Функции производную: Дифференцирование функции, заданной неявно

0 = 5 * 1 = 5;

2) (- 8 )’ = 0.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y’ = (5x – 8)’ = (5x)’ + (- 8)’ = 5 + 0 = 5.

Ответ: y’ = 5

Евгения

По условию задачи нам необходимо вычислить производную функции y = 5х – 8.

Правила и формулы для вычисления производной

Для вычисления нашей производной будем использовать следующие правила и основные формулы дифференцирования

• (xⁿ)’ = n * x^(n-1).
• (с)’ = 0, где с – const.
• (с * u)’ = с * u’, где с – const.
• (u ± v)’ = u’ ± v’.

Вычисление производной

Найдём производную нашей данной функции: f(x) = 5х – 8.

Чтобы найти производную нашей данной функции будем использовать, основную формулу дифференцирования и правило дифференцирования, а запишем это так:

f(x)’  = (5х – 8)’ = (5х)’ – (8)’.

Для того чтобы вычислить нашу производную используем формулы дифференцирования и правила дифференцирования. Продифференцируем нашу данную функцию:

Вычислим производную поэтапно:

• производная от «5x» – это будет «5 * 1 * x^{(1 – 1)} = 5 * x⁰ = 5 * 1 = 5»;
• вычислим производную от «2»: производная от «2» – это будет «0», следовательно, у нас получается, что (8)’ = 0;
• следовательно, у нас получается, что «(5х – 8)’ = (5х)’ – (8)’ = 5 – 0 = 5».

Для полного закрепления данной темы рассмотрим несколько примеров:

• (17х + 3)’ = (17х)’ + (3)’ = 17* 1 * x^{(1 – 1)} + 0 = 17 * x⁰ = 17 * 1 = 17.
• (19х – 6)’ = (19х)’ – (6)’ = 19 * 1 * x^{(1 – 1)} – 0 = 19 * x⁰ = 19 * 1 = 19.
• (28х + 15)’ = (28х)’ + (15)’ = 28 * 1 * x^{(1 – 1)} + 0 = 28 * x⁰
  = 28 * 1 = 28.

Таким образом, производная нашей данной функции будет следующая:

f(x)’  = (5х – 8)’ = (5х)’ – (8)’ = 5 * 1 * x^{(1 – 1)} – 0 = 5 * x⁰ = 5 * 1 = 5.

Выходит, что наша производная данной функции будет выглядеть таким образом:

f(x)’ = (5х – 8)’ = (5х)’ – (8)’ = 5.

Ответ: Производная нашей данной функции будет равна f(x)’ = 5.

Знаешь ответ?

Как написать хороший ответ?Как написать хороший ответ?

Будьте внимательны!

• Копировать с других сайтов запрещено. Стикеры и подарки за такие ответы не начисляются. x$ как \начать{выравнивать} f'(x) &=f(x) f'(0). \label{derivative_f_fprime} \end{выравнивание}

  Уравнение \eqref{derivative_f_fprime} утверждает, что производная $f'(x)$ просто равна самой функции $f(x)$, умноженной на наше загадочное число, которое также является наклоном $f'(0) $ касательной в точке $x=0$. Это странный вывод, поэтому лучше подтвердим, что он действительно верен.

  Используйте следующий апплет, чтобы убедиться в правильности результата. Убедитесь, что производная $f'(x)$ действительно кратна функции $f(x)$, проверив, что отношение $f'(x)/f(x)$ не меняется при изменении $x. $. Это отношение должно быть $f'(0)$, что должно быть таинственным числом, которое вы оценили в четыре цифры, а также наклоном касательной, когда $x=0$. 9x$, где вы можете ввести значение для $b$, показано толстой синей кривой. График ее производной $f'(x)$ показан тонкой зеленой линией, а отношение $f'(x)/f(x)$ – горизонтальной серой линией. Значение функции и ее производная, оцененные при $x_0$, отображаются слева и показаны синими и зелеными точками на кривых.

  {kx}$, и появятся два новых поля, в которых вы можете изменить значения $c$ и $k$. Вы можете использовать кнопки вверху для увеличения и уменьшения масштаба, а также для панорамирования вида. 9ч-1}{ч}. \конец{выравнивание*}

  Во-вторых, выберите два других значения $b$, кроме $b=2$. Попробуйте одно значение $b$ меньше единицы и одно значение $b$ больше единицы, чтобы поэкспериментировать как с экспоненциальным затуханием, так и с экспоненциальным ростом. Для каждого из ваших вариантов $b$ используйте первый апплет, чтобы оценить первые четыре цифры значения таинственного предельного выражения, определяющего $g'(0)$. Затем используйте второй апплет, чтобы убедиться, что это значение является как производной $g'(0)$ в нуле, так и отношением между производной $g'(x)$ и функцией $g(x)$. 9ч-1}{ч} = 1.$$ Поскольку $e$ иррационально, мы не сможем получить точное представление этого числа с помощью этих методов. Но если бы вы были очень терпеливы и у вас был бы такой инструмент, как эти апплеты, которые могли бы оценить предел с достаточной точностью, вы могли бы оценить $e$ до 30 цифр и определить, что $$e \ приблизительно 2,71828182845

  3536028747135. $$ Вышеупомянутые апплеты понимают $e$, так что вы можете ввести $e$ вместо $b$ в любом апплете и убедиться, что таинственный предел действительно один для этого случая. 9{кх},$$ у которого всего два параметра $c$ и $k$.

  Изменяют ли параметры $c$ и $k$ свойства показательной функции? До сих пор мы рассматривали случай, когда $c=1$ и $k=1$, и обнаружили, что $f'(x)=f(x)$. Является ли $f'(x)=f(x)$ для других значений $c$ и $k$? Вы можете использовать второй апплет выше, чтобы изучить этот вопрос. Установите флажок «Дополнительные параметры», чтобы открыть поля, в которых можно изменить $c$ и $k$. Вы можете наблюдать, идентичны ли графики $f$ и $f’$ и остается ли отношение $f’/f$ ​​равным единице, когда $b=e$, но $c$ и $k$ являются разными значениями. Если отношение $f'(x_0)/f(x_0)$ изменяется при изменении $c$ или $k$, будет ли это значение по-прежнему зависеть от $x_0$? (Другими словами, является ли $f’$ по-прежнему кратным $f$?) Как отношение зависит от $c$ и $k$? 9{х}-1}{ч}.

  {kx}. \label{derivative_ekx}\tag{5} \end{выравнивание} 9x$ для некоторого (неизвестного) числа $c$.

  Рабочий лист по изучению производной экспоненциальной функции содержит вопросы, которые помогут вам открыть свойства производной экспоненциальной функции.

  AC Производная функция

  Мотивирующие вопросы

  • Как предельное определение производной функции \(f\) приводит к совершенно новой (но родственной) функции \(f’\text{?}\)

  • В чем разница между написанием \(f'(a)\) и \(f'(x)\text{?}\)

  • Как график производной функции \(f'(x)\) связан с графиком \(f(x)\text{?}\)

  • Приведите примеры функций \(f\), для которых \(f’\) не определена в одной или нескольких точках?

  Теперь мы знаем, что мгновенная скорость изменения функции \(f(x)\) в точке \(x = a\text{,}\) или, что то же самое, наклон касательной к графику \(y = f(x)\) at \(x = a\text{,}\) задается значением \(f'(a)\text{. }\) Во всех наших примерах до сих пор мы идентифицировали конкретное значение \(a\) в качестве нашего интереса: \(a = 1\text{,}\) \(a = 3\text{,}\) и т. д. Но нетрудно представить, что мы часто будет интересоваться значением производной для более чем одного \(a\)-значения и, возможно, для многих из них. В этом разделе мы исследуем, как мы можем перейти от вычисления производной в одной точке к вычислению формулы для \(f'(a)\) в любой точке \(a\text{.}\). Действительно, процесс «взятие производной» порождает новую функцию, обозначаемую \(f'(x)\text{,}\), производную от исходной функции \(f(x)\text{.}\) 92\текст{.}\)

  1. Используйте определение предела для вычисления производных значений: \(f'(0)\text{,}\) \(f'(1)\text{,}\) \(f'(2)\text {,}\) и \(f'(3)\text{.}\)

  2. Обратите внимание, что работа по нахождению \(f'(a)\) одинакова, независимо от значения \(a\text{.}\) Основываясь на вашей работе в (a), что вы предполагаете значение \(f'(4)\text{?}\) Как насчет \(f'(5)\text{?}\) (Примечание: вы должны

     , а не использовать предельное определение производной, чтобы найти любое значение. ) 92\text{,}\) возможно, вы нашли несколько шаблонов. Один исходит из наблюдения, что \(f'(0) = 4\text{,}\) \(f'(1) = 2\text{,}\) \(f'(2) = 0\text{, }\) и \(f'(3) = -2\text{.}\). Эта последовательность значений естественным образом приводит нас к предположению, что \(f'(4) = -4\) и \(f'(5 ) = -6\text{.}\) Мы также замечаем, что конкретное значение \(a\) очень мало влияет на процесс вычисления значения производной через определение предела. Чтобы увидеть это более ясно, мы вычисляем \(f'(a)\text{,}\), где \(a\) представляет собой число, которое будет названо позже. Следуя теперь уже стандартному процессу использования предельного определения производной, 92}{ч}\\ =\mathstrut \amp \lim_{h \to 0} \frac{h(4 – 2a – h)}{h} = \lim_{h \to 0} (4 – 2a – h)\text{.} \конец{выравнивание*}

     Здесь мы видим, что ни \(4\), ни \(2a\) не зависят от значения \(h\text{,}\), так что \(h \to 0\text{,}\) \(( 4 – 2a – h) \to (4 – 2a)\text{.}\) Таким образом, \(f'(a) = 4 – 2a\text{.}\)

     Этот результат согласуется с конкретными значениями, которые мы нашли выше: например, \(f'(3) = 4 – 2(3) = -2\text{.

     2\text{,}\) следует, что \(f'(x) = 4 – 2x\text{.}\) 92\) вместе с набором касательных в точках, которые мы рассмотрели выше. Справа мы показываем график \(f'(x) = 4 – 2x\) с акцентом на высотах графика производной при том же выборе точек. Обратите внимание на связь между цветами на левом и правом графиках: зеленая касательная на исходном графике связана с зеленой точкой на правом графике следующим образом: наклон касательной в точке на левом графике такой же, как высота в соответствующей точке на правом графике. То есть при каждом соответствующем значении \(x\text{,}\) наклон касательной к исходной функции равен высоте производной функции. Обратите внимание, однако, что единицы измерения на вертикальных осях разные: на левом графике вертикальные единицы — это просто выходные единицы \(f\text{.}\). На правом графике \(y = f’ (x)\text{,}\) единицы измерения по вертикальной оси представляют собой единицы \(f\) на единицу \(x\text{.}\)

     Отличный способ изучить, как график \(f(x)\) генерирует график \(f'(x)\), — это использовать апплет. См., например, апплеты по адресу gvsu.edu/s/5C или gvsu.edu/s/5D на сайтах Дэвида Остина ¹ и Марка Рено ² .

     В разделе 1.3, когда мы впервые определили производную, мы записали определение в терминах значения \(a\), чтобы найти \(f'(a)\text{.}\) Как мы видели выше, буква \ (a\) — это просто заполнитель, и часто имеет смысл использовать вместо него \(x\). Для справки, здесь мы повторяем определение производной.

     Определение 1.4.2.

     Пусть \(f\) функция и \(x\) значение в области определения функции. Мы определяем производную \(f\) , новую функцию, называемую \(f’\text{,}\) по формуле \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h}\text{,}\) при условии, что этот предел существует.

     Теперь у нас есть два разных взгляда на производную функцию:

     1. задан график \(y = f(x)\text{,}\) как этот график приводит к графику производной функции \(y = f'(x)\text{?}\) и

     2. учитывая формулу для \(y = f(x)\text{,}\) как предельное определение производной порождает формулу для \(y = f'(x)\text{?}\)

     Оба этих вопроса исследуются в ходе следующих занятий.

     Мероприятие 1.4.2.

     Для каждого заданного графика \(y = f(x)\text{,}\) начертите приближенный график его производной функции \(y = f'(x)\text{,}\) на осях непосредственно ниже. Масштаб сетки для графика \(f\) равен \(1 \times 1\text{;}\) предположим, что горизонтальный масштаб сетки для графика \(f’\) идентичен масштабу для \(f\text{.}\) При необходимости отрегулируйте и обозначьте вертикальный масштаб на осях для \(f’\text{.}\)

     Когда вы закончите со всеми 8 графиками, напишите несколько предложений, описывающих общий процесс построения графика производной функции, учитывая, что график исходной функции. Какие значения производной функции вы обычно идентифицируете в первую очередь? Что вы делаете после этого? Как ключевые черты графика производной функции иллюстрируют свойства графика исходной функции?

     Динамическое исследование, которое позволяет вам экспериментировать с графическим отображением \(f’\) при заданном графике \(f\text{,}\), см. в приложении Marc Renault 92\) и использовал предельное определение производной, чтобы показать, что \(f'(a) = 4 – 2a\text{,}\) или, что то же самое, что \(f'(x) = 4 – 2x\text{. }\) Впоследствии мы построили графики функций \(f\) и \(f’\), как показано на рисунке 1.4.1. Следуя Упражнению 1.4.2, мы теперь понимаем, что могли бы построить довольно точный график \(f'(x)\) без знания формулы для \(f\) или \(f’\text{. }\) В то же время полезно знать формулу производной функции всякий раз, когда ее можно найти.

     В следующем упражнении мы дополнительно исследуем более алгебраический подход к нахождению \(f'(x)\text{:}\) по формуле для \(y = f(x)\text{,}\) предела определение производной будет использовано для разработки формулы для \(f'(x)\text{.}\)

     Мероприятие 1.4.3.

     Для каждой из перечисленных функций определите формулу производной функции. Для первых двух определите формулу производной, размышляя о характере данной функции и ее наклоне в различных точках; не используйте определение предела. Для последних четырех используйте определение предела. Обратите особое внимание на имена функций и независимых переменных. Важно уметь использовать буквы, отличные от \(f\) и \(x\text{. }\). Например, для данной функции \(p(z)\text{,}\) мы называем ее производной \(p'(z)\text{.}\) 93\)

  3. \(\displaystyle F(t) = \frac{1}{t}\)

  4. \(\displaystyle G(y) = \sqrt{y}\)

  Подраздел 1.4.2 Резюме

  • Предельное определение производной, \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{,}\ ) дает значение для каждого \(x\), при котором определяется производная, и это приводит к новой функции \(y = f'(x)\text{.}\). Особенно важно отметить, что взятие производная – это процесс, который начинается с заданной функции (\(f\)) и производит новую связанную функцию (\(f’\)).

  • По существу нет разницы между записью \(f'(a)\) (как мы регулярно делали в разделе 1.3) и записью \(f'(x)\text{.}\). В любом случае переменная просто заполнитель, который используется для определения правила для производной функции.

  • Имея график функции \(y = f(x)\text{,}\), мы можем начертить приближенный график ее производной \(y = f'(x)\), заметив, что высот на график производной соответствует наклонам на графике исходной функции.

  • В упражнении 1.4.2 мы столкнулись с некоторыми функциями, у которых на графиках были острые углы, например, функция сдвинутого абсолютного значения. В таких точках производная не существует, и мы говорим, что \(f\) там не дифференцируема. Пока достаточно понимать это как следствие скачка, который должен произойти в производной функции в остром углу на графике исходной функции.

  Упражнения 1.4.3 Упражнения

  1. Производная функция графически.

  Рассмотрим функцию \(f(x)\), показанную на графике ниже.

  (Обратите внимание, что вы можете нажать на график, чтобы получить его увеличенную версию, и что может быть полезно распечатать эту увеличенную версию, чтобы иметь возможность работать с ней вручную.)

  Тщательно нарисуйте производную функцию данной функции (при этом вы захотите оценить значения производной функции при разных значениях \(x\)). Используйте график производной функции, чтобы оценить следующие значения производной функции. 9{2}-8\) с использованием коэффициентов разности:

  \(g'(x) = \lim\limits_{h\to0}\, [(\) \() / h]\)

  \(\qquad знак равно

  (В первом поле ответа укажите числитель разностного отношения, которое вы используете для оценки производной. Во втором поле введите производную, полученную после завершения расчета предела.)

  3. Зарисовка производной.

  Для функции \(f(x)\), показанной на графике ниже, нарисуйте график производной. Затем вы будете выбирать, какой из следующих графиков является правильным графиком производной, но обязательно сначала нарисуйте производную самостоятельно.

  Какой из следующих графиков является производным от \(f(x)\text{?}\)

  • 1

  • 2

  • 3

  • 4

  • 5

  • 6

  • 7

  • 8

  (Нажмите на график, чтобы увеличить его.)

  1.	2.	3.	4.
  5.	6.	7.	8.

  4. Сравнение значений функции и производной.

  График функции \(f\) показан ниже.

  При каком из помеченных \(x\)-значений

  \(f(x)\) наименьшее? \(х =\)

  • x1

  • x2

  • x3

  • x4

  • x5

  • x6

  \(f(x)\) наибольший? \(х =\)

  • x1

  • x2

  • x3

  • x4

  • x5

  • x6

  \(f'(x)\) меньше всего? \(х =\)

  • x1

  • x2

  • x3

  • x4

  • x5

  • x6

  \(f'(x)\) наибольший? \(х =\)

  • x1

  • x2

  • x3

  • x4

  • x5

  • x6

  5.

  Предельное определение производной рациональной функции.

  Пусть

  \begin{equation*} е (х) = \ гидроразрыва {1} {х – 4} \end{уравнение*}

  Найти

  (i) \(f'(3)\)

  (ii) \(f'(5)\)

  (iii) \(f'(6)\)

  (iv) \ (f'(8)\)

  6.

  Пусть \(f\) — функция со следующими свойствами: \(f\) дифференцируема при каждом значении \(x\) (то есть \(f\) имеет производную в каждой точке), \( f(-2) = 1\text{,}\) и \(f'(-2) = -2\text{,}\) \(f'(-1) = -1\text{,}\ ) \(f'(0) = 0\text{,}\) \(f'(1) = 1\text{,}\) и \(f'(2) = 2\text{.}\)

  1. На осях слева на рисунке 1.4.3 нарисуйте возможный график \(y = f(x)\text{.}\) Объясните, почему ваш график соответствует установленным критериям. 92 – 4x + 12\текст{.}\)

  2. Сравните найденные вами формулы для \(g'(x)\) и \(p'(x)\). Как константы 5, 4, 12 и 3 влияют на результаты?

  8.

  Пусть \(g\) — непрерывная функция (т. е. функция без скачков и дыр в графике) и предположим, что график \(y = g'(x)\) задается графиком справа на рисунке 1. 4.4.

  Рисунок 1.4.4. Оси для построения \(y = g(x)\) и, справа, графика \(y = g'(x)\text{.}\)

  1. Обратите внимание, что для каждого значения \(x\), удовлетворяющего условию \(0 \lt x \lt 2\text{,}\), значение \(g'(x)\) является постоянным. Что это говорит вам о поведении графика \(y = g(x)\) на этом интервале?

  2. На каких интервалах, кроме \(0 \lt x \lt 2\), вы ожидаете, что \(y = g(x)\) будет линейной функцией? Почему?

  3. При каких значениях \(x\) \(g'(x)\) не определено? Какое поведение вы ожидаете увидеть на графике \(y=g(x)\text{?}\)

  4. Предположим, что \(g(0) = 1\text{.}\) На осях, указанных слева на рис. 1.4.4, нарисуйте точный график \(y = g(x)\text{.}\ )

  9.

  Для каждого графика, представляющего исходную функцию \(y = f(x)\) на рисунке 1.4.5, ваша задача состоит в том, чтобы начертить приближенный график ее производной функции, \(y = f'(x)\text{ ,}\) на осях непосредственно ниже.