичных дробей, которые связаны с различными типами рациональных функций.

Форма рациональных дробей	Вид дробей
(px + q) / (x-a) (x – b)	А / (х – а) + В / (х-б)
(px + q) / (x-a) n	A 1 / (x-a) + A 2 / (x-a) 2 +………. A n / (x-a) n
(px 2 + qx + r) / (ax 2 + bx + c)	(Ax + B) / (Ax 2 + bx + c)
(px 2 + qx + r) / (ax 2 + bx + c) n	(A 1 x + B 1 ) / (ax 2 + bx + c) + (A 2 x + B 2 ) / (ax 2 + bx + c) 2 + … (A n x + B n ) / (ax 2 + bx + c) n
(пикс 2 + qx + r) / (x-a) (x-b) (x-c)	A / (x – a) + B / (x-b) + C / (x-c)
(пикс 2 + qx + r) / (x 2 + bx + c)	A / (x-a) + (Bx + C) / (x 2 + bx + c)

Например: ∫ 3x + 7 / x ² -3x + 2

Разложив на частичные дроби, получаем

3x + 7 / x ² -3x + 2 = A / (x-2) + B / (x-1)

= А (х-1) + В (х-2) / (х-2) (х-1)

Приравнивая числители, получаем 3x +7 = A (x-1) + B (x-2)

Найдите B, задав x = 1⇒ 10 = B

Найдите A, задав x = 2⇒ 13 = A

Таким образом, 3x + 7 / x ² -3x + 2 = 13 / (x-2) + 10 (x-1)

Применяя формулы интегрирования, получаем

∫ (3x + 7 / x ² -3x + 2) = ∫ 13 / (x-2) + ∫ 10 (x-1)

∫ (3x + 7 / x ² -3x + 2) = 13 log | x-2 | – 10 лог | х-1 | + C

Применение формул интегрирования

Как правило, есть два типа интегралов.b g (x) dx \) = G (б) – G (а)

Формула неопределенного интегрирования

Это интеграции, которые не имеют ранее существовавших значений ограничений; таким образом делая окончательное значение интеграла неопределенным. Здесь C – постоянная интегрирования. ∫ g ‘(x) = g (x) + С

Мы применяем рассмотренные до сих пор формулы интегрирования для аппроксимации площади, ограниченной кривыми, при оценке ориентированных на среднее расстояние, скорость и ускорение задач, при нахождении среднего значения функции, для аппроксимации объема и площади поверхности твердых тел, при нахождении центра масс и работы, при оценке длины дуги, при нахождении кинетической энергии движущегося объекта с использованием несобственных интегралов.3 \) 5т

= -t ³ /3 + 5t ² /2

= [(-27 / 3-1 / 3) + (45/2 – 5/2)]

= -28/3 +40/3 = 12/3

Рабочий объем = 4

Расстояние между двумя точками – это абсолютная величина ее смещения. Общее расстояние между позициями 1 и 3 и наоборот составляет 4 + 4 = 8

.

Таким образом, смещение объекта равно 4, а расстояние, пройденное объектом, равно 4 + 4 = 8

Давайте посмотрим, как использовать формулы неопределенного интегрирования в следующих решенных примерах.

Часто задаваемые вопросы по формулам интеграции

Для чего используются формулы интегрирования или интегральный УФ?

Интегральный UV используется для интеграции произведения двух функций. Формула интегрирования согласно этому правилу: ∫u v dx = u∫v dx −∫u ‘(∫v dx) dx. u – функция u (x) v – функция v (x)

Как выполнить интеграцию с помощью формул интеграции?

Мы можем использовать следующие шаги для интеграции:

• Сначала определите небольшую часть объекта в определенных размерах, которая при повторном добавлении создает весь объект.
• Используйте формулы интегрирования для этой небольшой детали по разным размерам.

Для чего нужны формулы интегрирования?

Интеграция используется для определения площади любых объектов. Примеры из реальной жизни – найти центр масс объекта, центр тяжести и момент инерции массы внедорожника. Он также используется для расчета скорости и траектории объекта, прогнозирования выравнивания планет и в электромагнетизме.Во всех этих случаях используйте формулы интегрирования.

Какие методы интеграции включают формулы интеграции?

Подстановка, интегрирование по частям, правило обратной цепочки и расширение частичной дроби – это несколько методов интеграции.

Какова формула интегрирования интегрального УФ?

Формула интегрального UV используется для интегрирования произведения двух функций. Формула интегрирования UV-формы задается как \ (\ int \) u.v.du = u.dv – \ (\ int \) v.du.

Какие формулы интегрирования для тригонометрических функций?

Тригонометрические функции упрощаются до интегрируемых функций, а затем вычисляются их интегралы. Основные формулы интегрирования тригонометрических функций следующие.

• ∫ cosx.dx = sinx + C
• ∫ sinx.dx = -cosx + C
• ∫ сек ² x.dx = tanx + C
• ∫ cosec ² x.dx = -cotx + C
• ∫ сек.tanx.dx = secx + C
• ∫ cosecx.cotx.dx = -cosecx + C
• ∫ tanx.dx = log | secx | + C
• ∫ cotx.dx = log | sinx | + C
• ∫ secx.dx = log | secx + tanx | + C
• ∫ cosecx.dx = log | cosecx – cotx | + C

Как применить формулы интеграции для поиска интегрированного LN?

∫ ln (x) dx имеет УФ-форму. Примените формулу интегрирования по правилу частей, выполнив следующие шаги для интеграции LN.

1) Определите uv: возьмем u = ln (x) и dv = 1.dx ⇒ du = 1 / x и v = x

2) Примените формулу: ∫ uv dx = uv -∫ vdu

= х. ln (x) – x. 1 / х

= х ln (х) – х + C

3) Упростите и оцените интеграл.

Как использовать формулы интеграции?

Мы можем использовать следующие шаги для интеграции:

1) Сначала определите небольшую часть объекта в определенных размерах, которая при повторном добавлении делает объект целым.

2) Используйте формулы интегрирования для этой небольшой части по разным размерам.

Что такое интеграционные формулы?

Формулы неопределенного интегрирования используются для определения площади, объема или смещения любых объектов. Примеры из реальной жизни – найти центр масс объекта, объем цилиндра, площадь под кривой или между кривыми и т. Д.

формул интеграции | Все формулы интеграции

Введение в интеграцию

Интеграция – это обратный процесс дифференцирования, который называется обратным дифференцированием.В процессе интегрирования функция находится с ее производной. По сути, интеграция складывает все значения функции по независимой переменной. Независимой переменной может быть любая интересующая переменная или время. Интегрирование – это фундаментальная и важная операция исчисления. Он служит инструментом для решения задач по математике.

Интеграл определяется как функция, производной которой является заданная функция. Интегрирование в основном используется для нахождения площадей двумерной области.Он также вычисляет объемы трехмерных объектов. Следовательно, нахождение интеграла функции по x подразумевает нахождение площади до оси x от кривой. Интеграл также известен как антипроизводная, поскольку это обратный процесс дифференцирования.

История Интеграция

Хотя методы вычисления объемов и площадей восходят к древнегреческой математике, но принципы интеграции были сформулированы Готфридом Вильгельмом Лейбницем и Исааком Ньютоном в конце 17 века.Они оба пытались определить площадь данной кривой наклона, при этом он думал, что должен быть противоположный процесс вычисления, то есть дифференциация, которая представляет собой наклон касательной к данной кривой.

Какие типы интеграции?

По сути, существует два вида интегралов – определенный и неопределенный.

Определенный интеграл

Определенный интеграл определяется как интеграл, который содержит определенные пределы, такие как – верхний предел и нижний предел.Она также известна как интеграция Римана, которая представлена ​​как:

∫ba f (x) d (x)

• Формула сокращения для sin – Sinn x dx = -1 / n cos x sinn-1 х + п-1 / п синн-2 х дх.
• Формула приведения для cos = Cosn x dx = -1 / n sin x cosn-1 x + n-1 / n ∫ cosn-2 x dx.

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл определяется как интеграл, верхний и нижний пределы которого не определены, и представляется как:

∫f (x) d (x) = F (x) + C, определяется как неопределенный интеграл, где C – постоянное значение.

Базовая формула интеграции

Интеграция используется как непрерывная версия суммирования. Однако, как это ни парадоксально, часто интегралы вычисляются, рассматривая интегрирование как операцию, обратную дифференцированию.

Интеграл функции f (x) f (x) относительно xx записывается как

∫f (x) dx∫f (x) dx

Поскольку интегрирование является обратным по отношению к операция дифференцирования, что означает, что если

ddxf (x) = g (x) ddxf (x) = g (x)

, то

∫g (x) dx = f (x) + C∫g ( x) dx = f (x) + C

Список формул интегрирования:

• ∫ 1 dx = x + C
• ∫ a dx = ax + C
• ∫ xn dx = ((xn + 1) / (n +1)) + С; n ≠ 1
• ∫ sin x dx = – cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sec2x dx = tan x + C
• ∫ csc2x dx = – кроватка x + C
• ∫ sec x (tan x) dx = sec x + C
• ∫ csc x (cot x) dx = – csc x + C
• ∫ (1 / x) dx = ln | x | + C
• ∫ ex dx = ex + C
• ∫ ax dx = (ax / ln a) + C; a> 0, a ≠ 1

Приложения интеграции

Формулы интеграции применяются в различных областях, таких как наука, математика, инженерия и т. д.

Давайте посмотрим:

Математика

• Площадь кривой
• Площадь между двумя кривыми
• Среднее значение кривой
• Найти центр масс (Центроид) область с изогнутой стороной

Физика

• Масса и импульс инерции транспортных средств
• Масса и импульс башни
• Масса и импульс инерции транспортных средств
• Центр тяжести
• Центр масс
• Траектория спутника в то время, когда он был выведен на орбиту
• Скорость спутника в то время, когда он был выведен на орбиту
• Расчет тяги

Техника

• Центроид центра тяжести Площадь при интегрировании
• Моменты инерции при интегрировании
• Объем тела вращения при интегрировании
• Сдвигающая сила a изгибающий момент
• Профнастил из гофрированного железа
• Конструкция наклонных плит

Экономика

• Накопление капитала за определенный период времени
• Избыток потребителя и производителя
• Маржинальная и общая выручка, прибыль и затраты
• Кривая Лоренца и коэффициент Джини

Часто задаваемые вопросы о формулах интеграции

Q1.В чем смысл интеграции?

Интегрирование – это метод нахождения функции g (x), производная которой, Dg (x), равна заданной функции f (x). Он обозначается знаком интеграла «∫», как в f (x), также известный как неопределенный интеграл функции. Интеграл присваивает числовое значение функции определенным образом, описывающим площадь, смещение, объем и другие понятия. Интеграция служит инструментом для решения задач математики, инженерии и физики, которые включают площадь произвольной формы, объем твердого тела и длину кривой.

2 кв. Как запомнить формулы интегрирования?

Повторение – лучший способ запоминать вещи. Пишите формулу снова и снова. Вы также можете проверить себя с помощью карточек. Вы также можете повесить список формул на стену или записать формулу на белой доске и повесить на стену.

3 кв. Что такое формула приведения в интегрировании?

Формула приведения в интегрировании – это формула, которая помогает нам решить интегральную задачу. Это сводит ее к проблеме решения более простой интегральной задачи.Далее все сводится к проблеме решения более простой задачи и так далее.

4 кв. Что такое интегральная формула Коши?

Интегральная формула Коши, названная в честь Огюстена-Луи Коши, выражает голоморфную функцию, заданную на диске, которая полностью определяется своими значениями на границе диска. Он предоставляет всех формул интегрирования для всех производных голоморфной функции.

Q5. В каком классе преподаются формулы интеграции?

Интеграция – одна из основных тем математики в математике, которая измеряет скорость изменения любой функции по отношению к ее переменным.{f (x)}} + c} $$

11) $$ \ int {af (x) dx = a \ int {f (x)}} $$

12) $$ \ int {[f (x) \ pm g (x)] dx = \ int {f (x) dx \ pm \ int {g (x) dx}}} $$

13) $$ \ int {f (x) \ cdot g (x) dx = f (x) \ left ({\ int {g (x) dx}} \ right) – \ left [{f ‘ (x) \ left ({\ int {g (x) dx}} \ right)} \ right] dx} $$

14) $$ \ int {\ ln xdx = x (\ ln x – 1) + c} $$

15) $$ \ int {\ sin xdx = – \ cos x + c} $$

16) $$ \ int {\ cos xdx = \ sin x + c} $$

17) $$ \ int {\ tan xdx = \ ln \ sec x} + c $$ или $$ – \ ln \ cos x + c $$

18) $$ \ int {\ cot xdx = \ ln \ sin x + c} $$

19) $$ \ int {\ sec xdx = \ ln (\ sec x + \ tan x) + c} $$ или $$ \ ln \ tan \ left ({\ frac {x} {2 } + \ frac {\ pi} {4}} \ right) + c $$

20) $$ \ int {\ csc xdx = \ ln (\ csc x – \ cot x) + c} $$ или $$ \ ln \ tan \ frac {x} {2} + c $ $

21) $$ \ int {{{\ sec} ^ 2} xdx = \ tan x + c} $$

22) $$ \ int {{{\ csc} ^ 2} xdx = – \ cot x + c} $$

23) $$ \ int {\ sec x \ tan xdx = \ sec x + c} $$

24) $$ \ int {\ csc x \ cot xdx = – \ csc x + c} $$

25) $$ \ int {\ sinh xdx = \ cosh x + c} $$

26) $$ \ int {\ cosh xdx = \ sinh x + c} $$

27) $$ \ int {\ tanh xdx = \ ln \ cosh x + c} $$

28) $$ \ int {\ coth xdx = \ ln \ sinh x + c} $$

29) $$ \ int {\ sec {\ text {h}} xdx = {{\ tan} ^ {- 1}} (\ sinh x) + c} $$

30) $$ \ int {\ csc {\ text {h}} xdx = – {{\ coth} ^ {- 1}} (\ cosh x)} $$

31) $$ \ int {\ sec {{\ text {h}} ^ 2} xdx = \ tanh x + c} $$

32) $$ \ int {\ csc {{\ text {h}} ^ 2} xdx = – \ coth x + c} $$

33) $$ \ int {\ sec {\ text {h}} x \ tanh xdx = – \ sec {\ text {h}} x + c} $$

34) $$ \ int {\ csc {\ text {h}} x \ coth xdx = – \ csc {\ text {h}} x + c} $$

35) $$ \ int {\ frac {1} {{\ sqrt {{a ^ 2} – {x ^ 2}}}} dx = {{\ sin} ^ {- 1}} \ frac { x} {a}} + c $$ или $$ {\ cos ^ {- 1}} \ frac {x} {a} + c $$

36) $$ \ int {\ frac {1} {{\ sqrt {{x ^ 2} – {a ^ 2}}}} dx = {{\ cosh} ^ {- 1}} \ frac { x} {a}} + c $$ или $$ \ ln (x + \ sqrt {{x ^ 2} – {a ^ 2}}) + c $$

37) $$ \ int {\ frac {1} {{\ sqrt {{x ^ 2} + {a ^ 2}}}} dx = {{\ sinh} ^ {- 1}} \ frac { x} {a} + c} $$ или $$ \ ln (x + \ sqrt {{x ^ 2} + {a ^ 2}}) + c $$

38) $$ \ int {\ frac {1} {{{a ^ 2} – {x ^ 2}}} dx = \ frac {1} {a} {{\ tanh} ^ {- 1} } \ frac {x} {a} + c} $$ или $$ \ frac {1} {{2a}} \ ln \ left ({\ frac {{a + x}} {{a – x} }} \ right) + c $$

39) $$ \ int {\ frac {1} {{{x ^ 2} – {a ^ 2}}} dx = – \ frac {1} {a} {{\ coth} ^ {- 1 }} \ frac {x} {a} + c} $$ или $$ \ frac {1} {{2a}} \ ln \ left ({\ frac {{x – a}} {{x + a }}} \ right) + c $$

40) $$ \ int {\ frac {1} {{{x ^ 2} + {a ^ 2}}} dx = \ frac {1} {a} {{\ tan} ^ {- 1} } \ frac {x} {a} + c} $$

4.6. Формулы интеграции и теорема об изменении сети

В этом разделе мы используем некоторые базовые формулы интеграции, изученные ранее, для решения некоторых ключевых прикладных задач. Важно отметить, что эти формулы представлены в терминах неопределенных интегралов. Хотя определенные и неопределенные интегралы тесно связаны, следует помнить о некоторых ключевых различиях. Определенный интеграл – это либо число (когда пределы интегрирования являются константами), либо отдельная функция (когда один или оба предела интегрирования являются переменными).Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, каждая из которых отличается константой. По мере того, как вы ближе познакомитесь с интеграцией, вы почувствуете, когда использовать определенные интегралы, а когда – неопределенные. Вы, естественно, выберете правильный подход к данной проблеме, не слишком задумываясь об этом. Однако, пока эти концепции не закрепятся в вашем сознании, тщательно подумайте, нужен ли вам определенный интеграл или неопределенный интеграл, и убедитесь, что вы используете правильную нотацию на основе вашего выбора.2−3x \) на интервале \ ([1,3]. \)

Подсказка

Следуйте процессу из примера, чтобы решить проблему.

Ответ

\ [- \ frac {10} {3} \]

Теорема чистого изменения

Теорема чистого изменения рассматривает интеграл скорости изменения . В нем говорится, что при изменении количества новое значение равно начальному значению плюс интеграл скорости изменения этого количества.b_aF ‘(x) dx = F (b) −F (a). \]

Вычитание \ (F (a) \) из обеих частей первого уравнения дает второе уравнение. Поскольку это эквивалентные формулы, то, какую из них мы используем, зависит от приложения.

Значение теоремы о чистом изменении заключается в результатах. Чистое изменение может быть применено к площади, расстоянию и объему, если назвать лишь несколько приложений. Чистое изменение автоматически учитывает отрицательные количества без необходимости записывать более одного интеграла. Чтобы проиллюстрировать это, давайте применим теорему о чистом изменении к функции скорости , в которой результатом будет смещение .

Мы рассмотрели простой пример этого в «Определенном интеграле». Предположим, автомобиль движется строго на север (положительное направление) со скоростью 40 миль в час между 14:00. и 16:00, затем с 16:00 машина движется на юг со скоростью 30 миль в час. и 17:00 Мы можем изобразить это движение, как показано на рисунке.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): график показывает зависимость скорости от времени для данного движения автомобиля.

Как и раньше, мы можем использовать определенные интегралы для вычисления чистого смещения, а также общего пройденного расстояния.5_430dt = 80 + 30 = 110. \]

Следовательно, между 14:00 и 17:00 автомобиль проехал в общей сложности 110 миль.

Подводя итог, чистое смещение может включать как положительные, так и отрицательные значения. Другими словами, функция скорости учитывает как расстояние вперед, так и расстояние назад. Чтобы найти чистое смещение, проинтегрируйте функцию скорости по интервалу. С другой стороны, общее пройденное расстояние всегда положительно. Чтобы найти общее расстояние, пройденное объектом, независимо от направления, нам нужно интегрировать абсолютное значение функции скорости.2} {2} −5 (3)] – 0 = \ frac {27} {2} −15 = \ frac {27} {2} – \ frac {30} {2} = – \ frac {3} { 2}. \]

Чистое смещение составляет \ (- \ frac {3} {2} \) м (рисунок).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): график показывает зависимость скорости частицы от времени для частицы, движущейся с линейной функцией скорости.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): определение общего пройденного расстояния

Используйте пример, чтобы найти полное расстояние, пройденное частицей согласно функции скорости \ (v (t) = 3t − 5 \) м / сек за интервал времени \ ([0,3].\)

Раствор

Общее пройденное расстояние включает как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, мы должны проинтегрировать абсолютное значение функции скорости, чтобы найти общее пройденное расстояние.

Чтобы продолжить пример, используйте два интеграла, чтобы найти общее расстояние. Сначала найдите t-точку пересечения функции, поскольку именно здесь происходит деление интервала. Установите уравнение равным нулю и решите относительно t. Таким образом,

\ (3t − 5 = 0 \)

\ (3t = 5 \)

\ (t = \ frac {5} {3}.4} {4}] – 0 = 10− \ frac {16} {4} = 6. \]

Таким образом, моторная лодка расходует 6 галлонов газа за 2 часа.

Пример \ (\ PageIndex {5} \): Начало главы: Iceboats

Как мы видели в начале главы, лучшие гонщики ледового катера могут развивать скорость, в пять раз превышающую скорость ветра. Однако Эндрю – ледоход среднего уровня, поэтому он развивает скорость, равную лишь удвоенной скорости ветра.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): (кредит: модификация работы Картера Брауна, Flickr)

Предположим, Эндрю вытаскивает свою лодку однажды утром, когда все утро дул легкий ветерок со скоростью 5 миль в час.Однако, когда Эндрю настраивает свою лодку, ветер начинает усиливаться. В течение первых получаса плавания на ледовой лодке скорость ветра увеличивается в соответствии с функцией \ (v (t) = 20t + 5. \). Во вторые полчаса прогулки Эндрю ветер остается устойчивым со скоростью 15 миль в час. Другими словами, скорость ветра определяется как

.

\ [v (t) = \ begin {case} 20t + 5 & для 0≤t≤ \ frac {1} {2} \\ 15 & для \ frac {1} {2} ≤t≤1 \ end {case }. \]

Если вспомнить, что ледовая лодка Эндрю движется с удвоенной скоростью ветра, и если предположить, что он движется по прямой от начальной точки, как далеко Эндрю от отправной точки через 1 час?

Раствор

Чтобы выяснить, как далеко проехал Эндрю, нам нужно интегрировать его скорость, которая вдвое превышает скорость ветра.1_ {1/2} \)

\ (= (\ frac {20} {4} +5) −0+ (30−15) \)

\ (= 25. \)

Эндрю находится в 25 милях от отправной точки через 1 час.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Предположим, что вместо того, чтобы оставаться устойчивым в течение вторых получасов после прогулки Эндрю, ветер начинает стихать в соответствии с функцией \ (v (t) = – 10t + 15. \) Другими словами, скорость ветра задана по

\ (v (t) = \ begin {cases} 20t + 5 & для 0≤t≤ \ frac {1} {2} \\ – 10t + 15 & для \ frac {1} {2} ≤t≤1 \ конец {случаи} \).

В этих условиях, как далеко Эндрю от начальной точки через 1 час?

Подсказка

Не забывайте, что ледокол Эндрю движется вдвое быстрее ветра.

Ответ

\ (17,5 миль \)

Интеграция четных и нечетных функций

В разделе «Функции и графики» мы видели, что четная функция – это функция, в которой \ (f (−x) = f (x) \) для всех x в области, то есть график кривой не изменяется, когда x заменяется на −x.Графики четных функций симметричны относительно оси ординат. Нечетная функция – это функция, в которой \ (f (−x) = – f (x) \) для всех x в области, а график функции симметричен относительно начала координат. 9} {3} −2 (−2)] \)

\ (= (\ frac {512} {3} −4) – (- \ frac {512} {3} +4) \)

\ (= \ frac {1000} {3} \).2_0 = \ frac {512} {3} −4 = \ frac {500} {3} \]

Поскольку \ (2⋅ \ frac {500} {3} = \ frac {1000} {3}, \) мы проверили формулу для четных функций в этом конкретном примере.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): График (a) показывает положительную область между кривой и осью x, тогда как график (b) показывает отрицательную область между кривой и осью x. Оба вида показывают симметрию относительно оси y.

Пример \ (\ PageIndex {7} \): интегрирование нечетной функции

Вычислить определенный интеграл нечетной функции \ (- 5sinx \) по интервалу \ ([- π, π].4dx. \)

Подсказка

Интегрируйте четную функцию.

Ответ

\ (\ dfrac {64} {5} \)

Получить формулы интеграла, типы, примеры

Формулы интегрирования: Интегрирование – это процесс непрерывного суммирования, который обычно рассматривается как процесс, обратный дифференцированию. Поэтому интегралы также называют первообразными.Это означает, что

, если d / dxf (x) = g (x), то

∫g (x) dx = f (x) + C

Формулы интегрирования используются для нахождения интегралов алгебраических выражений, тригонометрических отношений, обратных тригонометрических функций, логарифмических и экспоненциальных функций. Здесь перечислены основные формулы интеграции и несколько примеров вопросов. В статье также приводится подробная информация о различных типах интегральных функций.

Формулы интеграции: символы и значения

Прежде чем предоставить вам список формул, давайте рассмотрим символы, термины, фразы, используемые при интеграции, и их значение:

Источник: NCERT

Список формул интеграции: Список интегральных формул

Интеграл функции f (x) f (x) относительно xx записывается как f (x) dx.Основные формулы, обычно используемые при интеграции, перечислены ниже:

Основные формулы интеграции

Некоторые обобщенные результаты, полученные с использованием основных теорем об интегралах, запоминаются как формулы интегрирования при неопределенном интегрировании.

1. ∫ x ⁿ .dx = x ^{(n + 1)} / (n + 1) + C
2. ∫ 1.dx = x + C
3. ∫1 / x.dx = log | x | + C
4. ∫ e ^x . Dx = e ^x + C
5. ∫ a ^x .dx = a ^x / loga + C
6. ∫ e ^x [f (x) + f ‘(x)]. dx = e ^x .f (x) + C

Формулы интегрирования тригонометрических функций

Мы упрощаем и переписываем тригонометрические функции как интегрируемые. Список тригонометрических функций в интегрировании приведен ниже:

1. ∫ cosx.dx = sinx + C
2. ∫ sinx.dx = -cosx + C
3. ∫ cosec ² x.dx = -cotx + C
4. ∫ sec ² x.dx = tanx + C
5. ∫ cosecx.cotx.dx = -cosecx + C
6. ∫ secx.tanx.dx = secx + C
7. ∫ tanx.dx = log | secx | + C
8. ∫ cotx.dx = log | sinx | + C
9. ∫ cosecx.dx = log | cosecx – cotx | + C
10. ∫ secx.dx = log | secx + tanx | + C

Формулы интегрирования обратных тригонометрических функций:

1. ∫1 / √ (1 – x ² ) .dx = sin ^-1 x + C
2. ∫ / 1 (1 – x ² ) .dx = -cos ^-1 x + C
3. ∫1 / (1 + x ² ).dx = tan ^-1 x + C
4. ∫ 1 / (1 + x ² ) .dx = -cot ^-1 x + C
5. ∫ 1 / x√ (x ² – 1) .dx = -cosec ^-1 x + C
6. ∫ 1 / x√ (x ² – 1) .dx = sec ^-1 x + C

Формулы расширенной интеграции

1. ∫ 1 / (a ​​ ² – x ² ) .dx = 1 / 2a.log | (a + x) (a – x) | + C
2. ∫1 / (x ² – a ² ) .dx = 1 / 2a.log | (x – a) (x + a | + C
3. ∫1 / (x ² + а ² ).dx = 1 / a.tan ^-1 x / a + C
4. ∫1 / √ (x ² – a ² ) dx = log | x + √ (x ² – a ² ) | + C
5. ∫1 / √ (a ² – x ² ) .dx = sin ^-1 x / a + C
6. ∫ √ (x ² – a ² ) .dx = 1 / 2.x.√ (x ² – a ² ) -a ² /2 log | x + √ (x ² – a ² ) | + C
7. ∫√ (a ² – x ² ) .dx = 1 / 2.x.√ (a ² – x ² ).dx + a ² /2.sin-1 x / a + C
8. ∫1 / √ (x ² + a ² ) .dx = log | x + √ (x ² + a ² ) | + C
9. ∫ √ (x ² + a ² ) .dx = 1 / 2.x.√ (x ² + a ² ) + a ² /2. журнал | x + √ (x ² + a ² ) | + C

Различные формулы интегрирования

Обычно используются методы интегрирования

T3: интегрирование по формуле частей, интегрирование по формуле замены и интегрирование по формуле частичных долей.Давайте рассмотрим каждую из этих формул интегрирования по очереди.

Интеграция по формуле частей:

Когда любая заданная функция является продуктом двух различных функций, для вычисления интеграла можно применить формулу интегрирования по частям или частичное интегрирование. Формула интегрирования с использованием методов частичного интегрирования выглядит следующим образом:

∫ f (x) .g (x) = f (x) .∫g (x) .dx -∫ (∫g (x) .dx.f ‘(x)). Dx + c

.

Например: ∫ xe ^x dx имеет вид ∫ f (x).г (х). Следовательно, мы должны применить соответствующую формулу интегрирования и соответственно вычислить интеграл.

f (x) = x и g (x) = e ^x

Таким образом, ∫ xe ^x dx = x∫e ^x .dx – ∫ (∫e ^x .dx. X). dx + c

= xe ^x – e ^x + c

Интегрирование по формуле подстановки:

Если данная функция является функцией другой функции, мы можем применить формулу интегрирования для подстановки, чтобы решить этот интеграл.Например, если
I = ∫ f (x) dx,
, где
x = g (t), так что dx / dt = g ‘(t), то мы пишем dx = g’ (t)
Возьмем, например,
I = ∫ f (x) dx = ∫ f (g (t)) g ‘(t) dt
Например: Рассмотрим ∫ (3x +2) ⁴ dx
Формула интегрирования подстановки имеет следующий вид.
Возьмем u = (3x + 2). ⇒ du = 3. dx
Таким образом, ∫ (3x +2) ⁴ dx = 1/3. ∫ (u) ⁴ . du
= 1/3. u ⁵ /5 = u ⁵ /15
= (3x + 2) ⁵ /15

Интегрирование по формуле частичных дробей:

Чтобы найти интеграл от несобственной дроби, такой как P (x) / Q (x), в которой степень P (x) <степени Q (x), мы можем использовать интегрирование по частным дробям.В этом методе мы разделяем дробь с помощью разложения на частичную дробь как P (x) / Q (x) = T (x) + P11 (x) / Q (x), в котором T (x) - многочлен от x и P11 (x) / Q (x) - собственная рациональная функция. Предположим, что A, B и C - действительные числа, у нас могут быть следующие типы более простых частичных дробей, связанные с различными типами рациональных функций.

Рациональные дроби	Частичные дроби
(px + q) / (xa) (x – b)	A / (x – a) + B / (xb)
(px + q) / (xa) n	A 1 / (xa) + A 2 / (xa) 2 + ……….A n / (xa) n
(px 2 + qx + r) / (ax 2 + bx + c) n	(A 1 x + B 1 ) / (ax 2 + bx + c) + (A 2 x + B 2 ) / (ax 2 + bx + c) 2 +… (A n x + B n ) / (ax 2 + bx + c) n
(px 2 + qx + r) / (ax 2 + bx + c)	(Ax + B ) / (ax 2 + bx + c)
(px 2 + qx + r) / (xa) (xb) (xc)	A / (x – a) + B / (xb ) + C / (xc)
(px 2 + qx + r) / (x 2 + bx + c)	A / (xa) + (Bx + C) / (x 2 + bx + c)

Для: ∫ 3x + 7 / x ² -3x + 2

Разложив на частичные дроби, получаем

3x + 7 / x ² -3x + 2 = A / (x-2) + B / (x-1)

= А (х-1) + В (х-2) / (х-2) (х-1)

Приравнивая числители, получаем 3x +7 = A (x-1) + B (x-2)

Найдите B, задав x = 1⇒ 10 = B

Найдите A, задав x = 2⇒ 13 = A

Таким образом, 3x + 7 / x ² -3x + 2 = 13 / (x-2) + 10 (x-1)

Применяя формулы интегрирования, получаем

∫ (3x + 7 / x ² -3x + 2) = ∫ 13 / (x-2) + ∫ 10 (x-1)

∫ (3x + 7 / x ² -3x + 2) = 13 log | x-2 | – 10 лог | х-1 | + C

Формулы интеграции PDF

Вы можете посмотреть, а также скачать pdf для формул интегрирования и дифференцирования снизу:

Ознакомьтесь с еще несколькими формулами, которые помогут вам в приготовлении.

Часто задаваемые вопросы по интегральным формулам

Некоторые из часто задаваемых вопросов и ответы на них приведены ниже:

1 кв. Что такое интеграция? A1. Интеграция – это процесс непрерывного суммирования, который обычно рассматривается как процесс, обратный дифференциации.

Q1. Вычислить ∫ 5x 4 dx. A1. x 5 + C.

Q2. Найдите \ (\ int x \ sqrt {1 + 4x} \) dx. A2. {(4x + 1) 3/2 (6x − 1)} / 60 + C.

Q3. Где я могу получить PDF с формулами интеграции? A3. Вы можете скачать PDF-файл на этой странице.

Это была вся информация о формулах интеграции, и мы надеемся, что предоставленные сведения помогут вам.Однако, если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь использовать раздел комментариев ниже, чтобы связаться с нами, и мы свяжемся с вами в ближайшее время.

575 Просмотры

формул интеграла – (Обновлено для 2021-2022) | CoolGyan.Org

Формулы интеграла – Интегрирование можно рассматривать как обратный процесс дифференцирования или можно назвать обратным дифференцированием. Интеграция – это процесс поиска функции с ее производной. Здесь приводятся основные формулы интегрирования по различным функциям.Помимо формул для интегрирования, здесь также приводится классификация интегральных формул и несколько примеров вопросов, которые вы можете практиковать на основе формул интеграции, упомянутых в этой статье. Когда мы говорим об интегрировании по частям, мы имеем в виду интегрирование произведения двух функций, скажем, y = uv. Приведены еще несколько концепций, связанных с интегральным исчислением, поэтому продолжайте изучать интегральные формулы для точного решения задач. Также посмотрите видео, приведенное ниже, чтобы прояснить свою концепцию.

Список интегральных формул

Список интегральных формул:

• • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ a dx = ax + C
  • ∫ x ⁿ dx = ((x ^{n + 1} ) / (п + 1)) + С; n ≠ 1
  • ∫ sin x dx = – cos x + C
  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sec ² dx = tan x + C
  • ∫ csc ² dx = -cot x + C
  • ∫ sec x (tan x) dx = sec x + C
  • ∫ csc x (cot x) dx = – csc x + C
  • ∫ (1 / x) dx = ln | x | + C
  • ∫ e ^x dx = e ^x + C
  • ∫ a ^x dx = (a ^x / ln a) + C; a> 0, a ≠ 1

Эти интегральные формулы столь же важны, как и формулы дифференцирования.Некоторые другие важные формулы интегрирования:

Классификация интегральных формул

Перечисленные выше интегральные формулы классифицируются на основе следующих функций.

• Рациональные функции
• Иррациональные функции
• Тригонометрические функции
• Обратные тригонометрические функции
• Гиперболические функции
• Обратные гиперболические функции
• Экспоненциальные функции
• Логарифмические функции
• Функции Гаусса

02

.{2} + 6x + 25} \, dx \)

Правила и формулы интеграции – A Plus Topper

Правила и формулы интеграции

Интеграл функции

Функция ϕ (x) называется примитивом или первообразной функции f (x), если ? ‘(X) = f (x) .
Пусть f (x) – функция. Тогда набор всех его примитивов называется неопределенным интегралом от f (x) и обозначается ∫ f (x) dx.
Таким образом,

где ϕ (x) является примитивом f (x), а c – произвольной константой, известной как константа интегрирования.

Правила интеграции

1. Цепная линейка:
   ∫ uv dx = uv ₁ – u’v ₂ + u ”v ₃ – u” ‘v ₄ + ……… + ( –1) ^{n – 1} u ^{n – 1} v _n + (–1) ⁿ ∫ u ⁿ .v _n dx
   Где означает n ^th дифференциальный коэффициент u и означает n ^th интеграл v .
2. Правило суммы
   ∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx
3. Правило разницы
   ∫ (f – g) dx = ∫ f dx – ∫ g dx
4. Умножение на константу
   ∫ cf (x) dx = c ∫ f (x) dx
5. Правило мощности (n ≠ -1)
   ∫ x ⁿ dx = x ^{n + 1} / (n + 1) + C

Фундаментальные формулы интеграции

В любой из основных формул интегрирования, если x заменяется на ax + b, то применимы те же формулы, но мы должны разделить на коэффициент при x или производную от (ax + b) i.